На правах рукописи

Арьков Дмитрий Петрович

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО ФУНКЦИОНАЛА

К РАСЧЁТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

С УЧЁТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград – 2012 2

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Волгоградский Государственный аграрный университет

Научный руководитель кандидат технических наук, доцент Гуреева Наталья Анатольевна.

Официальные оппоненты: Бандурин Николай Григорьевич доктор технических наук, профессор, профессор кафедры строительной механики Волгоградского государственного архитектурно строительного университета;

Марченко Сергей Сергеевич кандидат технических наук, заместитель директора по науке Поволжского НИИ эколого-мелиоративных технологий Российской академии наук.

Ведущая организация: Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Защита состоится «18» апреля 2012 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан «16» марта 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета Водопьянов Валентин Иванович.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Создание прочных и надежных конструкций с высокими показателями качества является приоритетной задачей во многих областях современной техники.

Расчет конструкций с учётом физической нелинейности материала требует высокой точности определения всех компонентов напряженно-деформированного состояния. В качестве численного метода наиболее удобно использовать МКЭ, позволяющий получать достаточно корректные результаты при расчете объёмных систем. Обзор литературы показывает, что МКЭ в форме перемещений посвящено огромное количество работ, их анализ позволяет говорить о том, что наряду с достоинствами эта форма МКЭ имеет и ряд нерешенных проблем: не высокая точность вычисления напряжений по сравнению с перемещениями, сложность решения почти несжимаемых тел, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие. Это обстоятельство привело к появлению ряда работ по развитию гибридных вариантов МКЭ в форме метода перемещений.

Проблемы, возникающие при использовании конечных элементов метода перемещений при вычислении напряжений, не устраняются полностью и для гибридных элементов. При помощи этих элементов удается точно удовлетворить условия равновесия внутри элементов и статические граничные условия. На поверхности контакта двух смежных элементов равновесие оказывается выполненным только в интегральном смысле. Это имеет место также при использовании гибридных конечных элементов. Однако, согласованность смежных элементов по деформациям и напряжениям оказывается невыполнимой. Согласованность значений напряжений в соседних элементах, как правило, является критерием для оценки точности конечно-элементных решений.

В настоящей работе согласованность значений напряжений и перемещений в соседних элементах достигается. Для этого в работе рассмотрено применение смешанной формы МКЭ для расчета пластин и оболочек вращения с учётом физической нелинейности материала. Проведенные различными учеными исследования позволяют говорить о преимуществах смешанной формы перед МКЭ в форме метода перемещений для расчёта пластин и оболочек (Л. Геррманн, К.-Ю. Бате, А.С. Сахаров, В.А. Игнатьев и др.). Одним из достоинств МКЭ в смешанной формулировке является возможность получения искомых перемещений и напряжений, не прибегая к дополнительным вычислениям, решив системы разрешающих уравнений. Число же работ по расчету пластин и оболочек в трехмерной постановке весьма ограничено. Для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций трехмерные конечные элементы являются более корректными, а в зонах концентраций напряжений, где зачастую появляются пластические деформации и неприемлема гипотеза о деформировании нормали, они фактически являются безальтернативными.

Поэтому использование смешанного метода конечных элементов с учётом физической нелинейности в расчетах пластин и оболочечных конструкций в трехмерной постановке является актуальным и представляет практический интерес.

Цель диссертационной работы заключается в разработке метода формирования матриц деформирования согласованных по деформациям и напряжениям трехмерных конечных элементов в смешанной формулировке для определения напряженно деформированного состояния тонкостенных конструкций с учётом физической нелинейности материала и использование разработанных конечных элементов в практике инженерных расчётов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- в получении из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил смешанного функционала на шаге нагружения для реализации в конечно-элементной процедуре расчета при учете физической нелинейности материала;

- в разработке на основе предложенного смешанного функционала алгоритмов получения матриц деформирования трехмерных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений при учете упругопластического состояния материала. Соотношения между приращениями деформаций и напряжений определялись на основе деформационной теории пластичности (Ильюшин А.А.) и теории, использующей гипотезу о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций и напряжений.

Практическая ценность заключается в разработке алгоритмов и программных модулей формирования матрицы деформирования высокоточных трехмерных конечных элементов, которые могут эффективно использоваться в программных комплексах, предназначенных для исследования напряженнодеформированного состояния объемных тел, пластин, оболочек и их фрагментов.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы получения смешанного функционала на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения;

- варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на шаге нагружения на основе деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности девиатора приращений деформаций девиатору приращений напряжений;

- алгоритмы формирования матриц деформирования трехмерных конечных элементов на шаге нагружения на основе предложенного смешанного функционала для определения напряжённо-деформированного состояния пластин и оболочек вращения при упругопластическом состоянии материала.

Достоверность полученных результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительных процессов при различных количествах дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2009» РУДН г.Москва, 2009г.; на ежегодных научно-практических конференциях «Проблемы развития АПК» ВГСХА секции "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г.Волгоград; на второй международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела».

г.Казань 2009г. Казанский государственный университет; на международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010», РУДН., г. Москва, 2010г.; на объединенном научном семинаре секции «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений», г.Волгоград, 2010г.; на расширенном заседании кафедры «Строительная механика», ВолгГАСУ г.Волгоград, 2010г; на объединенном научном семинаре секции «Конструирование и строительная механика инженерных сооружений», г.Волгоград, 2012г.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 11 научных статьях, из них четыре в рецензируемых изданиях рекомендованных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Из совместных публикаций в диссертацию включены разработки, принадлежащие лично автору. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит титульный лист, оглавление, введение, пять глав основного текста, заключение, список литературы; изложена на 154 страницах машинописного текста, содержит рисунков, 6 таблиц, список литературы из 131 наименования литературных источников.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель выполненного исследования, научная новизна диссертации и практическая значимость работы. Смешанные схемы конечноэлементной дискретизации могут принести преимущества при определенных видах анализа, если сравнивать их со стандартной дискретизацией на базе перемещений. Имеются две обширные области, для которых использование смешанных элементов оказывается значительно эффективным. Этими областями являются исследование почти несжимаемых сред и анализ конструкций типа пластин и оболочек (К.-Ю. Бате). Поэтому использование смешанного метода конечных элементов с учётом физической нелинейности в расчетах пластин и оболочечных конструкций без упрощающих гипотез является актуальным и представляет практический интерес.

В первой главе изложен краткий исторический обзор развития смешанного метода конечных элементов в задачах исследования напряженнодеформированного состояния инженерных конструкций с учётом физической нелинейности.

Отмечается вклад в развитие смешанного метода конечных элементов отечественных и зарубежных ученых.

Анализ опубликованных работ показывает, что определение напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек выполнялось с использованием теории тонких оболочек на основе геометрических гипотез, упрощающих расчет.

Широкое распространение ЭВМ предоставило возможность использования трехмерных конечных элементов в расчетах пластин и оболочек с реализацией алгоритмов получения матриц деформирования конечных элементов на основе соотношений теории упругости без упрощающих гипотез о деформировании нормали.

Напряженно-деформированное состояние конечных элементов определяется при помощи выбираемого набора функций, которые представляют напряжения и перемещения в области элемента. Для формирования разрешающих уравнений как отдельных конечных элементов, так и всей конструкции используются энергетические принципы. Наиболее встречающимся является принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа, менее распространенным - принцип минимума дополнительной энергии (принцип Кастилиано). С использованием выше перечисленных принципов разработаны гибридные и смешанные вариационные принципы Рейсснера, ХуВашицу, Херрмана и др. В основе функционалов Лагранжа и Кастилиано используют принципы виртуальных перемещений и виртуальных сил. Эти принципы являются различными формами общего принципа виртуальной работы и могут использоваться для построения соотношений метода конечных элементов.

Во второй главе на основе теории механики сплошной среды записаны основные соотношения теории упругости и пластичности в матричной формулировке. На основании энергетических принципов об энергии представлены вариационные уравнения, в форме функционалов.

В третьей главе приводятся основные зависимости при плоской деформации и плоском напряжённом состоянии. На основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений получен вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений.

Плоская деформация осуществляется в длинном призматическом теле, ось которого параллельна оси Оу.

Перемещения u, v происходят в плоскости хОz в направлении осей х и z соответственно Нагрузка действует в плоскости хОz и постоянна вдоль оси Оу. В таких задачах деформации происходят только в плоскости хОz Приращения напряжений через приращения деформаций на (j+1)-ом шаге нагружения запишем в таком общем виде Коэффициенты B11,..., B33 определяются дифференцированием известных соотношений деформационной теории пластичности [5] Приращения напряжений (3) можно представить в матричном виде Плоское напряженное состояние возникает в тонкой пластинке, загруженной по боковой поверхности силами, параллельными её основаниям и равномерно распределенными по ее толщине.

В этом случае возникает следующее напряженное состояние Выражения приращений деформаций через приращения напряжений на (j+1)-ом шаге нагружения записываются в таком общем виде Коэффициенты А11,..., А43 равны соответствующим производным соотношений деформационной теории пластичности Приращения деформаций (7) можно представить в матричном виде На основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений можно получить следующий вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений, записываемый в виде [5] где ср = ( xx + yy + zz ) - приращение средней деформации;

ср = ( xx + yy + zz ) - приращение среднего напряжения;

i, i - приращения интенсивностей деформаций и напряжений;

= Ek - касательный модуль диаграммы деформирования материала.

Зависимость приращения средней деформации от приращения среднего напряжения определяется следующим выражением Приращения деформаций можно выразить через приращения напряжений, используя выражение (11) в матричном виде Функционал на шаге нагружения.

Условие равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения запишется в виде { }T = {u v} - вектор приращений перемещений на шаге нагружения;

{p}T = {p x p z } - векторы нагрузок и их приращений;

V - объем тела;

S - поверхность, где заданы нагрузки.

Для получения на шаге нагружения смешанного функционала заменим действительную работу приращений внутренних сил на шаге нагружения разностью возможной и дополнительных работ внутренних сил [1] где {L(u )} - столбец приращений деформаций, представленный по формулам Коши;

[D] - матрица соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений.

С учётом (14) и равенства (13) можно записать функционал на шаге нагружения Геометрия оболочки, перемещения и деформации. Радиус-вектор произвольной точки М отсчётного меридиана плосконапряженного тела в декартовой системе координат определяется выражением где i, k - орты декартовой системы координат.

С использованием (16) определяются векторы локального базиса {a}T = {a1 a} - и их производные [2] Радиус – вектор точки М, отстоящей на расстоянии t от отсчётного меридиана в исходном состоянии, определяется выражением Векторы локального базиса точки М определяется дифференцированием (18) с учётом (17) Под действием заданной нагрузки точка М получает перемещение, вектор которого V выражается компонентами в базисе точки М где {v}T = {v1 v 2 } - строка проекций вектора перемещения на векторы локального базиса.

В результате приращения нагрузки на (j+1) – ом шаге нагружения точr ка Мt получит перемещение, определяемое вектором w, который также представляется компонентами в базисе точки М Перемещение точки М после (j+1) – го шага нагружения определяется суммой векторов V + w.

Компоненты тензора приращений деформаций на (j+1) – ом шаге нагружения, определяемые разностью компонент метрических тензоров исходного и деформированного состояний, запишутся в матричном виде где [L] - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений на (j+1)–ом шаге нагружения имеют вид [С ] = [С ] - при плоском напряженном состоянии;

где [С ] = [G ] - при плоской деформации.

Для решения задачи упругопластического деформирования разработан объёмный конечный элемент с поперечным сечением в виде произвольного четырёхугольника с узлами i, j, k, l.

Для выполнения численного интегрирования глобальные координаты s, t четырёхугольника выражаются через локальные координаты квадрата,, изменяющиеся в пределах 1, 1, билинейными соотношениями.

Дифференцированием этих выражений определяются производные глобальs,, s,, t,, t, и локальные коорных координат в локальной системе динаты, s,, t,, s,, t в глобальной системе координат.

Компоненты вектора перемещений внутренней точки конечного элемента и приращений напряжений аппроксимируются через свои узловые значения также билинейными соотношениями и в матричной записи имеют вид [2] где где нент вектора w ;

тензора приращений напряжений; индексы 1, 3 соответствуют компонентам тензора приращений напряжения в направлении осей координат x, z соответственно.

Приращения деформаций с использованием формул Коши определяются выражением С учётом матричных соотношений (23) и (25) функционал (15) на шаге нагружения запишется в виде Минимизируя функционал по узловым неизвестным {w y }T и { y }T, получим систему уравнений где Система уравнений (26) может быть представлена в традиционной для метода конечных элементов форме где 20 x нагружения;

{z } = { y } {w y } - вектор узловых неизвестных элемента;

= {0} {f p } + {R} - вектор узловых усилий конечного элемента;

{R}T Тестовый пример 1. Рассмотрено напряженно – деформированное состояние консольной пластины, загруженной силой F, (Рис. 1). Используем шаговый метод последовательного нагружения.

Были приняты следующие исходные данные: l= 0,2м; h=0,01м; первоначальная нагрузка принимается f1 =0,01Н, материал пластины принят дюралюмин Д16Т, характеризуется параметрами: модуль упругости Е = 7,5х104 МПа;

коэффициент Пуассона =0,3; предел текучести y =200МПа, деформация, соответствующая пределу текучести у=0,00267.

За пределами упругости принимается нелинейное упрочнение, описываемое зависимостью i= ai2+bi+c, где iy i; iy =0,00231; а = 78901,8 МПа;

b =8678,2 МПа; c = 181,9 МПа; i интенсивность деформации, i интенсивность напряжения.

Пластина разбивалась по толщине на 20 частей и на 40 вдоль оси.

При значении силы f достигшей Fy в заделке в крайних волокнах сечения возникают напряжения, равные пределу текучести y. Эпюру напряжений в этот момент назовем эпюрой 1.

При нагрузке f > F y эпюра 1 возникает в сечении, расположенном на каком то расстоянии хy от свободного конца (Рис. 2). Сила f шагами была доведена до значения, превышающего значение Fy.

определятся абсцисса сечения, в которой эпюра напряжений будет соответствовать эпюре 1.

Рассчитанная теоретически величина X yтеор = 0,0802 м и найденная с помощью разработанной программы X yпр = 0,0808 м различаются на 1,3 %.

Использование шагового метода нагружения позволяет описать весь процесс изменения напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе возрастания внешней нагрузки.

Рис.3 Эпюра напряжений, возникающих в заделке В заделке эпюра напряжений при пошаговом нагружении показана на рис.3. Кривой 1 отмечено упругое решение в заделке при достижении нагрузкой численного значения Fy. Напряжения в наиболее удаленных волокнах равны пределу текучести iy (по критерию пластичности ХубераМизеса).

При дальнейшем увеличении нагрузки пластические деформации распространяются по толщине пластины, захватывая области трех элементов от поверхности (кривая 2).

При дальнейшем увеличении нагрузки область пластических деформаций по толщине увеличивается, занимая по девять элементов от поверхности.

Например, кривая 5 показывает, что пластические деформации возникли в десятом и одиннадцатом элементах, части которых деформируются как пластически, так и упруго.

Принятие решения о допустимости уровня напряженно-деформированного состояния зависит от нормативной документации той или иной отрасли.

Решая задачу предложенным методом, была сделана статическая проверка (сумма проекций всех сил на ось х равна 0), найдены сжимающие усилия Nc=136,6H и растягивающие Np =136,5H, разница в усилиях составила 0,1Н, что составляет =0,032% от значения Np.

Данная задача также решалась с использованием программного комплекса ABAQUS, где разница между названными выше усилиями составила =0,12%.

Также была выполнена статическая проверка правильности вычисления касательных напряжений: (у = 0), разница составила 1,03%.

Уравнение статики: (сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в заделке пластинки) в нашем случае выполняется с точностью до 1,82%, в случае использования программного комплекса ABAQUS различие составило 4,69%.

Тестовый пример №2. Рассмотрено напряженно – деформированное состояние двухопорной пластины при загружении распределенной линейной нагрузкой в середине пролёта. В виду симметрии рассматривалось половина пластины (рис.4). Были приняты следующие исходные данные: l= 0,4м;

q=58,43кН/м; h=0,01м; модуль упругости Е = 7,5х104 МПа;

коэффициент Пуассона =0,3; предел текучести y =200МПа, деформации, соответствующие пределу текучести y=0,00267.

Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью i= ai2+bi+c, где iy i; iy =0,00231; а = 78901,8 МПа; b =8678,2 МПа; c = 181,9 МПа.

Используя эпюру напряжений были рассчитаны внутренние силы, действующие в пластине, (уравнение статики: сумма проекций внутренних сил на ось пластины равна нулю) в нашем случае выполняется с точностью =0,67%, в случае программного комплекса ABAQUS с точностью =2,39%.

Рис.4 Схема пластических областей в пластине Сумма моментов внутренних сил равна моменту внешних сил в опоре пластины в нашем случае выполняется с точностью 2,82%, в случае использования программного комплекса ABAQUS 4,78%.

Так же, для данной пластины было определено напряженно-деформированное состояние при условии защемления на концах.

Анализ результатов, полученных на основе изложенного алгоритма, и результатов, полученных на основе конечно-элементного комплекса ABAQUS, доказывает корректность применения изложенного алгоритма для учёта упруго – пластического состояния материала в инженерных расчётах на основе МКЭ в смешанной формулировке.

В четвертой главе проведено исследование напряжённодеформированного состояния оболочки вращения при осесимметричном нагружении.

В декартовой системе координат xOz отсчётный меридиан оболочки вращения описывается радиус – вектором (рис.5) где r – радиус вращения точки с координатой х.

Векторы локального базиса точки М определяются выражениями где s – меридиональная координата точки М; j - орт оси у.

Производные векторов (29) можно представить разложением по векторам локального базиса [8] Деформации в точке Мt в матричном виде запишутся выражением где { } = { ss tt 2 st } - матрица – строка деформаций в точке Мt;

{V }T = {V 1 V } - матрица - строка компонент вектора перемещения точки Мt;

[L] – матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

Физические соотношения на шаге нагружения.

Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений на j – ом шаге определяются дифференцированием основных соотношений деформационной теории упругости и представляются в матричном виде Можно получить другой вариант соотношений между приращениями деформаций и приращениями напряжений на основе гипотезы о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений, записываемой в виде [5] С использованием (11) из (31) определяется матричное выражение В качестве конечного элемента принимается кольцевой фрагмент оболочки с поперечным сечением в виде произвольного четырехугольника с узлами i, j, k, l [8]. Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента осуществлялась с использованием билинейных функций формы { (, )}T С учётом аппроксимирующих выражений функционал (15) запишется в виде В результате минимизации функционал (35) по узловым неизвестным {V y }T и { y }T получается система уравнений, которая может быть представлена в традиционной конечно- элементной формулировке в виде Тестовый пример 3. Рассмотрено напряжённо – деформированное состояние усеченного эллипсоида с полуосями а=0,5м; b=0,3м, загруженного равномерным давлением интенсивности q = 10,05МПа (рис. 6).

Были приняты следующие исходные данные: Rн = 0,305м; rн =0,295м;

l =0,3м; rк = 0,24м. Упруго – пластические свойства материала эллипсоида описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением.

Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текучести iу =200МПа, iу=0,00203918 – интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью:

i= к1i2+ к2i+ к3, где к1 = 78901,8МПа; к2 =8678,21МПа; к3 = 181,9МПа.

Эллипсоид разбивался вдоль оси х на 60 частей и на 10 частей по толщине.

Уравнение статики о равенстве нулю суммы проекций внешних и внутренних сил на ось эллипсоида в этом случае примет вид Равнодействующая внутренних усилий определяется по формуле где ss - меридиональные напряжения в i-ом слое;

Z i - толщина i – го слоя;

ri - радиус вращения i – го слоя.

Меридиональные напряжения, определенные с помощью изложенного алгоритма, и внутренние усилия, рассчитанные по вышеприведенной формуле, представлены в таблице 1.

ната t,см Усилия, возникающие от приложенного давления, определяются по формуле Уравнение статики выполняется с точностью 0,33%.

В пятой главе для расчета произвольно нагруженной оболочки вращения конечный элемент принимается в виде шестигранника в координатной системе s,, t с узлами i, j, k, l на нижней грани, параллельной срединной поверхности и узлами m, n, p, h на верхней грани. Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами,,, изменяющимися в пределах -1,,, 1.

Связь между глобальными координатами s,, t и локальными координатами,, определяются с использованием трилинейных функций [1] где под символом понимаются координаты s,, t ; { y }T = {i j k l m n p h } строка узловых значений глобальной координаты.

Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений внутренней точки конечного элемента осуществляется с использованием трилинейных функций формы { (,, )}T Приращения деформаций на шаге нагружения при учете (37) запишется матричным соотношением где { y } = {....... }.

Используя выражение (36, 37) функционал (15) можно записать виде где V – объем дискретного элемента; F – площадь части поверхности, на которой действует внешняя нагрузка.

Минимизируя (40) по узловым неизвестным {v y }T и { y }T, получили систему уравнений, которая в традиционной конечно-элементной формулировке имеет вид Тестовый пример №4. Рассмотрено напряжённо – деформированное состояние цилиндрической оболочки, загруженной равномерным давлением интенсивности q = 16,3МПа (рис. 8). Были приняты следующие исходные данные: R =0,3м; l = 0,2м; t=0,01м. Упруго – пластические свойства материала оболочки описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением. Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текучести, iу =200МПа, iу=0,00267 – интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение описывалось зависимостью:

где к1 = 78901,8286МПа; к2 =8678,209МПа; к3 = 181,975МПа.

Рис. 8. Расчётная схема цилиндрической оболочки На рис. 9 показана эпюра меридиональных напряжений в сечении цилиндрической оболочки с координатой х = 0. При значениях i > iу имеют место упруго - пластические деформации.

В таблице 2 для сравнения приведены результаты проверки условия равновесия по силам (у = 0) и по моментам (М = 0) при различных вариантах дискретизации.

На рис. 10 показано распределение зон пластических деформаций в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения.

Рис.9. Эпюра напряжений, возникающих в заделке Разбиение на 10 по толщине и 60 частей вдоль Разбиении на 10 по толщине и 100 частей вдоль Рис.10. Зоны распределения пластических деформаций в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения Полученные результаты показывают, что изложенный алгоритм приемлем для учёта упруго – пластических свойств материала в инженерных расчётах.

Тестовый пример 5. Рассмотрен пример расчёта металлической мембраны, представленной на рис. 11. Поверхность мембраны – квадратичный параболоид вращения, характеризуемый параметрами, а=112,0м; f=12,5м;

r1=15м; t= 0,15м. Расчетная нагрузка интенсивности q= 10кПа равномерно распределена по поверхности мембраны.

Уравнение срединной поверхности мембраны в декартовой системе коx ординат xОz имеет вид z = a 1.

Уравнения статики (х = 0) примет вид Меридиональные усилия с учётом отверстия определяются выражением Для определения кольцевого усилия из тонкостенной конструкции, имеющей форму поверхности вращения и находящейся под внутренним давлением q, выделяется элемент (рис. 12). Из уравнения статики: (сумма проекций всех сил на нормаль n к элементу равна нулю) – получаются выражение откуда находится окружное усилие N = q M R.

Рис. 12. Элемент мембранной конструкции Результаты аналитического расчёта мембранного покрытия и расчёта с помощью разработанного программного модуля, созданного на основе изложенного алгоритма, представлены в таблице 3.

1 Результат аналитического решения 1682,95 1826, 2 Результат, полученный на основе изложенного алгоритма В первой строке таблицы представлены значения напряжений, найденные с помощью аналитического решения. Во второй строке приведены значения, найденные с помощью программного модуля, созданного на основе изложенного алгоритма с использованием разработанного конечного элемента. В третьей строке представлен процент расхождения результатов.

Процент расхождения результатов расчёта, представленный в таблице, показывает возможность применения изложенного алгоритма для при определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных строительных конструкций при весьма малых отношениях толщин к радиусам кривизн.

Основные результаты выполненных исследований и выводы по диссертации состоят в следующем.

1. Для произвольного шага нагружения на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил получен функционал, позволяющий реализовать процедуру МКЭ в смешанной формулировке при упруго-пластическом состоянии материала.

2. Для расчета пластин и оболочек с учётом упруго-пластических свойств материала разработаны объемные конечные элементы с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений, которые являются согласованными не только по перемещениям, но и по напряжениям.

3. Достаточно высокая эффективность предложенной конечноэлементной процедуры в смешанной форме по сравнению с широко используемым в известных программных комплексах подходом показана в результате решения тестовых задач.

Основные результаты диссертационной работы отражены в одиннадцати публикациях.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК РФ 1. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности // Известия ВолгГТУ. Волгоград, 2010. № 4. С. 128-132.

2. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М.: 2010. №4. С.32-37.

3. Арьков, Д.П. Применение смешанного метода конечных элементов для прочностных расчётов силосов, предназначенных для хранения зерна. / Д.П. Арьков, Н.А. Гуреева / Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: Наука и высшее профессиональное образование 2011 №1(21). – Волгоград, 2011г. С. 189-197.

4. Арьков, Д.П. Реализация деформационной теории пластичности в расчётах плоско напряженных пластин на основе МКЭ в смешанной формулировке / Д.П. Арьков, Н.А. Гуреева / Известия вузов. Северо - Кавказский регион. Естественные науки 2011 №2. С.12-15.

5. Арьков Д.П. Соотношение между приращением напряжений и деформаций на основе деформационной теории пластичности // «Проблемы и тенденции устойчивого развития аграрной сферы». Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию Победы в Сталинградской битве. Волгоград, 2008г. С. 200-202.

6. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Плоская задача теории упругости на основе МКЭ в смешанной формулировке при учёте физической нелинейности // Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию образования ВГСХА «Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях», 27-29 января, 2009г. С.3-6.

7. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2009» Российский университет дружбы народов. Москва 2009г. С.165-169.

8. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Расчет физически нелинейных оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке при осесимметричном нагружении // Материалы второй международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, 8-11 декабря 2009г., КГУ, 2009г. С.47-51.

9. Арьков Д.П. Варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на основе деформационной теории пластичности // Материалы Международной научно-практической конференции. Посвященной 65летию Победы в Великой Отечественной войне «Новые направления в решении проблем АПК на основе современных ресурсосберегающих, инновационных технологий», ВГСХА. ИПК «Нива». Волгоград 2010 г. С.198-200.

10. Арьков Д.П. Плоская задача в смешанной формулировке МКЭ с учётом физической нелинейности // Проблемы, состояние комплексных мелиораций и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России.

Волгоград 2010г. ВГСХА с.283-287.

11. Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010» Российский университет дружбы народов. Москва 2010г. C.185-189.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО ФУНКЦИОНАЛА

К РАСЧЁТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

С УЧЁТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

на соискание ученой степени кандидата технических наук Подписано в печать 05. 03. 2012г. Формат 60 84 / 16.

ИПК ФГОУ ВПО Волгоградская ГСХА «Нива».

400002, г.Волгоград, пр. Университетский, пр.