61 '0^/- "//53'/

м о с к о в с к и й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра радиофизики

На правах рукописи

УДК 621.372; 621.373

Чупраков Дмитрий Арефьевич

ФОРМИРОВАНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОЛИТОНОВ В СРЕДАХ

С КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

(01.04.03 - радиофизика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор С У Х О Р У К О Е А. П.

Москва - о ГЛ А В Л ЕИИ Е

РЕШЕТКИ В К В А Д Р А Т И Ч Н О - Н Е Л И Н Е Й Н О Й

СРЕДЕ..

1.1 Аналитическое описание модуляционной неустойчивости плоских волн первой и второй гармоник 7.1.1 Трехчастотное. взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью.., 1.1.2 Описание модуляционной неустойчивости плоских волн 1.2 Численное моделирование возбуждения решетки скрещенными пучками основной частоты 1.3 Динамика формирования решетки солитонов 1.4 Области генерации периодической решетки. Квазисолитонная антенна в дальней зоне

ГЛАВА 2. А С И М М Е Т Р И Ч Н Ы Е ВОЗМУЩЕНИЯ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СОЛИТОНА

2.1 Описание взаимодействия несоосных пучков первой и второй гармоник. Модель пучков - квазичастиц 2.2 Феноменологическая модель диссипативного взаимодействия эффективных частиц 2.3 Численное изучение взаимодействит пучков первой и второй гармоник при рассогласовании осей, амплитуд и относительной фазы.... 2.4 Модель двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода \ 2.5 Симметричные и асимметричные моды солитона 2.6 Численное изучение распространения асимметричного возмущения.

Расчет параметров переключения солитона

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

СОЛИТОНОВ 3.1 Аналитическое описание взаимодействия параметрических СОЛИТОНОВ. Теория эффективных частиц 3.2 Оценка параметров солитонной спирали и частичного расщепления пучков в солитоне 3.3 Численное моделирование закручивания солитонов в двойную и тройную спираль 3.4 Наблюдение относительного смещения центров параметрически Q связанных пучков солитона при взаимодействии

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

СВЯЗАННЫХ ПУЧКОВ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ

ГАРМОНИК в вЕДЕНИЕ Стремительный рост информацио1|ных технологий ставит задачу поиска многоканальных носителей информации и оптических переключателей, способных работать в условиях предельной компактности и огромной скорости. Это приводит к тому, что оптические солитоны и возбуждаемые периодические структуры относятся к объектам самых активных исследований пространственные параметрические солитоны, распространяющиеся в средах с квадратичной нелинейностью. В отличие от одноцветных солитонов на кубичной нелинейности, квадратичные солитоны представляют собой три (в вырожденном случае два) параметрически связанных волновых пучка, частоты обмениваются энергией и нелинейный отклик среды целиком идет на компенсирует их дифракционное расплывание, и солитон представляет собой самоиндуцированный волновод с неизменным амплитудным профилем. При этом следует отметить, что волновые пучки могут иметь планарную (1+1) D или двумерную (2+1) D поперечную структуру. В силу пространственновременной аналогии свойства пространственных солитонов переносятся на временные или пространственно-временные солитоны при учете линейной дисперсии 2-ого порядка.

предсказаны около 30 лет назад [5]. Однако, не смотря на это, длительное время не было экспериментального подтверждения их существования. В центре внимания ученых и специалистов находились кубичные солитоны [6Исследования нелинейных свойств кубичных солитонов способствовали внедрению новых практических применений световых пучков. Среди них и расстояния [7,10,12], и создание элементов чисто оптического переключения на основе пространственных солитонов [1,6,7,11,15-26] и др. Однако в керровских средах устойчивы к малым возмущениям только одномерные, (1 + 1)D, солитоны, солитоны в объемных керровских средах оказались принципиально неустойчивыми [27-30]. Только при ; участии более высоких порядков солитоны [15,31-33].

С появлением первых экспериментальных наблюдений солитона на квадратичной нелинейности, опубликованных в 1995 г. [34,35], интерес многих исследователей переместился на квадратичные солитоны. Это связано с тем, что они имеют низкий порог возбуждения [36,37], и высокую стабильность в пространственным искажениям профиля [52] и неоднородностям среды [53Немаловажным фактором является многообразие природных кристаллов с квадратичной нелинейностью [1]. Хотя солитоны в квадратично-нелинейных средах имеют в общем случае трехчастотную структуру [46,49,50,61,62,63], в большинстве теоретических и экспериментальных работ рассматривались гармоник [2,4,35,40,41,43,51,52,55,64-78,79,82,85,101,104]. Условия возбуждения, точные решения для огибающих и области устойчивости квадратичных солитонов были найдены и детально изучены за последнее время [40,41,43,47-49,50,79-85]. Система уравнений для огибающих волновых пучков в квадратично-нелинейной' среде относится к классу неинтегрируемых систем, и это приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классических моделях НУШ. Среди них - неупругое взаимодействие солитонов, всегда сопровождаемое излучением части мощности, эффект взаимодействия квадратичных солитонов создает основу для чистооптического пространственного переключения световых пучков. Эпоха квадратичных солитонов знаменательна тем, что при изучении их свойств затрагивались не только планарные, но и трехмерные взаимодействия пространственных солитонов [1,16,17,19,21,23,25,41,86-100]. В определенном смысле можно говорить о траекториях, описываемых центрами поперечных сечений пучков. При этом оказывается полезным использовать аналогию с взаимодействием механических частиц, хотя в общем случае следует помнить, что при изменении положения солитонов в пространстве меняются и их фазы, что может оказать заметное влияние на их динамику. В зависимости от типа (расстояние между пучками, углы наклона осей) траектории могут иметь самый разнообразный вид [23,91,93,94,100]. Среди разных типов непланарных пространственных солитонов в спираль: если два притягивающих друг друга солитона наклонены так, что их волновые вектора лежат в параллельных плоскостях и наклонены в разные стороны под определенным углом, то пучки образуют структуру, напоминающую двойную спираль ДНК [17,87,90,91]. На кубичной нелинейности с насыщением [16,17,19], в фоторефрактивных кристаллах [87] и совсем недавно в квадратично-нелинейной среде [92,100] спиральное вращение пары солитонов наблюдалось экспериментально.

Аналитическое описание различных типов непланарных взаимодействий пространственных солитонов приводилось в [6,23,90,93]. Напомним, что предсказать динамику их взаимодействия нельзя. Однако, адекватное описание движения солитонов в приближении слабого перекрытия огибающих возможно при помощи модели эффективных частиц [6,93]. Это позволяет пренебречь возмущением солитонных профилей в процессе взаимодействия и свести описание движения солитонов к движению их центров. Однако такая модель требует дополнения и обобщения. Так, например, не учитывалось влияние солитонами, так что эффект особенно велик на малом расстоянии, когда наклон пучков значителен. Не учитывалась также внутренняя степень свободы у системы взаимодействующих солитонов засчет смещения пучков внутри каждого солитона. Резюмируя сказанное, ясно, что нужна более строгая модель, учитывающая векторную расстройку волновых векторов и расщепление связанных в солитоне пучков. Тем не менее, все эти научные исследования выдвинули параметрические солитоны на первый план. Их уникальные свойства создали новую основу для разработки и реализации чисто оптических методов переключения с использованием взаимодействия как одномерных, так и двумерных пучков.

Еще одним механизмом переключения пространственного солитона является асимметричное искажение его огибающей. Среди примеров такого искажения - взаимное смещение, ^наклон пучков параметрического солитона.

При этом следует ожидать ряда новых эффектов, приводящих к зависимости положения и направления распространения солитона от величины начального смещения и угла наклона пучков гармоник. Кроме того, возникновение относительной фазы между смещенными пучками должно приводить к появлению либо активной перекачки'энергии между пучками, либо смене знака взаимофокусировки между пучками. Все эти эффекты должны вызвать, вообще говоря, сдвиг и изменение направления распространения солитона.

Возбуждение солитонов в названных случаях еще не было рассмотрено.

В волноводных системах принято рассматривать электромагнитное поле как суперпозицию собственных мод волновода. Для пространственного солитона такая аналогия была бы очень продуктивна, тем более, что попытки исследовать собственные моды солитона уже предпринимались [101]. В частности, была обнаружена и детально изучена внутренняя симметричная пространственные осцилляции его профиля [102-104]. Амплитуда моды влияет на размах пространственных осцилляции пиковой амплитуды и ширины захваченных пучков. В общем случае, если известен набор собственных мод солитона, можно определить вклад его возмущения в возбуждение той или иной моды, и как следствие, рассчитать изменение того или иного внутреннего параметра солитона.

Другой актуальной проблемой в физике нелинейных волн является модуляционная неустойчивость. Сильная нелинейность может приводить к распаду волны, как во времени [105-111], так и в пространстве [ 10,24,28Результатом пространственной неустойчивости становится формирование разнообразных поперечных структур, в том числе периодически-регулярных [111,112,115,127,132,133]. Наиболее интересным и интенсивно изучаемым механизмом генерации таких структур на протяжении уже более 30 лет является модуляционная неустойчивость пучков, впервые обнаруженная Беспаловым и Талановым в середине 60-х годов [28]. Её суть в том, что малые пространственные возмущения поля плоской волны, находящиеся в определенной ограниченной области спектра пространственных частот, усиливаются по мере распространения, и плоский фронт волны постепенно превращается в структуру маленьких субпучков. Если область неустойчивых пространственных частот достаточно узка, распадная структура имеет вид периодической решетки. Строго говоря, вид такой структуры определяется пространственным спектром начального возмущения, полем волны и параметрами среды [108,114,116,129,141].

Первые исследования, модуляционной неустойчивости проводились в кубично-нелинейных средах с керровской нелинейностью [28,29,107,142]. Изза сильной самофокусировки (2+1) D пучка исследователи прибегали к разным фазовая [129,130,132,134,137,138,139] или поляризационная [143] модуляция пучка. Лишь сравнительно позднее такие структуры начали наблюдаться в фоторефрактивных [113,114,132] и квадратично-нелинейных [110,111,115средах. Поперечный распад нелинейных волн немало изучался теоретически в приближении малого возмущения плоских одномерных стационарных волн [106,135,141,144]. Каждая пространственная гармоника такого возмущения усиливается экспоненциально по амплитуде и решение линеаризованных уравнений относительно возмущения позволяет вывести соотношение между инкрементом неустойчивости, амплитудой плоской волны и периодом структуры [141]. Специальные исследования экспериментально [115] и численно [133] подтвердили экспоненциальный характер роста малого возмущения у широкого пучка в пленарном волноводе.

Аналогично системе (1+1) D волн, анализ модуляционной неустойчивости может быть проведен для системы (2+1) D волн.

Для распада двумерного пучка на вход объемной квадратично-нелинейной среды обычно подается эллиптический пучок основной частоты, малая и большая оси которого выбираются таким образом, чтобы распад пучка при заданной интенсивности мог происходить лишь вдоль направления большой оси [115,121,125,127]. Для этого размер вдоль большой оси пучка должен в несколько раз превышать диаметр солитона для заданной интенсивности и параметров среды, а другой поперечный размер пучка следует задать не больше этого характерного размера. Может оказаться практически важным получать на выходе решетку с заданным пространственным периодом. Для этого достаточно слабо промодулировать начальный профиль пучка с скрещенных пучков, в которой мощный пучок пересекается на входе в нелинейную среду с другим более слабым наклонным пучком. Такая схема Малендевичем при изучении модуляционной неустойчивости на планарном теоретически мало исследованной распадная неустойчивость эллиптического пучка в двумерной среде, наблюдавшаяся в экспериментах Стегемана [115].

Динамику развития неустойчивости нестационарных пучков не удается описать аналитически, и на первый план здесь выступают численные эксперименты. При исследовании поперечного распада пучков важен учет конкурирующих с модуляционной неустойчивостью взаимофокусировки, дифракции и нелинейных аберраций, также приводящих к разбиению пучка.

Так, в работе [127] уже анализировалось влияние взаимофокусировки и возмущенного наклонными пучками при отсутствии второй гармоники на входе, а в работе [111] рассматривалась неустойчивость пучков при наложении гауссовых шумов и учете временного ограничения пучка. Немало внимания уделялось также зависимости количества субпучков в решетке от размеров и интенсивности эллиптического пучка [115,127].

Тем не менее, задача модуляционной неустойчивости двумерных пучков в квадратично-нелинейной среде оставляет еш,е много непонятного и невыясненного. Среди открытых вопросов - области параметров формирования решетки (длина, пространственная частота, амплитуда пучка, расстройка волновых векторов), влияние неоднородного профиля, взаимофокусировки, дифракции и нелинейной аберрации исходного пучка на формирование квазисолитонной решетки, и, как следствие, остается открытым вопрос об устойчивости оптической решетки при распространении. В силу того, что развитие модуляционной неустойчивости пучков в режиме генерации второй гармоники не поддается аналитическому описанию, полезной оказалась бы оценка инкремента модуляционной неустойчивости и области возбуждения решетки при тех или иных параметрах пучков и среды.

В силу сложности аналитического решения поставленных задач, требуется развитие методов численного моделирования и различных как точных, так и приближенных аналитических подходов: метод возмущений, вариационный метод, метод моментов и т. д.

параметрических солитонов и нелинейных оптических структур была выполнена данная диссертационная работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 169 наименований. Общий объем работы составляет страниц, включающих 39 рисунков.

Цель работы.

аналитической теории и проведение численного моделирования синхронного параметрического взаимодействия волновых пучков первой и второй гармоник.

когда дифракция компенсируется самофокусировкой на квадратичной нелинейности, и образуются пространственные структуры и солитоны. В диссертации рассматриваЕОтся три круга вопросов: формирование одномерных периодических нелинейных решеток, возбуждение асимметричных мод параметрического солитона, а также динамика взаимодействия и переключения солитонов. В соответствие с поставленной целью было намечено решение следующих практически важных з^дач:

- Определение областей формирования и устойчивости периодической квазиодномерной оптической решетки вследствие модуляционной неустойчивости эллиптических пучков первой и второй гармоник.

- Изучение динамики захвата несоосных пучков первой и второй гармоник в солитон, развитие теории асимметричных мод квадратичного солитона, оценка параметров переключения солитона в приближении малого искажения профиля.

- Построение теории взаимодействия параметрических солитонов как эффективных квазичастиц с учетом векторного рассинхронизма наклонных пучков и относительного смещения пучков разных частот.

В первой главе исследуется модуляционная неустойчивость двумерного пучка на основной частоте с эллиптическим сечением, возмущенного слабым наклонным пучком той же частоты. В результате интерференции наклонных пространственная частота лежит в области неустойчивых частот, оно начинает усиливаться по мере распространения волны и приводить к распаду пучка на периодическую одномерную структуру. В главе детально изучается формирование решетки в квадратично-нелинейной среде при разной частоте модуляции исходного профиля пучка. В связи с тем, что такая решетка неоднородна, она разрушается взаимодействием соседних субпучков, конкуренцией дифракции, взаимофокусировки и нелинейной аберрации исходного пучка. Однако для параметров среды и падающего пучка существует определенный диапазон пространственных частот, в котором формируется регулярная квазисолитонная решетка. Таким образом, в главе определяются области параметров (пространственной частоты модуляции, амплитуды пучка, расстройки волновых векторов), при которых на выходе нелинейной среды формируется периодическая решетка. Найденные области генерации решетки сравниваются с областями модуляционной неустойчивости плоских волн.

Изучается эволюция такой структуры в дальней зоне при разных фазовых Во второй главе рассматриваются различные механизмы переключения пространственного солитона вследствие нарушения соосности пучков первой и второй гармоник и асимметричного искажения его огибающей. Если два пучка, распространяющиеся соосно в солитоне слегка рассогласовать, так что их оси будут либо слегка наклонены, либо сдвинуты друг относительно друга, можно наблюдать затухающие биения пучков, сопровождаемые излучением части световой энергии. В результате захваченный солитон изменяет свое положение, оказывается наклоненные и слегка смещенным. Развитая диссипативная теория квазичастиц позволяет описать малые смещения и наклон захваченных относительной фазы и амплитуды смещенных пучков характер переключения предлагается альтернативная модель двухкомпонентного прямоугольного асимметричных мод, которая объясняет изменение внутренних параметров асимметричные моды пространственного солитона вызывают постоянное соответственно. С помощью численного моделирования в главе изучается асимметричном возмущении пучков на входе.

взаимодействия двумерных пространственных солитонов на квадратичной нелинейности. Предлагается простой подход к построению аналитической модели взаимодействия пространственных трехмерных солитонов, основанный на анализе Лагранжиана системы уравнений распространения пучков первой и второй гармоник. В этой теории пространственные солитоны представляются как эффективные частицы, имеющие эквивалентную массу, кинетическую и потенциальную энергию взаимодействия. Скорость движения солитоновквазичастиц играет роль угла отклонения от оси распространения. Если пренебречь искажениями профилей солитонов при слабом взаимодействии, то потенциальная энергия взаимодействия солитонов выражается в виде интеграла перекрытия солитонных огибающих и зависит только от расстояния между центрами солитонов. Следовательно, центры взаимодействующих солитонов в плоскости поперечных координат описываются уравнениями движения для эффективных частиц в механике. Состоятельность предлагаемой модели солитонов - частиц подтверждается результатами численных экспериментов. В работе рассматриваются различные типы взаимодействий, такие как слияние, рассеяние и закручивание в пространственную спираль.

Главное внимание уделяется изучению формирования солитонной спирали, потому что именно спиральное вращение позволяет изучить свойства сил взаимодействия между солитонами. При детальном анализе профилей взаимодействующих солитонов был обнаружен, аналитически и численно исследован эффект относительног^о смещения центров параметрически связанных в солитоне пучков основной и второй гармоник друг относительно друга.

диссертационной работы.

Научная новизна работьи заключается в следующем:

- Найдены области параметров (амплитуда пучка, пространственная частота поперечной модуляции, расстройка волновых векторов), при которых вследствие модуляционной неустойчивости эллиптических пучков образуется периодическая структура, существующая в ограниченной области квадратичнонелинейной среды.

- Разработана теория асимметричных мод низшего порядка на основе метода возмущения и модели связанных диэлектрических волноводов, имитирующих свойства солитона. Получено хорошее согласие спектров мод, рассчитанных по двум моделям.

- Для описания динамики взаимодействия и определения координат и угла наклона солитона после захвата несоосных пучков первой и второй гармоник предложена диссипативная модель эффективных квазичастиц.

- Впервые обнаружено частичное расщепление параметрического солитона при их сильных столкновениях. Построена последовательная модель квазичастиц для аналитического описания непланарного взаимодействия квадратичных солитонов с учетом векторной фазовой расстройки у наклонных пучков и относительного смещения пучков в солитоне.

Научная и практическая зиачврмость работы:

- Поперечная модуляционная неустойчивость двумерного эллиптического пучка в среде с квадратичной нелинейностью может использоваться для формирования регулярной периодической структуры из близко расположенных пучков. Солитонную антенну можно использовать в многоканальных системах интегральной и волоконной оптики.

- Отклонение несоосных пучков основной частоты и второй гармоники при их захвате в солитон является одним из методов переключения. Анализ спектра мод позволяет определить 1^зменение параметров солитона под влиянием того или иного возмущения его профиля.

- Модель связанных диэлектрических волноводов, копирующих свойства параметрического солитона, хорошо описывает возбуждение симметричных и асимметричных мод при малых возмущениях амплитудного и фазового профилей пучков.

- Модель солитонов в виде параметрически связанных квазичастиц с хорошей точностью описывает спиральное закручивание, рассеяние, и слияние пучков, а также разделение пучков двух гармоник внутри солитона. Эффекты взаимодействия могут применяться для чисто оптического переключения световых пучков.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на VI, VII и VIII Всероссийских (Красновидово, 1998, 2000, 2002 гг.), VII и VIII Всероссийских школахсеминарах "Физика и применение микроволн" (Красновидово, 1999, 2001 гг.), V и VI Международных школах по хаотическим колебаниям и образованию структур «Хаос'98» (Саратов, 199^8 г.) и «Хаос 2001» (Саратов, 2001 г.), Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов - 99" (Москва, 1999 г.). Международной конференции «Нелинейные направленные волны и их применения» (Дижон, Франция, 1999 г.). Международной конференции «Перспективные лазерные технологии» (Потенца-Лече, Италия, 1999 г.), научной школе Института перспективных исследований НАТО "Фотоника управляемых солитонов" (Свиноустье, Польша, 2000 г.), IX и X международных конференций "Оптика лазеров" (Санкт-Петербург, 1998 и 2000 гг.). Международном конгрессе '^Оптика - XXI Век" (Санкт-Петербург, 2000 г.), Международном оптическом конгрессе "Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2000 г.), II Международной конференции "Фундаментальные проблемы в физике" (Саратов, 2000 г.), II Международной конференции «Современные направления в вычислительной физике» (Дубна, 2000 г.), XVII Международной конференции по квантовой электронике и применениям лазеров (Москва, 2002 г.). Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры радиофизики физического факультета МГУ.

Основные результаты диссертации изложены в статьях [91,98,146-149] и тезисах докладов [150-169].

ГЛАВА 1. ГЕНЕРАЦИЯ КВАЗИОДНОМЕРИОЙ ОПТИЧЕСКОЙ

РЕШЕТКИ В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

Поперечная неустойчивость пучков, известная уже более 30 лет со времени работы Беспалова, Таланова [28] наблюдалась и исследовалась в различных средах с кубичной нелийейностью [28,29,112,126,129,130,135-139], фоторефрактивных средах [113,114,132]. Не менее активный интерес пробудился и к эффектам распада параметрически связанных волн в средах с квадратичной нелинейностью [ 106,111,115,116,120-122,125,127,128,131,133].

периодичностью, определяемой пространственным спектром начального затруднительно и на первый план здесь выступают численные эксперименты.

Однако развитие модуляционной неустойчивости может быть описано для системы параметрически связанных плоских стационарных волн. При этом пространственного спектра, растут экспоненциально с инкрементом, зависящим от частоты, амплитуды волн и нелинейности среды [141].

В настоящее время остается теоретически мало исследованной распадная неустойчивость эллиптического пучка в объемной среде, наблюдавшаяся в экспериментах Стегемана [115]. Эта экспериментальная группа использовала схему скрещенных пучков основной частоты для развития поперечной неустойчивости с заданным пространственным периодом. Применяя такую же схему для возбуждения решетки, в настоящей главе аналитически и численно изучается модуляционная неустойчивость эллиптических пучков первой и второй гармоник. Находится область параметров (пространственных частот модуляции, амплитуды пучка и расстройки волновых векторов) для ге1^ерации решетки оценивается областью модуляционной неустойчивости плоских волн.

дальние расстояния.

1.1 Аналитическое описание модуляционной неустойчивости плоских волн первой и второй гармоник /. /. 1 Трехчастотное взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью Распространение монохроматических электромагнитных волн в объемной нелинейной среде описывается уравнением Гельмгольца:

где ЕJ - вектор напряженности электрического поля, Р"" - вектор нелинейной круговые частоты волн, с - скорость света.

Пусть имеется среда, обладающая квадратичной нелинейностью, и на ее границу падает плоская монохроматическая волна частотой Л), то в такой среде возможен процесс генерации второй гармоники. Если генерацией высших распространяются только две волны - на основной и удвоенной частотах:

У = 1, 2; (У| = С ; cUj = 2ш. Однако на практике в большинстве случаев имеют аналитическое решение нелинейного волнового уравнения Гельмгольца ( Ы ) в общем виде не удается. Для описания нелинейного распространения волновых пучков воспользуемся приближенным методом медленно меняющихся амплитуд (ММА).

Рассмотрим стационарное взаимодействие волновых пучков 1-ой и 2-ой гармоник с узким угловым спектром. Метод ММА заключается в том, что в слабо нелинейной и слабо поглощающей среде амплитуды волн будут медленно изменяющимися функциями координат. Представим поле пучков в виде квазиплоской волны, тогда:

где е. (7=1,2) - единичный вектор в направлении поля, z - продольная координата, 1 i\ у - поперечные координаты, А. - комплексная, медленно изменяющаяся амплитуда у-ой гармоники, k^=conJc, ATJ = 2ft)«2/—I—1—I—I—I Рис. 1.3. Область значений пиковой амплитуды и частоты модуляции входного пучка, при которых на выходе квадратично-нелинейной среды образуется периодическая решётка.

Расстройка волновых векторов Ак = —5. Длина среды L = 4 /^. Критерий V > '/г.

Пунгктирными линиями охвачена область формирования решетки в приближении плоских волн.

Рис. 1.4. Область значений фазовой расстройки волновых векторов и частоты модуляции пучка, при которых на выходе образуется периодическая решётка. Пиковые амплитуды пучков на входе 4.0 и 0.1. Длина среды L = 4/^. Критерий V > 'Л.

Рис. 1.5. Эволюция пучка основной частоты в квадратично-нелинейной среде на больших расстояниях при пересечении пучков с пиковыми амплитудами 4.0 и 0.1 па входе в среду под углом к, (70 = 3. Расстройка волновых векторов: (а) А ^ = - 1 5, ( б ) А ^ = 0.

где x^j{z) - центр поперечного сечения пучка, Xpj{z) - координата нулевой фазы, 0j(z) -наклон фазового фронта пучка. Подставляя (2.2) в (1.5), легко положения центра x„j и наклона Oj пучков:

^.i=0i-Pi(62-0i). ' W,=-2yll{B^(x,y)xB,{x,y))dxdy, P = -2YJDI^ дифференцирование по z. Система (2.3) неполна и для однозначного решения должна быть дополнена ещё двумя независимыми уравнениями. В качестве недостающих уравнений можно возьмем следующие два инварианта задачи: х ую составляющую поперечного момента системы параметрически связанных поперечным координатам. Из (2.4) легкФ вывести следующие соотношения для угла наклона пучков 0^. и координат центров амплитудных профилей x^j:

Уравнения (2.3) и (2.5) дают простейшую модель пучков - частиц, притягивающего потенциала:

WiUn2-Xn\\) = -^rll{B'(x-xJxB^(x-x„^))dxdy

РОССИЙСКАЯ

о п р и малых смещениях пучки-частицы с массами ntj осциллируют вблизи дна потенциальной ямы:

где WQ = W(0)0.2 наклон солитона зависит от смещения нелинейно, и результаты расчёта по формуле (2.13 а) не совпадают с данными численного эксперимента.

Это происходит потому, что при большом смещении пучков начинает работать иной, более сложный механизм взаимодействия пучков, схематически изображенный на Рис. 2.6. Дело в том, что при смещении одного пучка относительно другого образуются области, где та или иная гармоника истощена. Как следствие, там начинают происходить перекачки энергии из одной более мощной гармоники в другую, которая в этой области мала. Хотя этот механизм также приводит к взаимным колебаниям амплитудных профилей пучков, он достаточно сложно перестраивает амплитуду и фазу пучков и приближение частиц перестает отвечать эксперименту. В этом случае необходимо прибегнуть к другой, более точной, волноводной модели, о которой пойдет речь ниже, в оставшейся части этой главы.

Такова же причина того, что пространственный период у колебательной системы параметрически связанных пучков начинает изменяться. Хотя поперечные колебания все еще имеют место при больших смещениях, их механизм становится уже сугубо волновым и не поддается описанию простой пространственного периода осцилляции пучков от начального смещения их центров. На том же графике показана значение периода осцилляции, которую дает диссипативная модель для данного солитона:

Ясно, что смещенные пучки теряют часть мощности на излучение, прежде чем сформируют солитон. Причем величина захваченной мощности снижается при увеличении смещения пучков. Если пучки не достаточно мощные, то при определенном критическом смещении они перестанут захватываться.

Тенденция снижения захваченной мощности почти до 60 % при увеличении смещения пучков подтверждена численными экспериментами вплоть до критической величины, когда мощности для формирования солитона уже не хватает (см. Рис. 2.8).

углового момента и Гамильтониана пучков при захвате пучков в солитон.

Оказалось, что качественное поведение всех этих величин, не зависит от величины смещения пучков и отличается, только количественно. На рис. 2.7показаны траектории движения этих величин.

относительной фазой (ДФ = Ф 2 - 2 Ф, ). Такое поле уже нельзя считать слабо возмущенным, так как в солитоне относительная фаза и амплитуды пучков жестко связаны друг с другом. В связи с этим, теория квазичастиц не может описать характер захвата расстроенных таким образом пучков в солитон, поэтому ограничимся здесь лишь численными экспериментами.

Сначала изменялась относительная фаза АФ = Ф ^ - 2 Ф, пучков. Как можно видеть из анализа уравнений (1.5) в пренебрежении дифракционными членами, разность фаз существенно влияет на характер взаимодействия между пучками. При отстройке от солитонного значения АФ = 0 между пучками начинается активное взаимодействие, которое достигает максимального значения при фазе А Ф = л : / 2 и АФ = Зл-/2 и профили начинают быстро искажается вследствие обмена энергией между гармониками. Интересно, что в независимости от величины начального смещения при фазе АФ = Зл"/2 в системе смещенных пучков получают рождение два солитона, идущих под большими углами относительно оси z. При уходе в одну сторону от значения этой фазы генерируется только один солитон, второй же недополучает достаточной для захвата мощности и диф^загирует. При уходе в другую сторону происходит захват солитона с другой стороны. Изменение направления солитона при разной относительной фазе смещённых пучков изображено на Рис. 2.12. Оно имеет один и тот же вид для любых смещений между пучками, отличается лишь величиной отклонения солитона.

Далее, изменялась пиковая амплитуда пучка а^ первой гармоники при фиксированной фазе АФ = 0 и начальном смещении пучков А = 0.5. В ходе этой серии численных экспериментов была обнаружена плавная, монотонная перестройка направления солитона в зависимости от амплитуды пучка а^Е^ (Рис. 2.12). Отметим, что переключение наиболее чувствительно к амплитуде, когда мощность пучка первой гармоники мала ( « j « 1 ).

Рис. 2.5. Зависимость угла распространения солитона от смещения (треугольники) и угла скрещивания (кружки) входных пучков. Сплошные линии расчёт по формуле (1.18).

Рис. 2.6. Перекачка энергии между гармониками в областях истощения поля, вызванного взаимным смещением пучков солитона. Сплошная линия - профиль пучка основной частоты, пунктирная линия - второй гармоники.

Рис. 2.7. Зависимость пространственного периода осцилляции пучков Лот величины начального смещения их центров d (кружки). Штрих-пунктирная линия - расчет периода по формуле (2.15).

Рис. 2.8. Доля захваченной в солитон(мощности пучков первой и второй гармоник при разном смещении их центров на входе.

Рис. 2.9. Эволюция захваченной пучками мощности в зависимости от смещения между центрами пучков. Начальные смещения центров пучков равны 0.1а, и 0.25а,. АА: = О.

Рис. 2.10. Эволюция Гамильтониана, захваченный пучками, в зависимости от смещения центров пучков. Начальное смещение центров пучков равно 0.1 а, и 0.25а,. А/с = О.

Рис. 2.11. Эволюция поперечного момента, захваченного пучками, в зависимости от смещения центров пучков. Начальное смещение центров Рис. 2.12. Угол распространения солитона в зависимости от фазы (кружки) и амплитуды (треугольники) смещённых пучков.

2.4 Модель двухкомиоиеитиого прямоугольного диэлектрического До этого в главе предлагался полуаналитический подход, основанный на квазичастиц.

диэлектрический волновод, состоящий из двух диэлектрических волноводов прямоугольного сечения. Оси волноводов совпадают, как в солитоне, а их ширины и показатели преломления равны ширинам и пиковым амплитудам пучков солитона соответственно, Ti.e. «^ = В (0), / • = а.

Найдем собственные моды такого волновода. Решение задачи будем искать в виде:

где Uj{x), Uj{x) - действительные функции поперечной координаты, q> действительные числа. Тогда для \х\ < Ij из (2.19) имеем:

Для \x\ > IJ имеем:

Из уравнений (2.17) легко находятся огибающие Uj,Uj для области \x\d X Второй параметр, угол отклонения направления распространения солитона А0, может быть определен по формуле:

Для изучения динамики распространения асимметричного возмущения в солитоне сначала были выполнены численные эксперименты со скрещенными и смещенными пучками первой и второй гармоник:

где л;д. и в:

- координаты центра и угол наклона у-го пучка солитона, а огибающие пучков имеют вид [5]:

Вначале проводился эксперимент с пучком основной частоты, смещенным на ^:„j=Ax/7/r, и считалось, что положение солитона совпадает с положением пучка второй гармоники, т.е. х ^ 2 = 0, 01=02=0. При этом пучок первой гармоники возмущен следующей действительной затравкой:

При распространении в солитоне возмущение (2.45), схематично изображенное на Рис. 2.17 а, возбуждает волну на другой частоте, и две гармоники эффективно взаимодействуют. При этом после активной перекачки энергии между гармониками и излучения мощности в окружающую среду, часть действительного возмущения остаётся навсегда запертой в волноводе (Рис.

2.17 б). Запертое в солитоне поле имеет строго определенный асимметричный профиль на обеих гармониках и сохраняет его при распространении. Иными словами, возмущение (2.45) возбуждает стационарную асимметричную моду в виде (2.39), которая описывает малое смещение солитона по поперечной координате. Это смещение можно рассчитать по формуле (2.41), которая в данном случае приобретает следующий, более простой вид:

A J S A X FF

На Рис. 2.18 показан график зависимости поперечного смещения солитона от начального сдвига пучка основного излучения, на котором видно, что расчет по формуле (2.46) с высокой точностью описывает результаты экспериментов.

Далее проводился другой эксперимент, в котором пучок основной частоты падал под некоторым углом в^ =вр-/}, при условии, что х^^ =х^2 -О» ^2-^Возмущенным снова выбирается пучок основной частоты, однако, в этом случае возмущение чисто мнимое и имеет вид (см. Рис. 2.17 а):

Поле в солитоне при этом ведет себя уже по-другому. После генерации второй гармоники и излучения части мощности,, в волноводе солитона возбуждается неустойчивая мода, описываемая (2.40). Относительная фаза такой моды уже не сохраняется, а ее амплитудный профиль приобретает вид трансляционной моды, которую она линейно усиливает, что видно из (2.40). Эволюция мнимого возмущения (2.47) представлена на Рис. 2.17 в. Возбуждение наклонной моды эквивалентно повороту фазового фронта солитона на некоторый угол, который может быть получен из формулы (2.42). Для описанного эксперимента формула (2.42) переходит в более простую зависимость:

В численных экспериментах для разного угла падения пучка основной частоты регистрировался угол генерируемого солитона. Расчет по формуле (2.48) также как и в предыдущем случае, точно описывает экспериментальные данные (см. Рис. 2.19).

В дальнейших численных экспериментах на солитон накладывалось явное возмущение в виде:

где «01 " действительная амплитуда, а ^j - фаза возмущения. При этом возмущение касалось только пучка основной частоты солитона. Амплитуда возмущения MJQ задавалась в широком Диапазоне от малых значений до больших, когда сильные искажения амплитудно - фазового профиля пучков препятствовали захвату в солитон. При действительном возмущении {(р^=0) с увеличением U^Q солитон смещался по (поперечной координате линейно, пока амплитуда возмущения не становилась сравнимой с амплитудой самих пучков солитона (2.44). При сильном амплитудном возмущений '(Ел9)'появлялся заметный наклон пучков, который нарушал линейное смещение солитона.

Далее, при задании возмущения, содержащего одновременно действительную и мнимую части вида (2.49) {(pi = 7u/4), проводились измерения наклона солитона. В этом случае оценка угла наклона оставалась верной как для малых, так и для больших амплитуд возмущения вплоть до значения U^Q^S, когда наклонные пучки оказывались сильно не когерентными, и захвата в солитон не происходило. Результаты проведенных экспериментов с возмущенными пучками приведены на Рис. 2.20 вместе с теоретической оценкой параметров солитона по формулам (2.41-2.42).

Как уже упоминалось, малый наклон солитона возникает не только при мнимых возмущениях, но также действительном возмущении. Поэтому, в завершение, было проведено сравнение величины угла поворота солитона, создаваемого отдельно действительным и мнимым возмущениями одного вида:

Ui(x) = mxBi(x)Qxp(i(pi) с амплитудой т = ОА и фазами (Р]=0 и (р^=п/ соответственно. В результате оказалось, что в случае действительного возмущения солитон формировался с ничтожно малым углом ^^ « 1 ^ = 0.00043, а мнимое возмущение поворачивало солитон на гораздо больший угол k^^a^в = QЛЪ, превышающий предыдущее значение почти в 1000 раз. Это происходит оттого, что мнимое возмущение сразу искажает фазовый фронт пучка, делая его наклонным, в то время как действительное возмущение затрагивает сначала только амплитудный фронт. Эффект поворота системы параметрически связанных пучков в последнем случае связан с процессом перестройки амплитудного возмущение в фазовое засчет нелинейности, что гораздо менее эффективно и может описываться лишь при учёте высших порядков теории возмущений.

В заключение главы очертим ее основные результаты. Для изучения взаимодействия пространственного солитона с асимметричным возмущением его огибающей предложено две новые модели: диссипативная модель эффективных частиц и модель двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода. Обе модели корректно предсказывают результаты численных экспериментов с возмущенными солитонами. С помощью предложенной диссипативной модели квазичастиц описываются осциллирующие траектории несоосных пучков первой и второй гармоник, определяются положение и наклон захваченных пучков. Численно получены зависимости направления распространения солитона от разности фаз и амплитуд пучков, демонстрирующие дополнительные возможности чистооптического переключения. Модель прямоугольного волновода с параметрами солитона располагает спектром собственных мод, который и числом и качественно похож на спектр симметричных и асимметричных мод солитона.

Причем каждая мода, возбуждаясь в солитоне, изменяет свой внутренний параметр солитона. Так, например, найденные в работе асимметричные моды низшего порядка характеризуют поперечное смещение и наклон оси солитона.

Численные экспериментами с несоосными и асимметрично возмущенными пучками первой и второй гармоник продемонстрирована динамика возбуждения собственных асимметричных мод в солитоне, приведены формулы для определения индуцированного смещения и наклона солитона.

Рис. 2.17. Асимметричное возмущение квадратичного солитона на входе в нелинейную среду (а), и распространение действительного (б) и мнимого (в) асимметричных возмущений в солигоне.

Рис. 2.18. Зависимость поперечного смещения солитона Ад: от начального смещения пучка основной частоты AXpf. Сплошная линия,- расчёт по формуле (2.45), ромбы данные численного эксперимента.

0.01Рис. 2.19. Зависимость угла наклона солитона 9 от начального наклона пучка основной частоты в pp. Сплошная линия - расчет по формуле (2.47), ромбы - данные численного эксперимента.

Рис. 2.20. Зависимость (a) поперечного смещения Ах и (б) угла наклона Ав солитона от амплитуды асимметричного возмущения WQI при (а) ^ j = О и (б) (р^ = 7г/4, измеренного на длине z = 10/^;. Треугольники - данные численного эксперимента, пунктирная линия расчет по формулам (2.41) и (2.42) соответственно.

ГЛАВА 3, ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОЛИТОНОВ

непосредственной близости друг от друга приводит к влиянию поля одного солитона на поле другого солитона, так что показатель преломления среды для каждого из них эффективно изменяется. Это приводит к тому, что солитоны отталкиваются, притягивак^тся или обмениваются энергией. В результате изменяются характеристики распространения солитонов, в частности, направление их распространения, что может быть полезно при создании схем чисто-оптического переключения. В данной главе предложена простая механическая модель эффективных квазичастиц для описания взаимодействия оптических солитонов, в которой, в отличие от предыдущих работ [23,93], учитывается поперечная фазовая расстройка солитонов при взаимном наклоне друг к другу, а также учитывается еще одна внутренняя степень свободы, обусловленная неодинаковым смещением пучков первой и второй гармоник внутри каждого солитона. В главе теоретически рассчитываются параметры спирального вращения солитонов и слабое расщепление пучков в солитоне при взаимодействии. Численно изучается формирование двойной и тройной солитонной спирали, как наиболее интересные случаи взаимодействия солитонов, наблюдается эффект относительного смещения параметрически связанных в солитоне пучков При самых разных видах взаимодействий:

слиянии, отталкивании и спиральном вращении солитонов.

3.1 Аналитическое описание взаимодействия параметрических солитонов. Теория эффективных частиц Рассмотрим систему из двух одинаковых параметрических солитонов в объемной квадратично-нелинейной среде. Профиль огибающей и нелинейный сдвиг волнового числа такого солитона находятся решением задачи о распространении пучков первой и второй гармоник (1.5) в виде:

где В J [х, у) (j = 1,2 ) - действительные огибающие пучков солитона, Г^ (Ц = Г 2 / 2 = Г ) - нелинейная добавка к волновому вектору. Представим, что эти два пространственных солитона распространяются так, что их огибающие слабо перекрываются. Тогда хвост одного солитона будет создавать клин нелинейного показателя преломления для другого солитона, и наоборот. При этом оба солитона будут как-то отклоняться относительно направления своего независимого распространения, которое имело бы место в линейной среде. Они либо притягиваются, либо отталкиваются друг от друга. Причём, до тех пор, пока солитоны взаимодействуют слабо, т. е. перекрытие их огибающих мало, пучки первой и второй гармоник, параметрически связанные друг с другом в каждом солитоне гораздо сильнее чем с пучками другого солитона, распространяются как единое целое. Лишь в том случае, когда сила взаимодействия мел5a^