[ Дальневосточное отделение Российской Академии наук
Институт прикладной математики
Хабаровское отделение
На правах рукописи
УСТИНОВ Алексей Владимирович
Приложения оценок сумм Клостермана
к некоторым задачам метрической
и аналитической теории чисел
Специальность 01.01.06 – математическая логика,
алгебра и теория чисел
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени доктора физико-математических наукНаучный консультант: чл.-корр. РАН БЫКОВСКИЙ Виктор Алексеевич Хабаровск 2 Содержание Обозначения и соглашения Предисловие Введение 0.1. О задачах метрической теории цепных дробей 0.2. О числе знаменателей цепных дробей, не превосходящих данной границы 0.3. О статистических свойствах алгоритма Евклида 0.4. Статистики Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей 0.5. Задача Синая 0.6. Методы исследования Глава 1. Вычисление первого и второго моментов в одной задаче из метрической теории цепных дробей 1.1. О цепных дробях 1.2. Асимптотическая формула для математического ожидания 1.3. Выражение дисперсии через сумму специального вида 1.4. Вычисление трех вспомогательных сумм 1.5. Асимптотическая формула для дисперсии Глава 2. Асимптотическое поведение первого и второго моментов для числа шагов в алгоритме Евклида 2.1. О математическом ожидании и дисперсии 2.2. Предварительные вычисления 2.3. Асимптотическая формула для математического ожидания 2.4. Вычисление двух вспомогательных сумм 2.5. Асимптотическая формула для дисперсии Глава 3. Задача Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина 3.1. Переход к системе уравнений и неравенств 3.2. Анализ первого случая 3.3. Анализ второго случая 3.4. Асимптотическая формула в задаче Арнольда 3.5. Результаты для сектора и треугольной области 3.6. Уточнение теоремы Портера 3.7. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором минимального по модулю остатка СОДЕРЖАНИЕ Глава 4. Статистики траекторий в задаче Синая 4.1. Свойства целочисленных пар (m(), n()) 4.2. Вспомогательные преобразования 4.3. Применение оценок сумм Клостермана 4.4. Выделение главного члена Приложение 5.1. Асимптотические формулы 5.2. Оценки сумм Клостермана 5.3. Следствия оценок сумм Клостермана 5.4. Применение метода ван дер Корпута 5.5. О числе решений сравнения xy l (mod q) под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции Список литературы Обозначения и соглашения 1. Записи f (x) = O(g(x)) и f (x) g(x) означают, что во всей области определения для некоторой абсолютной положительной константы c выполняется неравенство |f (x)| c · g(x). Если c = c() (константа зависит от некоторого параметра ), то будем писать f (x) = O (g(x)) и f (x) g(x).
2. Для конечного множества M через #M будет обозначаться число элементов M.
3. x расстояние от вещественного x до ближайшего целого числа:
4. Запись [x0 ; x1,..., xs ] означает цепную дробь длины s с формальными переменными x0, x1,..., xs.
5. Для рационального r обычно (если не сделано дополнительных оговорок) будет использоваться каноническое разложение в цепную дробь r = [t0 ; t1,..., ts ] длины s = s(r), где t0 = [r] (целая часть r), t1,..., ts неполные частные (натуральные числа) и 6. Через s1 (r) будем обозначать сумму неполных частных числа r:
7. Для рационального r, записанного в виде несократимой дроби, через p(r) и q(r) будем обозначать числитель и знаменатель этой дроби соответственно.
8. Для x [0, 1] и рационального r = [t0 ; t1,..., ts ], s(x) (r) есть количество номеров j {1,..., s}, для которых выполняется неравенство [0; tj,..., ts ] x (статистики Гаусса-Кузьмина). В частности, длина цепной дроби s = s(r) = s(1) (r).
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
9. Функция Мебиуса µ : N {0, ±1} : µ(1) = 1; µ(q) = 0, если q делится на квадрат натурального, большего 1; µ(q) = (1)t, где t есть количество простых делителей бесквадратного q.10. Круглые скобки будут использоваться для обозначения наибольшего общего делителя: (a1,..., an ) = НОД(a1,..., an ).
11. Функция Эйлера:
12. Обозначение Kn (x1,..., xn ) используется для континуантов, которые определяются начальными условиями 13. M множество всех целочисленных матриц S = Q Q с определителем ±1, у которых 1 Q Q, 0 P Q, 1 P Q.
Через M(R) будет обозначаться множество матриц S M, для 14. N множество пар (m, n) N2 таких, что 0 < n < m и (m, n) = 1.
15. Знак звездочки в двойных суммах вида означает, что переменные, по которым проводится суммирование, связаны дополнительным условием (m, n) = 1.
16. Если A некоторое утверждение, то [A] означает 1, если A истинно, и 0 в противном случае.
17. I (x) = [x I] характеристическая функция промежутка I на прямой (, ).
18. Для натурального q через q (a) будем обозначать характеристическую функцию делимости на q:
19. Постоянная Эйлера ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
21. Сумма степеней делителей 22. Дилогарифм Эйлера 23. Повторные интегралы будут записываться в виде 25. (x) = 1/2 {x}.
В первой половине XX века в основополагающих работах А. Я. Хинчина, Р. О. Кузьмина, П. Леви и других авторов была создана метрическая теория чисел одно из самых актуальных направлений теории чисел. При этом были разработаны теоретико-вероятностные и эргодические методы, позволившие получить целый ряд фундаментальных результатов, касающихся статистических свойств элементов цепных дробей. Во второй половине XX века этот подход нашёл широкое применение при изучении алгоритма Евклида и других задач.
В настоящей диссертации развиваются новые методы исследования задач метрической теории цепных дробей, основанные на оценках сумм Клостермана. Они позволяют в ряде случаев не только существенно усилить известные результаты, но и решить новые теоретико-числовые задачи, возникающие в статистической физике. К основным можно отнести следующие результаты диссертации:
1) для действительных чисел изучено поведение в среднем количества знаменателей подходящих дробей, не превосходящих данной границы. Для первого и второго момента доказаны принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах, уточняющие полученные ранее теоретико-вероятностными методами;
2) в задаче Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей доказана асимптотическая формула с двумя значащими членами и степенным понижением в остатке. Как следствие доказана независимость главного члена от формы рассматриваемой области;
3) получены принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для первого и второго моментов числа шагов в алгоритме Евклида;
4) в задаче Синая о статистических свойствах траекторий частиц, движущихся в двумерной кристаллической решетке, исследован неоднородный случай, когда траектории начинаются в окрестности целочисленной точки. Найдена плотность совместного распределения длины свободного пробега и прицельного параметра (расстояния от траектории до центра первой пересеченной окрестности). В остаточном члене асимптотической формулы для плотности получено корневое понижение.
Асимптотические свойства целочисленных решений уравнения лежат в основе различных теоретико-числовых результатов. При фиксированном значении одной из переменных, например, y2, переменные x1, y оказываются связаны сравнением Наличие нетривиальных оценок на суммы Клостермана согласно критерию Вейля, означает равномерность распределения решений сравнения (0.2). Это наблюдение позволяет находить асимптотические формулы для сумм вида Частным случаем уравнения (0.1) является соотношение bc ad = 1, которому удовлетворяют числители и знаменатели последовательных дробей a/b < c/d ряда Фарея. Для фиксированного знаменателя d и числителя c (0 c d, (c, d) = 1) длина отрезка [a/b, c/d] определяется величиной b c (mod d). Равномерность распределения пар (b, c), для которых bc 1 (mod d), позволяет описать распределение длин отрезков между соседними дробями в ряде Фарея, что приводит к более точному варианту кругового метода Харди–Литтлвуда (см. работу Клостермана [54]).
Ещё одним важным вопросом, в котором возникает уравнение (0.1), является аддитивная проблема делителей, связанная с асимптотическим поведением сумм К ним сводится подсчёт четвертого момента -функции Римана на критической прямой (см. статью Хис-Брауна [47], а также обзор [52]).
0.1. О ЗАДАЧАХ МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Хейльбронн в работе [49] установил связь уравнения (0.1) с конечными цепными дробями. Благодаря этому ему удалось доказать асимптотическую формулу для среднего числа шагов в алгоритме Евклида (см. далее раздел 0.3 введения).О других арифметических приложениях уравнения (0.1) и сумм Клостермана см. обзор [48].
В основе результатов диссертации наряду с уравнением (0.1) лежат асимптотические свойства решений неравенств где R растущий параметр и det a d = ±1. Второе из них также аналиb зируется с помощью оценок сумм Клостермана. В рамках такого подхода удается получить новые результаты и существенно уточнить уже известные, доказанные ранее эргодическими методами.
0.1. О задачах метрической теории цепных дробей Хорошо известно, что любое вещественное число каноническим способом раскладывается в цепную (непрерывную) дробь с целой частью q0 = [] и неполными частными qn = qn () N при n 1.
Она конечна только для рациональных = [q0 ; q1,..., qs ], и в этом случае при s 1 последнее неполное частное qs больше 1. По определению, числитель (целое) и знаменатель (натуральное) несократимой n-ой подходящей к дроби При этом P0 = q0 и Q0 = 1.
В метрической теории чисел ряд задач посвящен статистическим свойствам цепных дробей. Например, для действительных чисел удается описать типичное поведение неполных частных в представлении (0.4), рост знаменателей Qn () и порядок аппроксимации подходящими дробями Pn ()/Qn () (см. [32]).
Пусть x [0, 1] фиксированное действительное число и где T () отображение Гаусса, переводящее в себя отрезок [0, 1]:
0.1. О ЗАДАЧАХ МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Обозначим через Fn (x) меру множества всех иррациональных чисел, для которых n x. Гаусс исследовал итерации отображения T и пришел к следующей гипотезе:(об этом известно из переписки Гаусса с Лапласом, см. [15, глава 3]). Лишь в 1928 году появилась работа Кузьмина [57] с доказательством асимптотической формулы где некоторая абсолютная положительная константа. В качестве следствия теоремы Кузьмина легко получить асимптотическую формулу для меры множества точек, для которых qn = k:
где Более сильный результат (экспоненциальную скорость сходимости) в этом направлении получил французский математик П. Леви (1929, [58]).
Вирзинг (1974, [77]) указал явно скорость сходимости:
с абсолютной константой 1 = 0.30366... (впоследствии названной константой Вирзинга). Окончательное решение задачи Гаусса принадлежит Бабенко (1978, [8]). Он доказал существование бесконечной убывающей к нулю последовательности чисел j и соответствующей последовательности аналитических функций k (x), для которых (о вычислении чисел 1, 2,... см. [7, 9]).
Изучение свойств отображения Гаусса T основано на спектральных свойствах оператора (например, при s = 1 такой оператор используется в доказательстве теоремы Кузьмина, см. [32]). Ключевую роль здесь играет его доминирующее собственное значение (s). Про эту функцию известно, что она определена и аналитична в области Re s > 1/2 и положительна для действительных s > 1/2. В частности, теорема Кузьмина означает, что (1) = 1 и соответствующей собственной функцией является плотность Гаусса log2 (1 + x).
Число известно как константа Леви, а число (1), для которого представление через арифметические постоянные не известно, как константа Хенсли.
Оператор Gs также связан с поведением случайной величины Xn = log Qn (), где Qj () знаменатель j-ой подходящей дроби к числу, которое выбирается случайно из отрезка [0, 1] (см. работы Ибрагимова [17], Филиппа [65]–[67], а также обзор [43]). Для Xn доказана центральная предельная теорема:
Кроме того, для математического ожидания и дисперсии Xn известны двучленные асимптотические формулы где и 1 константа Вирзинга.
0.2. О числе знаменателей цепных дробей, не превосходящих В главе 1 диссертации исследуется случайная величина, которая, как и Xn, отвечает за рост знаменателей подходящих дробей. Для иррационального [0, 1] через E(, R) будем обозначать число Величину E(, R) можно считать непрерывным аналогом длины конечной цепной дроби s(), которая будет изучаться в главе 2 диссертации.
Рассмотрим среднее значение E(, R) и дисперсию Для них доказываются асимптотические формулы с двумя значащими членами и степенными понижениями в остаточных членах.
0.3. О СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА
где где D1, D0 абсолютные константы.Константа E1 в главном члене для математического ожидания очевидным образом связана с константой Леви (1). Константа D1 выражается через сумму абсолютно сходящегося ряда, и впоследствии выясняется, что она связана с константой Хенсли.
Задача о вычислении E(R) и D(R) является более простой, чем её дискретный вариант (см. теоремы 3–4). В то же время доказательства теорем 1–2 могут служить иллюстрацией ключевых идей, которые будут применяться при анализе конечных цепных дробей.
0.3. О статистических свойствах алгоритма Евклида Детальный анализ алгоритма Евклида приводит к различным задачам о статистических свойствах конечных цепных дробей (см. [20, разд. 4.5.3]).
Если на вход алгоритма подается пара натуральных чисел c и d (c < d), то основной интерес представляет число выполняемых делений с остатком, которое совпадает с s = s(c/d) количеством неполных частных в цепной дроби Впервые вопрос о поведении величины s(c/d) в среднем был исследован Хейльбронном. В 1968 г., сводя задачу к уравнению (0.1) с 1 x1 x2, y1 y2, элементарными методами он доказал асимптотическую формулу (см. [49]) Уточнения остаточного члена в этой формуле принадлежат Тонкову (см.
работы [71, 72]). В 1975 г. Портер, используя оценки сумм Клостермана, для того же среднего получил асимптотическую формулу с двумя значащими членами (см. [68])
0.3. О СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА
где любое положительное и константа, получившая название константы Портера (её окончательный вид был найден Ренчем, см. [56]).В то же время для дисперсии величины s(c/d) (при фиксированном значении знаменателя d) известна лишь правильная с точностью до константы оценка, принадлежащая Быковскому (2005, [11]):
Она получена методами аналитической теории чисел, также опирающимися на оценки сумм Клостермана.
Отдельно изучается задача о поведении s(c/d), когда параметры c и d меняются в пределах 1 c d R, где R растущий параметр.
Рассмотрим среднее значение числа шагов в алгоритме Евклида и дисперсию Суммируя равенство (0.7), нетрудно получить, что с некоторой абсолютной константой CP (см. [63]). Однако при усреднении по обоим параметрам c и d естественно надеяться на более точное описание поведения величины s(c/d).
Ряд результатов в этом направлении был получен вероятностными и эргодическими методами. В 1970 г. Диксон в работе [38] показал, что для любого положительного найдётся такая константа c0 > 0, что для всех пар чисел (c, d), лежащих в области 1 c d R, за исключением не более R2 exp(c0 (log R)/2 ) пар (см. также [39]). Хенсли в статье г. [50] уточнил результат Диксона и доказал, что разность между величиной s(c/d) и ее средним значением асимптотически имеет нормальное распределение. Кроме того, Хенсли доказал асимптотическую формулу для дисперсии величины s(c/d):
0.3. О СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА
где Позднее Валле (2000, [75]) для дисперсии была получена двучленная асимптотическая формула со степенным понижением в остаточном члене где 0 некоторая положительная постоянная. Аналогичные равенства были доказаны и для моментов более высокого порядка, откуда следует, что длина работы алгоритма асимптотически является гауссовской величиной (см. [34]). В той же работе рассмотрены другие варианты алгоритма Евклида и другие, отличные от s(c/d), характеристики сложности алгоритма.В главе 2 математическое ожидание E(R) выражается через число решений неравенства Наличие дополнительного усреднения по параметру d R позволяет доказать асимптотическую формулу с лучшим, чем в (0.8), понижением в остаточном члене.
где Вычисление дисперсии D(R) сводится к исследованию неравенства где 1 x1 x2, 1 y1 y2 и det a d = ±1. С его помощью, как и в глаb ве 1, для дисперсии доказывается двучленная асимптотическая формула.
где D1 = D1 и D0 абсолютные константы.
Отметим, что в соответствующем результате (0.10) работы [34] утверждается лишь существование некоторой константы 0 > 0; теорема 4 показывает, что в качестве 0 можно брать любое число, меньшее 1/4.
Сопоставление равенства (0.9) с формулами для вычисления D1 и D в теоремах 2 и 4 показывает, что
0.4. СТАТИСТИКИ ГАУССА-КУЗЬМИНА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
По мнению разных авторов, константа D1 (которую также называют константой Хенсли) не выражается в терминах известных арифметических постоянных (см. [42, 61]). Нахождение её численного значения представляет собой отдельную задачу (см. [37, 44, 74]). Известен полиномиальный алгоритм вычисления D1, то есть алгоритм, который выдает первые d цифр за O(dr ) арифметических операций (см. [60, 61]). Доказательство теоремы 4 дает новую явную формулу для вычисления D1 (в цитированных работах алгоритмы основаны на вычислении спектра оператора Gs ).Теорема 4 может быть также использована для нахождения константы D0, для которой в настоящее время численное значение не известно.
0.4. Статистики Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей В книге [5, задача 1993–11] (см. также [6]) В. И. Арнольдом была поставлена задача о статистических свойствах элементов цепных дробей для чисел c/d, когда точки (c, d) лежат внутри круга c2 + d2 R2, где R, или внутри другой расширяющейся области. Там же было сделано предположение, что ответ не зависит от формы области и во всех случаях такой же, как указывает инвариантная мера Гаусса.
Для фиксированного x [0, 1] и рационального r = [t0 ; t1,..., ts ] статистики Гаусса-Кузьмина задаются равенством В главе 3 рассматривается вопрос об асимптотическом поведении суммы где (R) область, полученная гомотетией с коэффициентом R (R ) из некоторой фиксированной области 0 :
Как показано в работе [1], аргументы Хейльбронна [49] и Портера [68] позволяют доказать асимптотическое равенство равномерное по x [0, 1]. Однако этого результата недостаточно для преодоления главной трудности, которая заключается в том, что в равенстве (0.14) при фиксированном d переменная c пробегает отрезок, длина которого, вообще говоря, не кратна d.
Для сектора c2 + d2 R2 (c, d 0) задача Арнольда была впервые решена в 2002 г. Авдеевой и Быковским в работе [3]. Доказательство опиралось на оценки сумм Клостермана и существенно использовало внешнее
0.4. СТАТИСТИКИ ГАУССА-КУЗЬМИНА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
усреднение по d. Затем в статье [2] Авдеевой была доказана более точная асимптотическая формула в которой остаточный член на log1/2 R лучше, чем в [3]. В 2005 г. в работе [25] была получена асимптотическая формула с двумя значащими членами:Nx (R) = log(1 + x) · R2 log R + C0 (x) · R2 + O(R17/9 log2 R).
В главе 3 излагается результат работы [26], где была рассмотрена область 0 общего вида. Предполагается, что она задана в полярных координатах и имеет площадь Теорема 5. Пусть R 2 и r() C (1) ([0, /4]). Предположим также, что для всех [0, /4] функция r() удовлетворяет ограничениям Тогда, равномерно по x [0, 1], где C(x) не зависит от R.
В частности, теорема 5 показывает, что главный значащий член в асимптотической формуле пропорционален мере Гаусса и зависит не от формы области 0, а лишь от ее площади V0.
Как следствие из теоремы 5 получается ответ на вопрос Арнольда: для относительной частоты встречаемости натурального k в качестве неполных частных рассматриваемых цепных дробей выполняется асимптотическое равенство где pk = log2 1 + k(k+2) вероятность появления числа k в качестве неполного частного действительного числа (см. формулу (0.5)).
В качестве дополнения к теореме 5, в конце главы 3 излагается результат работы [31], в которой результат Портера (0.7) уточняется и распространяется на случай статистик Гаусса-Кузьмина.
0.4. СТАТИСТИКИ ГАУССА-КУЗЬМИНА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
справедлива асимптотическая формула где > 0 сколь угодно малое число, а функции h1 (x) и h2 (x) заданы абсолютно сходящимися рядами При этом оценка остаточного члена становится равномерной по x в предположении, что x [x0, 1] для некоторого фиксированного x0 > 0.Алгоритм Евклида, в котором при делении выбирается наименьший по модулю остаток приводит к разложению в дробь и l = 1 при tl = 2.
Для среднего числа шагов в таком алгоритме Евклида известен результат где = (1 + 5)/2 золотое сечение, Cl абсолютная постоянная и > 0. (см. [34]). Оказывается, что для любого рационального числа a/b выполняется равенство l(a/b) = s(1) (a/b). Поэтому упрощенный вариант теоремы 5 (см. замечание 3.1) и теорема 6 приводят к асимптотическим формулам, аналогичным (0.8) и (0.12):
где R, b 2 и Cl абсолютная константа.
Бильярд Синая является простейшей моделью рассеивающей динамической системы: маленький шар движется внутри квадратного поля, в центр которого помещено круглое препятствие с отражающими стенками.
Предполагается, что все удары абсолютно упруги. Очевидно, что вместо квадратного бильярда можно рассматривать плоскость, на которой круглые препятствия располагаются вокруг каждой точки целочисленной решетки. Такая модель и будет рассматриваться в дальнейшем.
Пусть 0 < h < 1 и T > 0. Открытый круг радиуса h с центром в некоторой точке назовем ее h-окрестностью. Определим подмножество h (T ) в [0, 2), состоящее из углов, для которых луч пересекает h-окрестность некоторой целочисленной точки (m, n) = (0, 0) из круга Обозначим через Gh (T ) нормированную меру h (T ):
В 1918 г. Полиа (см. [23], теория чисел, задача 239) доказал, что h1. Отвечая на вопрос, поставленный в 1981 г. Синаем, для всех T в совместной работе [36] Бока, Гологан и Захареску доказали, что для любого > 0 равномерно по T [0, h1 ] где С физической точки зрения величину Gh (T ) можно интерпретировать как функцию распределения длин свободного пробега частиц, движущихся прямолинейно из начала координат до их первого попадания в h-окрестность некоторой ненулевой целочисленной точки. Речь идет об однородной двумерной модели “Периодический газ Лоренца”.
При изучении движущихся в кристалле достаточно быстрых частиц, траектории которых обусловлены главным образом многократным их рассеянием на ядрах, возникает необходимость рассматривать более общую ситуацию, когда траектория начинается не в некоторой целой точке, а в её h-окрестности.
Зафиксируем вещественное v из интервала (1, 1). Ориентированная в направлении (cos, sin ), параметрически заданная прямая на плоскости при t = 0 проходит через ближайшую к началу координат O = (0, 0) точку O = (hv sin, hv cos ) (проекция O на прямую (0.20)).
Еще одно параметрическое представление определяет перпендикулярную к (0.20) прямую, проходящую при t = через точку (x, y). Они пересекаются в некоторой точке при Среди всех целочисленных точек (m, n) на плоскости с условиями выберем ту из них (m(), n()), для которой величина R(m, n) принимает минимальное значение. Такая точка (m(), n()) всегда найдется, поскольку по теореме Минковского о линейных формах существует целочисленная пара (m, n) = (0, 0), для которой Другими словами, (m(), n()) первая целочисленная точка (m, n) = (0, 0), h-окрестность которой пересекает частица, движущаяся вдоль прямой (0.20) из точки O в положительном направлении. Положим При этом Ориентируясь на терминологию из ядерной физики, назовем r = r() нормированным свободным пробегом, а v и u = u() нормированными выходным и входным прицельными параметрами.
Пусть Главным результатом главы 4 является следующее ниже утверждение.
Теорема 7. Пусть |v| < c < 1. Тогда при любом > 0 для функции распределения при h 0 справедлива асимптотическая формула равномерная по v, u, u+ и 0 [0, 2] с плотностью которая при u |v| имеет вид С физической точки зрения функцию 2 (, r, v, u) можно интерпретировать как плотность частиц, движущихся прямолинейно с единичной скоростью под углом после первого рассеяния с выходным прицельным параметром V = h · v в h-окрестности некоторого узла целочисленной решетки и проходящих расстояние R = h1 · r до повторного рассеяния с входным прицельным параметром h · u.
Следует отметить, что плотность (, r, v, u) не зависит от угла. Это означает, что целочисленная решетка в пределе обладает свойством изотропности, которое, как известно, проявляется также в задачах о случайных блужданиях и дискретных гармонических функциях (см., например, [69]). Симметрия плотности относительно замены (v, u) на (u, v) объясняется изотропностью и “обратимостью” траекторий частиц.
В работе [24] Синай доказал эргодичность прямоугольного бильярда с вырезанным из него кругом радиуса h. Ему же принадлежит постановка задачи об асимптотическом поведении функции распределения длины траектории до первого столкновения с вырезанным кругом (столкновения с бортами не принимаются во внимание) при h 0. Речь идет о частном случае рассматриваемой нами задачи для v = 0, u = 1, u+ = 1, 0 = 2.
При v = 0 (однородная задача) теорема 7 была доказана в [12].
Из результатов работы [62], доказанных эргодическими методами, основанными на теореме Ратнер о классификации инвариантных эргодических мер под действием унипотентных потоков, следует существование предела функции v (h) при h 0 в частном случае с 0 = 2. Этого недостаточно для доказательства изотропности и симметричности функции (r, v, u).
Рассматриваемая двумерная модель связана с теорией каналирования частиц, движущихся параллельно кристаллографическим плоскостям (см., например, [18, 22]).
Доказательства всех теорем базируются на явных арифметических конструкциях, построенных с помощью цепных дробей (см. раздел 1.1). Эти конструкции сводят исходные задачи к исследованию таких арифметических объектов, как суммы специального вида и системы неравенств.
Многократно приходится решать вопрос об асимптотическом поведении сумм для различных функций f. При этом используется стандартный подход, основанный на переходе к тригонометрическим суммам (см., например, [21]).
Пусть f записана в виде конечного ряда Фурье где конечные коэффициенты Фурье функции f. Тогда тождество где сводит задачу об асимптотическом поведении суммы (0.21) к оценкам сумм Клостермана (0.3). В диссертации используются утверждения (см. разделы 5.2–5.3 приложения), основанные на оценке Эстермана из работы [40]:
Доказательства каждой из теорем 1–6 разбиваются на случаи в зависимости от значений параметров. Например, при исследовании неравенR1/2 ] + 1/2 и x2 > ства (0.11) отдельно рассматриваются случаи x [R1/2 ] + 1/2. Идейно такой подход близок к круговому методу с его разбиением на большие и малые дуги. Отличие заключается в следующем: из условия x2 > [R1/2 ] + 1/2 вытекает, что y2 < R1/2 + 1 и, таким образом, “малые дуги” для переменных x1, x2 становятся “большими” для y1, y2. Как и в круговом методе, возникает необходимость изучения “особых рядов” (см., например, леммы 1.3, 1.7, 1.9, 2.5, 2.7, 2.9). Их слагаемыми являются остаточные члены различных асимптотических формул, а через их суммы выражаются константы в теоремах 1–6.
Пусть q натуральное число, l целое и f неотрицательная функция. Обозначим через T [f ] число решений сравнения xy l (mod q), лежащих в области P1 < x P2, 0 < y f (x):
выражаются в явной форме через известные арифметические постоянные.
Нахождение E(R) сводится к подсчету суммы При исследовании дисперсии возникает более сложная сумма которая вычисляется по-разному в случаях n Настоящая глава основана на работе [27].
Для изучения цепных дробей часто используются континуанты, которые определяются (см. [16]) начальными условиями Аналогичным соотношениям удовлетворяют числители и знаменатели подходящих дробей, поэтому По индукции легко проверяется свойство симметричности и равенство K(a1,..., am )K(am+1,..., an ) + K(a1,..., am1 )K(am+2,..., am+n ).
(В случаях, когда число аргументов в континуанте ясно из контекста нижний индекс в обозначении континуанта будет опускаться.) Наиболее общим является тождество Эйлера (m 1, l 0, n l + 1) K(x1,..., xm+n )K(xm+1,..., xm+l ) K(x1,..., xm+l )K(xm+1,..., xm+n ) = которое можно интерпретировать как равенство нулю пфаффиана вырожденной матрицы размера 4 4, см. [28].
Обозначим через M множество всех целочисленных матриц с определителем det S = ±1, у которых Оно разбивается на два непересекающихся подмножества M+ и M, состоящих из матриц с определителями +1 и 1 соответственно. В зависимости от контекста, если это не приводит к недоразумениям, мы будем использовать обозначения P, P, Q, Q вместо P (S), P (S), Q(S), Q (S) для элементов матрицы S в соответствии с (1.2).
Обозначим через N множество всех непустых конечных наборов (q1,..., qn ), составленных из натуральных чисел. Построим отображение положив Из рекуррентных соотношений на числители и знаменатели подходящих дробей следует, что S имеет вид (1.2) с Доказательство. Имеется единственная матрица из M с Q = 1 и для нее Пусть теперь S M, Q = Q (S) 2 и каноническое разложение в непрерывную дробь с qm+1 2. Если det S = (1)m, то поскольку P и Q однозначно определяются из равенства по тем же причинам Осталось только заметить, что при Q 2 имеется ровно два разложения (1.3) и (1.4) для P /Q в непрерывную дробь с натуральными числами в качестве неполных частных, последнее из которых может быть единицей.
Отметим также, что M полугруппа относительно обычного умножения матриц, и биекция B на самом деле есть полугрупповой изоморфизм.
При этом соответствующая операция на конечных наборах натуральных чисел.
В качестве инструмента для изучения свойств цепных дробей удобно использовать следующее утверждение, которое является видоизменением одной известной теоремы (см. [4, § 50, теорема 1] ).
Лемма 1.2. Пусть P целое неотрицательное число, P, Q, Q натуральные и Q Q. Предположим также, что действительное число из интервала (0, 1). Тогда следующие два условия эквивалентны:
(I) P/Q и P /Q последовательные подходящие дроби к числу, отличные от, причем дробь P /Q имеет больший номер;
Доказательство. Предположим, что выполнено первое условие. Соотношение P Q P Q = ±1 сразу вытекает из свойств цепных дробей.
Далее, так как находится между P/Q и P /Q, то для некоторых натуральных t1,..., ts (s 1) и действительного в пределах ts < < ts + справедливы формулы Второе из соотношений (II) следует из равенства Докажем утверждение леммы в другую сторону. Из условий (II) следует, что обе дроби P/Q и P /Q принадлежат отрезку [0, 1]. Поэтому раPP венство |P Q P Q| = 1 означает, что S = Q Q M. По лемме 1.1 для некоторых натуральных t1,..., ts (s 1) выполняются равенства (1.5).
Так как то находится между P/Q и P /Q. Значит, для некоторого Подставляя это равенство в условие 0 < Q+P < 1, получаем, что 0 < ts < 1. Значит, ts = [ ], и каждая из дробей P/Q и P /Q будет подходящей к числу.
Замечание 1.1. Аналогично проверяется, что если P 0, P, Q, Q 1 и Q Q, то условия равносильны тому, что дроби P/Q и P /Q являются подходящими дробями вида (1.5) к числу записанному в виде нестандартной цепной дроби причём Из леммы 1.2 и элементарных свойств непрерывных дробей вытекают следующие свойства множества M.
1. Для вещественного (0, 1) неравенство иj s(r) 2 для рационального = r.
2. Для всякой матрицы S M неравенство 0 < S 1 () < 1 задает длины 3. Пусть q1,..., ql натуральные числа и S = S(q1,..., ql ). Тогда число будет лежать в интервале I(S) в том и только том случае, когда s() > l и в каноническом разложении = [t0 ; t1,..., tl,... ] 4. Пересечение I(S) I(S ) непусто тогда и только тогда, когда один из интервалов содержится в другом. При этом, если I(S) I(S ), и S = S (q1,..., ql ), то для некоторого l > l и натуральных ql +1,..., ql будет выполняться равенство дополняющие в качестве первой строки, вторую (Q, Q ) до матрицы из M.
Кроме того, если
1.2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
то соответствующие матрицы имеют вид в множестве M.1.2. Асимптотическая формула для математического ожидания справедливы асимптотические формулы Доказательство. Заметим, что где Для суммы 0 методом производящих функций находится точное значение (см. [56]):
Кроме того, по лемме 5.5,
1.2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
Подставляя три последних равенства в формулу (1.9), приходим к первому утверждению леммы.Далее, применяя формулу обращения Мёбиуса и равенство (см. лемму 5.8 приложения), приходим к нужному представлению для суммы (R).
может быть представлена в виде где функция (R) задается равенством (1.8).
Доказательство. По лемме 1.2 для иррационального (0, 1) величина E(, R) совпадает с числом решений системы относительно неизвестных P, P, Q и Q, связанных неравенствами Отсюда, с учетом свойства 2 множества M, где I(S) () характеристическая функция интервала I(S) и M(R) множество матриц S M, для которых Q R.
множества M, дробь Q (Q+Q ) в сумме (1.14) появится ровно два раза. Для пары (Q, Q) = (1, 1) соответствующая дробь появится один раз. Следовательно, выполнено равенство (1.12).
Доказательство теоремы 1. Применяя к равенству (1.12) лемму 1.3, приходим к асимптотической формуле для E(R).
1.3. ВЫРАЖЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ЧЕРЕЗ СУММУ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
1.3. Выражение дисперсии через сумму специального вида справедливо представление где Доказательство. По формулам (1.13), (1.14), а также свойству множества M Опять опираясь на свойство 4 множества M, запишем матрицы S и S в виде Рассматривая отдельно случай Q = Q = 1 и пользуясь свойством 5, находим Из равенства и свойства 5 следует, что каждая пара чисел (q, q ) такая, что 1 q < q и (q, q ) = 1 будет второй строкой матрицы a+b m+n ровно для одной матрицы a m M.
1.3. ВЫРАЖЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ЧЕРЕЗ СУММУ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Поэтому, с учетом равенства (1.12), что доказывает утверждение леммы.Замечание 1.2. Для суммы (R) также справедливо представление:
Действительно, если S = S(q1,..., qn ), то матрицу S M, для которой I(S) I(S ), можно выбрать n 1 способом. Поэтому По свойству 4 множества M для фиксированных Q и Q (1 Q< Q, (Q, Q ) = 1) параметр n может принимать два значения s(Q/Q ) и s(Q/Q ) + 1. Таким образом что, с учетом равенства (1.16), доказывает формулу (1.17).
Для нахождения D(R) введем параметр U, лежащий в пределах U R. Сумму (R) представим в виде где и R1 = R/U.
Каждую из величин 1, 2 и 3 исследуем отдельно.
1.4. Вычисление трех вспомогательных сумм fS () будем обозначать функцию а через J1 (a, b, m, n) интеграл Далее штрих в суммах вида будет означать, что (в соответствии со свойством 5 множества M) при n = 1 из двух знаков в символе ± выбирается знак “минус”, а при n > 1 оба знака берутся независимо; под a в таких суммах будет подразумеваться дробь bm±1.
Лемма 1.6. Пусть n натуральное число. Тогда для суммы справедлива асимптотическая формула где Доказательство. При n = 1 утверждение леммы очевидно. Поэтому будем считать, что n 2. Так как то для суммы w1 (n) можно выписать более простое представление:
Далее применим лемму 5.14. Числа очевидно, удовлетворяют условиям (5.24), значит, Из леммы 5.5 следуют асимптотические формулы Подставляя их в равенство (1.23), приходим к утверждению леммы.
справедлива асимптотическая формула где Доказательство. Заметим, что Запишем сумму W1 (U ) в виде По лемме 1.6 с помощью оценки (1.28) находим:
Подставляя в последнее равенство формулу (5.4), приходим к утверждению следствия.
В дальнейшем также понадобятся асимптотические формулы для сумм A(U, 0), A(U, 1) и B(U, ), где и, согласно равенству (1.14), где Доказательство. Из равенства следует, что числа при любом [0, 1] удовлетворяют условиям леммы 5.14. Отсюда, как и при доказательстве следствия 1.1, получаем Поэтому, с помощью оценки (1.28), находим Подставляя в последнее равенство формулу (5.4), приходим к первому утверждению леммы.
Из равенства вытекает, что Снова применяя лемму 5.14, получаем b,m= Отсюда, так же используя оценку (1.28), находим Вновь применяя формулу (5.4), приходим ко второму утверждению леммы.
Лемма 1.8. Пусть (x) = 1/2 {x} и Тогда выполняется равенство Доказательство. По определению функции (x) Подставляя сюда значение суммы 0 из формулы (1.11), приходим к утверждению леммы.
Тогда для суммы где функция fS (t) определена равенством (1.21), справедлива асимптотическая формула где константа C1 определена рядом (1.27), Доказательство. Применяя лемму 5.5 к функции получаем Поскольку (k) = 0 для целых k, то Отсюда, учитывая обозначения (1.25), (1.29), (1.30), по лемме 5.5 находим Подставляя в последнее равенство асимптотические формулы для входящих в нее величин из следствия 1.1, теоремы 1 (A(U, 0) = E(R)), леммы 1. и применяя лемму 1.8, получаем утверждение леммы.
справедлива асимптотическая формула с теми же константами, что и в лемме 1.9.
Доказательство. Утверждение следствия получается, если воспользоваться леммой 1.9, равенством J2 (a, b, m, n) будем обозначать интеграл справедлива асимптотическая формула где, как и раньше, функция из леммы 5.14.
Доказательство. При n = 1 утверждение леммы очевидно. Поэтому будем считать, что n 2. Из равенства (1.22) следует, что Числа очевидно, удовлетворяют условиям (5.24). Поэтому, применяя лемму 5.14, находим Для завершения доказательства осталось заметить, что:
Подставляя их в формулу для w2 (n), приходим к утверждению леммы.
Аналогично следствию 1.1, из лемм 5.8 и 1.10 вытекает следующее утверждение.
справедлива асимптотическая формула где Лемма 1.11. Пусть 2 U R. Тогда для суммы 2, заданной равенством (1.19), справедлива асимптотическая формула где C4 константа из следствия 1.3.
Доказательство. Применяя к внутренней сумме по переменной Q лемму 5.7, находим Переходя от суммы по переменной Q к интегралу и делая замену переменной Q = Q, получаем Далее, так как Применяя следствие 1.3, приходим к утверждению леммы.
1.4.3. Вычисление суммы 3. Рассмотрим сначала вспомогательную сумму где CG некоторая абсолютная постоянная и Доказательство. Перепишем сумму G() в виде где и () определено равенством (1.7).
Для вычисления суммы G1 () воспользуемся формулой (5.3):
где Для вычисления G2 () заметим, что, согласно лемме 5.9 и равенству (5.3), Поэтому где Сумму G3 () представим в виде где После перемены порядка суммирования в сумме G3,1 () находим
«