1

На правах рукописи

Вахрамеева Анна Владимировна

УРАВНЕНИЕ СВЕРТКИ

В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

С ВЕСОМ

01.01.01 – математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2007 2

Работа выполнена на кафедре специальных глав математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор Напалков В.В., кандидат физико-математических наук, профессор Водопьянов В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Секерин А.Б., кандидат физико-математических наук, доцент Луценко В.И.

Ведущая организация: Нижегородский госуниверситет

Защита состоится «20» апреля 2007 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.57.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450000, Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан «19» марта 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета канд.физ.- мат. наук Попенов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Свойства операторов свертки в различных пространствах аналитических функций исследовались многими отечественными и зарубежными математиками: достаточно привести в пример работы таких ученых, как Л. Эренпрайс, Б. Мальгранж, А.Ф. Леонтьев, И.Ф.

Красичков-Терновский, Н.К. Никольский, Ю.Ф. Коробейник, А.М. Седлецкий, М.Г. Крейн, В.В. Напалков, А.С. Кривошеев, Р.С. Юлмухаметов.

Большой интерес к проблемам данной тематики обусловлен тем, что, с одной стороны, многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки, а с другой стороны – операторы свертки часто применяются при решении задач прикладного характера. При этом важную роль играет специфика рассматриваемых пространств аналитических функций, в частности, многие исследования приводят к необходимости конструктивного изучения пространства Н(Ur) аналитических в открытом круге Ur радиуса r (с центром в начале координат комплексной плоскости) функций с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространства Н( U r ) функций, аналитических в замкнутом круге U r радиуса r, – индуктивного предела при т + пространств Н(Ur+1/т).

Благодаря наличию в пространствах Н(Ur) естественного базиса Шаудера {zn} +n 0, любая задача для этих пространств может быть поставлена в терминах коэффициентов Тейлора – например, задача о представлении аналитических функций рядами экспонент, решением которой занимался А.Ф.

Леонтьев, или вопрос эквивалентности дифференциальных операторов, изучавшийся К.М. Фишманом. Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, вследствие чего локально выпуклые пространства, классу которых принадлежат многие функциональные пространства, имеют естественное изоморфное представление в виде пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство функций L2(0;1), которое может быть представлено как пространство последовательностей l2. Менее тривиален пример пространства Бергмана Ар(U1) аналитических в единичном круге U1 функций с нормой || f || = 1/ p | f ( z ) | p dxdy, где 1 < p < +, изоморфного пространству lр. В данной | z|< 1 работе показано, что пространство Н(Ur) для r > 1 изоморфно проективному пределу Вr весовых гильбертовых пространств комплекснозначных последовательностей с неотрицательными индексами l2, = { a = {an} +n 0 : || a | l2, ||2 = = | a n | + = 0 2 n < +}, где 1 < < < r, а пространство Н( U r ) – индуктивному пределу пространств l2,, где > r.

Изоморфное представление пространств аналитических функций в виде пространств последовательностей делает актуальной задачу решения дискретного аналога уравнения свертки. Под руководством Напалкова В.В.

изучением уравнения свертки для различных пространств последовательностей занимались Карпов А.В., Ким В.Э., Коган Г.А.

В данной диссертации исследуется дискретный аналог уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом, причем особую важность в ходе исследований приобрел вопрос о способе реализации таких пространств в виде пространств аналитических функций. В связи с этим возникла необходимость построения естественного изоморфизма между гильбертовыми пространствами последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весом и некоторыми функциональными пространствами. Специфика структуры гильбертова пространства, а также введение в весовых пространствах последовательностей преобразования Меллина (а не преобразования Фурье-Лапласа, как в вышеупомянутых работах), позволили получить требуемую изоморфную реализацию таких пространств в виде пространств функций, аналитических в круге и в кольце комплексной плоскости, а также в виде функциональных пространств типа Харди и Бергмана. Отдельная задача, решению которой посвящена глава 4 диссертации, состояла в определении на исследуемых пространствах последовательностей операции, обладающей всеми свойствами свертки, и изучении аналога уравнения свертки для такой операции.

Цель работы. Изучение дискретного аналога уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение естественной изоморфной реализации таких пространств последовательностей в виде пространств аналитических функций.

2. Определение на элементах пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами бинарной операции, обладающей всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных пространствах аналитических функций совпадал бы с произведением образов исходных последовательностей.

3. Исследование образов пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно введенного оператора свертки.

Результаты, полученные лично автором, и выносимые на защиту:

1. Естественное изоморфное представление относительно преобразования Меллина гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, а также их индуктивного и проективного пределов в виде пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом круге, в кольце, а также в комплексной плоскости без начала координат.

2. Определение на элементах гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами бинарной операции, обладающей всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных относительно преобразования Меллина пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей; описание образов таких пространств последовательностей относительно введенного оператора свертки.

3. Необходимые и достаточные условия разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:

• получено полное описание образов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно преобразования Меллина; показано, что преобразование Меллина реализует естественное изоморфное представление таких пространств последовательностей в виде пространств аналитических функций, причем в случае пространств последовательностей со степенным весом полученная изоморфная реализация изометрична;

• предложен способ введения в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами бинарной операции, обладающей всеми свойствами классической свертки, образ которой в соответствующих изоморфных пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей;

• найдено описание ядра и образа введенного оператора свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, получены критерии разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки в данных пространствах.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается строгостью доказательств, тщательным анализом литературы и периодических изданий соответствующей тематики, а также апробацией полученных результатов на научных конференциях и семинарах.

Методы исследования. Использованы методы теории уравнений свертки, теории аналитических функций и функционального анализа.

Научная и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты применимы, в частности, к теории уравнений свертки, а также могут быть включены в содержание специальных курсов по теории пространств последовательностей, пространств аналитических функций и теории операторов свертки для студентов математических специальностей Казанского, Нижегородского, Саратовского и Ростовского государственных университетов, разрабатывающих проблемы данной тематики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2000 г.);

• на XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001 г.);

• на международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003 г.);

• на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004 и 2006 гг.);

• на научных семинарах отдела теории функций Института математики с ВЦ УНЦ РАН и кафедры специальных глав математики Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 129 страницах машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Библиография работы содержит 63 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложены цели и задачи работы, перечислены научные положения, выносимые автором на защиту, описана структура работы и приведено ее краткое содержание, а также список публикаций автора по теме диссертации.

Глава 1 содержит предварительные сведения; ней вводятся понятия и определения, а также приводятся или доказываются результаты, играющие вспомогательную роль при доказательстве основных положений, содержащихся в последующих главах.

В пункте 1.1.1 параграфа 1.1 вводится (весовая) последовательность положительных чисел w = {wn} n = и рассматриваются банаховы пространства двусторонних последовательностей lp( w ), где 1 < p < +, и co( w ) с весом w :

Далее под обозначением X( w ) понимается одно из пространств lp( w ) или пространство co( w ), под обозначением X – соответствующее X( w ) классическое банахово пространство lp или co.

Существование изометрического изоморфизма между пространством X( w ) и Х позволяет применить в пространстве X( w ) критерий относительной компактности для банаховых пространств с базисом.

Установлено условие вложения X( w ) X( v ), заключающееся в принадлежности последовательности w = пространству l( v ). В заключеwn n = ние сформулирован и доказан критерий полной непрерывности вложения ба- наховых пространств последовательностей с весом: вложение X( w ) v ) X( вполне непрерывно тогда и только тогда, когда последовательность w -1 = Содержание пункта 1.1.2 параграфа 1.1 посвящено теории индуктивного и проективного пределов локально выпуклых пространств.

Пусть {X, Г} – семейство локально выпуклых пространств, и для каждого Г u – линейное отображение пространства X в векторное пространство Х, причем объединение u ( Х ) порождает Х. Тогда в Х существует сильнейшая локально выпуклая топология, при которой все отображения u непрерывны. Пространство Х, наделенное топологией, называется индуктивным пределом пространств Х относительно отображений u.

В качестве отображений u могут быть приняты топологические вложения Х Х. Индуктивный предел пространств Х, порожденный такими линейными отображениями, называется каноническим индуктивным пределом пространств Х.

Говорят, что последовательность {Xn} n= 1 нормированных пространств регулярна, если для каждого п выполнены следующие условия: а) справедливо топологическое вложение Хn Хn+1, причем топология, индуцируемая на Хn из Хn+1, мажорируется собственной топологией Хn, б) единичный шар пространства Хn относительно компактен в Хn+1, то есть вложение Хn Хn+1 вполне непрерывно.

Определение 1.1.3. LN*-пространством называется всякое локально выпуклое пространство Х, представимое в виде канонического индуктивного предела регулярной последовательности нормированных пространств {Хn} n= 1.

Второй метод топологизации векторного пространства в некотором смысле двойственен методу образования индуктивного предела.

Пусть {Y, Г} – семейство локально выпуклых пространств и для каждого Г v есть линейное отображение векторного пространства Y в пространство Y, причем пересечение v (0) = {0}. Тогда в Y существует слабейшая согласующаяся с алгебраической структурой топология, в которой все отображения v непрерывны. Пространство Y, наделенное топологией, называется проективным пределом пространств Y относительно отображений v.

Пространство Y =, наделенное топологией проективного предела относительно топологических вложений Y Y, называется каноническим проективным пределом пространств Y.

Определение 1.1.5. М*-пространством называется всякое локально выпуклое пространство Y, представимое в виде (канонического) проективного предела «убывающей» последовательности нормированных пространств {Yn} n= 1, где все вложения Yn+1 Yn вполне непрерывны.

Основные свойства LN*- и М*-пространств заключены в следующих хорошо известных теоремах:

Теорема 1.1.2. LN*-пространство рефлексивно.

Теорема 1.1.3. Если LN*-пространство X – индуктивный предел последовательности пространств {Xn} n= 1, то сильно сопряженное к X пространство топологически изоморфно M*-пространству – проективному пределу последовательности пространств {X n } n= 1.

Параграф 1.2 содержит описание некоторых свойств функции h ( y ) = = sup {yt – h(t)}, сопряженной по Юнгу к выпуклой функции h(t), в частноt< + сти, леммы о поведении экспоненты exp{–2 h ( y ) } для одномерного и многомерного случаев аргумента у.

В параграфе 1.3 изложены некоторые аспекты теории классических пространств Харди Нр = Нр(D), где 1 < p < +, аналитических в выпуклой области D с границей D функций f(z), для которых конечна величина sup | f (r ) | p d, в том числе пространств Харди функций, аналитических в открытом круге Ur радиуса r и вне замкнутого круга U r.

Так как пространство Харди H 2 = H 2 (U1) с нормой ||f(z)| H 2 || = = lim || f(re )|L2[–;]|| – гильбертово, то существует изоморфизм между пространством H 2 и пространством последовательностей l2, который описываетсk z k принадлежит пространству ся следующим образом: функция f (z) = H тогда и только тогда, когда последовательность ее коэффициентов Тейсk |2.

лора принадлежит пространству l2, то есть сходится ряд Пространства Харди H (U) и H (C\ U ) функций, аналитических в открытом круге U = {z С: | z | < } и вне замкнутого круга U = {z С: | z | < < } соответственно, определяются равенствами H 2 (C\ U ) = {f(z): |zlim f(z) < +, g(z) = f( ) H 2, g(0) = |zlim f(z)}.

Критерии принадлежности функций пространствам Харди H 2 (U) и H 2 (C\ U ) формулируются в терминах коэффициентов ряда Тейлора и Лорана этих функций соответственно. Так, аналитическая в открытом круге U гда, когда последовательность c = {cn }n = 0 ее коэффициентов Тейлора лежит в пространстве l2( w ) с весом w = {n} n= 0. Функция f(z) = сn z, аналитичеn ская во внешности замкнутого круга U, принадлежит пространству H 2 (C\ U ) тогда и только тогда, когда последовательность c = {cn }0 = коэффициn ентов ее ряда Лорана лежит в пространстве l2( v ) с весом v = {n} n=.

Содержание параграфа 1.4 посвящено гильбертовым пространствам Бергмана.

Напомним, что под классическим пространством Бергмана A2(D) понимается пространство функций из L2(D, ds) (здесь ds = dxdy = rdrd – плоская мера Лебега на D), аналитических в области D комплексной плоскости С. Так как A2(D) – замкнутое подпространство пространства L2(D, ds), то оно является гильбертовым.

Рассматриваются частные случаи пространств Бергмана A2(D) для областей D = U и D = С\ U, где через U = {z С: | z | < } обозначаются открытый, а через U = {z С: | z | < } – замкнутый круги радиуса. Пространства A2(U) и A2(С\ U ) описываются в терминах коэффициентов рядов Тейлора и Лорана принадлежащих им функций. Так, аналитическая в круге U функция сk z k лежит в пространстве Бергмана А2(U) тогда и только тогда, f(z) = тическая вне круга U функция g(z) = kk принадлежит пространству Бергk= 2 z мана А2(С\ U ) тогда и только тогда, когда ее коэффициенты Лорана ck ветственно устанавливается естественный изоморфизм.

В главе 2 изучаются гильбертовы пространства последовательностей со степенным весом. Показывается, что преобразование Меллина, определенное на элементах таких пространств, осуществляет естественный изометрический изоморфизм между этими пространствами и пространствами Харди и Бергмана функций, аналитических в кольце комплексной плоскости. Кроме того, получена изоморфная реализация пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом кольце комплексной плоскости, в виде соответственно проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей со степенным весом. Результаты распространены также на многомерный случай. Для следующих частных случаев весовой последовательности w :

бертовы пространства комплекснозначных последовательностей l2( w ):

а также подпространства l 2 ( w) = { x l2( w ): n < 0 xn = 0} и l 2 ( w) = ={ x l2( w ): n > 0 xn = 0} этих пространств.

определено (взвешенное) преобразование Меллина. Получено полное описание образов пространств l 2 ( w,k ), k = 1, 2, 3, а также их компонент l2 ( w,k ) и l 2 ( w,k ) относительно преобразования Меллина (2.1).

Параграф 2.1 посвящен исследованию пространства и описанию его образа относительно преобразования Меллина (2.1):

Теорема 2.1.1. Для того чтобы функция F(z) была аналитической в [–; ], необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности из пространства В параграфе 2.2 рассматриваются подпространства пространства l 2 ( w,1 ) – гильбертовы пространства односторонних последовательностей l 2+ ( w,1 ) и l 2 ( w,1 ) ; в частности, доказана их изоморфность относительно преобразования Меллина пространствам Харди H 2 (U) и H 0 (С\ U 1 / ) соответственно, где H 0 (С\ U 1 / ) = {f(z): |zlim f(z) = 0, g(z) = f( ) H 2, g(0) = 0} – подпространство пространства H (С\ U 1 / ) функций, принимающих нулевое значение в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости С.

Конструкция такого естественного изоморфизма описывается теоремами 2.2.1 и 2.2.2:

Теорема 2.2.1. Функция F(z) принадлежит пространству Харди H (U) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности из пространства l 2 ( w,1 ) :

Теорема 2.2.2. Функция F(z) принадлежит пространству H 0 (С\ U 1 / ) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности из пространства l 2 ( w,1 ) : F(z) = Обобщением этих теорем является теорема 2.1.3 – критерий принадлежности функции образу пространства l 2 ( w,1 ) относительно преобразования Меллина (2.1), сформулированный в терминах пространств Харди:

Теорема 2.1.3. Для того чтобы функция F(z) допускала (единственное) разложение F(z) = F+(z) + F–(z), где функции F+(z) и F–(z) принадлежат пространствам H 2 (U) и H 0 (С\ U 1 / ) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2.1) некоan z n Таким образом, преобразование Меллина осуществляет естественное изоморфное отображение пространства l2 ( w,1 ) в прямую сумму пространств В параграфе 2.3 рассматриваются семейства пространств l 2 ( w,1 ) и индуктивный и проективный пределы таких семейств. В терминах преобразования Меллина описаны изоморфизм между индуктивным пределом семейства пространств l 2 ( w,1 ) и пространством H( K ) аналитических в замкнутом кольце комплексной плоскости функций с одной стороны, и между проективным пределом семейства пространств l 2 ( w,1 ) и пространством H(K) аналитических в открытом кольце комплексной плоскости функций – с другой.

Для монотонно возрастающей последовательности действительных чисел { k }k = 1 (1; ), имеющей предел klim k =, определяется пространство A канонического индуктивного предела последовательности { l 2 ( w,1 ) } k = 1, на элементы которого распространяется действие преобразования Меллина (2.1). Так как для любого натурального значения k выполняются вполне непрерывные топологические вложения l 2 ( w,1 ) l 2 ( w,1 ), причем топология, индуцируемая на l 2 ( w,1 ) из l 2 ( w,1 ), мажорируется собственной топологиk+ ей l 2 ( w,1 ), то последовательность { l 2 ( w,1 ) } k = 1 регулярна. Следовательно, пространство A является LN*-пространством.

Пространство A изоморфно пространству H( K ) функций, аналитических в замкнутом кольце комплексной плоскости С внешнего радиуса и внутреннего радиуса 1/, относительно преобразования Меллина:

Теорема 2.3.1. Для того чтобы функция F(z) была аналитической в замкнутом кольце K = {z C: 1/ < | z | < }, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина некоторой последоваan z n Для монотонно убывающей последовательности действительных чисел {k} k = 1, имеющей предел klim k =, вводится пространство В канонического проективного предела последовательности пространств { l 2 ( w,1 ) } k = 1. Так как все топологические вложения l 2, l 2, вполне непрерывны и топология, индуцируемая на l 2, из l2,, мажорируется собственной топологией в l2,, то пространство В является М*-пространством.

Преобразование Меллина (2.1) реализует изоморфизм между пространством В и пространством H(K) функций, аналитических в открытом кольце комплексной плоскости внешнего радиуса и внутреннего радиуса 1/ с центром в начале координат:

Теорема 2.3.2. Для того чтобы функция F(z) была аналитической в кольце K = {z: 1/ < | z | < }, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности В параграфе 2.4 данной главы исследуется пространство последоваan |2 | n | казывается изоморфность относительно преобразования Меллина (2.1) его подпространств l 2 ( w, 2 ) и l 2 ( w, 2 ) соответственно пространствам типа Бергмана А 2 (U) и А 2 (С\ U 1 / ) функций, аналитических в круге U и вне замкнутого круга U 1 /, определяемых равенствами где А2(U), А2(С\ U 1 / ) – пространства Бергмана, определенные в пункте 1. главы 1.

Теорема 2.4.1. Функция F(z) принадлежит пространству Бергмана А (U) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразованием Меллина (2.1) некоторой последовательности из пространства l 2 ( w, 2 ), Теорема 2.4.2. Функция F(z) принадлежит пространству А 2 (С\ U 1 / ) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразованием Меллина некоторой последовательности из пространства l 2 ( w, 2 ), то есть Обобщением этих результатов является следующая теорема:

Теорема 2.4.3. Для того чтобы функция F(z) допускала (единственное) разложение F(z) = F+(z) + F–(z), где функции F+(z) и F–(z) принадлежат пространствам А 2 (U) и А 2 (С\ U 1 / ) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина некоторой последовательности из пространства l 2 ( w, 2 ) : F(z) = Таким образом, преобразование Меллина (2.1) реализует естественный изоморфизм между гильбертовым пространством последовательностей l 2 ( w, 2 ) и прямой суммой пространств Бергмана А (21) (U) А (21) (С\ U 1 / ).

Наконец, из справедливости вполне непрерывных вложений l 2 ( w,1 ) l 2 ( w, 2 ) l 2 ( w,1 ) при любых значениях < следует совпадение индуктивных пределов семейств пространств { l 2 ( w, 2 ) } (1; ) и { l 2 ( w,1 ) } (1; ), то есть выполнение равенства 1lim ind l 2 ( w, 2 ) = A. Те же вложения влекут совпадеи фиксированного вектора = (1, …, т) Rm с координатами k > 1 для любого k = 1, …, m, равенством ся гильбертово пространство т-мерных двусторонних комплекснозначных последовательностей l 2 ( w,1 ).

Преобразование Меллина элемента a = {an} |n| = пространства l 2, имеет вид где zn = z1 … z m.

Доказана справедливость следующей теоремы:

Теорема 2.6.1. Для того чтобы функция F(z) была аналитической в открытом поликольце K = {z = (z1, …, zm) Ст: 1/k < | zk | < k, k = 1, rm e i ), имели конечные пределы при r = (r1, …, rm) и r 1/ = =(1/1, …, 1/m), необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина (2.2) некоторой последовательности из проan z n Следовательно, теория, построенная в параграфах 2.1-2.5 для гильбертовых пространств одномерных последовательностей с весом, успешно продолжается на многомерные аналоги таких пространств.

Обобщая результаты пунктов 2.1-2.5, заметим, что справедливость вполне непрерывных вложений A l 2 ( w, 2 ) l 2 ( w,1 ) l 2 ( w, 3 ) В влечет, в силу существования изоморфизмов относительно преобразования Меллина (2.2), выполнение аналогичных вложений для соответствующих пространств аналитических функций: Н( K ) А 2 (U) А (21) (С\ U 1 / ) H 2 (U) H 0 (С\ Таким образом, в главе 2 получено описание пространств Харди H (U) и H 0 (С\ U 1 / ), пространств Бергмана А2(U) и А2(C\ U 1 / ), А 2 (U) и А 2 (С\ U 1 / ), а также прямых сумм этих пространств H 2 (U) H 02 (С\ U 1 / ), А2(U) А2(С\ U 1 / ) и А 2 (U) А 2 (С\ U 1 / ) в терминах коэффициентов ряда Тейлора в открытом круге и коэффициентов ряда Лорана в открытом кольце принадлежащих им аналитических функций.

Глава 3 посвящена исследованию гильбертова пространства последовательностей l2(h) с логарифмически выпуклым весом. Доказывается, что преобразование Меллина, введенное на элементах этого пространства, изоморфно отображает его в пространство Бергмана функций, аналитических вне начала координат комплексной плоскости, причем имеет место эквивалентность норм. Изучаются индуктивный и проективный пределы таких пространств последовательностей и дается полное описание их образов относительно преобразования Меллина. Показывается, что полученные результаты распространимы на многомерный случай.

Пусть h(t) – выпуклая на всей действительной оси R функция, удовлеh(t ) тельностей l2(h) = l2( w ) с весом w = {e–2h(n)} n= определяется равенством Для элемента a пространства l2(h) введено преобразование Меллина показана корректность такого определения.

В параграфе 3.1 рассматривается (взвешенное) пространство Бергмана A2(C\{0}, dh(z)) = A2(h) функций f(z), аналитических вне начала координат комплексной плоскости С, для которых конечна норма || f(z)| A2(h)||2 = = {0|} f ( z ) | dµ h ( z ), где dh(z) = dh(rei) = (2)–1exp{–2 h (ln r ) } dh (ln r ) h~ (ln r ) и функция h(x) > 0 однозначно определяется из условия u(x + u(x)) – 2 u(x) + + u(x) – u(x)) = 1. Доказана изоморфность этого пространства пространству последовательностей l2(h) относительно преобразования Меллина (3.1):

Теорема 3.1.1. Для того чтобы функция F(z) принадлежала пространству Бергмана A (h) и удовлетворяла условию | F (re ) | d < 2 введем пространство т-мерных последовательностей l 2 (h) :

где n=(n1, …, nm) – мультииндекс, h(n) = выпуклых функций, определенных на всей действительной оси R, таких, что Преобразование Меллина элемента a пространства l 2 (h) определяется равенством Введем пространство Бергмана A2(Cт\{0}, dh(z)) = A2,т(h) функций f(z), аналитических вне начала координат т-мерного комплексного пространства Ст, для которых конечна норма || f(z)| A2,т(h)||2 = | f ( z ) | dµ h ( z ) = (2)–т Теорема 3.3.1. Для того чтобы функция F(z) принадлежала пространству Бергмана A2,т(h) и удовлетворяла условию | F (re ) | d