На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВА Елена Геннадьевна

ПРОЦЕССЫ СЛОЖНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ

В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тверь 2011

Работа выполнена в Тверском государственном техническом университете на кафедре «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Зубчанинов Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Георгиевский Дмитрий Владимирович доктор технических наук, профессор Гараников Валерий Владимирович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится 19 мая 2011 г. в 12-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при Тверском государственном техническом университете по адресу: 170026, г. Тверь, набережная Афанасия Никитина, 22, ауд. Ц-120.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.

Автореферат разослан 12 апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук Гультяев В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные конструкции и их элементы работают в условиях сложного нагружения и деформирования, при которых закономерности упругопластического деформирования материалов изучены еще недостаточно полно. Поэтому одними из важнейших актуальных задач механики деформируемого твердого тела являются исследования механических свойств конструкционных материалов за пределом упругости и разработка математических моделей, достоверно описывающих закономерности их сложного поведения. Достижению предельных состояний и разрушению конструкций неизбежно предшествуют процессы их сложного упругопластического деформирования. Современные конструкции допускают в своей работе ограниченные пластические деформации. Здесь фундаментальное значение при решении вопросов прочности и деформируемости играет теория процессов упругопластического деформирования материалов. При этом роль экспериментальных исследований при установлении используемых математических моделей теории пластичности неизмеримо высока. В связи с этим, установление достоверности этих моделей является актуальной и важной задачей теории пластичности.

Значительный вклад в развитие различных математических моделей теории пластичности, теории процессов и обоснование их достоверности в нашей стране внесли А.А.Ильюшин, В.С.Ленский, В.Г.Зубчанинов, А.С.Кравчук Р.А.Васин, В.С.Бондарь, Д.В.Георгиевский, Ю.Г.Коротких, Ю.И.Кадашевич, А.А.Трещев, Ю.Н.Шевченко, В.П.Дегтярев, Н.Л.Охлопков и др.

Целью диссертационной работы являются:

– установление достоверности используемых общей и линеаризованной математических моделей В.Г.Зубчанинова в теории процессов упругопластического деформирования материалов;

– разработка программного обеспечения для ПЭВМ с использованием численного метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности для решения системы основных уравнений задачи Коши отмеченных математических моделей упругопластического деформирования;

– проведение по базовым программам экспериментальных исследований на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории механических испытаний кафедры сопротивления материалов, теории упругости и пластичности ТГТУ для установления достоверности расчетов по используемым в работе математическим моделям и основных положений теории процессов - постулата изотропии и свойства запаздывания.

Научная новизна работы состоит:

– в установлении достоверности используемой общей математической модели теории процессов В.Г.Зубчанинова путем сравнения полученных расчетных результатов по реализованным базовым программам с экспериментальными результатами, полученными на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ;

– в установлении универсальности новых аппроксимаций функционалов процессов упругопластического деформирования по различным сложным базовым плоским траекториям;

– в установлении нестабильности величин следа запаздывания векторных и скалярных свойств материала в зависимости от угла излома веера двузвенных и сложных многозвенных траекторий деформирования;

– в установлении недостаточной точности линеаризованной математической модели по векторным и скалярным свойствам в сравнении с опытными данными при исследованиях на базовых сложных траекториях деформирования с использованием приближенных аппроксимаций процессов.

На защиту выносятся:

– результаты численного решения по общей и линеаризованной моделям В.Г.Зубчанинова в теории процессов упругопластического деформирования с использованием численного метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности;

– результаты экспериментальных исследований процессов упругопластического деформирования стальных образцов, полученных на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ для установления теоретических расчетов по используемым математическим моделям.

Достоверность результатов обеспечена использованием строго математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела; применением в расчетах вычислительных схем, хорошо зарекомендовавших себя в решении задач подобного рода; использованием данных экспериментов, полученных на расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ в Тверском государственном техническом университете в лаборатории механических испытаний кафедры СМТУиП.

Практическое значение работы состоит в том, что общая математическая модель теории процессов может быть рекомендована при практических инженерных расчетах процессов сложного упругопластического деформирования.

Внедрение результатов. Полученные в работе научные результаты теоретических и экспериментальных исследований внедрены в учебный и научный процессы в Тверском государственном техническом университете при подготовке магистров техники и технологии по программе «Теория и проектирование зданий и сооружений» и аспирантов по специальности 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела.

Апробация работы. Результаты работы по теме диссертации докладывались и обсуждались на постоянно действующем межвузовском научном семинаре на кафедре «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета под руководством профессора В.Г.Зубчанинова (Тверь, ТвГТУ, 2003-2011 гг.);

ежегодном региональном межвузовском семинаре «Тверские научные чтения в области механики деформируемого твердого тела» (Тверь, ТвГТУ, 2005- гг.); на VI международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела»

(Тверь, ТвГТУ, 2006г.); на VII международном научном симпозиуме «Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, ТвГТУ, 2010г.); на XI Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 2010г.); на VI, VII, XI Международных научнотехнических конференциях «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, ТулГУ, 2005, 2006, 2010 гг.); на Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, ТГУ, 2010г.); на X Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование»

(Новокузнецк, КемГУ, 2010г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата. Среди них одна статья опубликована в журнале, рекомендуемом ВАК РФ для диссертаций на соискание ученой степени кандидата технических наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 4 глав, введения, заключения, содержащего основные результаты и выводы, документов о внедрении и списка литературы из 158 источников. Общий объем работы страниц текста, включая 90 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности и целей выполненных научных исследований, представленных в диссертационной работе.

В первой главе приведен обзор теоретических и экспериментальных исследований в области теории процессов упругопластического деформирования материалов и дан анализ современного состояния этой теории. Отмечается, что становление теории пластичности связано с именами А.Треска, Б.Сен-Венана Р.Мизеса, А.Хаара, Т.Кармана, Г.Генки, А.Надаи, Л.Прандтля, Е.Рейсcа, В.Лоде, М.Роша, А.Эйхингера, Р.Шмидта, Р.Хилла, В.Прагера, А.А.Ильюшина и других исследователей. Создание и развитие теории упругопластических процессов при сложном нагружении принадлежит А.А.Ильюшину. Существенный вклад в развитие этой теории внесли В.С.Ленский, Р.А.Васин, В.Г.Зубчанинов, А.С.Кравчук, В.И.Малый, В.П.Дегтярев, Н.Л.Охлопков, П.В.Трусов, А.А.Лебедев, Ю.Н.Шевченко, А.М.Жуков, В.В.Гараников, ДаоЗуй-Бик и другие ученые.

Во второй главе изложены основные положения и соотношения теории упругопластических процессов: представление тензоров напряжений и деформаций в виде векторов в линейном координатном пространстве, постулат изотропии и свойство запаздывания, общая теория определяющих соотношений В.Г.Зубчанинова, частные варианты теории процессов, аппроксимации функционалов процессов упругопластического деформирования, предложенные В.Г.Зубчаниновым и другими авторами.

Тензоры напряжений и деформаций можно представить в виде где ij – символ Кронекера, (i, j ) = 1, 2, 3 ;

– средние напряжение и деформация (инварианты шаровых тензоров);

– компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ( Sij ), (Эij ) – их направляющие тензоры;

– модули девиаторов (вторые инварианты) соответственно.

В качестве третьих инвариантов приняты углы вида напряженного состояния формоизменения и деформированного состояния, определяемые из формул Соотношения (1) выделяют скалярные свойства материалов, характеризуемые инвариантами 0, и 0, Э, и векторные свойства, характеризуемые направляющими тензорами ( Sij ), (Эij ), каждый из которых характеризуется четырьмя независимыми компонентами в силу соотношений Каждому из тензоров (1) в линейном тензорно-координатном евклидовом пространстве поставлены в соответствие векторы напряжений S и деформаций где – векторы напряжений и деформаций объемного растяжения и сжатия;

– векторы напряжений и деформаций формоизменения; ik – ортонормированный базис тензорно-координатного пространства;

– компоненты векторов напряжений и деформаций;

– компоненты девиаторов напряжений и деформаций соответственно.

Упругопластическое деформирование в теории процессов объясняется сдвиговым характером деформирования и нагружения, которые определяются девиаторами, либо соответствующими им векторами и Э в девиаторных линейных совмещенных пространствах 5 и 5 соответственно. Траектория деформации Э ( s ) в 5 при базисе ik с построенными в каждой ее точке вектором и приписанными к ней температурой T ( s ) и другими нетермомеханическими параметрами образуют образ процесса деформирования в каждой частице тела в векторном пространстве.

Постулат изотропии в этом пространстве утверждает, что внутренняя геометрия образа процесса при ортогональных преобразованиях вращения и отражения сохраняется, а физические процессы слабо зависят от третьего инварианта, и его влиянием можно пренебречь. Поэтому общий закон связи напряжений и деформаций можно представить в репере Френе { pk } в виде где – функционалы процесса деформирования.

Вместо (12) в репере Френе можно разложить другой физический вектор где функционалы Pk* будут зависеть от тех же параметров, что и Pk в (13).

В.Г.Зубчаниновым. Для трехпараметрических плоских задач имеем где Здесь единичный вектор напряжений; m (m = 1, 2) полярные сферические угловые координаты вектора в репере Френе; M, M k (k = 1, 2, 3) функционалы процесса сложного деформирования; m (m = 1, 2) параметры кривизны и кручения траектории.

При моделировании процессов в уравнениях (15)-(18) должны быть построены аппроксимации функционалов M k, d / ds процессов сложного деформирования.

В третьей главе изложены общая (локальная) математическая модель и ее линеаризованная модель процессов упругопластического деформирования В.Г.Зубчанинова. В первой модели используются апробированные в научных исследованиях уточненные аппроксимации функционалов, предложенные В.Г.Зубчаниновым. Для функционалов M k приняты аппроксимации а для функционалов и d / ds используются аппроксимации где функция, описывающая нырок напряжений; p, q,, 1, b – экспериментально подбираемые параметры; G, G p – упругий и пластический модули сдвига материала. Индекс «нолик» относится к величинам в точке излома траектории.

Системы уравнений (15), (18) для случая плоских задач ( 2 = 0, 2 = 0 ) приведены к системе уравнений задачи Коши с соответствующими начальными условиями для каждого участка траектории.

Для решения системы уравнений (22) использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Для линеаризованной модели в случае плоских траекторий ( 2 = 0, 2 = 0 ) предполагалось, что угол сближения 1 невелик и для его определения из (18) следует дифференциальное уравнение в котором, согласно (19), для активных процессов ( 0 < 1 < 90 ) принималось где = Ф( s ) – универсальная функция для упрочняющихся материалов, мало отт личающаяся от диаграммы простого нагружения, K0 – модуль вектора напряжений в точке излома, 1 – постоянный коэффициент ( 1 0.7 0.8 ).

После излома траектории образуется нырок напряжений, на котором функция ( s ) существенно отличается от универсальной функции упрочнения = Ф( s ). В этом случае, согласно (20), принималась аппроксимация описывающая нырок напряжений и участок последующего активного процесса деформирования. Для функционала (24) при углах излома траектории 1 > значение 1 уточнялось.

Для проведения численных расчетов и обработки экспериментальных данных в работе рассмотрен вопрос о параметрическом задании процессов деформирования для базовых программ в декартовых и полярных координатах в линейном тензорно-координатном пространстве.

Для плоских траекторий компоненты вектора деформаций Эk ( k = 1, 3) задаются в виде для ломаных прямолинейных траекторий, и – для криволинейных траекторий. Здесь s – приращение дуги траектории;

полярный угол; = R + a полярный радиус; R и a параметры криволинейной траектории; Эk значения Эk в начале прямолинейного участка ломаной траектории; Эk значения Эk в полюсе плоской криволинейной траектории.

Для участков многозвенных ломаных траекторий угол фиксирован.

Для угла сближения 1 вектора с касательной к траектории получена формула для ломаной прямолинейной траектории, и – для плоских криволинейных траекторий, где s = 2 + 2.

Экспериментальные исследования проводились на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории механических испытаний кафедры «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета по базовым программам и под руководством В.Г.Зубчанинова.

На рис.1 представлен общий вид комплекса СН-ЭВМ, а на рис. 2 – один из трубчатых тонкостенных образцов из стали 45, которые использовались в испытаниях. Образцы имели в среднем толщину стенки h = 1 мм, радиус срединной поверхности R = 15 мм и длиной рабочей части l = 100 мм.

Рисунок 1. Автоматизированный комплекс СН-ЭВМ Рисунок 2. Трубчатый образец, используемый в опытах При обработке результатов экспериментальных данных для определения относительных деформаций ij и напряжений ij использовались формулы где l и R приращения l и R ; угол поворота поперечного сечения;

P растягивающая осевая сила; q внутреннее давление; M крутящий момент; E продольный модуль упругости; коэффициент Пуассона; K объемный модуль упругости. При пластическом деформировании материал считался несжимаемым ( 30 = 0 ) и коэффициент Пуассона достаточно быстро приближался к значению p = 0.5. Для стали 45 принято E = 2 105, = 0.3.

Деформации и напряжения автоматически пересчитывались в компоненты векторов деформаций и напряжений по формулам В целом в экспериментальных исследованиях и расчетах были использованы следующие базовые опыты: траектории типа центрального веера (рис. 3);

смещенного веера из двузвенных ломаных траекторий (рис. 4); развернутого центрального веера из двузвенных траекторий (рис. 5); сложных двузвенных и трехзвенных траекторий, содержащих один участок криволинейной траектории постоянной кривизны (рис. 6); сложных двузвенных траекторий по проверке постулата изотропии (рис. 7).

Рисунок 5. Развернутый центральный веер двузвенных траекторий Рисунок 6. Сложные двузвенная и трехзвенная траектории деформирования Рисунок 7. Сложные двузвенные траектории зеркального отображения На рис. 8 представлены результаты испытаний трубчатых образцов по базовым программам типа центрального веера и построена осредненная аппроксимационная диаграмма простого нагружения Роша и Эйхингера. Видно, что диаграммы простого нагружения близки друг к другу и поэтому с достаточной для практики степенью точности используемый в работе материал сталь 45 можно считать начально изотропным и использовать постулат изотропии А.А. Ильюшина.

Рисунок 8. Диаграммы деформирования «центрального веера»

При построении аппроксимационной диаграммы простого нагружения использовались формулы где s = Э, s = s s*, G упругий модуль сдвига, т = 2 3 т, т физический предел текучести при растяжении,,, *, G* параметры аппроксимации.

Для стали 45 было принято т = 310 МПа, s* = 1,1 102, 2G = 1,57 105 МПа, В четвертой главе для рассмотренных в работе математических моделей при сложном деформировании материала по указанным в главе 3 базовым программам представлены соответствующие теоретические (численные) расчеты и экспериментальные результаты по обоснованию их достоверности. Для решения систем основных дифференциальных уравнений задачи Коши в данных моделях использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Результаты экспериментальных исследований получены на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ.

На рис. 9 приведены результаты испытания и расчетов для программной траектории типа смещенного веера с углом излома 1 = 135. Здесь и далее на рисунках кривые 1 соответствуют линеаризованной модели, 2 – общей модели, «кружочки» – экспериментальным данным.

Как видно из рис. 9, общая модель В.Г.Зубчанинова достоверно описывает закономерности поведения материала для данного типа траекторий. На рис. представлена зависимость вторичного предела текучести м от угла излома траектории в базовых экспериментах типа смещенного веера, а на рис. 11 – зависимость угла сближения 1 от длины дуги траектории s. Эта зависимость иллюстрирует нестабильность следа запаздывания векторных свойств материала от угла излома 1 при предельном значении угла 1 = 7. Эта нестабильность, ранее известная для иных материалов, показана на рис. 12 для материала сталь 45. Она показывает, что след запаздывания векторных свойств не может быть принят за постоянную характеристику материала.

В работе также исследовано свойство запаздывания скалярных свойств материала. Под следом запаздывания скалярных свойств материала ск понимается приращение длины дуги траектории после её излома до завершения нырка напряжений на том же уровне, с которого он начался.

Зависимость скалярного следа запаздывания ск материала на нырке напряжений в зависимости от угла излома траектории 1 приведена на рис. 13. Она также показывает, что эти характеристики нестабильны и ск.

Программа деформирования Диаграмма процесса Локальная диаграмма растяжения S1 Э1 Локальная диаграмма кручения S3 Э Рисунок 10. Вторичные пределы текучести Рисунок 12. Зависимость от угла Рисунок 13. Зависимость ск от угла излома траектории деформирования излома траектории деформирования Аналогичные результаты расчетов по общей модели и экспериментальных данных получены для центрального развернутого веера (рис. 5а). Если воспользоваться постулатом изотропии и применить к образам процессов траекторий смещенного веера с углами излома 45 и 135 преобразования вращения на ±45 соответственно (рис. 5б), то диаграммы прослеживания процессов s и зависимости 1 от s практически совпадают. Это подтверждает для данных программ выполнение постулата изотропии, как по скалярным, так и по векторным свойствам.

На рис. 14. представлены результаты расчетов и опытов для сложной трехзвенной траектории деформирования. Сравнение расчетных данных по общей модели с экспериментальными данными показывает их достаточно хорошее для практики соответствие, что подтверждает достоверность данной модели. В то же время линеаризованная модель при ее качественном соответствии дает большие отклонения от экспериментальных данных, как по скалярным, так и по векторным свойствам.

Программа деформирования Локальная диаграмма растяжения S1 Э1 Локальная диаграмма кручения S3 Э Рисунок 14. Сложная трехзвенная траектория (начало) Общее свойство запаздывания векторных свойств материалов состоит в том, что отклонение вектора напряжений от касательной к траектории деформирования в некоторой фиксированной точке зависит не от всей траектории, а лишь от ее последнего участка, равного длине следа запаздывания. При проверке этого свойства запаздывания выяснилось, что след запаздывания при замене предшествующего участка траектории до ее излома на другой может существенно изменяться при неизменной ориентации вектора относительно траектории деформирования на прямолинейном участке после ее излома.

На рис. 15 представлены совмещенные результаты расчетов по общей модели и экспериментальных исследований процессов деформирования по двузвенным сложным траекториям с углом излома 1 = 90 с целью проверки постулата изотропии (программы 3 и 4 на рис. 7б). Расчетные диаграммы s и 1 – s, характеризующие скалярные и векторные свойства материала достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Диаграммы прослеживания Рисунок 15. Сложные двузвенные траектории. Программы 3 и 4.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе общей и линеаризованной моделей В.Г.Зубчанинова в теории процессов упругопластического деформирования А.А.Ильюшина основные уравнения этих моделей приведены к системам дифференциальных уравнений задачи Коши. Для решения этих систем разработано программное обеспечение для ПЭВМ с использованием численного метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

2. Для установления достоверности математических моделей на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ проведены экспериментальные исследования образцов из стали 45 по базовым программам деформирования вида веера двузвенных ломаных траекторий, сложных плоских трехзвенных и двузвенных траекторий с криволинейными участками постоянной кривизны.

3. Сравнение результатов численных расчетов по используемым моделям с полученными экспериментальными данными по базовым программам показало, что расчеты по общей модели В.Г. Зубчанинова достоверны и хорошо соответствуют опытным данным. Результаты расчетов по линеаризованной модели для тех же базовых программ дают заметные отклонения как по скалярным, так и векторным свойствам.

4. Результаты исследований расчётных и опытных данных на двузвенных траекториях типа смещенного веера показали, что след запаздывания векторных и скалярных свойств материала, а также вторичный предел текучести на нырке напряжений существенно зависят от угла излома траекторий.

5. Результаты расчетов и опытных данных по программе развернутого веера с использованием формулировки постулата изотропии подтвердили их полную идентичность результатам, полученным для смещенного веера по отношению к скалярным и векторным свойствам материала.

6. При проверке свойства запаздывания векторных свойств материала для сложных траекторий деформирования с различными видами историй деформирования до их излома обнаружено, что след запаздывания на последующем прямолинейном участке заметно изменяется. Это указывает на нестабильность величины следа запаздывания как характеристики материала.

7. Проверка постулата изотропии на двузвенных сложных зеркально отраженных траекториях деформирования без их излома и с изломом показала, что постулат хорошо согласуется с экспериментальными данными и что изменение кривизны на стыке участков равносильно излому траектории.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ОТРАЖАЮЩИХ ОСНОВНОЕ

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зубчанинов, В.Г. Моделирование процессов сложного упругопластического деформирования материалов / В.Г. Зубчанинов, Е.Г. Алексеева // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та. Серия: Механика предельного состояния. – 2010. – № 2(8), Т.1. – С. 172-181. (входит с число изданий, рекомендованных ВАК РФ).

2. Зубчанинов, В.Г. О запаздывании векторных свойств материалов / В.Г.

Зубчанинов, Е.Г. Алексеева // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: сб. мат-лов XI междунар. науч.-техн. конф. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2010, – С. 24.

3. Алексеева, Е.Г. Моделирование процессов сложного пластического деформирования материалов по сложным многозвенным траекториям с участками постоянной кривизны / Е.Г. Алексеева, В.Г. Зубчанинов // Краевые задачи и математическое моделирование: тематич. сб. науч. ст.: в 3 т., Т.1.

– Новокузнецк: Изд-во НФИ ГОУ ВПО «КемГУ», 2010. – С. 15-23.

4. Алексеева, Е.Г. Моделирование процессов сложного пластического деформирования материалов по траекториям типа смещенного веера / Е.Г. Алексеева, В.Г. Зубчанинов // Современные проблемы математики и механики: материалы Всероссийской молодежной научной конференции.

– Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2010. – С. 6-8.

5. Зубчанинов, В.Г. О стабилизации процессов пластического деформирования по криволинейным траекториям постоянной кривизны / В.Г. Зубчанинов, Е.Г. Алексеева // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: сб. мат-лов VI междунар. науч.-техн. конф. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. – С. 23-24.

6. Алексеева, Е.Г. Пластическое деформирование стали 45 по многозвенным сложным траекториям постоянной кривизны / Е.Г. Алексеева, В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: тез. докл. VII междунар. науч. симпозиума. – Тверь: ТГТУ, 2010. – С. 11.

7. Алексеева, Е.Г. О проверке постулата изотропии в теории процессов после предварительного сложного пластического деформирования / Е.Г. Алексеева, В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: тез. докл. VII междунар. науч. симпозиума. – Тверь: ТГТУ, 2010. – С. 12.

8. Зубчанинов, В.Г. Пластическое деформирование материалов по криволинейным траекториям постоянной кривизны / В.Г. Зубчанинов, Е.Г. Алексеева // Сопротивление материалов, теории упругости, пластичности и строительная механика: сб. науч. трудов. – Тверь: ТГТУ, 2010. – С. 141-144.

Составители: Е.Г. Алексеева Технический редактор А.Н.Безрукова Заказ № Подписано в печать 01.03.

РИЦ ТГТУ