ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Томский политехнический университет»

Л. И. Константинова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Издательство ТПУ

Томск 2005

УДК 514.12 К 12 Константинова Л. И.

К 12 Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2005. – 140 с.

В данном пособии изложены основные положения теории вероятностей и математической статистики.

Излагаемый материал сопровождается достаточным количеством примеров. Большое внимание уделяется практическому применению основных понятий теории вероятностей и математической статистики и интерпретации полученных результатов.

Пособие подготовлено на кафедре прикладной математики ТПУ и предназначено для студентов специальностей 080507 «Менеджмент», «Бухгалтерский учет анализ и аудит», 080103 «Национальная экономика», 080502 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)» Института дистанционного образования.

УДК 514. Рекомедовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты:

Б. А. Шумилов – профессор кафедры ПМ ТГАСУ, доктор ф.-м. наук;

А. И. Кочегуров – доцент кафедры ПМ ТПУ, кандидат техн. наук.

© Томский политехнический университет, Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема 1. Вероятность случайных событий Теория вероятностей является математической дисциплиной. Методы теории вероятностей используются при разработке моделей в ситуациях стохастической неопределенности. Стохастическая неопределенность имеет место в условиях, когда нельзя заранее сказать, произойдет или не произойдет некоторое событие в результате эксперимента. Метод теории вероятностей позволяет количественно оценить степень правдоподобия этого появления. При этом необходимо принять некоторые предположения относительно условий эксперимента. Изменение условий эксперимента может привести к изменению степени правдоподобия появления события. В этом случае возможна ошибка в определении степени правдоподобия. Для оценки этой ошибки используются предельные теоремы теории вероятностей.

Стохастическая неопределенность появляется из-за влияния очень большого числа разнообразных причин. Каждая причина в отдельности не может повлиять на результат опыта. На результат опыта влияет сумма этих разнообразных причин, и в этом случае результат опыта не может определяться заранее однозначно. Говорят, что результат такого опыта случаен.

Примеры случайных явлений можно указать в разнообразных областях науки и техники: в физике, биологии, экономике, в системах автоматического управления и т. д. Поэтому методы теории вероятностей широко используются на практике.

Вероятность оценивает степень правдоподобия появления или не появления случайного события, поэтому необходимо ввести такие понятия, как эксперимент, исход, выборочное пространство, случайное событие.

В данном случае под экспериментом понимается процесс наблюдений или измерений. Это может быть процесс контроля, процесс, состоящий в подсчете «успехов» или «неудач», или представлять собой сложный процесс каких-либо измерений, например, определения массы электрона.

Результат эксперимента называется исходом, или элементарным случайным событием.

Ряд всех возможных элементарных событий данного эксперимента называется выборочным пространством.

Если выборочное пространство имеет конечное число элементов, то это может быть представлено в виде ряда, имеющего n элементов.

Например, при одном подбрасывании монеты выборочное пространство может быть представлено следующим образом:

E {Г, Р}, где Г означает выпадение герба;

Р означает выпадение решки;

здесь n = 2, где n – объем выборочного пространства.

Выборочное пространство с большим или бесконечным числом членов представляется или некоторым утверждением, или правилом.

Пример. Если возможные исходы эксперимента представляют собой ряд автомобилей, оснащенных СВ радио, то выборочное пространство может быть представлено E {x x автомобиль с СВ радио}.

Это следует понимать как E – это ряд всех автомобилей, имеющих СВ радио.

Пример. Если выборочное пространство Е представляет собой ряд всех нечетных положительных чисел, то Е представляется следующим образом:

Как сформулировать выборочное пространство, зависит от решаемой проблемы. Если эксперимент состоит в одном подбрасывании игральной кости и если нас интересует, какое количество очков выпадет, то выборочное пространство должно быть представлено в виде E1 {1,2,3,4,5,6}.

Если нас интересует, выпадет четное или нечетное число очков, то выборочное пространство может быть представлено в виде E 2 { четные, нечетные}.

Но в этом случае исходы «четный» и «нечетный» могут быть представлены тремя исходами каждый, т. е. четный – 2, 4, 6; нечетный – 1, 3, 5.

При формировании выборочного пространства необходимо, чтобы исходы не могли бы делиться на элементарные события.

Таким образом, в последнем примере пространство элементарных событий E1 подчиняется этому правилу, а E 2 – нет.

Выборочные пространства обычно классифицируются в соответствии с числом содержащихся в них элементов.

В предыдущем примере выборочные пространства E1 и E 2 содержат конечное число элементов.

При подбрасывании монеты до появления герба может быть произведено одно, два, три и так далее подбрасываний. Для этого эксперимента выборочное пространство имеет вид E { Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, …}, где неопределенное число элементов.

В данном случае число исходов можно поставить в соответствие с натуральным рядом чисел. Данное выборочное пространство является счетным.

Если выборочное пространство содержит конечное или счетное число элементов, то оно называется дискретным.

Не все выборочные пространства являются дискретными.

Если выборочное пространство содержит континуум элементов, такое как выборочное пространство, содержащее все точки на отрезке прямой или все точки на плоскости, то такое выборочное пространство называется непрерывным.

На практике выборочные пространства непрерывного типа имеют место в том случае, когда исходами эксперимента являются измерения физических свойств, таких, как температура, время, вес, размеры и т. д., т. е. исходы, представляющие собой измерения на непрерывных шкалах.

1.1.1. Случайные события Во многих случаях нас интересует результат эксперимента, который не является элементарным случайным событием или простым исходом.

Пример. При подбрасывании игральной кости представить случайное событие А, состоящее в выпадении числа очков, делящихся на 3.

Решение. При подбрасывании игральной кости выборочное пространство имеет следующий вид: E {1,2,3,4,5,6}.

Появлению события А способствуют исходы 3 и 6, что можно записать в виде A{3,6}.

Иначе говорят, что событию А благоприятствуют исходы 3, и число этих событий m 2.

Пример. Описать случайное событие В, состоящее в выпадении суммы очков, равной 7, при подбрасывании двух игральных костей.

Решение. При подбрасывании двух игральных костей размерность выборочного пространства n 36. Среди 36 элементарных случайных событий следующие благоприятствуют появлению события В: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) и (6,1). Событие В представляется в виде B {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}, т. е. число благоприятствующих В элементарных событий m 6.

Любое случайное событие является подмножеством пространства элементарных исходов, но обратное утверждение не всегда справедливо. Для дискретного выборочного пространства прямое и обратное утверждения справедливы. Но для непрерывного выборочного пространства есть особые точки пространства, которые должны быть исключены из математических соображений, что обсуждается в соответствующих разделах теории вероятностей.

1.1.2. Операции над случайными событиями Случайное событие может представляться через другие случайные события в виде суммы событий, произведения и дополнения.

Суммой или объединением событий А и В, являющихся подмножествами пространства элементарных событий Е, является подмножество Е, состоящее из элементов А или В или из элементов А и В.

Если элементарное событие входит как в А, так и в В, то в их сумму оно включается один раз.

Объединение А и В обозначается C A B.

Произведением или пересечением случайных событий А и В является подмножество пространства элементарных событий Е, которое состоит из элементов, принадлежащих как А, так и В.

Пересечение А и В обозначается C A B.

Дополнением или противоположным событием случайного события А является подмножество пространства элементарных событий Е, состоящее из элементов, которые не входят в А.

Дополнение А обозначается.

Объединение C A B, пересечение C A B и дополнение наглядно изображаются в виде диаграмм Вьенна.

В этом случае выборочное пространство изображается в виде прямоугольника, события изображаются областью с замкнутой границей внутри прямоугольника. На рис. 1.1 изображены соответственно дополнение (рис. 1.1, а), объединение (рис. 1.1, б), пересечение (рис. 1.1, в) событий А и В.

На рис. 1.2 изображены специальные взаимоотношения между событиями.

Определение. Несовместные события (рис. 1.2, а) А и В – такие события, которые не имеют общих элементов или которые не могут одновременно появиться. Для несовместных событий A B, где обозначает пустое множество.

На рис. 1.2, б изображены события А и В в случае, когда А содержится в В, и это обозначается A B.

Рис. 1.2. Диаграммы, изображающие специальные взаимоотношения между случайными событиями:

Пример. В городе два магазина, торгующих строительными товарами.

В 1-м магазине торгуют лесоматериалами, оборудованием для водопровода, строительными инструментами, материалами для покрытия крыш, листовым металлом, гвоздями и болтами.

Во 2-м магазине торгуют садовым инвентарем, оборудованием для водопровода, строительными инструментами, гвоздями.

Определить объединение и пересечение множества товаров этих двух магазинов.

Решение. Пусть А: Магазин 1 {лесоматериалы, оборудование для водопровода, строительные инструменты, материалы для покрытия крыш, листовой металл, гвозди, болты}.

B: Магазин 2 {садовый инвентарь, оборудование для водопровода, строительные инструменты, гвозди}.

Событие С – наличие товаров в 1-м или во 2-м магазине, C: Объединение {лесоматериалы, оборудование для водопровода, строительные инструменты, материалы для покрытия крыш, листовой металл, гвозди, болты, садовый инвентарь}.

Событие F: наличие товаров и в 1-м, и во 2-м магазинах, F: Пересечение {строительные инструменты, оборудование для водопровода, гвозди}.

1.1.3. Классическое определение вероятности По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т. е.

Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.

Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию «равновозможности» исходов.

Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.

По тем же соображениям симметрии считаются равновозможными исходы такого эксперимента, как вынимание тщательно перемешанных и неотличимых на ощупь белых и черных шаров так, что после регистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательного перемешивания производится извлечение следующего шара.

Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных экспериментах, какими являются азартные игры.

Таким образом, классическое определение вероятности связано с понятием равновозможности и используется для экспериментов, сводящихся к схеме случаев. Для этого необходимо, чтобы события e1, e2,...,en были несовместными, т. е. никакие два из них не могут появиться вместе; такими, что образуют полную группу, т. е. они исчерпывают собой все возможные исходы (не может быть так, что в результате опыта ни одно из них не произошло); равновозможными при условии, что эксперимент обеспечивает одинаковую возможность появления каждого из них.

Не всякий эксперимент удовлетворяет схеме случаев. Если нарушается условие симметрии, то нет схемы случаев.

Формула (1.1), «классическая формула», применялась для вычисления вероятностей событий с самого начала появления науки о случайных явлениях.

Те опыты, которые не обладали симметрией, «подгонялись» под схему случаев. В настоящее время наряду с «классической формулой»

существуют способы вычисления вероятностей, когда эксперимент не сводится к схеме случаев. Для этого используется статистическое определение вероятности.

Понятие статистической вероятности будет введено позднее, а сейчас вернемся к классической формуле.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Решение. Случайное событие А – появление хотя бы одного герба.

Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом, Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3 ; их число m 3.

Используя классическую формулу определения вероятности собыm тия А, имеем P( A).

Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei – появление одного шара (белого или черного);

Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m 3. Следовательно, P( A).

Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.

Решение. Случайное событие А – оба шара будут белыми.

Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе «Комбинаторный метод» (см. с. 12). В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом, Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде 1.1.4. Статистическое определение вероятности При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устаm навливается около определенного значения, которое принимается за вероятность события А. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равновозможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента.

Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается где m A – число экспериментов, в которых появилось событие А;

n – общее число экспериментов.

Формулы (1.1) и (1.2) для определения вероятности имеют внешнее сходство, но они различны по существу. Формула (1.1) служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям опыта. Формула (1.2) служит для экспериментального определения частости события. Чтобы воспользоваться формулой (1.2), необходим опытный статистический материал.

1.1.5. Аксиоматический подход к определению вероятности Третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств.

Принятое аксиоматическое определение вероятности было сформулировано в 1933 г. А. Н. Колмогоровым. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

2. P( A) 1, если А – достоверное событие.

3. P( A B) P( A) P( B), если А и В несовместны.

1.1.6. Основные свойства вероятности 1. Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем 0 P( A) 1.

2. Для достоверного события U имеет место равенство P(U ) 1.

Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

3. Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

4. Для произвольных событий А и В Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

5. Для противоположных событий А и имеет место равенство Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное 0, которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P(0) 0.

Пример. Вероятность того, что случайно выбранная в результате опроса семья имеет цветной, черно-белый или цветной и черно-белый телевизоры, равны соответственно 0.86; 0.35; 0.29. Какова вероятность, что семья имеет цветной или черно-белый телевизор?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что семья имеет цветной телевизор.

Событие В состоит в том, что семья имеет черно-белый телевизор.

Событие С состоит в том, что семья имеет или цветной, или чернобелый телевизор. Событие С определяется через А и В в виде C A B, А и В совместны, поэтому 1.1.7. Комбинаторный метод Во многих вероятностных проблемах необходимо перечислить все возможные исходы эксперимента или элементарные события, которые возможны в данной ситуации, или вычислить их количество.

Для этого можно использовать следующие правила.

Правило 1. Если операция состоит из двух шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами и второй может быть сделан n2 способами, то вся операция может быть сделана за n1 n 2 способов.

Под словом «операция» подразумевается любая процедура, процесс или метод выбора.

Чтобы подтвердить это правило, рассмотрим операцию, которая состоит из шагов xi и yi, шаг x может быть осуществлен n1 способами, т. е. i 1, n1, шаг y может быть осуществлен n2 способами, т. е. j 1, n2, тогда ряд всех возможных способов может быть представлен следующими n1n 2 парами:

Пример. Сколько возможных исходов имеется в эксперименте, который состоит в подбрасывании двух игральных костей.

Решение. Под x и y в этом случае понимается выпадение любой грани на первой кости и на второй кости. Выпадение грани на первой кости возможно шестью способами xi, i 1.6 ; выпадение грани второй кости возможно также шестью способами x j, j 1.6. Всего возможных способов 6 6 36.

Правило 2. Если операция состоит из k шагов, в которых первый может быть сделан n1 способами, второй n2 способами, третий n способами и т. д., k-й – nk способами, то вся операция может быть сделана за n1 n2...nk шагов.

Пример. Инспектор качества хочет выбрать часть из каждого из четырех контейнеров, содержащих 4, 3, 5 и 4 частей соответственно.

Сколькими способами он может это сделать?

Решение. Общее число способов определяется как 4 3 5 4 240.

Пример. Сколькими возможными способами может ответить студент в тесте из 20 вопросов, если на каждый вопрос он может ответить «да» или «нет»?

Решение. Всех возможных способов 2 2...2 2 20 1048576.

Часто на практике возникает ситуация, когда объекты должны быть упорядочены.

Например: сколькими различными способами 6 персон могут сесть вокруг стола? Различные их расположения называются перестановками.

Пример. Сколько перестановок возможно для букв a, b, c?

Решение. Возможные расположения abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Число возможных расположений равно шести.

Используя правило 2, можно подсчитать число возможных расположений. Для первой позиции – 3 различных способа (из букв a, b, c).

Для второй позиции – 2 различных способа. Для третьей позиции – 1 способ. Всего способов 3 2 1 6.

n (n 1)(n 2)...3 2 1 различных способов или n!, т. е. число перестановок n! 1 2 3...(n 2)(n 1)n, при этом 0! 1.

Правило 3. Число перестановок n различных объектов равно n!

Пример. Число перестановок из четырех букв 4! 24, но какое число перестановок получится, если выбирать по 2 буквы из четырех?

Решение. Мы должны заполнить две позиции из четырех букв. Для первой позиции – 4 способа, для второй позиции – 3 способа. Следовательно, используя правило 1, имеем 4 3 12.

Обобщая этот пример на n различных объектов, из которых выбирается r объектов без возвращения для r > 0, всего способов n(n 1)...(n r 1). Это число обозначим An, а получаемые комбинации называются размещениями.

Правило 4. Число размещений из n объектов по r определяется как An Перестановки, когда объекты располагаются по кругу, называются круговыми перестановками. Две круговые перестановки не являются различными (а считаются только одной), если соответствующие объекты в двух расположениях имеют те же самые объекты слева и справа.

Например: если четыре персоны играют в бридж, мы не получим различных расположений, если все игроки передвинутся на один стул справа.

Пример. Сколько круговых перестановок возможно из четырех персон, играющих в бридж?

Решение. Если произвольно взять позицию одного из четырех игроков как фиксированную, можно трех остальных игроков расположить 3! способами, другими словами, имеем шесть различных круговых перестановок.

Обобщая этот пример, получаем следующее правило.

Правило 5. Число перестановок из n различных предметов, расположенных по кругу, равно (n 1)!

До сих пор предполагалось, что n объектов, из которых мы выбираем r объектов и формируем перестановки, являются различными. Таким образом, упомянутые ранее формулы не могут быть использованы для определения числа способов расположения букв в слове «book» или числа способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии каждой из четырех других новелл на полке.

Пример. Сколько различных перестановок букв в слове «book»?

Решение. Если важно различать буквы O, то мы их обозначим O1, O2 и тогда будем иметь 4! 24 различных перестановок букв в O1, O и K. Однако если мы опускаем индексы, то O1O2 и O2O1 уже не различаются, тогда общее число перестановок равно Пример. Сколько различных способов расположения трех копий одной новеллы и одной копии других четырех новелл на полке?

Решение. Если обозначить три копии первой новеллы как a1, a2, a и другие четыре новеллы – b, c, d и e, то в данном случае имеем 7! различных способов и 3! способа расположить a1, a2, a3.

Если опустить индексы, то различных способов расположения копий 7 6 5 4 840.

Обобщая эти рассуждения, получим следующее правило.

Правило 6. Число перестановок n объектов, в которых n1 одного сорта, n2 – второго сорта, …, nk – k-го сорта и n1 n2... nk n, Много задач, в которых необходимо определить число способов выбора r объектов из n различных объектов, не обращая внимания на порядок, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями.

Пример. Сколькими способами можно выбрать трех кандидатов из 20-ти человек для общественного опроса?

Решение. Если нам важен порядок при выборе кандидатов, то число комбинаций A20 18 19 20 6840, но каждый ряд из трех кандидатов может быть выбран 3! Способами; если порядок выбора не важен, то всего способов выбора Комбинации без возращения r объектов из n различных объектов, которые отличаются самими объектами, но не их порядком, называются сочетаниями.

Правило 7. Число комбинаций по r объектов из n разных объектов определяется числом C n, число сочетаний может обознаr! (n r )!

чаться как.

Пример. Сколькими различными способами можно при шести подбрасываниях монеты получить 2 герба и 4 решки?

Решение. Так как порядок получения гербов и решек не важен, то, Пример. Сколько разных комитетов из двух химиков и одного физика может быть сформировано на факультете небольшого колледжа, имеющего 4 химика и 3 физика.

Решение. Число комбинаций из четырех химиков по 2 может быть получено C 4 6 (шестью) способами.

Один из трех физиков может быть выбран C3 3 (тремя) способами.

Число комитетов, в соответствии с правилом 1, определяется как Пример. Сколькими способами можно разбить ряд из четырех объектов на три ряда, содержащих соответственно два, один и один объекта?

Решение. Обозначим данные четыре объекта буквами a, b, c, d.

Число разбиений на два, один и один будет 12:

Разбиение из двух объектов можно получить A4 способами, что дает 6 возможностей. Число способов сформировать второе разбиение A1 2. И для третьего разбиения число способов равно 1.

Согласно правилу 2 всего способов разбиения (6 2 1) 12.

Обобщая данный пример, получаем следующее правило.

Правило 8. Число способов, с помощью которых ряд из n различных объектов может быть разбит на k частей с n1 объектами в 1-й части, n2 во 2-й части, … и nk в k-й, определяется как Пример. Сколькими способами 7 бизнесменов могут быть размещены в одном трехкомнатном и двух двухкомнатных номерах в отеле?

Решение. Согласно правилу 8 это можно сделать (двухсотдесятью) способами.

Доказательство правила Так как n1 объектов могут быть выбраны в ряд C n Согласно правилу 2 всего число способов будет определяться в виде 1.1.8. Задание для самостоятельной работы 1. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

2. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

3. Имеются пять билетов стоимостью по 1 рублю;

Наугад выбирается три билета. Определить вероятность того, что:

а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.

б) все три билета стоят 7 рублей.

4. В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 копеек и семь монет достоинством по 3 копейки. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета достоинством в 20 копеек. Определить вероятность того, что и первая монета имеет достоинство в 20 копеек.

5. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:

а) один выигрышный;

б) два выигрышных;

в) хотя бы один выигрышный.

6. В корзине имеется n шаров с номерами от 1 до n, шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность того, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений.

7. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирают одну, а затем из оставшихся четырех – вторую. Допустим, что все 20 возможных исходов равновероятны. Определить вероятность того, что:

а) в первый раз будет выбрана нечетная цифра;

б) во второй раз будет выбрана нечетная цифра;

в) оба раза будут выбраны нечетные цифры.

1.1.9. Условная вероятность и независимость.

Теорема умножения вероятностей При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения.

Постановка задачи такова: нужно определить вероятность события А после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию B.

Пример. Бросается игральная кость. Пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков. Стало известно, что произошло событие В, состоящее в выпадении числа очков меньше четырех. Определить вероятность события А при условии, что наступило событие В.

Решение. Пространство элементарных исходов при бросании игральной кости определяется шестью исходами E e1, e2, e3, e4, e5, e6.

Известно, что произошло событие В, которому благоприятствует исхода: e1, e2, e3.

В этих условиях вероятность события А P( A B) 1, так как соe1, e2, e3.

бытию А благоприятствует исход e2 из E Определение. Условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется отношение числа k тех благоприятствующих А исходов, которые и благоприятствуют В, к числу m всех исходов, благоприятствующих В.

Условная вероятность обозначается P A.

По определению P A B не определена.

Заметим, что Формула (1.3) служит для определения условий вероятности в общем случае. Вероятности P(AB), P(B) называются безусловными.

1.1.10. Свойства условных вероятностей событие, и P A P A PB PC.

3. Если A событие, противоположное A, то P A Пример. Изучается качество техобслуживания, обеспечиваемое пятьюдесятью автомеханиками в определенном городе. Результаты изучения представлены в таблице.

1. Какова вероятность, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили?

2. Если автомеханик случайно выбран и его стаж более 10-ти лет, то какова вероятность, что он хорошо обслуживает автомобили?

1. В данном случае объем выборочного пространства n 50. Пусть G – событие, состоящее в том, что выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомашины. Используя данные из таблицы, имеем m 26, 2. Пусть событие T состоит в том, что выбранный механик имеет стаж более 10-ти лет. В данном случае объем выборочного пространства уменьшается, он равен сумме элементов первой строки: n 16 4 20.

Число благоприятных для события исходов равно 16-ти, m 16, Пример. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что выбранный случайным образом механик проработал менее 10-ти лет и хорошо обслуживает автомобили.

Решение. Пусть T1 – событие, состоящее в том, что механик проработал меньше 10 лет. Событие G состоит в том, что механик хорошо обслуживает автомобили. Для определения условной вероятности PG используем формулу (1.3). Тогда Если обе стороны равенства, определяемого формулой (1.3), умножить на Р(В), то получим следующее правило умножения вероятностей в общем случае:

Правило умножения вероятностей в общем случае, если поменять местами А и В и использовать факт, что A B B A, получим следующее:

Пример. Если из партии, содержащей 240 телевизионных трубок, среди которых 15 с дефектом, выбрать случайным образом две трубки, то какова вероятность того, что они обе с дефектом?

Решение. Предполагаем равновозможность каждого выбора.

Событие А состоит в том, что 1-я трубка будет с дефектом.

Событие В состоит в том, что 2-я трубка будет с дефектом.

Вероятность события А определяется в виде P( A).

Вероятность события В, при условии, что произошло событие А, Событие С, состоящее в том, что обе трубки будут с дефектом, определяется в виде C A B.

Таким образом, вероятность, что обе трубки будут с дефектом, определяется по формуле (1.4а) В этой задаче выбор производился без возвращения, т. е. первая трубка не возвращается в партию перед вытаскиванием второй трубки.

Пример. Определить вероятность того, что будут вытащены 2 туза из колоды из 52 карт, если выбор производится:

a) без возращения;

б) с возращением.

1. Если первая карта не возвращается перед вторым вытаскиванием, то вероятность получения двух тузов определяется в виде 2. Если первая карта возвращается перед вторым вытаскиванием, то вероятность получения двух тузов определяется в виде Формула (1.4) в случае трех событий (А, В и С) в выборочном пространстве Е при условии, что A B 0, имеет вид В теории вероятностей важную роль играет понятие независимости случайных событий.

Определение. Событие А называется независимым от события B, если имеет место равенство P A P(A), т. е, если условная вероятB ность события А, при условии, что событие В произошло, совпадает с безусловной вероятностью события А.

Из определения следует, что два события А и В являются независимыми, если появление или не появление одного из них не влияет на вероятность появления другого события.

Правило умножения вероятностей для двух событий А и В, если А и В независимы, имеет вид Пример. Монета подбрасывается 3 раза. Пусть событие А состоит в том, что герб появляется при первом и втором бросаниях.

Событие В состоит в том, что решка появится при третьем бросании.

Событие С состоит в том, что появятся две решки при трех бросаниях.

Показать, что:

a) события А и В независимы;

б) события В и С зависимы.

Решение. Пространство элементарных исходов В предположении, что все исходы равновозможны, Определение. События A1,..., Ak являются независимыми тогда, и только тогда, когда вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т. е.

для k событий.

1.1.11. Задание для самостоятельной работы 1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0.012, 0.01, 0.006, 0.002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

2. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0.2, 0.15, 0.10. Определить вероятность непопадания в мишень.

3. В двух корзинах находятся шары, отличающиеся только цветом.

В первой корзине 5 белых, 11 черных, 8 красных шаров. Во второй корзине 10 белых, 8 черных и 6 красных шаров. Из обеих корзин наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

4. Студент может уехать в институт или автобусом, или троллейбусом. Автобус ходит через каждые 20 минут, троллейбус ходит через каждые 10 минут. Какова вероятность, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение пяти минут?

5. В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них с вероятностью р выходит. Кроме того, в автобус с вероятностью p0 не входит ни один новый пассажир и с вероятностью (1 – p0 ) входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что, когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем по-прежнему будет n пассажиров.

6. Студент знает 20 из 25-ти вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

7. В корзине находится 8 красных и 6 зеленых шаров. Из корзины вынимается последовательно (без возвращения) два шара. Событие А – первый шар красный, событие В – второй шар зеленый.

Являются ли события А и В независимыми?

8. Из обычной колоды карт (52 карты) берут наугад одну карту.

Пусть событие А состоит в извлечении туза, событие В состоит в извлечении карты масти пики. Являются ли эти события статистически независимыми?

9. Бросают пару игральных костей. Пусть в этом опыте события А и В заключаются в выпадении нечетных чисел на первой и второй костях. Событие С состоит в выпадении нечетной суммы очков. Являются ли эти события:

а) попарно независимыми;

б) взаимно независимыми?

10. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются четыре карты.

Найти вероятность того, что все четыре карты будут разных мастей.

11. Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % всех женщин – дальтоники.

На осмотр прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?

12. Проводится три повторных независимых измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что при одном измерении (любом) ошибка выйдет за пределы допуска, равна 0.1. Найти вероятность следующих событий:

а) во всех измерениях была достигнута заданная точность;

б) не более чем в одном измерении ошибка выйдет за пределы допуска;

в) по крайней мере в двух измерениях подряд была достигнута заданная точность.

1.1.12. Формула полной вероятности. Формула Байеса Формула полной вероятности связывает условную и безусловную вероятности некоторого события А.

Пусть определены и отличны от нуля следующие вероятности:

известно, что A B1 B2... Bk и события Вi ( i 1, k ) попарно несовместны, и событие А может произойти с одним из событий Вi. Тогда вероятность события А может быть определена по формуле полной вероятности, которая имеет вид События Вi называются гипотезами.

Эта формула широко используется на практике.

Пример. Партия деталей содержит 20 % деталей, изготовленных заводом 1; 30 % – заводом 2; 50 % – заводом 3. Для завода 1 вероятность выпуска бракованной детали равна 0.05; для завода 2 – 0.01; для завода 3 – 0.06. Какова вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?

Решение. Событие А состоит в том, что выбранная деталь окажется бракованной. События В1, В2, В3 состоят в том, что деталь изготовлена соответственно заводом 1, заводом 2 и заводом 3.

Из условия задачи P( B1) 0.2 ; P( B2) 0.3 ; P( B3) 0.5 ;

По формуле полной вероятности Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса.

Пусть события Bi попарно несовместны и A B1... Bk (А может произойти с одним из Вi), тогда где P(A) определяется по формуле полной вероятности (1.8).

Значение этой формулы в том, что она связывает вероятности P( Bi A) после наступления события А с вероятностями P(Bi) до наступления события А.

Вероятности P(Bi) называются априорными (до опыта). Вероятности ( Bi A) – апостериорными (после опыта).

Пример. В условиях предыдущего примера стало известно, что наудачу выбранная деталь из партии оказалась бракованной. Чему равна вероятность, что она изготовлена заводом 1, заводом 2, заводом 3?

Решение. Придерживаемся обозначений предыдущего примера.

Необходимо определить вероятности P( B1 A), P( B2 A), P( B3 A).

По формуле Байеса Вероятность, что бракованная деталь принадлежит заводу 3, – самая наибольшая. Отсюда можно сделать вывод, что, скорее всего, она изготовлена на этом заводе.

При решении задач с применением формулы Байеса можно использовать диаграмму, представленную на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Диаграмма (дерево) для формулы Байеса Для предыдущего примера диаграмма имеет вид (рис. 1.4) 1.1.13. Задание для самостоятельной работы 1. Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков равна соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трх стрелков имелось 2 попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

2. Принимая во внимание, что вероятность рождения однополых близнецов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рождения близнецов разного пола в любой последовательности одинаковы, а вероятность рождения в двойне первым мальчика равна 0.51. Определить вероятность рождения второго мальчика, если первым родился мальчик.

3. В первой корзине находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй корзине – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой корзины случайным образом (без возвращения) удалили по одному шару, а оставшиеся шары поместили в третью корзину. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей корзины, окажется белым.

4. В пункте проката имеется десять телефонов, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.9, и пять телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.

5. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно перелить кровь любой группы; имеющему 2-ю группу или 3-ю можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й; имеющему 1-ю группу можно перелить кровь только 1-й группы.

Среди населения:

33.7 % имеют 1-ю группу крови;

37.5 % имеют 2-ю группу крови;

20.9 % имеют 3-ю группу крови;

7.9 % имеют 4-ю группу крови.

Определить вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

6. Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную – с вероятностью 0.05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

7. Наджность определения туберкулза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 %. Вероятность того, что у здорового человека будет установлен ТБЦ, равна 1 %. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним % больных, равным 0.1 %. Какова вероятность, что человек, признанный больным, действительно является носителем ТБЦ?

8. Рассматриваются причины неудачного запуска космической ракеты. Высказаны четыре гипотезы: Н1, Н2, Н3, Н4. Р(Н1)=0.2, Р(Н2)=0.4, Р(Н3)=0.3, Р(Н4)=0.1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности Р(А/Н1)=0.9, Р(А/Н2)=0, Р(А/Н3)=0.2, Р(А/Н4)=0.3. Какая из гипотез наиболее вероятна в данных условиях?

9. Два охотника, Семн и Иван, отправились на охоту, увидели медведя и одновременно по нему выстрелили. Медведь был убит, и в его шкуре обнаружено одна пробоина. Кому из охотников принадлежит эта шкура, если Семн попадает в цель с того расстояния, с которого был сделан выстрел, с вероятностью 0.8, а Иван – с вероятностью 0.4.

Шкуру медведя продали за 5000 р. Как надо разделить эту сумму между Семном и Иваном?

10. Машина А производит 10 % определенного продукта. Машина В – 40 %, машина С – 50 %. 5 % продукта, производимого машиной А, – с дефектом; 12 % продукта, производимого В, – с дефектом; 8 % продукта, производимого С, – с дефектом. Инспектор выбрал продукт случайным образом и обнаружил, что он с дефектом. Определить вероятность того, что продукт произведен машиной А, или В, или С.

1.1.14. Испытания Бернулли. Формула Бернулли Пусть имеется n независимых испытаний, в каждом из которых появляется событие А с вероятностью p и A – с вероятностью q, q p 1.

Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Если происходит событие А, то говорят, что имеет место успех.

Найдем Pn (m) – вероятность появления m успехов из n испытаний.

Каждый исход испытаний можно представить последовательностью ei {, }, в которой содержится ровно m событий А и (n m) событий A. Число таких последовательностей равно числу способов выбрать m элементов из n элементов, не отличающихся поm рядком, всего – C n.

Вероятность появления каждой такой последовательности, ввиду независимости испытаний, равна произведению вероятностей, т. е.

p mq n m ; так как события ei несовместны, то по теореме сложения Эта формула носит название формулы Бернулли.

Пример. Завод выпускает изделия, из которых 5 % являются бракованными. Для проверки взяты 5 изделий. Какова вероятность, что среди них окажется не менее двух бракованных?

Успех – изделие бракованное. Вероятность успеха p 0.05 ;

q 0.95.

n 5 – число испытаний с вероятностью успеха p 0.05 ;

А – среди деталей не менее двух бракованных;

A – среди деталей менее двух бракованных.

1.1.15. Наиболее вероятное число успехов Наивероятнейшее число успехов – это такое число, вероятность которого самая большая среди всех вероятностей.

Это число определяется из соотношения Пример. По данным наблюдений доля солнечных дней в июле составляет 70 %. Найти наиболее вероятное количество солнечных дней.

Решение. Можно считать, что имеются n 30 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p 0.7, тогда q 0.3, и наиболее вероятное значение будет Если значения np q и np p являются вещественными числами, то выбирается наибольшее из них, и число успехов (наиболее вероятное) равно целой части этого числа, т. е. m* 21.

Если np p и np q являются целыми числами, то m* равно двум этим числам.

1.1.16. Формула Пуассона Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Pm,n появления события А при большом числе испытаний n, например P300,500.

По формуле Бернулли Вычисление по формуле Бернулли в этом случае технически сложно, поэтому используют приближенные формулы для вычисления Pm,n при больших n. Такие формулы называются асимптотическими и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа.

Теорема Пуассона. Если вероятность наступления события А в каждом испытании стремится к нулю ( p 0) при неограниченном увеличении числа испытаний (n ), причем произведение np стремится к постоянному числу (np ), то вероятность Pn (m), что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству т. е. если p – постоянно и мало, Пример. На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что 1-е сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1-го сентября p – мала, n 1825 – велика, np 5 10, то 1.1.17. Задание для самостоятельной работы 1. Если 30 % студентов данного курса имеют слабое зрение, то какова вероятность, что 5 студентов из 10-ти имеют слабое зрение?

2. Вероятность того, что Вы выиграете в шахматы равна 0.33. Определить вероятность того, что Вы выиграете 4 партии, если у Вас 6 соперников.

3. Телефонная станция обслуживает 500 абонентов. Вероятность позвонить на коммутатор любому абоненту в течение часа – 0.01. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента?

4. В корзине 5 белых и 50 черных шаров. Какова вероятность того, что при 10-ти выборках с возвращением 3 раза будет выниматься белый шар? Определить вероятность, используя формулу Бернулли и Пуассоновское приближение.

5. В 1000 представлениях докладов о преимуществах телекоммуникационный связи:

а) 63 % указывают на уменьшение стрессов;

б) 58 % – на повышение активной деятельности;

в) 79 % указывают на рекламирование повышения морали.

Случайно выбираются 20 докладов. Каково наиболее вероятное число докладов, в которых указывается:

а) на уменьшение стрессов;

б) на повышение активной деятельности;

в) на рекламирование повышения морали?

6. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин. Всего на маршруте 10 машин. Вероятность невыхода машины равна 0.1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

1.1.18. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа Локальная формула Муавра-Лапласа Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn (m) того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна чем больше n, тем точнее формула (1.13). Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия npq 20.

Функция f (x) протабулирована. Пользуясь таблицей, необходимо иметь в виду свойства этой функции.

1. Функция f (x) является четной, т. е. f ( x) f ( x).

2. Функция f (x) монотонно убывающая при положительных значениях x, причем f ( x) 0 при x.

Пример. В некоторой местности из каждых ста семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность, что из четырехсот семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, npq 100 0.8(1 0.8) 64 20. Условие выполнено.

По формуле Значение f (2.5) найдено по табл. IV Приложения.

Пусть в условиях данного примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360-ти семей (включительно) имеют холодильники, в этом случае по теореме сложения вероятность искомого события P400 (300 m 360) P400 (300) P400 (301)... P400 (360).

Значение из слагаемых можно вычислить по локальной теореме Муавра – Лапласа, но это слишком громоздко. В этом случае можно использовать интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно) при достаточно большом числе n приближенно равна Чем больше n, тем точнее формула; при npq 20 формула дает незначительную погрешность.

Свойства функции Лапласа 1. Функция Ф(x) нечетная 2. Функция Ф(x) монотонно возрастающая; при x Ф( x) 1, практически уже при x 4 Ф( x) 1.

Пример. По данным предыдущего примера где Следствие. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от произведения np не более чем на величину 0 (по абсолютной величине), то чительно):

в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину 0 (по абсолютной величина), т. е.

1.1.19. Задание для самостоятельной работы 1. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что при десяти независимых выборах с последующим возвращением шара будет выниматься 6 раз белый шар?

2. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что при ста независимых испытаниях с последующим возвращением шара белый шар будет выниматься 60 раз? Каково наиболее вероятное число появления белого шара?

3. В корзине 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что при ста независимых испытаниях с последующим возвращением шара не менее 80-ти раз будет выниматься белый шар?

4. Вероятность того, что с конвейера сойдет бракованный прибор, равна 0.02. За смену было изготовлено 3600 приборов. Найти максимальное отклонение относительной частоты появления бракованных приборов от вероятности 0.02, если вероятность такого отклонения равна 0.95.

5. Вероятность того, что на станке-автомате будет изготовлена деталь, размеры которой отклонятся от стандарта, равна 0.01. Сколько надо изготовить деталей, чтобы с вероятностью 0.99 ожидать, что отклонение частоты появления нестандартной детали от вероятности ее появления не будет больше, чем 0.03.

6. Известно, что при контроле бракуется 10 % изделий. Для контроля отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей не менее 550 и не более 575 стандартных деталей.

Тема 2. Законы распределения случайных величин 1.2.1. Дискретные случайные величины Во многих прикладных задачах интерес представляет не сам исход эксперимента, а некоторое число, связанное с этим исходом. Например, при подбрасывании двух игральных костей интерес представляет сумма выпавших очков. Тогда каждому исходу (1,1), (1,2), …, (5,1), …, (6,6) будет соответствовать число, равное сумме очков, т. е. 2, 3, …, 6, …, 12.

При двух выстрелах по цели интерес представляет число попаданий.

Выборочное пространство включает в себя следующие исходы:

E {ПП, ПН, НП, НН}, где П – попал, Н – не попал.

Каждому исходу можно поставить в соответствие следующие числа: 2, 1, 1, 0.

Определение. Случайной величиной называется числовая функция X (ei ), где ei – исходы эксперимента.

В литературе также встречается еще одно определение случайной величины как величины, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее (до опыта) неизвестное.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами X, Y, Z, …, а их конкретные значения – маленькими буквами x, y, z… Пример. Два носка выбираются случайным образом из ящика, в котором находится 5 коричневых и 3 зеленых. Записать элементы выборочного пространства, соответствующие вероятности, и значения случайной величины X, где X – число коричневых носков.

Пусть событие В состоит в вытаскивании коричневого носка.

Событие G состоит в вытаскивании зеленого носка.

Результаты можно представить в табл. 1.1.

Элементы пространства Значения величины Таким образом, для случайной величины, принимающей, например, значение 2, можно написать P( X 2).

В данном примере рассмотрена случайная величина дискретного типа.

Определение. Дискретной случайной величиной называется величина, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений.

Определение. Для дискретной случайной величины Х функция f ( x) P( X x), заданная для каждого значения х, называется законом распределения вероятностей для случайной величины Х.

Из аксиом вероятностей следует, что функция f (x) может быть законом распределения случайной величины Х тогда, и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. f ( x) 0 для каждого возможного значения Х.

f ( x) 1, суммирование для всех возможных значений Х.

Закон распределения f ( x) P( X x), представленный для указанного примера в табл. 1.2, называется еще рядом распределения.

Ряд распределения случайной величины Ряд распределения представляется графически в виде многоугольника распределения. В этом случае по оси х откладываются все возможные значения Х, а по оси y – соответствующие им вероятности. Для примера с выбором носков многоугольник распределения имеет вид (рис. 1.5).

распределения дискретной случайной величины для х, принимающего значения 1, 2, 3, 4, 5.

Подставляя различные значения х в f (x), получаем f (1) ;

Так как все значения функции f (x) неотрицательны и в сумме дают то f (x) может являться законом распределения дискретной случайной величины, принимающей значения {1,2,3,4,5}.

1.2.2. Функция распределения дискретной случайной величины Во многих задачах необходимо знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше (или равное) некоторого значения х.

Запишем вероятность того, что Х принимает значение меньше (или равное) х как F ( x) P( X x).

Определение. Функция F ( x) P( X x) называется функцией распределения случайной величины Х.

Для дискретной случайной величины где xi – значения, принимаемые случайной величиной Х;

P( xi ) – значения вероятностей при X xi ;

х – некоторое фиксированное значение Х.

Свойства функции распределения вытекают из аксиом вероятностей и их следствий и определяются в виде:

2. Если a b, то F (a) F (b) для любых значений a и b (функция неубывающая).

При решении практических задач часто возникает необходимость вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от a до b или P(a X b). Эта вероятность выражается через F (x) следующим образом.

Пусть событие А состоит в том, что X b, событие В состоит в том, что X a, событие С состоит в том, что a X b.

Учитывая, что A B C, по теореме сложения вероятностей имеем отсюда Пример. Определить функцию распределения числа гербов при четырех подбрасываниях монеты.

Решение Объем выборочного пространства в данном случае n 16 :

Ряд распределения в данном случае представлен в табл. 1.3.

Используя формулу (1.23), определим значения функции распределения F (x) :

Функция распределения представляется в следующем виде:

Данная функция распределения может быть определена не только для значений, принимаемых случайной величиной, но и для всех вещественных чисел. Например:

Рассмотрим построение графика функции распределения для предыдущего примера.

По оси x откладываются значения случайной величины X, по оси y – значения функции F (x). Полученный график представлен на рис. 1.6.

Рис. 1.6. График функции распределения числа выпавших гербов Во всех точках разрыва функция распределения делает скачок, равный вероятности того, что случайная величина Х примет данное значение.

Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения i 2,3,...,n.

Функция распределения F (x) является универсальной характеристикой случайной величины. С помощью функции распределения задается закон распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

1.2.2. Непрерывные случайные величины Определение. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая может принять любое значение из заданного числового отрезка.

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Этот вывод можно получить из соотношения (1.24), согласно которому P(a X b) F (b) F (a) для дискретных случайных величин.

Если неограниченно уменьшать отрезок (a, b), полагая b a, то в пределе получим не вероятность попадания на участок, а вероятность того, что случайная величина X a, т. е.

Если функция F (x) непрерывна в точке а, то этот предел равен нулю.

Непрерывными случайными величинами называют еще величины, функция распределения которых везде непрерывна. Таким образом, обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные (как определялось ранее), а и возможные события. Это появляется при рассмотрении экспериментов, не сводящихся к схеме случаев.

Как указывалось ранее, закон распределения для непрерывной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения.

Кроме этого, для задания закона распределения непрерывной случайной величины используется функция f ( x) F ( x), которая называется плотностью вероятности и которая является производной от функции распределения. Поэтому ее еще называют дифференциальной функцией, а функцию распределения называют интегральной функцией.

Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения; пример кривой распределения представлен на рис. 1.7.

Рис. 1.7. График плотности распределения, Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок от a до b определяется в виде Геометрически вероятность попадания случайной величины X на участок (a, b) равна площади под кривой распределения, опирающейся на этот участок (см. рис. 1.8).

Рис. 1.8. Геометрическая интерпретация вероятности попадания случайной величины на отрезок от a до b Заметим, что f (c) – величина плотности распределения в точке с – не определяет значение P( X c), как в случае дискретной случайной величины. Для непрерывных случайных величин вероятность определяется для некоторого интервала и, как уже указывалось, P( X c) 0 для любого значения с.

Из этого следует, что не имеет значения, включаются точки a и b в интервал или нет, т. е.

1.2.3. Свойства плотности вероятности Из аксиом вероятности следует, что плотность вероятности f (x) непрерывной случайной величины Х удовлетворяет:

Функция распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f (x) определяется в виде Свойства функции распределения для непрерывной случайной величины такие же, как для дискретной случайной величины, т. е.

1.2.4. Числовые характеристики случайных величин К основным числовым характеристикам относятся характеристики положения и характеристики рассеяния значений случайной величины.

Формулы для определения этих характеристик зависят от того, является ли случайная величина дискретной или непрерывной.

Основной характеристикой положения или расположения случайной величины является математическое ожидание, обозначаемое M (x) и определяемое по следующим формулам:

В формуле (1.27) xi – возможные значения случайной величины, pi – соответствующие им вероятности.

В формуле (1.28) f (x) – плотность распределения случайной величины.

Пример. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 10 руб. и одна стоимостью 30 руб. Определить математическое ожидание чистого выигрыша для студента, если он приобрел 1 билет стоимостью 1 руб., а всего билетов 50.

Решение. Пусть Х – случайная величина, характеризующая сумму чистого выигрыша для студента.

Х может принять значение: 1, если студент ничего не выиграет;

Чтобы определить математическое ожидание выигрыша, необходимо определить вероятность каждого выигрыша:

Закон распределения случайной величины Х имеет вид Пример. Случайная величина Х, принимающая значения размеров диаметра болта, имеет плотность распределения Определить математическое ожидание случайной величины Х.

Решение. Так как случайная величина Х непрерывного типа, то 1.2.5. Свойства математических ожиданий 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.

Доказательство Постоянную величину a можно рассматривать как случайную, которая принимает лишь одно значение a с вероятностью 1, поэтому 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. M [kX ] kM[ X ].

Доказательство KX – это случайная величина, которая принимает значение Kx i и P( KX kxi ) pi, i 1,2,...,n. Математическое ожидание KX:

Следующие свойства приводятся без доказательства.

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Следствие. Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

5. Если все значения случайной величины Х уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то математическое ожидание е уменьшится (увеличится) на то же число С.

Следствие. Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от е математического ожидания равно нулю.

1.2.6. Дисперсия случайной величины Математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения, представленными в нижеприведенных таблицах.

Математические ожидания их одинаковы и равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина Х может принимать значения, мало отличающиеся от математического ожидания.

Случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания, и вероятности их не малы.

Так, при одинаковой средней величине осадков, выпадающих в двух местностях за год, нельзя сказать, что климат этих местностей одинаков.

Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него возможны. А тем не менее умение дать оценку рассеяния имеет важное значение.

Самой используемой характеристикой разброса значений случайной величины является дисперсия, обозначаемая символами D[X ], D X или 2.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения е от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины Для непрерывной случайной величины где m X – значение математического ожидания.

Пример. Вычислить дисперсии для случайных величин X и Y, законы распределения которых приведены в начале данного параграфа.

Решение Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия величины Х очень мала, а случайной величины Y значительная.

В общем случае, если дисперсия случайной величины мала, то малы отклонения от матожидания, а если существуют значения xi, сильно отклоняющиеся от матожидания, то они маловероятны.

Если же дисперсия велика, то это указывает на существование значений случайной величины, которые сильно отклоняются от е математического ожидания, причем не все они маловероятны.

Кроме дисперсии, характеристикой рассеяния является среднее квадратическое отклонение, которое является корнем квадратичным из дисперсии: D[X ]. Среднее квадратическое отклонение имеет размерность значений случайной величины, в то время как дисперсия имеет размерность квадрата размерности значений случайной величины.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение – это теоретические величины, и они не являются случайными. Это постоянные величины.

1.2.7. Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство Так как постоянную величины a можно считать случайной величиной, которая принимает только одно значение a с вероятностью M [a] a, поэтому 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т. е.

где K – постоянная величина.

Доказательство Пусть Х – данная случайная величина, тогда KX – новая случайная величина. Используя свойство 2 математического ожидания, имеем 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата математического ожидания:

Доказательство Обозначим M (X ) через a, имеем M 2aX 2aM X, а M a 2 a 2, так как a – величина постоянная.

Поэтому Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, имеющей следующий закон распределения:

Формула (1.32) упрощает вычисление дисперсии.

Следующие свойства приводятся без доказательства.

4. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

1.2.8. Моменты Математическое ожидание, определение которого было дано в предыдущем параграфе, называется еще моментом, а точнее, начальным моментом первого порядка случайной величины. Этот момент обозначается и называется еще средним, или генеральным средним.

Определение. Начальным моментом r-го порядка дискретной случайной величины называется для r 0,1,2...

Определение. Начальным моментом r-го порядка для непрерывной случайной величины называется Термин «момент» пришел из физики. Если p(x) является точкой масс, действующей перпендикулярно оси Х на расстоянии х от начала координат, то 1 является «центром тяжести масс», т. е. первый момент, Определение. Центральным моментом порядка r для дискретной случайной величины называется величина где – математическое ожидание.

Определение. Центральным моментом порядка r для непрерывной случайной величины называется величина Дисперсия является центральным моментом второго порядка для случайной величины, обозначаемым D[X ], 2 или var(X ).

Третий центральный момент 3 описывает симметрию распределения, через него вводится показатель асимметрии в виде 1.2.9. Наиболее часто встречающиеся дискретные Одним из наиболее широко известных распределений является биномиальный закон распределения.

Считается, что случайная величина имеет биномиальный закон распределения, если выполняются следующие предположения или схема Бернулли:

– имеется n независимых испытаний;

– каждое испытание имеет только два исхода, обозначенных как «успех» и «неудача»;

– вероятность «успеха» p и «неудачи» q 1 p являются постоянными от испытания к испытанию.

Что считать «успехом» и «неудачей» – зависит от поставленной задачи.

Пример. При анализе качества выпускаемой продукции обнаружение контролером среди n деталей бракованного считается «успехом»

и годного изделия – «неудачей».

При биномиальном распределении испытания должны быть независимыми. Это требование выполняется для экспериментов, где независимость вытекает из самого эксперимента (подбрасывание монеты, подбрасывание игральной кости) или в экспериментах с возвращением.

Пример. Предположим, 5 % деталей в корзине – с браком. Вероятность вытаскивания бракованного изделия при первом вытаскивании p 0.05. Если первая деталь возвращается в корзину, то вероятность вытащить бракованную деталь сохраняется и равна p 0.05. В этом случае испытания являются независимыми. Если бракованная деталь не возвращается в корзину, то вероятность вытаскивания бракованной детали изменяется. Испытания не являются независимыми.

Вероятность того, что при n испытаниях случайная величина Х примет значение m, равное числу «успехов», определяется по биномиальному закону распределения в виде Формула (1.38) носит название формулы Бернулли.

Биномиальное распределение имеет два параметра: n и p.

Пример. Производится 4 независимых выстрела, вероятность попадания p 0.25. Определить закон распределения случайной величины Х, равной числу попаданий.

Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону, которая в данном случае принимает значения 0,1,2,3,4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение i, где i 0,1,2,3,4, определяется по формуле (1.38) в виде Закон распределения представляется следующей таблицей (рядом распределения):

Гипергеометрическое распределение применяется к испытаниям, которые проводятся без возвращения.

Гипергеометрическое распределение, подобно биномиальному, состоит из двух исходов: «успеха» и «неудачи», но в данном случае необходимо знать пропорцию «успехов» и «неудач».

Считается, что случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение, если выполняются следующие условия:

– испытания проводятся без возвращения;

– каждый исход эксперимента является «успехом» или «неудачей»;

– число испытаний N конечно;

– число успехов M в испытаниях известно.

В этом случае где N, M, n – натуральные числа;

Пример. Из партии, содержащей M белых и N M черных шаров, наудачу извлекается n шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется k белых?

Решение. В этом примере случайная величина Х, равная числу белых шаров, имеет гипергеометрическое распределение, так как испытания проводятся без возвращения, число испытаний N конечно, результат испытания «успех» – выбор белого шара, «неудача» – выбор черного шара. Число «успехов» или число белых шаров известно и равно M:

Пример. 24 человека, среди которых 8 женщин, подали заявление на работу. Если 5 претендентов выбраны случайно, то какова вероятность, что среди них будет 3 женщины?

Решение. Число испытаний N 24. Выборка из 5-ти человек сделана без возвращения. Известно число «успехов» ( M 8 женщин) и «неудач» ( N M 24 8 16 мужчин).

Вероятность, что X 3, определяется в виде 1.2.10. Геометрическое распределение Для бесконечной последовательности испытаний в схеме Бернулли случайная величина Х, равная числу испытаний до первого успеха включительно, имеет геометрическое распределение где p – вероятность успеха.

Пример. Вероятность того, что некоторая деталь окажется дефектной, равна p. В случае обнаружения дефекта линию останавливают и делают переналадку. Составить ряд распределения для числа Х годных деталей между переналадками.

Решение. Случайная величина Х принимает значения 0,1,2,...,k,...;

X k, когда k 1 -я деталь окажется дефектной. Следовательно, P X k q k p k 0,1,2,... и ряд распределения представляется в виде 1.2.11. Распределение Пуассона Распределение Пуассона и биномиальное распределение имеют некоторое сходство, но имеют и некоторые различия. Биномиальное распределение описывает распределение двух возможных исходов: «успеха» и «неудачи» в конечном числе n независимых испытаний. Распределение Пуассона сконцентрировано только на числе дискретных исходов на некотором интервале или континууме. Для него неважно число экспериментов n, как для биномиального распределения.

Распределение Пуассона описывает появление редких событий, и его еще называют законом «неправдоподобных» событий.

Распределение Пуассона имеет следующие характеристики:

– дискретное распределение;

– описывает редкие события;

– каждый исход является независимым от другого;

– описывает дискретные исходы на интервале или на континууме;

– исходы на каждом интервале могут быть проранжированы от нуля до бесконечности (случайная величина Х может принимать значения 0,1,2,...,m,...).

Распределение Пуассона определяется как Параметр a является средним для данного интервала, значение которого должно сохраняться для всего данного эксперимента.

Значение параметра a для закона Пуассона совпадает с дисперсией, и это используется для подтверждения того, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Распределение Пуассона используется для аппроксимации биномиального закона распределения при n 25 и p 0.1. В этом случае a np, где n – число независимых экспериментов, p – вероятность «успеха» в одном эксперименте.

Учитывая это, вероятность m «успехов» в n испытаниях определяется в виде Примечание. Существует правило большого пальца, которое состоит в следующем. Если n 20 и np 7, то можно использовать распределение Пуассона вместо биномиального.

Пример. 2 % книг имеют дефект в переплете. Определить вероятность того, что 5 из 400 книг имеют дефект в переплете.

Решение. Так как n 25 и p 0.1, то воспользуемся аппроксимацией биномиального закона законом Пуассона. Тогда a np 400 0.02 8, e 8 0.00034 (см. табл. V Приложения):

Пример. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0.375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 часов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее двух и не более четырех обрывов).

Решение. Так как задано значение 0.375 – среднее значение обрыва нити за час, то параметр a, характеризующий среднее число обрыва нити за смену (на всем периоде), определяется в виде a 0.375 8 3. Тогда где Примечание. Если интервалы для параметра a и наблюдений Х разные, то необходимо, чтобы среднее было определено на том же интервале, что и наблюдения, но не наоборот.

1.2.12. Задание для самостоятельной работы 1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0.2:

а) составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов;

б) определить математическое ожидание;

в) определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют.

а) составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за три выстрела;

б) определить матожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0.9, второй задачи – 0.8, третьей задачи – 0.7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете. Определить матожидание и дисперсию.

4. Из пяти гвоздик – две белого цвета. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых. Определить функцию распределения случайной величины числа белых гвоздик.

5. Дана функция распределения случайной величины X.

Определить:

а) ряд распределения;

б) M(X), D(X);

в) построить многоугольник распределения;

г) график функции распределения.

6. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Определить матожидание и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

7. При сборке прибора для наиболее точной подгонки основной детали может потребоваться 1,2,3,4 или 5 проб с вероятностями 0.07, 0.21, 0.55, 0.16, 0.01. Сколько деталей надо отпустить сборщику для сборки тридцати приборов?

8. Спортсмен производит ряд попыток забросить мяч в кольцо. При каждой попытке (независимо от других) попадание в кольцо происходит с вероятностью 0.7. Как только мяч попал в кольцо, попытки прекращаются.

Случайная величина X – число попыток, которые необходимо произвести.

Составить ряд распределения этой случайной величины.

9. Пусть вероятность изготовления нестандартного изделия равна 0.06. Контролер берет из партии изделие и сразу его проверяет. Если изделие оказывается нестандартным, то проверка прекращается и партия бракуется. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер берет следующее изделие, но проверяет не более пяти изделий.

Составить закон распределения и функцию распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения.

10. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1.5 минут, желтый – в течение 0.3 минут, красный – в течение 1.2 минуты. Составить закон распределения случайной величины, определяющей число остановок автомобиля. Определить M(X), D(X).

1.2.13. Наиболее часто встречающиеся непрерывные Нормальный закон распределения Нормальное распределение является краеугольным камнем современной статистической теории. Оно было исследовано впервые в XVIII в., когда ученые наблюдали удивительную регулярность в ошибках измерений. Они обнаружили, что распределение, которое они наблюдали, могло бы быть аппроксимировано непрерывной кривой, которую назвали «нормальной кривой ошибок». Математические свойства нормальных кривых впервые были изучены известными математиками, такими, как Муавр, Лаплас и Гаусс. Иногда нормальную кривую называют Гауссовой кривой, а нормальный закон – Гауссовым.

Нормальный закон распределения проявляется в тех случаях, когда случайная величина Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно, и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные.

Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить отклонения действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; отклонения при стрельбе и др.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если е плотность распределения имеет вид где (матожидание) и (среднеквадратическое отклонение) являются параметрами нормального распределения. Факт, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, обозначается N (, ).

Функция распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение, имеет вид График плотности нормального распределения (кривая распределения или кривая Гаусса) имеет вид, представленный на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Кривая нормального распределения Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

– кривая распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку mx ;

– кривая имеет один максимум при x mx, равный ;

– при x ветви кривой асимптотически приближаются к оси 0 X ;

– в точках x mx кривая имеет перегиб.

Каждая пара параметров m X, дает свое нормальное распределение.

На рис. 1.10 представлены графики кривых нормальных распределений с параметрами:

Рис. 1.10. Кривые нормального распределения Чтобы избежать трудностей при работе с нормальным распределением, нормальное распределение с параметрами mx, преобразуется в единственное распределение с параметрами mx 0 и 1, т. е.

в N 0,1, которое называется стандартизованным нормальным распределением, или Z -распределением. Формула преобразования для случайной величины X, имеющей нормальное распределение N mx, имеет вид Величина Z представляет отклонение случайной величины X от математического ожидания mx в числе стандартных отклонений.

Пример. Определить Z -величину случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами 50 и 10, если X 70.

Этот результат говорит о том, что случайная величина X отклоняется от математического ожидания на 2 стандартных отклонения вправо.

Кривая нормального распределения с параметрами 0 и имеет вид, представленный на рис. 1.11.

Кривая распределения N 0,1 имеет следующие свойства:

– она симметрична относительно оси ординат;

– имеет точки перегиба x 1;

– при x кривая распределения приближается к оси абсцисс.

выражается через элементарные функции, то для расчета вероятностей составлены таблицы специальной функции которая называется интегралом вероятностей, или функцией Лапласа (см. табл. I Приложения).

Как уже указывалось, функция x является нечетной (см. с. 33):

поэтому в таблице приведены значения x только для положительных х. График функции Лапласа приведен на рис. 1.12.

С помощью функции Лапласа можно вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал от x1 до x2, т. е. Px1 X x2 :

Для симметричного интервала Интеграл вероятностей (или функция Лапласа), для которого составлены таблицы, может определяться еще в виде Как известно, вероятность попадания случайной величины на интервал от x1 до x2 может определяться и с использованием функции распределения в виде Функция распределения стандартизованного нормального распределения N 0,1 имеет вид Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами m X и, выражается через функцию распределения стандартизованного нормального распределения в виде С учетом этого вероятность попадания случайной величины Х на участок от x1 до x Функция распределения стандартизованного нормального распределения имеет следующие свойства:

N 0,1 – неубывающая функция;

из симметричности нормального распределения с параметрами mx 0, 1 относительно начала координат следует, что Функция стандартизованного нормального распределения N 0, связана с функцией Лапласа соотношениями вида:

Значения функции N 0,1 протабулированы (см. табл. II Приложения).

Пример. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с mx 375 г и 25 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.

с использованием табл. II Приложения По формуле (1.49), с учетом соотношений (1.50) с использованием табл. I Приложения На практике часто возникает необходимость определения значения z p из уравнения z p p.

В данном случае z p называется квантилем уровня p, где p – заданная вероятность.

Если рассматривается функция стандартизованного нормального распределения N 0,1, то следует обратить внимание, что значения N 0,1 в таблице (см. табл. II Приложения) задаются, начиная со значения, равного 0.5.

Пример. Пусть необходимо определить z p из условия N 0,1 0.05.

Решение. По определению функции распределения нужно найти z p из условия P Z z p 0.05. Так как значения 0.05 нет в таблице, то, используя свойство функции стандартизованного нормального распределения, из табл. II Приложения z p 1.64.

Квантили нормального распределения связаны следующим соотношением:

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания mx меньше 0, определяется формулой или с использованием функции Лапласа x – в виде Эмпирическое правило для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону распределения, утверждает процент значений случайной величины, находящихся от m X на расстоянии 1, 2, 3 (табл. 1.4).

Это правило часто называют правилом «3-х сигм». Это правило позволяет ориентировочно указать интервал практически возможных значений для случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения при известных mx и.

1.2.14. Задание для самостоятельной работы 1. Для нормально распределенной случайной величины определить: