«В. Н. КОРОВКИН, Н. А. КУЛИК ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методический комплекс для студентов строительных специальностей Под общей редакцией Н. А. Кулик Новополоцк ПГУ 2009 УДК 531(075.8) ББК 22.21я73 К68 Рекомендовано ...»

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Полоцкий государственный университет»

В. Н. КОРОВКИН, Н. А. КУЛИК

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Учебно-методический комплекс

для студентов строительных специальностей

Под общей редакцией Н. А. Кулик

Новополоцк

ПГУ

2009

УДК 531(075.8)

ББК 22.21я73 К68 Рекомендовано к изданию методической комиссией строительного факультета в качестве учебно-методического комплекса (протокол № 9 от 26.06.2009) АВТОРЫ:

В. Н. КОРОВКИН (разделы 1, 3);

Н. А. КУЛИК (раздел 2 и методические указания) РЕЦЕНЗЕНТЫ:

директор УО «Новополоцкий политехнический техникум» Н. В. САПЕГО;

канд. техн. наук, доц., зав. каф. строительных конструкций УО «Полоцкий государственный университет» Ю. В. ПОПКОВ Коровкин, В.Н.

Теоретическая механика : учеб.-метод. комплекс для студентов строиК68 тельных спец. / В. Н. Коровкин, Н. А. Кулик; под общ. ред. Н. А. Кулик. – Новополоцк : ПГУ, 2009. – 288 с.

ISBN 978-985-418-931-4.

Представлены содержание теоретического курса, конспект лекций, задания и методические указания для расчетно-графических и контрольных работ, контрольные задания для студентов-заочников, методические рекомендации по организации учебного процесса, словарь терминов и рекомендуемая литература, составленные в едином методическом ключе.

Предназначен для студентов строительных специальностей.

УДК 531(075.8) ББК 22.21я ISBN 978-985-418-931- © Коровкин В. Н., Кулик Н. А., © УО «Полоцкий государственный университет»,

ПРЕДИСЛОВИЕ

Механикой называют науку, изучающую механическое движение. Она является краеугольным камнем современной техники. Изучение механики в университете имеет определяющее значение для формирования навыков и мышления будущего инженера. Здесь студент впервые узнает, как результаты исследования представлять в удобных формулах и числовых расчетах и одновременно указывать границы их применимости. Содержание курса учитывает характер основной специальности и органически связано с физикой, сопротивлением материалов, теорией механизмов и машин.

Развитие любой отрасли техники ставит перед механикой новые задачи, и как правило, решение этих задач способствует прогрессу не только в этой области, но и в достаточно удаленных от нее.

Программа курса теоретической механики должна отражать современное состояние науки и техники и при ее создании следует учитывать одну из основных задач высшего образования – научить студента учиться, то есть на базе минимального количества материала студенту надо преподнести такие знания и привить такие навыки, которые позволят ему в дальнейшем всю необходимую дополнительную информацию находить и усваивать самостоятельно. Поэтому очень важным для изучения теоретической механики является наличие хороших учебников, учебных пособий и научно-популярных книг, в которых творчески отражаются новейшие достижения в области науки и техники.

Данное учебное пособие предназначено для студентов специальностей 1-70 02 01, 1-70 02 02, 1-70 04 02 и 1-70 04 03 и решает следующие задачи:

- комплексное представление учебно-методических материалов в едином методическом ключе;

- повышение уровня самостоятельной работы студентов при освоении теоретического курса;

- методическое руководство по выполнению различных заданий управляемой самостоятельной работы студентов;

- методические рекомендации по организации учебного процесса при изучении теоретической механики.

Учебно-методический комплекс включает в себя содержание теоретического курса, краткий конспект лекций по основным разделам, задания и методические указания для выполнения различных форм управляемой самостоятельной работы, методические рекомендации по эффективной организации учебного процесса, словарь терминов на русском и английском языках, список рекомендуемой и имеющейся в библиотеке университета литературы.

Программа учебно-методического комплекса рассчитана на 180 – 195 часов аудиторных занятий, в том числе теоретический курс соответствует 90 – 105 часам.

В итоге изучения курса теоретической механики студент должен знать основные понятия и законы механики и вытекающие из этих законов методы изучения равновесия и движения материальной точки, твердого тела и механической системы, уметь применять полученные знания для решения соответствующих конкретных задач механики.

ТЕМАТИКА ЛЕКЦИОННОГО КУРСА

Введение. Предмет механики. Содержание разделов механики. Механическое движение как одна из форм движения материи. Механика и ее место среди естественных и технических наук. Механика как теоретическая база ряда областей современной техники. Объективный характер законов механики. Значение механики для инженеров-строителей.

Статика твердого тела. Предмет статики. Основные понятия статики: абсолютно твердое тело; сила, эквивалентные системы сил; равнодействующая и уравновешивающая сила, силы внешние и внутренние.

Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Основные типы связей и их реакции.

Сходящихся система сил. Определение понятия, две основные задачи статики. Геометрический и аналитический способы сложения сил. Равнодействующая сходящейся системы сил. Условие равновесия сходящейся системы сил в геометрической и аналитической формах. Теорема о трех непараллельных силах.

Понятие о ферме. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.

Теория пар сил. Момент силы относительно центра. Алгебраический и векторный момент силы относительно центра. Момент силы относительно оси. Зависимость между моментами силы относительно оси и центра, находящегося на этой оси. Формулы для моментов силы относительно координатных осей. Понятие о паре сил. Алгебраический и векторный момент пары сил. Эквивалентность пар сил. Теорема о сумме моментов пары сил. Сложение пар сил. Условия равновесия пар сил.

Приведение произвольной системы сил к центру. Условия равновесия. Приведение силы к данному центру. Теорема о приведении системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент произвольной системы сил. Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах.

Произвольная плоская система сил. Приведение плоской системы сил. Главный вектор и главный момент плоской системы сил. Частные случаи приведения плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил. Различные формы условий равновесия плоской системы сил. Равновесие плоской системы параллельных сил. Статически определимые и неопределимые задачи. Распределенные силы. Равновесие системы тел. Определение усилий в стержнях плоской фермы способом сечений (метод Риттера).

Трение. Трение скольжения. Законы трения. Равновесие при наличии сил трения. Угол и конус трения. Область равновесия. Трение качения.

Коэффициент трения качения.

Произвольная система сил. Главный вектор и главный момент пространственной системы сил. Частные случаи приведения пространственной системы сил. Аналитические условия равновесия пространственной системы сил. Случай параллельных сил.

Центр параллельных сил. Центр тяжести. Центр параллельных сил системы и его координаты. Центр тяжести твердого тела и его координаты. Центр тяжести твердого тела, объема, площади, линии. Способы нахождения положения центра тяжести тел. Центры тяжести простейших тел (дуги окружности, треугольника, кругового сектора).

Введение в кинематику. Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Система отсчета. Задачи кинематики. Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Векторы скорости и ускорения точки. Координатный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси. Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник. Естественные оси координат. Скорость и ускорение точки в проекциях на естественные оси координат. Касательное и нормальное ускорения точки.

Некоторые частные случаи движения точки.

Кинематика твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Выражение скорости точки вращающегося тела, ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений. Частные случаи вращения твердого тела.

Плоскопараллельное или плоское движение твердого тела. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения от выбора полюса.

Теорема о скоростях точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.

Доказательство его существования и способы нахождения. Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры. Понятие о мгновенном центре ускорений. Доказательство существования, способы нахождения. Определение ускорений точек при помощи мгновенного центра ускорений.

Сложное движение точки. Абсолютное и относительное движение точки; переносное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Дифференцирование единичного вектора. Теорема об ускорениях точки в сложном движении (теорема Кориолиса). Определение ускорения Кориолиса; модуль, направление, физический смысл. Случай поступательного переносного движения.

Сложное движение твердого тела. Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений. Сложение мгновенных вращений тела вокруг параллельных и пересекающихся осей. Пара мгновенных вращений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и определения; масса, материальная точка, сила. Законы классической механики.

Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.

Динамика точки. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки. Решение первой задачи динамики. Вторая задача динамики точки. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в простейших случаях. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям.

Введение в динамику механической системы. Механическая система.

Масса системы. Центр масс и его координаты. Классификация сил, действующих на систему; силы внешние и внутренние, заданные и реакции связей. Свойства внутренних сил.

Геометрия масс. Моменты инерции твердого тела и системы относительно плоскости, оси, полюса. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Осевые моменты инерции некоторых тел.

Общие теоремы динамики точки и системы. Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс. Примеры, иллюстрирующие закон сохранения движения центра масс.

Теорема об изменении количества движения. Две меры механического движения: количество движения и кинетическая энергия. Элементарный и полный импульсы силы за конечный промежуток времени. Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной и конечной формах. Количество движения механической системы и его выражение через массу системы и скорость центра масс. Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной и конечной формах.

Закон сохранения количества движения системы.

Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения точки относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. Понятие о секторной скорости. Закон площадей.

Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра и оси. Закон сохранения кинетического момента механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии. Элементарная работа силы. Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на конечном перемещении. Работа силы тяжести, упругости, тяготения.

Мощность. Работа внутренних сил неизменяемой системы. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия точки и механической системы. Теорема о кинетической энергии твердого тела. Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения. Теорема об изменении кинетической энергии точки и механической энергии точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах.

Динамика твердого тела. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

Принцип Даламбера для точки и механической системы. Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.

Приведение сил инерции к центру. Определение динамических реакций с помощью принципа Даламбера при несвободном движении точки и механической системы.

Элементы аналитической механики (принцип возможных перемещений). Связи и их уравнения. Классификация связей: голономные и неголономные, стационарные и нестационарные, удерживающие и неудерживающие. Возможные и виртуальные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей и к простейшим машинам. Общее уравнение динамики.

Уравнения Лагранжа II рода. Обобщенные координаты системы.

Обобщенные силы и способы их вычисления. Случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа II рода. Уравнения Лагранжа II рода для консервативных систем.

Малые колебания систем. Понятие об устойчивости равновесия; теорема Лагранжа – Дирихле. Малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия; свободные незатухающие колебания и их свойства; частота и период колебаний;

амплитуда и начальная фаза колебаний точек и системы; свободные затухающие колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости; период и декремент этих колебаний, случай апериодического движения; вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе и сопротивлении, пропорциональном скорости, коэффициент динамичности, резонанс.

Теория удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс.

Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность. Упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.

ВВЕДЕНИЕ

Механикой называют науку, изучающую механические движения.

Все явления, наблюдаемые в материальном мире, как бы сложны они не были, представляют собой различные формы и свойства материи. Основной формой существования материи является движение. Материя может переходить из одной формы в другую. В механике рассматриваются только такие формы материи, которые можно назвать вещественными, в отличие от таких материальных объектов, как, например, электрический заряд, электромагнитная волна и другие.

Всякое изменение материи называют движением. Движение может иметь различные виды. Одним из видов движения является механическое.

Механическим движением называют перемещения вещественных форм материи в пространстве и во времени.

Теоретическая механика создавалась вместе с развитием всей культуры человечества. Многие законы и факты в области механики были известны еще в древности, задолго до нашей эры, например, знаменитый закон Архимеда, и сейчас имеющий в технике большое значение. Однако знания той эпохи не были систематизированы, не составляли еще единой науки – механики.

Теоретическая механика имеет большое значение для всех разделов техники и естествознания и особенно – в авиации, космонавтике, машиностроении и приборостроении всех видов, автоматике, кибернетике и т.п.

Изучая механические движения, происходящие в пространстве и во времени, теоретическая механика широко применяет математические методы исследования, абстракции, обобщения, формальной логики.

В основу каждого раздела механики положен ряд понятий и определений; принята система аксиом – важнейших положений, проверяемых на опыте; путем логических рассуждений сделаны соответствующие выводы.

Эти выводы – теоремы – представляют собой правила для различных расчетов, необходимых при количественном изучении тех или иных механических движений. Теоретическая механика делится на три отдельные части: статику, кинематику и динамику.

Статикой в механике обычно называют ту ее часть, которая занимается изучением законов равновесия материальных тел.

Статика, в свою очередь, включает в себя разделы – статика твердого тела и статика материальных систем (жидких, газообразных, упругих и др.).

Кинематика изучает чисто геометрические формы механических движений материи без выяснения условий и причин, вызывающих эти движения.

Динамика является наиболее широкой ветвью механики, изучающей движение в зависимости от физических факторов, обусловливающих его.

1.1. Основные понятия и аксиомы статики Статика – это раздел теоретической механики, в котором изучаются общие правила сложения сил и условия равновесия материальных тел под действием сил.

Основные объекты статики – абсолютно твердое тело и сила.

Абсолютно твердым (недеформируемым) называется тело, у которого расстояния между любыми двумя точками остаются неизменными.

В действительности тела в природе под действием различных причин несколько меняют свою форму и размеры, то есть деформируются. Но во многих случаях эти деформации малы и не являются определяющими факторами при выводе общих закономерностей движения и равновесия таких тел.

Механическое движение сопровождается механическим взаимодействием, которое изменяет движение или приводит к деформации самих взаимодействующих тел. Такое взаимодействие в механике описывается понятием «сила». Чем больше деформация тела или изменение его движения, тем больше сила, которая приводит к этому.

Сила – это количественная мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться.

Сила – векторная величина, которая характеризуется численным значением или модулем, точкой приложения и направлением.

Точкой приложения силы называется та материальная частица тела, на которую непосредственно передается действие от другого тела. Под направлением силы понимают направление того перемещения, которое получает под действием этой силы материальная точка, вначале находившаяся в покое. Прямая, по которой направлена сила, называется линией действия.

На рисунках будем изображать силы в виде направленных отрезков и обозначать их какой-либо буквой со знаком вектора (рис. 1.1). Такими же которая, будучи приложена к материальной точке массой 1 кг, вызывает ее ускорение в инерциальной системе отсчета, Рис. 1.1. К понятию системы сил Совокупность сил, действующих на материальное тело, называется системой сил (см. рис. 1.1).Среди сил системы наравне с заданными могут быть и неизвестные, подлежащие определению.

Простейшие свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу, устанавливаются аксиомами статики. Опираясь на них, логическим путем строятся все положения статики абсолютно твердого тела. В частности, выводятся правила, по которым можно заменить заданную систему сил более простой эквивалентной системой. Эту операцию называют сложением сил. Может решаться и обратная задача – замена одной силы системой сил (разложение силы на составляющие). Системы сил, которые производят одинаковое действие на тело, называются эквивалентными.

Запись ( F1, F2, P, Q) ~ ( P, P2 ) означает, что системы сил ( F1, F2, P, Q ) и ( P, P2 ) эквивалентны.

Одна сила, эквивалентная системе сил, называется равнодействующей силой данной системы.

Система сил, эквивалентная нулю, называется уравновешенной.

Под действием такой системы сил абсолютно твердое тело находится в равновесии.

Выяснение условий эквивалентности различных систем сил, установление способов замены одной системы сил, приложенной к абсолютно твердому телу, другой эквивалентной системой сил входит в задачи статики. Но решение этих задач играет вспомогательную роль, так как конечной целью является получение условий равновесия твердых тел при действии на них различных систем сил.

В статике будем пользоваться системой отсчета, неизменно связанной с Землей. Поэтому, когда говорим, что тело находится в равновесии, то имеем в виду покой или равномерное прямолинейное движение этого тела по отношению к Земле.

В основе статики лежат аксиомы – простые исходные положения, подтверждаемые многовековой практикой и не нуждающиеся в доказательствах. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к материальной точке и к абсолютно твердому телу.

Аксиома I. Для равновесия двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.2):

Аксиома II. Не изменяя действия системы сил на абсолютно твердое тело, можно прибавить к этой системе (или отнять от нее) взаимно уравновешивающиеся силы (рис. 1.3):

Следствие. Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, ее можно переносить по линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома III (аксиома параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке тела, по величине и направлению совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.4).

Если обозначим через R равнодействующую двух сил F 1 и F 2, то на основании этой аксиомы имеем:

Аксиома IV (принцип равенства действия и противодействия). Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.5):

Важно заметить, что действие и противодействие представляют собой две силы, приложенные всегда к двум разным телам. Поэтому их нельзя считать взаимно уравновешивающимися.

Аксиома V (принцип затвердевания). Если деформируемое (не абсолютно твердое) тело, которое находилось под действием системы сил в состоянии равновесия, станет абсолютно твердым, то его равновесие не нарушится.

Рис. 1.4. К понятию аксиомы III Рис. 1.5. К понятию аксиомы IV Эта аксиома имеет большое значение при изучении равновесия деформируемых тел. Из нее следует, что условия равновесия абсолютно твердого тела являются необходимыми и для равновесия деформируемого тела.

Таким образом, принцип затвердевания устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемого тела.

Точка или тело называются свободными, если они могут совершать любые перемещения в пространстве. Если же тело поставлено в условия, что некоторые перемещения для него становятся невозможными, то такое тело называется несвободным.

Любые ограничения, накладываемые на движения тел, в механике называются связями.

Связи, с которыми приходится встречаться в механике, осуществляются при помощи материальных тел (твердых или гибких). Между несвободным телом и телом, осуществляющим связь, появляются силы взаимодействия. Сила, с которой связь действует на рассматриваемое тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется реакцией связи.

Из аксиомы IV следует, что сила, с которой тело действует на связь, и реакция этой связи имеют одинаковые величины, но противоположные направления.

Силы взаимодействия тела и связи зависят от других сил, приложенных к несвободному телу. Эти силы называются активными. Как правило, они бывают известными (заданными). Нахождение сил реакций является одной из важнейших практических задач, решаемых в механике.

Сила реакции, как и любая другая сила, является величиной векторной, она характеризуется численным значением (модулем) и направлением. Существует общее правило, характеризующее взаимодействие рассматриваемого тела и связи: направление силы реакции противоположно тому, в котором связь препятствует перемещению.

Все многообразие связей, осуществляемых при помощи материальных тел, можно разделить на несколько основных типов.

Гладкая поверхность. Тело свободно опирается на гладкую (без трения) поверхность связи в точке А (рис. 1.6). В этом случае реакция опорной поверхности приложена к телу в точке А и направлена по общей нормали, проведенной в этой точке к поверхностям соприкасающихся тел. Поэтому она называется нормальной реакцией и обозначается обычно через N.

Нить. Связь осуществляется при помощи гибкого тела (троса, каната, цепи и т.п.). Реакция такой связи (реакция нити) приложена к телу в точке крепления к нему нити и направлена вдоль нее к точке подвеса (силы T 1 и T 2 на рис. 1.7).

Рис. 1.6. Реакция гладкой поверхности Рис. 1.7. Реакция нити Неподвижная шарнирная опора. Шарниром называется такое подвижное соединение тел, которое дает им возможность свободно поворачиваться относительно друг друга. Если таким способом присоединить тело к неподвижному основанию (стойке), то получается шарнирно-неподвижная опора. При отсутствии трения в шарнире такая опора препятствует перемещению тела в любом направлении, перпендикулярном к оси шарнира.

Поэтому ее реакция может принимать любое направление, перпендикулярное к оси шарнира (например, в плоскости рисунка). При решении задач эту силу реакции обычно представляют в виде двух составляющих сил, которые направляют перпендикулярно друг к другу, например, параллельно принятым осям координат (рис. 1.8).

Неподвижная шарнирная опора может быть выполнена при помощи сферического шарнира (рис. 1.9). В этом случае неподвижным остается только геометрический центр В шарнира. Через него проходит линия действия силы реакции, которая может иметь любое направление в пространстве. Поэтому ее представляют уже в виде трех составляющих (направляя параллельно осям x, y, z). Каждая из них указывает на то, что точка В (центр шарнира) не может перемещаться в этом направлении.

Рис. 1.8. К определению реакции Рис. 1.9. К определению реакции Подвижная шарнирная опора. Если стойку шарнира поставить на катки так, чтобы она могла свободно перемещаться по опорной поверхности, то реакция такой шарнирной опоры будет направлена (в случае гладкой поверхности) по нормали к ней (рис. 1.10).

Стержневая связь (стержень). Эта связь осуществляется при помощи жесткого невесомого стержня произвольного очертания. На концах стержня имеются шарниры, при помощи которых он крепится к телу и к неподвижному основанию. Реакция стержневой связи направлена по прямой, соединяющей концевые шарниры (рис. 1.11).

Жесткая заделка или защемление. Так называется связь, ограничивающая любые перемещения тела. В жесткой заделке появляется система сил реакций, которую обычно представляют в виде одной силы (сила реакции жесткой заделки) и одной пары сил с моментом М (реактивный момент). При решении задач их раскладывают на составляющие силы и моменты, которые символизирует ограничение того или иного движения тела. Например, в случае плоской системы сил они представляются в виде X A, Y A и m A (рис. 1.12), которые показывают, что тело не может свободно перемещаться в направлении этих сил (или в противоположном направлении) и не может поворачиваться вокруг точки А. В случае пространственной системы сил реакцию жесткой заделки представляют в виде трех составляющих сил X B, Y B, Z B и трех моментов MBx, MBy и MBz относительно осей x, y и z (рис. 1.13). Их направление принимают произвольно, и после решения задачи, то есть после вычисления составляющих сил реакций и реактивных моментов, уточняют эти направления.

Рис. 1.12. К определению реакций Рис. 1.13. К определению реакций в жесткой в жесткой заделке (плоская система) заделке (пространственная система) Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Если линии действия всех сил системы лежат в одной плоскости, то она называется плоской, в противном случае – пространственной.

Сложением сходящихся сил называется операция определения их равнодействующей.

Простейшую систему образуют две силы, сходящиеся в одной точке.

Ранее мы выяснили, что силу, приложенную к твердому телу, можно переносить по ее линии действия и прикладывать в любой точке тела. А из аксиомы III следует, что силы могут быть заменены одной силой, величина и направление которой совпадают с диагональю параллелограмма, построенного на векторах этих сил. Поэтому можно записать Этот способ сложения двух сил называется правилом параллелограмма сил.

Нетрудно видеть, что для нахождения равнодействующей силы необязательно строить параллелограмм: достаточно к концу одной силы (например, первой) перенести вектор второй силы, а затем из начала первой провести вектор к концу второй (перенесенной) силы (рис. 1.14). Получившийся треугольник называется силовым, а соответствующее правило нахождения равнодействующей силы – правилом силового треугольника.

Равнодействующую двух сходящихся сил можно найти и с помощью вычислений:

Чтобы найти равнодействующую в том случае, когда на тело действует большое число сходящихся сил (рис. 1.15), можно воспользоваться правилом силового треугольника последовательно для сложения сначала двух, затем трех и так далее сил. В результате получим так называемый силовой многоугольник, в котором вектор, проведенный из начала первой силы к концу последнего перенесенного вектора, и будет изображать искомую равнодействующую:

При построении силового многоугольника может получиться так, что конец последней перенесенной силы (Fn) попадает в начало первой, то есть многоугольник замкнется (рис. 1.16). В этом случае равнодействующая сила системы окажется равной нулю и, следовательно, данная система сил эквивалентна нулю, то есть находится в равновесии.

Отсюда заключаем, что для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

Пусть задана сила F и некоторая ось X – ось проекций (рис. 1.17).

Из математики известно, что проекция любого вектора (например, силы F ) на какую-либо ось (например, X) находится по формуле где – угол между вектором F и осью Х.

Знак косинуса этого угла и определяет знак проекции вектора на ось.

Например, если угол острый, то cos () > 0 и Fx > 0; если 90° > > 270°, то Fx < 0 и т. д.

В частных случаях, когда = 0 (то есть сила параллельна оси проекций и имеет такое же направление), F1x = F1; если вектор силы перпендикулярен к оси проекций, то F2x = 0, поскольку cos 90° = 0, и т. д.

Рассмотрим теперь определение равнодействующей сходящихся сил с помощью проекций.

Пусть задана система сходящихся сил ( F 1, F 2, F 3, F 4), на которых построили силовой многоугольник ABCDE, где вектор AE соответствует равнодействующей силе R данной системы (рис. 1.18). Выберем ось x и найдем проекции каждой силы на эту ось. Получаем То есть, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на ось равна алгебраической сумме проекций сил, составляющих эту систему.

Полученный результат можно применить и к определению проекции равнодействующей силы на любую другую ось (например, y и z прямоугольной пространственной системы координат Oxyz). Следовательно, в случае системы, состоящей из n сил, Зная проекции равнодействующей силы на оси координат, можно найти ее величину в случае плоской системы сил по формуле В случае пространственной системы сходящихся сил величина силы R находится как длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, ребрами которого являются R x, R y, R z (рис. 1.19):

Направление равнодействующей, то есть углы, образуемые ею с осями Ox, Oy и Oz, можно найти из формул Получим теперь аналитические уравнения равновесия сходящихся сил. Как мы установили ранее, для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах сил системы, был замкнут, то есть R = 0. Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три уравнения равновесия:

а в случае плоской системы сходящихся сил – два уравнения, так как всегда можно принять ось Oz перпендикулярной к плоскости, в которой действуют силы системы:

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из координатных осей равнялась нулю.

Теорема о равновесии трех сил. Если три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются, то эти силы расположены в одной плоскости и линии действия их пересекаются в одной точке.

Парой сил называется система двух равных по модулю антипараллельных сил, приложенных к одному твердому телу (рис. 1.20).

Пара сил (далее – пара), как и сила, является самостоятельной силовой единицей, характеризующей механическое взаимодействие материальных тел.

Пара производит на тело вращательное действие. Количественной мерой этого действия является момент пары.

Алгебраическим моментом пары называется взятое со знаком «плюс»

или «минус» произведение модуля одной из сил пары на плечо. Плечом пары называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Момент пары обозначается буквой М:

Будем считать момент пары положиF вать тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Момент пары обладает следующими свойствами:

ствия момент пары не изменяется, так как при этом не изменяются ни величины сил, Рис. 1.20. К понятию пары сил образующих пару, ни ее плечо.

2. Момент пары не зависит от положения центра моментов:

Здесь символом МО обозначен момент пары относительно точки О.

Не изменяя действия данной пары сил на твердое тело, ее можно заменить любой другой парой, расположенной в той же плоскости и имеющей тот же алгебраический момент.

Следовательно, любые пары, расположенные в одной плоскости и имеющие одинаковые алгебраические моменты, эквивалентны.

Это дает возможность не уточнять, из каких сил состоит пара и чему равно ее плечо. Поэтому пары на рисунках изображают при помощи круговых стрелок или условным знаком в виде двух связанных антипараллельных сил, равных по величине (рис. 1.21), с указанием только направлений, в которых эти пары стремятся поворачивать тело.

Сложением пар называется операция замены системы пар эквивалентной более простой системой сил.

Систему пар, действующих в одной плоскости, можно заменить одной парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных пар. Следовательно, система пар на плоскости может находиться в равновесии только тогда, когда алгебраическая сумма моментов этих пар равна нулю:

Отсюда также вытекает, что плоскую систему пар сил можно уравновесить только парой сил, действующей в этой же плоскости.

Действие пары (или системы пар) на твердое тело полностью определяется их алгебраическими моментами. Но сказанное справедливо в том случае, когда пары расположены в одной плоскости. Если же к телу приложена система пар, действующих в разных плоскостях, то каждая из них будет стремиться поворачивать тело в своей плоскости действия. Поэтому введенного понятия о моменте пары как алгебраической величине недостаточно. Его надо дополнить, одновременно определив и положение плоскости действия пары. Это можно выполнить, если рассматривать моменты пар сил как векторные величины.

Условимся направлять вектор, изображающий момент пары, перпендикулярно к плоскости действия пары в такую сторону, чтобы с его конца было видно, что пара стремится поворачивать эту плоскость против хода часовой стрелки (рис. 1.22). Длину вектора будем принимать равной модулю алгебраического момента пары в этой плоскости.

Рис. 1.21. К понятию пары сил Рис. 1.22. К понятию векторного Так как пару сил можно перемещать в плоскости ее действия и переносить в другую плоскость тела, параллельную первой, то вектор момента пары можно показывать из любой точки тела. Такие векторы называются свободными.

Если на тело действует система пар, как угодно расположенных в пространстве, то все они могут быть показаны в виде векторов, изображающих их моменты. Причем все они могут быть приложены в одной (любой) точке тела. При необходимости их можно сложить по правилу сложения векторов. Получившийся при этом результирующий вектор будет соответствовать моменту пары, эквивалентной всей системе пар.

Представим себе твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и пересекающей эту плоскость в точке О (рис. 1.23). Пусть на это тело действуют силы, лежащие в этой же плоскости, например, F1 и F2. Такое тело называется рычагом. Эффективность силы, приложенной к рычагу и стремящейся повернуть его вокруг оси вращения, определяется величиной и направлением момента этой силы относительно точки О.

В общем случае центром моментов может быть любая точка, даже не принадлежащая телу. При изучении плоской системы сил момент силы относительно точки рассматривается как алгебраическая величина.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы (рис. 1.24):

Расстояние h от центра моментов до линии действия силы F называется плечом этой силы относительно точки О.

Момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра моментов против хода часовой стрелки, в противном случае – отрицательным.

Момент силы измеряется в Нм.

Отметим следующие свойства алгебраического момента силы относительно точки:

1. При переносе силы по линии действия ее момент не изменяется, так как при этом сохраняются и величина силы, и ее плечо относительно центра моментов.

2. Момент силы относительно точки равняется нулю, если центр моментов лежит на линии действия силы, так как в этом случае плечо силы равно нулю (рис. 1.24): M D ( F ) = 0.

Теорема Вариньона. Алгебраический момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен сумме алгебраических моментов сил, составляющих систему, относительно того же центра.

Пусть к телу в точке С приложены силы F1, F2,..., Fn и сила R является их равнодействующей. Примем в качестве центра моментов произвольную точку О.

Задача об эквивалентной замене произвольной плоской системы сил более простой системой решается приведением системы сил к центру.

В основе этого метода лежит теорема о параллельном переносе силы: не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно перенести параллельно самой себе и приложить в любой другой точке тела, добавив при этом пару с моментом, равным моменту силы относительно новой точки ее приложения.

Пусть к твердому телу в точке А приложена сила F (рис. 1.25). Действие этой силы на тело не изменится, если в произвольно взятой точке В тела приложим к нему две уравновешивающиеся силы F и F, причем F = F = F и F // F // F. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F, которая равна заданной силе F, но перенесена в точку В параллельно себе, и пары сил ( F, F ) с моментом М:

Рассмотрим систему сил ( F1, F2,..., Fn ), приложенных к твердому телу в точках А1, А2,..., Аn и действующих в плоскости (рис. 1.26). Используя предыдущий прием, перенесем каждую силу в произвольно взятую точку О – центр приведения. Вместо исходных сил получим геометрически равные им силы сходящиеся в точке О, и присоединенные пары с моментами Сложив силы, сходящиеся в точке О, найдем их равнодействующую:

Рис. 1.26. К вопросу о приведении плоской системы сил к заданному центру О Итак, силы, приложенные в точке О, заменили одной силой R *. Эта сила, равная геометрической сумме сил системы, называется ее главным вектором. Очевидно, что он не зависит от центра приведения.

Теперь сложим присоединенные пары, появившиеся при параллельном переносе сил заданной системы в центр приведения О:

или Этот момент называется главным моментом системы сил относительно центра приведения О. При перемене центра приведения он будет иметь другое значение, поскольку его слагаемые зависят от положения этой точки.

Таким образом, в результате приведения к точке О заданная система сил заменена более простой эквивалентной системой, состоящей из одной силы (главный вектор системы) и одной пары сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно центра приведения О:

Следовательно, плоские системы сил эквивалентны между собой, если они имеют одинаковые главные векторы и главные моменты.

Чтобы упростить заданную плоскую систему сил, нет необходимости выполнять все указанные преобразования. Достаточно определить величину и направление главного вектора, а также вычислить главный момент системы относительно центра приведения.

Приняв точку О за начало системы координат Oxy, можем записать:

Зная проекции главного вектора на оси Ox и Oy, находим его величину и направление:

Главный момент системы относительно точки О вычисляется по формуле (1.21).

При вычислении R * и M 0 могут получиться следующие результаты:

1) R* 0, а M 0 = 0. Это означает, что данная система сил эквивалентна одной силе, то есть приводится к равнодействующей, причем эта равнодействующая по величине и направлению совпадает с главным вектором и приложена в центре приведения О;

2) R* = 0, а M 0 0. В этом случае система приведена к паре сил с моментом, равным главному моменту системы.

Так как пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое другое место, то при перемене центра приведения результат не изменится и система сил будет эквивалентна одной и той же паре с одним и тем же моментом;

3) R* 0, а M 0 0. Такая система сил допускает дальнейшее упрощение и приводится к равнодействующей силе;

4) R* = 0, а M 0 = 0. В данном случае исходная система сил эквивалентна нулю, то есть находится в равновесии.

Вернемся к рассмотрению случая приведения произвольной плоской системы сил к центру О, когда главный вектор и главный момент некоторой системы сил не равны нулю. Предположим, что получили систему, показанную на рис. 1.27.

Рис. 1.27. К вопросу приведения плоской системы сил к равнодействующей Заменим главный момент парой сил ( R1, R ). Силы этой пары примем равными главному вектору R1 = R = R * и одну из них приложим в точке О, направив ее противоположно R *. Линия действия другой силы этой пары пройдет на расстоянии OO1, равном плечу пары:

В полученной системе трех сил R * и R1 уравновешиваются, и их можно из рассмотрения исключить. После этого останется одна сила, геометрически равная главному вектору системы и приложенная в точке О1.

Так как она эквивалентна первоначальной системе сил, то является ее равнодействующей.

Итак, в рассматриваемом случае ( R* 0 и M 0 0 ) система сил приводится к равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если плоская система сил имеет равнодействующую, то ее алгебраический момент относительно любого центра О равен сумме алгебраических моментов сил системы относительно того же центра.

Ранее установлены условия равновесия произвольной плоской системы сил:

Из этих условий получим аналитические уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, используя формулы (1.21) и (1.23):

Таким образом, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил системы на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Система (1.28) называется основной формой уравнений равновесия произвольной плоской системы сил. Для составления этих уравнений оси проекций x и y, а также центр моментов О могут выбираться совершенно произвольно в плоскости действия сил системы. Пользуясь этим правом выбора, можно заменить уравнения проекций на уравнения моментов относительно других центров и получить еще две системы:

(ось проекций x не должна быть перпендикулярна к прямой ОА);

(центры моментов В, А и О не должны находиться на одной прямой).

Системы (1.29) и (1.30) называются соответственно второй и третьей формами уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

Ограничения на выбор центров моментов обусловлены следующим.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R *.

Поскольку об этом заранее не известно, то может случиться так, что выбранная ось проекций окажется перпендикулярной к силе R *, а центры моментов О и А – на линии ее действия (рис. 1.28). Тогда уравнения системы (1.29) будут выполняться. То есть, приходим к противоречию: уравнения равновесия выполняются, хотя система сил не является уравновешенной. Во избежание подобных случаев и вводятся указанные ограничения.

Система двух параллельных сил является плоской, так как через их линии действия всегда можно провести плоскость.

Пусть к твердому телу в точках А и В приложены две силы F1 и F2, направленные по параллельным прямым в одну сторону (рис. 1.29).

Главный вектор этой системы R* = F1 + F2 направлен в ту же сторону, что и заданные силы, и параллелен им. Его модуль равен сумме величин сил F1 и F2 и отличен от нуля. В этом случае система сил приводится к равнодействующей, причем ее величина и направление такие же, как и у главного вектора, то есть R = F1 + F2 и R R *.

Рис. 1.28. К выводу формулы (1.29) Рис. 1.29. К понятию равнодействующей Чтобы найти точку, через которую проходит линия действия силы R, воспользуемся теоремой Вариньона. Предположим, что равнодействующая сила системы проходит через какую-то точку С на прямой АВ. Примем эту точку за центр моментов, и по теореме Вариньона будем иметь:

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы двух параллельных сил, направленных в одну и ту же сторону, делит отрезок АВ между точками приложения сил системы на части, обратно пропорциональные величинам этих сил.

В заключение отметим следующее: если силы F1 и F2 повернуть в одну и ту же сторону на угол, то все сказанное выше останется без изменений.

Это означает, что точка С является геометрической характеристикой системы параллельных сил: через нее всегда проходит линия действия равнодействующей двух параллельных, одинаково направленных сил, имеющих заданные величины, независимо от их направления по отношению к прямой АВ.

Эта точка называется центром системы двух параллельных сил.

Рассмотрим плоскую систему параллельных сил (рис. 1.30).

Для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы выполнялись общие для любой плоской системы сил условия равновесия: главный вектор и главный момент системы относительно любого центра должны быть равны нулю. Полученные из этих условий аналитические уравнения (1.28) применимы и в данном случае. Вспомним, что на выбор осей проекций и центра моментов для составления этих уравнений не накладываются никакие ограничения. Но так как линии действия сил рассматриваемой системы параллельны, то сумма проекций сил системы на ось, перпендикулярную к ним (например, на ось Oy), будет тождественно равна нулю. Исключив по этой причине одно из уравнений системы (1.28), получаем, что для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два уравнения:

В качестве уравнений равновесия могут быть использованы и другие, например:

в которых центры моментов должны выбираться так, чтобы прямая ОА не была параллельна линиям действия сил системы.

Рассматривая понятие силы, мы отмечали, что в реальных условиях сосредоточенные, то есть приложенные в точке, силы не встречаются. Они обязательно распределены по объему, площади или линии. Рассмотрим такие силы.

Простейшей системой распределенных сил является система, показанная на рис. 1.31, а.

Силы системы равномерно распределены на прямолинейном участке АВ длиной l, направлены в одну сторону и параллельны между собой.

Сила, приходящаяся на единицу длины участка, называется интенсивностью распределенных сил (или распределенных нагрузок). Она измеряется в Н/м и обозначается буквой q.

Рис. 1.30. К выводу уравнений Рис. 1.31. К понятию равнодействующей равновесия плоской системы системы распределенных сил: а – постоянной параллельных сил интенсивности; б – переменной интенсивности Рассматриваемая система сил имеет равнодействующую проходящую посередине участка АВ, по которому распределены силы.

Другим примером является система параллельных сил, направленных в одну сторону, но переменной интенсивности: силы распределены по закону треугольника (см. рис. 1.31, б).

Такая система сил тоже имеет равнодействующую Q:

Ее линия действия проходит через точку С, которая располагается ближе к тому концу участка, где интенсивность нагрузки наибольшая, и расстояние до точки С от этого конца участка равно 1/3 длины всего участка.

При определении условий равновесия системы тел, находящихся во взаимодействии, задача о равновесии может быть решена для каждого тела в отдельности. Силы реакций, возникающие в точках контакта тел, удовлетворяют аксиоме IV. Следовательно, для системы из n тел, на каждое из которых действует плоская система сил, получаем 3n уравнений равновесия, которые позволяют найти 3n неизвестных. В случае, когда по условию задачи требуется определить лишь некоторые неизвестные силы, нужно составить те уравнения равновесия, которые необходимы для получения искомого ответа.

1.6. Произвольная пространственная система сил Момент силы F относительно точки О, характеризующий ее вращательный эффект, определяется тремя элементами: численным значением (модулем); плоскостью действия, в которой находятся центр моментов и сила; направлением поворота в этой плоскости. В случае плоской системы сил достаточно указывать только численное значение и направление момента силы относительно точки, то есть рассматривать его как алгебраическую величину.

В случае пространственной системы сил плоскости поворота для каждой силы различны и их следует указывать отдельно. Проще всего это можно сделать, если изображать момент силы относительно точки как вектор. В механике принято направлять вектор момента силы относительно точки по перпендикуляру к плоскости, в которой находятся сила и центр моментов О, в такую сторону, чтобы с конца его было видно, что сила стремится поворачивать тело против хода часовой стрелки (рис. 1.32).

Длину вектора принимают равной величине момента. Построенный таким образом вектор будет одновременно характеризовать величину момента силы относительно точки, плоскость, в которой сила стремится поворачивать тело, и направление поворота этой плоскости. Сама же точка приложения этого вектора будет являться центром моментов.

Ранее мы говорили о вращательном эффекте силы, приложенной к телу, относительно точки этого тела. В технике приходится иметь дело с телами, которые могут вращаться вокруг оси (например, валы, оси, зубчатые колеса и другие детали различных машин и устройств). Поэтому очень важно установить, какое действие оказывает сила, приложенная к таким телам. Вращательный эффект, создаваемый силой в подобных случаях, характеризуется ее моментом относительно оси вращения тела.

Пусть некоторая сила F и ось Z занимают произвольное положение по отношению друг к другу (рис. 1.33). Через точку О, произвольно принятую на оси, проведем плоскость, перпендикулярную к ней.

Рис. 1.32. К понятию векторного момента Рис. 1.33. К понятию момента силы Из начала и конца вектора AB, изображающего силу F, опустим перпендикуляры на эту плоскость. Их основания являются проекциями точек А и В на плоскость. Из проекции начала силы F на плоскость (точка a) к проекции конца силы (точка b) проведем вектор ab = F.Он является проекцией вектора силы F на плоскость. Момент силы F относительно точки О принимается за момент силы F относительно оси z и обозначается символом M z = ( F ).

Моментом силы F относительно оси z называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки О их пересечения:

Из этого определения следует, что момент силы относительно оси – алгебраическая величина. Правило знаков: если с конца оси моментов видно, что сила стремится поворачивать тело вокруг этой оси против хода часовой стрелки, то ее момент относительно этой оси будем считать положительным, а если по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Момент силы относительно оси обращается в нуль в следующих двух случаях:

1) если сила параллельна оси моментов (в этом случае проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, равна нулю);

2) если линия действия силы пересекает эту ось (плечо силы F относительно точки О равно нулю).

Эти случаи можно объединить: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось моментов лежат в одной плоскости.

Ранее мы установили, что при параллельном переносе силы в другую точку тела необходимо добавить к этой силе присоединенную пару. Ее момент рассматривали как алгебраическую величину. Эти результаты с некоторыми уточнениями можно использовать и в случае пространственной системы сил.

Так как через линию действия любой силы и точку в пространстве всегда можно провести плоскость, то параллельный перенос силы тоже всегда осуществляется в плоскости. Но присоединенные пары будут расположены в разных плоскостях. Поэтому моменты присоединенных пар следует рассматривать как векторы:

Перенося каждую силу в точку О (центр приведения), будем заменять ее геометрически равной силой, приложенной в точке О, и векторным моментом M k :

Складывая силы, сходящиеся в точке О, получим главный вектор системы:

или То есть, главный вектор произвольной пространственной системы сил равен геометрической сумме сил системы.

Сложив векторные моменты присоединенных пар, получим главный момент системы сил относительно центра приведения:

или То есть, главный момент произвольной пространственной системы сил относительно центра приведения равен геометрической сумме векторных моментов сил системы относительно этого центра.

Таким образом, любая произвольная пространственная система сил может быть заменена эквивалентной системой, состоящей из одной силы и одной пары сил:

Величина и направление главного вектора системы определяются через его проекции на оси координат:

Для вычисления главного момента произвольной пространственной системы сил относительно центра приведения О сначала вычисляются главные моменты системы сил относительно координатных осей Ox, Oy и Oz:

Затем находятся величина и направление M 0 по формулам где 1, 1, 1 – углы, которые образует главный момент M 0 с осями координат.

В зависимости от того, какими окажутся главный вектор R и главный момент M 0, возможны следующие случаи приведения сил к центру:

1. R 0, M 0 = 0. В этом случае система сил заменяется одной, а значит, – равнодействующей силой.

2. R = 0, M 0 0. Система сил заменяется одной, а значит, – равнодействующей парой сил.

3. R 0, M 0 0, R M 0. В этом случае система сил также заменяется равнодействующей силой, но проходящей через точку, смещенную относительно центра приведения на расстояние d =.

парой и силой R, перпендикулярной к плоскости пары. Такая совокупность в механике называется динамой или динамическим винтом.

Произвольная пространственная система сил будет находиться в равновесии, если она эквивалентна нулю. Это возможно лишь тогда, когда главный вектор и главный момент системы относительно произвольно взятого центра О равны нулю.

являются необходимыми и достаточными условиями равновесия пространственной системы сил. Они равносильны следующим шести аналитическим уравнениям равновесия:

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей, а также алгебраические суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей были равны нулю.

Теорема Вариньона. Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно какого-либо центра или оси равен сумме моментов сил системы относительно этих же центра или оси.

Пространственная система параллельных сил является частным случаем произвольной пространственной системы сил, так как линии действия всех сил параллельны между собой, но не лежат в одной плоскости.

Примем такую систему координат Oxyz, чтобы ось Oz была параллельна линиям действия сил системы (рис. 1.34). Тогда две дру- равновесия пространственной системы гие оси, Ox и Oy, будут перпенди- параллельных сил кулярны к ним, и проекции сил системы на эти оси будут равны нулю. Следовательно, два уравнения системы (1.47) автоматически выполнятся, и их составление сведется к записи тождества 0 0. Кроме этого, момент каждой силы относительно оси Oz, параллельной линиям действия сил, тоже будет равен нулю. Следовательно, последнее уравнение системы (1.47) выполнится тождественно. В результате из шести уравнений системы (1.27) останется три:

Итак, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций их на ось, параллельную линиям действия сил системы, а также суммы моментов сил относительно двух осей, перпендикулярных им, равнялись нулю.

Рассматривая различные системы сил, мы получили условия и уравнения их равновесия. При этом выяснили, что уравнения могут составляться в различных формах. Но важно отметить следующее. В какой бы форме они ни составлялись, их число, например, в случае произвольной пространственной системы сил – шесть. Следовательно, если в задаче рассматривается равновесие тела под действием такой системы сил, то методами статики можно определить не более шести неизвестных.

Аналогичную ситуацию имеем и в случае любой другой системы сил: количество уравнений равновесия ограничено и определяется видом самой системы сил. Например, для плоской системы сходящихся сил их всего два, а для произвольной плоской системы – три и т. д.

Количеством уравнений равновесия определяется и число неизвестных, которые можно найти, решая задачи статики.

Если в задаче статики число неизвестных равно количеству уравнений равновесия, то она может быть решена методами, которые мы рассматриваем. Такие задачи называются статически определимыми. Если же количество неизвестных больше числа уравнений равновесия, то задача становится статически неопределимой. Для решения таких задач наравне с уравнениями равновесия применяются методы, которые рассматриваются в сопротивлении материалов.

На все частицы материального тела вблизи земной поверхности действуют силы притяжения к Земле, называемые силами тяжести. Если размеры тела сравнительно невелики, то эти силы параллельны между собой и направлены в одну сторону. Их равнодействующая называется силой тяжести тела. Очевидно, что где Р – сила тяжести тела; Рk – сила тяжести k-той частицы.

Как было показано ранее, равнодействующая двух параллельных и одинаково направленных сил проходит через одну и ту же точку С при любой ориентации сил относительно прямой, соединяющей точки их приложения. Этот результат может быть распространен и на случай большого числа параллельных сил, направленных в одну сторону, так как, найдя центр первых двух сил, в нем можно приложить их равнодействующую, затем найти центр этой равнодействующей и некоторой третьей силы системы и т.д. Следовательно, система сил тяжести частиц материального тела имеет свой центр, через который проходит линия действия их равнодействующей. Эта геометрическая точка, принадлежащая телу, называется его центром тяжести.

Чтобы найти положение центра тяжести тела, выберем систему координат Oxyz, неизменно связанную с телом. Ось Oz направим вертикально вверх, то есть параллельно линиям действия сил тяжести. Тогда можно записать:

По таким же формулам можно вычислять координаты центра тяжести тела, если с ним сама система координат непосредственно не связана.

Представим себе некоторый объем V, заполненный однородным веществом, имеющим удельный вес. Силы тяжести такого тела и некоторой его частицы пропорциональны их объемам V и Vk:

Если в формулы (1.51) подставить значения Р и Рk, то получаем:

Выражения (1.53) определяют положение центра тяжести объема, который является его геометрической характеристикой.

Рассмотрим теперь тонкую однородную пластинку весом Р. Эта сила равномерно распределена по всей площади пластинки, так что где – сила тяжести, приходящаяся на единицу площади.

Мысленно разобьем всю пластинку на n частей (k = 1, 2,..., n). Очевидно, что сила тяжести Рk равна Аk.

Выберем систему координат, расположенную в плоскости пластинки, и найдем положение ее центра тяжести С:

где xk и yk – координаты центров тяжести выделенной части.

Эти формулы определяют положение центра тяжести пластинки, но положение этой точки не зависит ни от силы тяжести, ни от вещества, из которого сделана пластинка. Следовательно, по ним находится положение центра тяжести не самой пластинки, а ее площади. Так мы пришли к понятию «центр тяжести плоской фигуры», то есть геометрического объекта, не обладающего массой. Это понятие является еще одной геометрической характеристикой плоской фигуры.

Аналогичными рассуждениями можно прийти к понятию «центр тяжести геометрической линии»:

где Lk – длина k-той части, на которые разбита вся линия.

В полученных формулах (1.51) – (1.55), определяющих центры тяжести материального и геометрического тел, суммы состоят из бесчисленного множества слагаемых. Правила вычисления таких сумм излагаются в курсе интегрального исчисления. Здесь мы рассмотрим некоторые приемы, позволяющие легко определить центры тяжести простейших тел и фигур.

1. Метод симметрии Если материальное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести такого тела находится в этой плоскости. Действительно, каждой частице М' такого тела соответствует частица М", расположенная по другую сторону от плоскости симметрии и имеющая такую же силу тяжести. Равнодействующая сила тяжести обеих частиц проходит через середину отрезка М"М', то есть лежит в плоскости симметрии. Очевидно, что так обстоит дело со всеми точками тела, и поэтому равнодействующая сил тяжести всех частиц тела проходит через точку С, находящуюся в плоскости симметрии.

Например, центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, где пересекаются две оси симметрии прямоугольника. Точно так же центр тяжести параллелограмма, имеющего центр симметрии в точке пересечения диагоналей, находится в этой точке.

2. Метод разбиения Сущность данного метода состоит в том, что рассматриваемое тело разбивается на несколько простейших тел, причем таких, что положение центра тяжести каждого из них можно определить заранее, например, используя метод симметрии или по известным формулам. Пусть это будут точки С1( x1, y1, z1 ), С2( x2, y2, z2 ) и т.д. Обозначим центр тяжести всего тела буквой С, а его координаты – xc, yc, zc. Они могут быть найдены по формулам (1.51), в которых суммы состоят уже из конечного числа слагаемых по количеству частей, на которые разбивается тело.

При нахождении центра тяжести тела с вырезами (например, сложных деталей) можно также применять формулы (1.51), считая силы тяжести (площади или объемы), соответствующие вырезанным частям, отрицательными.

Положения центров тяжести некоторых простых плоских и объемных фигур приведены в табл. 1.

Положение центров тяжести некоторых однородных линий, фигур и тел Периметр Дуга окружности радиуса R Треугольник прямой АВ и прямой, соединяющей середины паТрапеция раллельных сторон;

Центр тяжести С находится в точке пересечения отрезков [С1С2] и [С3С4], где С1 – ЧетырехА2А3А4; С2 – центр тяжести угольник Круговой сектор радиуса Круговой сегмент радиуса ПараболиOC = h ческий сегмент Положение центра тяжести объема цилиндр Шаровой сектор радиуса радиуса вращения 1.8.1. Трение скольжения При скольжении одного тела по поверхности другого (или при стремлении сдвинуть его) в плоскости соприкосновения тел возникают силы сопротивления, препятствующие их относительному движению (рис. 1.35).

Эти силы называются силами трения скольжения. Во многих задачах механики, в том числе и при рассмотрении равновесия тел, приходится учитывать действие этих сил. С этой целью используются приближенные законы трения скольжения, полученные опытным путем. Их сущность сводится к следующим утверждениям:

Рис. 1.35. К понятию тела, или в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело.

2. В конкретных условиях сила трения может принимать любые значения в пределах от нуля до некоторого предельного значения Fпред, которое достигается в состоянии относительного проскальзывания или в состоянии предельного равновесия тела.

3. Величина предельной силы трения пропорциональна силе нормального давления N между трущимися поверхностями и не зависит от величины площади соприкасания тел:

где f – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения скольжения.

Объединяя второй и третий законы, можем записать:

причем Fтр = N f в состоянии относительного проскальзывания или в состоянии предельного равновесия, а в остальных случаях значение Fтр определяется из уравнений равновесия.

1.8.2. Угол и конус трения Рассматривая реакции связей, мы предполагали, что при свободном опирании тела на какую-то поверхность ее реакция направлена по нормали к ней. Опыт показывает, что это предположение не соответствует действительности. Оказывается, реакция реальной (негладкой) неподвижной поверхности образует с нормалью некоторый угол (рис. 1.36), и ее можно разложить на две составляющие: силу N, направленную по нормали к опорной поверхности, и силу Fтр, лежащую в касательРис. 1.36. К определению ной плоскости и препятствующую скольже- реакции связи негладкой Величина этого угла определяется значением силы трения, которая развивается между телом и связью. Но сила трения не может превосходить своего предельного значения. Поэтому наибольшее значение угла находим из выражения или Этот наибольший угол, на который может отклониться линия действия силы реакции негладкой поверхности от нормали, проведенной к ней в точке контакта тел, называется углом трения скольжения. Тангенс угла трения равен коэффициенту трения скольжения:

Геометрическое место прямых линий, проведенных из точки А под углом к нормали опорной поверхности в точке А, называется конусом трения (рис. 1.37). Если коэффициент трения скольжения имеет одинаковые значения во всех направлениях, то конус трения – круговой. Если же коэффициент трения в различных направлениях неодинаков, то конус трения не будет круговым.

Таким образом, линия действия полной реакции негладкой поверхности всегда отклонена от нормали к этой поверхности и в случае относительного проскальзывания тела по этой поверхности проходит по образующей конуса трения, а при относительном равновесии – внутри него.

Введенные понятия «конус трения» и «угол трения» имеют не только теоретическое значение. Их применение позволяет решить вопрос о возможном поведении тела на негладкой поверхности при приложении к нему заданных сил.

1.8.3. Трение качения Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Представим себе колесо, стоящее на горизонтальной плоскости (рис. 1.38). Пусть P – вес колеса и его линия действия проходит через При действии сдвигающего усилия T в месте контакта катка и поверхности возникает сила трения скольжения Fтр, препятствующая проскальзыванию катка. Эти две равные по модулю Рис. 1.38. К понятию трения качения сторону действия силы T на некоторое расстояние h. В результате силы P и N образуют другую пару, препятствующую действию пары (T, Fтр ).

Максимальную величину h = k, соответствующую предельному положению равновесия, называют коэффициентом трения качения. В отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения f коэффициент трения качения k имеет размерность длины.

Значение T, соответствующее случаю предельного равновесия, При T > Nk / r каток начнет катиться. Отметим, что трение качения возникает только при перекатывании упругих тел. Если же соприкасающиеся тела абсолютно твердые, то деформации нет и Т = 0, то есть для качения абсолютно твердого катка по абсолютно твердой поверхности не потребуется никакой силы.

Обычно сила Т, определенная по уравнению (1.61), значительно меньше максимальной силы трения скольжения, определенной по (1.56).

Поэтому тела преодолевают трение качения значительно раньше, чем начнется скольжение. Благодаря малому сопротивлению движению подшипники качения и получили большое применение в технике.

Скольжение возможно при Т > fN, а качение начинается при T > Nk / r. Таким образом, если f > k / r,то скольжение не возможно; если f = k / r,то происходит одновременно и качение, и скольжение; если же f < k / r – качение невозможно.

При решении задач действие трения качения учитывается моментом сил сопротивления качению Мс (рис. 1.39). Его величина, как и величина силы трения скольжения, изменяется от нуля до предельного значения:

где Своего предельного значения момент сил сопротивления качению достигает в состоянии движения, то есть при перекатывании колеса.

Рис. 1.39. К определению момента сил сопротивления качению 1. В чем состоит предмет статики?

2. Что называется материальной точкой? системой материальных точек?

3. Что называется абсолютно твердым телом?

4. Что такое сила и какими признаками она характеризуется?

5. Что называется системой сил?

6. Что называется равнодействующей силой? уравновешивающей силой?

В чем их отличие?

7. Какие системы сил называются эквивалентными?

8. Какая система сил называется уравновешенной или системой сил, эквивалентной нулю?

9. Какая система называется уравновешивающей?

10. Сформулируйте аксиомы статики.

11. Чем отличается несвободное тело от свободного?

12. Что называют связью?

13. Что называют силой реакции связи?

14. В чем заключается аксиома или принцип освобождаемости от связи?

15. Перечислите основные типы связей. Как направлены их реакции в каждом случае?

16. Сформулируйте геометрический и аналитический методы определения равнодействующей плоской и пространственной систем сходящихся сил.

17. Как проектируется сила на ось и на плоскость? Чем отличаются эти проекции и как они вычисляются?

18. Как формулируются условия равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической формах?

19. Сформулируйте теорему о равновесии трех непараллельных сил.

20. Что называется парой сил? системой пар сил?

21. Разъясните основные характеристики пары сил.

22. Сформулируйте теоремы об эквивалентности пар сил.

23. Как направлен и чему равен по модулю векторный момент пары сил?

24. При каком условии две пары будут эквивалентны?

25. Поясните теорему о сложении пар сил, расположенных в одной плоскости и различных плоскостях.

26. Запишите условие равновесия системы пар сил, расположенных в одной плоскости и в различных плоскостях.

27. Какая система сил называется произвольной плоской системой сил?

28. Как определяется на плоскости момент силы относительно точки (центра)?

29. Как направлен и чему равен по модулю векторный момент силы относительно точки?

30. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

31. Что называется моментом силы относительно данной оси и как выбирается знак этого момента?

32. В каких случаях момент силы относительно данной оси равен нулю?

33. Какая существует зависимость между векторным моментом силы относительно данной точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

34. Что называется главным вектором произвольной плоской (или произвольной пространственной) системы сил? Какая разница между главным вектором и равнодействующей? Какое сходство?

35. Изменится ли главный вектор данной системы сил при перемене центра приведения?

36. Что называется главным моментом произвольной плоской системы сил и главным векторным моментом произвольной пространственной системы сил?

37. Сформулируйте теорему о параллельном переносе силы.

38. Расскажите о приведении произвольной пространственной системы сил к центру.

39. Перечислите различные случаи приведения произвольной плоской системы сил к центру. То же – для произвольной пространственной системы сил.

40. Сформулируйте условия равновесия произвольной плоской системы сил.

41. Какие формы условий равновесия произвольной плоской системы сил вы знаете?

42. Сформулируйте условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

43. Сформулируйте условия равновесия пространственной и плоской систем параллельных сил.

44. В каком случае произвольная пространственная система сил приводится к динамическому винту?

45. Что называется центральной винтовой осью произвольной пространственной системы сил?

46. Какие задачи называются статически определимыми и неопределимыми?

47. В чем заключается метод решения задачи о равновесии системы, состоящей из нескольких твердых тел?

48. Расскажите о методах расчета плоской фермы.

49. Каким свойством обладает центр параллельных сил?

50. По каким формулам вычисляется радиус-вектор и координаты параллельных сил?

51. По каким формулам вычисляются координаты центра тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

52. Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси? Как он вычисляется и какую имеет размерность?

53. Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

54. Какие существуют способы нахождения центров тяжести тел? В чем заключаются эти способы?

55. В чем заключается способ отрицательных площадей и объемов для определения центра тяжести тел?

Механика – наука об общих законах механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве с течением времени.

О таком движении можно говорить лишь в том случае, если указано еще какое-то тело, относительно которого рассматривается положение интересующего нас тела. Такие тела называются телами отсчета.

Пространство и время являются всеобщими формами существования движущейся материи. Их реальные свойства тесно связаны друг с другом.

Но в классической механике (в отличие от механики релятивистской, то есть механики в теории относительности) эти свойства не учитываются и считается, что время изменяется одинаково во всех системах отсчета и для всех тел. При математическом описании механического движения время выступает в роли универсального аргумента.

Пространство в классической механике считается трехмерным, а его свойства, одинаковые во всех направлениях, описываются геометрией Евклида.

Механическое движение сопровождается механическим взаимодействием. Оно приводит к изменению состояния движения взаимодействующих тел или к изменению их формы и размеров.

В теоретической механике рассматривается движение и взаимодействие абсолютно твердых тел, то есть таких тел, у которых не изменяется расстояние между любыми их точками.

Основной задачей кинематики является определение таких параметров, которые характеризуют геометрические свойства и особенности механического движения в данный момент времени, а также – их изменение с течением времени.

2.1.1. Способы задания движения точки Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и естественным.

Векторный способ. Положение точки можно определить с помощью радиус-вектора rM, проведенного из некоторой заданной неподвижной точки О в данную точку М (рис. 2.1). При движении точки радиус-вектор rM изменяется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соответствует свое значение rM. Следовательно, rM является функцией времени t:

Уравнение (2.1) называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме. Оно позволяет найти положение точки в пространстве в любой момент времени t.

Поэтому (2.1) является законом движения точки, а также описывает в векторной форме траекторию точки.

Векторный способ определения движения точки применяется в радио- Рис. 2.1. К векторному способу Координатный способ. Этот способ определения движения точки состоит в том, что задаются координаты точки как функции времени. Так, в прямоугольной пространственной системе координат Oxyz Между векторным и координатным способами задания движения точки существует следующая связь (рис. 2.2):

где i, j, k – орты (или единичные векторы), соответственно направленные по осям координат Ox, Oy, Oz.

Уравнения (2.2) являются уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая параметр t из уравнений (2.2), получаем уравнение траектории в явной форме.

Координатный способ определения движения точки широко используется в морской навигации, где появление корабля определяется его географическими координа- Рис. 2.2. К координатному способу тами (широта, долгота).

Естественный способ. Если траектория точки известна заранее, то для определения закона движения точки в пространстве достаточно задать положение точки на ее траектории. С этой целью одну из точек, например, О, на траектории принимают за начало отсчета дуговых координат, а положение движущейся точки М определяют ее расстоянием от точки О. При этом расстояние OM = S M отсчитывается по дуге траектории (рис. 2.3).

При движении точки это расстояние изменяется так, что Уравнение (2.4) называется законом движения точки по траектории.

Таким образом, при естественном способе задания движения точки необходимо, чтобы были указаны: траектория точки, начало отсчета дуговых координат (точка О) и закон задания движения точки Естественный способ задания движения точки является единственно приемлемым для железнодорожного транспорта.

2.1.2. Скорость точки Скоростью точки называют одну из кинематических мер ее движения. Эта величина показывает, как быстро и в каком направлении происходит движение точки. Выясним, каким математическим выражением можно описать это понятие. Для этого рассмотрим векторный способ задания движения точки.

Радиус-вектор r = r (t ) определяет положение точки в пространстве в данный момент времени t, а радиус-вектор r = r ( t + t ) – в момент времени (t + t) (рис. 2.4). Изменение радиус-вектора за промежуток времени t называется перемещением точки за этот промежуток времени. Оно показывает, на какое расстояние и в каком направлении произошло изменение положения точки в пространстве, то есть характеризует движение точки за этот промежуток времени только с геометрической точки зрения, сравнивая положения точки в различные моменты времени.

Отношение перемещения точки r к промежутку времени t характеризует среднюю быстроту, с которой произошло движение точки внутри этого промежутка времени, а также – в каком направлении оно произошло. Это отношение считают средней скоростью точки за этот промежуток времени t Средняя скорость Vср направлена по секущей MM1, проведенной к траектории точки.

Перейдя к пределу этого отношения при t 0, получим вектор, характеризующий и быстроту, и направление движения точки в момент времени t:

Очевидно, что он направлен по касательной, проведенной к траектории точки из положения M.

Именно эту производную по времени от радиус-вектора движущейся точки и имеют в виду, когда говорят о скорости точки (о векторе скорости точки).

Полученная формула одновременно является математическим выражением для вычисления скорости точки при векторном способе задания движения этой точки.

Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат.

Если движение точки задано координатным способом то скорость точки определяется по ее проекциям на оси координат. Действительно, разложим вектор скорости VM и радиус-вектор xM по ортам координатных осей (рис. 2.2). Получим где xM, yM, ZM – координаты движущейся точки; Vx, Vy, Vz – проекции скорости на оси координат.

Подставляя в эту формулу значения VM, rm, получим откуда Следовательно, проекции скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки. Модуль скорости определяется по формуле Направление скорости определяется по направляющим косинусам Скорость точки в естественных координатах. Движение точки будет задано в естественной форме, если известна ее траектория и закон (или уравнение) движения по траектории SM = f (t), где SM – дуговая координата точки (рис. 2.5), заданная как функция времени. Точка О – начало дуговых координат.

Рис. 2.5. К понятию алгебраической скорости точки Направим ось М (касательную к траектории в положении М) в сторону увеличения дуговых координат. Единичный вектор (орт) этой оси обозначим 0. Так как вектор скорости точки направлен тоже по касательной к траектории в данном месте М, то Проведем из неподвижной точки О1 радиус-вектор точки М – rM, Величина V = ПрVM может быть положительной (если движение происходит в сторону увеличения дуговых координат в положительном направлении по траектории), отрицательной или равной нулю. Ее называют алгебраической скоростью точки (в отличие от вектора VM и его модуля VM = VM ).

Выясним, как можно вычислить алгебраическую скорость точки.

Применяя формулу (2.8), получим = 1 – единичный орт касательной.

где Сравнивая это выражение с уравнением (2.15), делаем вывод, что алгебраическая скорость точки (проекция вектора скорости на направление касательной к траектории) равна первой производной по времени от дуговой координаты точки:

Скорость точки при естественном способе задания движения находится дифференцированием по времени закона движения точки по траектории.

2.1.3. Ускорение точки Кинематическая мера, характеризующая быстроту изменения во времени скорости точки, называется ускорением.

Рассмотрим два сколь угодно близких положения точек М и M1 на траектории. Скорость точки М обозначим VM, а точки М1 – V1 (рис. 2.6). Геометрическое приращение вектора скорости за промежуток времени t найдем, построив в точке М вектор, равный V1, и соединив концы векторов VM и (V1 ).

Отношение vМ к t представляет собой среднее ускорение аср, то есть Вектор аср имеет направление VM (см. рис. 2.6).

Переходя в (2.20) к пределу при t 0, найдем ускорение в данный момент времени Если этот предел существует, то получим или так как Из (2.22) видно, что ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки VM постоянна как по величине, так и по направлению. Это соответствует только прямолинейному и равномерному движению. В системе СИ за единицу ускорения принимают 1 м/с2.

Так как ускорение в данной точке равно первой производной по времени от скорости, то оно направлено по касательной к годографу скорости. Проводя в каждой точке траектории векторы, соответственно равные dVM, определим направление ускорения в каждой точке (см. рис. 2.6).

Проекции ускорения на оси декартовых координат. Если движение точки задано координатным способом – хм = f1(t); Ум = f2(t); ZM = f3(t), то, раскладывая векторы аM, VM по ортам координатных осей, получим или где ах, ау, аz, – проекции ускорения на оси координат.

На основании (2.22) можно написать:

Проекции ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости на те же оси или вторым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Модуль ускорения Направляющие косинусы ускорения соответственно равны Понятие о естественных осях и естественном трехграннике Кинематические характеристики движения точки тесно связаны с геометрическими свойствами траектории. Поэтому целесообразно рассматривать движение точки в системе координат, образованной главными направлениями пространственной кривой. Как известно из дифференциальной геометрии, в каждой точке кривой можно провести одну касательную линию М и бесконечное множество нормалей. Их геометрическое место представляет собой единственную в точке М нормальную плоскость N.

Проведем через М касательную плоскость. Вращая ее вокруг М, можно получить сколько угодно плоскостей, касающихся кривой в точке М.

Среди этих плоскостей найдутся такие, к которым кривая как бы прилегает наибольшим или наименьшим числом своих точек. Эти плоскости называются соприкасающейся и спрямляющей. Наименование последней происходит от того, что если заставить кривую касаться этой плоскости большим числом своих точек, то кривая начнет спрямляться. Эти три характерные плоскости, которые можно провести в точке М, между собой взаимно перпендикулярны и образуют так называемый естественный трехгранник.

Линии пересечения этих плоскостей (рис. 2.7) образуют так называемую естественную систему координат. Оси этой системы называются касательной – М, главной нормалью – Мn и бинормалью – Мв. При этом М получается пересечением соприкасающейся и спрямляющей плоскостей;

Рис. 2.7. Естественный трехгранник и естественные оси координат координат, направление осей которых непрерывно изменяется в пространстве.

О кривизне кривой. Угол между двумя касательными в двух сколь угодно близких точках М и M1 на кривой называется углом смежности (рис. 2.8). Обозначим его через. Отношение к элементу дуги S называется средней кривизной кривой Кср на отрезке MM Предел этого отношения при M1 M называется кривизной кривой в данной точке:

Следует заметить, что в общем случае кривизна кривой не является постоянной величиной и изменяется от точки к точке.

Величина, обратная кривизне кривой в данной точке М, называется радиусом кривизны кривой в этой точке: =, откуда Радиус кривизны имеет простой геометрический смысл: среди множества окружностей, касающихся кривой в точке М, найдется такая, которая имеет наибольший порядок соприкосновения с кривой. Ее радиус и есть радиус кривизны кривой в точке М.

Теорема о разложении ускорения по осям естественного трехгранника Теорема. Полное ускорение точки равно векторной сумме касательного (тангенциального) и нормального (центростремительного) ускорений.

Доказательство Пусть движение точки задано естественным образом, то есть известны траектория точки и уравнение движения по траектории S = S (t). Рассмотрим два бесконечно близких положения точки М на траектории (рис. 2.9). Скорость точки М будет v, а точки M1.

Проведем в точке М касательную, ее главную нормаль n и найдем проекции ускорения точки на эти оси. В точке М проведем вектор, параллельный и равный V1. Угол между V и V1 – это угол смежности. По определению ускорения a имеем:

Среднее ускорение aср = имеет направление вектора V, и, слеt довательно, расположено в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М, параллельно касательной в смежной точке M1 (см.

Рис. 2.9. К выводу формулы (2.35) плоскостью рисунка (см. рис. 2.9).

При дифференцировании вектора неизменной величины он поворачивается на 90° в сторону вращения дифференцируемого вектора. В рассматриваемом случае замечаем, что независимо от направления движения точки М вектор 0 поворачивается так, что после дифференцирования его направление совпадает с направлением главной нормали, поэтому первый вектор в формуле (2.35) направлен по главной нормали, то есть является нормальной an составляющей вектора ускорения. Вторая составляющая вектора a направлена по 0, то есть является его касательной составляющей a.

Таким образом, Определение проекций ускорения точки на касательную и главную нормаль (касательное и нормальное ускорение). Вычислим проекdS ции вектора a на оси М и Мn. Так как V =, то проекция ускорения на касательную (касательное ускорение) Оно характеризует изменение скорости точки только по величине и равно первой производной по времени от проекции скорости точки на направление касательной (от алгебраической скорости точки) или второй производной по времени от закона движения точки по траектории.

Найдем теперь проекцию ускорения на главную нормаль (нормальное ускорение).

Дифференцирование вектора 0 неизменной величины приводит к увеличению его модуля в раз, где в данном случае a – угол смежности.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости только по направлению. Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны. Нормальное ускорение всегда направлено по главной нормали в сторону вогнутости траектории (к центру кривизны).

Раскладывая ускорение на составляющие по естественным осям, получим Модуль ускорения Направление ускорения определим по формуле где µ – угол между полным ускорением a и нормалью (см. рис. 2.9).

Частные случаи движения точки:

n = 0, = 0 – прямолинейное равномерное движение, V = const;

n = 0, 0 – прямолинейное неравномерное движение;

n 0, = 0 – криволинейное неравномерное движение, V = const;

n 0, 0 – криволинейное равномерное движение.

В кинематике твердого тела при различных видах движения интересуются кинематическими характеристиками как движения твердого тела в целом, так и кинематическими характеристиками движения отдельных его точек.

2.2.1. Простейшие движения твердого тела К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

Поступательное движение твердого тела. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая намеченная в нем прямая движется, оставаясь параллельной самой себе.

Устанавливаются основные свойства поступательного движения теоремой.

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории всех точек одинаковы (то есть совпадают при наложении), а скорости и ускорения всех точек геометрически равны (рис. 2.10).

Рис. 2.10. К теореме о поступательном движении твердого тела Это значит, что Из теоремы следует, что изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения какой-либо одной его точки, то есть к задаче кинематики точки. Уравнения поступательного движения тела имеют вид:

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.