На правах рукописи

Киселев Александр Сергеевич

Динамика нелинейных волновых полей в многомерных теориях гравитации

01.04.02 – теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ярославль 2011

Работа выполнена на кафедре общей физики Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Кречет Владимир Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор Фролов Борис Николаевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шикин Георгий Николаевич, кандидат физико-математических наук Портнов Юрий Алексеевич.

Ведущая организация: ФГУП Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы федерального агентства по техническому регулированию и метрологии РФ.

Защита состоится 1 ноября 2011 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу:

115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал №1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу:

117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая,

Автореферат разослан 30 сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Ю. П. Лаптев

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Основной предпосылкой для обширного привлечения геометрических идей в теоретическую физику стал успех ОТО и экспериментальное подтверждение ее предсказаний. ОТО геометризовала одно из фундаментальных взаимодействий - гравитацию и тем самым сподвигла физиков-теоретиков разрабатывать геометрические теории других взаимодействий. Первый вариант объединения гравитации и электромагнетизма был разработан Вейлем, которому пришлось для этого к рассматриваемому пространству-времени кроме кривизны добавить неметричность. Другой попыткой обобщения ОТО было рассмотрение пространств с кручением, предложенное Картаном. Новый шаг в геометризации взаимодействий сделал Калуца, предложив геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма в духе ОТО с одной дополнительной пространственной координатой. В дальнейшем идеи пятимерия исследовались и развивались в работах Эйнштейна, Бергмана, Йордана, Румера, Сурьо, Пытьева, Владимирова и др.

В 70-е гг. вновь возрос интерес к многомерным теориям в связи с тем, что их можно рассматривать как геометризацию теорий калибровочных полей. Другой причиной послужили исследования суперсимметричных теорий и теории супергравитации. Интенсивно развиваемая теория струн так же формулируется в многомерном пространстве (n = 11). В работах Владимирова и его группы был усовершенствован монадный формализм и обобщен метод 4+1-разбиения пятимерного пространства на случаи пространств большего числа измерений.

Так же возможен такой вариант направления исследований, как разработка пятимерной геометрической модели объединения гравитационных, слабых и электромагнитных взаимодействий, в которой наряду с кривизной пространства наличествуют еще кручение и неметричность. Такая теория построена в работах Кречета.

Актуальность данной работы, выполненной в рамках пятимерной геометрической теории физических взаимодействий, обусловлена возможностью применения этой теории для выявления ее вероятных наблюдаемых физических и астрофизических эффектов и исследование использования ее результатов в космологии. Особенно в связи с возникшей в недавнее время проблемой "темной материи" и "темной энергии", составляющих 96% всей массы Вселенной, а также в связи с поисками в теориях гравитации возможности существования геометрий пространства-времени с нетривиальной топологией, например типа "кротовых нор", проблема существования и образования которых интенсивно обсуждается в настоящее время.

Целью диссертационной работы является исследование возможных в рамках пятимерной геометрической теории астрофизических эффектов гравитационного взаимодействия геометризированных скалярного, магнитного и электрического полей, а так же построение модели гравитационного взаимодействия идеальной жидкости в многомерном пространстве Вейля и исследование получаемых из нее результатов.

Научная новизна. В работе получены астрофизические следствия и найдены возможные наблюдаемые эффекты объединенной пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма.

Показано, что геометризированное скалярное поле в рамках этой теории может образовывать пространство-время с нетривиальной топологией.

Показано, что геометризированное магнитное поле может образовывать пространство-время с геометрией кротовой норы как при взаимодействии с геометрическим скалярным полем, так и в его отсутствие.

Показано, что геометрические магнитное и скалярное поля при взаимодействии с вихревым гравитационным полем также могут образовывать пространство-время с топологией кротовой норы.

Получено полное решение пятимерной геометрической задачи РайсснераНордстрема при наличии геометрического скалярного поля.

На базе геометрической теории объединения гравитации и электромагнетизма с учетом возможного наличия неметричности пространства-времени построена nмерная теория гравитационного взаимодействия идеальной жидкости и показано, что источником неметричности может являться плотность потока массы сплошной среды. В рамках этой теории были построены и исследованы четырех- и пятимерные космологические модели.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях в области развития теорий типа Калуцы-Клейна и ее приложений в астрофизике и космологии.

Построенная теория гравитационного взаимодействия идеальной жидкости в пространстве с неметричностью Вейля может способствовать решению актуальных проблем современной космологии и космофизики.

Использование пакета символьных вычислений на ЭВМ может быть полезно при решении практических задач в различных областях применения постримановых пространств в гравитации и космологии.

Кроме того, разработанные методы и результаты могут найти применение в курсе теоретической физики и спецкурсах по отдельным проблемам теоретической физики, а также в тех научно-исследовательских центрах, которые занимаются исследованиями по теории гравитации, теориям электрослабых взаимодействий, многомерным теориям Калуцы-Клейна.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики" (Москва, РУДН, 2010), на российском семинаре "Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии" (Казань-Яльчик, 2010), на 14 Российской гравитационной конференции - Международной научной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Ульяновск, 2011), а также на научных семинарах Москвы и Ярославля.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, из них семь в изданиях, входящих в перечень ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы из 82 наименований.

Общий объем диссертации составляет 98 страниц текста, набранного в издательской системе LTEX.

Содержание работы Во введении обсуждена актуальность выбранной темы, представлен краткий обзор литературы по теме, сформулированы цели исследования и кратко охарактеризовано содержание диссертационной работы.

В начале первой главы формулируется в общем виде единая пятимерная теория гравитации и электромагнетизма. В частности, получена совместная система уравнений для гравитационного, электромагнитного и скалярного полей с постоянной гравитационной константой и переменным космологическим членом:

Здесь - ньютоновская гравитационная постоянная. В уравнение для скаR лярного поля входит слагаемое 6, что соответствует конформной инвариантности этого скалярного поля. Кроме того, поскольку в расширяющихся космологических моделях все поля убывают со временем, то и эф = будет убывать. То есть, данная теория естественным образом дает уменьшение космологического -члена.

Во втором параграфе исследуется гравитационное взаимодействие геометризированного скалярного поля в цилиндрически симметричной метрике. Получены и проанализированы точные решения пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна. Приведены условия, при которых метрика пространвствавремени имеет следующий вид:

То есть, скалярное поле геометрического происхождения может индуцировать появление дефекта азимутального угла в случае цилиндрической симметрии пространства-времени, что соответствует геометрии "космической струны".

В третьем параграфе рассматривается гравитационное взаимодействие скалярного поля геометрического происхождения в случае сферичесой симметрии пространства-времени. Получено общее решение вакуумных уравнений Эйнштейна. При выполнении определенных условий метрика пространства-времени приобретфет вид:

что соответствует геометрии пространства-времени "кротовой норы".

В четвертом параграфе решается пятимерная геометрическая задача Райсснера-Нордстрема при наличии скалярного поля геометрического происхождения в случаях сферической и цилиндрической симметрии пространства-времени. Получено полное решение этой задачи. Для цилиндрической симметрии найдены условия, при которых метрика пространствавремени примет вид:

Для данного решения не возможна плоская асимптотика. Но здесь существует особенность: g = 1, то есть расстояние от оси симметрии всегда постоянно, таким образом мы получаем еще один случай нетривиальной топологии пространства-времени – конгруэнцию цилиндров. Для сферической симметрии в зависимости от соотношения констант интегрирования можно получить различные результаты. Например при наложении определенного условия на константы эффективная метрика протранственно-временного сечения приобретет следующий вид:

Здесь в центре симметрии имеется сингулярность и отсутствует плоская асимптотика, а геометриеское скалярное поле определяется формулой D(r) = 1.

При наложении другого условия на значения констант эффективная метрика четырехмерного пространственно-временного сечения будет выглядеть так:

Что соответствует геометрии пространства-времени "кротовой норы"без плоской асимптотики. Рассмотрены все возможные соотношения между константами интегрирования, влияющие на вид метрики. В частном случае можно получить классическое решение Райсснера-Нордстрема, а так же вырожденное решение пятимерной задачи Шварцшильда.

Вторая глава посвящена исследованию гравитационного взаимодействия геометризированного магнитного поля.

В первом параграфе рассматривается азимутальное магнитное поле геометрического происхождения. Получено общее решение соответствующих уравнений. Определены условия возникновения "кротовых нор". Кроме того, в этом случае для азимутального магнитного поля имеем формулу E = как 1 и не имеет особенности на оси симметрии (при r = 0 H = 0).

Во втором параграфе исследуется гравитационное взаимодействие геометризированного азимутального поля со скалярным полем в случае цилиндрически симметричной метрики пространства-времени. Определяются условия, при которых возможно возникновение "кротовых нор". Проводится сравнение с результатами, полученными ранее (со случаем отсутствия скалярного поля).

В третьем параграфе рассматривается взаимодействие геометризированных продольного магнитного и скалярного полей в случае цилиндрической симметрии. Также получены и проанализированы точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна. Найдены условия, при которых метрика пространства-времени принимает следующий вид:

ds2 = eb(x+q) dt2 + e(2ba)(x+q) dx2 + cosh(x + q)d2 + e(ba)(x+q) dz 2 + + sinh(x + q)d(dx4) + cosh(x + q)(dx4) где a, b, k, l, q = const, k < 0. Здесь коэффициент при d2, отвечающий за расстояние от оси симметрии, нигде не обращается в нуль.

В четвертом параграфе исследуется гравитационное взаимодействие геометрических азимутального магнитного и скалярного полей с вихревым гравитационным полем в цилиндрически симметричном пространстве-времени.

Получены точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна, показано, при каких условиях коэффициент g22 + g00, отвечающий за расстояние от оси симметрии, ведет себя таким образом, что появляется возможность образования "кротовой норы".

глава посвящена исследованию гравитационного взаимоТретья действия однородной изотропной идеальной жидкости в пространстве Эйнштейна-Вейля.

В первом параграфе выводятся основные уравнения теории сначала для случая четырехмерного пространства, а затем в более общем виде - для пространства n измерений. В качесте материального источника гравитационного поля рассматриваем идеальную жидкость, описываемую лагранжианом:

здесь l - ковариантная производная пространства W4, - плотность массы, () - внутренняя энергия, U l - плотность потока массы, k, ki - лагранжевы множители, обеспечивающие выполнение закона сохранения массы l (U l ) = 0, нормировки скорости Ul U l = 1 и сохранения нумерации частиц U l l x = 0 (x - лагранжевы координаты частиц), c - скорость света.

Гравитационный лагранжиан в общем случае n измерений будет выглядеть следующим образом:

где, - некоторые константы, R без учета дивергентных членов имеет вид:

а AB есть сегментарная кривизна:

Вектор Вейля примет вид:

Система уравнений, определяющая поведение гравитационного поля и характеристики идеальной жидкости в пространстве с неметричностью Вейля для случая n измерений будет выглядеть следующим образом:

Если же вектор Вейля является градиентным WA =,A, то эта система примет более простой вид:

GAB = [(n 1)(n 2) ](,A,B,C,C gAB ) + [(p + )UA UB pgAB ];

Здесь - оператор Даламбера: = 1 ( gg ik,i ),k.

Видно, что в этом случае мы имеем уже два геометрических скалярных поля: g44 = 4 и потенциал неметричности, который так же можно назвать дилатонным зарядом.

Во втором параграфе приводится пример решения системы уравнений гравитационного поля и материи с тензором энергии-импульса идеальной жидкости в случае четырехмерного пространства, описываемого метрикой Фридмана:

но с учетом неметричности Вейля. Проводится сравнение полученных решений с фридмановскими решениями.

В третьем параграфе рассматривается возможность существования равновесных конфигураций для астрофизических объектов в рассматриваемой теории при различных уравнениях состояния материи. Получены решения соответствующих уравнений. Проводится сравнение результатов с выводами ОТО.

В четвертом параграфе исследуются пятимерные однородные космологические модели с идеальной жидкостью. Сначала для сравнения рассматривается пятимерная модель в римановом пространстве. Затем исследуется эволюция пятимерной космологической модели в рамках построенной теории гравитационного взаимодействия идеальной жидкости, индуцирующей неметричность пространства-времени вейлевского типа. Получены и проанализированы решения соответствующих уравнений для различных уравнений состояния.

Четвертая Mathematica с пакетами расширений CARTAN и CartanWeil. Дается принцип использования пакетов. Описывается на примерах способ получения уравнений Эйнштейна для исследуемой метрики.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Для гравитационного взаимодействия геометрического скалярного поля в случаях сферической и цилиндрической симметрии пятимерного пространства-времени найдены точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна для соответствующих метрик. Показано, что геометрическое скалярное поле может образовывать пространство-время с нетривиальной топологией в виде космических струн и "кротовых нор".

2. Получено полное решение геометрической задачи РайсснераНордстрема при наличии скалярного поля в рамках единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма. Показано, что геометризированное электрическое поле при взаимодействии со геометрическим скалярным полем может образовывать пространство-время с геометрией "кротовых нор" и некоторые другие особые типы геометрии.

3. В рамках пятимерной геометрической теории для гравитационного взаимодействия геометризированного магнитного поля исследованы случаи наличия одного азимутального магнитного поля, азимутального магнитного поля со скалярным полем, продольного магнитного поля со скалярным полем и найдены точные решения соответствующих уравнений. Показано, что геометризированное магнитное поле, как при наличии геометрического скалярного поля, так и при его отсутствии, может индуцировать образование "кротовых нор".

4. Получены решения уравнений, описывающих гравитационное взаимодействие азимутального магнитного и скалярного полей с вихревым гравитационным полем. Показано, что в этом случае также могут образовываться "кротовые норы".

5. В рамках многомерной геометрической теории с неметричностью, для пространства-времени n измерений получены основные уравнения теории, описывающей гравитационное взаимодействие идеальной жидкости.

6. В рамках многомерной геометрической теории получены решения уравнений, описывающих однородные изотропные космологические модели для пятимерного риманова пространства и для четырех- и пятимерного пространства Вейля с различными уравнениями состояния материи и показано, что неметричность замедляет космологическое расширение. Построены модели, соответствующие современным наблюдательным данным.

Публикации по теме диссертации 1. Kiselev A.S., Krechet V.G., Frolov B.N. Some astrophysical eects of the ve-dimensional geometric theory of gravitation and electromagnetism. // Gravitation and Cosmology, 2010. v.16, №4, p.283-287.

2. Киселев А.С., Кречет В.Г. Астрофизические эффекты пятимерной геометрической единой теории гравитации и электромагнетизма. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2010, №3.

3. Киселев А.С., Кречет В.Г. Об эффектах скаляризма в пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2010, №7.

4. Киселев А.С., Кречет В.Г., Фролов Б.Н. Некоторые астрофизические эффекты пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2010, №10.

5. Киселев А.С. Космологическая проблема в пятимерном пространствевремени. // Ярославский педагогический вестник. Серия Физикоматематические и естественные науки, вып.1, 2010.

6. Киселев А.С., Кречет В.Г. Некоторые астрофизические эффекты пятимерной геометрической единой теории гравитации и электромагнетизма. // Ярославский педагогический вестник. Серия Физикоматематические и естественные науки, вып.2, 2010.

7. Киселев А.С., Кречет В.Г. Космологическая проблема в пятимерном пространстве Римана-Вейля с идеальной жидкостью. // Ярославский педагогический вестник. Серия Физико-математические и естественные науки, вып.1, 2011.

8. Киселев А.С. Пятимерная космология. // Сборник материалов VIII научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов. Ярославль, 2007.

9. Киселев А.С, Кречет В.Г., Фролов Б.Н. Геометрические и физические следствия обобщенной геометрической модели физических взаимодействий.

// В сб. Международная конференция Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизии. 27 июня – 3 июля 2010 г., РУДН, Москва, Россия. М.: РУДН, 2010.- с.69-70.

10. Киселев А.С., Кречет В.Г., Фролов Б.Н. Возможные астрофизические эффекты единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма.

// В сб. Международная конференция Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики. 27 июня – 3 июля 2010 г., РУДН, Москва, Россия. Тезисы докладов. – М.: РУДН, 2010.- с.130-131.

11. Киселев А.С., Кречет В.Г., Фролов Б.Н. Применение компьютерных символьных вычислений при исследовании 5-мерной модели физических взаимодействий. // В сб. Летняя школа-семинар Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии – GRACOS-2010, 6 сентября 2010 г. Казань-Яльчик. Труды семинара. – Казань: Издательство Фолиантъ, 2010. – с.210.

12. Киселев А.С., Кречет В.Г. Пятимерная геометрическая задача Расснера-Нордстрема с геометрическим скалярным полем. // В сб. 14-ая Российская гравитационная конференция-Международная научная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. 4-ая Ульяновская международная школа-семинар "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии". Сборник тезисов докладов международной научной конференции/Под общей ред. проф. С.В. Червона. Ульяновск: УлГПУ, 2011., с.107.

"Динамика нелинейных волновых полей в многомерных теориях Исследуются результаты и возможные наблюдаемые эффекты единой пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма.

Получены точные решения уравнений Эйнштейна, описывающих гравитационное взаимодействие геометризированных магнитного и электрического полей с геометрическим скалярным полем. Построена модель гравитационного взаимодействия идеальной жидкости в пространстве Вейля и рассмотрены некоторые ее космологические результаты.

"The dynamics of nonlinear wave elds in multi-dimensional theories We study the results and possible observable eects of a unied vedimensional geometric theory of gravitation and electromagnetism.

Exact solutions of Einstein’s equations describing the gravitational interaction geometrized magnetic and electric elds with geometric scalar eld. A model of the gravitational interaction of a perfect uid in a Weyl space and discuss some of the cosmological results.