На правах рукописи

Зимовец Артем Анатольевич

Конструирование решений в задачах динамики систем

на конечном промежутке времени

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Челябинск – 2013

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Научный руководитель член-корреспондент РАН, доктор физикоматематических наук, профессор Ушаков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты Петров Николай Никандрович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО Удмуртский государственный университет, профессор Алеева Сюзанна Рифхатовна, кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет, доцент

Ведущая организация ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится июня 2013 г. в на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, ауд..

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет.

Автореферат разослан мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., проф. Федоров В.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования В диссертации изучаются вопросы, связанные с моделированием поведения динамических систем, представимых в виде системы дифференциальных уравнений с параметром, величиной которого можно управлять, или соответствующего ей дифференциального включения (д. в.). Изучение всех возможных вариантов поведения таких систем приводит нас к важным для теории и практики понятиям множества достижимости и интегральной воронки управляемой системы.

Как оказалось, задача построения множеств достижимости и интегральных воронок тесно связана с задачами о сближении управляемых систем в различных постановках, рассматриваемыми в математической теории управления. В этих задачах требуется из множества различных траекторий выделить ту, которая переводит моделируемый объект из заданного начального состояния в конечное и при этом удовлетворяет определенному критерию качества.

Современный облик математической теории управления в значительной степени определился работами выдающихся отечественных математиков Л.С. Понтрягина и Н.Н. Красовского. Большой вклад в развитие этой теории внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, А.В. Кряжимский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, их сотрудники и ученики. Среди зарубежных исследователей, внесших весомый вклад в развитие теории, отметим Р. Айзекса, Р. Беллмана, Р. Калмана, Дж. Лейтмана, У. Флеминга и других.

Задача о сближении управляемой системы (или д. в.) с заданным целевым множеством в фиксированный момент времени одна из ключевых задач в математической теории управления. С ней связаны другие важные задачи, такие, например, как задача об оптимальном быстродействии или задача о сближении управляемой системы с целевым множеством не позже фиксированного момента времени. К этой задаче также можно свести и многие другие задачи динамики систем, имеющие важное прикладное значение.

Существует несколько подходов для решения таких задач.

Один из них основан на применении принципа максимума Л.С. Понтрягина1,2,3,4. Принцип максимума Л.С. Понтрягина применялся и применяется в настоящее время как основной аппарат исследования широкого круга задач оптимального управления. С помощью него были исследованы и решены многие математические задачи, задачи из теории управления, механики, экологии, экономики.

Другой подход к решению многих задач математической теории управления, теории дифференциальных игр и, в частности, упомянутой здесь задачи о сближении основан на использовании множеств разрешимости при конструировании решений5,6,7,8. При этом под множеством разрешимости понимаем множество исходных позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о сближении.

Множество разрешимости в задаче о сближении управляемой системы (или д. в.) с целевым множеством в фиксированный момент времени может быть представлено в терминах так называемого обратного времени как начинающаяся на целевом множестве интегральная воронка управляемой системы (или д. в.). Множество разрешимости в этой задаче удобнее всего конструировать как эту интегральную воронку.

Интегральные воронки управляемых систем и дифференциальных включений обладают свойством (сильной) инвариантности. Свойство (сильной) инвариантности используется при конструировании интегральных воронок. Однако далеко не во всех случаях интегральные воронки удается Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Изд-во Факториал Пресс, 2006. 144 с.

Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН им. В.А.Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194–252.

Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.:

Наука, 1989. 144 с.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит, 1961. 391 с.

Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

Красовский Н.Н., Субботин А.И. О структуре игровых задач динамики // Прикл. матем. и механ.

1971. Т. 35, вып. 1. С. 110–122.

Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 4.

С. 764–766.

Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

выделить точно. В связи с этим возникает потребность в разработке численных методов построения интегральных воронок управляемых систем.

Степень разработанности темы Свойства слабой инвариантности и инвариантности и связанные с ними задачи удержания движений динамической системы на замкнутом множестве W в пространстве позиций, а также вопросы описания интегральных воронок изучались в работах отечественных и зарубежных математиков А.Б. Куржанского и Т.Ф. Филипповой9,10, А.А. Толстоногова11, Е.Л. Тонкова12, Е.С. Половинкина13, В.А. Дыхты14, J.-P. Aubin15, P. SaintPierre и M. Quincampoix16, M. Nagumo17 и других. Отметим также работу G. Haddad18, в которой был получен критерий слабой инвариантности в инфинитезимальной форме, связывающий правую часть дифференциального включения с конусом касательных направлений Булигана. Именно инфинитезимальные конструкции производных многозначных отображений, базирующиеся на понятии конуса Булигана, используются в первой главе диссертации для определения введенных в ней понятий дефектов инвариантности и слабой инвариантности множеств.

Как известно, множество разрешимости в задаче о сближении обладает свойством слабой инвариантности относительно управляемой системы. Это Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 1. С. 38–41.

Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: the evolution equation // Les Annales de l’Institut Henri Poincare, Analyse non-lineaire.

1989. P. 339–363.

Толстоногов А.А. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Мат.

заметки. 1982. Т. 32, № 6. С. 841–852.

Тонков Е.Л. Динамические задачи выживания // Вестн. Перм. гос. тех. ун-та. Функциональнодифференциальные уравнения. 1997. № 4. С. 138–148.

Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. Дифференцирование многозначных отображений и свойства решений дифференциальных включений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288, № 2. С. 296–301.

Дыхта В.А., Самсонюк О.Н., Сорокин С.П. Слабая инвариантность, оценки интегральных воронок и необходимые условия оптимальности в динамических системах с неограниченными и импульсными управлениями // Вестник Бурятского гос. ун-та. 2010. Вып. 9. С. 35–47.

Aubin J.-P. Viability theory. Boston. Birkhauser. 1991.

Saint-Pierre P., Quincampoix M. An algorithm for viability Kernels in Holderian case: approximation by discrete dynamical systems // J. Math. System Estim. Control. 1995. Vol. 5, № 1. P. 115–118.

Nagumo M. Uber die Lage der Integralkurven gewhnlicher Dierentialgleichungen // Proc. Phys. Math.

Japan. 1942. Vol. 24. P. 551–559.

Haddad G. Monotone trajectories of dierential inclusions and functional dierential inclusions with memory // Israel J. Math. 1981. Vol. 39. P. 83–100.

свойство позволило для тех исходных позиций системы, которые принадлежат этому множеству, построить эффективную процедуру управления с поводырем19,20, обеспечивающую попадание движения системы на целевое множество. Вопросы конструирования множеств разрешимости и использования этих множеств для решения задач математической теории управления изучались многими отечественными математиками21,22,23,24,25,26 Цель работы Цель диссертационной работы состоит в дальнейшем изучении свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения, в расширении понятий слабой инвариантности и инвариантности, а также в разработке эффективных численных методов построения множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем и дифференциальных включений.

Научная новизна Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Введены понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения.

2. Показано, как, используя введенные понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества в пространстве позиций, расширить это множество до слабо инвариантного либо инвариантного множества с тем же самым начальным (временным) сечением.

Красовский Н.Н., Субботин А.И. Аппроксимация в дифференциальной игре // Прикл. матем. и механ. 1973. Т. 37, вып. 2. С. 197–204.

Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Метод динамического программирования в задачах синтеза управлений // Труды международной конференции Проблемы управления и приложения: техника, производство, экономика. 2005. Т. 2. С. 51–65.

Куржанский А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Труды МИАН. 1999. Т. 224. С. 234–248.

Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством // Прикл. матем. и механ. 1973. Т. 37, вып. 1. С. 3–13.

Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // Доклады АН СССР. 1971.

Т. 196, № 4. С. 779–782.

Никольский М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Математический сборник. 1985. Т. 128 (170), № 1 (9). С. 35–49.

Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр //Доклады АН СССР. 1969. Т. 184. № 2.

С. 285–287.

Ухоботов В.И. Аналитическая схема построения стабильных мостов для операторов программного поглощения с инвариантными семействами множеств // Изв. ИМИ УдГУ. 2005. № 2 (32). С. 23–34.

3. Разработан численный метод приближенного построения множеств достижимости управляемых систем в пространстве Rn, основанный на аппроксимации множеств достижимости узлами заданной кубической сетки и применении техники ломаных Эйлера к дифференциальным включениям. В ходе вычислений используются только точки приграничных слоев рассматриваемых множеств. Обоснована сходимость разработанного численного метода.

4. Разработаны структуры данных для хранения множеств, состоящих из узлов заданной кубической сетки, позволяющие избежать непосредственного хранения информации о координатах каждой точки этих множеств.

Теоретическая и практическая значимость работы Введенные в работе понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения позволяют расширить множества, не обладающие свойствами слабой инвариантности и инвариантности, до слабо инвариантных и инвариантных множеств с теми же самыми начальными (временными) сечениями. Множество, обладающее малым дефектом слабой инвариантности относительно заданного дифференциального включения, может быть использовано для организации процедуры управления, обеспечивающей решение задачи о сближении с целевым множеством в фазовом пространстве в фиксированный момент времени. Эта процедура гарантирует для начальных позиций, принадлежащих множеству, существование движения управляемой системы (или д. в.), приходящего в упомянутый момент времени в малую окрестность целевого множества. Тем самым решается задача о сближении с целевым множеством в ослабленной постановке задача о сближении движений управляемой системы (или д. в.) с малой окрестностью целевого множества. Таким образом, введение понятие дефекта слабой инвариантности расширяет наши возможности при построении решений ряда математических и прикладных задач управления.

Предложенный в работе численный метод приближенного вычисления множеств достижимости позволяет сократить объем вычислений за счет использования в ходе итерационного процесса только точек, расположенных вблизи границ рассматриваемых множеств, т. е. точек приграничного слоя. На базе предложенного метода разработан комплекс программ, позволяющий конструировать приближенные решения ряда задач управления и, в том числе, ряда задач о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени.

Методология и методы исследования Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области негладкого и выпуклого анализа28,29 и численных методов исследования математических моделей30,31.

Исследование свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств и расширение понятий слабой инвариантности и инвариантности осуществлялось с использованием инфинитезимальных конструкций производных многозначных отображений. Такой характер исследования соответствует использованию понятия производной в математическом анализе.

Применение инфинитезимальных конструкций проводилось в рамках той техники описания инвариантных и слабо инвариантных множеств, которая используется в Уральской математической школе по теории управления.

В основе разработанных численных методов построения множеств достижимости лежит пиксельный способ представления множеств в фазовом пространстве рассматриваемой динамической системы вкупе с применением идеологии ломаных Эйлера. В связи с этим многие из алгоритмов работы с такими множествами построены на базе соответствующих алгоритмов компьютерной графики. Обоснование сходимости разработанных методов существенно опирается на теоремы и конструкции выпуклого анализа.

Положения, выносимые на защиту 1. Способы расширения множеств, не являющихся слабо инвариантными Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление.

М.: Наука, 1990. 431 с.

Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 280 с.

Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, гл. ред. физ.мат. лит., 1978. 488 с.

либо инвариантными относительно заданного дифференциального включения, до слабо инвариантных и инвариантных множеств, а также утверждения, обосновывающие корректность этих способов.

2. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем.

3. Способы описания множеств, состоящих из узлов заданной кубической сетки.

Степень достоверности и апробация результатов Проверка основных теоретических положений диссертации, а также разработанных методов построения множеств достижимости выполнялась при помощи специально созданных компьютерных программ, обеспечивающих построение и визуализацию решений рассматриваемых в работе задач.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная научно-практическая конференция Связь-пром 2010, Екатеринбург, 2010; 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция Современные проблемы математики, Екатеринбург, 2011; Международная научно-практическая конференция Связь-пром 2011, Екатеринбург, 2011;

X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011; Международная научная конференция Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения, 2011; Алгоритмический анализ неустойчивых задач, Международная конференция, посвященная памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 2011; Международная (43-я Всероссийская) молодежная школаконференция Современные проблемы математики, Екатеринбург, 2012.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, из них три в изданиях из перечня ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 190 наименований. Общий объем работы составляет 149 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматривается управляемая система на конечном промежутке времени [t0, ] (t0 < < ) фазовый вектор системы из евклидова пространства Rn ; управлегде x ние u выбирается из компакта P Rp ; f (t, x, u) вектор-функция переменных t, x, u, удовлетворяющая следующим условиям Условие A. Функция f (t, x, u) определена и непрерывна по совокупности переменных t, x, u, и для любой ограниченной и замкнутой области D [t0, ] Rn существует такая постоянная L = L(D) (0, ), что Условие B. Существует такая постоянная µ (0, ), что Наряду с управляемой системой (1) в первой главе рассматривается дифференциальное включение на [t0, ] где F (t, x) = co {f (t, x, u) : u P } выпуклая оболочка множества точек Тематика главы I близка к работам Х.Г. Гусейнова, А.И. Субботина, Н.Н. Субботиной, В.Н. Ушакова32,33,34,35, в которых изучалось свойство u-стабильности в игровой задаче о сближении.

Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления // Дифференц. уравнения.

1990. Т. 26, № 11. С. 1888–1894.

Субботин А.И., Субботина Н.Н. Свойства потенциала дифференциальной игры // Прикл. матем.

и механ. 1982. Т. 46, вып. 2. С. 204–211.

Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 199–222.

Guseinov H.G., Subbotin A.I., and Ushakov V.N. Derivatives for multivalued mappings with applications to game–theoretical problems of control // Problems Control Inform. Theory. 1985. Vol. 14, P. 155–167.

Rn : (t, x) W = при t [t0, ], а также интегральная воронка Z(t0, x0 ) д. в. (4) с начальной позицией (t0, x0 ). По W определяется ограниченная и замкнутая область D [t0, ] Rn, W D, а также вводится некоторая ее окрестность D [t0, ] Rn, > 0.

Определение 1. Множество W D назовем слабо инвариантным относительно д. в. (4), если для любых (t, x ) W существуют решения x(t), x(t ) = x д. в. (4) такие, что t, x(t) W, t [t, ].

Определение 2. Множество W D назовем инвариантным относительно д. в. (4), если Z(t, x ) W для всех (t, x ) W.

Введем множество D W(t, x ) = d Rn : d = lim (tk t )1 (wk x ), (tk, wk ) Множество D W(t, x ) будем называть производным множеством многозначного отображения t W(t), t [t, ] в точке (t, x ) W.

Определение 3. Множество W D назовем слабо инвариантным относительно д. в. (4), если для любых (t, x ) W, t [t0, ) Определение 4. Множество W D назовем инвариантным относительно д. в. (4), если для любых (t, x ) W, t [t0, ) В параграфе 1.1 также вводится константа R (0, ) такая, что здесь B(0; R) В параграфе 1.2 изучаются вопросы, связанные со свойством слабой инвариантности множества W относительно д. в. (4). Предполагается, что в дополнение к условию W (t) =, t [t0, ], выполняется условие Условие C.1. При некотором R (0, ) справедливо неравенство где h(W (1), W (2) ) хаусдорфово отклонение компакта W (1) от W (2) в Rn.

Возникает вопрос о том, в какой мере множество W не обладает свойством слабой инвариантности. Для аккуратной постановки этого вопроса и ответа на него в параграфе 1.2 вводится и изучается понятие дефекта слабой инвариантности множества W относительно д. в. (4).

Каждой точке (t, x ) W, t [t0, ) сопоставляется число Число (t, x ) называем дефектом слабой инвариантности множества W в точке (t, x ) W, t [t0, ) относительно д. в. (4), W = t[t0,] Далее каждому моменту t [t0, ) сопоставляется функция которую доопределим в точке t = значением () = 0.

Неотрицательная функция (t) на [t0, ] есть числовая характеристика, оценивающая сверху степень слабой неинвариантности множества W относительно д. в. (4). Предполагается, что функция (t) удовлетворяет условию Условие E.1. Функция (t) измерима по Лебегу на [t0, ].

Слабая инвариантность W относительно д. в. (4) означает, что (t) на [t0, ]. Это индуцирует предположение о том, что в случае, когда множеству W соответствует малая функция (t) на [t0, ], это множество W можно погрузить в некоторое слабо инвариантное относительно д. в. (4) множество W, W(t0 ) = W (t0 ), сечения W(t) которого незначительно отличаются от сечений W (t) (в хаусдорфовой метрике).

Принимая во внимание, что условие E.1 выполнено, сопоставим функции ( ), [t0, ] в каждый момент t [t0, ] интеграл и введем множество W [t0, ] Rn :

w(2) : (w(1), w(2) ) W (1) W (2).

Величину назовем дефектом слабой инвариантности множества W относительно д. в.

(4).

Сформулируем основное утверждение параграфа 1.2.

Теорема 1. Пусть компакт W D таков, что W (t) =, t [t0, ] и выполнены условия C.1, E.1. Тогда множество W = W D слабо инвариантно относительно д. в. (4) на [t0, ].

Понятие дефекта слабой инвариантности родственно понятию дефекта стабильности в дифференциальных играх, в определении которого используется дифференциальное включение из унифицированной модели Н.Н. Красовского. Теорема 1 аналогична соответствующей теореме о дефекте стабильности36, но получена при более слабых условиях на W и другими методами.

В параграфе 1.3 вводится и изучается понятие дефекта инвариантности множества W относительно д. в. (4). Предполагается, что в дополнение к условию W (t) =, t [t0, ], выполняются условия Условие C.2. При некотором R (0, ) справедливо неравенство где d(W (1), W (2) ) хаусдорфово расстояние между компактами W (1) и где Ушаков В.Н., Малёв А.Г. К вопросу о дефекте стабильности... С. 207.

Параграф 1.3 посвящен изучению того, в какой мере множество W не инвариантно относительно д. в. (4). Для этого вводятся понятия, аналогичные тем, которые использованы в параграфе 1.2, однако понятие дефекта инвариантности определяется при помощи другой функции, что влечет существенные различия в доказательствах основных утверждений параграфов 1.2 и 1.3.

Каждой точке (t, x ) W, t [t0, ) сопоставляется число называемое дефектом инвариантности множества W в точке (t, x ) W, t [t0, ) относительно д. в. (4).

Далее каждому моменту t [t0, ) сопоставляется функция которую доопределим в точке t = значением () = 0.

Неотрицательная функция (t) на [t0, ] есть числовая характеристика, оценивающая сверху степень неинвариантности множества W относительно д. в. (4). Предполагается, что функция (t) удовлетворяет условию Условие E.2. Функция (t) измерима по Лебегу на [t0, ].

Введем множество W [t0, ] Rn :

где Интеграл в (16) есть интеграл Лебега.

Величину назовем дефектом инвариантности множества W относительно д. в. (4).

Приведем основное утверждение параграфа 1.3.

Теорема 2. Пусть компакт W D таков, что W (t) =, t [t0, ] и выполнены условия C.2, D, E.2. Тогда множество W = W D инвариантно относительно д. в. (4) на [t0, ].

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы при выяснении, насколько то или иное замкнутое множество W D является интегральной воронкой относительно д. в. (4).

Параграф 1.4 содержит примеры расчета дефектов слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциальных включений. Рассматриваются множества с относительно простой геометрической структурой, для которых выполняется расчет дефекта слабой инвариантности или дефекта инвариантности относительно дифференциального включения, соответствующего некоторой нелинейной управляемой системе.

Глава II диссертации посвящена конструированию решений задач управления на конечном промежутке времени и, в частности, разработке методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости управляемых систем.

В параграфе 2.1 диссертации приводится общее описание пиксельного подхода к приближенному построению множества достижимости системы (1) и соответствующего ей д. в. (4) в момент времени с множеством начальных позиций x(t0 ) X0. В рамках этого подхода в фазовом пространстве Rn вводится некоторая кубическая сетка h с шагом h, а промежуток времени [t0, ] подменяется конечным разбиением = {t0, t1,..., tN = } с диаметром разбиения = max i, i = ti+1 ti, i = 0, N 1. Осi=0,N новная суть подхода состоит в том, чтобы последовательно, шаг за шагом, построить набор множеств Xih, i = 0, N состоящих из конечного числа узлов сетки h, сходящихся в хаусдорфовой метрике с уменьшением шага h и диаметра к множествам достижимости заданной управляемой системы. При этом в ходе вычислений д. в. (4) подменяется некоторым более удобным с вычислительной точки зрения д. в.

с правой частью, представляющей собой конечный набор точек в Rn и удовлетворяющей соотношению где () некоторая положительная функция переменной > 0, монотонно убывающая к нулю при 0.

В параграфе 2.2 предлагается способ построения множества Xi+1 по известному множеству Xih, исключающий появление пустот между локальными множествами достижимости соседних точек из Xih путем применения операции построения выпуклой оболочки. В основной теореме данного параграфа утверждается, что построенное таким образом множество XN сходится в хаусдорфовой метрике с уменьшением шага h и диаметра к множеству достижимости д. в. (4) в момент времени.

Одна из основных трудностей, возникающих при построении множеств достижимости управляемых систем, состоит в том, что для построения множества достижимости с приемлемой точностью зачастую требуется очень большой объем вычислений, существенно увеличивающийся при уменьшении шага h и диаметра.

В параграфе 2.3 предлагается метод приграничного слоя для построения описанного в параграфе 2.2 набора множеств Xih, i = 0, N. В основе метода приграничного слоя лежит идея построения границы множества Xi+1 по известному множеству Xih. Процесс построения множества Xi+ разбивается на следующие этапы:

1. Построение множества, содержащего все граничные точки и некотоh рую часть внутренних точек множества Xi+1.

2. Выделение из построенного множества всех граничных точек множеh ства Xi+1.

3. Построение всех внутренних точек множества Xi+1 по известной граh нице множества Xi+1.

В параграфе 2.3 показано, что для выполнения поставленных задач достаточно иметь лишь некоторый набор точек множества Xih, расположенных вблизи границы множества Xih точек приграничного слоя множества Xih. Это позволяет исключить из вычислительного процесса точки множества Xih, расположенные за пределами приграничного слоя, сократив таким образом объем вычислений.

В параграфе 2.4 предлагается способ оптимизации вычислений в методе приграничного слоя. Предлагаемый способ оптимизации основан на замене операции построения выпуклой оболочки для некоторых точек из приграничного слоя более простой с вычислительной точки зрения операцией построения симплициального комплекса. Однако применение данного способа допустимо лишь в тех случаях, когда внутренние точки множества Xih, движущиеся на промежутке времени [ti, ti+1 ] по ломаным Эйлера, не могут опередить граничные точки множества Xih, также движущиеся на промежутке [ti, ti+1 ] по ломаным Эйлера. В основной теореме данного параграфа формулируются условия, позволяющие избежать возникновения подобных ситуаций.

В параграфе 2.5 приводится описание структур данных, используемых для представления сеточных множеств, т. е. множеств, состоящих из узлов сетки h. К этим структурам данных предъявляется достаточно широкий набор требований. В частности, они должны обеспечивать возможность реализации эффективных алгоритмов добавления, удаления, поиска и перебора точек, а также занимать возможно меньший объем памяти ЭВМ.

Поскольку удовлетворить одновременно все эти требования практически невозможно, в параграфе рассматриваются две структуры данных, одна из которых описывает сеточное множество с использованием набора граничных точек, объединенных в виде дерева двоичного поиска, а вторая с использованием набора вложенных друг в друга прямоугольных областей, представляющего собой усовершенствованный вариант битовой карты.

В параграфе 2.6 приводятся алгоритмы работы с сеточными множествами. Данный набор алгоритмов используется как для реализации сеточных методов построения множеств достижимости, так и для приближенного вычисления дефектов слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциальных включений.

В параграфе 2.7 рассматриваются примеры некоторых задач управления динамическими системами на плоскости и в трехмерном пространстве.

Решение рассматриваемых задач осуществляется путем конструирования с заданной точностью сечений интегральных воронок динамических систем, выраженных либо в прямом, либо в обратном времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены способы расширения множеств, не являющихся слабо инвариантными либо инвариантными относительно заданного дифференциального включения, до слабо инвариантных и инвариантных множеств путем введения понятий дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества.

2. Предложен метод приграничного слоя для приближенного вычисления множеств достижимости управляемых систем в пространстве Rn и обоснована его сходимость.

3. На основе предложенных в диссертации конструкций и методов создан комплекс программ, предназначенных для моделирования поведения динамических систем (управляемых систем или д. в.), основу которого составляют схемы приближенного вычисления множеств достижимости. Проведены численные расчеты в ряде примеров.

Перспективы дальнейшего развития темы состоят в разработке параллельных алгоритмов решения поставленных задач, а также создании принципиально новых методов вычисления множеств достижимости.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах 1. Ушаков, В.Н. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения / В.Н. Ушаков, А.А. Зимовец // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.

2011. № 2. С. 98–111.

2. Ушаков, В.Н. К вопросу о слабой инвариантности множеств относительно дифференциального включения, порожденного управляемой системой / В.Н. Ушаков, А.А. Зимовец // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 271–285.

3. Зимовец, А.А. Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем / А.А. Зимовец // Вестник ЮУрГУ. Серия Математика. Механика. Физика. 2013. Т. 5, № 1. С. 18–25.

Другие публикации 4. Матвийчук, А.Р. Численные методы решения некоторых задач управления с фазовыми ограничениями / А.Р. Матвийчук, А.Г. Малев, А.А. Зимовец // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.

2011. № 4, часть 2. С. 228–229.

5. Ушаков, В.Н. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения / В.Н. Ушаков, А.А. Зимовец // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки.

2011. Т. 16, вып. 4. С. 1201–1202.

6. Ушаков, В.Н. К вопросу об инвариантности множеств относительно дифференциальных включений / В.Н. Ушаков, А.А. Зимовец // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова. 2011. С. 281– 282.

7. Зимовец, А.А. Об одной из реализаций сеточного метода построения множеств достижимости / А.А. Зимовец // Современные проблемы математики: тезисы международной (43-й Всероссийской) молодежной школыконференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012. С. 130–132.

Подписано в печать 16.05.2013. Формат 60x90 1/16.

620027, г. Екатеринбург, пер. Лобачевского, 1.