МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания,

контрольные задания и типовые примеры

по теоретической электротехнике

Часть II

Рассмотрено на заседании

кафедры электромеханики и ТОЭ.

Протокол № 8 от 19.05.04.

Утверждено на заседании учебноиздательского совета ДонНТУ.

Протокол № 13 от 23.06.04.

2004 2 УДК 621.3.01 (07) Методические указания, контрольные задания и типовые примеры по теоретической электротехнике. Часть II / Под общей редакцией проф.

В.Ф. Денника. – Донецк: ДонНТУ, 2004. – 80 с.

Настоящие методические указания предназначены для студентов заочного факультета. Они являются продолжением аналогичных методических указаний по первой части дисциплин, которые могут быть объединены понятием «Теоретическая электротехника» (ТОЭ, теория электрических и магнитных цепей, теория электромагнитного поля и др.), и содержат задания для контрольных работ, указания по их выполнению и решение типовых примеров по следующим разделам «Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами», «Установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными параметрами», «Нелинейные электрические и магнитные цепи постоянного тока», «Нелинейные цепи переменного тока» и «Переходные процессы в нелинейных цепях».

Составители: В.Ф. Денник, проф.

М.М. Фёдоров, проф.

А.В. Корощенко, доц.

В.П. Чорноус, доц.

В.Х. Антамонов, доц.

Е.А. Журавель, ст.пр.

В.И. Фурсов, ст.пр.

М.В. Апухтин, асс.

Рецензент С.В. Шлепнёв, доц.

Отв. за выпуск В.Ф. Денник, проф.

CОДЕРЖАНИЕ

Общие указания к выполнению контрольных работ………………………. 6. Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами …… 7. Установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными парамерами……………………………………………………………………….. 8. Нелинейные электрические и магнитные цепи постоянного тока…..… 9. Нелинейные цепи переменного тока…………………………………….. 10. Переходные процессы в нелинейных цепях …………………………... Литература ……………………………………………………………………

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Изучение дисциплин, которые могут быть объединены понятием «Теоретическая электротехника», требует систематической, самостоятельной работы над учебной литературой, выполнения лабораторного практикума и решения задач контрольных работ в соответствии с рабочей программой, которая должна выдаваться каждому студенту на установочных лекциях.

Работа над контрольными заданиями позволяет приобрести навыки практической работы по проектированию электроустановок и схем управления ими, научиться грамотно принимать технические решения, обоснованно и лаконично их излагать. Контрольные работы выполняются после изучения студентами соответствующих разделов курса по учебнику или учебному пособию с учетом следующих требований.

1. По каждой задаче нужно привести полный текст задания, расчетную схему, численные значения параметров цепи.

2. Задачи с небольшой расчетной частью рекомендуется решать в общем виде и затем в полученные формулы подставлять числовые значения величин.

3. Для задач с громоздкими вычислениями необходимо сначала показать общий метод решения, составить соответствующие уравнения, которые удобнее затем решать с подставленными числовыми значениями.

4. Все графические построения необходимо выполнять тщательно (с применением чертежных принадлежностей) и с обязательным указанием принятых масштабов.

5. Результаты, полученные при решении задачи, по возможности, рекомендуется проверить несколькими методами.

6. Если при решении задачи или при изучении теоретического материала возникнут трудности, необходимо обратиться за консультацией к преподавателю, указывая при этом свои соображения по решению задач.

Работа над контрольным заданием помогает студентам проверить степень знания курса, вырабатывает навыки четко и кратко излагать свои мысли.

Для успешного достижения этой цели необходимо руководствоваться следующими правилами:

- начиная решение задачи, необходимо иметь четкое представление о том, какие физические законы или расчетные методы положить в основу ее решения;

- тщательно продумать, какие буквенные символы использовать при решении задачи, причем необходимо пояснить значение каждого символа словами или же соответствующими изображениями на схеме;

- в начале решения задачи выбрать положительные направления искомых токов (или других величин), указать их на схеме стрелками и обозначить соответствующими буквами с индексами;

- если одна и та же задача решается двумя методами, то в обоих случаях одна и та же величина должна обозначаться одинаково;

- промежуточные и окончательные результаты должны быть выписаны на отдельных строчках и ясно выделены из общего текста;

- решение задачи не следует перегружать приведением всех алгебраических преобразований и арифметических расчетов;

- при вычерчивании электрических схем следует строго соблюдать обозначения и размеры, предусмотренные ГОСТом;

- каждый этап решения задачи должен сопровождаться соответствующими пояснениями;

- при построении графиков на осях координат надо наносить равномерные шкалы и указывать величины, откладываемые по осям координат, а также единицы их измерения.

На титульном листе контрольного задания следует указать номер задания, фамилию, имя и отчество студента, шифр и домашний адрес.

Контрольная работа должна быть подписана студентом.

После рецензирования контрольной работы преподавателем студент обязан исправить имеющиеся ошибки и защитить её. Защита проводится в виде собеседования по работе или решения упрощенной контрольной задачи в присутствии преподавателя. Защита работы должна проводиться либо в течение семестра, либо во время лабораторно-зачетной сессии.

Выбор варианта контрольной работы.

Номер варианта определяется двумя последними цифрами шифра студента. Например, если шифр студента 23862, то номер его варианта 62.

Цифру 6 следует считать первой цифрой варианта, а цифру 2 – второй. Если в задаче предлагается 10 схем и 10 вариантов численных данных, то номер схемы выбирается по второй цифре варианта, а номер варианта численных данных – по первой. Если же в задаче предлагается только одна схема, то численные данные выбираются как по первой, так и по второй цифрам варианта.

Выбор задач, подлежащих обязательному решению студентами различных специальностей, производится в соответствии с рабочей программой, которая должна выдаваться каждому студенту на установочных лекциях.

6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С

СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Возникновение переходных процессов. Идеализация процесса коммутации. Энергетические условия перехода от одного состояния к другому.

Законы коммутации при «корректных» и «некорректных» коммутациях.

Классический метод расчета переходных процессов. Переходный, принужденный (установившийся) и свободный процессы. Характеристическое уравнение системы и его корни. Общий вид решения системы неоднородных дифференциальных уравнений. Независимые и зависимые начальные условия и их применение для определения постоянных интегрирования.

Включение цепи R-L на постоянное и синусоидальное напряжение, ударный ток, короткое замыкание цепи R-L, постоянная времени цепи.

Включение цепи R-C на постоянное и синусоидальное напряжение, перенапряжение на конденсаторе, короткое замыкание цепи R-C, постоянная времени цепи.

Переходные процессы в последовательном контуре R-L-C, анализ энергетического состояния цепи при апериодическом переходном процессе, предельном случае переходного процесса, колебательном переходном процессе.

Переходные процессы в цепях со взаимной индуктивностью.

Понятие о методе переменных состояния.

Операторный метод расчета переходных процессов. Прямое преобразование Лапласа и его свойства. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Эквивалентные операторные схемы, методы расчета изображений искомых функций. Обратное преобразование Лапласа, теорема разложения.

Особенности расчета переходных процессов в цепях с синусоидальными источниками.

Единичная ступенчатая функция 1(t), импульсная функция, переходные характеристики и их расчет классическим и операторным методами.

Включение пассивной цепи на напряжение произвольной формы. Интеграл Дюамеля. Расчет реакции при воздействии произвольной последовательности импульсов с помощью интеграла Дюамеля. Расчет переходных процессов при воздействии периодической последовательности импульсов.

Частотный метод расчета переходных процессов. Преобразование Фурье и его свойства.

Частотные характеристики передаточных функций и их расчет:

амплитудно-фазовая, амплитудная, фазовая, вещественная, мнимая, логарифмическая амплитудная, логарифмическая фазовая.

Понятие о численных методах расчета переходных процессов.

Сравнительная характеристика различных методов расчета переходных процессов.

Задача 6.1. Классическим методом рассчитать токи переходного процесса в цепи постоянного тока, изображенной на рис. 6.1. Параметры элементов приведены в табл. 6.1. Построить графики токов.

Первая цифра Задача 6.2. Решить задачу 6.1. операторным методом.

Задача 6.3. Классическим методом рассчитать токи переходного процесса и напряжения на реактивном элементе в цепи (рис. 6.1), полагая uвх (t ) = U m sin (t + u ). Построить график тока, имеющего наибольшую величину свободной составляющей. Действующее значение напряжения источника и его начальная фаза приведены в табл. 6.2, а параметры остальных элементов – в табл. 6.1.

Первая цифра варианта Задача 6.4. Решить задачу 6.3 операторным методом.

Задача 6.5. Классическим методом рассчитать токи переходного процесса в цепи постоянного тока, содержащей два разнородных накопителя энергии (рис. 6.2). Построить график тока iC (t ).

Напряжение источника и параметры элементов схем приведены в табл. 6.3.

Задача 6.6. Решить задачу 6.5 операторным методом.

варианта Задача 6.7. Для схемы по рис.6.1 (рубильник находится в послекоммутационном положении) рассчитать ток в индуктивности (или напряжение на емкости), если цепь подключается к источнику напряжения сложной формы. График искомой величины построить в общих координатах с графиком u (t ). Вариант параметров элементов принять по табл. 6.1, а напряжение – по второй цифре варианта из рис 6.3.

Задача 6.8. В схемах рис.6.4, используя метод переменных состояния, определить в переходном режиме токи и напряжения на реактивных элементах и построить графики этих напряжений. Параметры схем приведены в табл. 6.4.

Примечание: 1) кривые напряжения одного элемента (например индуктивности) рекомендуется располагать в общей системе координат;

2) решение уравнений для переменных состояния может выполняться любым из известных методов (классическим, операторным и т. д.).

Первая цифра Задача 6.9. Источник энергии генерирует одиночный прямоугольный импульс напряжения U или тока J, длительностью t имп. Для заданной схемы (рис 6.5) выполнить расчет токов и напряжения u12 в переходном процессе при tимп = и при tимп = 2,5. В общей системе координат построить графики искомых величин в интервале времени от 0 до 6, где - постоянная времени цепи. Дать качественную оценку влияния длительности импульса на вид полученных кривых. Амплитуды импульсов, а также параметры элементов цепи приведены в табл. 6.5.

Пример 6.1. В электрической цепи рис. 6.6,а включается рубильник K.

Определить закон изменения токов i1, i2 и i3 в зависимости от времени t, если U = 1000 В, r = 100 Ом, L = 2.667 Гн, C = 50 мкФ. Построить также зависимость i2 (t ). Задачу решить классическим методом.

1. Согласно законам Кирхгофа составим систему уравнений, описывающих электрическую цепь в послекоммутационном режиме Решение задачи сводится к решению системы уравнений (6.1).

Согласно классическому методу искомые токи находят в виде суммы частного и общего решения системы (принужденные и свободные токи) 2. Находим токи принужденного (установившегося) режима. Ток i3 пр = 0, так как в этой ветви включен конденсатор с бесконечно большим сопротивлением для постоянного тока.

3. Определяем токи свободного режима цепи.

Выражения для свободных токов зависят от вида и количества корней характеристического уравнения. Корни найдем по главному определителю алгебраизированной системы уравнений для свободных токов.

Система уравнений (1) для свободных токов имеет вид:

Алгебраизировав систему уравнений (6.2) и приравняв ее главный определитель нулю, получим характеристическое уравнение Подставив числовые значения параметров в уравнение (6.3) и решив его, получим его корни При двух действительных отрицательных различных корнях характеристического уравнения токи свободного режима цепи имеют вид 4. Используя начальные условия и законы коммутации, находим числовые значения постоянных интегрирования системы уравнений (6.4).

Продифференцируем (6.4) по t и рассмотрим систему при t = 0 + :

Числовые значения токов и их производных в момент коммутации находим по законам коммутации и Кирхгофа. При этом необходимо рассмотреть режим цепи до коммутации и в момент коммутации.

Токи в ветвях электрической цепи и напряжение на конденсаторе до коммутации (до включения рубильника K ) равны:

В первый момент времени после коммутации при t = 0 + :

i1 (0 + ) = i1 (0 ) = 10 А согласно первому закону коммутации, uC (0 + ) = uC (0 ) = 0 согласно второму закону коммутации.

Токи i2 (0 + ) и i3 (0 + ) можно определить по законам Кирхгофа из системы уравнений (6.1):

Значения производных от свободных токов при t = 0 + вычислим согласно системе уравнений (6.2):

Дифференцируя третье уравнение системы (6.2), получим Дифференцируя первое уравнение системы (6.2), получим Таким образом, получены три системы уравнений, каждая из которых содержит две постоянные интегрирования Решая эти системы уравнений, находим 5. Запишем окончательные выражения для токов переходного процесса 6. Вычислим ток i2 св в различные моменты времени, и результаты вычислений сведем в табл. 6.6.

Кривая тока i2 (t ) и его составляющие приведены на рис.6.6,б.

Пример 6.2. В цепи рис. 6.7,а действует напряжение источника u (t ) = U m sin (t + u ). Включение рубильника происходит в момент, когда Определить классическим методом токи i1, i2, i3, если U m = 500 В, = 314 рад, r1 = 500 Ом, r2 = 100 Ом, C = 20 мкФ. Построить график тока i3(t).

Методика решения данной задачи аналогична рассмотренной в примере 6.1.

1. Состояние электрической цепи в послекоммутационном режиме описывается следующей системой уравнений:

решение которой:

2. Токи установившегося (принужденного) режима в комплексной форме:

I 1прm = I 3прm I 2 прm = ( 2.462 + j1.291) (2.052 + j1.075) = 0.463e j152.34° А.

Мгновенные и начальные значения принужденных токов:

операторному сопротивлению цепи Отсюда При единственном корне характеристического уравнения токи свободного режима имеют вид 4. Используя начальные условия и законы коммутации, находим числовые значения постоянных интегрирования Токи в ветвях схемы и напряжение на конденсаторе до коммутации равны В первый момент после коммутации при t = 0 + согласно второму закону коммутации: uC (0 + ) = uC (0 ) = 46 В.

Числовые значения полных токов при t = 0 + :

Начальные значения свободных токов Таким образом, A = 0.695 А, B = 3.475 А, D = 4.17 А.

5) Выражения токов переходного процесса имеют вид 6) График тока i3 (t ) представлен на рис. 6.7,б.

При построении графика рекомендуется сначала построить принужденную составляющую тока i3пр (t ), затем свободную составляющую i3св (t ) и, наконец, полный ток i3 (t ).

Пример 6.3. В электрической цепи (рис. 6.8,а) включается рубильник и шунтирует резистор r4.

Операторным методом определить ток переходного процесса в резисторе r3, если U = 1.8 кВ, r1 = r2 = r3 = 100 Ом, r4 = 300 Ом, L = 1.5 Гн.

Составим эквивалентную операторную схему рис.(6.8,б).

Для определения внутренней (расчетной) ЭДС Li2 (0) найдем ток i2 (0 ) до коммутации Согласно первому закону коммутации i2 (0 + ) = i2 (0 ) = 8 А.

Следовательно, Li2 ( 0 ) = 1.5 8 = 12 Вб.

Изображение тока I 3 ( p ) найдем по эквивалентной операторной схеме, применив метод узлового напряжения где U ( p ) = - изображение напряжения источника;

Оригинал тока i3 (t ) определим при помощи теоремы разложения Найдем корни уравнения F2 ( p ) = 0 и выполним подготовку для пользования формулой теоремы разложения Тогда получим Пример 6.4. В цепи рис.6.9,а действует синусоидальное напряжение частотой 50 Гц и амплитудой 200 В. В момент, когда начальная фаза напряжения источника составляет 30, размыкается рубильник. Найти выражение тока i1 (t ) операторным методом, если r1 = 400 Ом, r2 = 100 Ом, С = 125 мкФ.

Составим эквивалентную операторную схему (рис.6.9,б). Для нахождения внутренней (расчетной) ЭДС определим напряжение на емкости в момент коммутации.

Напряжение на конденсаторе до коммутации равно напряжению источника, т.е.

uC ( 0 + ) = uC ( 0 ) = 100 B согласно второму закону коммутации.

Для нахождения изображений токов в схеме рис 6.9,б составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа:

Решив систему уравнений относительно I 1 ( p ), получим Так как напряжение источника синусоидально, то целесообразно использовать изображение напряжения в комплексной форме, а именно:

В дальнейшем знак мнимой части Jm будем опускать, а мнимую часть будем брать при отыскании оригинала тока. При таком изображении синусоидального напряжения источника внутренние (расчетные) ЭДС должны быть взяты с множителем “j”. Учитывая это, получим Оригинал тока i1 (t ) определим при помощи теоремы разложения Найдем корни уравнения F2 ( p ) = 0.

После подстановки найденных числовых значений в выражение для тока i1 (t ) получим Пример 6.5. Электрическая цепь рис.6.10,а включается на напряжение, график которого представлен на рис.6.10,б. Определить закон изменения тока i в цепи, если U 0 = 500 В, t0 = 0.1 c, L = 4 Гн, r1 = 100 Ом, r2 = 400 Ом. Задачу а) u(t) решить с помощью интеграла Дюамеля.

Получим аналитическое выражение напряжения источника для двух диапазонов времени:

Для первого интервала времени ( 0 < t < t 0 ) формула для нахождения тока i имеет вид где Переходную проводимость цепи g (t ) получим классическим методом, считая, что цепь подключается к источнику постоянного напряжения U = 1 В.

При этом Корень характеристического уравнения найдем из условия равенства нулю входного операторного сопротивления цепи Постоянную интегрирования A1 найдем из начальных условий Индуктивность в первый момент ведет себя ведет себя аналогично обрыву в месте ее включения, т.е. i L ( 0 + ) = iL ( 0 ) = 0, следовательно, Таким образом, Переходная проводимость Определяем общий ток на первом интервале времени Для второго интервала времени ( t 0 < t < ) ток находим по формуле График тока i( t ) приведен на рис.6.10, б.

Пример 6.6. В сложной цепи постоянного тока (рис.6.11) методом переменных состояния рассчитать токи и напряжения u L ( t ), uk ( t ) в переходном процессе.

При расчете переходного процесса по методу переменных состояния процессы в цепи описывают двумя матричными уравнениями матрица переменных состояния цепи, в качестве которых xрекомендуется выбирать токи в индуктивностях и напряжения на ёмкостях ( iL, uC );

x - матрица первых производных от переменных состояния цепи;

V - матрица внешних воздействий, т.е. матрица eq ( t ), jk ( t );

y - матрица выходных величин, т.е. искомых iq (t ), u q (t ).

Если полученные матричные уравнения состояния достаточно просты, их решают вручную, например, на основе интеграла Дюамеля [1]. В противном случае решение выполняется на ЭВМ.

1. Расчетом цепи до коммутации (он не приводится) находим независимые начальные условия процесса, которые в данном случае являются исходными значениями переменных состояния цепи:

2. Цепь после коммутации описываем уравнениями, составленными по законам Кирхгофа 3. Чтобы составить матричное дифференциальное уравнение (6.6) метода, систему (6.8) решаем относительно i L и u C, записывая их в форме Коши Таким образом, в матричной форме первое уравнение имеет вид 4. Выражаем остальные искомые токи и напряжения через те же величины uC, iL, E1, J k и сводим их в матричную форму.

Из (6.3):

Напряжение на источнике тока uK ( t ) в переходном процессе получим с помощью второго закона Кирхгофа Уравнение (6.7) метода в матричной форме имеет вид:

5. После подстановки численных значений параметров в уравнения (6.9) и (6.10) получаем Отметим, что метод переменных состояния позволяет рассчитать токи и напряжение любого участка сложной схемы путем решения минимального количества дифференциальных уравнений, составленных относительно «независимых» переменных состояния (токи в индуктивностях и напряжения на емкостях).

Рассчитав независимые переменные состояния (например, решив систему уравнений (6.9) классическим методом), в условиях рассматриваемого примера получаем уравнениями (6.10):

Очевидным является вывод, что при использовании ЭВМ для расчета сложных схем метод переменных состояния является самым экономичным, так как при минимуме дифференциальных уравнений затраты на программирование и решение задачи также минимальны.

Пример 6.7. На цепь из последовательно соединенных элементов r=100 Ом и L=0.1 Гн подается единичный прямоугольный импульс напряжения амплитудой U 0 = 20 B и длительностью t 0 = 1 мс (рис. 6.12,а,б).

Рассчитать и построить в интервале времени от нуля до 4 график напряжения на индуктивности u L ( t ).

Расчет токов и напряжений переходного процесса в подобном случае может быть выполнен с помощью интеграла Дюамеля. Однако это достаточно громоздкий расчет. В связи с этим рекомендуем более простую методику расчета, базирующуюся на использовании принципа наложения. Импульс напряжения U 0 ограниченной длительности может быть представлен двумя импульсами ± U 0 неограниченной длительности, причем импульс U запаздывает по отношению к импульсу + U 0 на время t 0 (рис.6.12,в).

Переходный процесс в цепи r, L при ее включении на постоянное напряжение хорошо известен, поэтому закон изменения напряжения на индуктивности u L ( t ) в интервале 0 < t < t 0 запишем без вывода:

При t > t 0 искомое напряжение u L ( t ) будет складываться из двух составляющих, В:

После подстановки числовых значений величин имеем Выражение искомого напряжения График напряжения u L ( t ) приведен на рис 6.12,г.

7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В

УСТАНОВИВШЕМСЯ И ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМАХ

Схема замещения и основные дифуравнения однородной длинной линии.

Установившийся режим в длинной линии при синусоидальном напряжении.

Первичные и вторичные параметры линии с распределенными параметрами, её основные уравнения в гиперболических функциях. Бегущие волны в линии.

Входное сопротивление длинной линии, в том числе при холостом ходе (ХХ) и коротком замыкании (КЗ). Определение параметров линии по опытам ХХ и КЗ.

Длинная линия, согласованная с нагрузкой. Линия без искажений. Линия без потерь, её основные уравнения, входное сопротивление, в том числе при ХХ и КЗ, их зависимость от длины линии. Стоячие волны в длинной линии.

Возникновение переходных процессов в линиях с распределенными параметрами. Закон Ома для падающих и отраженных волн. Физические процессы при перемещении падающей волны с прямоугольным фронтом вдоль линии без потерь. Схемы замещения для расчета падающих волн. Схемы замещения для расчета отраженных и преломленных волн, порядок их составления и расчета по ним указанных волн. Переход волн из одной линии в другую, в том числе при наличии в месте стыка линий сосредоточенных элементов. Многократное отражение волн в линиях. Расчет волн, возникающих в линиях при переключениях.

Задача 7.1. Телефонная линия длиной с первичными параметрами r0, g0, L0, С0 на единицу длины при напряжении u2(t) = U2m sin(t) работает на согласованную нагрузку.

Определить вторичные параметры линии, её входное сопротивление Zвх и КПД, а также длину волны и фазовую скорость ф её распространения в линии. Записать мгновенные значения напряжения и тока u1(t), i1(t) на входе линии. Числовые значения заданных величин приведены в табл. 7.1.

Задача 7.2. Трёхфазная линия электропередачи промышленной частоты 50 Гц работает на симметричную нагрузку, соединённую в звезду. Известные параметры линии и нагрузки приведены в табл. 7.2.

Первая Характеристики режима работы линии Требуется:

1. Определить недостающие первичные и вторичные параметры линии, длину волны и фазовую скорость ф её распространения в линии.

2. Рассчитать полную характеристику режима работы линии, т.е. найти U1, I1, P1, U2, I2, P2, КПД линии, оценить согласованность нагрузки с линией.

3. Рассчитать величину регулируемого параметра линии, указанного в таблице вариантов, чтобы при найденных ранее трёх остальных первичных параметрах линия стала бы неискажающей (ЛБИ).

4. Принять параметры r0 и g0 равными нулю, а частоту f = 2,5 кГц. Для полученной таким образом линии без потерь (ЛБП) определить её вторичные параметры и длину волны. С учётом нагрузки или режима работы, указанных в последнем столбце табл. 7.2, построить график входного сопротивления Zвх(у) в функции расстояния от её конца. При построении графика координату “ у “ удобно задавать в долях от длины волны, а напряжение U2 или ток I2 условно принять равным единице.

Задача 7.3. Линия без потерь (рис.7.1) с параметрами Zс,,, подключается к источнику постоянного напряжения. Требуется:

1. Полагая внутреннюю индуктивность источника равной L0, а конец линии разомкнутым, построить графики распределения напряжения uрез(tф, у) и тока iрез(tф, у) вдоль линии для двух моментов времени: t1 = 0.75 / и t2 = 1.5 /.

2. Полагая источник идеальным (L0=0), а линию – нагруженной, построить графики распределения напряжения uрез(tф, у) и тока iрез(tф, у) вдоль линии на момент времени tф = 1.5 /, считая с момента включения линии.

3. Полагая источник идеальным, а линию – нагруженной, построить графики напряжения uA(t) или тока iА(t) в точке А, находящейся посередине линии в течение времени, равного двум пробегам волны: 0 < t < 2 /.

Все заданные параметры приведены в табл. 7.3.

Первая цифра варианта Вторая цифра варианта Задача 7.4. По воздушной линии (рис.7.2) с параметрами Zс1, 1, распространяется падающая волна uпад с прямоугольным фронтом, переходя затем через корректирующие элементы в кабель с параметрами Zс2, 2, 2 = 0.51, конец которого разомкнут. Требуется:

- построить графики изменения тока i2(t) и напряжения u2(t) в сечении “2-2” в функции времени;

- построить графики распределения вдоль линий результирующего напряжения и тока для момента времени tф = 0.52/2, считая с момента прихода первой волны в сечение “2-2”.

Параметры всех элементов приведены в табл. 7.4. Из L, r, С - элементов, указанных в табл. 7.4, использовать те, которые имеются в вашем варианте схемы.

Первая цифра варианта Задача 7.5. Параметры источника, линии без потерь и резистивной нагрузки (рис.7.3,а,б) приведены в табл. 7.5.

Первая цифра варианта Вторая цифра варианта Требуется рассчитать и построить графики изменения тока i11(t) и напряжения u22(t) (четные варианты) или тока i22(t) и напряжения u11(t) (нечетные варианты), определить практическую длительность переходного процесса (время и количество пробегов волн вдоль линии).

Пример 7.1. Однофазная линия синусоидального тока длиной =100 км с параметрами r0=3.2 Ом/км, g0=6.5·10 -6 См/км, L0=2 мГн/км, С0=8.7 нФ/км работает в установившемся режиме при частоте 1 кГц. Нагрузка согласованная.

Напряжение в конце линии 36 В.

Определить волновое сопротивление Zс, коэффициент затухания и коэффициент фазы, длину волны и фазовую скорость ф её распространения в линии. Рассчитать также мгновенные значения напряжения и тока u1(t), i1(t) на входе линии, её Zвх и КПД.

режиме определяются соотношениями:

1. Вторичные параметры линии: волновое сопротивление Zс и постоянную распространения сигнала = + j в линии рассчитываем через заданные первичные параметры У0 = g 0 +jC 0 = 6.5·10 -6 + j6280· 8.7·10 -9 = 55.02·10 -6 е j 83.22 См/км.

т.е. коэффициент затухания = 4.88·10-3 Нп/км, коэффициент фазы = 26.25·10 рад/км.

2. Другие характеристики линии: длина волны и скорость её распространения в линии зависят от параметров линии и от частоты, на которой работает линия. КПД согласованной линии зависит только от её длины и от коэффициента затухания.

3. Пусть в конце линии напряжение в комплексной форме U2 = 36 е j 0 = 36 В, тогда Для расчёта тока и напряжения на входе линии находим:

= + j = 4.88·10-3·100 + j26.25·10-3·100 = 0.488+ j2.625 ;

Записываем мгновенные значения тока и напряжения Пример 7.2. Трёхфазная линия электропередачи длиной =100 км работает на частоте 50 Гц в установившемся режиме, который задан током и сопротивлением нагрузки: I2=245 А, Zнг=259,22е j 25,84 Ом.

Для определения параметров линии поставлены опыты холостого хода и короткого замыкания и получено: Zхх = 3339е -j 89,73 Ом, Zкз = 43,94е j 72,5 Ом.

Требуется определить параметры линии, проверить фазовую скорость распространения волны в линии ф, рассчитать напряжения и токи на входе и на выходе линии, оценить КПД и согласованность нагрузки с линией.

1. По заданным значениям сопротивлений Zхх и Zкз определяем характеристические параметры линии Zc и = + j:

затухания и фазы находим из соотношения:

Приравниваем:

Из первого выражения находим величину коэффициента затухания Во втором соотношении сначала оценим величину “к”. Так как линия воздушная, то примем ф 300·103 км/с и рассчитаем ориентировочную величину коэффициента фазы Тогда общий сдвиг фазы на всей длине линии: 2’=2·1.047·10-3·100= = 0.209 рад, т.е. меньше 2. Поэтому во втором расчётном соотношении следует принять к = 0.

2. Через найденные вторичные параметры Zс и определяем первичные параметры линии Zс · = Z0 = r0 + jL0 = 383е –j 8. 61 ·1.1434·10-3 е j81. 2 = 0.4379 еj72.59 = = 0.009794·10 + j2.985·10 0.01·10-6 + j 2.985·10-6 См/км.

Таким образом, первичные параметры линии:

3. Проверим фазовую скорость распространения волны в линии 4. Режим работы линии задан током I2 и сопротивлением нагрузки Zнг.

Рассчитаем остальные характеристики режима: U2л, Р2, U1л, I1, Р1 и КПД линии. При соединении нагрузки в звезду, для конца линии будем иметь:

U2ф = Zнг · I2ф = 259.22· 245 = 63508.9 В 63.5 кВ;

Р2 = 3U2ф· I2ф · cos н = 3· 63.5·103·245· cos 25.84 = 42 МВт.

В комплексной форме: пусть U2ф = U2ф · е j 0 = 63.5 кВ, тогда Фазные ток и напряжение на входе линии определяем по основным уравнениям линии Для этого сначала считаем гиперболические функции комплексного переменного ch и sh.

= + j = (0.1749·10-3 + j1.13·10-3) ·100 = 0.01749 + j 0.113.

= 0.5088 е j 6.47 + 0.49133 е - j 6.47 = (0.5055 + j0.05737) + (0.4882 – j0.0554) = Значения ch и sh подставляем в уравнения (7.1) и находим сначала напряжение и ток на входе линии, а затем мощность Р1 и КПД линии U1ф = 63.5·10 3 · 0.9938 е j 0.11 + 383 е –j 8.61· 245 е –j 25.84· 0.114 е j 81.28 = I1ф = 63.5·10 3 · 0.114 е j 81.28 / 383 е –j 8.61 + 245 е –j 25.84 · 0.9938 е j 0.11 = Р1ф = Re[ U1ф · I 1ф ]= Re[ 70870.3 е j 6.42 · 235.9 е j 21.59]·10-6 = 14.741 МВт.

Линейные напряжение и ток на входе линии Коэффициент полезного действия линии:

Нагрузка не согласована с линией, так как Таким образом, режим работы линии:

Пример 7.3. Линия без потерь с параметрами Zс,, подключается к источнику постоянного напряжения с внутренней индуктивностью L0 (рис.7.4).

Конец линии разомкнут. Требуется построить графики распределения напряжения uрез(tф, у) и тока iрез(tф, у) вдоль линии для двух моментов времени: t1 = 0.75 / и t2 = 1.5 /.

Дано: Е0=120 кВ, L0=0.15 Гн, Zс=250 Ом, =140 км, ф=280·103 км/с.

Сразу после подключения в линии возникает падающая волна, которую рассчитаем по схеме замещения рис.7.5.

А1= iпад(0) - iпр(0) = 0 – 480 = - 480 А, р = -Zс/L0 = - 250/0.15= -1666.67 1/с, На момент времени t1 = 0.75/ = 0.375 мс в линии будет только падающая волна.

Для получения зависимостей тока и напряжения от координаты х, по которым будут построены требуемые графики, переходим к аргументу [ tф - ] :

При t1 = 0.375 мс выражения справедливы для координаты х ф · t1 = =280·103· 0.375·10-3 = 105 км. По полученным выражениям построены графики распределения напряжения и тока вдоль линии для момента времени t1, которые представлены на рис.7.6.

К моменту времени t2=1.5/=0.75 мс в линии будут существовать как падающая (0.75 мс), так и отражённая (0.75– / =0.75–0.5=0.25 мс) волны.

Поскольку в конце линия разомкнута, то волна отражается полностью и без перемены знака (п2=1). Таким образом, выражения для волн в этом случае будут:

По данным табл. 7.6 на рис.7.7 построены сначала графики падающей и отражённой волн, а графики результирующих значений напряжения u(х) и тока i(х) получаем сложением падающей и отражённой волн в соответствии с соотношениями:

Пример 7.4. Нагруженная линия без потерь с параметрами Zс,,, подключается к идеальному источнику постоянного напряжения Е0 (рис.7.8).

Требуется:

- построить графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у) вдоль линии для момента времени tф=0.75 мс после включения линии;

- рассчитать и построить график изменения напряжения uА(t) в точке А, находящейся посередине линии, в течение времени, равного двум пробегам волны по линии.

Дано: Е0=120 кВ, ZC=250 Ом, =140 км, ф=280·103 км/с, Rнг=750 Ом, Снг=1.066 мкФ.

рассчитываем падающую волну.

uпад=Е0=120 кВ; iпад=uпад/ZС=120·103/250 =480 А.

1. Производим расчет распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у) вдоль линии для момента времени tф=0.75 мс после включения линии.

Поскольку tф>tпр, то в линии будут существовать и падающая волна и отражённая, причём время существования отражённой волны t`ф=tф-tпр=0. мс. Рассчитаем отраженную волну с помощью схемы замещения рис.7.9, составленной для сечения “2-2”. В этой схеме u22(t)=uС(t)=uпр+Ае ; uС(0)=0, uпр= А=uС(0)-uпр=0–180=-180 кВ, Zвх(р)= Следовательно, Из соотношения u22(t)=uпад+uотр, а затем по закону Ома находим:

uотр(t)=u22(t)-uпад(t)=180–180е -5000t –120=60-180е -5000t кВ.

Для построения графиков распределения напряжения и тока вдоль линии, переходим к аргументу (tф – у /v) в выражении для отраженной волны:

По этим выражениям на рис.7.10 построены сначала графики падающей uпад, iпад и отражённой uотр, iотр волн, а графики результирующих значений напряжения и тока получаем сложением падающей и отражённой волн в соответствии с соотношениями:

2. Для расчета и построения графика изменения напряжения uА(t) в точке А, находящейся посередине линии, в течение времени, равного двум пробегам волны воспользуемся результатами, полученными в первой части решения данной задачи uпад=120 кВ = const; iпад=480 A = const, uотр(t)=u22(t)-uпад(t)=180–180е -5000t –120=60-180е -5000t кВ.

В точке А до прихода падающей волны, т.е. в течение времени t=0…0.5tпр uА(t) = 0.

С момента t1=0.5tпр=0.25 мс до момента t2=1.5tпр=0.75 мс, пока падающая волна достигнет конца линии, а затем отражённая волна достигнет точки А, напряжение uА(t)=uпад=120 кВ.

В момент t2 отражённая волна приходит в точку А, происходит наложение падающей и отражённой волн: uА(t)=uпад+uотр=120+(60-180е -5000t) кВ.

Этот закон изменения uА(t) будет действовать в течение времени t=0…tпр, пока отражённая волна придёт в начало линии (0.25 мс), и пока возникшая новая падающая волна достигнет точки А (0.25 мс).

График изменения напряжения в точке А во времени представлен на рис.7.11.

- времени, а также графики распределения вдоль обеих линий результирующего напряжения u(tф,у) и тока i(tф,у) для момента времени tф=0.52/2, считая с момента прихода волны в узел соединения линий.

Дано: uпад=220 кВ, ZС1=220 Ом, 1=150 км, v1=300·103 км/с, ZС2=88 Ом, 2=75 км, v2=150·103 км/с, R=180 Ом, L=30 мГн.

1. Определяем ток падающей волны 2. Производим расчет отражённой и преломлённой волн. Через tпр=1/1= 0.5 мс падающая волна достигнет сечения “2-2”, где встретит неоднородность.

Волна частично пройдёт в индуктивность, частично отразится, а частично, в виде преломлённой волны, пройдёт во вторую линию. Для определения отражённой и преломлённой волн необходимо в схеме замещения, составленной для точки, находящейся в сечении “2-2” (рис.7.13) рассчитать либо ток i22(t), либо напряжение u22(t).

Классическим методом выполним расчёт тока i22(t) i22(t)=iпр+Ае pt; iпр=2uпад/ZС1=2·220·103/220=2000 А; iL(0-)=iL(0+)=0;

Следовательно, i22(t)=2000-1083.33е– 4027.3t А.

Напряжение u22(t) находим по второму закону Кирхгофа:

u22(t)=2uпад-ZС1·i22(t)=2·220–220·(2000-1083.33е– 4027.3t)·10-3=238.33е–4027.3t кВ.

По этим выражениям строим графики u22(t), i22(t), которые приведены на рис.7.14. Выражения и графики справедливы для отрезка времени t=0…2tпр (пока в этот узел не придет ещё какая-нибудь волна).

3. Уравнения отражённой и преломлённой волн как функций времени находим через напряжение u22(t).

Отражённая волна uотр(t)=u22(t)-uпад=–220+238.33е–4027.3t кВ;

iотр(t)=uотр/ZС1=-1000+1083.33е–4027.3t А.

Преломлённая волна 4. Для построения графиков распределения тока и напряжения вдоль обеих линий в момент времени tф=0.25 мс, уравнения отражённой и преломлённой волн перепишем в функции аргументов (tф- 1 ) и (tф- 2 ) uотр(tф- 1 )=–220+238.33е–4.027·(0.25–у1/300) кВ;

uотр(tф- 1 )=-1000+1083.33е–4,027·(0.25–у1/ 300) А;

Эти выражения справедливы для значений у1 (отсчёт от конца первой линии) uпрел(tф- 2 )=78.26е–4.027·(0.25–х2/150) кВ;

iпрел(tф- 2 )=889.3е–4.027·(0.25–х2/150) А.

Последние выражения справедливы для значений х2 (отсчёт от начала второй линии) Для построения требуемых графиков по полученным выше формулам заполним табл. 7.7.

линиях в следующей последовательности (рис.7.15): сначала графики падающих волн uпад, iпад, потом графики отражённых uотр, iотр и преломлённых uпрел, iпрел волн. Графики результирующего тока и напряжения в первой линии получаем сложением падающей и отражённой волн в соответствии с выражениями:

Во второй линии на рассматриваемый момент времени действует только преломлённая волна:

Пример 7.6. Переходный процесс в нагруженной линии без потерь (рис.7.16,а) вызывается отключением части нагрузки.

Требуется рассчитать и построить графики изменения тока i11(t) и напряжения u11(t) на входе линии, тока i22(t) и напряжения u22(t) на нагрузке;

определить практическую длительность переходного процесса (время и количество пробегов волн вдоль линии).

Дано: Е0=220 кВ, r0=80 Ом, ZС=180 Ом, =210 км, ф=280·103 км/с, R1=1500 Ом, R2=500 Ом.

1. Рассчитаем установившийся режим в цепи до переходного процесса.

u11уст(t-)== Rнг·i11уст(t-)=375·483.516=181.32 кВ, Iруб = u22уст(t-)/R2=181.32·103/500=362.64 А.

При размыкании рубильника возникает обратная волна. Её параметры рассчитываем по схеме замещения для сечении “2-2” линии (рис.7.16,б).

Поскольку нагрузка чисто резистивная, отражённые волны будем рассчитывать через коэффициенты отражения волны: п1 - от сопротивления источника, п2 - от нагрузки.

По окончании переходного процесса в цепи установятся ток и напряжение После каждого пробега волны tпр=/=210/280·103=0.75мс результирующие значения напряжения и тока считаем как наложение всех прошедших к этому моменту времени волн в соответствии с соотношениями:

Пример расчётов.

Первый пробег волны: t=0/.

К моменту начала переходного процесса в линии установились напряжения и токи сечении “2-2” и в течение указанного времени распространяется от конца к началу линии. Таким образом, в течение этого пробега волны будем иметь:

на входе линии u11=181.32 кВ, i11=483.52 А;

в конце линии u22=u22уст(t-)+u1обр =181.32+58.28=239.6 кВ;

i22= i22уст(t-)-i1обр=483.52–323.78=159.74 А.

Второй пробег волны: t=/2/.

Первая обратная волна, достигнув сечения “1-1”, отражается и образуется первая падающая волна u1пад = п1·u1обр=-0.3846·58.28=-22.414 кВ;

Результирующие значения тока и напряжения в сечении “1-1”:

u11=u11 уст(t-)+u1обр+u1пад=181.32+58.28+(-22.414)=217.186 кВ;

i11=i11 уст(t-)-i1обр+i1пад=483.52–323.78+(-124.52)=35.22 А.

В сечении “2-2” напряжение и ток в течение этого пробега сохраняют прежние значения.

Дальнейшие расчёты выполняются аналогично. Cведём их в табл. 7.8.

№ Промежуток п\п времени (56)/ 209.62 129.75 3пад 1 2отр (78)/ 208.63 142.12 4пад 1 3отр Графики изменения токов i11, i22 и напряжений u11, u22 на входе и в конце линии представлены на рис.7.17 и 7.18.

Процесс заканчивается, когда ток и напряжение достигают 95-98% установившихся значений: i11уст=i22уст=139.24 А, u11уст=u22уст =208.86 кВ. Как видим из табл. 7.8 и графиков рис.7.14, это происходит после 7 8 пробегов волны, т.е.

В нашем примере Rнг>ZС и процесс имеет колебательный характер. При