Министерство образования Республики Беларусь

У Ч Р Е Ж Д Е Н И Е О Б РАЗ О ВА Н И Я

«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

В.А.ЛИОПО

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО СТРУКТУРНОЙ ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Учебное пособие по курсам

«Физика диэлектриков и полупроводников», «Методы исследования структуры веществ», «Моделирование молекулярных систем»

для студентов специальности Н.02.01.00 «Физика»

Гродно 2001 1 УДК 538.911(076.1) ББК 22.37 Л 60 Рецензенты: доктор технических наук, профессор В.А.Струк;

кандидат физико-математических наук, доцент А.М.Колодинский.

Рекомендован советом физико-технического факультета ГрГУ имени Янки Купалы.

Лиопо В.А.

Сборник задач по структурной физике твердого тела:

Л 60 Учеб. пособие /Лиопо В.А.— Гродно: ГрГУ, 2001. — 117 с.

Сборник содержит 155 задач по различным разделам структурной физики твердого тела: кристаллографические индексы и элементы кристаллографической гониометрии, пространственная симметрия и структура кристаллов, элементы кристаллохимии, экспериментальное определение структуры кристаллов.

УДК 538.911 (076.1) ББК 22. В.А.Лиопо, ©

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебное пособие является логическим продолжением «Сборника задач по кристаллографии». Поэтому целесообразно повторить введение к предыдущему изданию.

Среди разделов современной физики (механика, термодинамика, электромагнетизм, оптика, атомная и ядерная физика) в школьных и вузовских общефизических курсах не нашлось места физике твердого тела (ФТТ). В то же время хорошо известно, что основная масса специалистов-физиков современности напрямую связаны с изучением проблем этой науки. Как объяснить это противоречие? Во-первых, ФТТ в неявной форме присутствует во всех разделах общей физики, во-вторых, многие аспекты ФТТ еще не получили своего завершения, чтобы стать «классикой», то есть их пока еще нельзя с уверенностью вводить в школьную и начальную вузовскую физику, так как физика твердого тела – стремительно развивающаяся наука и ее положения могут претерпевать изменения в связи с получением новых знаний. Методы и принципы ФТТ внедряются в другие отрасли науки (биофизика, химия, геофизика и многие другие). Открытые за последние 15–20 лет новые формы вещества (например, квазикристаллы, фрактальные кластеры, фуллерены) заставили пересмотреть ряд положений современной науки. В-третьих, физика твердого тела требует достаточно глубоких знаний других разделов, таких, как кристаллография, теория групп, квантовая механика и др.

Лиопо В.А. Сборник задач по кристаллографии. – Гродно: ГрГУ, 2000. – 67 с.

Наиболее простым объектом физики твердого тела являются кристаллы. Система теоретических взглядов на геометрию взаиморасположения атомов называется кристаллографией. Кристаллография как наука родилась в связи с потребностями минералогии и частично химии, а затем редуцировала в физику, став основой физики твердого тела.

Следовательно, кристаллографию можно рассматривать как своеобразное введение в физику твердого тела. Именно на таких позициях и построено данное пособие. В него включены задачи, отражающие теорию кристаллографии и ее практические аспекты. Пособие составлено таким образом, что не требует привлечения дополнительной литературы, по крайней мере, на первом этапе изучения геометрической кристаллографии. Необходимый для решения задач теоретический минимум имеется в пособиях: Лиопо В.А. Матричная кристаллография (Гродно: ГрГУ, 1998. – 78 с.), Франк-Каменецкий В.А., Лиопо В.А., Калихман В.М. Математические основы оптической и рентгеновской гониометрии (Иркутск: ИГУ, 1999. – 43 с.) Материал, отраженный в задачнике по кристаллографии, относится к изучению точечной симметрии и является своеобразным вводным курсом для изучения структурной физики твердого тела.

Структурная физика твердого тела – это сравнительно новый термин, отражающий ту область физики твердого тела, который решает задачи, связанные с атомно-молекулярным строением вещества без привлечения силовых и энергетических параметров.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ И

ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ГОНИОМЕТРИИ

Задача 1. Что означают записи (321), [321], [[321]], {321}?

Задача 2. Найдите индексы граней правильной формы кристаллов с точечными группами 4 mm и mmm при исходных гранях а) h00, б) 00l, в) hko, г) hol, д) hkl.

Задача 3. Кристаллографическая плоскость (hkl) отсекает от кристаллографических координат отрезки а/h, b/k, с/l. Запишите матрицу этой плоскости в декартовой системе координат в форме Задача 4. Покажите, что кристаллографическое направление [uvw] описывается матрицей вида Задача 5. Угол ( ) между кристаллографическими плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) определяется условием где Определите угол ( ) между плоскостями (111) и (032) в триклинном кристалле с параметрами ячейки а = 4,7 A, b= Задача 6. В кристалле (см. предыдущую задачу) найдите угол между направлениями [111] и [032], если известно, что этот угол определяется условием где Задача 7. Угол между плоскостью (hkl) и направлением [uvw] (угол между [uvw] и нормалью к (hkl)) определяется условием (А, В, С приведены в задаче 5) Найдите угол между плоскостью (111) и направлением [032] в триклинном кристалле с параметрами ячейки а = 4.7 A, Задача 8. В кристалле с параметрами ячейки, указанными в задаче 7, определите угол между направлением [111] и плоскостью (032).

Задача 9. В кристалле с параметрами ячейки а = 4.7 A, b= = 6,3 A, c = 8,7 A, = 830 30, = 107 012, = 94 018. Определите углы между: 1) плоскостью (111) и направлением [111];

2) плоскостью (032) и направлением [032].

Задача 10. Докажите, что в кубическом кристалле любое направление [hkl] перпендикулярно к плоскости (hkl).

Задача 11. В плоской косоуголной решетке с параметрами элементарной ячейки a, b, проходит направление под углом к оси х. Определите индексы этого направления.

Задача 12. В триклинном кристалле задано направление [uvw]. Определите углы между заданным направлением и осями координат декартовой системы (установка координатных осей стандартная).

Задача 13. В триклинном кристалле задано направление [uvw]. Определите углы между этим направлением и кристаллографическими координатными осями.

Задача 14. Определите угол между направлениями [111] и [310] в кристалле с параметрами ячейки а = 4,3 A, b = 6,2 A, Задача 15. Определите угол между плоскостью (110)o и направлением [203] в кристалле с параметрами ячейки а = 4,3 A, Задача 16. Определите угол между вектором a * и базисными векторами a, b, c в триклинном кристалле.

Задача 17. Определите угол между вектором b * и базисными векторами a, b, c в триклинном кристалле.

Задача 18. Определите угол между вектором c * и базисными векторами a, b, c в триклинном кристалле.

Задача 19. Докажите, что для любых трех плоскостей (hkl )123, проходящих через одну прямую, справедливо условие Найдите ось зоны.

Задача 20. Из четырех плоскостей (312), (111), (201), (432) три плоскости образуют зону. Найдите эти плоскости и определите ось зоны.

Задача 21. Определите кристаллографические индексы направления [uvw], по которому пересекаются плоскости (123), (456).

Задача 22. Найдите связь между индексами плоскости (hkl) и индексами направлений, лежащих в этой плоскости.

Задача 23. Найдите индексы плоскостей, образующих зону с плоскостями (123), (456).

Задача 24. Определите связь между индексами плоскости (hkl) и индексами перпендикулярного ей направления [uvw].

ки а = 3,6 A, b = 4,2 A, c = 5,1 A, = 93,5 0 определите индексы направления, наиболее близкого к перпендикуляру к плоскости (111).

Задача 26. В триклинной решетке плоскость (hkl) составляет с направлениями параметров a, b, c углы, µ, соответственно. Определите связь индексов этой плоскости с параметрами ячейки (аbс) и углами, µ,.

Задача 27. Определите индексы направления [uvw], образующего с плоскостями (100), (010), (001) углы,, соответственно.

Задача 28. Квадратичная формула для триклинного кристалла имеет вид:

Запишите квадратичные формулы для кристаллов ортогональных сингоний.

Задача 29. Запишите квадратичную формулу для гексагональных (и тригональных кристаллов) при значении параметров решетки: а) а = b, c, = = 90 0, = 120 0 ; б) а = b, = Задача 30. Запишите квадратичную формулу для кристаллов с тригональной решеткой R-типа, у которой а = b = c, = Задача 31. Запишите квадратичную формулу для моноклинных кристаллов.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИММЕТРИЯ И СТРУКТУРА

КРИСТАЛЛОВ

Задача 32. Найдите элементы симметрии, возникающие при действии перпендикулярной трансляции на следующие оси симметрии: а) 3, б) 3, в) 4, г) 4.

Задача 33. Изобразите графически винтовые повороты вокруг 41, 42, 43.

Задача 34. Найдите результат совместного действия двух операций симметрии: поворота вокруг оси 3 и трансляции (а) вдоль этой оси вращения.

Задача 35. Найдите результат совместного действия двух операций симметрии: поворота вокруг оси n и трансляции (t) вдоль этой оси вращения. Определите трансляцию решетки вдоль этой оси.

Задача 36. Найдите результат совместного действия двух операций симметрии: поворота вокруг 31 и перпендикулярной ей трансляции.

Задача 37. Найдите результат совместного действия двух операций симметрии: отражения в плоскости и трансляции а) вдоль плоскости, б) перпендикулярно плоскости.

Задача 38. Найдите результат совместного действия плоскостью скользящего отражения и перпендикулярной ей трансляции.

Задача 39. Найдите элементы симметрии, возникающие при действии наклонной трансляции на элементы симметрии: а) 2, б) 3, в) m, г) 6.

Задача 40. Найдите элементы симметрии, возникающие при пересечении плоскостей m и с под углами: а) 900, б) 450, с) 300.

Задача 41. Какие пространственные ячейки можно получить из ячейки Рmmm?

Задача 42. Найдите симметрию позиции атома в структуре Fe ( Fe – атомы в вершинах и в центре кубической ячейки). Как изменится симметрия этой позиции при деформации кристалла вдоль осей вращения: а) 4, б) 3, в) 2?

Задача 43. Как изменится симметрия координации атома в структуре Mg при деформации вдоль:

а) одной из диагоналей основания гексагональной ячейки;

б) вдоль ребра с?

Задача 44. Как изменится симметрия решетки в двух модификациях ZnS при деформации вдоль оси 3 ? Модификации ZnS: сфалерит – атомы S в вершинах кубической ячейки и в центрах ее граней, атомы Zn в центрах четырех из восьми октантов; вюрцит – гексагональная решетка.

Задача 45. Приведите матричное представление пространственной группы Рnnm.

Задача 46. Структура марказита FeS2 имеет симметрию Pnnm. Параметры ячейки: a = 4.436 A, b = 5.414 A, c = 3.381 A.

Координаты атомов: Fe (0, 0, 0), S (0.200, 0.378, 0). Найдите координаты атомов в кристаллофизической системе и определите межатомные расстояния Fe-S, S-S, Fe-Fe.

Задача 47. Атомы А расположены в вершинах кубической ячейки, атомы В – в центре ячейки. Найдите пространственную группу, если атомы А и В: а) одинаковые; б) разные.

Задача 48. Какой минимальный вектор Бюргерса в направлении [111] может иметь дислокация в ГЦК кристалле?

Задача 49. В очень чистом германии концентрация примесей равна n 107 %. Чему равно среднее расстояние между примесными атомами?

Задача 50. Докажите закон Вейса, который гласит: если [uvw] – ось зоны, а (hkl) – любая плоскость этой зоны, то Задача 51. Выведите пространственные группы, которые можно получить из точечной группы Fmmm.

Задача 52. Определите взаимоориентацию осей в пространственных группах: а) Р222, б) Р2221, в) Р21212, г) Р212121.

Задача 53. Изобразите графически группы: а) Р212121, б) I212121, в) Cmca.

Задача 54. Выведите пространственные группы из точечных групп: а) 422, б) 23, в) 32.

Задача 55. Докажите, что решетка, обратная объемноцентрированной кубической, является гранецентрированной кубической.

Задача 56. Докажите, что пространственной решеткой, обратной ромбической базоцентрированной С-решетке, будет также С-решетка.

Задача 57. Докажите, что базис ячейки Бравэ образует аддитивную точечную группу.

Задача 58. Какие пространственные группы называются симморфными, гемисимморфными, асимморфными?

Задача 59. Определите общую правильную систему точек для пространственной группы : а) C 2 = P 21, б) C12V = Cmc21.

Задача 60. Постройте группы антисимметрии для: а) моноклинных кристаллов; б) тригональных кристаллов; в) кубических кристаллов.

Задача 61. Постройте графически первые две зоны Бриллюэна для двухмерной прямоугольной решетки с периодами а и b = 3а.

Задача 62. Укажите связи между полиэдрами Вороного, ячейками Вигнера-Зейтца и зонами Бриллюэна.

Задача 63. Найдите дислокацию, эквивалентную:

а) ряду вакантных узлов, б) ряду атомов в междуузлиях.

Задача 64. В кристалле с точечной группой Р2/m атомы имеют следующие координаты: А (0, 0, 0), В (0.34, 0, 0), С (0.1, 0.2, 0.3). Запишите химическую формулу вещества и найдите координаты всех атомов в ячейке.

СИММЕТРИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

КРИСТАЛЛОВ

Задача 65. Из монокристалла выточен шар. Как изменится его форма при нагревании в зависимости от сингонии кристалла?

Задача 66. В кристаллах каких точечных групп возможен сегнетоэлектрический фазовый переход?

Задача 67. Назовите точечные группы кристаллов, у которых возможен пироэффект.

Задача 68. Назовите точечные группы кристаллов, у которых возможен пиромагнитный эффект.

Задача 69. Назовите точечные группы кристаллов, у которых возможен пьезоэффект.

Задача 70. Кристаллы каких точечных групп могут обладать оптической активностью?

Задача 71. Назовите точечные группы кристаллов, у которых возможен линейный электрооптический эффект.

Задача 72. В кристалле наблюдается пироэффект. Обладает ли этот кристалл пьезосвойствами?

Задача 73. На основании задач 66 – 72 составьте таблицу групп, указав, в каких из них возможны эффекты: сегнетоэлектрический, пироэлектрический, пиромагнитный, пьезоэлектрический, электрооптический и оптическая активность.

Задача 74. В кристалле наблюдается пьезоэффект. Следует ли из этого наличие пироэффекта?

Задача 75. Найдите форму записи полярного тензора второго ранга для групп: а) 2, б) 4, в) 6, г) 4mm, д) 6mm.

Задача 76. Может ли наблюдаться пироэффект, пьезоэффект, оптическая активность у кристаллов точечных групп:

а) 2, б) 222, в) 3m, г) m3, д) m3m?

Задача 77. Найдите матрицы полярных тензоров второго ранга для точечных групп: а) 3, б) 4/m, в) 6/m, г) 3m, д) m3.

Задача 78. Найдите формы полярного и аксиального тензоров второго ранга для кристаллов с точечной группой 422.

Задача 79. Можно ли методами исследования пироэлектрических и пьезоэлектрических свойств различить кристаллы с точечными группами 4/m, 4mm, 422?

Задача 80. Характеристическая поверхность физического свойства, описываемого полярным тензором второго ранга, является эллипсоидом вращения. Какой может быть точечная группа кристалла?

Задача 81. Оптически активный пьезоэлектрический кристалл имеет изотропную электропроводность. Найдите его точечную группу.

Задача 82. В кристаллах каких точечных групп возможен пьезоэффект и оптическая активность, но отсутствует пироэффект?

Задача 83. Покажите, что форма тензора пироэффекта одинакова для кристаллов с точечными группами: а) 4 и 6, б) 422 и 622, в) 4mm и 6mm.

Задача 84. Докажите, что форма тензора пьезоэффекта у кристаллов точечных групп 4 3m и 23 одинакова.

Задача 85. Найдите, какими из следующих свойств: пироэффект, пьезоэффект, оптическая активность могут обладать монокристаллы, имеющие форму: а) косоугольного параллелепипеда; б) ромбоэдра; в) тригональной пирамиды; г) дитригональной пирамиды; д) тригонального трапецоэдра;

е) гексагональной пирамиды; ж) октаэдра; з) тетраэдра; и) куба.

Считать, что габитус монокристалла правильно передает его симметрию.

Задача 86. Кристалл с симметрией 4mm поместили в электрическое поле так, что направление поля совпало с направлением [001], а затем с [100]. Как изменится симметрия кристалла в указанных ситуациях?

Задача 87. Вдоль каких кристаллографических направлений надо растянуть кристалл с точечной группой 4/mmm, чтобы: а) его симметрия не изменилась; б) решетка стала ромбической; в) решетка стала моноклинной?

Задача 88. Найдите форму тензора теплового расширения сульфата лития в координатных системах, когда: а) ось идет вдоль оси z; б) ось 2 идет вдоль оси х.

Задача 89. Укажите, какие элементы порядка встречаются в беспорядочных молекулярных системах.

Задача 90. Докажите, что, если тензор Тij симметричен в заданной системе координат, то он будет симметричен в любой другой системе координат, связанной с заданным ортогональным преобразованием.

Задача 91. Докажите, что, если тензор Тij антисимметричен в заданной системе координат, то он антисимметричен в любой другой системе координат, связанной с первой ортогональным преобразованием.

Задача 92. Задан симметричный тензор [tij]. Записать преобразования симметрии (Сkl), приводящие тензор к форме Задача 93. Кристалл состоит из атомов одного и того же элемента. Найдите индексы плоскостей скольжения при деформации кристаллов для решеток: а) ГЦК-типа, б) ОЦК-типа, в) ГПУ-типа.

Задача 94. Найдите плоскости, по которым происходит скольжение при деформации кристаллов: а) типа NaCl, б) типа CsCl.

Задача 95. Запишите форму тензора теплового расширения кристалла с точечной группой 2, если а) ось симметрии идет вдоль оси z, б) ось 2 идет вдоль y.

Задача 96. Тензор диэлектрической проницаемости для кристалла имеет вид:

Приведите эти тензоры к главным осям и найдите сингонии этих кристаллов.

ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОХИМИИ

Задача 97. Кратчайшее расстояние в одной из модификаo ций стронция равно 4,18 A (структурный тип Fe – кубическая сингония, решетка Бравэ I-типа). Найдите плотность кристалла.

Задача 98. Параметры ячейки алмаза: a = 3,56 A, графиo o та: a = 2,46 A, c = 6,7 A. Найдите отношение их плотностей.

Задача 99. Найдите плотность сфалерита, если параметр ячейки равен: a = 5,41 A.

Задача 100. В CsCl расстояние Cs-Cl равно l = 3,56 A.

Атомы Сs находятся в вершинах, а Cl – в центре кубической ячейки. Найдите плотность CsCl.

Задача 101. Кристаллы HgS имеют две модификации:

кубическую – a = 5,84 A, z = 4 и гексагональную – a = 4,16 A, c = 9,54 A, z = 3. Найдите модификацию кристалла, если его плотность равна 7,73 103 кг/м3.

Задача 102. Гидрит сульфата кальция CaSO4 xH2O имеет моноклинную ячейку с параметрами a = 10,47 A, b = 6,28 A, c = 15,15 A, = 990, z = 8. Плотность вещества равна 2,32 103 кг/м3. Найдите х, то есть число молекул воды в формальной единице.

Задача 103. Плотность алмаза 3,51 103 кг/м3. Найдите параметр его ячейки и расстояние С-С.

Задача 104. Плотность кристаллов кремния равна 2,23 103 кг/м3. Найдите параметр его алмазоподобной ячейки и кратчайшее расстояние между атомами.

Задача 105. Плотность NaCl равна 2,163 103 кг/м3. Найдите параметр ячейки и расстояния Na-Na, Cl-Cl, Na-Cl.

Задача 106. Атомы А расположены в вершинах кубической ячейки, атомы В – в центрах ее граней, атомы С – в центре ячейки. Найдите координационные числа и координационные многогранники всех атомов. Определите точечную и пространственную симметрии структуры кристалла и его химическую формулу.

Задача 107. Найдите коэффициенты упаковки элементарных кубических кристаллов с ячейками Бравэ: а) Р-типа;

б) I-типа; в) F-типа.

Задача 108. Найдите коэффициент упаковки шаров в алмазоподобной ячейке.

Задача 109. Найдите отношение с/а для идеальной ГПУ структуры.

Задача 110. Определите отношение числа шаров в плотнейшей упаковке к числу октаэдрических и тетраэдрических пустот.

Задача 111. Определите радиусы атомов, которые могут быть размещены в октаэдрических и тетраэдрических пустотах при плотных упаковках равновеликих шаров.

Задача 112. Найдите наибольший радиус сферического катиона, который может разместиться в упаковке сферических анионов, если анионы образуют решетки: а) простая кубическая, б) кубическая объемоцентрированная, в) кубическая гранецентрированная, г) гексагональная плотная упаковка.

Задача 113. В кристалле А2Вх атомы А образуют ОЦК решетку, а атомы В заселяют все тетрагонально-дипирамидальные пустоты. Найдите х.

Задача 114. В кристалле АхВyC9 атомы С образуют плотнейшую шаровую упаковку. Атомы А занимают 2/3 тетраэдрических пустот, атомы В – 5/9 октаэдрических пустот. Найдите х и y.

Задача 115. В кристалле АхВ2Cy атомы С образуют плотнейшую шаровую упаковку. Атомы А занимают 1/4 тетраэдрических пустот, атомы В – все октаэдрические пустоты. Найдите х и y.

Задача 116. В кристалле АхВ2-хCy атомы А и В совместно образуют кубическую примитивную решетку, а атомы С занимают половину кубических пустот. Найдите y.

Задача 117. Параметр решетки сфалерита (ZnS) равен 5,41 A.

Найдите расстояние Zn-S.

Задача 118. Плотность железа равна 7,84 103 кг/м3. Что это: -фаза, -фаза или их смесь в отношении 1:1?

Задача 119. Плотность изоструктурных кристаллов Cu и Au соответственно равна 8,94 103 кг/м3 и 19,3 103 кг/м3. Найдите металлические радиусы Cu и Au.

Задача 120. Найдите ковалентный радиус Si в алмазоподобной структуре, если плотность кремния 2,35 103 кг/м3.

Задача 121. Найдите коэффициенты компактности для структур типа NaCl и CsCl (атомы считать шарами).

Задача 122. Определите изменение объема при переходе Задача 123. Зная плотность меди и тип ее решетки (ГЦК), найдите параметры ячейки и диаметр атома Cu.

Задача 124. Найдите плотность кристаллов п-дихлорбензола, если коэффициент компактности k = 0,7, а инкременты объема групп С-Н и С-Сl соответственно равны 13,9 A3 и 29,0 A3.

Задача 125. Коэффициент компактности равен 0,7. Найдите плотности кристаллов 1-, 2-, 4-, и 5-тетраметилбензола.

Инкременты объемов групп С-Н и СН3 соответственно равны 13,9 A3 и 27,6 A3.

Задача 126. Покажите, что для трехатомной молекулы АВС при малых колебаниях ядер около равновесных положений не могут происходить смещения в направлении, перпендикулярном плоскости равновесной конфигурации.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ

Задача 127. Найдите зависимость между коротковолновой границей тормозного рентгеновского спектра и ускоряющим напряжением, приложенным к трубке.

Задача 128. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в полтора раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на = 10 пм. Найдите первоначальное напряжение на трубке.

Задача 129. Можно ли найти координаты атомов структурными методами анализа (рентгеновская, электронная или нейтронная дифракции), если образец представляет собой:

а) монокристалл, б) поликристалл, в) текстуру.

Задача 130. Может ли K -излучение железа вызвать вторичное рентгеновское излучение К-серии хрома и кобальта?

Задача 131. Выведите формулу расчета проекции электронной плотности на ось х.

Задача 132. Найдите формулу расчета F(hkl) для кристаллов с ячейкой Бравэ F-типа.

Задача 133. Определите правила погасания для кристаллов с ячейкой Бравэ I-типа.

Задача 134. Запишите формулу для расчета структурной амплитуды кристаллов с центром симметрии и кристаллов с осью 2z.

Задача 135. Выведите уравнение Вульфа-Брэгга.

Задача 136. Получите из построения Эвальда соотношение Вульфа-Брэгга.

Задача 137. Докажите теорему Берто.

Задача 138. Выведите формулу Дебая для поликристалла.

Задача 139. При съемке дебаеграммы серебра при температурах 180 и 6300С интересующая нас линия получилась на углах: а) 8009 ; б) 76054. Вычислите коэффициент термического расширения серебра.

Задача 140. При прецизионном определении параметров кристаллической решетки -олова методом рентгеносъемки на медном K -излучении были получены следующие значения : (503) = 79.017 0, (271) = 82.564. Найдите параметры решетки.

Задача 141. Почему первыми линиями на рентгенограмме объемноцентрированных и гранецентрированных кубических кристаллов являются линии (110) и (111) соответственно, а не линия (100)?

Задача 142. Определите индексы первых десяти линий объемноцентрированных и гранецентрированных кубических кристаллов.

Задача 143. Найдите индексы первых пяти линий на рентгенограмме алмаза.

Задача 144. Флюорит CaF2 кристаллизуется в кубической системе. Федоровская пространственная группа Fm3m = O5.

Атомы кальция находятся в четырехкратных положениях (а), атомы фтора – в восьмикратных положениях (с):

Найдите формулу для расчета F(hkl) и проанализируйте ее.

Задача 145. Найдите формулы расчета структурной амплитуды для модификаций ZnS: а) сфалерита – кубическая ячейка и б) вюрцита – гексагональная ячейка. Кристаллографические координаты атомов:

для решетки сфалерита:

S - 1/4 1/4 1/4; 3/4 3/4 1/4; 3/4 1/4 3/4; 1/4 3/4 3/4;

для решетки вюрцита:

Задача 146. Установите связь между ускоряющим напряжением в электронной пушке и длиной волны электрона.

Задача 147. Чему равно ускоряющее напряжение в электo ронной пушке, если длина волны электрона равна 0.1226 A ?

Задача 148. Найдите, если = 300, а d n = 2.5 A.

Задача 149. Опишите принципы рентгеновского, электронографического и нейтронографического фазовых анализов (качественного и количественного) двухфазной системы.

Задача 150. Рентгенограмма металлического порошка снята на излучении молибдена ( K = 0.710 A ). Для первых шести наблюдаемых линий углы оказались равными 7.350;

8.330; 10.700; 12.800; 13.900. Определите тип решетки и проиндицируйте эти линии. Вычислите атомную массу вещества, если его плотность 1.74 г/см3.

Задача 151. Методом Дебая-Шеррера исследуется смесь двух веществ, одно из которых имеет ГЦК, а другое – ОЦК решетки. Известно, что период ОЦК решетки меньше, чем у ГЦК примерно в 2,5 раза. На рентгенограмме положения рефлексов следующие: 15.50; 17.90; 25.80; 32.30; 33.10; 50.40;

70.00 (указаны значения углов Вульфа-Брэгга). Установлено, что три рефлекса принадлежат одной из фаз, четыре – другой.

Съемка выполнена на фильтрованном CuK -излучении. Найдите периоды решеток этих фаз.

Задача 152. Дайте определение функции Патерсона и укажите, какие эксперименты необходимы для ее построения.

Задача 153. Докажите, что фурье-трансформантой z-проекции функции электронной плотности является базальная структурная амплитуда.

Задача 154. Покажите, что для расчета проекции электронной плотности на координатную плоскость xy необходимо использовать рефлексы типа hk0.

Задача 155. Укажите связи между функциями электронной плотности, Патерсона и радиального распределения атомной плотности.

Решения и пояснения к задачам раздела

«КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ И ЭЛЕМЕНТЫ

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ГОНИОМЕТРИИ»

Задача 1. (321) – индексы плоскости. В кристаллографической системе координат эта плоскость отсекает от коордиa b натной оси х отрезок, от y –, от z – с. Расстояние от этой плоскости до начала координат – межплоскостное расстояние d(321). [[321]] – индексы точки. Надо пройти по оси х расстояние 3а, затем по линии, параллельной оси y, – 2b, затем по линии, параллельной оси z, расстояние 1с. Эта точка и имеет индексы [[321]]. [321] – индексы направления. Это линия, проходящая через начало координат и [[321]]. {321} – индексы кристаллографической формулы, включающей в себя все плоскости, у которых три индекса не одновременно равны 3, 2, 1, то есть, например, для кубических кристаллов H = h 2 + k 2 + l 2 = const (в данном случае Н = 14).

Задача 2. Точечная группа 4mm.

(h,k,0), ( k,h,0) ;

( k,h, l ).

Точечная группа mmm.

(h,k, l ), ( h,k,l ).

Задача 3. Отрезки,, можно рассматривать как баhk l зисные векторы некоторой решетки, метрический тензор которой является матричным описанием этой плоскости (hkl ) и имеет вид:

a, b, c,,, – параметры решетки кристалла.

Задача 4. Направление [uvw] проходит через начало координат и точку [[uvw]] в кристаллографической системе.

Приняв отрезки ua, vb, wc в качестве базисных векторов и записав метрический тензор решетки, построенной на них, получим искомую матрицу.

Задача 5. Плоскость (hkl ) решетки с указанными в условии задачи параметрами описывается матрицей Отсюда находим A1B1C1 и A 2 B2C 2. Следовательно, то есть Задача 6. Направление [uvw] рассматриваемого кристалла описывается матрицей N [uvw ] Отсюда P, Q, R для [111] и [032] равны Задача 7. В соответствии с условиями задачи A = 51,94, B = 45,19, C = 41,58, D = 244,10, то есть S = 0,038, а значит d x = 1,974 ; d y = 1,717, d z = 1,580. Значения P, Q, R для [032] приведены в задаче 6: P = 6,55 ;

Q = 20,42 ; R=16,55.

Отсюда (см. формулу в условии задачи) Задача 8. Формула расчета угла между кристаллографической плоскостью и кристаллографическим направлением приведена в условии задачи 7. Значения P = 1,66 ; Q = 7,07 ;

R = 8,27. Значения d x, d y, d z (см. условия задачи 7) равны d x = 0,000, d y = 1,580, d z = 0,614. d = 1,695 (все в A ). Следовательно, Задача 9. Формула расчета угла между (hkl) и [uvw] приведена в условии задачи 7. Значения d x, d y, d z, P, Q, R для плоскостей и направлений данной задачи имеют значения Отсюда угол между (111) и [111] равен Угол между (032) и [032] – Задача 10. Формула для расчета угла между (hkl) и [uvw] приведена в условии задачи 7. Для кубических кристаллов R = cl, то есть искомый угол Задача 11. Пусть искомые индексы направления есть [uv], то есть оно проходит через точку ua, vb. Метрический тензор (а совпадает с х) имеет вид (плоский случай) Следовательно, точка при переходе к декартовой сиv стеме координат запишется или То есть может принимать значения в зависимости от а, b, такие, чтобы правая часть последнего выражения была правильной дробью.

Задача 12. Метрический тензор решетки триклинного кристалла имеет вид Координаты точки v в кристаллографической системе преобразуются в координаты декартовой системы y по правилу Если x, y, z – углы между рассматриваемым направлением и осями декартовой системы координат соответственно, то (Примечание: xd, y d, z d равны P, Q, R в условии задачи 6).

Задача 13. Так как векторы базиса и направления [uvw] в кристаллографических координатах описываются матрицами-столбцами а переход от кристаллографических y к декартовым (д) координатам осуществляется по формуле (приведенной в решении задачи 12) где М – метрический тензор решетки.

То есть переход от кристаллографических координат к декартовым следующий:

a, b, c,,, – параметры элементарной ячейки.

Обозначим углы между направлением [uvw] и осями x, y, z кристаллографической системы соответственно x, y, z.

В этом случае Задача 14. Углы между кристаллографическими направлениями определяются уравнением, приведенным в условии задачи 6. Метрический тензор решетки рассматриваемого кристалла имеет вид Следовательно, P, Q, R рассматриваемых направлений имеют значения Задача 15. Метрический тензор решетки рассматриваемого кристалла (M ) равен то есть (см. задачу 7) = 25,2 0.

Задача 16. Рассматриваемая задача требует определить угол между плоскостью (100) и направлениями [100], [010], [001]. Значения d x, d y, d z для (100) равны (см. задачу 7).

Следовательно, углы между a * и [100] определяются Угол между a * и [010] определяется Угол между a * и [001] рассчитывается по формуле то есть 3 = 90 0.

Задача 17. Угол между b * и [100], [010], [001] определяется формулой, приведенной в задаче 7. Значения P, Q, задаче 16.

Задача 19. Условие зональности плоскостей где [uvw] – ось зоны.

Для трех плоскостей зоны система уравнений имеет решение, если Из первых двух уравнений системы следует Задача 20. Составим комбинации из трех плоскостей и рассчитаем их определители Следовательно, зону образуют плоскости (312), (111), (201).

Для определения оси зоны [uvw] необходимо решить систему уравнений:

То есть осью зоны является направление [v,v, –2v] (v – целое число). Ближайший к началу координат узел определяет индексы этого направления:

Задача 21. В соответствии с условием зональности Отсюда Ближайший узел к началу координат и определяет искомое направление [1,2,1].

Задача 22. Так как угол между [uvw] и нормалью к (hkl) равен 90 0, то (см. задачу 7) отсюда Задача 23. В соответствии с условием зональности (см.

задачу 19) то есть В зону с плоскостями (123), (456) войдет любая плоскость, для которой выполняется полученное условие.

Задача 24. В плоскости (hkl) лежат направления (см. задачу 22) [0,l, –k], [l,0, –h], [k, –h,0], то есть надо найти индексы направления, перпендикулярного названным. Рассчитали P, Q, R для указанных направлений Из условия перпендикулярности [uvw] направлениям [0,l, –k], [l,0, –h], [k, –h,0] (см. задачу 22) соответственно следуют три уравнения:

Эти уравнения и определяют связь между индексами направления [uvw] и плоскости (hkl), перпендикулярных друг другу.

Задача 25. В соответствии с формулой, полученной в задаче 24, индексы [uvw] перпендикулярного плоскости (111) направления определяются из уравнений Или u, v, w – целые числа. Ближе всего к перпендикуляру к плоскости (111) лежит направление [4,3,2]. (Полностью совпадает с этим перпендикуляром [10000,7476,5331], но направления и плоскости с большими индексами в кристаллографии не рассматриваются.) Задача 26. Угол между плоскостью (hkl) и направлением [uvw] определяется формулой, приведенной в задаче 7. Значения P, Q, R для [100], [010] и [001] следующие:

Значения d x, d y, d z, T определены условием задачи 7.

Отсюда Задача 27. Угол между направлением [uvw] и плоскостью (hkl) определяется формулой, приведенной в задаче 7.

Значения d x, d y, d z плоскостей, приведенных в задаче, следующие:

Задача 28. В кристаллах ортогональных сингоний = = = 900. Следовательно, для ромбических кристаллов для тетрагональных и для кубических кристаллов Задача 29. Подставив в квадратичную формулу триклинного кристалла (см. условие задачи 28) значения параметров, получим Задача 30. R-установка решетки тригональных кристаллов (ромбоэдрическая решетка) характеризуется параметрами a = b = c, = =. Следовательно, Задача 31. Так как в моноклинных кристаллах a, b, c,, = = 900, то (см. задачу 28) или Решения и пояснения к задачам раздела

«ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИММЕТРИЯ И СТРУКТУРА

Задача 32.

а) Группа вращения вокруг оси 3 в кристаллографическом базисе имеет вид Общая правильная система точек следующая (о) Если на ось 3 действует перпендикулярная трансляция, то возникает плоская решетка, приведенная на рис. 1.

Вокруг узлов А и В размещаются точки, трансляционно тождественные исходным и имеющие координаты Осуществим параллельный перенос координатной системы так, чтобы ее начало координат совпало с центром треугольника ОАВ (точка С). Его кристаллографические координаты равны 2, 1. Следовательно, рассмотренные девять точек (О+А+В) имеют в этой системе следующие координаты Легко убедиться, что тройки (1.О, 3.А, 2.В), (2.О, 1.А, 3.В), (3.О, 2.А, 1.В) связаны друг с другом осью 3. Следовательно, если имеется ось 3 и перпендикулярная ей трансляция, то через точки с кристаллографическими координатами 2, 1, z пройдет ось 3.

б) Если в кристалле имеется ось 3, то доказательство аналогично предыдущему случаю.

в) Точечная группа 4 имеет вид Общая правильная система точек группы 4:

Так как имеется трансляция, перпендикулярная оси 4, то возникает плоская тетрагональная решетка, в которой узлы А, В, С (см. рис. 2) имеют координаты (100), (010), (110). Следовательно, исходные четыре точки будут иметь себе аналогичные с координатами:

Осуществим параллельный перенос координатной системы, чтобы ее начало координат совпало с точкой D 1, 1,0. В этой системе координаты точек ОАВС имеют значения Ось четвертого порядка, проходящая через точку D, связывает между собой следующие четверки точек: (1О, 2А, 3С, 4В); (2О, 3А, 4С, 1В), (3О, 4А, 1С, 2В), (4О, 1А, 2С, 3В).

Следовательно, если имеется ось 4 и перпендикулярная ей трансляция, то появится дополнительная ось 4, проходящая через точку 1, 1, z.

г) Если имеется ось 4 и перпендикулярная ей трансляция, то появится дополнительная ось 4, проходящая через точки z. (Доказательство аналогично, приведенному в пункте (в) этой задачи.) Задача 33.

Задача 34. Результатом совместного вращения вокруг оси 3 и трансляции вдоль этой оси является винтовая ось третьего порядка.

Задача 35. Возникнет винтовой поворот вокруг оси nго порядка (оси n1). Трансляция вдоль этой оси равна nt.

Задача 36. Действие перпендикулярной трансляции на ось 31 приведет к появлению тригональной стенки, через узлы которой перпендикулярно сетке проходят оси 31 (А). На рисунке изображены только три оси 31. Рассмотрим системы точек вокруг осей 31. ·,, o – три точки, лежащие на уровнях 0, t, 2t, то есть точки с одинаковым обозначением характеризуются трансляцией 3t вдоль оси 31. Из рисунка видно, что в центре треугольников появится ось 31 как результат взаимодействия винтового поворота и перпендикулярной к винтовой оси трансляции.

Задача 37.

возникает плоскость скользящего отражения (с);

на середине трансляции появится плоскость отражения.

Задача 38. Как видно из рисунка, при взаимодействии скользящего отражения (с) и перпендикулярной плоскости с трансляции (t) на середине трансляции возникает плоскость скользящего отражения c1.

Задача 39. Для решения задачи необходимо наклонную трансляцию представить в форме двух составляющих: вдоль оси вращения (или плоскости отражения) и перпендикулярной этим элементам симметрии. Параллельная составляющая превращает исходный элемент симметрии в винтовую ось или в плоскость скользящего отражения, а перпендикулярная трансляция приводит к появлению соответствующего элемента симметрии.

а) ось 2 перейдет в ось 21 и на половине трансляции появится ось ( 21 );

б) см. задачу 36;

в) см. задачу 38;

г) в центре тригонов, возникших при действии нормальной составляющей трансляции к оси 6, перешедшей в винтовую ось, появится винтовая ось 31 с трансляцией вдвое большей, чем трансляция вдоль винтовой оси 61, что иллюстрируется рисунком, на котором точки разных уровней имеют различные обозначения.

Задача 40. Если m проходит через координатную плоскость xz, а с – под углом к ней, то их матрицы имеют вид где t – трансляция вдоль плоскости скользящего отражения, – угол между плоскостями m и с. Матрица-генератор результирующей операции симметрии имеет вид Пространственная группа винтового вращения следующая:

Если период решетки вдоль возникшей винтовой оси Следовательно, возникнет а) винтовая ось второго порядка, б) винтовая ось четвертого порядка, в) винтовая ось шестого порядка.

Задача 41. Три перпендикулярные плоскости отражения точечной группы mmm в решетках могут преобразовываться в плоскости скользящего отражения: в параплоскости (а или b), в ортоплоскость (с) и в клиноплоскость (n). Взаимодействие этих плоскостей рассчитывается по правилу: точечные преобразования образуют мультипликативную группу, трансляционные – аддитивную. Например, Отсюда Pmmm Pmmm, Pmma, Pmmn, Pccm, Pnnm, Pbam, Pban, Pnma, Pnnn, Pmna, Pcca, Pnna, Pbcn, Pbca, Pbcm, Pccn. Кристаллы с различными пространственными группами симметрии, описывающие их структуру, имеют одинаковую точечную группу симметрии, описывающую форму кристалла.

Задача 42. Ячейка -Fe приведена на рисунке. Четыре оси 3 проходят по телесным диагоналям ячейки. Три оси 4 – через центры противоположных граней, шесть осей 2 – через середины противоположных ребер. На рисунке приведены только по одной оси 2, 3, 4.

а) При деформации вдоль оси 4 параметры ячейки будут иметь значения a = b, с, = = = 900, то есть ячейка станет тетрагональной. Кубическая координация каждого атома преобразуется в тетрагональную, то есть каждый атом Fe будет находиться в центре прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием.

б) При деформации вдоль оси 3. Кубическая ячейка деформируется в ромбоэдрическую. Этот полиэдр станет координационным для каждого атома Fe. Кристалл станет тригональным.

в) При деформации вдоль оси 2 ячейка станет моноклинной с тремя одинаковыми линейными параметрами a = b = c, = = 900,. Этот параллелограмм будет координировать атомы Fe.

Задача 43. Кристаллы Mg описываются пространственной группой С6/mmc (гексагональная сингония). а) При деформации вдоль диагонали основания ячейки исчезнет ось 6, перейдя в ось 2. Координация атомов Mg станет соответствовать симметрии моноклинной сингонии. б) При деформации кристаллов Mg вдоль С его сингония и симметрия не изменятся, то есть не изменится и симметрия координации атомов Mg.

Задача 44. При деформации вдоль оси 3 симметрия решетки сфалерита изменится, так как она станет ромбоэдрической, симметрия вюрцита останется прежней.

Задача 45. Так как центр симметрии, который появляется в результате взаимодействия трех плоскостей отражения (в том числе и скользящего), размещается в начале координат, а взаимодействие скользящих плоскостей приведет к их сдвигу относительно начала координат на 1/4 соответствующей координаты, то матрицы-генераторы пространственной группы (три первые матрицы в записи группы) и вся группа имеют вид Порядок группы равен 8.

Задача 46. На основе задачи 45 рассмотрим частные правильные системы точек при исходных точках (000) и (xy0), что определит кристаллографические координаты атомов Fe и S. Fe – (000)(1/2,1/2,1/2); S – (xy0), x, y +,, x +, y,, (–x,–y,0). Абсолютные координаты атомов Fe и S (в A): Fe – (000), (2,218;2,707;1,69); S – (0,887;2,046;0), (1,331;4,753;1,691); (3,105;0,661;1,691); (3,549;3,368;0). В ячейке имеются 2 атома Fe и 4 атома S. Межатомные расстояния определяются по формуле лице (в A ). Номера атомов совпадают с последовательностью их координат.

Задача 47.

а) Если атомы А и В одинаковые, то ячейка относится к I-типу.

б) Если атомы А и В разные – ячейка Р-типа.

Задача 48. Минимальный вектор Бюргерса в направлении [111] равен периоду решетки в этом решетки.

Задача 49. В кристалле германия выделим куб, в котором в среднем находится один атом примеси. Среднее расстояние между атомами примеси равно N a, где N – число ячеек германия, уложенных вдоль ребра выбранного куба, a – параметр ячейки кристалла Ge, a = 5,657 A. В одной ячейке Ge находятся 8 атомов (алмазоподобная структура).

Следовательно, Задача 50. Угол между кристаллографическим направлением [uvw] и нормалью к плоскости (hkl) рассчитывается по формуле T = (bchr sin )2 + [cr(ak bh cos )]2 + hbc(cos cos cos ) + akc(cos cos cos ) + abl sin Так как ось зоны [uvw] и нормаль к любой плоскости зоны взаимоперпендикулярны, то После сокращения на abcr2 получим [c(ak bhcos)] + cw[hbc(coscos cos) +akc(coscos cos) + ablsin2 = + cw[(cos coscos)(akc hbc cos) + hbc(cos cos cos) + + akc(coscos cos) + ablsin2 = au hbcsin2 + bv akcsin2 + + cw ablsin = Задача 51. Fmmm Fmmm, Fddd, то есть точечной группе Fmmm в решетке, кроме пространственной группы Fmmm, соответствует пространственная группа Fddd (алмазоподобная решетка).

а) Группа Р222. Оси 2,2,2 пересекаются в одной точке.

б) P 2221 оси 21 и 2 x, 21 и 2 y попарно пересекаются, оси 2 x и 2 y не пересекаются, а сдвинуты относительно друг друга вдоль 21.

в) P 21 212. Винтовые оси пересекаются между собой, ось 2 с ними не пересекается.

г) P 212121. Оси 21 между собой не пересекаются.

Задача 53.

а) Точечная группа 422 в сочетании с ячейками Бравэ приводит к появлению точечных групп P422 и I422, которые с учетом трансляций образуют следующие пространственные группы:

Р422 Р422, P 4212, P 4122, P 41212, P 41212, P 43 212, P42212 (7 пространственных групп), I422 I422, I4122 ( пространственные группы).

б) 23 Р23, F23, I23; P23 P23, P213 ; F23 F23;

I23 I23, I213. То есть точечная группа 23 кубического кристалла с учетом ячейки Бравэ образует три вида симметрий, которые приводят к 8 пространственным группам.

в) Для точечной группы 32 с учетом ячейки Бравэ получим (пространственные группы приведены в скобках):

Р321 (Р321, P3121, P32 21 ); Р312 (Р312, P3112, P3212 ); R32 (R32).

Задача 55. В объемноцентрированной кубической решетке с параметром а выделим примитивную ячейку с линейными параметрами a, b, c, равными соответственно a, a, a 3. Угловые параметры таковы, Метрический тензор этой решетки имеет вид M = 0 a a 2, следовательно, объем решетки равен параметры обратной ячейки равны = = 45, = 60, a * = b* =, a. Базис этой примитивной решетки приa веден на рис. 2 к этой задаче жирными линиями. Перейдя к ортогональной системе координат, получим кубическую гранецентрированную ячейку с параметрами a = a.

Задача 56. В ромбической решетке с параметрами a, b, c = = = 900 перейдем к примитивной ячейке с рис. 1 к этой задаче). Метрический тензор этой примитивной решетки имеет вид Следовательно, параметры ячейки обратной решетки при указанной установке координатных осей имеют значения:

. Основание этой ячейки приведено на рис. 2 к этой задаче жирными линиями. Перейдя к ортогональной ячейке, получим базоцентрируемую с параметрами a* = 2, ( b*) = 1.

Задача 57. В кристалле всегда имеется трехмерная трансляция, так как кристаллы тела решеточные, следовательно, точки (xyz) и ( x + m, y + n, z + p ) кристаллофизически тождественны. Здесь xyz – кристаллографические координаты, m, n, p – целые числа. С учетом сказанного построим таблицу бинарного взаимодействия узлов ячеек Бравэ, где под бинарным взаимодействием понимается сложение координат.

а) Ячейка Р типа. Базис – (000). Порядок равен 1.

б) Ячейка I типа. Базис – (000, 1 2 1 2 1 2 ). Порядок – 2.

Правила «умножения» приведены в таблицах.

Из таблиц «умножения» видно, что группы аддитивные (элементы группы суммируются). Операция сложения ассоциативная, единичный элемент (000). Каждый элемент имеет обратный элемент.

Задача 58. Пространственная группа называется симморфной в том случае, когда параллельно осям симметрии, определяющим сингонию кристалла, появляются, вследствие действия трансляции, параллельные им такие же оси вращения, и возможны дополнительно так же ориентированные винтовые оси, а параллельно плоскостям отражения появляются дополнительные плоскости отражения (при этом взаимно появление параллельных им плоскостей скользящего отражения). Все сходственные элементы симметрии пересекаются в одной точке.

Гемисимморфные группы характеризуются тем, что к основным осям вращения параллельно располагаются такие же поворотные (возможны вместе с ними и так же ориентированные винтовые оси), но параллельно основным плоскостям располагаются только плоскости скользящего отражения.

Оси симметрии, определяющие сингонию, пересекаются в одной точке.

Асимморфными называются группы, в которые параллельно осям симметрии идут только винтовые оси вращения.

Симморфных групп 73, гемисимморфных – 54, асимморфных – 103.

Задача 59. Для расчета правильной системы точек пространственной группы (пространственной кристаллографической орбиты – ПКО) необходимо найти матричное представление этой группы M = {P / t}, где Р – точечная группа и t – группа трансляций, учитывающая ячейку Бравэ. ПКО рассчитывается по формуле и – индекс исходной точки, Р – задана в кристаллографическом базисе.

То есть ПКО следующая:

Задача 60.

а) Моноклинные кристаллы (указана порождающая серая группа и выводимые из нее черно-белые): 2 2, б) Тригональные кристаллы: 3 3, 3m 3m, 32 32, в) Кубические кристаллы: m3 m3, 43m 43m, 432 432, m3m m3m, m3m, m3m.

Задача 61. Метрический тензор двухмерной решетки (М) и ее обратный метрический тензор (М)-1 имеют вид:

Обратная решетка и две первые зоны Бриллюэна приведены на рисунке к этой задаче.

Задача 62. Все полиэдры описывают распределение точек в соответствующих пространствах. Полиэдр Вороного – это многогранник, грани которого – это плоскости, проходящие через середины отрезков, соединяющих точку с ближайшими к ней точками. Полиэдр Вороного, построенный для кристалла, – ячейка Вингера-Зейца. Полиэдры Вороного (или ячейки Вигнера-Зейца), построенные относительно начала координат обратной решетки, называются зонами Бриллюэна. 1-я зона Бриллюэна строится для ближайших точек (для точек ближайшей координации). Последующие зоны строятся для последующих координаций.

Задача 63. На рис. 1 к этой задаче изображены: а) идеальная структура, б) ряд вакантных узлов, в) ряд атомов в междуузльях. На рис. 2 к этой задаче приведены следы атомных плоскостей. Видно, что случаи а) и б) эквивалентны.

Задача 64. Точечная группа Р 2 /m в матричном представлении имеет вид Следовательно, системы точек, эквивалентных А, В, С, имеют координаты:

А: (000) ;

В: (0.34,0,0 ) ( 0.34,0,0 );

С: (0.1,0.2,0.3) (0.9,0.8,0.3) (0.1,0.2,0.7 ).

Формула этого вещества имеет вид AB2C4.

Решения и пояснения к задачам раздела

«СИММЕТРИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Задача 65. Для кубических сингоний форма остается прежней. Для средних сингоний (тетра-, три- и гексагональная) шар приобретет форму эллипсоида вращения. Для низших сингоний (ромбическая, моноклинная и триклинная) шар преобразуется в трехосный эллипcоид.

Задача 66. Сегнетоэлектрический фазовый переход или возникновение спонтанной поляризации может быть только в неполярных ( 1, 2/m, mmm, 4/m, 4/mmm, 3, 3m, 6/m, 6/mmm, m3 ) и в полярно-нейтральных кристаллах ( 222, 4, 422, 42m, 32, 6, 62, 622, m3m, 23, 432, 43m ) и невозможен в полярных кристаллах с единичным направлением (1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm).

Задача 67. Пироэлектрическим эффектом называется изменение электрической поляризации (P ) при изменении температуры T.

p – пироэлектрический коэффициент;

P, p – полярные векторы;

Пироэлектрический эффект возможен у кристаллов с полярным направлением, то есть в кристаллах с точечными группами 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm. Равномерное нагревание как скалярное воздействие не изменяет симметрию кристалла. В кристаллах с группой m вектор спонтанной поляризации может вращаться в плоскости отражения, в кристаллах с группой 1 вектор спонтанной поляризации может изменять и величину, и направление при изменении температуры. В остальных случаях вектор P совпадает с единичным направлением (вдоль поворотной оси).

Задача 68. Пиромагнитный эффект описывается уравнением Js – изменение намагниченности, T – изменение температуры, k – пиромагнитный коэффициент, Js, k – аксиальные векторы, T – скаляр.

Пиромагнитными свойствами могут обладать кристаллы с точечными группами 1, 2, 3, 4, 6, m, 2 m, 4 m, 6 m, 1, 3, 4, 6. Направление намагниченности во всех классах (кроме 1 и 1 ) совпадает с направлением оси вращения, в m – с нормалью к m. В кристаллах с группами 1 и 1 направление спонтанной намагниченности меняется с температурой произвольно.

Задача 69. Пьезоэлектрический эффект – это возникновение поляризации ( P ) в кристалле под действием механических напряжений (тензор T = (t ij ) ). Обратный пьезоэффект – это деформация кристалла под действием электрического поля.

d ijk – пьезомодуль (тензор третьего ранга).

Пьезоэффект возможен в кристаллах с точечными группами 43m, 23, 6m 2, 622, 6, 6mm, 6, 3m, 32, 3, 42m, Задача 70. Оптической активностью могут обладать кристаллы только тех групп, у которых отсутствует центр симметрии, то есть: 1, 2, m, 222, mm2, 3, 3m, 32, 4, 4mm, 422, 4, 4 2m, 6, 6mm, 622, 6, 6 m2, 23, 432, 4 3m.

Задача 71. Линейный электрооптический эффект (эффект Покельса) устанавливает связь между поляризационными константами а и внешним электрическим полем (E ). Величина a = 1 n 2 ( n – показатель преломления – полярный тензор 2го ранга). Для веществ с электронной поляризуемостью a = ( – полярный тензор диэлектрической проницаемости).

Линейный электрооптический эффект может встречаться в кристаллах с точечными группами 43m, 23, 6m 2, 6mm, Задача 72. Да, обладает (см. задачи 67 и 69).

Задача 73.

№ Группа Сегнето- Пироэлек- Пиромаг- Пьезоэлек- Электро- Оптичеэффект трический нитный трический оптиче- ски акэффект эффект эффект ский тив-ные Задача 74. Не следует. Например, кристаллы с точечными группами 222, 32, 422, 4, 42m, 622, 6m 2, 6, 23, 4 3m обладают пьезоэлектрическими свойствами, но не являются пироэлектриками.

Задача 75. Если кристалл характеризуется тензорным физическим свойством t ij, причем t – полярный тензор, а точечная группа кристалла описывается матрицей-генератором Cij, то коэффициенты тензора должны удовлетворять условию t ij = t, где tmn – матричные коэффициенты тензора t после точечного преобразования а) Группа 2 характеризуется матрицей-генератором левыми слагаемыми будут только те, где коэффициенты имеют вид C rr Css. Следовательно, полярный тензор ранга для кристаллов с точечной группой 2 имеет вид б) Точечная группа 4 описывается t 33 = 1. Следовательно, в) Группа 6. Матрица-генератор Следовательно, t11 = t11 = t11 t12 t 21 + t (остальные слагаемые нулевые).

Так как в общем случае t ij произвольны, а полученное равенство выполняется всегда, то t11 = t 22, t12 = t 21.

Этот вывод надо проверить, преобразуя t12, t 21 и t 22.

Следовательно, для кристаллов с точечной группой полярный тензор второго ранга тот же, что и для группы 4.

г) Так как в группе 4mm есть ось 4, то необходимо рассмотреть ограничения, накладываемые вертикальной плоскоt11 t12 образований (Cij )i j = 0, то t12 = t12, но t12 = t12, то есть t12 = 0.

Следовательно, д) Замените в пункте 4 и 4mm на 6 и 6mm и задача решена.

То есть для кристаллов с группой 6mm полярный тензор второго ранга имеет вид тот же, что и для группы 4mm.

Задача 76. См. решение задачи 73.

Задача 77. Задача решается аналогично задаче 75.

а) Матрица-генератор группы 3 имеет вид Все элементы полярного тензора t ij ( i или j равны 3, но i j ) равны нулю. t = t 33.

Следовательно, расчет элементов тензора t требуется провести для i, j = 1,2. Отсюда есть из этого условия следует t12 = t 21, t11 = t 22.

Для группы 3 полярный тензор второго ранга имеет вид Полярный тензор второго ранга кристаллов с точечными группами 4 и 6 приведен в задаче 75. Перпендикулярная оси вращения плоскость не вносит дополнительных ограничений на элементы тензора. Следовательно, полярный тензор групп 4 m, 6 m тот же, что и для групп 4 и 6.

Для кристаллов с осью третьего порядка форма полярного тензора второго ранга определена в пункте а) данной задачи. Матрица-генератор отражения в вертикальной плоскости накладывает ограничения на форму этого тензора (см.

задачу 75 г).

д) Кристаллы кубической сингонии обязательно характеризуются группой 23 с матрицей-генератором t = t ij = CimC jn t mn останутся ненулевыми только элементы с попарным произведением C13, C21, C32. Следовательно, подействовав осью 3, получим t11 = t11 = C13C13 t 33 = t 33, t12 = t12 = C13C21t 31 = t 31, t21 = t 21 = C21C13t13 = t13, t22 = t 22 = C21C 21t11 = t11, t13 = t13 = C13C32 t 32 = t 32, t 23 = t23 = C 21C32 t12 = t12, то есть (t ij ) имеет вид Рассмотрим действие поворота вокруг 2 z. Элементы t11 = (t 22 = t 33 ) не получают дополнительных ограничений. Но Следовательно, для всех кубических кристаллов полярные тензоры второго ранга имеют вид Задача 78. Используя правила преобразования коэффициентов полярного тензора t = t ij (см. задачу 75) и правила преобразования аксиального тензора t = t ij, получим для группы 422: формы аксиального и полярного тензоров имеют вид но симметрия полярного тензора mmm, а симметрия аксиального тензора : 2.

Задача 79. Можно, так как (см. задачу 73) эти группы характеризуются следующими особенностями (+, - – наличие и отсутствие эффекта соответственно).

Задача 80. Если характеристическая поверхность полярного тензора второго ранга является эллипсоидом вращения, то его запись, имеет вид:

(причем t12 может равняться нулю). Следовательно, у всех точечных групп кристаллов средних сингоний характеристическая поверхность аксиального тензора второго ранга – эллипсоид вращения. Эти группы: 3, 4, 6, 3, 4, 6, 4 m, 6 m, 3m, 4mm, 6mm, 3m, 4 2m, 6 m2, 4 mmm, 6 mmm, 32, 422, 622 (19 групп).

Задача 81. Кристалл с изотропной электропроводностью – это кристалл кубической сингонии. Следовательно (см.

задачу 73), это кристалл с точечной группой 23 либо 4 3m.

Задача 82. Как следует из таблицы к решению задачи 73, это кристаллы точечных групп 222, mm2, 3m, 32, 4mm, 422, 4 2m, 622, 6mm, 6 m 2, 23, 4 3m.

Задача 83. Тензор пироэлектрического эффекта – полярный тензор. Следовательно, решение этой задачи приведено в задачах 75 и 78.

Задача 84. Кристаллы относятся к кубической сингонии, у которых полярный тензор имеет вид t ij = t mn mn.

Задача 85. Используйте таблицу к решению задачи 73.

а) Кристалл триклинной сингонии – группа 1 (все свойства есть) либо 1 (эти свойства отсутствуют).

б) Тригональная сингония. Группа 3. Кристаллы не обладают этими свойствами.

в) Группа 3 – обладают.

г) Группа 3m – пироэлектрических свойств нет.

д) Группа 32 – пироэлектрических свойств нет.

е) Группа 6 – обладает.

ж, з, и) Это кристаллы кубической сингонии, которые не имеют пироэлектрических свойств.

Задача 86. При наложении внешнего электрического поля происходит поляризация молекул. Если в кристалле есть ось 4 вдоль [001], то его симметрия не изменится при E = E[001]. Если E идет вдоль [100], точечная группа 4mm трансформируется в m (m x ).

б) Перпендикулярно оси 4 вдоль оси х или y.

в) Вдоль любых направлений кристалла, кроме (а) и (б).

Задача 88. Сульфид лития – Li2S – относится к кубической сингонии, то есть форма записи тензора не изменится, так как оси x, y, z кристаллохимически эквивалентны.

Задача 89. В беспорядочных молекулярных системах встречаются, по крайней мере, следующие элементы порядка:

1. Расстояние между центрами молекул не может быть меньше фиксированной для данного вещества величины, например, для молекул со сферической симметрией это диаметр молекулы.

2. Координационное число не может превышать некоторое значение (для одинаковых шаров это значение равно 12).

Задача 90. Пусть исходная (x i ) и после преобразования (x ) системы координат связаны ортогональным соотношеj нием Преобразования тензора проводятся по формуле Рассмотрим тензорные элементы Tij и Tji Tij = Ci1C j1T11 + Ci1C j2T12 + Ci1C j3T13 + Ci 2C j1T21 + Ci 2C j2T22 + Ci 2C j3T23 + Ci 3C j1T31 + Tji = C j1Ci1T11 + C j1Ci 2T12 + C j1Ci 3T13 + C j2Ci1T21 + C j2Ci 2T22 + C j2Ci 3T23 + C j3Ci1T31 + + C j3Ci 2T32 + C j3Ci 3T33 = Ci1C j1T11 + Ci1C j2T21 + Ci1C j3T31 + Ci 2C j1T12 + Ci 2C j2T22 + + Ci 2C j3T32 + Ci 3C j1T13 + Ci 3C j2T23 + Ci 3C j3T так как Tij = Tji, то и Tmn = Tnm.

Задача 91. Рассмотрим Tij и Tji, записанные в решении задачи 90. Так как Tij = Tji (то есть Tii = 0 ), то Tij = Tji.

Задача 92. В соответствии с правилами преобразования тензора второго ранга получим T = Ci1Cj1t11+Ci1Cj2t12 +Ci1Cj3t13 +Ci2Cj1t21+Ci2Cj2t22 +Ci2Cj3t23+Ci3Cj1t31+ или Ci1Cj1t11+t12(Ci1Cj2 +Ci2Cj1) +t13(Ci1Cj3 +Ci3Cj1)+Ci2Cj2t22 + +t23(Ci2Cj3 +Ci3Cj2) +Ci3Cj3t33 = Задача 93. Плоскости скольжения в металлах совпадают с плоскостями с наибольшей плотностью атомов. Для решеток (а) ГЦК-типа – это (111), (б) ОЦК – (110), (в) ГПУ – (0001).

Задача 94. В ионных кристаллах плоскости скольжения совпадают с плоскостями, в которых лежат одинаковые ионы.

Следовательно, в кристаллах типа NaCl – это (110), CsCl – (100).

Следовательно, правила преобразования тензора записываются в виде то есть то есть б) Аналогично рассчитывается форма для 2 // y Задача 96. Собственные значения ( i )i =1, 2,3 тензора t определяются условием Следовательно, Тензор относительно главных осей имеет вид 0 2 0.

Следовательно, это одноосный кристалл (тригональная, тетрагональная или гексагональная сингонии).

Тензор относительно главных осей имеет вид 0 3 0.

Это двухосный кристалл, то есть принадлежит к ромбической, моноклинной или триклинной сингониям.

(4 x )(x 2 6x + 8) = (4 x )(x 4)(x 2) = 0. Тензор относительно главных осей имеет вид 0 4 0, то есть кристалл эквивалентен кристаллу в пункте (а) этой задачи.

г) Кристалл принадлежит кубической сингонии (или любой другой при случайном совпадении трех собственных значений).

Решения и пояснения к задачам раздела

«ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОХИМИИ»

Задача 97. Кратчайшее межатомное расстояние равно диаметру атома (d), а телесная диагональ кубической I-ячейки – это 2d. Следовательно, период решетки равен a = d 2.

Объем ячейки V = 2 2d 3. Масса ячейки m = 2 m sr m a, где m sr – атомная масса стронция, m a – атомная единица массы.

Плотность стронция ( ) равна Задача 98. Точечная группа алмаза Fd3m, графита – С6/mmc, следовательно, в алмазе на ячейку приходится 8 атомов С, в графите – 4 атома. Плотности кристаллов равны:

следовательно, Задача 99. Сфалерит (ZnS), или цинковая обманка, имеет алмазоподобную структуру. Каждый из атомов Zn окружен тетраэдром из атомов S и наоборот. На ячейку приходится атома Zn и 4 атома S. Плотность ( ) равна Задача 100. Телесная диагональ ячейки равна 2l = a 3.

Следовательно, плотность CsCl равна Задача 101. Плотность кубической модификации равна гексагональной – Задача 102. Если объем ячейки равен V, масса молекулы равна m A + xm B, где m A = m(CaSO 4 ), m B = m(H 2O ), то плотность равна Отсюда Из условий задачи следует: = 2,32 10 кг/м 3, z = 8. Отсюда x = 2, то есть формула имеет вид СаSO4 2H2O.

Задача 103. Плотность алмаза ( ) определяется по форmc ma m c – атомная масса углерода, m a – атомная единица массы.

Отсюда Расстояние между соседними атомами углерода в алмазе (С-С) равно четвертой части телесной диагонали его ячейки, то есть Задача 104. Период решетки вещества с алмазоподобной структурой (см. задачу 93) определяется по формуле Кратчайшее расстояние между атомами равно Задача 105. NaCl характеризуется кубической ячейкой Fтипа, в которой по 4 атома Na и Cl. Если а – период решетки, то Na Na = Cl Cl = 2 2 (половине диагонали грани).

Na Cl = Следовательно, расстояния равны: Na Cl = 2,82 A, Задача 106. Ячейка изображена на рис. Химическая формула – АСВ Точечная пространственная группа Pm3m. Атом С находится в центре октаэдра из атомов В. Каждый атом А окружен двенадцатью атомами В в трехслойной плотнейшей упаковке. Атомы А и В создают плотнейшую трехслойную упаковку, в октаэдрической пустоте из атомов Вкоторой находится атом С.

Задача 107. Коэффициент упаковки, или компактности, (k) равен отношению объема шаров в ячейке к объему самой ячейки. Для решения задачи необходимо параметр ячейки (а) выразить через радиус шара. Коэффициент k определяется по формуле k = 3 3, где n – число шаров в ячейке.

Задача 108. Структура алмаза представляет собой гранецентрированный куб, в центрах октантов которого расположены атомы углерода. Следовательно, Задача 109. Идеальная ГПУ решетка представляет собой чередование слоев типа …АВАВАВ…, то есть параметр С равен удвоенной высоте тетраэдра со стороной d (d – диаметр Задача 110. Коэффициент плотнейшей упаковки равновеликих шаров равен =. Если радиус шара r, то объем тетраэдра, в вершинах которого находятся центры шаров, равен VT = 2 2r 3, октаэдра - VOk = 8 2r 3. Пусть в установке из N шаров имеется Т тетраэдров и А октаэдров. Так как тетраэдры и октаэдры заполняют пространство упаковки без пропусков, то есть Отсюда Единственным положительным, ненулевым и целочисленным решением этого уравнения являются значения T = 2, Следовательно, число октаэдрических пустот равно числу шаров в их плотнейшей упаковке, а число тетраэдрических пустот вдвое больше числа шаров.

Задача 111. Если имеется плотнейшая упаковка одинаковых шаров с радиусом R, то максимальные размеры шаров, которые могут разместиться в октаэдрической ( r0 ) и в тетраэдрической ( rT ) пустотах, равны Задача 112. Если радиус аниона равен R, то:

а) в пустоте простой кубической упаковки может разместиться катион с радиусом r R 3 1 ;

б) в объемноцентрированной кубической - r R 2 3 1, в), г) радиусы шаров, которые могут разместиться в тетраэдрических и октаэдрических пустотах плотнейшей упаковки, указаны в задаче 111.

Задача 113. Центры тетрагонально-дипирамидальных пустот в ОЦК решетке находятся в центре граней (см. рисунок). Так как в них размещены атомы В, а число этих точек, принадлежащих данной ячейке, равно 3, то x = 3, а формула кристалла имеет вид A 2 B3.

Задача 114. Число октаэдрических пустот равно числу атомов, образующих плотнейшую упаковку, а число тетраэдрических – вдвое больше, то x = 2 9 = 12, y = 9 = 5. То есть формула кристалла имеет вид A12 B5C9.

Задача 115. Так как число октаэдрических пустот равно числу атомов, образующих плотнейшую упаковку (см. задачу 111), то y = 2. Тетраэдрических пустот вдвое больше, чем октаэдрических, но занята только их половина, то есть x = 2.

Следовательно, кристалл имеет состав A 2 B 2 C 2 ABC.

Задача 116. В примитивной кубической решетке на ячейку приходится один атом и одна кубическая пустота. Так как общее число атомов А и В равно 2, то y = 1. Следовательно, кристалл имеет состав A x B2 x C.

Задача 117. Алмазоподобная структура сфалерита описана в задаче 99. Ребро структурного тетраэдра (l) равно полоa o вине диагонали грани, то есть l = 2 = 3,825 A. Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы равен расстоянию r (Zn S) и определяется по формуле rZn S = l = 2,34 A.

Задача 118.

Следовательно, это Fe.

Задача 119. Если r – радиус атома, m – его масса, то так как точечная группа Cu и Au Fm3m.

Отсюда то есть rCu = 1,28 A, rAu = 1,44 A.

Задача 120. В алмазоподобной структуре расстояние между атомами равно 1 4 телесной диагонали ячейки (см. задачи 93 и 104) m a – атомная единица массы ( 1,66 10 кг), mSi – атомная масса кремния (28).

Отсюда то есть радиус атома кремния равен r = 1,17 A.

Задача 121. В кристаллах со структурой типа NaCl период решетки равен a = 2(rk + ra ), где rk, ra – радиусы катиона и аниона соответственно. На ячейку приходится по 4 катиона и аниона. Коэффициент компактности структур этого типа равен В структуре типа CsCl телесная диагональ равна 2(ra + rk ), z = 1. Следовательно, период решетки Отсюда Задача 122. Необходимо знать параметры ячейки и тоo чечные группы модификаций Fe. Fe – Fm3m a = 3,6467 A ;

m – атомная единица массы.

Следовательно, Задача 123. Если известна плотность меди ( ) и тип решетки (ГЦК), то телесная диагональ ячейки равна 2d ( d – диаметр атома меди), причем 2d = a 2, где а – параметр ячейки. Так как (см. задачу 120) m Cu – атомная масса меди, m a – атомная единица массы, то Задача 124. Молекула п-дихлорбензола имеет вид (см.

Задача 125. Молекула 1-, 2-, 4-, 5-тетраметилбензола описывается формулой С10Н14 и имеет вид (см. рисунок).

( m C, m H – атомные массы углерода и водорода, m a – атомная единица массы, k – коэффициент компактности).

Задача 126. Центр масс молекулы АВС поместим в начало координат, причем ось z перпендикулярна плоскости равновесной конфигурации молекулы. Пусть координаты ядер атомов в рассматриваемой молекуле равны (x a ya 0) (x b y b 0) (x c yc 0). Так как на молекулу не действуют внешние силы, то ни положение центра масс, ни суммарный момент не меняются. Следовательно, Определитель системы (D) равен Так как атомы в молекуле не лежат на одной прямой, то D 0. Следовательно, решением системы будут значения Решения и пояснения к задачам раздела

«ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ»

Задача 127. Если ускоряющее напряжение равно U, то коротковолновая граница электромагнитного излучения ( k ) определяется условием то есть Если U измерено в кВ, то Задача 128.

Отсюда Задача 129. Для определения структуры кристаллов дифракционным методом (Фурье, Патерсона, «проб и ошибок» или прямыми методами) необходимо, чтобы каждая кристаллографическая плоскость имела узел в обратном пространстве, не совпадающий с другими узлами той же формы плоскостей.

Это условие выполняется для монокристалла и не выполняется для поликристалла. Для текстуры это условие выполняется частично, так как рефлексы разделены вдоль направления в обратном пространстве, параллельном от текстуры. Следовательно:

а) можно; б) нельзя; в) можно найти проекцию структуры на ось текстуры.

Задача 130. Так как порядковые номера Cr – 24, Fe – 26, Co – 27, то К-серия Fe может возбудить К-серию Cr и не возбудит ее у Co.

Задача 131.

(x ) = (xyz )dydz = F(hkl )exp 2i(hx + ky + lz )dydz = = F(hkl )exp 2ihx exp 2i(ky + lz )dydz Рассмотрим двойной интеграл Интеграл вида Следовательно, Задача 132.

F(hkl ) = f j exp 2i(hx + ky + lz )j (N – число атомов в ячейке). Для гранецентрированной ячейки Бравэ базис имеет вид (000 ), 0 1 1, 1 0 1, 1 1 0. Следовательно, суммирование можно проводить по четверкам:

= [ + exp i(k + l ) + exp i(h + l ) + exp i(h + k )] F(hkl )exp 2i(hx + ky + lz )j.

Квадратная скобка принимает два значения: +4, если hkl или все четные, или все нечетные, и 0 при смешанной четности индексов.

Задача 133. Базис I-ячейки (000 ), 1 1 1. Следовательно, F(hkl ) = f j exp 2i(hx + ky + lz )j = f j {exp 2i(hx + ky + lz ) + x f j exp 2i(hx + ky + lz )j Следовательно, от кристаллов с I-ячейкой Бравэ нельзя получить рефлексы с нечетной суммой индексов.

Задача 134.

где N – число атомов в ячейке.

Если в кристалле есть центр симметрии, то для любого атома f j (xyz ) имеется ему центральносимметричный f i ( x, y,z ). Следовательно, F(hkl ) примет вид = 2 f j (xyz )cos 2(hx j + ky j + lz j ).

Если в кристалле есть ось 2z (2 параллельна z), то аналогичные пары имеют координаты (xyz ) и ( x, y, z ). Отсюда = 2 f j (xyz )cos 2(hx j + ky j ) exp 2ilz j.

Задача 135.

Разность хода лучей 1 и 2 после отражения от плоскостей I и II равна = 2d sin v. Лучи усилят друг друга, если разность хода равна целому 2d sin v = n числу длин волн, то есть = n (n – целое). Отсюда 2d sin v = n. 2d sin = n.

Задача 136. Для описания рассеяния излучения на объеме с произвольной структурой этот объект помещается в центре сферы отражения (сферы Эвальда) с радиусом 1 ( – длина волны падающего излучения). В точке выхода из сферы Эвальда первичного луча помещается начало координат обратного пространства (для кристалла – обратной решетки).

Если на сферу Эвальда попадает точка обратного пространства с ненулевым «весом» А, то по радиусу-вектору этой точки пойдет рассеянный луч с амплитудой А. У кристалла обратное пространство дискретно. Узлы этой решетки в ее базисе имеют координаты, соответствующие индексам кристаллографической плоскости (hkl). При попадании узла на сферу Эвальда возникает отраженный луч, идущий по радиусу-вектору этого узла (см. рис. к задаче 136).

Так как r =, а из рис. к задаче 136 следует, что Полученное уравнение является уравнением Вульфа-Брэгга.

Кр – кристалл; О – начало координат обратной решетки; СЭ – сфера Эвальда; узел hkl, попавший на сферу Эвальда;

r * – радиус-вектор узла hkl обратной решетки, v – угол Вульфа-Брэгга.

Задача 137. Теорема Берто: «Профиль рефлекса hkl таков же, как и профиль дифракционного максимума от совокупности параллельных и некогерентных отрезков прямых, длины которых распределены как диаметры зерен, перпендикулярных отражающей плоскости (hkl)».

Доказательство.

Рассмотрим порошок, состоящий из кристаллических зерен, функция распределения диаметров которых есть P(M ).

Если частицы достаточно малы, то узел обратной решетки не будет точкой, и его можно охарактеризовать величиной S0 = S rhkl, причем S0 = ширина рефлекса. Интенсивность рассеяния в области рентгеновского рефлекса, как это следует из общей теории рассеяния, определяется условием где v x – величина, зависящая от фактор-формы частицы (x ) и равна v(x ) = (u )(x + u )dv u. Если частицу представить как совокупность примыкающих друг к другу столбцов (колонок), нормальных (hkl), то высота столбика определится толщиной кристалла в этом направлении t. В объеме v(t ) колонка имеет высоту M t, причем всегда t < M. Отсюда так как MdM и есть распределение высот столбиков.

Интенсивность рефлекса является трансформантой функции v(t ), которая имеет вид (табличная трансформанта) то профиль рефлекса описывается условием где sin MS0 – функция интерфракции объекта, состоящего из отрезка прямой с длиной М. Теорема Берто доказана.

Задача 138. Для объекта с произвольной структурой интенсивность рассеяния I(S) определяется условием f i – рассеивающая способность i-го рассеивающего центра, N – число рассеивающих центров, S – вектор обратной решетки.

Так как в порошке частицы ориентированы беспорядочно, необходимо найти среднее значение < I(S) >.

Отсюда следует формула Дебая Задача 139. Термическое расширение серебра практически изотропно, то есть коэффициент термического расширения ( ) может быть рассчитан для любых направлений. Так как из рентгенографических данных можно определить из 2 sin 76054 sin 8009 sin 8009 sin Задача 140. -олово относится к тетрагональной сингонии (пространственная группа D19h = I4 amd ), то есть его квадратичная формула имеет вид Съемка велась на Cu K -излучении, то есть = 1,54050 A.

Отсюда Или Решая эту систему, получим Задача 141. Так как у кристаллов с ячейкой Бравэ I-типа индексы рефлексов должны удовлетворять условию h + k + l = 2n (n – целое, см. задачу 133), а для F-типа индексы должны иметь одинаковую четность (см. задачу 132).

Задача 142. В соответствии с уравнениями погасания для кристаллов с ячейками I и F-типа (см. задачи 132 и 133) первые 10 рефлексов имеют индексы.

Задача 143. Координаты атомов углерода в алмазе имеют значения Следовательно, структурная амплитуда алмаза описывается формулой Первый множитель (четырехчлен в квадратной скобке) не равен нулю при одинаковой четности интенсов, то есть ненулевые интенсивности имеют рефлексы 111, 200, 220, 311, 222, 400, 331, 420 и т.д. Но если h + k + l = 4n 2, то второй множитель (двухчлен в фигурной скобке) равен нулю. Итак, первые пять минут на рентгенограмме алмаза имеют индексы 111, 220, 311, 400, 331.

Задача 144. Формула структурной амплитуды для рассматриваемого кристалла примет вид (см. задачу 132) Следовательно, при смешанной четности индексов рефлексы отсутствуют, так как 0. Итак, Если все рефлексы нечетные, то F(hkl ) = 4f Ca, если все четные и (h + k + l ) = 2 2n, то F(hkl ) = 4[f Ca + 2f F ], если (h + k + l) = 2 (2n + 1), то F(hkl) = 4[f Ca 2f F ].

Задача 145.

F(hkl) = f Zn [1 + expi(h + k ) + expi(h + l) + expi(k + l)] + fS exp (h + k + l)x x[1 + expi(h + k ) + expi(h + l) + expi(k + l)] = Следовательно, на рентгенограмме появятся только рефлексы с индексами одинаковой четности, причем F(hkl) = 1+ exp3i exp F(hkl) = 0, если равен нулю один из множителей.

Но E = eU, где U – ускоряющее напряжение в вольтах. Следовательно, Задача 149. Простейший алгоритм фазового анализа двухкомпонентной системы следующий.

1. Исследуется химический состав образца.

2. По химическому составу рассматриваются возможные кристаллохимические фазы.

3. Производится съемка рентгенограммы образца с последующим определением d n и I (межплоскостных расстояний и интенсивностей рефлексов).

4. Для всех кристаллических фаз, возможных для данного состава образца, либо выбираются из таблиц значения d n и I, либо определяются экспериментально, если конкретную фазу можно исследовать в чистом виде.

5. Сравнивая значения d n, I образца с таблицами d n и I отдельных фаз, определяется их наличие или отсутствие в образце.

6. Определив фазовый состав образца, переходят к количественному анализу, для чего составляются эталонные образцы с известным содержанием этих двух фаз.

7. Получают рентгенограммы от эталонных смесей и находят зависимость отношений I1 I 2 = f (C1 ), которую обычно изображают графически. Индексы 1 и 2 относятся к фазам, кроме того, C1 + C 2 = 1. Съемку рентгенограмм эталонов проводят по той же методике, что и съемка исследуемого образца.

8. По рентгенограмме образца находят отношение интенсивностей рефлексов, для которых построена функция I1 I 2 = f (C ), и по эталонному графику находят C1 = 1 C 2. На практике возможны модификации приведенного стандартного алгоритма качественного и количественного рентгеновского фазового анализа. Если вместо рентгеновского излучения используют электронные или нейтронные пучки, то в этом случае реализуются методики качественного и количественного электронографического (или нейтронографического) фазового анализа двухкомпонентной системы по описанному алгоритму.

Задача 150. Для индицирования приведенных в задаче рефлексов строится таблица, в первой строке которой привеd 0, – обратные квадраты этих межплоскостных расстояний.

Видно, что 2 не образуют рациональных отношений, то есть это не кубический кристалл. Так как анализируется металл, то можно предположить, что это тетрагональное либо гексагональное вещество (сингонии, кроме кубической, тетрагональной и гексагональной, у металлов практически не встречаются). Квадратичная форма гексагональных кристаллов имеет вид (тетрагональная сингония встречается значительно реже):

Можно предположить, что первый рефлекс имеет индексы [100]. В третьей строке таблицы приведены значения лекса: 110. Значения третьей строки для рефлексов с номерами 3, 4 и 6 образуют целочисленные отношения 1:4:9. Следовательно, их рефлексы соответственно 101, 102 и 103. Из полученных индексов на основе квадратичной формулы определяем параметры: ячейки: a = 3,20 A, c = 5,20 A. Для = 2 2 = 0,037 A -2. Объем гексагональной ячейки (V) раc d 3 d вен V = a 2c, то есть V = 46,11 A 3. Так как на гексагональную ячейку всегда приходятся две гомологичные точки, то есть в нашем случае – два атома, то плотность определяется форm ma следуемое вещество – магний. Действительно, плотность магния равна 1,74 г/см3, и он относится к гексагональной сингонии.

Задача 151. По приведенным в задаче брэгговским углам рассчитываются значения d = и 2 (см. таблицу). Так как a ГЦК > a ОЦК (см. условие), то можно предположить, что первый рефлекс принадлежит ГЦК ячейке и его индексы [111].

Разделим значения d 2 на 0,121 3 = 0,0403. Видно (см. таблицу), что первые четыре рефлекса соответствуют ГЦК ячейке. Остальные три рефлекса относятся к ОЦК ячейке, так как их индексы невозможны в ГЦК ячейке, индексы и значения параметров, определенных по отдельным рефлексам, также Параметр ГЦК ячейки равен примерно 5,00 A, ОЦК ячейo ки – примерно 2,00 A.

Задача 152. Функция Патерсона P(uvw) – это самосвертка функции электронной плотности по ячейке кристалла Функция Патерсона – это среднее по ячейке кристалла значение произведения электронной плотности на концах вектора u (u, v, w ).

Для построения функции Патерсона (или межатомной функции или функции межатомного вектора) необходимо:

1) получить рентгенограмму монокристалла;

2) проиндицировать рентгенограмму;

3) определить интенсивности рефлексов (I);

4) выполнить переход от интенсивности рефлексов к структурным факторам, то есть I F2 (hkl ) ;

5) просуммировать ряд Фурье с коэффициентами F2 (hkl ) для различных точек ячейки кристалла;

6) построить изоповерхности;

7) определить максимальные значения P(uvw ), координаты которых определяют значения межатомного вектора, а значение Р зависит от «весов» атомов, связанных вектором u (uvw ).

Задача 153. z-проекция электронной плотности R(z) определяется условием (xyz ) – функция электронной плотности кристалла.

Отсюда Интегралы имеют значения Следовательно, Задача 154. Проекция электронной плотности на плоскость xy – (xy) – определяется условием (xyz ) – функция электронной плотности кристалла.

Так как (xyz ) – трансформанта Фурье структурной амплитуды, то Интеграл Следовательно, Задача 155. Функция радиального распределения атомной плотности (ФРРАП) определяет среднее по изучаемому веществу количество атомной массы в сферическом слое с радиусами от r до (r + dr) и рассчитывается по формуле Цернике-Принса. Функция электронной плотности определяет структуру кристалла, так как положения ее максимумов соответствуют положению центров атомов. Определение функции Патерсона смотрите в задаче 152.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные в пособии задачи отражают вопросы физики твердого тела, которые связаны с геометрическими атомными конфигурациями, то есть с пространственной атомно-молекулярной структурой. Задачи сопровождаются их решениями. Следует отметить, что материал пособия не отражает проблем кристаллофизики, которые связаны с процессами взаимодействия атомов и молекул. Задачи, в которых рассматриваются такие разделы, как термодинамика кристаллов, их упругие, электрические, магнитные и другие свойства, можно найти, например, в пособиях: Переломова Н.В., Тагиева М.В. Задачник по кристаллофизике (М.:

Наука, 1982. – 287 с.), Задачи по физике твердого тела (Под ред. Голдсмида Г.Дж.) (М.: Наука, 1976. – 431 с.), Задачи и упражнения с ответами и решениями к Фейнмановским лекциям по физике (М.: Мир, 1969. – 624 с.) и в ряде других изданий.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Кристаллографические индексы и элементы кристаллографической гониометрии

Пространственная симметрия и Симметрия и физические свойства кристаллов

Экспериментальное определение Заключение

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО СТРУКТУРНОЙ ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

«Физика диэлектриков и полупроводников», «Методы исследования структуры вещества», «Моделирование молекулярных систем»

Компьютерная верстка: В.И.Карасик.

Сдано в набор 12.03.2001. Подписано в печать 05.06.2001.

Формат 60х84/16. Бумага офсетная №1.

Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл.печ.л. 6,72. Уч.-изд.л. 6,38.

Налоговая льгота — Общегосударственный классификатор Республики Беларусь ОКРБ 007-98, ч.1, 22.11.20.600.

Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы».

ЛВ №96 от 02.12.97 г.

Ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно.

Отпечатано на технике издательского отдела Учреждения образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы».

ЛП №111 от 29.12.97 г.

Ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно.