На правах рукописи

Мохаммади Фарсани Соруш

ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ТИПА

Специальность 01.01.01 вещественный, комплексный и

функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН).

Научный руководитель:

Степанов Владимир Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой математического анализа и теории функций РУДН;

Официальные оппоненты:

Гольдман Михаил Львович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН;

Васильева Анастасия Андреевна, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (Технический университет)

Защита состоится 23 апреля 2013 г. в 16 ч.00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. № 495a.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Россовский Леонид Ефимович –2–

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Историю дробного интегрирования следует, по видимому, вести с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе Н. Абеля1 в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение x (t)dt = f (t), x > a, 0 < < 1.

(x t) a Решение дано для произвольного (0, 1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю = 2. В 1832 1837 гг. появляется серия работ Ж.

Лиувилля, сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродифференцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям f (x), представимым в виде ряда ck eak x.

f (x) = k= Для них, по определению Ж. Лиувилля, ck a eak x, D f (x) = (0.0.1) k k= при любом (комплексном). Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.1), Ж. Лиувилль2 получает формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе Ж. Лиувилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) формулу (x + t)t1 dt, < x <, > 0, (0.0.2) D f (x) = (1) () Abel N. H. Solution de quelques problemes a l’aide d’integrales denites. // Oeuvres Completes.Grondahl, Christiania, Norway, 1881. V. 1. P. 16-18.

Liouville J. Memoire sur quelques Questions de Geometrie et de Mecanique, et sur un nouveau genre de Calcul pour resoudre ces Questions. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 1-69.

называемую теперь (без множителя (1) ) лиувиллевской формой дробного интегрирования.

Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана3, и X. Хольмгрена4. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г. спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.2) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в капитальной монографии5, где, в частности, выражение (0.0.3) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.

Для 0 < p < обозначим через Lp := Lp (R+ ) множество всех измеримых на R+ = [0, ) функций таких, что При p = полагаем Первой из круга задач, связанных с дробным интегрированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнарова15, X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера16, С. Блума и Р. Кермана17 а также В.Д. Степанова и его учеников.

Случай (0, 1), за исключением одного результата К. Андерсена и Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. // 2nd ed.Cambridge Univ. Press. 1952 (rst ed.

1934).

Talenti G. Osservasioni sopra una classe di disuguaglianze. // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V.

39. P. 171-185.

Tomaselli G.A. A class of inequalities. // Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1969. V. 2. P. 622-631.

Muckenhoupt B. Hardy’s inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-38.

Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms. // Canad. Math. Bull. 1978. V. 21. № 4. P. 405-408.

Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. // Л.: ЛГУ 1985.

Кокилашвили В.М. О неравенствах Харди в весовых пространствах.// Сообщ. АН ГССР. 1979. Т.

96. № 1. С. 37-40.

Riemenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators. // Tohoku Math. J. 1974. V. 26.

P. 385-387.

Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля I. // Препринт. ВЦ Л ВО АН СССР. Владивосток. 1988.

Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля II. // Препринт. ВЦ Л ВО АН СССР. Владивосток. 1988.

Степанов В.Д. Весовые неравенства типа Харди для производных высших порядков и их приложения.

// Доклады АН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1059-1062.

Степанов В.Д. О весовых неравенствах типа Харди для производных высших порядков. // Труды МИАН. СССР. 1989. Т. 187. № 5. С. 178-190.

Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля. // Известия АН, сер. матем. 1990.

Т. 54. № 3. С. 645-656.

Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов. // Доклады АН СССР.

1992. Т. 44. С. 291-293.

Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов. // Труды МИ РАН.

1993. Т. 204. С. 240-250.

Martn-Reyes J.F., Sawyer E.T. Weighted inequalities for Riemann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. P. 727-733.

Bloom S., Kerman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math.

Soc. 1991. V. 113. P. 135-141.

Bloom S., Kerman R. Weighted L integral inequalities for operators of Hardy type. // Preprint.

Э. Сойера18, оставался слабо исследованным. В 1994 г. в рамках изучения поведения sчисел одновесового оператора f v(I f ) в L2 в работе И.

Ньюмена и М. Соломяка19 был указан критерий ограниченности и компактности при > 2. Этот результат послужил отправной точкой для исследований в работе Д.В. Прохорова20, где получены критерии выполнения (0.0.4) при u 1, 0 < p, q <, p > max(1, ) и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров суммирования аналогичные результаты независимо получены А. Месхи21.

Во второй главе диссертации мы обобщаем эти результаты для оператора с локально суммируемыми весовыми функциями u(x) и v(x), при условии, что u монотонно убывает на R+. Также даны двойственные варианты этого результата.

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий Lp Lq ограниченности и компактности интегрального оператора вида где u(x) и v(x)неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что u монотонно убывает на R+.

Такая задача является новой, потому что ядро оператора не является ни дробным, ни класса Ойнарова, а произведением ядер этих типов.

В четвертой главе для семейств операторов Римана–Лиувилля рассматриваются проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Andersen K.F., Sawyer Е.Т. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. № 2. P. 547-558.

Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis. // Integr. Equat. Operl. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.

Prokhorov D.V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators. // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617-628.

Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators. // Georgian Math. J. 1998. V. 5. P. 564-574.

Цель работы • Получить необходимые и достаточные условия весовой ограниченности и компактности дробных операторов Римана–Лиувилля.

• Получить критерии выполнения весовых неравенств для интегральных операторов с ядрами, представимыми в виде произведения ядра Ойнарова и ядра дробного оператора Римана-Лиувилля.

• Изучить проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору для семейств операторов Римана–Лиувилля.

Методика исследования. В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа, теории интегральных операторов в пространствах суммируемых функций, блочно-диагональный метод и другие.

Научная новизна. Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл–корр. РАН В. Д. Степанова. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на международных конференциях: The 8th Сongress of ISAAC, Москва 2011; "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования,"посвященная 90-летию член-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2013.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и тезисах докладов на научных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (86 наименований). Объем диссертации составляет 82 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава "Интегральные операторы."

Первая глава содержит обзор известных результатов и описание некоторых особенностей интегральных операторов.

Вторая глава "Ограниченность и компактность дробных операторов Римана-Лиувилля."

Данная глава содержит следующие основные результаты.

Пусть M+ класс всех измеримых функций f : [0, ) [0, +]. Рассмотрим дробный оператор Римана-Лиувилля вида с локально суммируемыми весовыми функциями u и v. В первом параграфе найдены критерии Lp Lq ограниченности оператора T, когда 0 < p, q <, p > 1/, при условии, что u монотонно убывает на R+.

монотонно убывает на [0, ). Тогда неравенство выполнено, если и только если, A0 + A1 <, где и A1 := supkZ Ak, где Более того, C A0 + A1.

v M+ и u M+ монотонно убывает на [0, ). Тогда неравенство (0.0.5) выполнено, если и только если, B0 + B1 <, где Более того, C B0 + B1.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность T.

монотонно убывает на [0, ). Для компактности оператора T из Lp в Lq, необходимо и достаточно, чтобы A0 + A1 < и смотрим v M+, u M+ монотонно убывает на [0, ). Тогда оператор T : Lp Lq, компактен если и только если, B0 + B1 <.

В последнем параграфе приведены результаты об ограниченности и компактности двойственного оператора вида при условии, что u монотонно возрастает на R+ := [0, ).

монотонно возрастает на [0, ). Тогда неравенство выполнено, если и только если, A + A <, где и A := supkZ A, где и u M+ монотонно возрастает на [0, ). Тогда неравенство (0.0.6) выполнено, если и только если, B0 + B1 <, где Более того, C B0 + B1.

монотонно возрастает на [0, ). Для компактности оператора T из Lp в Lq, необходимо и достаточно, чтобы A + A < и и u M+ монотонно возрастает на [0, ). Тогда оператор T : Lp Lq, компактен если и только если, B0 + B1 <.

Третья глава "Ограниченность и компактность одного интегрального оператора."

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий Lp Lq ограниченности и компактности интегрального оператора вида где u(x) и v(x)неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что u монотонно убывает на R+.

В первом параграфе найдены критерии Lp Lq ограниченности оператора L,.

Теорема 9. Пусть > 0, max(, 1) < p q <, > 1. Пусть v M+ и u M+ монотонно убывает на [0, ).

I) Если + > 2 тогда неравенство выполнено, если и только если, A + B <, где Более того, C A + B.

II) Если 1 < + < 2 тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если, A + D <, где Более того, C A + D.

Пусть v M+ и u M+ монотонно убывает на [0, ).

I) Если + > 2 тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если, A + B <, где Более того, C A + B.

II) Если 1 < + < 2 тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если, A + D <, где Более того, C A + D.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность L,.

Теорема 11. Пусть > 0, > 1, max(, 1) < p q <. Пусть v M+ и u M+ монотонно убывает на [0, ).

I) Если + > 2 тогда оператор L, из Lp в Lq компактен, если и только если, A + B < и II) Если 1 < + < 2 тогда оператор L, из Lp в Lq компактен, если и только если, A + D < и Пусть v M+ и u M+ монотонно убывает на [0, ).

I) Если + > 2 тогда оператор L, : Lp Lq компактен, если и только если, A + B <.

II) Если 1 < + < 2 тогда оператор L, : Lp Lq компактен, если и только если, A + D <.

Четвертая глава "Проблема насыщаемости для операторов РиманаЛиувилля."

Данная глава содержит следующие основные результаты.

Пусть > 0 и := { (y)}семейство положительных функций, неубывающих по y таких, что L1 (I) для любого интервала I R+ и для всех x и u (0, 1), где Рассмотрим оператор Римана-Лиувилля вида Глава посвящена доказательству сходимости почти всюду (п.в.) и аналогичной проблеме сходимости по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Теорема 13. Предположим, что { (y)}. Пусть f локально интегрируемая функция на R+. Тогда в любой точке Лебега x R+ функции f имеем Пример 1. Пусть f измеримая функция на R+. Пусть существует 0 > 0 такое, что y 0 f (y) L1 (I) для каждого ограниченного подинтервала I R+. Если x R+ является точкой Лебега функции f, тогда где Замечание 1. При = имеем Пусть x > 0, > 0 и положим (x) := x. Тогда (x) = c x2+1 где Из формулы Стирлинга для приближённого вычисления факториала и гамма функции следует что Таким образом, когда, получим Замечание 2. Пусть 0 < 1. Тогда Определение 1. Пусть 0 < (x)измеримая функция. Для 0 < p < обозначим Lp (E) множество всех измеримых функций на E R+, таких, Теорема 15. Пусть a > 0 и { (y)}. Предположим, что существует (u) такое, что для всех u (0, 1) неравенство выполнено для всех x (0, a). Также предположим, что имеем Теорема 16. Пусть, { (y)}. Пусть существует (u), такая, что для всех u(0, 1), для всех x(0,a), и