И.П. ЕГОРОВА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ

И ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКОВ

С ПРИМЕНЕНИЕМ ПК

Самара 2005

3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

И.П. ЕГОРОВА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ И

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

С ПРИМЕНЕНИЕМ ПК

Учебное пособие Самара УДК 378.147: Высшая математика. Исследование функций и построение графиков с применением ПК : Уч. пособ. / И.П. Егорова. Самар.

гос. техн. ун-т. Самара, 2005. 53 с.

Учебное пособие можно рассматривать как курс лекция по одному из разделов курса высшей математики "Исследование функции одной независимой переменной и построение графика". В работе рассмотрены основные понятия указанного раздела, необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции, существования точек экстремума и перегиба, наличия асимптот графика, а также их применение к решению математических задач и контроль с применением ПК.

Основные вопросы указанного раздела изложены достаточно полно, приведено необходимое количество примеров.

Предназначено для инженерных, экономических и других нематематических вузовских специальностей.

ISBN 5-7964-0736- Ил. 29.

Рецензенты : канд. физ.-мат. наук В.Б.Кислинский канд. физ.-мат. наук В.Н. Анисимов Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного технического университета © И.П. Егорова, ISBN 5-7964-0736- © Самарский государственный технический университет,

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

1. ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Определение функции Понятие функции, известное нам из курсов математики и физики средней школы, представляет собой одно из основных математических понятий, при помощи которых моделируются многие естественные процессы и явления. Например, с процессом расширения при нагревании металлического стержня связаны две величины:

температура среды – переменная величина, которая независимо меняется в некоторых пределах, и длина стержня, которая зависит от температуры. Для характеристики описания данного процесса необходимо указать, какие значения длины стержня соответствуют различным значениям температуры. В таком случае говорят, что длина стержня является функцией от температуры. Рассмотрим еще один пример. Если при постоянной температуре изменить объем, занимаемый газом, то давление газа на стенки сосуда тоже будет меняться. Следовательно, при постоянной температуре давление газа является функцией от объема. Если же менять и температуру, то давление будет зависеть, или, как говорят, будет функцией, от двух переменных – объема и температуры. Настоящее пособие посвящено изучению, исследованию и построению графика функции одной независимой переменной.

Пусть даны два непустых множества Х и У.

Определение. Соответствие, которое каждому элементу х из Х ставится в соответствие один и только один элемент у из У, называется функцией, определенной на множестве Х со значениями в У.

Например, соответствие, изображенное на рис. 1.1 является функцией; соответствие, изображенное на рис. 1.2 не является функцией.

Для обозначения функций используются буквы f, g, h и т.д.

Если функция f ставит элементу х из множества Х в соответствие элемент у из У, то это записывают следующим образом: у = f(х).

Определение. Множество Х называется областью определения (или существования) функции f и обозначается D(f).

Множество всех у из У, для которых существует хоть один х из Х такой, что у = f(х), называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Определение. Функция f(x) называется числовой функцией, если ее область определения D(f) и множество значений Е(f) являются подмножеством множества действительных чисел R.

В дальнейшем будем рассматривать только числовые функции.

Определение. Графиком числовой функции у = f(x) называется множество всех точек (х; у) плоскости 0ху, координаты которых удовлетворяют условию у = f(x), т.е. это множество точек (х; f(x)).

Как правило, графиком функции служит некоторая линия. Так, линия, изображенная на рис. 1.3, может быть графиком некоторой функции. Линия же, изображенная на рис. 1.4, не может быть графиком функции, потому что не соблюдается условие однозначности: значению аргумента х0 соответствует несколько значений (в таких случаях говорят, что задана многозначная функция).

Функции могут быть заданы различными способами. Отметим некоторые из них.

Аналитический способ. В этом случае функция задается, как правило, при помощи некоторой формулы. Например, Отметим, что под функцией, заданной некоторой формулой, понимается функция, определенная на множестве всех значений аргумента х, для которых указанная формула имеет смысл.

Графический способ. В этом случае соответствие между значениями аргумента х и функции у устанавливается с помощью заданного графика, по которому для каждого значения аргумента х определяется значение функции у. Часто графики функций вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране осциллографа, дисплея. Например, в метеорологии барограф вычерчивает барограмму – график изменения атмосферного давления, в медицине электрокардиограф вычерчивает электрокардиограмму – график работы сердца и т.д. Графическое задание удобно тем, что по графику функции можно составить общее впечатление о том, как протекает моделируемый процесс.

Алгоритмический или машинный способ. В этом случае дается алгоритм или программа, по которым для каждого значения х вычисляется значение функции у = f(x). Часто соответствующая программа заложена в памяти ЭВМ, в частности и некоторых микрокалькуляторов, и значение функции вычисляется автоматически.

Табличный способ. В этом случае функция задается таблицей некоторых значений аргумента и соответствующих значений функции. Так, широко известны таблицы значений функций: у = х (квадратов), у = 1/х (обратных чисел), у = lg х (логарифмов), тригонометрических функций и др.

На практике часто функция задается таблицей соответствующих значений переменных х и у, которые получаются опытным путем или из наблюдений.

1.4. Основные характеристики функции Определение. Функция у = f(х) называется четной (нечетной), если ее область определения D(f) симметрична относительно начала координат (т.е. f(х) и f(х) одновременно определены) и для всех х из D(f) имеет место равенство Например, функция у = 32 х является четной, так как а функция является нечетной (убедиться самостоятельно).

Определение. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Так, f(x) = 3x + 2, f(x) = 2x функции общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси 0у (рис. 1.5), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 1.6).

Определение. Функция у = f(х), х(а; b), называется возрастающей на интервале (а; b), если при любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, Определение. Функция у = f(х), х(а; b), называется убывающей на интервале (а; b), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, Определение. Функция у = f(х), х(а; b), называется неубывающей (невозрастающей) на интервале (а; b), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, Определение. Интервалы, в которых функция либо только возрастает (не убывает), либо только убывает (не возрастает), называются интервалами монотонности.

Например, функция, заданная своим графиком на рис. 1.7 возрастает на интервале (4; 2), убывает на интервале (2; 0), на интервале (0; 3) она не убывает.

Определение. Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т 0, что если для некоторого х определено f(х), то определены и f(х ± Т) и имеет место равенство Число Т называется периодом функции f(x). Периодическую функцию достаточно изучить на отрезке, длина которого равна одному периоду, и полученные сведения распространить на всю область определения. К периодическим функция относятся известные из курса средней школы тригонометрические функции: у = sin x, 1.5. Задачи для самостоятельного решения 2. Найти область определения функций:

3. Определить, какие из данных функций являются четными, нечетными, общего вида:

4. Доказать, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной – нечетная функция.

2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Определение. Основными элементарными функциями называются следующие функции:

а) постоянная функция f(x) = с, с R;

б) степенная функция f(x) = х, где любое действительное число;

в) показательная функция f(x) = ах, где а > 0, a 1;

г) логарифмическая функция у = loga x, где а > 0, a 1;

д) тригонометрические функции у = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x;

е) обратные тригонометрические функции у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y = arcctg x.

Повторим свойства и графики основных элементарных функций.

Постоянная функция f(x)=c. Область определения ( ; + ), f(x)=c не возрастающая и не убывающая, периодическая, не имеющая наименьшего периода. График функции y = c – прямая, параллельная оси 0x, отсекающая от оси 0у отрезок величиной с (рис. 2.1).

Степенная функция у = х. Если показатель = n – натуральное число, то степень хn определена для любого x R, следовательно, D(y)=R. Если = n, n N, то степенная функция y = xn определена для любого x R, x 0. Если является дробным числом, то область определения степенной функции y = x совпадает с множеством действительных значений х, для которых у принимает также действительные значения. Например, функция у = х определена при любом х 0, функция у = 3 х определена при любом действительном х и т.д. Если иррациональное число, то степенная функция f(x) = х определена для всех неотрицательных действительных значений х.

Изображение некоторых графиков функций y = x для > (обобщенные параболы) приведено на рис. 2.2; для < 0 (обобщенные гиперболы) на рис. 2.3.

Показательная функция y = ах, а > 0, a 1. Область определения – множество всех действительных чисел; множество значений – множество всех положительных чисел. Функция y = ах является монотонной, причем при для а > 1 возрастающей, при 0 < a < 1 – убывающей.

Так как f(0) = a0 = 1 при х = 0, то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1).

Функция у = ех, е = 2,71828…; называется экспонентой.

Сравнительное положение графиков показательной функции для различных значений а > 1 и 0 < a < 1 изображено на рис. 2.4.

Заметим, что так как (1/а)х=ах, то графики функций ах и (1/а)х=ах симметричны относительно оси 0у.

Логарифмическая функция. Логарифмическая функция у = loga x является обратной к показательной у = ах.

Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

Логарифмическая функция возрастает при а > 1 или убывает при 0 < a < 1.

Так как логарифмическая функция обратная показательной, то график функции у = loga x симметричен относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов графику соответствующей обратной ей функции у = ах (рис. 2.5).

В частности (для любого основания а), у = loga x (так как а0 = 1), следовательно, график любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и графики функций loga x и log1/a x симметричны относительно оси 0х (рис. 2.6).

В теоретической и прикладной математике большую роль играют логарифмические функции с основанием а = 10: у = lg x – десятичный логарифм х, и а = е = 2,71828…: у = ln х – натуральный логарифм х.

Тригонометрические функции. Функции y = sin x и y = cos x определены на всей числовой прямой. Так как, tg x =,а ctg x =, то функция tg х не определена в точках, где cos x = 0, т.е. для х = + k, k Z, а функция ctg x не определена в точках, в которых sin x = 0, т.е. для х = k, kZ.

Функция у = cos x является четной, так как cos(x) = cos x, остальные тригонометрические функции являются нечетными. Кроме того известно, что функции у = sin x и у = cos x являются периодическими функциями с периодом Т = 2, а у = tg х и у = ctg x периодическими функциями с периодом Т =. Графики указанных выше тригонометрических функций представлены на рис. 2.7.

Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические функции (как и любые периодические функции) не являются обратимыми (обратные соответствия для них не являются однозначными). Если же ограничить область определения до одного из промежутков монотонности, то полученные функции будут обратимыми.

Функция y = sin x является монотонной (возрастающей) на отрезке [/2; /2], следовательно, функция y = sin x с областью определения [/2; /2] обратима и её обратная функция задается в неявном виде уравнением Для этой функции вводится обозначение (читается "арксинус икс"). Так как для функции y = sin x с областью определения D(y) = D(sin x) = [/2; /2], имеем Е(у) = Е(sin x) = = [1; 1]; E(arcsin x) = [/2; /2]. Таким образом, y = arcsin x, где 1 х 1, есть число, заключенное между /2 и /2, синус которого равен х, т.е. х = sin у, / 2 у / 2.

Аналогично определяются функции Графики обратных тригонометрических функций приведены на рис. 2.8.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Построить графики функций:

2. Найти обратную функцию и область ее определения для функции, заданной в указанном промежутке:

3. Построить графики заданных функций, используя графики соответствующих основных элементарных функций:

3. ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ.

Необходимые условия возрастания (убывания) функции на интервале определяются следующими теоремами.

Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), x (a; b), возрастает на интервале (a; b), то f'(х0) 0 для любого x0 (a; b).

Из определения возрастающей функции имеем: для любых x0 (a; b), x (a; b) из х > х0 следует, что f(x) > f(х0), а из х < х следует, что f(x) < f(х0). В обоих случаях а следовательно, т.е. f'(x0) 0.

Теорема 2 (необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), x (a; b), убывает на интервале (a; b), то f'(х0) 0 для любого x0 (a; b).

Доказательство этой теоремы аналогично предыдущей.

Достаточные признаки монотонности функции вытекают из следующих двух теорем, которые приведем без доказательства.

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), x (a; b) имеет положительную производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает на интервале (a; b).

Теорема 4 (достаточное условие убывания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), x (a; b) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция убывает на интервале (a; b) (доказать самостоятельно).

Пример. Найти промежутки монотонности функции f(x) = х 6х +9х 2.

Вычислим производную функции и сравним ее с нулем:

f'(x) = 3х2 12х +9 = 3(х2 4 + 3) = 3(х 1)(х 3).

Если х < 1 и х > 3, то f'(x) > 0 функция возрастает для всех x (; 1) (3; +).

Если 1 < х < 3, то f'(x) < 0 функция убывает на интервале (1; 3).

4. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Определение. Точка х0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая -окрестность (х0 ; х0 + ) точки х0, что для всех х х0 из этой окрестности выполняется неравенство Определение. Точка х0 из области определения функции f(x) называется точкой максимума этой функции, если найдется такая -окрестность (х0 ; х0 + ) точки х0, что для всех х х0 из этой окрестности выполняется неравенство Определение. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Рассмотрим график функции у = f(x), x [a; b] (рис. 4.1).

Точки х1 и х3 являются точками максимума, а х2 и х точками минимума. Из рис. 4.1 видно, что минимум в точке х больше максимума данной функции в точке х1. Это объясняется тем, что экстремум функции связан с определенной -окрестностью точки экстремума, а не со всей областью определения функции. По этой причине употребляется термин "локальный экстремум", т.е.

экстремум, связанный с данным местом. Этим же объясняется и тот факт, что точки a и b не относятся к точкам экстремума. Для них не существуют -окрестности, принадлежащие области определения функции.

4.2. Необходимые условия существования экстремума Необходимые условия существования экстремума дает теорема Ферма, которая известна из школьного курса.

Теорема Ферма. Если точка х0 является точкой экстремума функции у = f(x) и в этой точке существует производная f'(x0), то f'(x0) = 0.

Пусть у = f(x) имеет в точке х0 максимум и пусть существует f'(x0). По определению максимума найдется окрестность точки х такая, что для х (х0 ; х0 + ) будет справедливо неравенство f(x) < f(х0). Дадим точке х0 приращение х: х0 + х (х0 ;

х0 + ). Рассмотрим два случая:

Из полученных неравенств следует, что f'(x0) = 0.

Аналогичные рассуждения проводят, если точка х0 точка минимума (провести самостоятельно).

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции у = f(x) в точке, удовлетворяющей условиям теоремы, параллельна оси абсцисс (рис. 4.2).

Замечание 1. Обращение в ноль производной в точке экстремума является необходимым, но не достаточным условием. То есть обратное утверждение "если f'(x0) = 0, то точка х0 является точкой экстремума", вообще говоря, неверно.

Пример. Рассмотрим функцию у = х3, тогда у' = 3x2 = х = 0, но по графику кубической параболы можно убедиться, что точка х = 0 точкой экстремума не является.

Замечание 2. В теореме Ферма говорится о том, как ведет себя производная первого порядка в точке экстремума, если эта производная существует. Однако в точке х = 0 функция у = |x| имеет минимум, а f'(0) – не существует (см. необходимое условие дифференцируемости функции).

Таким образом, учитывая теорему Ферма и замечания, необходимое условие существования экстремума функции в точке можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Если функция у = f(x) имеет в точке х0 экстремум, то в этой точке производная первого порядка либо обращается в ноль, либо не существует.

Определение. Точки, в которых f'(x) = 0 – называются стационарными. Точки, в которых f'(x) не существует – критическими.

Ответ на вопрос "В каких стационарных или критических точках функция имеет экстремум?" дают достаточные условия существования экстремума.

4.3. Достаточные условия существования экстремума Теорема 1 (первое достаточное условие). Пусть функция у = f(x) непрерывна в точке х0 и в некоторой ее -окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда:

1) если производная f'(x) при переходе через точку х0 меняет знак с плюса на минус, то х0 является точкой максимума;

2) если производная f'(x) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то х0 является точкой минимума;

3) если производная f'(x) при переходе через точку х0 не меняет знак, то в точке х0 функция f(x) не имеет экстремума.

Докажем первую часть теоремы. Если при переходе через точку х0 производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то это означает, что существует такое > 0, что f'(x) > 0 для всех х (х0 ; х0) и f'(x) < 0 для всех х (х0; х0 + ). В таком случае функция f(x) возрастает на интервале (х0 ; х0), а на интервале (х0; х0 + ) она убывает. Отсюда следует, что значение f(x0), которое существует в силу непрерывности функции f(x) в точке х0, является наибольшим на интервале (х0 ; х0 + ), т.е. f(x) < f(х0) для всех х (х0 ; х0 + ). Следовательно, точка х0 является точкой максимума функции f(x). Доказательство остальных частей теоремы проводится аналогично.

4.4. Правило исследования функции на экстремум 1. Найти область определения функции.

2. Найти f'(x), стационарные и критические точки.

3. Исследовать полученные точки с помощью первого достаточного условия, сделать вывод.

Пример. Исследовать функцию на экстремум f'(x) = 0 х = 1 стационарная точка f'(x) не существует х = 2 критическая точка.

х = 1 точка максимума (max) x = 2 точка минимума (min) Теорема 2 (второе достаточное условие). Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, причем f'(x) = 0, а f''(x) 0, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если f''(x0) < 0, и минимум, если f''(x0) > 0 (приведем теорему без доказательства).

Сформулированная теорема применима только для стационарных точек, рассмотрим это на конкретном примере.

Пример. Исследовать на экстремум функцию 1. Находим производную 2. Решая уравнение х2 4х + 3 = 0, находим стационарные точки: х1 = 1 и х2 = 3.

3. Находим вторую производную f ' ' ( x ) = ( f ' ( x ))' = 2 x 4. Определяем знак второй производной в стационарных точках, для чего вычисляем f''(1) = 2 < 0 и f''(3) = 2 > 0.

Следовательно, х1 = 1 точка максимума, а х2 = 3 точка минимума.

5. Вычисляем максимальное и минимальное значения функции 4.5. План исследования функции и построения графика с помощью производной первого порядка 1. Найти область определения функции D(f).

2. Найти множество значений функции Е(f).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на четность (нечетность).

5. Исследовать на периодичность.

6. Найти f'(x), стационарные и критические точки.

7. Найти промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.

8. Построить график функции, при необходимости найти дополнительные точки.

Пример. Построить график функции с помощью производной первого порядка y = 3. точки пересечения с осями координат: 0Х (6; 0), 0Y (0; 1,5) 4. функция общего вида, так как 5. функция не периодическая 4.6. Задачи для самостоятельного решения 1. Исследовать на монотонность функции:

2. Найти точки экстремума функций:

3. Исследовать (с помощью второго достаточного условия) на экстремум функции:

S (t ) = t + 3t + 9t + 3. Найти максимальную скорость движения точки.

5. Тело, брошенное вертикально вверх, движется прямолинейно по закону S (t ) = V0 t gt 2. Найти наибольшую высоту подъема тела.

6. Функция задана формулой y = ax 3 6 x 2 + 3 x. Найти все значения постоянной величины а, при которых данная функция определена и монотонно возрастает при всех х > 0.

7. Построить графики функций с помощью производной первого порядка:

5. ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.

ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

При исследовании поведения функции и формы её графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких – выпуклостью вниз. Прежде всего выясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную.

Определение 1. График функции y = f(x), x (a; b), называется выпуклым на интервале (a; b), если график расположен ниже любой касательной, проведенной к графику функции в точках (a; b) (рис. 5.1).

Определение 2. График функции y = f(x), x (a; b), называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках (a; b) (рис. 5.2).

Теорема (достаточное условие выпуклости графика функции).

Если на интервале (a; b) дважды дифференцируемая функция y = f(x), x (a; b), имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз) (доказать самостоятельно).

Исследовать на выпуклость (вогнутость) график функции y = f(x) означает найти те интервалы из области её определения, в которых вторая производная f (x) сохраняет свой знак.

Заметим, f (x) может менять свой знак при переходе через точки, в которых она обращается в ноль или не существует. Такие точки принято называть точками "подозрительными на перегиб" или критическими точками второго рода.

Пример. Исследовать на выпуклость график функции Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим критические точки второго рода Для всех х > 1, f (x) > 0 y = f(x) – вогнута на (1; +) и выпукла для всех х (; 1) (рис. 5.3).

Определение. Точка графика непрерывной функции f(x), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Согласно определению, в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше графика, а с другой – ниже или наоборот, т.е. в точке перегиба касательная пересекает кривую (рис. 5.3).

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция y = f(x) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале (a; b) и точка (х0; f(x0)), где x0 (a; b), является точкой перегиба графика функции f(x), то f (x0) = 0.

Так как точка (х0; f(x0)) является точкой перегиба, то слева и справа от x0 функция f (x) имеет равные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем f (x0) = 0.

Замечание. Точка (х0; f(x0)) может являться точкой перегиба для кривой y = f(x), но f (x0) может при этом не существовать.

Из рис 5.4 следует, что x = 0 является точкой перегиба кривой, но у (0) – не существует.

Поэтому необходимое условие существования точек перегиба можно сформулировать иначе.

Теорема. Если точка (х0; f(x0)) является точкой перегиба функции y = f(x), то f (x0) = 0 или не существует.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба).

Если функция y = f(x), x (a; b) дважды дифференцируема на интервале (a; b) и при переходе через x0 (a; b) вторая производная f (x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = х0 является точкой перегиба.

Поскольку f(x) дифференцируема в (a; b), то существует касательная в точке x0. Пусть f (x) < 0 при х < х0 и f (x) > 0 при х > х0. Тогда при х < х0 график функции выпуклый, а при х > х вогнутый. Таким образом, точка (х0; f(x0)) является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Аналогично доказывается, что если f (x) > 0 при х < х0 и f(x) < 0 при х > х0, то точка (х0; f(x0)) является точкой перегиба графика функции y = f(x).

5.3. Правило нахождения точек перегиба функции 1. Установить область определения функции.

2. Найти f (x), точки в которых f (x) обращается в ноль или не существует.

3. Исследовать полученные точки на перегиб с помощью достаточного условия.

Пример. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости функции у =.

1. Функция определена и непрерывна на множестве R.

у(x) у(x) выпукла.

6. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

6.1. Классификация асимптот графика функции Определение. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой кривой y = f(x) при х +, если lim (f(x) – Имеет место и обратное: из (6.1) и (6.2) следует, что прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x). По формулам (6.1) и (6.2) вычисляются угловой коэффициент k и начальная ордината b асимптоты y = kx + b при х +.

Аналогично определяется и находится асимптота кривой у = f(x) при х.

Очевидно, что если k = 0, то уравнение асимптоты примет вид y = b.

Определение. Асимптота, определяемая уравнением y = const, называется горизонтальной асимптотой.

Определение. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если lim f(x) = или lim f(x) =.

Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Чаще всего это точки разрыва второго рода данной функции.

является вертикальной асимптотой. Находим Итак, у = х + 2 является наклонной асимптотой данной функции при х ±.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х = 2 и наклонную у = х + 2 (рис. 6.1) 6.2. Общее правило исследования функции С учетом изложенного выше материала можно придерживаться следующей схемы исследования функции и построения её графика:

1. Установить область определения и множество значений функций. Если последнее выполнить затруднительно, то можно определить E(f(x)) по графику.

2. Исследовать функцию на четность, нечётность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Исследовать функцию на непрерывность, выяснить наличие вертикальных асимптот.

5. Найти точки пересечения с осями координат.

6. Найти f(x), интервалы возрастания, убывание, точки экстремума.

7. Найти f (x), интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

8. Построить график функции, при необходимости найти дополнительные точки.

Пример. Провести полное исследование функции и построить 3. не периодичная 4. х = 0 – вертикальная асимптота 5. Точки пересечения с осями координат:

х = 2 – стационарная точка х = 0 – критическая точка х = 2 – точка максимума f(x) – возрастает для x (; 2) (0; +) и убывает для x (2; 0).

Указание. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции f(x) = (х) (х).

3. Доказать неравенство Дать геометрическую интерпретацию неравенства.

4. Исходя из определений минимума и максимума, доказать, что функция имеет в точке х = 0 минимум, а функция не имеет в точке х = 0 экстремума.

5. Исследовать на экстремум в точке х0 функцию считая, что производная '(х) не существует, но функция (x) непрерывна в точке х0 и (x0) 0, n натуральное число.

6. Исследовать знаки максимума и минимума функции и выяснить условия, при которых уравнение х3 3x + q = 0 имеет:

а) три различных действительных корня;

б) один действительный корень.

7. Определить "отклонение от нуля" многочлена на отрезке [0; 3], т.е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции |p(x)|.

8. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.

Ниже предлагаются расчетные задания. Номер варианта совпадает с порядковым номером студента в журнале преподавателя (посещаемости).

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Задача 2. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

Задача 4. Варианты 1 – 10.

Рыбаку нужно переправиться с острова А на остров В (рис.

8.1). Чтобы пополнить свои запасы, он должен попасть на участок берега MN. Найти наикратчайший путь рыбака S = S1 + S2.

4. а = 800, b = 1200, H = 1600, h = 1200, L = 5. а = 1000, b = 1500, H = 2000, h = 1500, L = 8. а = 1200, b = 1500, H = 900, h = 1200, L = 9. а = 1600, b = 2000, H = 1200, h = 1600, L = 10. а = 2000, b = 2500, H = 1500, h = 2000, L = 3500.

Варианты 11 – 20.

При подготовке к экзамену студент за t дней изучает -ю часть курса, а забывает t-ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

Варианты 21 – 31.

Тело массой m0 = 3000 кг падает с высоты Н м и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности k = 100 кг/с. Считая, что начальная скорость V0 = 0, ускорение g = 10 м/с2, и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти наибольшую кинетическую энергию тела.

Задача 5. Найти асимптоты и построить графики функций.

Задача 6. Провести полное исследование функций и построить их графики.

7. Провести полное исследование функций и построить их графики.

Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графики.

Задача 9. Повести полное исследование функций и построить их графики.

Порядок выполнения работы:

1. Получить вариант задания у преподавателя.

2. Повторить теоретический материал раздела "Исследование функций и построение графиков".

3. Выполнить решение задач вручную в соответствии с пунктами 4.5, 6.1, 6.2, 7.1 настоящего учебного пособия и оформить отчет по индивидуальному заданию.

4. Выполнить контроль на ПК. Программа Advanced Grapher 1.61 (ауд. 216, 217). Проверка осуществляется по стандартной программе в режиме диалога. График, выданный ПК, подклеить в работу к соответствующей задаче. При необходимости исправить ошибки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф, 1996.

2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т. Минск: Петра Система, 2000.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Л. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х ч. М.: Высш. шк., 1996.

4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ: в 2-х т. М.: Высш. шк., 1980.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: Учеб. пособ. 4-е изд.; стер. СПб.: Изд-во "Лань", 2005.

6. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. М.:

Наука, 1975.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. М.: Интеграл-Пресс, 1997.

СОДЕРЖАНИЕ

Исследование функций и построение графиков ……..……….. 1. Функция. Основные понятия ……………………………….……….

2. Основные элементарные функции ………………………………… 3. Признаки возрастания и убывания функции ……………………… 5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба …………….…….. 6. Асимптоты графика функции ……………………………………… 7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.……… 8. Индивидуальное задание по теме "Исследование функций и построение графиков с применением ПК"…….…………………… Библиографический список …………………………………………… Технический редактор В.Ф. Елисеева Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный технический университет" 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Отпечатано в типографии филиала СамГТУ 446001, г. Сызрань, ул. Советская,