На правах рукописи

ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

А В Т О Р Е Ф Е РАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2013

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и фундаментальная информатика»

ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Романовский Рэм Константинович,

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет»

Логинов Борис Владимирович,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет»

Чугунов Владимир Аркадьевич, доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Казанский федеральный университет»

Федеральное государственное бюджетное

Ведущая организация:

учреждение науки «Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук», г. Новосибирск

Защита состоится 3 октября 2013 г. в 14 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, НБ КФУ).

Автореферат разослан «_» 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент Е. К. Липачёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последние десятилетия интенсивно развивается возникшая на стыке теории дифференциальных уравнений и теории управления проблематика, связанная с разработкой и анализом математических моделей управления волновыми процессами, описываемыми краевыми задачами для гиперболических уравнений.

Интенсивное развитие этой проблематики началось в связи с потребностями практики в 1970–90-е гг. в работах Ж.-Л. Лионса, О. Ю. Эмануилова, Ф. П. Васильева, А. И. Егорова, М. М. Потапова. В последние годы продолжаются интенсивные исследования по математическим моделям граничного управления волновыми процессами.

Большой цикл В. А. Ильина, Е. И. Моисеева и их учеников посвящен граничному управлению колебаниями струн и стержней.

Одна из актуальных задач теории управления – разработка методов граничного управления процессом теплопереноса в сплошных средах. В последние годы интенсивно развивается гиперболическая (волновая) теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в классической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла и описывающая быстропротекающие процессы теплопереноса. Цикл работ О. Г. Жуковой и Р. К. Романовского посвящен разработке математических моделей граничного управления теплопереносам в рамках этой теории. Рассматриваются краевые задачи для гиперболической системы уравнений теплопроводности, моделирующие теплоперенос в однородном изотропном материале.

Ставится задача поиска температурного режима на границе тела, обеспечивающего заданное распределение температуры тела в заданный момент времени. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений.

Представляет теоретический и практический интерес продолжение этих исследований по двум направлениям.

I. Перенос указанных результатов по граничному управлению теплопереносом в двумерном и трехмерном материале на случай анизотропного материала.

II. Решение – в случаях одномерного, двумерного и трехмерного материала – задачи выбора из построенных классов допустимых граничных управлений оптимального, минимизирующего заданный функционал потерь.

Цель работы: решение задач управления, указанных в пунктах I и II.

Из сказанного выше следует актуальность темы диссертации.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты.

1. Решена задача оптимального одностороннего граничного управления теплопереносом в стержне с квадратичным функционалом потерь.

2. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода семейств гиперболических систем, ассоциированных с двумерной и трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности в общем случае анизотропного материала.

3. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений теплопереносом в анизотропной пластинке и в анизотропном пространственном теле звездной формы.

4. Решена в каждом из этих случаев задача выбора оптимального граничного правления с квадратичным функционалом потерь. В качестве следствия получены решения задачи оптимального граничного управления теплопереносом в изотропном двумерном и трехмерном материале.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты вносят существенный вклад в теорию оптимального граничного управления процессами в сплошных средах. Они могут использоваться специалистами по теплофизике и теплоэнергетике при решении конкретных задач управления процессом теплопереноса, а также при подготовке студентов вузов по этим специальностям.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (два доклада, Омск, апрель 2011 г.), на IV Международной конференции МПМО- «Математика, ее приложения и математическое образование» (Улан-Удэ, июнь 2011 г.), на Х международной Четаевской конференции (Казань, июнь 2012 г.), на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (Омск, апрель 2012 г.), на VII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов, машин» (два доклада, Омск, ноябрь 2012 г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из них статьи [1–4] – в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 84 наименований, включая работы автора.

В каждой главе использована своя нумерация параграфов, рисунков, формул и теорем. Объем диссертации – 97 страниц.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Р. К. Романовскому за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и дается краткая аннотация результатов работы.

1. Глава 1 носит подготовительный характер. Здесь вводятся основные понятия и теоремы, на которые опирается дальнейшее изложение.

В § 1.1 приведена схема обобщенного метода Лагранжа.

В § 1.2 изложены систематически используемые в работе сведения о матрицах Римана первого и второго рода одномерной гиперболической системы.

В § 1.3 приведена гиперболическая модель теплопроводности для случая анизотропного материала.

§ 1.4 содержит используемые в главе 2 сведения о матрицах Римана одномерной гиперболической системы теплопроводности.

Приведенная в § 1.3 гиперболическая система уравнений теплопроводности имеет вид Здесь первое уравнение – закон сохранения энергии, второе – обобщенный закон Фурье (релаксационное соотношение первого порядка), T(x, t), q(x, t) – температура и вектор плотности теплового потока в точке x в момент времени t, c, – удельная теплоемкость и плотность, – период релаксации, K – тензор теплопроводности – симметрическая положительно определенная матрица второго или третьего порядка:

В рамках модели (1) скорость распространения теплового импульса по направлению любого орта в 2 или 3 конечна и дается формулой 2. В главах 2–3 рассматриваются поставленные выше задачи управления теплопереносом соответственно в стержне, анизотропной пластинке звездной формы, анизотропном пространственном теле звездной формы.

Теплоперенос моделируется смешанной задачей для системы (1) соответствующей размерности (в случае стержня K = > 0 – скаляр). Строится в каждом случае с использованием аппарата матриц Римана класс допустимых граничных условий – обеспечивающих заданное распределение температуры тела в заданный момент времени, – затем из этого класса выбирается методом Лагранжа оптимальное граничное управление – минимизирующее заданный квадратичный функцонал потерь. Подход состоит в сведении задачи граничного управления решениями смешанной задача к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши для системы (1). При этом процедура построения класса допустимых управлений в двумерном и трехмерном случаях существенно отличается от примененной в указанных выше работах О. Г. Жуковой.

3. В главе 2 рассматривается задача одностороннего граничного управления теплопереносом в конечном стержне длины l. Смешанная задача, моделирующая теплоперенос, имеет в векторно-матричной записи вид Здесь – кусочно-гладкая, выполняется условие согласования (0) = 0. Начальные данные выбраны нулевыми без потери общности для упрощения выполняемых вычислений. Задача (3)–(4) однозначно разрешима в классе кусочногладких функций со слабыми разрывами (скачками производных) на характеристиках, проходящих через точки (0, 0), (0, l) и точки разрыва.

Решение задачи оптимального граничного управления приводится в §§ 2.2, 2.3 и состоит из двух этапов.

3.1. При фиксированных t* > 0, (s) C1[0, l], (l) =0 ищется температурный режим на левом конце стержня, обеспечивающий выполнение равенства Предполагается, что за время t* движущийся с конца стержня со скоростью а тепловой импульс успевает пройти весь стержень. Рассматривается крайний случай Зафиксируем вектор-функцию Определим операторы k, k, k = 1, 2, равенствами где 1 = 1/2, 2 = b/2, v1k – элементы матрицы Римана второго рода системы (3):

где d = t 2 ( s / a ) 2, Ij(z) – функции Бесселя мнимого аргумента.

Будем называть векторы (7) управлениями. Обозначим H класс управлений, удовлетворяющих условию где (s) – функция (5). Фиксируя в (10) произвольную компоненту hk вектора (7), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода на другую компоненту, однозначно разрешимое в C1[0, l].

ТЕОРЕМА 2.1. Каждому вектору h H отвечает решение задачи граничного управления (5), (6), вычисляемое по формуле где k hk – функции (8).

3.2. Слагаемое (8) в правой части (11) указывает вклад компоненты hk вектора (7) в формирование требуемого температурного режима на левом конце стержня. В качестве функционала потерь принимается «сумма квадратов»

F имеет смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на левом конце стержня за время t*. Минимизация F эквивалентна минимизации F.

Замена s = l a t приводит F к виду где Введем гильбертовы пространства Рассмотрим задачу оптимального управления Функция Лагранжа задачи (14) имеет вид Верны утверждения 1°. Функция (12) выпукла, строго дифференцируема в каждой точке h X и имеет вторую производную Фреше F = const, при этом для любого f = [f1, f2]Т X Применение с учетом 1°, 2°, теоремы 1.1 из главы 1 (в силу выпуклости F здесь идет речь о глобальном экстремуме) приводит решение задачи (14) к решению системы уравнений равносильной, как показывают вычисления, системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода где Нетрудно убедиться, что |det R| const > 0.

Из альтернативы Фредгольма с учетом «хороших свойств» ядра R–1K и правой части R–1 следует, что система (15) имеет единственное решение если выполняется требование где s(K) – множество собственных значений компактного оператора K.

Каждая точка s(K) отделена от остальных и непрерывно зависит от параметров, входящих в формулы для R, K. Поэтому случай –1 s(K) имеет место «с вероятностью ноль». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (16).

Подстановка h1, h2 в равенство (11) со слагаемыми (13) дает оптимальное граничное условие на левом конце стержня.

ТЕОРЕМА 2.2. Задача оптимального управления (14) имеет в общем положении (16) единственное решение h = (h1, h2 ), где hk – компоненты решения системы интегральных уравнений (15). Соответствующий оптимальный температурный режим на левом конце стержня дается формулой 4. Глава 3 посвящена распространению результатов главы 2 на случаи двумерного и трехмерного материала. В §§ 3.1–3.4 решается задача оптимального граничного управления теплопереносом в анизотропной пластинке, в § 3.5 эти результаты переносятся на случай анизотропного пространственного тела. Случай изотропного материала (K = I) оговаривается в конце главы.

В двумерном случае Система (1) в векторно-матричной записи имеет вид Пусть D – ограниченная область на плоскости x = (x1, x2), звездная относительно точки (0, 0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в полярных координатах Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в пластинке D:

где L – оператор (17), функция непрерывна в своей области определения, выполняются условия согласования (, 0) = 0.

4.1. Введем семейство ортов Построим семейство одномерных гиперболических систем где A( ) = cos A1 + sin A 2, A k, B – матрицы (17). Нетрудно получить:

где a – величина (2).

Проведем на плоскости (s, t) характеристики s = ±at оператора L, и пусть Y0±, Y1 – ± открытые углы с вершиной в (0, 0), изображенные на рис. 1. Вычисления по формулам § 1. дают следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.1. Матрицы Римана первого Из формул для матрицы V, в частности, следует:

4.2. В двумерном случае задача граничного управления (5) имеет вид за это время тепловой импульс, движущийся с границы по любому направлению со скоростью a, успевает пройти весь путь до ближайшей точки границы D. Предполагается ( x) C ( ); здесь и далее символ C обозначает множество функций из С ( ) с носителем строго внутри.

Продолжая нулем из D в 2 представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

где – преобразование Фурье функции, x = x1 cos + x2 sin.

Зафиксируем вектор-функцию Определим оператор равенством где b1 = 1/2, b2 = –b /2, b – величина (20), k вычисляются по формулам (21). Будем называть векторы (24) управлениями. Обозначим G класс управлений h, удовлетворяющих требованию Вычисление класса G сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по s [r1, r2 ] на одну из компонент hk вектора h при фиксированной другой.

ТЕОРЕМА 3.2. Каждому вектору h G отвечает решение задачи граничного управления (22), вычисляемое по формуле 4.3. Ищется вектор-функция h G, минимизирующая квадратичный функционал потерь имеющий смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на границе пластинки за время t*.

Замена (t,, ) ( s,, ) по формуле s = s + a t приводит функционал { к виду Аналогично одномерному случаю вводятся гильбертовы пространства Х = L2 ( 0 2 ), Y = L2 ( 0 ). Рассматривается задача оптимального управления где – функция (23), – оператор (25), { – функционал (29). Функция Лагранжа имеет вид Имеют место аналоги утверждений 1°, 2° в п. 3.2. Применение теоремы 1.1 из главы 1 приводит решение задачи (30) к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода по s [r1, r ] на тройку [h1, h2, ] с гладкими M, N, f, |det M| const > 0 (см. § 3.4). Повторение рассуждений, проведенных в п. 3.2, дает: в общем положении система (31) имеет единственное решение = [h1, h2, ] T С ( 0 ).

Из выполненных построений с учетом 2-периодичности M, N, r по следует, что пара h = (h1, h2 ) удовлетворяет требованиям (24), (26) с заменой П на П0. Обозначим G 0 = {h G : h = [ h1, h2 ]T на 0 }.

Построение векторов (h1, h2) G=приводится, после вычисления (h1, h2 ), к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода на продолжение в \ 0 одной из компонент hk при фиксированном – с сохранением непрерывности и свойств (24) – продолжении другой.

ТЕОРЕМА 3.3. В ситуации общего положения (32) каждая векторфункция h = [h1, h2 ]T класса G0, где h1, h2 – компоненты решения системы интегральных уравнений (31), дает решение задачи оптимального граничного управления (30). Соответствующий оптимальный температурный режим на границе пластинки вычисляется по формулам (27), (28), где k – функции (21), строящиеся по элементам матрицы Римана V второго рода семейства одномерных гиперболических систем (19).

5. В § 3.5 результаты §§ 3.1–3.4 распространены на случай трехмерного материала по схеме, изложенной в п. 4. Здесь Система (1) в векторно-матричной записи имеет вид Пусть A – ограниченная область в пространстве x = (x1, x2, x3), звездная относительно точки (0, 0, 0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в сферических координатах Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в теле A где L – оператор (33), C (A), выполняется условие согласования (,0) = 0.

5.1. Введем семейство ортов Построим семейство одномерных гиперболических систем где A( ) = 1A1 + 2 A 2 + 3 A 3, Ak, B – матрицы (33). Имеет место равенство A( ) = Z diag(a, 0, 0, a ) Z 1, Вычисления по формулам § 1.3 дают следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.4. Матрицы Римана первого и второго рода U k, V семейства гиперболических систем (37) имеют вид где Y0±, Y1 – углы, изображенные на рис. 1, с заменой характеристики на 4 ; d k, d – величины (20).

Из формулы для матрицы V следует, в частности, формулы (21) для элементов v11, v12, здесь – орт (36).

5.2. Задача граничного управления имеет вид (22) с заменой пластинки пространственным телом A. Предполагается ( x) C ( A), Продолжая нулем из A в 3, аналогично (23) получим где E0 = [0, ] [0, ], = (1, 2 ), – преобразование Фурье.

Зафиксируем вектор-функцию Определим оператор равенством (25), где – орт (36), k – функции (21). Будем называть векторы (39) управлениями.

Обозначим G класс управлений h, удовлетворяющих требованию ТЕОРЕМА 3.5. Каждому вектору h G отвечает решение задачи граничного управления (22) для пространственного тела A, вычисляемое по формуле где Tk – функция (28) при = (1, 2 ) и = (1, 2 ), r ( ) – функция (34), – орт (36) с заменой на.

5.3. Решается задача оптимального управления Рассуждения, аналогичные проведенным в п. 4.3, приводят решение задачи (41) к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода вида (31) по s [r1, r ] на тройку [h1, h2, ], где – множитель Лагранжа (см. § 3.5). При условии (32) система имеет единственное решение Вычисление класса G 0 здесь также приводится к решению уравнения Вольтерра второго рода.

ТЕОРЕМА 3.6. В общем положении (29) каждая вектор-функция h = [h1, h2 ]T G 0 дает решение задачи оптимального граничного управления (41). Соответствующий оптимальный температурный режим на границе тела A вычисляется по формуле (40).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, 1. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // ДАН. – 2012. – Т. 446. – № 2. – С. 138–141.

2. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48. – № 9. – С. 1256–1264.

3. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в изотропном теле / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Докдады АН ВШ РФ. – 2012. – Т. 19. – № 2. – С. 54–60.

4. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Вестник Омского университета. – 2012. – № 2. – С. 63–66.

5. Чурашева, Н. Г. Матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности. Случай анизотропного тела / Н. Г. Чурашева // Омский научный вестник. – 2009. – № 3. – С. 29–33.

6. Чурашева, Н. Г. Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Омский научный вестник. – 2010. – № 3. – С. 14–18.

7. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление. Гиперболическая модель граничного управления теплопереносом в анизотропной пластике / Н. Г. Чурашева // Прикладная математика и фундаментальная информатика : сб. науч. тр. / под ред. А. В. Зыкиной. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. – С. 46–50.

8. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление процессом распространения тепла в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский. – Деп. в ВИНИТИ 28.02.11. № 96 В-2011.

9. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности. Одномерный случай / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Современные проблемы науки и техники : сб.

науч. тр. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011.– С. 108–112.

10. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление одномерной гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Прикладная математика и фундаментальная информатика : сб. науч. тр. / под ред. А. В. Зыкиной. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. – С. 32–42.

11. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в однородном стержне. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Математика, ее приложения и математическое образование : Материалы IV Международ. конф. МПМО-2011. – Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2011. – С. 82–87.

12. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // Аналитическая механика, устойчивость и управление : Труды Х Международ.

Четаевской конф. Секция 3. Управление. – Казань : Изд-во Казан. гос. техн.

ун-та, 2012. – Т. 3. – Ч. 2. – С. 313–318.

13. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление переносом тепла в изотропном теле / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Динамика систем, механизмов, машин : Материалы VII Международ. науч.-техн. конф.

Книга III. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. – С. 107–111.

14. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в анизотропной пластинке / Н. Г. Чурашева // Прикладная математика и фундаментальная информатика : сб. науч. тр. / под ред. А. В. Зыкиной. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. – С. 37–41.

15. Чурашева, Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Динамика систем, механизмов, машин : материалы VII Международ. науч.-техн. конф. Книга III. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. – С. 122–126.