Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Б.Н.Ельцина

На правах рукописи

Хачай Олег Юрьевич

Асимптотика решений

сингулярно возмущенных

нелинейных дифференциальных уравнений

с дополнительными асимптотическими слоями

01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург – 2013

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, академик РАН Ильин Арлен Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Сулейманов Булат Ирекович, кандидат физико-математических наук, доцент Глебов Сергей Геннадьевич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математи­ ки и механики им. Н.Н.Красовского Ураль­ ского отделения Российской академии наук

Защита состоится 13 декабря 2013 г. в 15 часов на заседании диссертаци­ онного совета Д-002.057.01 при Институте математики с вычислитель­ ным центром Уфимского научного центра РАН, расположенном по адресу:

450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан 12 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Попенов С. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при ис­ следовании физических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так на­ зываемыми малыми параметрами, т.е. величинами, очень малыми по отно­ шению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после то­ го, как произведено их обезразмеривание). Уравнения с малыми параметрами называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохра­ нить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возму­ щениями уравнений) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозмущенной задаче) изменит по­ ведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю равномерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невоз­ мущенной) задачи. На практике малые параметры являются конечными, от­ личными от нуля величинами, и даже для регулярных задач высока актуаль­ ность обоснования полученных приближенных решений, оценивание погреш­ ности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество необходимых на практике задач, в которых равно­ мерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Боль­ шому количеству сингулярно возмущенных задач свойственно быстрое изме­ нение решения в некоторых узких областях — пограничных и переходных слоях.

Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докладом Л. Прандтля, в котором впервые было введено понятие по­ граничного слоя. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова, стали отправной точкой для последующего глубокого развития теории таких задач. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпу­ новым, в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Град­ штейном. Начиная с 1950-х годов основные направления развития этой тео­ рии связаны с применением метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Бо­ голюбов и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов, М. В. Федорюк и др.), асимптотических методов теории релаксационных колебаний (Л. С. Понтря­ гин, Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль, М. И. Вишик, Л. А. Лю­ стерник, А. Б. Васильева и др.), метода согласования асимптотических раз­ ложений (Л. Прандтль, С. Каплун, М. Ван-Дайк, А. М. Ильин и др.).

Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений. Исходное его название — метод двух асимптотических разложе­ ний. Метод использовался в 1940-е и 1950-е годы К. О. Фридрихсом, В. Р. Ва­ зовым, С. Каплуном, П. А. Лагерстромом и др. Начиная с 1960-х годов метод согласования стал применяться очень широко, не только в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других уравнений математической физики. По мере усложнения рассматриваемых сингулярных задач возраста­ ла роль и сложность процесса соединения получаемых отдельно внутреннего и внешнего разложений, важнейшей части метода, связанной с обоснованием построенных разложений. Большое количество конкретных примеров, иллю­ стрирующих процесс согласования, содержит книга М. Ван-Дайка1.

Получение и обоснование с помощью этого метода составных асимпто­ тических разложений с доказательством равномерных оценок приближения с точностью до произвольной степени малого параметра для широких клас­ сов задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных были получены А. М. Ильиным и его учениками: А. Р. Данилиным, Л. А. Калякиным, Р. Р. Гадыльшиным и др..

Большое внимание в рамках научной школы А. М. Ильина уделяется иссле­ дованию особых сингулярных задач, для которых коэффициенты внешнего разложения имеют нарастающие особенности во внутреннем слое, такие за­ дачи называются бисингулярными. Хотя исследования асимптотическими ме­ тодами в основном сосредоточились на уравнениях в частных производных, некоторые новые сложные эффекты, в том числе вызванные нелинейностью уравнений, исследовались и для ОДУ с малыми параметрами и их систем.

В монографии А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова2 исследована асимп­ тотика решения задачи Коши для системы ОДУ в случае, когда для выбира­ емой определенным образом неподвижной точки так называемой присоеди­ ненной системы выполнены условия теоремы о равномерной асимптотической устойчивости по первому приближению. В задачах, рассмотренных в диссер­ тации это условие не выполняется, более того, в последнем разделе главы рассмотрен частный случай задачи, при котором эта неподвижная точка ста­ новится неустойчивой.

В работах А. М. Ильина и Б. И. Сулейманова при построении согласо­ ванных разложений преодолена с помощью логарифмического сдвига незави­ симой переменной внутреннего слоя проблема, состоящая в том, что стандарт­ ный подход приводит к неограниченному множеству показателей логарифмов малого параметра при фиксированном показателе степени этого параметра.

Для этой же цели в монографии А. М. Ильина3 применяется замена сте­ пенно-логарифмических калибровочных функций рациональными функция­ ми. В диссертации сформулированы условия, при которых указанной про­ блемы можно избежать для степенно-логарифмической системы функций с Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. С. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.:

Высш. шк., 1990. С. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

С. 336.

линейным ростом максимальных степеней логарифмов переменной с измене­ нием степени переменной.

Кроме того, для рассмотренных в диссертации задач может нарушаться стандартное условие согласования, заключающееся в равенстве частичных сумм специальных формальных рядов. Это препятствие преодолевается до­ казательством приближенного асимптотического соотношения, заменяющего указанное точное равенство, и последующим доказательством теоремы о рав­ номерном приближении решения составным разложением.

А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева исследовали поведение решения задачи Коши в случае, когда ветви многозначной функции, являющейся решением предельного уравнения, пересекаются. Для задач, исследуемых в данной дис­ сертации также возможны частные случаи, когда ветви этой функции имеют общую точку, но не точку пересечения, а точку касания.

Задачи, исследованные в диссертации, являются естественными обобще­ ниями рассмотренных ранее задач и представляют важное направление в теоретических исследованиях, что и обеспечивает ее актуальность.

Цель диссертационной работы. Построение и обоснование асимпто­ тики решения сингулярной начальной задачи для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Для достижения поставленной цели были использованы следующие мето­ ды: метод согласования асимптотических разложений, асимптотические мето­ ды анализа, классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Теоретические результаты диссертации позволяют находить равномерные асимптотические приближения решений бисингулярных задач Коши для систем ОДУ с малым параметром. Такие за­ дачи возникают, в том числе, при анализе нелинейных задач математической физики.

На защиту выносятся основные результаты и положения:

1. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разло­ жение решения бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкно­ венного дифференциального уравнения, правая часть которого имеет в начальной точке нуль высокого порядка малости по искомой функции.

Полученное разложение обеспечивает точность приближения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

2. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое раз­ ложение решения бисингулярной задачи Коши для системы двух нели­ нейных обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит малый параметр при старшей производной и правую часть, имеющую в начальной точке нуль высокого порядка малости по иско­ мой функции. Полученное разложение обеспечивает точность прибли­ жения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

3. Получен новый вид соотношения согласования для степенно-логариф­ мических формальных асимптотических разложений по малому пара­ метру в двух смежных асимптотических слоях решения задачи Коши для системы конечного числа ОДУ с различными степенями малого па­ раметра при производных, это новое соотношение позволяет получить равномерное приближение для классов сингулярных задач Коши, рас­ смотренных в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Актуальные проблемы теории устойчиво­ сти и управления» (Екатеринбург, УрО РАН, 2009) [6], на Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, УНЦ РАН, 2013) [7], на Международной молодежной школе-конференции «Совре­ менные проблемы математики» (Екатеринбург, УрО РАН, 2013) [8], на кон­ ференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007), а также на научных семинарах в ИММ УрО РАН, УрФУ, ИМВЦ УНЦ РАН и ЧелГУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных ра­ ботах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [1–5], входящих в перечень ВАК, и 3 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Полностью самостоятельно выполнены работы [5], [7]. В работах [2, 4], [9] научному руководителю А. М. Ильину принадлежит по­ становка задачи, им же предложена методика исследования, однако все ре­ зультаты этих работ получены диссертантом самостоятельно. Работы [1], [6] выполнены совместно с научным руководителем А. М. Ильиным, а статья [3] — с А. М. Ильиным и Ю. А. Леонычевым. Результаты, опубликованные в совместных работах и включенные в диссертацию, получены автором са­ мостоятельно. Автор благодарен научному руководителю А. М. Ильину за предложенную постановку задачи и помощь в работе над диссертацией.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, списка используемых обозначений, 3 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объем диссертации страница, из них 145 страниц текста, 26 страниц приложений, включая рисунка и 4 таблицы. Библиография включает 112 наименований на 10 стра­ ницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В главе 1 рассматривается задача Коши для нелинейного ОДУ первого порядка с малым параметром при производной, правая часть которого имеет неположительную вторую производную во всей рассматриваемой области и нуль по искомой функции порядка 3 в начале координат. Вариант этой задачи при = 2 рассмотрен в монографии А. М. Ильина.

В вводном §1.1 кратко характеризуется порядок распределения матери­ ала диссертации по главам.

В §1.2 производится постановка задачи Коши где [0, ], > 0 — малый параметр, — положительная постоянная.

Пусть функция (, ) — бесконечно дифференцируема для всех (, ) (0, +), 2 (, ) =. В малой окрестности нуля функция (, ) Далее отмечается, что данная задача является частным случаем задачи Коши для системы (15) двух уравнений, рассмотренной в главе 2. Однако строение асимптотики задачи (1) имеет некоторые частные отличительные черты по сравнению общим классом решений систем вида (15). Одним из важнейших отличий является то, что для задачи (1) оказывается возможным построить правильное внешнее разложение в виде степенного ряда по, при­ чем выполнить это построение независимо от промежуточного и внутреннего разложений и начальных условий задачи.

В §1.3 строится внешнее разложение в стандартном виде:

Для этого записывается рекуррентная система уравнений:

Доказывается существование функции 0 () 0, однозначно определяемой из конечного уравнения (3) в каждой точке [0, ], и асимптотическое разложение для нее: 0 () = + Затем находятся асимптотики решений уравнений (4):

которые имеют нарастающие особенности в нуле, поэтому задача (1) является бисингулярной.

В §1.4 строится внутреннее разложение. Делается замена переменных =, (, ) (, ), вводятся в рассмотрение ряды Рекуррентная система для коэффициентов ряда (5) имеет вид:

Из (1) естественным образом получаются начальные данные:

Доказывается, что решение 0 ( ) задачи Коши (6), (8) существует и един­ ственно при 0, может быть продолжено на луч [0, +) и разлагается в асимптотический ряд где 0,0 = ( 1)1/(1) ; причем это решение 0 ( ) строго убывает на луче [0, +). Находятся асимптотики решений задач (7), (8) при +.

В §1.5 строится промежуточное разложение. Выполняется замена пе­ ременных = /(21), (, ) = 1/(21) (, ). Находятся формальные ряды, получаемые преразложением рядов (5) в переменную Записывается рекуррентная система уравнения Доказывается существование и единственность решения 0,0 () C (0,+) уравнения (11), удовлетворяющего асимптотике 0,0 = 1 + (1) при 0; причем это решение раскладывается в асимптотические ряды Далее доказывается теорема о существовании решения системы (11)–(12) такого, что каждая из функций, () при +0 разлагается в асимпто­ тический ряд, (), задаваемый формулой (10). Для построенных функций, () обосновываются асимптотические соотношения:

В §1.6 доказывается согласованность построенного независимо внешне­ го разложения с промежуточным. Ряды (9), после перехода к переменной внешнего слоя, образуют формальные ряды Доказывается, что существуют решения уравнений (3)–(4), которые при­ надлежат C (0, 0 ] для некоторого 0 > 0 и имеют асимптотические разложе­ ния (14) при 0, такие, что ряды (13) и (9) согласованы. Доказывается, что в ряде (13) коэффициенты при нецелых степенях тождественно равны нулю и ряды (13) и (2) в точности совпадают.

В §1.7 определяется составное асимптотическое разложение (, ) = +, (, ), где = 1/(2 1), и доказывается оценка:

где (, ) — решение исходной задачи (1), > 0.

В §1.8 для двух частных случаев задачи (1) построены графики главных членов трех асимптотических разложений и составного разложения.

Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [2],[9] и доложены на конференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007).

В главе 2 рассматривается бисингулярная начальная задача для систе­ мы ОДУ с одним малым параметром, асимптотика решения которой может быть построена в виде степенно-логарифмических рядов на двух погранич­ ных слоях и внешнем слое.

В §2.1 приведена постановка задачи Коши.

где > 0 — малый параметр и выполнены следующие условия.

1. Функции (,, ) и (,, ) бесконечно дифференцируемы на мно­ 2. На множестве при > 0, > 0 справедливо неравенство где > 2, целое число. Кроме того, (0, 0, 0) < 0, причем без ограничения общности будем считать, что (0, 0, 0) = !. 4. (0, 0, 0) = 0.

В §2.2 строится внутреннее разложение решения. В окрестности началь­ ной точки вводятся новая растянутая переменная = 1 и обозначения для неизвестных функций: (, ) (, ), (, ) (, ). Уравнения для функций, имеют вид Асимптотические ряды функций и ищутся в виде лучается система рекуррентных соотношений где функции ( ) и 1 ( ) зависят от и с индексами, меньшими, чем.

В теореме 2.2.1 диссертации доказано, что решения задач Коши (18) (19) существуют, единственны и продолжимы на весь луч [0, ), а также найдены их асимптотические разложения при.

В §2.3 построено промежуточное разложение решения. Для этого про­ изведена замена переменных =, (, ) (, ), (, ) (, ), где = 1/(2 1). Применив замечание 3.3.1 получим вид асимптотических рядов промежуточного слоя:

Уравнения для функций, имеют вид: 21,1 () 0, 21,1 (0) = 2, Далее в диссертации приводится теорема о существовании функций, () и, (), являющихся решениями системы уравнений (23)–(24) для которых, соответственно, ряды (21) и (22) являются асимптотическими представлени­ ями при 0. Таким образом, согласованные между собой ряды (20) и (17) полностью построены. Далее доказываются асимптотические представления для коэффициентов рядов (20) при :

В §2.4 производится переразложение рядов (20) в исходную перемен­ ную =. В результате образуются ряды внешнего разложения для коэффициентов которых записываются формальные ряды и записывается система уравнений индексами 1 и 2, меньшими, чем.

Далее доказывается теорема о существовании решений уравнений (26)–(27), которые принадлежат C (0, 0 ] для некоторого 0 > 0 и имеют асимптотические разложения (25) при 0. Ряды (25) имеют нарастающие особенности в нуле, поэтому задача (15) является бисингулярной.

В §2.5 с помощью определения 3.3.2 определяется составное разложение Теорема 2.5.1. При достаточно малых значениях параметра решение (, ), (, ) задачи (15) существует на отрезке [0, 0 ].

Существуют числа > 0 и 0 1 такие, что на всем отрезке [0, 0 ] для функции (, ) = ( (, ) (, ), (, ) (, )) справедлива В §2.6 для частного случая задачи (15) построены графики главных членов трех асимптотических разложений и составного разложения.

Основные результаты главы 2 опубликованы в работе [4] и доложены на конференции [6]. Для частного случая, когда порядок вырождения правой части уравнения, содержащего малый параметр, по искомой функции равен 2, исследование этой задачи в кратком виде было опубликовано в статье [1] и с подробными доказательствами — в работе [3].

В главе 3 для сингулярной начальной задачи с одним малым парамет­ ром, различные степени которого являются коэффициентами при производ­ ных системы обыкновенных дифференциальных уравнений, обосновывается возможность осуществить переход между любыми смежными асимптотиче­ скими слоями в рамках метода согласования асимптотических разложений.

В §3.1 осуществляется постановка задачи в целом. Пусть заданы систе­ ма ОДУ, вообще говоря, нелинейных, и начальные условия:

где (0, 0 ) — малый параметр, 0 (0, 1), =, 1,..., — глад­ {1,..., }. Показатели параметра удовлетворяют условиям Пусть, также,,0 = 0, если = 1; в остальных случаях,0 = 0.

Требуется построить асимптотическое разложение решения данной зада­ чи, обеспечивающее равномерное по из некоторого промежутка [0, 0 ] при­ ближение решения при 0 с точностью до произвольной степени. Зна­ чение 0 (0, ) таково, что отрезок [0, 0 ] вложен в область определения коэффициентов асимптотического разложения в наиболее внешнем слое.

Задача (28), (29) является сингулярной, поскольку из условия (30) следу­ ет, что хотя бы в одном из уравнений системы (28) малый параметр является коэффициентом при производной. Применение к ней метода согласования асимптотических разложений заключается в построении цепочки согласован­ ных асимптотических разложений, хорошо приближающих точное решение задачи в соответствующих слоях, объединение которых включает упомяну­ тый выше отрезок [0, 0 ], и в преобразовании этой цепочки в единое составное разложение, для которого доказывается теорема о равномерном приближе­ нии решения на всем отрезке [0, 0 ].

Каждый асимптотический слой имеет характерный масштаб по незави­ симой переменной, определяемый заменой =, разложение в -м слое будем строить в виде рядов используя обозначения ; (, ) (, ) для искомых функций и под­ разумевая выполненными следующие неравенства:

Везде в диссертации предполагается,что в качестве верхнего предела сум­ мирования берется целая часть записанного значения.

На предварительном этапе нужно построить цепочку показателей таких, чтобы {1,..., 1} соответствующие значениям и +1 глав­ ные члены асимптотик коэффициентов ;;, ( ) и +1;;, (+1 ) рядов (31) были согласованы между собой при и +1 0 соответственно. В цепочке (33) наиболее внутреннему разложению отвечает 1 = 1, для самого внешнего слоя = 0.

В §3.2 ставится задачи о переходе между асимптотическими слоями.

Рассматриваются два произвольных смежных асимптотических слоя, соот­ ветствующих цепочке (33), определяемых заменами независимой переменной = и +1 +1, соответственно. Предполагается, что искомое ФАР решения задачи (28), (29) обладает структурой ряда (31). Далее применяется ляются в исходную систему (28):

Функция, 1,..., заменяется ее формальным рядом Тейлора ;

в точке Q ( ) = lim, ;1 (, ),..., ; (, ), существование и ко­ нечность которой вытекают из соотношений (32) и (33), и в таком виде под­ ставляется в левую часть уравнения (34). В полученном выражении формально приводятся подобные и производится упорядочивание по степе­ ням и ln. Коэффициенты при этих степенях приравниваются к нулю и получается рекуррентная система ОДУ для коэффициентов ряда (31).

Поскольку везде ниже в главе 3 рассматриваются и +1 для одного фиксированного значения, вводятся обозначения без индекса :

тогда выполняются соотношения 0 2 < 1 1, Пусть набор функций ;, () является решением найденной рекуррент­ ной системы ОДУ и подставлен в ряды (37). Ряды (37) заменяются их частич­ ными суммами в выражении (35). Коэффициенты при некотором числе старших из степеней и ln равны нулю. Предполагается, что существует взаимосвязь между верхним пределом суммирования частичной суммы (38) и минимальным показателем степени, при которой остаются ненулевые коэффициенты:

Предполагаются известными асимптотические разложения функций ;, ():

при, допускающие почленное дифференцирование. Вводятся обозна­ циенты ;, ;, ;, ; Q при всех = 1... предполагаются удовлетво­ ряющими следующим условиям, среди которых находятся все условия (32):

Если ;0 = ;1 = 0, то полагаем ;2 = ;3.

В §3.3 производится оценка невязки, создаваемой переразложенной асимп­ тотикой в системе уравнений следующего слоя.

Обозначим через (, ) формальные ряды, возникающие при подста­ новке асимптотик (40) в ряды (37):

О п р е д е л е н и е 3.3.1. Зададим на множестве всех пар рациональ­ ных чисел функцию (1, 2 ) по следующему правилу:

где знак НОД обозначает операцию нахождения наибольшего общего делите­ ля двух целых чисел. Обозначим = (;2, ;3 ).

О п р е д е л е н и е 3.3.2. Следующим сочетанием символов:,, будем обозначать операцию выделения частичной суммы формального ряда, составленной из слагаемых вида 1 (ln )2 1 (ln )2, показатели степеней в которых удовлетворяют неравенствам 1 и 1, причем величина может быть некоторой функцией от 1 и 2, аналогично, запись,, зададим неравенствами 1 и 1.

Обозначим частичные суммы рядов (43):

Лемма 3.3.1. Существует формальный ряд такой, что замена переменной = в произвольной частичной сум­ ме (44) ряда (43) приводит к следующему результату:

Для остаточного члена ;, (, ) выполняется оценка Замечание 3.3.1. Если ;1 = ;0 = 0, то и соотношение (46) с учетом обозначения (45) принимает вид В общем случае тождество вида (50) не имеет места потому, что резуль­ тирующая сумма (48) не является частью формального ряда (, ).

Используя сведения о пределах суммирования и шаге изменения показателя в формальном ряде (45), зададим эти параметры для ФАР (, ) вида (31), указанного в замене обозначений (36).

+1;;1 = ;;1 (;;3 ) и, таким образом, получим формальный ряд с коэффициентами которого свяжем формальные ряды Соотношение (46) с оценкой (49) дают новый вид условия согласования асимптотических разложений в двух смежных слоях — рядов (43) и (51).

Получим систему уравнений для функций ;, () — коэффициентов ря­ дов (51). Подстановка переменной = 2 и формальных рядов (, ) в исходную систему (28), приводит к системе уравнений Пусть функции ;, () удовлетворяют системе уравнений, полученной по стандартной схеме: функция, 1,..., заменяется ее формальным рядом Тейлора ; в точке Q+1 () = lim 2, 1 (, ),..., (, ) и в та­ ком виде подставляется в левую часть уравнения (34). Пусть в полученном выражении 2 (, ) ; 2, 1 (, ),..., (, ) формально при­ ведены подобные и произведено упорядочивание по степеням и ln :

где ;0, ;1, ;0, ;1 — рациональные числа, причем ;1 > 0, ;0 0, ;1 0. Предположим, что в выражение ;, () могут входить функции ;, () только с индексами, удовлетворяющими условию, тогда систему уравнений можно будет рекуррентно решать относительно функций ;, (), такая ситу­ ация обычно имеет место на практике (например, в главах 1 и 2, а также, в монографии А. М. Ильина и работе [3]).

Теорема 3.3.2. Пусть ФАР системы уравнений (34), полученной из си­ стемы (28) подстановкой = 1, представляет собой ряды (37), чьи ко­ эффициенты имеют асимптотические разложения (40), для которых вы­ полнены условия (39), (41)–(42). Пусть формальные ряды (45) получены переразложением формальных рядов (43) из переменной в переменную = 2. Пусть рекуррентная система уравнений (53) для нахождения функций ;, () — коэффициентов рядов (51) — построена стандартным образом.

Тогда невязки, возникающие при подстановке частичных сумм ;1 ;1 +;0, ;, () формальных рядов (52) — коэффициентов рядов (45) — в систему (53) вместо функций ;, (), будут удовлетворять оценке Доказательство теоремы 3.3.2 основывается на применении следующей Лемма 3.3.2. Пусть при любых значениях натуральных величин и вы­ полнено равенство при всех (0, 0 ) и (, 0 ),)где 0 1. Пусть справедлива оценка где 1, 3, 1 и — положительные, 0 и 1 — неотрицательные, а 0, 0, 1, 2, 0, 0 и 1 — произвольные вещественные числа. Тогда Благодаря оценке (54), во-первых, на практике обычно удается доказать существование и продолжимость на весь асимптотический слой точных ре­ шений рекуррентной системы ОДУ, для которых они являются настоящими асимптотическими разложениями, и, во-вторых, ряд (51) при подстановке в него полученных точных решений оказывается ФАР по 0 согласующимся с рядом (37). В некоторых случаях ФАР системы уравнений (34) не удается записать в виде единой системы рядов, удовлетворяющих условиям (41)–(42).

Оказывается, заключение теоремы 3.3.2 остается верным в случае, когда усло­ вия (41)–(42) выполняются не для самих рядов (40), а для их составляющих.

Теорема 3.3.3. Пусть частичные суммы (38) рядов (37) могут быть раз­ ложены на составляющих:

при имеет место соотношение вида (40) Пусть при каждом фиксированном значении = 1,..., коэффициен­ ты построенных по аналогии с рядами (43) формальных рядов, (, ) удовлетворяют всем условиям (41)–(42) и при подстановке рядов (37) в си­ стему уравнений системы уравнений (34) выполняется условие (39).

Тогда заключение теоремы 3.3.2 будет верно.

В §3.4 приведены некоторые вспомогательные утверждения для согла­ сования асимптотических разложений, используемые в главах 1 и 2.

Основные результаты главы 3 опубликованы в работе [5]. Краткая схема доказательства леммы 3.3.2 опубликована в статье [3]. Также, результаты глав 2 и 3 доложены на конференциях [7, 8].

В Заключении автор кратко резюмирует результаты диссертации.

В Приложении А определены формальные ряды с неопределенными коэффициентами, используемые в диссертации, и приведены их свойства.

В Приложении Б подробно анализируется пример из §2.6.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах 1. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Сингулярная начальная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // До­ клады РАН. 2008. Т. 422, № 4. С. 1–4.

2. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения начальной задачи для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального урав­ нения // Дифф. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 270–272.

3. Ильин А. М., Леонычев Ю. А., Хачай О. Ю. Асимптотика решения систе­ мы дифференциальных уравнений с малым параметром и с особой началь­ ной точкой // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 1. С. 81–102.

4. Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы нелинейных дифференциаль­ ных уравнений с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47, № 4. С. 605–608.

5. Хачай О. Ю. О согласовании степенно-логарифмических асимптотических разложений решения сингулярной задачи Коши для системы ОДУ // Тру­ ды ИММ УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 300–315.

Другие публикации 6. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Асимптотика решения вырожденной системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Актуальные про­ блемы теории устойчивости и управления: Тез. докл. Междунар. конф. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2009. С. 79–81.

7. Хачай О. Ю. Matching of power-logarithmic asymptotic expansions of singular Cauchy problem for system of ODEs // Нелинейные уравнения и комплекс­ ный анализ. Тез. докл. Междунар. конф. / Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: 2013. — 3. С. 54.

8. Хачай О. Ю. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром // Современные проблемы математики. Тез. докл. Междунар.

школы-конф. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2013. С. 157–159.

9. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения одной бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного уравнения первого поряд­ ка // Деп. в ВИНИТИ. 2005. Т. 16, № 174-В2005. С. 1–46.

при ФГБОУ ВПО «Уральская государственная архитектурно-художественная академия», 620075, г. Екатеринбург, ул. Карла Либкнехта, 23.