«В. М. Меньщиков, В. М. Тешуков ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Учебное пособие Новосибирск 2012 УДК 533 ББК 22.253.3 М. Меньщиков В. М., Тешуков В. М. Газовая динамика. Задачи и упражнения. 2-е изд. / Новосиб. ...»

Уравнение состояния идеального газа (1.10) пригодно для описания реальных газов в случае достаточно низких давлений и высоких температур. Для плотных газов, когда при соответствующих внешних условиях возможен их переход в жидкое состояние, используются более сложные по структуре уравнения состояния, например уравнения состояния Ван-дер-Ваальса:

где n число молей, a и b постоянные.

Пример 1.2. Пусть воздух находится в термически изолированной комнате объемом 27 м3. В комнате имеется небольшое отверстие, через которое воздух может просачиваться наружу, где давление равно 1 атм. Какое количество тепла необходимо подвести в комнату, чтобы температура медленно увеличилась с 0 до 20 C? При проведении расчетов принять плотность воздуха при T = 0 и p =1 атм равной = 0,00129 г/см3, удельную теплоемкость Cp постоянной и равной Cp = 0,238 кал/(г·град).

Решение. Так как нагревание происходит медленно, можно считать, что давление в комнате сохраняется равным 1 атм. Поскольку сохраняется и объем воздуха V, то при его нагревании будет изменяться масса воздуха m. Из уравнения Клапейрона имеем где M молекулярная масса воздуха. Поскольку M = const, то зависимость m = m(T ) можно представить в виде m(T ) = m1 T1 /T, где m масса воздуха при температуре T1. В силу определения теплоемкости, для искомого количества тепла Q имеем формулу Так как T1 = 0 C = 273K, T2 = 20 C = 293K, то Q = 0,00129 см3 · 2,7 · 1,6 · 10 кал = 160ккал.

Пример 1.3. Один моль идеального газа с начальными давлением p1 и объемом V1 свободно (и адиабатически) расширяется до объема V2.

Затем он квазистатически изобарно сжимается до объема V1 и, наконец, изохорически нагревается до тех пор, пока его давление не станет равным p1. Предполагая теплоемкость постоянной, показать с помощью этого цикла справедливость соотношения Майера для молярных теплоемкостей Cp и CV : Cp CV = R.

Решение. Описанный цикл изображен на рис. 1.1. Кривая 1–2 соответствует свободному расширению газа, прямые 2–3 и 3–1 квазистатическим изобарному и изохорическому процессам, соответственно.

Заметим, что в случае свободного расширения газа процесс не является квазистатическим, так как давление в газе не уравновешено внешним давлением. Работа, совершаемая газом при переходе из состояния “1” в “2”, равна нулю, так как A = p(e) dV, а p(e) = 0. Здесь p(e) давление во внешней среде. Итак, в процессе 1 2 A12 = 0 и Q12 = 0 (процесс адиабатический!). Из первого закона термодинамики U2 U1 = Q12 A12 вытекает, что U2 = U1. Следовательно, в состоянии “2” температура T2 = T1.

Далее, при переходе 2 3 имеем где Cp молярная теплоемкость при постоянном давлении. В изохорическом процессе 3 1 работа не совершается, т.е. A31 = 0. Если CV молярная теплоемкость при постоянном объеме, то для совершения процесса 3 1 затрачивается следующее количество теплоты:

Из первого закона термодинамики получим:

Отсюда, подставляя значения для теплоты и работы, будем иметь Из уравнения Клапейрона для состояний “2” и “3” следуют равенства Подставляя их в предыдущее уравнение, получим Пример 1.4. Вычислить механический эквивалент тепла J, если известно, что для воздуха при нормальных температуре и давлении (т. е. при T = 0 C, p = 1 атм = 1,013 · 106 дин/см2 = 1, 013 · 105 Н/м2 ) плотность = 0,00129 г/см3, удельная теплоемкость при постоянном давлении cp = 0,235кал/(г · град) и ее отношение к теплоемкости при постоянном объеме = Cp /CV = 1,41. Предполагается, что воздух является идеальным газом, объем которого при этих условиях равен 22,4 л/моль.

Решение. Газовую постоянную R, выраженную в Дж/(моль·град), можно получить из уравнения состояния идеального газа для одного моля pV = RT. Кроме того, эту постоянную можно выразить в кал/(моль·град) из соотношения Майера Cp CV = R (см. пример 1.3).

Если обозначить последнюю величину через R, то J = R/R Дж/кал.

Итак, имеем Масса m одного моля воздуха равна Отсюда следует 1.3 Второй закон термодинамики. Основные термодинамические функции и условия равновесия Предположим, что при переходе рассматриваемой системы из состояния в состояние окружающая среда (термостат) переходит из состояния в состояние. Если существует принципиальная возможность возвратить систему из состояния в состояние, а термостат из состояния в состояние, то процесс перехода (, ) (, ) называется обратимым.

Пусть система совершает циклический процесс, при котором термостат переходит из состояния в состояние. Цикл (, ) (, ) называется обратимым циклом, если процесс (, ) (, ) обратим.

Ясно, что квазистатические процессы и циклы являются обратимыми. Более того, так как квазистатические процессы являются равновесными, т.е. каждое промежуточное состояние системы равновесно, то в квазистатическом процессе каждый элементарный акт перехода системы и термостата в новое состояние является обратимым. В силу сказанного, совокупность обратимых процессов не сводится, вообще говоря, только к квазистатическим процессам.

Второй закон термодинамики так же, как и первый закон термодинамики, является эмпирическим и допускает различные его формулировки, эквивалентные друг другу. Одна из формулировок второго закона термодинамики, носящая название принципа Томсона Кельвина, гласит:

невозможно превратить в работу все количество тепла, взятое от тела с однородной температурой, не производя никаких других изменений состояния системы.

В этой формулировке под термином “другие изменения” подразумеваются такие изменения системы, которые сохраняются после завершения процесса.

Второе начало (закон) термодинамики имеет важное значение в теории тепловых двигателей непрерывно действующих устройств, результатом работы которых является превращение теплоты в работу.

Для производства работы нужно иметь два тела с разными температурами и вспомогательное тело, называемое рабочим телом, которое должно периодически многократно изменять свое состояние, совершая циклический процесс. На одном из участков этого процесса рабочее тело расширяется, совершая работу A1 за счет теплоты, полученной от более нагретого тела, и частично за счет собственной внутренней энергии. На втором участке над рабочим телом совершается работа сжатия A2. Часть этой работы идет на восстановление внутренней энергии рабочего тела, другая часть передается в виде теплоты менее нагретому телу. Полезная работа A = A1 A2 согласно первому закону термодинамики совпадает с разностью Q1 Q2, где Q1 количество теплоты, полученной рабочим телом от более нагретых тел, Q2 количество теплоты, полученной от рабочего тела менее нагретыми телами. Второе начало утверждает, что теплота, получаемая от более нагретых тел, превращается в работу не полностью, часть теплоты переходит к менее нагретым телам (Q2 > 0). Рассмотрим цикл Карно, соответствующий обратимому круговому процессу превращения теплоты в работу между двумя источниками теплоты с температурами T1, T2 (рис. 1.2).

Участок 1–2 соответствует изотермическому расширению, в процессе которого рабочее тело находится в тепловом контакте с источником тепла с температурой T1, на участке 2–3 происходит адиабатическое расширение (Q = 0), участок 3–4 соответствует изотермическому сжатию, когда рабочее тело находится в тепловом контакте с источником теплоты с температурой T2 (T2 < T1 ), участок 4–1 соответствует адиабатическому сжатию.

На участке 1–2 рабочее тело получает теплоту Q1, на участке 3– теплоту Q2. Полезная работа за один цикл A = Q1 + Q2. Из второго начала термодинамики следует, что обязательно Q2 < 0 при положительной A. При этом термический коэффициент полезного действия Из второго начала термодинамики следует также, что ни одна тепловая машина не может иметь больший КПД, чем машина, соответствующая циклу Карно, и что все обратимые тепловые машины имеют один и тот же КПД независимо от используемого цикла и рабочего тела (КПД зависит только от T1, T2 ).

Для идеального газа можно вычислить в виде = (T1 T2 )T1.

Сравнение двух формул для показывает, что в обратимом цикле для любого тела и предельным соотношениям:

2. Функция e(, p) определена, трижды непрерывно дифференцируема в области {0 < <, 0 < p < }, удовлетворяет неравенствам и предельным соотношениям:

Скоростью звука называется величина c > 0, определенная формулой Следствием условий, сформулированных в определении нормального газа, являются следующие свойства функции g(, s):

Действительно, основное термодинамическое тождество (1.19) для удельных величин дает следующие следствия:

Тогда, с использованием неравенств g (, s) < 0 и g (, s) > 0, имеем Так как (, s) 0 при, то функции g(, s) и i(, s) тоже стремятся к нулю. Из последнего неравенства следует, что c2 0 при Следует отметить, что условия устойчивости термодинамического равновесия, вытекающие из второго закона термодинамики, определяют некоторые из ограничений, которым должны удовлетворять уравнения состояния. Для того, чтобы сформулировать эти условия, рассмотрим установление равновесия в части термодинамической системы, контактирующей с окружающей средой, в которой температура T (e) и давление p(e) постоянны. Пусть U, S, V характеризуют малое отклонение системы от состояния равновесия при заданных внешних параметрах T (e), p(e). В соответствии с первым законом термодинамики равенство определяет количество теплоты, необходимое для создания этого отклонения. Если равновесие устойчиво, то эти отклонения самопроизвольно не реализуются, то есть Q > T (e) S. Для функции = U T (e) S + p(e) V последнее неравенство означает, что при любом отклонении. Следовательно, в состоянии равновесия имеет локальный минимум, при этом первая вариация функции равна нулю, а вторая неотрицательна. Следствием обращения в нуль первой вариации являются равенства T = T (e), p = p(e). Неотрицательность второй вариации приводит к соотношению При выводе неравенства (1.25) использовались формулы (U/S)V = T, (U/V )S = p.

Универсальный вид условия устойчивости равновесия (1.25) позволяет использовать его для получения термодинамических неравенств при любом выборе независимых переменных. Если, например, в качестве независимых переменных выбраны V и T, то неравенство (1.25) сведется к условию неотрицательности следующей квадратичной формы:

Так как (S/V )T = (p/T )V, то из последнего неравенства получаем условия термодинамической устойчивости:

Легко убедиться, что для нормального газа эти условия выполнены.

Особый интерес представляет выявление условий равновесия и направления протекания реальных процессов (в случае, когда система выведена из равновесия) в системах с фазовыми переходами и другими процессами, сопровождающимися изменением масс составляющих.

В качестве примера проведем исследование этих вопросов для однокомпонентной двухфазной системы, квазистатические процессы в которой описываются уравнением (1.18).

Пусть, как и в предыдущем случае, система находится в контакте с термостатом, в котором поддерживаются постоянными температура T (e) и давление p(e). Устойчивость равновесия рассматриваемой системы также будет обеспечиваться тем, что функция = U T (e) S +p(e) V на данном состоянии имеет локальный минимум.

Пусть i, si и i удельная внутренняя энергия, энтропия и объем i-й фазы. В квазистатических процессах изменения удельных величин каждой из фаз связаны основным термодинамическим тождеством (1.19):

где Ti, pi температура и давление в i-й фазе. Для функции = U T (e) S+p(e) V справедливо следующее представление через удельные величины: = m1 1 + m2 2. Здесь i = i T (e) si + p(e) i (i = 1, 2), m1 и m2 массы первой и второй фаз. Варьируя с учетом условия m1 +m2 = const получим равенство: = m1 1 +m2 2 +(1 2 )m1.

С использованием уравнений (1.26) выражение для вариации можно преобразовать к виду Так как в состоянии равновесия первая вариация величины должна обращаться в нуль, то из (1.27) вытекают условия фазового равновесия системы: T1 = T2 = T (k), p1 = p2 = p(e), 1 = 2. Следовательно, удельные полные термодинамические потенциалы (химические потенциалы фаз) совпадают при равновесии:

Если выполнены только условия теплового и механического равновесия T1 = T2, p1 = p2, но 1 (p, T ) > 2 (p, T ), то происходит фазовый переход, в котором = (1 2 )m1 < 0 и m1 < 0. Уравнение (1.28) описывает некоторую кривую p = p (T ) на плоскости (T, p). Если при переходе через эту кривую первые производные функции терпят разрыв, т. е.

то такая ситуация называется фазовым переходом первого рода. К ним относятся, например, переходы, связанные с изменением агрегатного состояния вещества (вода пар) и с изменением кристаллической структуры решетки в металлах.

Если при переходе через кривую фазового равновесия p = p(T ) остаются непрерывными потенциал и первые производные от него, а терпят скачок вторые производные потенциала, то в этом случае говорят, что имеет место фазовый переход второго рода. Примером фазового перехода второго рода является переход металла из нормального в сверхпроводящее состояние.

Число степеней свободы r фазового равновесия для n компонентной системы, когда одновременно могут сосуществовать l фаз, дается формулой Гиббса (правило фаз Гиббса):

Из этой формулы следует, что в однокомпонентной системе одновременно могут сосуществовать не более трех фаз, причем их сосуществование возможно только при единственных значениях p и T. Эта точка на плоскости (T, p) называется тройной точкой. Для воды тройная точка (лед вода пар) характеризуется значениями T = 273,16 K, p = 1 атм.

Пример 1.5. Доказать, что отношение адиабатической сжимаемости s = V 1 (V /p)S к изотермической сжимаемости равно отношению теплоемкости при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении.

Решение. Дифференцируя по p тождество S S(V (p, S), p) получаем Полагая последовательно будем иметь

S S T CV T

Решение. Пусть две адиабаты пересекаются в точке C на плоскости (V, p) (рис. 1.3).

Рассмотрим изотерму AB, пересекающую обе адиабаты AB и BC в точках A и B соответственно. В соответствии с предыдущей задачей взаимное расположение адиабат и изотермы будет таким, каким оно изображено на рис. 1.3. Рассмотрим обратимый цикл A B C A, в котором система получает тепло Q от термостата только на участке AB. Работа A, совершаемая системой, равна площади фигуры ABC и положительна. Из первого закона термодинамики вытекает, что Q = A, т.е. Q также больше нуля. Это означает, что тепло, взятое из резервуара, полностью переходит в работу, что противоречит принципу Томсона Кельвина.

Пример 1.7. Теплота плавления льда при 1 атм и 0 C равна Lпл = 1436,3 кал/моль, а теплота испарения при 1 атм и 100 C Lисп = кал/моль. Считая, что средняя теплоемкость воды при p = 1 атм и температурах 0 100C равна 18,046 кал/(град· моль), вычислить разность между энтропией 1 моль льда при 1 атм и энтропией 1 моль пара при 1 атм и 100C.

Решение. Согласно определению разность энтропий Sп Sл может быть вычислена с помощью интеграла Q/T, где интегрироЛП вание идет по квазистатическому пути превращения льда в пар Л при 100 C. Итак, имеем Пример 1.8. Пусть однокомпонентная двухфазная система находится в фазовом равновесии, и пусть L количество теплоты, необходимое для перехода единицы массы вещества из первой фазы во вторую при заданной температуре T. Доказать, что функция p = P (T ), описывающая кривую фазового равновесия на плоскости (T, p), удовлетворяет уравнению Клапейрона Клаузиуса:

где 1, 2 плотности вещества в первой и второй фазах, L удельная теплота фазового перехода.

Решение. Вдоль кривой фазового равновесия тождественно удовлетворяется условие (1.28) где 1 и 2 полные удельные термодинамические потенциалы (химические потенциалы) первой и второй фаз. Дифференцируя это тождество, получаем Так как /p =, /T = S то предыдущее соотношение перепишется так:

Приращение энтропии при постоянной температуре выражается формулой S2 S1 = L/T, где L указанная в задаче теплота. В силу этого 1.4 Задачи 1.1. При постоянной температуре 20 C идеальный газ квазистатически переходит из состояния с давлением 20 атм в состояние с давлением 1 атм. Какую работу совершает 1 моль газа (в джоулях)? Какое количество тепла (в калориях) необходимо передать газу?

Ответ: A 7,26 · 103 Дж, Q 1,74 ккал/моль.

1.2. Воздух характеризуется следующими параметрами: при p = 1атм = 1,013 · 106 дин/см и T = 0 C его плотность = 0,00129 г/см3, удельная теплоемкость при постоянном давлении Cp = 0,238 кал/(г·град) и = Cp /CV = 1,41. Вычислить количество тепла, необходимое для нагревания воздуха от 0 до 20 C (а) при постоянном объеме; (б) при постоянном давлении. Начальный объем воздуха 27 м3.

Ответ: (а) Q = 1,176 · 105 кал; (б) Q = 1,658 · 105 кал.

1.3. Уравнение состояния смеси из r видов идеальных газов имеет вид Здесь ni число молей i-го компонента. Внутренняя энергия задаетr постоянном объеме i-го компонента. Найти CV и Cp смеси.

1.4. Вычислить удельную теплоемкость воздуха при постоянном объеме, считая его смесью кислорода O2 и азота N2 с соотношением масс компонентов 23:77. Удельная теплоемкость газообразного кислорода при постоянном объеме равна 0,158 кал/(г·град), а газообразного азота 0,176 кал/(г·град).

Ответ: CV 0,172 кал/(г·град).

1.5. Пусть Q теплота, необходимая для изменения температуры 1 г вещества на величину dT при сохранении величины x. Показать, что удельная теплоемкость Cx = (Q/T )x определяется формулой 1.6. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью совершает адиабатический переход из состояния (p1, V1, T1 ) в состояние (p2, V2, T2 ). Показать, что в данном процессе pV = const ( = Cp /CV ), а работа A, совершаемая газом, равна A = CV (T1 T2 ).

1.7. Состояния идеального газа с постоянной теплоемкостью изменяются в соответствии с квазистатическим изотермически-адиабатным циклом (циклом Карно), изображенным на рис. 1.2. Процессы и 3 4 изотермические, 2 3 и 4 1 адиабатические. Доказать соотношение где Q1 тепло, полученное от резервуара с температурой T1 при переходе 1 2, а Q2 тепло от резервуара с температурой T2, полученной при переходе 3 4.

1.8. Для газа с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса (1.11) критической точкой K называется точка, в которой Найти значения давления pk, объема Vk и температуры Tk в критической точке и исследовать изотерму T = Tk на плоскости (p, V ). Как будет вести себя изотермы T = T на плоскости (p, V ) при T > Tk и T < Tk ?

1.9. Пусть уравнения состояния среды заданы в виде Найти соотношения, которым должны удовлетворять заданные функции.

1.10. Доказать соотношение 1.11. Используя потенциалы Гиббса (1.20), доказать следующие соотношения Максвелла:

1.12. Доказать, что внутренняя энергия в идеальном газе есть функция только температуры.

1.13. Показать, что скорость звука c (c2 = (p/)S ) в идеальном газе зависит только от температуры.

1.14. Пусть уравнения состояния среды заданы в виде p = p(, T ), = (, T ). Найти выражение для скорости звука c как функции плотности и температуры T.

1.15. Вычислить якобиан перехода D(T, s)/D(p, ) от переменных T, s к переменным p,.

Ответ: D(T, s)/D(p, )=1.

1.16. Показать, что (, T ) = 1 ( ) + 2 (T ) тогда и только тогда, когда p = p(, T ) линейная функция T.

1.17. Найти вид функции (, T ) для реального газа с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса.

произвольная функция.

1.18. Показать, что в газе Ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только от температуры. Найти выражение для удельной энтропии в предположении постоянства удельной теплоемкости CV.

масса газа, s0 постоянная.

1.19. Пусть в газе Ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме CV постоянная. Газ свободно адиабатически расширился, увеличив объем с V1 до V2 > V1. Найти изменение температуры и энтропии при этом расширении.

где n число молей газа.

1.20. Доказать формулу 1.21. Доказать, что при (p/ )T < 0 (т.е. для устойчивых равновесных состояний) справедливо неравенство Cp > CV.

1.22. Показать, что процесс свободного адиабатического расширения газа необратим.

1.23. При 25 C объем воды V определяется выражением для давлений p в диапазоне от 1 до 1000 атм, а Определить работу, необходимую для сжатия 1 моля воды от 1 до 1000 атм при 25 C и найти изменение внутренней энергии.

Ответ: A 33 Дж/моль; U = 124 Дж/моль.

Указание: при вычислении U использовать соотношение 1.24. Выписать условия для функции = (T ), задающей закон изменения удельной внутренней энергии идеального газа в зависимости от температуры, при выполнении которых газ будет нормальным (см.

(1.22), (1.23)).

1.25. Доказать, что функции состояния нормального газа удовлетворяют неравенствам 1.26. Калорическое уравнение состояние некоторых сред (вода, металлы) часто берется в виде так называемого двучленного уравнения состояния где 0, c0 значения плотности и скорости звука среды в исходном недеформированном состоянии. Найти выражение для удельной внутренней энергии в виде = e(, p), принимая = 0 при = 0 и p = 0, и выяснить, выполняются ли условия нормального газа для таких сред.

1.27. Показать, что газ с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса не является нормальным газом.

1.28. Вывести уравнение Гиббса Дюгема для N -компонентной открытой системы.

1.29. Вблизи тройной точки (твердое тело жидкость газ) кривая равновесия на плоскости (T, p) между твердой и газообразной фазами имеет обычно больший наклон к температурной оси, чем кривая равновесия между жидкой и газообразной фазами. Дать термодинамическое объяснение этого явления.

1.30. Пусть теплота парообразования L не зависит от температуры, а состояния пара описываются уравнениями Клапейрона. Показать, что для давления pпар насыщенных паров жидкости справедлива зависимость 2 Законы сохранения и сильный разрыв 2.1 Интегральные законы сохранения Для произвольного изменяющегося со временем конечного объема (t) с границей (t), занятого газом, определяются следующие величины:

Входящие в подынтегральные выражения плотность, v вектор скорости, удельная внутренняя энергия, s удельная энтропия являются функциями точки x R3 и времени t. Очевидно, что в случае непрерывности этих функций значения подынтегральных выражений в точке x в фиксированный момент времени t можно получить как пределы отношений приведенных выше интегралов к величине объема при стягивании объема к точке x.

Сформулируем основные уравнения математической модели движения невязкого газа (тензор напряжений шаровой). Введем понятие частицы и индивидуального объема. Для этого рассмотрим задачу Коши:

Частицей называется точка пространства R3, закон движения которой задается решением задачи Коши x = x(, t) при фиксированном.

Объем, состоящий во все моменты времени из одних и тех же частиц, называется индивидуальным (или материальным) объемом и обозначается далее символом (t), а его граница символом (t). При движении газа в поле внешних сил с объемной плотностью f для любого индивидуального объема должны быть выполнены интегральные законы сохранения:

В формулах (2.1) p давление, n внешняя нормаль к (t), qn поверхностная плотность потока тепла, вносимого в этот объем со стороны окружающей его среды (qn ddt количество тепла, сообщенного объему (t) через площадку d с нормалью n за время dt). Соотношения (2.1) выражают законы сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии.

Для практических целей удобна следующая форма интегральных законов сохранения (вытекающая из (2.1)) для произвольно меняющегося со временем объема (t) с границей (t):

В формулах (2.2) Dn скорость перемещения поверхности (t) в направлении нормали n. Величина Dn определяется следующим образом.

Пусть x0 (t). Величина задается условием x0 + n (t + t).

Тогда по определению Будем считать, что поверхностная плотность потока тепла qn подчиняется закону Фурье где T градиент температуры T газа, коэффициент теплопроводности. Газ называется нетеплопроводным, если = 0. В дальнейшем изучается модель нетеплопроводного газа.

2.2 Условия на сильном разрыве Движение газа называется непрерывным, если подынтегральные функции в (2.1) или (2.2) по крайней мере один раз непрерывно дифференцируемы. Движение газа называется движением с сильным разрывом, если существует гиперповерхность R3 такая, что с каждой стороны от нее движение непрерывно, а при переходе через (t) искомые величины претерпевают разрыв первого рода. Поверхность (t) называется поверхностью сильного разрыва.

Пусть n нормаль к (t), Dn скорость перемещения (t) в направлении n. Из (2.1) следует, что на (t) должны выполняться следующие условия (условия на сильном разрыве):

Здесь vn = v · n, [F ] = F2 F1 скачок величины F при переходе через (t). Анализ соотношений (2.4) показывает, что существуют два типа сильных разрывов: контактный разрыв и ударная волна.

Условия на контактном разрыве:

Условия на ударной волне:

Часто используются следующие следствия соотношений (2.6):

При исследовании ударных волн особое значение имеет соотношение (2.8), связывающее термодинамические величины, p,. Определим функцию Гюгонио H(, p; 1, p1 ) формулой Функция (, p) определена уравнением состояния газа = e(, p).

Кривая на плоскости (, p), заданная уравнением называется адиабатой Гюгонио с центром (1, p1 ). Для политропного газа уравнение адиабаты Гюгонио можно представить в виде Адиабата Гюгонио описывает множество состояний (, p), связанных соотношениями ударного перехода с состоянием (1, p1 ). Качественный вид адиабаты Гюгонио для нормального газа изображен на рис. 2.1.

На этом же рисунке указано расположение изэнтропы s = s1, проходящей через точку (1, p1 ). В точке (1, p1 ) адиабата Гюгонио и изэнтропа имеют касание второго порядка (совпадают наклоны и кривизны обеих кривых).

Для модели нормального газа адиабата Гюгонио обладает следующими свойствами:

а) уравнение адиабаты Гюгонио можно представить в виде б) энтропия s(p) = s(p, (p; 1, p1 )) монотонно возрастает с ростом давления вдоль адиабаты Гюгонио: s (p) > 0 при p = p1 ;

г) адиабата Гюгонио звездна относительно центра: любой луч, выходящий из центра (1, p1 ), пересекает ее не более чем в одной Будем называть передней стороной фронта ударной волны (или стороной перед ударной волной) ту сторону, с которой газ натекает на ударный фронт. Противоположная сторона называется задней стороной. Свойства адиабат Гюгонио показывают, что при ударном переходе энтропия изменяется. Из второго начала термодинамики следует, что энтропия в теплоизолированной частице при переходе через ударный фронт обязательно возрастает. Следствием этого факта является теорема Цемплена: абсолютная величина нормальной скорости газа относительно ударного фронта больше скорости звука перед фронтом (|v1n Dn | > c1 ) и меньше скорости звука за фронтом (|v2n Dn | < c2 ).

Соотношения на ударной волне (2.6) позволяют определить основные параметры течения по обе стороны ударного фронта и нормальную скорость фронта, если известны v1, p1, 1 и одна из следующих величин: а) p2, б) 2, в) Dn, г) v2n. В случаях а) – в) основные параметры определяются однозначно, при этом одновременно определяется соответствие состояний “1”, “2” и сторон фронта. В случае г) при однозначность определения параметров обеспечивается указанием стороны фронта (состояние “1” за фронтом или перед фронтом). При выполнении противоположного неравенства параметры находятся в случае г) однозначно. В случаях б), в) задаваемые величины должны удовлетворять следующим неравенствам:

Пример 2.1. Пусть H1 адиабата Гюгонио с центром (1, p1 ), и пусть точка (2, p2 ) H1. Для нормального газа выяснить взаимное расположение кривой H1, адиабаты s = s2 и адиабаты Гюгонио H2 с центром в точке (2, p2 ).

Решение. Адиабаты Гюгонио H1 и H2 заданы уравнениями:

Так как (2, p2 ) H1, то В силу этого соотношения и второго уравнения (2.12) получаем, что (1, p1 ) H2, т.е. точки (1, p1 ) и (2, p2 ) являются общими для адиабат H1 и H2. Покажем, что других точек пересечения у адиабат H1 и H нет.

Действительно, после вычитания из первого уравнения (2.12) второго с учетом равенства (2.13) получим соотношение Из (2.14) следует, что множество точек пересечения H1 и H2 лежит на прямой, проходящей через точки (1, p1 ) и (2, p2 ). В силу свойства звездности адиабаты Гюгонио пересечение прямой (2.14) с H1 (или H2 ) возможно только в двух точках, т. е. в точках (1, p1 ) и (2, p2 ).

Для выяснения взаимного расположения адиабат Гюгонио H1, H и изэнтропы s = s2 воспользуемся известными свойствами поведения энтропии вдоль адиабаты Гюгонио. Функции s1 (p) = s(p, 1, p1 ), 1 (p) = (p; 1, p1 ), s2 (p) = s(p, 2, p2 ), 2 (p) = (p; 2, p2 ) определяют поведение энтропии и удельного объема вдоль H1 и H2. Дифференцированием тождества p = g(i (p), si (p)) получаем равенства Изэнтропа s = s2 касается адиабаты Гюгонио H2 и, следовательно, пересекает кривую H1 под тем же углом, что и H2. Поэтому расположение адиабат H1, H2 и изэнтропы s = s2 будет таким, как на рис. 2.2.

2.3 Дифференциальные уравнения В классе непрерывных движений газа интегральные законы сохранения могут быть преобразованы к соответствующим дифференциальным уравнениям. В основе этих преобразований лежит следующая формула дифференцирования интегралов:

((t) индивидуальный объем). Выражение + v · F называется полной (материальной, субстациональной) производной величины F по времени и обозначается символом.

Дифференциальные уравнения движения невязкого, нетеплопроводного ( = 0) газа в случае отсутствия массовых сил (f = 0) имеют вид Система уравнений (2.16) замыкается уравнением состояния:

Первое уравнение системы (2.16), называемое уравнением импульсов, может быть записано в виде (форма Громеки Ламба) где = rotv, а знак “” означает векторное произведение.

Движение газа, в котором = 0, называется безвихревым или потенциальным. В случае потенциального движения существует функция (x, t), называемая потенциалом скорости, с которой справедливо представление v =. Для изэнтропических (s const) потенциальных движений из (2.18) вытекает интеграл Коши Лагранжа:

где i = + p удельная энтальпия.

линий тока сохраняются энтропия и полная энтальпия h = + i, где q = |v|. Уравнение называется интегралом Бернулли.

Величина h0 (L) сохраняет постоянные значения вдоль линий тока (вообще говоря, разные на различных линиях). Для безвихревого изэнтропического установившегося движения h0 постоянна всюду в области течения.

Следующий пример показывает, как из интегральных законов сохранения можно получить дифференциальные уравнения, описывающие в гидравлическом приближении течение газа в трубе.

Пример 2.2. По теплоизолированному каналу переменного сечения в установившемся режиме течет теплопроводный газ. Предполагая величины v, p, распределенными однородно на плоских сечениях, ортогональных “средней” линии тока x = x() ( длина дуги), вывести приближенные дифференциальные уравнения, описывающие движения газа (гидравлическое приближение).

Решение. Обозначим через l() орт касательной к линии тока x = S (рис. 2.3), ортогональном l(), величины v, p, постоянны, то они могут быть представлены как функции :

Для вывода искомых дифференциальных уравнений воспользуемся интегральными законами сохранения массы, импульса и энергии в форме (2.2). В качестве объема Q рассмотрим область, ограниченную плоскими нормальными к линии x = x() сечениями S, S+ и стенкой S0 канала, отсекаемой этими сечениями (см. рис. 2.3). Обозначив через F () площадь сечения S, получим следующее уравнение из закона сохранения массы:

Поделив это равенство на и устремив к нулю, придем к уравнению Обратимся теперь к закону сохранения импульса. После вычисления поверхностных интегралов по S и S+ этот закон дает следующее соотношение:

Здесь, как и в предыдущем случае, использовано условие v · n|S0 = 0.

Последнее слагаемое в (2.23) преобразуется следующим образом:

где O() удовлетворяет соотношению Поделив (2.23) на и устремив к нулю, получим равенство Так как l · d = 0, то после скалярного умножения уравнения (2.24) на l оно преобразуется к виду В силу уравнения (2.22) последнее соотношение эквивалентно следующему:

Аналогичные выкладки с привлечением закона сохранения энергии и граничных условий на S0 : v · n = 0, T · n = 0 приводят к уравнению Интегрирование уравнения (2.22) дает равенство Величина G называется расходом газа и равна массе газа, протекающего по каналу в единицу времени через его сечение. Используя это соотношение, уравнение (2.22), основное термодинамическое тождество (1.19), преобразуем (2.26) к виду В итоге получена система уравнений:

При заданных G и F () система (2.28) в совокупности с термодинамическими уравнениями состояния образует замкнутую систему уравнений, описывающую стационарное движение теплопроводного газа в канале с теплоизолированными стенками в гидравлическом приближении.

В примере 2.3 дается вывод дифференциальных уравнений, описывающих простые волны частные решения системы уравнений (2.16), заданные соотношениями где = (x, t).

Пример 2.3. Показать, что движение газа в невырожденной простой волне (с давлением p = const) является изэнтропическим и безвихревым, а поверхности уровня (x, t) = const плоскими. Вывести уравнения, описывающие простые волны.

Решение. Для указанных частных решений справедливы формулы С учетом этих соотношений уравнения газовой динамики (2.16) записываются в виде Так как p () 0, то из первых двух уравнений (2.29) следует, что dt 0. Из последнего уравнения (2.29) вытекает, что s const изэнтропичность движения газа. После векторного умножения первого уравнения (2.29) на получим равенство rotv = v = 0. Следовательно, течение в простой волне потенциально. Равенство v = позволяет представить в виде = k(x, t)v (), где k(x, t) некоторая скалярная функция. Из второго уравнения (2.29) следует, что где q = |v|. Приведенное выше представление и t позволяет заключить, что нормаль к каждой поверхности = const имеет одно и то же направление для всех точек гиперповерхности. Это означает, что гиперповерхность = const является плоскостью.

Домножив первое уравнение (2.29) скалярно на и заметив, что p = c2, получим с учетом второго уравнения (2.29) уравнение для функции (x, t):

Из (2.30) следует, что гиперповерхности (x, t) = const являются звуковыми характеристиками (см. разд. 3).

Из первых двух уравнений системы (2.29) получаем уравнение связывающее только функции переменной. Так как то на поверхности = const необходимо Поскольку в этом уравнении множители при dx и dt постоянны на поверхности = const, его можно проинтегрировать:

Здесь F () произвольная функция.

Уравнения (2.30)–(2.32) полностью описывают рассматриваемый класс решений невырожденные (p = const) простые волны.

2.4 Задачи 2.1. Пусть (t) индивидуальный объем, а (t) произвольно меняющийся со временем объем такой, что (t0 ) = (t0 ). Доказать соотношение Здесь (t) граница объема (t), Dn скорость перемещения (t) в направлении внешней нормали n к (t), v вектор скорости, F произвольная функция переменных x, t.

2.2. Движущаяся поверхность задана уравнением h(x, t) = 0. Доказать, что Dl скорость перемещения поверхности в направлении произвольного вектора l, |l| = 1, вычисляется по формуле 2.3. Вывести уравнения, описывающие в гидравлическом приближении нестационарное течение теплопроводного газа по криволинейному каналу с теплоизолированными стенками. При выводе уравнений считать в любой момент времени все гидравлические величины постоянными на сечениях, ортогональных к “средней” линии канала, а вектор скорости направленным по касательной к этой линии.

Указание: Воспользоваться методом примера 2.2.

Ответ:

(обозначения те же, что в примере 2.2).

2.4. Рассматривается стационарное течение газа в трубе переменного сечения (рис. 2.4). Доказать, что на участке от S1 до S на стенки трубы действует сила Здесь G расход газа в трубе, S1 и S площади выделенных сечений трубы, V1, v скорости газа в этих сечениях, p1, p соответствующие давления (скорость в указанных на рис. 2.4 сечениях считается направленной по нормали к сечению).

2.5. Показать, что условие на сильном разрыве, вытекающее из интегрального закона сохранения момента импульса, является следствием условий (2.4).

2.6. Пусть функция = e(, p), определяющая уравнение состояния нормального газа, удовлетворяет неравенству ep b (b = const > 0) для всех p и < 1. Показать, что для адиабаты Гюгонио выполнено неравенство lim (p; 1, p1 ) = > 0.

2.7. Показать, что скорость перемещения ударной волны Dn строго монотонно возрастает вместе с силой разрыва [p], причем Dn при [p].

2.8. Идеальный газ с плотностью 1 сжимается до плотности двумя способами: непрерывным образом и с помощью ударной волны.

Выяснить, в каком случае температура газа в конечном состоянии будет выше.

2.9. Когда достигается большая плотность: при сжатии нормального газа одной ударной волной, повышающей давление от p1 до p3, или при последовательном сжатии двумя ударными волнами, если при прохождении первой волны давление повышается от значения p1 до p2 < p3, а при прохождении второй от значения p2 до p3 ?

2.10. Выписать уравнение адиабаты Гюгонио в случае, когда свойства среды определяются двучленным уравнением состояния (см. задачу 1.26).

здесь (1, p1 ) центр адиабаты Гюгонио.

2.11. Пусть газ имеет постоянную теплоемкость CV и его свойства определяются уравнением состояния:

(R = M, R газовая постоянная, M моль газа, a1, b1 постоянные).

Выписать уравнение адиабаты Гюгонио.

Ответ:

Здесь (1, p1 ) центр адиабаты Гюгонио.

2.12. Показать, что адиабата Гюгонио для газа с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса может быть кривой, не звездной относительно центра (рассмотреть окрестность критической точки, определяемой соp 2.13. Соотношение Гюгонио H(2, p2, 1, p1 ) = 0 можно трактовать как уравнение гиперповерхности в четырехмерном пространстве. Фиксируя значения двух координат, получаем плоские сечения этой гиперповерхности. Исследовать качественные свойства этих кривых для политропного и нормального газов.

2.14. Выяснить, будет ли ударная волна определена, если известны v1 v1n n и (газ политропный). Каким ограничениям должны удовлетворять задаваемые величины?

2.15. Из соотношений на ударной волне в политропном газе получить выражения для величин 2, p2, v2n через величины 1, p1, v1n, Dn.

Ответ:

Здесь M1 = |v1n Dn |/c1, c1 скорость звука в газе в состоянии “1”, показатель политропы.

2.16. Выписать линеаризованные соотношения на слабой ударной волне (p2 p1 )/p1 1.

2.17. Доказать, что на фронте слабой ударной волны справедливо соотношение (предполагается, что Dn > v1n ) 2.18. Вывести дифференциальные уравнения (2.16) из интегральных законов сохранения (2.2).

2.19. Показать, что если в уравнениях (2.16) заменить дифференциальное уравнение ds/dt = 0 уравнением то получится система уравнений, эквивалентная системе (2.16).

2.20. Показать, что в теплопроводном газе скорость изменения энтропии в частице задается выражением 2.21. Доказать, что процесс выравнивания температуры в теплоизолированном индивидуальном объеме необратим.

2.22. Пусть L замкнутая кусочно-гладкая линия, состоящая во все моменты времени из одних и тех же частиц. Доказать равенство 2.23. Показать, что интеграл Бернулли (2.20) для модели политропного газа записывается в виде Здесь qm (L) величина постоянная вдоль линии тока L.

2.24. Показать, что если в стационарном течении идеального газа линия тока прямолинейна, то поверхности равного давления ортогональны к ней (считается, что p = const на линии тока).

2.25. Доказать, что в безвихревом изэнтропическом движении потенциал скоростей (x, t) удовлетворяет уравнению 2.26. Проверить, что соотношениями задано (в неявной форме) точное решение уравнений газовой динамики. Здесь vx, vy, vz компоненты вектора скорости в декартовой системе координат; a, s0 постоянные; (, µ) произвольная функция.

2.27. Показать, что стационарная невырожденная простая волна описывает сверхзвуковое течение газа (течение газа, в котором |v| c).

2.28. Одномерное движение газа с плоскими волнами определяется соотношениями Здесь ex орт декартовой системы координат, отвечающий координате x. Вывести уравнения невырожденных простых волн в одномерном движении.

2.29. Получить уравнения для вырожденных (p const) простых волн (см. пример 2.3).

2.30. Одномерные движения газа с плоскими ( = 0), цилиндрическими ( = 1) и сферическими ( = 2) волнами определяются соотношениями Показать, что v(x, t), p(x, t), (x, t) удовлетворяют уравнениям 3 Характеристики уравнений газовой динамики. Слабый разрыв 3.1 Основные определения Рассматривается система из квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка для m искомых функций (u1,..., um ) от n независимых переменных x = (x1,..., xn ) :

Здесь ai, fk заданные функции от x, u1,..., um. Систему (3.1) можно записать в виде где Ai матрицы с элементами ai (k номер строки, l номер столбkl ца), U и f вектор-столбцы с компонентами uk и fk, соответственно.

Дополнительное задание данных Коши на гиперповерхности :

U| = (x)| позволяет найти производные вектора U по касательным к направлениям, если достаточно гладкая поверхность, а достаточно гладкая функция. Рассмотрим вопрос об определении производных вектора U по нормальному к направлению с помощью уравнений (3.2). Пусть вектор, направленный по нормали к поверхности, а векторы i (i = 1,.., n 1) образуют базис в касательной плоскости. Любой орт ei оси xi можно разложить по базису, {k }:

Аналогичное представление получается для производной по направлению вектора ei :

Здесь / = ( · ), /k = ( k · ). С помощью представления (3.3) система уравнений (3.2) преобразуется к виду где A() = теристической матрицей системы. Из (3.4) следует, что производные по направлению нормали U/ можно определить однозначно через известные значения функций и производных по направлениям, касательным к, в том случае, если det A() = 0. Если det A() = 0 на поверхности, то, согласно известным теоремам линейной алгебры, для разрешимости уравнений (3.4) относительно U/ необходимо выполнение условий ортогональности вектора, стоящего в правой части уравнений (3.4), всем линейно независимым векторам l, удовлетворяющим равенству Это означает, в частности, что в случае, когда det A() = 0, данные Коши на нельзя задать произвольно, функция должна удовлетворять условиям (3.5). В связи с изложенным выше введем определения.

Определение 1. Вектор называется нормальным характеристическим вектором, если det A() = 0.

Определение 2. Гиперповерхность называется характеристической поверхностью (характеристикой), если вектор нормали к является нормальным характеристическим вектором.

Определение 3. Система уравнений (3.2) называется гиперболической в точке (x, U), если существует такой вектор, что при любом векторе, ( · ) = 0 характеристическое уравнение имеет m вещественных корней zk, а совокупность векторов k, k = 1,..., m, удовлетворяющих соотношениям (3.6) при = zk +, образует базис в Rm. Система называется гиперболической, если она гиперболична в каждой точке (x, U). Направление, задаваемое вектором, называется направлением гиперболичности.

Если на заданном решении U = (x) требуется найти характеристическую поверхность, заданную уравнением h(x) = 0, то вектор h направленный по нормали к, должен удовлетворять уравнению Соотношение (3.7) при известном векторе U = (x) является уравнением с частными производными первого порядка относительно функции h(x).

Определение 4. Равенство называется условием на характеристике h(x) = 0, если (h) удовлетворяет уравнению (3.6) при = h.

Согласно (3.5), в соотношение на характеристике (3.8) войдут только производные по касательным к направлениям. В классе непрерывно дифференцируемых решений гиперболической системы уравнений (3.2) совокупность условий на характеристиках эквивалентна исходным уравнениям. Совокупность характеристик можно разбить на семейства характеристических поверхностей, отвечающих различным корням zk. Если данные Коши на характеристике таковы, что соотношения (3.8) выполнены, то производные по нормали к определяются из уравнений (3.4) неоднозначно, так как уравнение (3.4) с нулевой правой частью имеет нетривиальные решения. Этот факт позволяет строить непрерывные кусочно-гладкие решения уравнений (3.2) путем “склейки” двух гладких решений по характеристической поверхности h(x) = 0. При этом удовлетворяются условия непрерывности решения и его производных по касательным к направлениям, а производные в нормальном направлении могут быть разрывны.

3.2 Слабый разрыв Определение 5. Гладкая гиперповерхность является поверхностью слабого разрыва решения U = (x), если решение и его первые производные по касательным к направлениям непрерывны в окрестности, а некоторые из первых производных по направлению нормали, будучи непрерывны вне и односторонне непрерывны на, имеют разрыв первого рода в точках поверхности.

Легко проверяется, что решение уравнений газовой динамики со слабым разрывом удовлетворяет определению обобщенного движения газа.

Если поверхность слабого разрыва, то -характеристика уравнений (3.2). Действительно, если на вычислить разность предельных значений величин, входящих в уравнения (3.4), то получим равенство (здесь [...] обозначение скачка функции на ). Так как на поверхности слабого разрыва [U/] = 0, то необходимо det A() = 0, а это и означает, что является характеристикой.

Пример 3.1. Пусть решение системы дифференциальных уравнений имеет слабый разрыв на характеристике x = xm (t), определяемой дифференциальным уравнением dx/dt = km. Вывести дифференциальные уравнения для скачков производных на характеристике, если известно решение системы при x xm (t).

Решение. По определению слабого разрыва производные функций rj в касательном направлении непрерывны на x = xm (t):

С учетом уравнений системы и соотношения [fj ] = 0 получаем равенство Следовательно, на характеристике Выведем дифференциальное уравнение для [rmx ]. Для этого продифференцируем m-е уравнение системы по x:

Вычислим разность предельных значений на линии x = xm (t) величин, входящих в уравнение:

Коэффициенты полученного уравнения заданы, если заданы функции rj (x, t) в области x xm (t). Решение обыкновенного дифференциального уравнения определяет величину [rmx ](t), если известен начальный скачок производной [rmx ](0). Скачки производных по переменной t определяются из соотношения Для систем уравнений, не приводящихся к инвариантам Римана, после соответствующей модификации приведенных выше рассуждений получаются дифференциальные уравнения, описывающие изменение скачков производных решения при движении вдоль характеристической кривой.

3.3 Характеристики уравнений газовой динамики Систему уравнений газовой динамики можно представить в векторном виде где U = (u, v, w, p, s)T, b = 1/(c2 ), Здесь = + u + v + w. Равенство detA() = 0 выполнено, если или Система уравнений газовой динамики гиперболическая система; в качестве направления гиперболичности можно выбрать = (1, 0, 0, 0), при этом будет трехкратным корнем характеристического уравнения, каждый из корней однократным корнем. Соответствующие этим корням векторы () образуют базис в R5.

Поверхности h(x, t) = 0 называются контактными характеристиками, если функция h(x, t) удовлетворяет уравнению Звуковые характеристики двух семейств C ± определяются решениями дифференциальных уравнений:

В дальнейшем контактные характеристики будут обозначаться символом C 0, а звуковые символами C + или C соответственно выбору знака в (3.13).

Если положить n = x h|x h|1, Dn = ht |x h|1, то из (3.13) следует соотношение Звуковая характеристика, определяемая уравнением (3.13) со знаком “+” в правой части, движется в R3 в сторону области h(x, t) > 0 с нормальной скоростью un + c, а характеристика, соответствующая знаку “” в (3.13), движется с нормальной скоростью un c.

Для построения характеристики на заданном решении достаточно решить задачу Коши для уравнений (3.12) или (3.13) с данными h(x, 0) = h0 (x). При этом уравнение h0 (x) = 0 определяет начальное положение характеристической поверхности.

Пример 3.2. Пусть задано решение уравнений газовой динамики Найти уравнение контактной характеристики, если ее положение в момент времени t = 0 определено уравнением h0 (x, y, z) = 0.

Решение. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений бихарактеристик):

решение задачи Коши. Выразим x0, y0, z0 через x, y, z, t из полученных соотношений. Тогда функция удовлетворяет уравнению и, следовательно, h(x, t) = 0 задает уравнение искомой характеристики. Действительно, так как x0 (x1 (s, x0 ), s ) = x0 при 0 s t, то h(x1 (s, x0 ), s ) = h0 (x0 ) и Если положить в этом равенстве s = t, x1 = x и учесть уравнения (3.14), то получим равенство (3.16). Выполнение начального условия h(x, 0) = h0 (x) следует из равенства x0 (x, 0) = x.

Пример 3.3. Пусть задано решение уравнений газовой динамики Найти уравнение звуковой характеристики C, если ее положение в момент времени t = 0 определено уравнением h0 (x, y, z) = 0.

Решение. Введем обозначение P = hx, Q = hy, R = hz. Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений (уравнений бихарактеристик):

Пусть соотношения t = s, x = x1 (s, x0, y0, z0 ), y = y1 (s, x0, y0, z0 ), z = z1 (s, x0, y0, z0 ) получены в результате решения задачи Коши (3.17).

Выразим x0, y0, z0 через t, x, y, z. Функция удовлетворяет уравнению и следовательно, искомая звуковая характеристика задается уравнением h(x, t) = 0.

Замечание. При доказательстве факта, что h(x, t) удовлетворяет уравнению для звуковой характеристики C, используется то, что уравнения для P, Q, R получены дифференцированием исходного дифференциального уравнения звуковой характеристики по x, y, z и равенство h(x1, y1, z1, s ) = h0 (x0, y0, z0 ).

Приведенный выше алгоритм построения звуковой характеристической поверхности позволяет строить гладкое решение дифференциальных уравнений в “малом” по времени, так как обращение найденных отображений в общем случае возможно лишь для малых значений t. Обобщенные решения уравнений (3.13) могут определять негладкие поверхности, имеющие ребра, складки и другие особенности.

Понятие характеристики играет важную роль при качественном анализе газодинамических течений. Движущиеся в R3 характеристические поверхности являются волновыми фронтами, ограничивающими области влияния возмущений, возникающих в течении. Например, если по покоящемуся газу распространяется непрерывная волна возмущения, то поверхность, по которой происходит примыкание возмущенного движения к невозмущенному, является характеристической поверхностью, так как только на таких поверхностях возможно непрерывное примыкание двух решений уравнений газовой динамики с разрывом производных.

Если данные Коши u(x, 0) = (x) имеют слабый разрыв на поверхности R3, то решение уравнений газовой динамики имеет слабые разрывы на контактной и двух звуковых характеристиках, проходящих при t = 0 через. В начальный момент происходит распад слабого разрыва, так что где... скачки производных на соответствующих характеристиках. Согласно (3.9) U/ на характеристике является собственным вектором соответствующей матрицы A(). Разложение U/ по собственным векторам матрицы A(), соответствующим разным семействам характеристик, определяет U/ на.

3.4 Задачи 3.1. Проверить, что для контактной характеристики ранг характеристической матрицы A() равен двум, и найти три независимых условия на контактной характеристике.

3.2. Показать, что для звуковой характеристики ранг матрицы A() равен четырем, и найти условие на звуковой характеристике.

3.3. Показать, что система уравнений газовой динамики, описывающая установившиеся движения, гиперболична при |u| > c (c скорость звука). Показать, что в качестве направления гиперболичности можно выбрать направление вектора скорости.

3.4. Показать, что функции удовлетворяют системе уравнений газовой динамики. Здесь t0, 0, S0, c0 заданные положительные постоянные.

3.5. Найти уравнение контактной характеристики на решении, определяемом в условии задачи 3.4, если начальное положение характеристической поверхности задано уравнением x2 + y 2 lz = 0.

Ответ: h(x, t) = x2 + y 2 (t + t0 )lzt1 = 0.

3.6. Найти уравнение звуковой характеристики C на решении, определяемом в условии задачи 3.4, если известно начальное положение характеристики h(x, 0) = x2 + y 2 l2 = 0, (l = const).

Ответ:

3.7. Показать, что функции удовлетворяют системе уравнений газовой динамики (t0, v0, w0, заданные постоянные, t0 > 0, 0 > 0, c0 > 0).

3.8. Найти общее решение дифференциального уравнения для контактных характеристик на решении уравнений газовой динамики, определенном в условии предыдущей задачи.

функция.

3.9. Показать, что функции удовлетворяют системе уравнений газовой динамики (a, b, t0, 0, c заданные постоянные, 0 > 0, c0 > 0, t0 > 0).

3.10. Найти уравнение звуковой характеристики C на решении, определенном в условии задачи 3.9, если известно начальное положение характеристики h(x, 0) = x + ay + bz l = 0 (l = const).

3.11. Найти характеристическую форму уравнений одномерного движения с плоскими, сферическими, цилиндрическими волнами (см.

2.30).

3.12. Показать, что после введения новых искомых величин (инвариантов Римана) система уравнений одномерного изэнтропического движения политропного газа с плоскими волнами преобразуется к виду 3.13. Начальные данные для системы уравнений изэнтропического одномерного движения газа с плоскими волнами заданы в виде (a = const, c0 = const, l = const). Вычислить [ux ] на характеристике x = c0 t + a в момент времени t, если известно, что при x > c0 t + a решение постоянно: u = 0, c = c0 (газ политропный).

3.14. Показать, что после замены искомых функций, указанной в 3.12, уравнения одномерного изэнтропического движения политропного газа с цилиндрическими ( = 1) и сферическими ( = 2) волнами преобразуются к виду 3.15. Начальные данные для системы уравнений изэнтропического одномерного движения с цилиндрическими волнами те же, что в 3.13.

Вычислить [ux ] на характеристике x = c0 t + a в момент времени t, если при x > c0 t + a решение постоянно (газ политропный).

Ответ:

3.16. Начальные данные для системы уравнений изэнтропического одномерного движения со сферическими волнами те же, что в 3.13.

Вычислить [ux ] на характеристике x = c0 t + a в момент времени t, если при x > c0 t + a решение постоянно (газ политропный).

Ответ:

3.17. Показать, что слабый разрыв решения системы уравнений одномерных изэнтропических движений ( = 0, 1, 2) не может возникнуть либо исчезнуть до тех пор, пока решение и его первые производные остаются ограниченными.

3.18. Доказать, что в одномерном движении политропного газа с плоскими волнами на контактном разрыве выполнено соотношение [ux ] = 0.

3.19. В условиях задачи 3.18 показать, что если решение по обе стороны контактного разрыва непрерывно дифференцируемо и [] = при t = 0, то [] = 0 при t > 0.

3.20. Бихарактеристики, выпущенные из некоторой точки (x0, t0 ) в сторону t > t0 (или t < t0 ), образуют характеристический конус, который ограничивает область влияния точки (x0, t0 ). Найти характеристический конус для уравнений газовой динамики на постоянном решении.

3.21. Найти общий вид решения уравнения контактных характеристик на решении уравнений газовой динамики (u0 (y) заданная функция, p0, 0 заданные положительные постоянные).

Ответ: h(x, t) = F (x u0 (y)t, y, z), F произвольная функция.

3.22. Найти уравнение звуковой характеристики C на решении если начальное положение характеристики определено уравнением y 2 + 3.23. Рассматривается задача Коши с кусочно-дифференцируемыми начальными данными для системы уравнений одномерного движения с плоскими волнами:

u 0, p 0, 0, l постоянные. Показать, что в момент времени t = 0 на характеристике C, выходящей из начала координат, выполнены соотношения [ux ] = u0 l1, [px ] = 0 c0 u0 l1, [Sx ] = 0, где p0 = f (0, S0 ), c2 = f (0, S0 ).

3.24. Найти уравнения звуковых характеристик C ± на постоянном решении:

если известно, что в момент времени t = 0 они проходят через поверхность, образованную двумя полуплоскостями {x = 1, 0 y < 4 Одномерные движения газа Класс одномерных движений газа с плоскими ( = 0), цилиндрическими ( = 1) и сферическими ( = 2) волнами определяется следующим образом. Пусть x1, x2, x3 декартовы координаты в R3 (x), а l1, l2, l базисные векторы этой системы координат. Для = 0, 1, 2 определим пространственную координату x = X (x1, x2, x3 ) формулой Одномерными движениями газа будут называться такие движения, в которых вектор скорости v, давление p и плотность удовлетворяют следующим функциональным зависимостям:

Здесь Решения уравнений газовой динамики вида (4.1) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

Система уравнений (4.2) является гиперболической и имеет три семейства характеристик C 0, C +, C, определяемых уравнениями Пусть d0 /dt, d± /dt операторы дифференцирования вдоль характеристик C 0, C ±. С этими операторами условия на характеристиках (4.3) запишутся так (характеристическая форма уравнений (4.2)):

4.1 Инварианты Римана, простые волны Система уравнений (4.2) и ее характеристическая форма (4.4) значительно упрощаются для изэнтропических (S S0 = const) одномерных движений газа с плоскими ( = 0) волнами. В этом случае остаются только два семейства характеристик C + и C, а условия (4.4) на характеристиках могут быть проинтегрированы. Введение вспомогательной функции позволяет преобразовать условия на характеристиках C + и C к виду Для политропного газа функция имеет вид Функции r = u + и l = u называются инвариантами Римана.

Уравнения изэнтропических одномерных движений газа с плоскими волнами в инвариантах Римана записываются в виде В системе (4.7) функции u и c должны быть выражены через r и l.

Решения, в которых один из инвариантов Римана тождественно постоянен, исчерпывают класс простых волн уравнений (4.7). При этом rволной (l-волной) называется решение, в котором r const (l const).

Функциональный вид решений простых r-волн и l-волн дается следующими выражениями:

Второе соотношение (4.8) означает, что в r-волне (l-волне) прямолинейны характеристики семейства C (семейства C + ).

Простые волны подразделяются на простые волны сжатия (t + ux > 0) и простые волны разрежения (t + ux < 0). В простых волнах сжатия (разрежения) характеристики прямолинейного семейства сближаются (расходятся) в направлении возрастания времени.

Простые волны, в которых все прямолинейные характеристики пересекаются в одной точке, называются центрированными простыми волнами или волнами Римана. Если (x0, t0 ) точка пересечения прямолинейных характеристик, то r и lволны Римана описываются следующими формулами:

Значение простых волн при решении конкретных газодинамических задач обусловлено следующим утверждением: в непрерывном движении с плоскими волнами всякое непостоянное решение, примыкающее по звуковой характеристике к постоянному, является простой волной.

При этом по характеристике C + примыкает l-волна, а по характеристике C r-волна.

Пример 4.1. В бесконечной трубе, закрытой с одной стороны поршнем, в области 0 < x < покоится политропный газ, в котором c = c0, = 0. При t > 0 поршень выдвигается из трубы по закону где V > 0, t0 > 0 постоянные. Требуется найти движение газа при t > 0.

Решение. В предположении непрерывности движения математическая формулировка поставленной задачи будет следующей (рис. 4.1):

требуется найти решение уравнений (4.7), удовлетворяющих условиям Если провести из точки O характеристику C +, то, в силу теоремы о единственности решения задачи Коши, решение правее этой характеристики будет определяться только начальными данными и, следовательно, будет таким: u = 0, c = c0. Вследствие этого уравнение характеристики OA, проведенной на этом решении, задается выражением x = c0 t.

По характеристике OA к постоянному решению “0” может примыкать либо снова постоянное решение, либо простая l-волна. Поскольку постоянным решением нельзя удовлетворить граничное условие на кривой OLE, задаваемой уравнением (4.10), то слева от OA будет lволна. Следовательно, во всей области определения решения инвариc ант l = u 1 будет тождественно постоянен и равен Отсюда получим Формулы (4.12) показывают, что на OLE наряду с u будет известна и скорость звука c:

Так как скорость звука не может быть отрицательной, то необходимо различать два случая:

Рассмотрим сначала случай (а). Так как на прямой LE величины u и c постоянны, то между C + -характеристикой LB, выпущенной из точки L, и прямой LE решение будет тождественно постоянным:

При этом уравнение характеристики LB таково:

Теперь рассмотрим вопрос построения решения в области AOLB, занятой простой l-волной. Решение в этой области определяется соотношениями (4.8), которые в нашем случае можно записать так:

Функцию F (u) определим из граничного условия на OL. В точках кривой OL второе уравнение системы (4.14) примет вид Отсюда определяем вид функции F (u):

Теперь из уравнения находится искомая зависимость u = u(x, t):

Функция c = c(x, t) определяется, в силу (4.14), соотношением c = c0 + 1 u(x, t).

Решение в случае (а): c0 1 V 0 построено. Если c0 1 V = 0, то при t t0 на поршне скорость звука равна нулю, а прямые LB и LE совпадают.

Теперь рассмотрим случай (б): c0 1 V < 0. Определим время t, когда на поршне впервые обратилась в нуль скорость звука. В силу (4.13), это время равно Положение поршня X(t ) и скорость поршня X (t ) в этот момент были следующими:

Характеристика C, выходящая из точки (x, t ), дается формулой Между этой характеристикой и поршнем при t > t находится область вакуума (c = 0). Правее этой характеристики решение определяется формулой (4.15) и соотношением c = c0 + 1 u(x, t).

Решение полностью построено. В ходе решения этой задачи нами установлено также, что скорость uk истечения покоящегося политропного газа в вакуум дается формулой uk = 1 c0.

Осуществляя в полученном решении предельный переход t0 0, V const, можно получить решение задачи для следующего закона движения поршня:

Из уравнения характеристики LB и выражения (4.15) для функции u(x, t) получим при t0 0 (V 1 ) Для V > предельное решение (t0 0) описывается формулами Непосредственно из (4.16) и (4.17) видно, что при постоянной скорости выдвижения поршня из трубы, заполненной покоящемся газом, решение описывается центрированной волной. На рис. 4.2 и 4.3 изображены картины в плоскости (x, t), отвечающие двух случаям выдвижения поршня из газа с постоянной скоростью V.

Заметим, что в случае V > 1 решение вообще не зависит от V.

Это означает, что данное решение может рассматриваться, в частноРис. 4. сти, как решение следующей задачи Коши с разрывными начальными данными:

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий использование центрированных волн разрежения для разрешения особенностей решения, возникающих из-за нарушения непрерывности в граничных условиях.

Пример 4.2. Пусть поршень, находящийся при t = 0 в сечении x = 0, выдвигается из покоящегося политропного газа (0 < x < ) по закону причем функции X1 (t) и X2 (t) удовлетворяют следующим условиям:

Дать качественное описание структуры решения данной задачи.

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, при x c0 t решением будет u = 0, c = c0. Следовательно, к характеристике OA (рис.

4.4) будет примыкать простая волна. Прямолинейные характеристики семейства C +, выходящие из точек кривой OLE, задающей закон движения поршня, полностью определяются величиной = u + c, вычисленной на поршне для всех моментов времени. Аналогично предыдущему примеру для (t) = (u + c)(X(t), t) легко устанавливается формула Так как по условиям задачи X1 (t) 0, X2 (t) 0 и X2 (t0 ) < X1 (t0 ), то функция (t) с ростом t не возрастает и в точке t0 претерпевает отрицательный скачок, т. е. (t0 + 0) < (t0 0). Это означает, что характеристики C + будут образовывать расходящийся в направлении возрастания времени веер, т. е. будет реализовываться волна разрежеc0 2c ния. Условия X1 (t) > 1, X2 (t) > 1 обеспечивают невозможность отрыва поршня от газа.

Рассмотрим характеристики LB и LC, выходящие из точки L, определяемые значениями (t0 + 0) и (t0 0):

В областях AOLB и CLE решение определяется уравнениями l-волны (4.8), где для каждой из областей найдется своя функция F (u) посредством удовлетворения граничному условию на поршне. Неопределенным останется решение только в треугольной области BLC. Легко проверить, что центрированная волна разрежения с центром L обеспечит непрерывное сопряжение решений в областях AOLB и CLE по характеристикам LB и LC.

Действительно, данная l-волна Римана определяется уравнениями откуда находим Величины u и c, вычисленные по формулам (4.19), (4.20) на характеристиках LB и LC, будут следующими:

Данные выражения и доказывают факт непрерывного сопряжения простых волн в областях AOLB и CLE с центрированной волной разрежения в области BLC. Структура решения полностью определена.

4.2 Плоскость инвариантов Римана. Градиентная катастрофа При отыскании решений системы (4.7), не являющихся простыми волнами, иногда бывает целесообразно в качестве независимых переменных выбирать инварианты Римана r и l, а в качестве искомых функций координаты x и t. Эта перемена ролей зависимых и независимых переменных оправдывается тем, что уравнения относительно величин x = x(r, l) и t = t(r, l) оказываются линейными. В данном случае они выглядят следующим образом:

Величины u, c связаны с независимыми переменным r, l формулами Исключением x из (4.21) можно эту систему уравнений привести к одному уравнению относительно функции t = t(r, l):

где функция H(z) определяется формулами Для политропного газа H(z) имеет вид Уравнение Дарбу (4.23) превращается в этом случае в уравнение Эйлера Пуассона:

С использованием функции h = c уравнение (4.23) может быть преобразовано к самосопряженному виду:

При решении ряда задач для уравнений (4.26) эффективным бывает применение метода Римана, существенной частью которого является отыскание функции Римана W (r, l; r0, l0 ). Задача об отыскании функции Римана W (r, l; r0, l0 ) для уравнения (4.26) формулируется следующим образом. Найти решение уравнения (4.26), удовлетворяющее условиям Таким образом, функция W (r, l; r0, l0 ) является решением специализированной задачи Гурса для уравнения (4.26).

В случае политропного газа, т.е. для уравнения (4.25), функция Римана W (r, l; r0, l0 ) представима в следующем виде:

где F (a, b; c; z) гипергеометрическая функция Гаусса, представимая при |z| < 1 таким степенным рядом:

Если использовать формулу преобразования то легко видеть, что при целых положительных значениях ряд (4.29) обрывается и, следовательно, представляет собой некоторую элементарную функцию.

Нетрудно заметить, что функция Римана W (r, l; r0, l0 ) дает решение задачи о взаимодействии двух центрированных волн разрежения r = r и l = l0, идущих навстречу друг другу по одному и тому же состоянию.

Если t0 время начала взаимодействия волн, то решение такой задачи будем описываться формулой Основной сложностью описанного метода решения является нахождение обратного преобразования r = r(x, t), l = l(x, t) после того, как построено решение задачи в виде t = t(r, l), x = x(r, l). Отметим, что обратное преобразование существует не всегда, этим ограничивается область применения метода.

Пример 4.3. Показать, что решение системы уравнений (4.21) может быть представлено в виде где функция U = U (r, l) удовлетворяет уравнению Здесь H(z) определяется формулами Решение. Пусть функция c = c(z) является решением уравнения z = 2(c). Тогда уравнения (4.21) можно переписать в виде Из этих уравнений следует, что выражение является полным дифференциалом функции U (r, l). Вследствие этого получим Из уравнений (4.36) находим Из (4.35) и (4.37) вытекает искомое уравнение для функции U (r, l):

Типичным для квазилинейных гиперболических уравнений является невозможность существования гладких решений при всех 0 < t <, даже если начальные или граничные условия обладают какой угодно гладкостью. Например, если решение поставленной задачи описывается простой волной сжатия, то в силу того, что прямолинейные характеристики в ней сближаются с ростом t, они должны пересечься при конечном значении t. В точке пересечения x прямолинейных характеристик обратятся в бесконечность производные ux, cx и т.д. Явление неограниченного роста градиентов основных величин называют “градиентной катастрофой”. Дальнейшее построение решения возможно только в классе движений с сильными разрывами.

Изучение возможности образования “градиентной катастрофы” в общем случае проводят с использованием так называемых транспортных уравнений, описывающих эволюцию градиентов основных величин вдоль соответствующих характеристик. Вывод транспортных уравнений для системы (4.2) и их подробный анализ для системы (4.7) изложены в [1].

Пример 4.4. В начальный момент времени t = 0 в трубе, заполненной покоящимся политропным газом (0 < x < ), в сечении x = находится поршень. При t > 0 поршень осуществляет плавное движение по закону x = X(t). Выяснить, при каких условиях возможна “градиентная катастрофа”, и найти время tk ее образования.

Решение. В области непрерывного движения решение описывается простой l-волной; тогда где c0 скорость звука в покоящемся газе. Система уравнений (4.7) при этом сведется к одному уравнению относительно функции r = r(x, t):

где Обращение величины R = rx в бесконечность соответствует образованию градиентной катастрофы. Выведем уравнение, описывающее эволюцию величины R вдоль характеристик C +. Для этого продифференцируем уравнение (4.38) по x и учтем формулы (4.39). В результате получим Так как d+ R/dt = Rt + (u + c)Rx есть производная вдоль характеристики C +, то предыдущее уравнение на C + превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение: