Учреждение Российской академии наук

Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

На правах рукописи

САДОВСКИЙ Иван Александрович

Зарядовые состояния в андреевской

квантовой точке

01.04.02 – Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Лесовик Г.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Рязанов В.В.

доктор физико-математических наук Копнин Н.Б.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, г. Москва.

Защита состоится 24 июня 2010 г. в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, расположенном по адресу: 142432, Мос ковская обл., г. Черноголовка, ул. Институтская, д. 2, Институт фи зики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института тео ретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан 21 мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Гриневич П.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Около пятидесяти лет назад было установле но, что сверхпроводящая фаза связана с бездиссипативным током, а разность фаз на контакте приводит к возникновению джозефсоновско го тока [1]. За пять лет до этого было обнаружено, что в массивном сверх проводнике изменение фазы на 2 порождает магнитный вихрь [2]. На много позже было показано, что в сверхпроводящих вихрях содержится заряд, много меньший заряда электрона [3, 4], что является следствием нарушения электронно-дырочной симметрии. В данной работе показа но, что нарушение электронно-дырочной симметрии порождает заряд, локализованный в металлической квантовой точке, присоединенной к сверхпроводящему кольцу (так называемая андреевская квантовая точ ка). Этот заряд изменяется непрерывным образом при изменении потен циала затвора Vg и разницы фаз между сверхпроводящими берегами, поэтому в общем случае он оказывается нецелым. Это проявляется для основного и дважды возбужденного (с четным количеством боголюбов ских квазичастиц) состояний, в то время как единожды возбужденное (с нечетным количеством квазичастиц) состояние несет целый заряд. От сюда, в частности, следует, что заряд возбуждения является нецелым.

Как известно, физика конденсированного состояния преимуществен но имеет дело с целыми зарядами, даваемыми зарядом электрона e, одна ко в многочастичных задачах могут возникать дробные заряды, напри мер в дробном квантовом эффекте Холла [5–7] или в Латтинжеровской жидкости [8–10], где они возникают из-за усреднения по времени. Заряд, описываемый в данной работе, также возникает из-за усреднения по вре мени, однако не имеет фиксированного дробного значения и изменяется непрерывным образом под воздействием внешнего параметра разницы сверхпроводящих фаз. Появление дробного заряда не связано с тем, что мы рассматриваем пространственную область, в которой находится только часть волновой функции, в действительности заряд полностью локализован в области квантовой точки.

Дробный заряд можно наблюдать, следя за соответствующим теле графным сигналом, который возникает вследствие стохастического засе ления андреевских уровней, или наблюдая зависимость заряда от маг нитного потока, проникающего в сверхпроводящее кольцо. Последний факт позволяет думать о возможности создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой точки.

Первые джозефсоновские контакты изготавливались с использовани ем окиси или нормального металла, помещенного между двумя сверхпро водниками [11]. Прогресс в области нанотехнологий позволил изготавли вать джозефсоновские контакты на основе мезо- и наноструктур [12–16].

Среди них одной из самых популярных структур является квантовая точка. В то же время, в современных экспериментальных работах появи лась возможность включать наномеханические элементы в электриче ские цепи. В частности, такими элементами могут служить углеродные нанотрубки [15, 16], а также единичные [12, 13] или двойные [17, 18] моле кулы. В данной работе изучается влияние наномеханических эффектов на заряд квантовой точки, присоединенной к сверхпроводящим берегам через туннельные барьеры.

Цель работы состоит в изучении заряда андреевской квантовой точ ки с фундаментальной и прикладной точек зрения. В данной диссерта ционной работе рассматриваются кулоновское взаимодействие и наноме ханические эффекты. Обсуждается возможность создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой точки.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Показано, что квантовая точка, присоединенная через туннельные барьеры к сверхпроводникам, несет в себе непрерывно настраивае мый, а поэтому нецелый, заряд. Этот заряд возникает из-за элек тронно-дырочной асимметрии и зависит от разницы сверхпроводя щих фаз между сверхпроводниками и потенциала затвора. Вычис лен заряд основного состояния и заряд возбуждения. Обсуждаются квантовые флуктуации зарядов, а также флуктуации, возникаю щие из-за электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций по тенциала затвора. Кулоновское взаимодействие учтено в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. При некоторых значениях фа зы и напряжения затвора оно приводит к качественному изменению основного состояния с обычного синглетного на дублетное. Иссле довано масштабирование эффекта для нескольких каналов (точно) и большого числа каналов (в приближении среднего поля).

2. Обсуждается новый тип приборов для измерения слабых магнит ных полей, основанных на зависимости заряда андреевской кванто вой точки от разницы сверхпроводящих фаз, а значит, и от магнит ного потока, пропущенного сквозь сверхпроводящее кольцо. Изуче на дифференциальная чувствительность заряда к потоку в зависи мости от сверхпроводящей фазы, положения и ширины нормаль ного уровня в точке, кулоновской энергии, температуры и других параметров.

3. Исследовано влияние механических степеней свободы на электрон ные свойства андреевской квантовой точки в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. Рассчитан заряд и ток при наличии куло новского взаимодействия и взаимодействия с механическими мода ми. Обсуждается энтропия фон Неймана в контексте запутанности электронной и механической подсистем. Рассчитана деформация дублетной области, а также характеристики механических степе Научная новизна и достоверность. Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью приме нявшихся при исследовании современных методов теоретической физики и подтверждаются результатами апробации работы.

Научная и практическая ценность. Полученные в работе резуль таты имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Впервые заряд джозефсоновского контакта описан столь подробным образом. Рас смотрены самые интересные случаи, когда заряд непрерывным образом зависит от сверхпроводящей фазы. Обсуждается новый тип магнитомет ров на основе андреевских квантовых точек.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в дис сертации, докладывались и обсуждались на международной Конферен ции Mesoscopic and strongly correlated electron systems 4 в Чер ноголовке (2006), на Симпозиуме Нанофизика и наноэлектроника в Нижнем Новгороде (2007, 2010), на всероссийский Конференции МФТИ (2005–2007, 2009), а также на семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау, Феде ральной технической школы Цюриха (ETH Zrich), Центра теоретиче ской физики Университета Марселя (CPT CNRS Marseille) и Кафедры физики твердого тела Сакле (SPEC-CEA Saclay).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 2 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе ния, пяти глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, по казана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1 посвящена изучению заряда андреевской квантовой точки в отсутствии кулоновского взаимодействия. Для вычислений используют ся уравнения Боголюбова-де Женна для одномерной модельной систе мы SINIS контакта (S сверхпроводник, I нормальный рассеиватель, N нормальный металл). Нормальные рассеиватели (INI) формируют квантовую точку с набором нормальных резонансов, а при подсоедине нии ее к сверхпроводящим берегам, добавляется андреевское рассеяние.

Экспериментально андреевская квантовая точка может быть реализо вана с помощью нанотрубки, подвешенной между сверхпроводниками, и двух дополнительных затворов, формирующих нормальные рассеива тели, как показано на Рис. 1. Комбинация этих эффектов приводит к появлению нецелого заряда на островке, зависящего от разницы сверх проводящих фаз в сверхпроводниках. Предполагается, что контакт ко роткий (L, где L длина контакта, а длина когерентности в сверхпроводнике) и то, что только один нормальный резонанс попадает в промежуток [EF... EF + ] (EF энергия Ферми, а сверхпро Рис. 1. Экспериментально квантовую точку можно создать с помощью двух допол нительных затворов, которые выжимают электронную плотность в определенных местах и формируют эффективные барьеры с амплитудами прохождения tL и tR.

водящая щель), а остальные резонансы находятся на расстояниях много больших. Последнее условие означает, что только один андреевский уровень находится в квантовой точке. В наиболее интересном (фазочув ствительном) случае, когда полуширина резонанса и его положение относительно уровня Ферми |D | много меньше сверхпроводящей щели, |D| энергия андреевского уровня дается выражением (выбраны только положительные A > 0). В фазочувствительном пре деле, |D| мы можем ограничиться всего четырьмя состояниями под сверхпроводящей щелью: основным состоянием без боголюбовских квазичастиц |0, единожды возбужденным состоянием с одной квазича стицей со спином вверх или вниз |1 и дважды возбужденным состоянием с двумя квазичастицами с противоположными спинами |2. Заряды этих состояний равны соответственно (здесь вычтены вклады в заряд не зависящие от от всех Рис. 2. Происхождение дробного заряда. (a) Андреевское отражение в SNS кон такте с идеальными NS границами. (b) Андреевское отражение в SINIS контакте:

рассеяние на INI части носит резонансный характер, что является причиной нару шения электронно-дырочной симметрии. На рисунке изображен электроноподобный резонанс (D > 0).

резонансов, лежащих ниже). Тут заряд возбуждения Заряды четных состояний (синглетов) Q0/2 имеют нецелый заряд, и вслед ствие этого они подвержены квантовым флуктуациям с дисперсией по рядка заряда электрона. Заряд нечетного состояния (дублета) является хорошо определенной квантовой величиной. Заряд андреевской кванто вой точки нецелый (дробный). Легче всего понять происхождение дроб ного заряда можно, оперируя временами пролета боголюбовских квази частиц через нормальную область. В SNS контакте время пролета элек трона равно времени пролета дырки (различие определяется малым от ношением /EF), см. Рис. 2(a). В SINIS контакте присутствуют нормаль ные резонансы, поэтому время, проведенное квазичастицей в состоянии электрона, больше чем в состоянии дырки, в случае электроноподобного нормального резонанса D > 0 и, наоборот, при D < 0 см. Рис. 2(b). За счет взаимодействия электронных состояний с фононами, присутству ющими в системе, могут происходить перезаселения состояний |0, | и |2. Переходы с изменением четности происходят с учетом непрерывно го спектра и, поэтому подавлены экспоненциальным фактором e/kBT.

Влияние флуктуаций напряжения затвора на флуктуации зарядов учте но подобным образом.

Глава 2 посвящена кулоновскому малому взаимодействию, EC.

Тут энергия EC имеет порядок EC e2 /2C, где C емкость квантовой точки. В этом пределе можно снова ограничиться четырьмя упомянуты ми выше состояниями и точно диагонализовать получившийся гамильто ниан. Вычисляются матричные элементы оператора кулоновского взаи модействия в базисе из состояний |0, |, | и |2. Ненулевые элементы равны Новые энергетические уровни определяются условием совместимости сле дующей системы уравнений где 0/2 = D A и 1 = D энергии невозмущенных состояний. Итак, кулоновское взаимодействие приводит к двум эффектам. Во-первых, со стояния |0 и |2 смешиваются, формируя новые состояния | и |+ с энергиями при этом состояние |0 ни с чем не смешивается и имеет энергию Во-вторых, кулоновская энергия сдвигает энергетические уровни четных и нечетных состояний по-разному, вледствие чего при некоторых пара метрах и D основное состояние будет являться состоянием | с энер гией E (синглетная область), а при некоторых состоянием |1 с энер гией E1 (дублетная область). Для симметричной квантовой точки усло вие формирования основного состояния дублетом выглядит следующим образом В Главе 3 исследуется возможность детектирования магнитного потока посредством измерения заряда андреевской квантовой точки.

Показано, что зависимость заряда андреевской квантовой точки от разницы сверхпроводящих фаз может быть использована для ново го типа квантовых магнитометров, которые работают по схеме маг нитный поток заряд андреевской точки детектор заряда ток вместо обычной схемы по которой работают СКВИДы магнитный поток ток. Чувствительность заряда к магнитному потоку была про анализирована как функция потенциала затвора, кулоновского взаимо действия, асимметрии квантовой точки и температуры. Для одноэлек тронных транзисторов, как детекторов заряда, была произведена чис ленная оценка, показывающая, что теоретическая чувствительность си стемы не уступает существующим СКВИДам.

В Главе 4 изучается масштабируемость эффекта в зависимости от числа андреевских уровней и геометрических характеристик контакта.

В первой части этой главы изучается случай нескольких каналов. При этом используется эквивалентный, но более оправданный технически, подход туннельного гамильтониана. В случае отсутствия кулоновского взаимодействия вклады от каждого канала в ток и заряд аддитивны.

При наличии кулоновского взаимодействия состояния с одинаковой чет ностью могут быть смешаны, и основное состояние может даваться не только синглетным или дублетным состояниями, как в случае одного канала, но и иметь тройное, четверное и т.д. вырождение по спину и формировать триплетные, квадруплетные и т.д. состояния. Кулоновское взаимодействие в одном канале может отличаться от взаимодействия между ними (например, в случае нескольких контактов, соединенных параллельно). В случае одинакового кулоновского взаимодействия дуб летные области, формируемые каждым из каналов, не перекрываются, а в случае слабого взаимодействия между каналами, могут перекрываться, создавая триплетные, квадруплетные и т.д. состояния.

Во второй части главы изучается случай многих каналов для ко ротких контактов сверхпроводник–нормальный металл–сверхпроводник с квадратичной дисперсией и сверхпроводник–графен–сверхпроводник с линейной дисперсией. Эффекты кулоновского взаимодействия можно оценить здесь в приближении среднего поля. В случае квадратичной дис персии плотность состояний постоянна, и кулоновское взаимодействие сильно подавляет заряд, а в случае линейной дисперсии плотность со стояний пропорциональна уровню допирования графена, и кулоновское взаимодействие не слишком сильно влияет на заряд.

Глава 5 описывает наномеханические эффекты в андреевской кван товой точке (см. точку на основе нанотрубки на Рис. 3(a) и модель ную установку на Рис. 3(b)). Механические степени свободы описывают ся квантовыми гармоническими осцилляторами, а их взаимодействие гамильтонианом, аналогичным гамильтониану электрон-фононного вза имодействия, но с фиксированными фононными модами. Исследовано Рис. 3. (a) Одностенная углеродная нанотрубка подвешена между сверхпроводя щими берегами с разностью сверхпроводящих фаз. Заряд нанотрубки Q притяги вается внешним электрическим полем E. Два дополнительных затвора формируют электронные резонансы вдоль нанотрубки, создавая квантовую точку. (b) Модельная установка представляет собой квантовую точку с механической степенью свободы, присоединенную к сверхпроводящим берегам через туннельные переходы.

влияние механической степени свободы на заряд андреевской квантовой точки и его чувствительность к сверхпроводящей фазе: при ее наличии чувствительность в типичном случае подавляется, однако в определен ных ситуациях может и возрастать. Было изучено влияние силы взаимо действия электронной и механической подсистем на размер дублетной области в переменных (, D): ее размер уменьшается по мере увеличения константы электрон-фононного взаимодействия. Ввиду этого, эффекты, которые подавляются в дублетной области, частично восстанавливают ся при добавлении механических степеней свободы. Рассматривается энтропия фон Неймана, как характеристика запутанности между элек тронной и механическими степенями свободы. В отсутствии кулоновско го взаимодействия максимальное значение энтропии Smax = ln 2 достига ется при = и D = 0, а при ненулевом кулоновском взаимодействии Smax < ln 2 на границе дублетной области. Также даны описания меха нических характеристик, например, вычислены энергии, запасенные в колебательных модах.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Выводы.

1. В работе был детально изучен заряд андреевской квантовой точки.

Было показано, что он локализован в области квантовой точки и непрерывным образом зависит от разницы фаз между сверхпровод никами. Были изучены флуктуации заряда за счет электрон-фонон ного взаимодействия и за счет флуктуаций потенциала затвора.

2. В данной задаче кулоновское взаимодействие может приводить к перестройке синглетного основного состояния в дублетное. В то время как в синглетном состоянии течет джозефсоновский ток и заряд зависит от фазы, в дублетном состоянии бездиссипативный ток отсутствует, а заряд является целым. При увеличении заря довой энергии размер дублетной области в координатах (, D) увеличивается.

3. Предложена концепция нового прибора для измерения магнитно го потока, где андреевская квантовая точка выступает в качестве рабочего элемента. Изучена дифференциальная чувствительность.

Оценки показывают, что теоретическая чувствительность прототи па не уступает чувствительности существующих СКВИДов. Было исследовано масштабирование эффекта в случае нескольких и в случае большого количества каналов. Показано, что влияние куло новского взаимодействия в случае линейного спектра (в графене) существенно слабее чем в случае квадратичного спектра (в метал 4. Изучена андреевская квантовая точка с наномеханическим элемен том. Показано, что взаимодействие с механической степенью сво боды уменьшает размер дублетной области, выступая, таким обра зом, как отрицательное кулоновское взаимодействие. В типичном случае при увеличении силы взаимодействия с механическим эле ментом, критический ток и максимальная чувствительность заряда к фазе падают, однако при некоторых параметрах могут и возрас тать. Запутанность между электронной и механической степенями свободы была охарактеризована с помощью энтропии фон Нейма Публикации по теме диссертации 1. Sadovskyy I. A., Lesovik G. B., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. B. 2007. May. Vol. 75, 2. Sadovskyy I. A., Lesovik G. B., Blatter G. Magnetic ux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 86.

[1] Josephson B. Possible new eects in superconductive tunnelling // Phys.

Lett.

[2] Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй [3] Khomskii D. I., Freimuth A. Charged vortices in high temperature su Pp. 1384–1386.

[4] Electrostatics of vortices in type-II superconductors / G. Blatter, M. Feigel’man, V. Geshkenbein et al. // Phys. Rev. Lett. 1996.

[5] Laughlin R. B. Anomalous quantum Hall eect: an incompressible quan tum uid with fractionally charged excitations // Phys. Rev. Lett.

[6] Observation of the e/3 fractionally charged Laughlin quasiparticle / L. Saminadayar, D. C. Glattli, Y. Jin, B. Etienne // Phys. Rev. Lett.

[7] Observation of quasiparticles with one-fth of an electron’s charge / M. Reznikov, R. de Picciotto, T. G. Griths et al. // Nature. 1999.

[8] Wen X. G. Gapless boundary excitations in the quantum Hall states and in the chiral spin states // Phys. Rev. B. 1991. May. Vol. 43, no. 13. Pp. 11025–11036.

[9] Lebedev A. V., Crpieux A., Martin T. Electron injection in a nanotube with leads: nite-frequency noise correlations and anomalous charges // Phys. Rev. B.

[10] Fractional charge in the noise of Luttinger liquid systems / B. Trauzettel, I. Sa, F. Dolcini, H. Grabert // Fluctuations and noise in materials II / 2005. Pp. 115–123.

[11] Anderson P. W., Rowell J. M. Probable observation of the Josephson Vol. 10, no. 6. Pp. 230–232.

[12] Nanomechanical oscillations in a single-C60 transistor / H. Park, J. Park, [13] Vibration-assisted electron tunneling in C140 transistors / A. Pasupa Pp. 203–207.

[14] Supercurrents through single-walled carbon nanotubes / A. Kasumov, R. Deblock, M. Kociak et al. // Science. 1999. Vol. 284, no. 5419.

Pp. 1508–1511.

[15] Jarillo-Herrero P., van Dam J. A., Kouwenhoven L. P. Quantum su percurrent transistors in carbon nanotubes // Nature. 2006. Feb.

Vol. 439. Pp. 953–956.

[16] Carbon nanotube superconducting quantum interference device / J.-P. Cleuziou, W. Wernsdorfer, V. Bouchiat et al. // Nature Nan [17] Atomic dimer shuttling and two-level conductance uctuations in nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Phys. Rev.

[18] Alternating current josephson eect and resonant superconducting trans port through vibrating nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Done hoo et al. // Nature Nanotech. 2007. Jul. Vol. 2. Pp. 481–485.