«Лекционные курсы НОЦ Выпуск 10 Издание выходит с 2006 года А. Г. Сергеев Гармонические отображения Москва 2008 УДК 514.76+514.8 ББК (В)22.15 Л43 Редакционный совет: С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович, ...»

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 10

Издание выходит с 2006 года

А. Г. Сергеев

Гармонические отображения

Москва

2008

УДК 514.76+514.8

ББК (В)22.15

Л43

Редакционный совет:

С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович, А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь), А. А. Карацуба, В. В. Козлов, С. П. Новиков, В. П. Павлов (заместитель главного редактора), А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка Л43 Лекционные курсы НОЦ / Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2008.

Вып. 10: Гармонические отображения / Сергеев А. Г. – 118 с.

ISBN 5-98419-029-X Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.

Настоящая брошюра содержит полугодовой курс А. Г. Сергеева “Гармонические отображения”, прочитанный в 2008 году.

c Математический институт ISBN 5-98419-029-X им. В. А. Стеклова РАН, c Сергеев А. Г., Оглавление Глава 1. Общие свойства 1.1. Гармонические отображения римановой сферы в себя 1.2. Определение гармонических отображений....... 1.3. Уравнения Эйлера–Лагранжа.............. 1.4. Отображения комплексных многообразий....... Глава 2. Твисторный подход 2.1. Твисторная программа Пенроуза............ 2.2. Хопфовское расслоение над S 4.............. 2.3. Твисторное расслоение риманова многообразия.... 2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Глава 3. Отображения в проективные пространства 3.1. Гармонические отображения и голоморфные кривые. 3.2. Твисторная интерпретация................ Глава 4. Отображения в грассмановы многообразия 4.1. Гауссовы расслоения и замещения............ 4.2. Твисторная интерпретация................ Глава 5. Отображения в группы Ли 5.1. Конструкция Уленбек................... 5.2. Твисторная интерпретация................ Глава 6. Отображения в пространства петель 6.1. Теорема Атьи–Дональдсона................ 6.2. Гармонические отображения в пространства петель.. Список литературы Предметный указатель Предисловие Эта книга представляет собой запись курса лекций, прочитанных автором в Научно-образовательном центре Математического института им. В. А. Стеклова весной 2008 года, дополненного главой, посвященной гармоническим отображениям в пространства петель компактных групп Ли.

Главной целью курса являлось изложение твисторного подхода к построению гармонических отображений из римановых поверхностей в римановы многообразия. Гармонические отображения в римановы многообразия (в отличие от гармонических функций) начали изучать в середине прошлого века, но настоящий бум теория гармонических отображений пережила в 90-х годах именно благодаря появлению твисторного подхода. Развитие этого направления связано в первую очередь с трудами британской школы математиков. Одним из основных результатов их усилий явилось полное описание гармонических отображений из римановых поверхностей в комплексные грассмановы многообразия, представленное в главе 4 данного курса.

Новый подъем теория гармонических отображений испытала благодаря осознанию ее связи с общей теорией интегрируемых систем. Указанная связь была установлена Уленбек в известной работе [22], результатом которой явилось проникновение методов теории интегрируемых систем в теорию гармонических отображений. На их основе было получено полное описание гармонических отображений в унитарную группу ([22], [24]). Это направление в теории гармонических отображений, представленное в главе 5, было в значительной степени мотивировано работами физиков по изучению классических решений т.н. -моделей. Именно физиками были получены первые результаты по описанию гармонических отображений из римановых поверхностей в комплексные проективные пространства, завершенному затем математиками (физический “взгляд” на теорию гармонических отображений представлен в обзоре Переломова [15]).

В работе Атьи [1] была установлена связь между голоморфными отображениями римановой сферы в пространства петель компактных групп Ли и инстантонами на евклидовом 4-мерном пространстве (т.е. решениями уравнений дуальности Янга–Миллса на R4 ). Основываясь на этом наблюдении, можно предположить, что гармонические отображения римановой сферы в пространства петель компактных групп Ли аналогичным образом связаны с решениями полных уравнений Янга–Миллса на R4. Указанная гипотеза остается пока не доказанной, но она мотивирует изучение гармонических отображений из римановых поверхностей в пространства петель. Это новое направление теории гармонических отображений, связанное с изучением гармонических отображений в бесконечномерные кэлеровы многообразия, представлено в заключительной главе 6 данного курса.

Однако, помимо главной цели изложения твисторной теории гармонических отображений, мы рассматривали наш курс и как возможность ознакомить слушателей с методами современной (в первую очередь, комплексной) дифференциальной геометрии.

По этой причине книга изобилует отступлениями, в которых излагаются необходимые, а иногда просто интересные, с нашей точки зрения, сведения из дифференциальной геометрии. Мы не ставили себе целью излагать их максимально подробно и с полными доказательствами. Скорее, наши отступления направлены на то, чтобы дать читателю “первый толчок” к самостоятельному изучению литературы, относящейся к рассматриваемому вопросу.

Поэтому все они снабжены ссылками на наиболее доступные, по нашему мнению, учебники, имеющиеся на русском языке. (Есть ссылки и другого рода: в тех случаях, когда мы опускаем доказательство какого-либо из важных результатов, дается ссылка на источник, в котором это доказательство можно найти.) Задачи, приведенные в тексте, предлагались слушателям курса и выносились на экзамен, где предлагалось решить любые две на “отличную оценку”. В основном они предназначены для самостоятельного закрепления пройденного материала, однако есть несколько задач, помеченных “звездочкой”, решение которых, возможно, потребует обращения к литературе за сведениями, не излагавшимися в курсе.

В заключение хочу принести свою благодарность всем слушателям курса за внимание, многочисленные вопросы и решения предложенных задач. Все это несомненно способствовало улучшению предлагаемого текста.

Глава 1. Общие свойства гармонических В этой главе определяются гармонические отображения римановых многообразий и выводятся уравнения, которым эти отображения удовлетворяют. Затем мы обращаемся к гармоническим отображениям комплексных и почти комплексных многообразий, являющимся главным объектом исследования в данном курсе.

Начинается глава с разбора простого, но содержательного примера гармонических отображений римановой сферы в себя.

1.1. Гармонические отображения римановой Рассмотрим следующую задачу, возникающую в теории ферромагнетизма. Предположим, что в каждой точке x = (x1, x2 ) евклидовой плоскости R2 задан вектор (x) R3 единичной длины, гладко зависящий от точки x. Иными словами, задано гладкое отображение : R2 S 2, x (x), плоскости R2 в единичную сферу S 2 R3. Определим энергию отображения посредством интеграла Дирихле Задача: Найти все гладкие отображения : R2 S 2, обладающие конечной энергией и задающие экстремумы функционала E().

Ввиду условия конечности энергии, естественно наложить на рассматриваемые отображения следующее асимптотическое условие:

где 0 – некоторая фиксированная точка S 2. При этом условии отображения : R2 S 2 будут продолжаться до непрерывных отображений Хорошо известно, что непрерывные отображения : S 2 S обладают топологическим инвариантом, называемым степенью отображения. Этот целочисленный инвариант измеряет, сколько раз (с учетом ориентации) отображение “покрывает” сферу в образе. Его можно вычислить по формуле – прообраз при отображении.

Задача 1. Покажите, что формула (1.1) действительно задает топологический инвариант, т.е. правая часть (1.1) не изменяется при гладких деформациях в классе гладких отображений с конечной энергией, удовлетворяющих асимптотическому условию: (x) 0 равномерно при |x|, в то время как первые и вторые производные равномерно стремятся к нулю при |x|.

Учитывая наличие в рассматриваемой задаче описания гармонических отображений : R2 S 2 топологического инварианта, мы можем уточнить ее формулировку следующим образом.

1.1. Гармонические отображения римановой сферы в себя Задача: Найти все экстремали функционала E() в классе гладких отображений : R2 S 2 с конечной энергией и заданной степени k := deg.

Для решения указанной задачи удобно перейти к комплексным координатам. А именно, обозначим через z = x1 + ix2 комплексную координату в области определения R2 C и введем комплексную координату w в образе S 2 \ {} с помощью стереографической проекции. В этих координатах выражение для энергии отображения = w(z) принимает вид а формула для степени преобразуется в Сравнивая две последние формулы, мы видим, что При этом равенство в формуле (1.2) может достигаться только в следующих случаях:

если k = deg 0, то равенство в (1.2) достигается при w/ z 0, т.е. на голоморфных функциях = w(z);

если k = deg < 0, то оно достигается при w/z 0, т.е. на антиголоморфных функциях = w(z).

Следовательно, голоморфные отображения = w(z) задают минимумы энергии E() в топологических классах с k = deg 0, в то время как антиголоморфные отображения = w(z) задают минимумы энергии E() в топологических классах с k = deg < 0. Значение энергии E() на минимизирующих отображениях равно 4| deg | = 4|k|.

Отметим, что минимальные значения энергии целочисленны по модулю 4. Это так называемое “квантование энергии”, которое зачастую возникает не только в квантовых, но и классических нелинейных моделях, изучаемых в теоретической физике.

Найдем конкретное выражение для минимизирующих отображений. Предположим, для определенности, что k = deg и заметим, что функционал E() не изменяется при вращениях сферы S 2 в образе ( по этой причине рассматриваемую модель часто называют SO(3)-моделью). Поэтому мы можем выбрать в качестве асимптотического значения 0 любую точку на сфере S 2, например, ту, которая отвечает значению w0 = 1. Нам нужно описать голоморфные отображения римановой сферы S 2 = C {} степени k, равные 1 на бесконечности. Любое такое отображение рационально, а поскольку оно имеет степень k, то представляется в виде где aj, bj – произвольные комплексные числа (для которых выписанная дробь несократима). Аналогичное описание допускают антиголоморфные отображения, минимизирующие E() при k < 0.

Заметим, что пространство решений нашей задачи, задаваемых формулой (1.3), зависит от 4k вещественных параметров (или от 4k + 2 вещественных параметров, если добавить вращения сферы S 2 в образе).

Мы описали все локальные минимумы функционала энергии E(). Оказывается, что других экстремалей у E() нет (это эффект двумерности образа рассматриваемых отображений ).

Задача 2. Покажите, что все гладкие отображения : CP CP, где CP1 = C = C {} – риманова сфера, являющиеся экстремалями функционала энергии E() (с конечной энергией) исчерпываются голоморфными и антиголоморфными отображениями.

1.2. Определение гармонических отображений Отступление (тензорные поля; см. [11], пп. 16–19).

Определение 1. Тензорным полем или просто тензором T ранга (p, q) на гладком многообразии M называется гладкое сечение расслоения где T M – касательное расслоение (расслоение векторов), T M – кокасательное расслоение (расслоение ковекторов или 1-форм).

Локальное описание. Обозначим через (x1,..., xn ) локальные координаты в окрестности точки p M. Векторные поля задают локальный базис расслоения T M, а формы dx1,..., dxn – локальный базис расслоения T M. В этих координатах локальное выражение тензора T имеет вид:

i1,...,ip =1 j1,...,jq = Особое значение имеют для нас тензоры симметричные по верхним индексам и кососимметричные по нижним, которые принято записывать в виде Связь между тензорным полем T и его локальными представi1...ip лениями (Tj1...jq ) устанавливается следующим образом. Выберем покрытие M координатными окрестностями {U }, в которых тенi1...ip зорное поле T имеет локальное представление (T j1...jq ). На пересечениях U U локальные представления (T ) и (T ) связаны формулами замены переменных, диктуемыми видом представлений (1.4) (явные выражения для указанных формул можно найти в [11]). Набор локальных представителей {T } определяет гладкое сечение T расслоения (T M )p (T M )q.

Пример 1. Тензор ранга (1, 0) – это векторное поле, которое имеет локальное представление вида Тензор ранга (0, 1) – ковекторное поле или 1-форма, имеющее локальное представление вида Тензор ранга (0, 2) допускает локальное представление вида Симметричные тензоры такого вида называются метрическими.

Если матрица (gij ) положительно определена, то указанный тензор задает риманову метрику на M. Тензор ранга (1, 1) – это линейное операторное поле, имеющее локальное представление вида Значение этого тензора в точке p M является линейным оператором Ap : Tp M Tp M.

Тензоры можно тензорно умножать друг на друга, сворачивать по повторяющимся индексам, поднимать и опускать у них индексы с помощью метрического тензора. Обо всех этих операциях можно прочитать в книге [11], п. 17.

Пусть заданы римановы многообразия M n и N m, иначе говоря, M есть гладкое многообразие размерности n с римановой метрикой g (gij ), N – гладкое многообразие размерности m с римановой метрикой h (h ).

Определение 2. Пусть : M N есть гладкое отображение. Его энергией называется функционал вида где d – дифференциал отображения, vol = volg – элемент объема метрики g.

Локальное описание подынтегрального выражения. Выберем в точке p M локальные координаты (xi ), а в ее образе q = (p) N – локальные координаты (u ). В этих координатах локальное выражение для квадрата нормы дифференциала будет иметь вид где = (x) – компоненты отображения, (g ij ) – тензор ранга (2, 0), матрица которого является обратной к матрице (gij ) метрического тензора: (g ij ) = (gij )1. Элемент объема volg задается в выбранных локальных координатах выражением вида которое ведет себя как тензор ранга (0, n) относительно замен координат с положительным детерминантом.

Инвариантное определение дифференциала. Порождаемое :

M N касательное отображение : T M T N можно отождествить с сечением d расслоения где 1 (T N ) – обратный образ касательного расслоения T N при отображении : его слой в точке p M совпадает со слоем Tq N в точке q = (p). Действительно, отображение : T M T N можно рассматривать как морфизм T M 1 T N расслоений над M, который отождествляется с сечением расслоения T M 1 (T N ).

Расслоение T M 1 (T N ) наделяется естественной римановой метрикой, индуцированной римановыми метриками g и h.

(Локальное выражение для этой метрики извлекается из правой части формулы (1.6).) Пример 2. В случае, когда M и N являются открытыми подмножествами евклидовых пространств Rn и Rm соответственно, норма дифференциала отображения = (1,..., m ) : M N задается выражением а энергия определяется интегралом Дирихле Экстремумы этого функционала задаются отображениями = ( ), компоненты которых являются гармоническими функциями.

Понятие гармонического отображения есть естественное обобщение отображений, описанных в примере 2, на случай общих римановых многообразий M, N.

Определение 3. Гладкое отображение : M N римановых многообразий называется гармоническим, если оно является экстремальным для функционала энергии E() по отношению к гладким вариациям c компактными носителями.

1.3. Уравнения Эйлера–Лагранжа Отступление (ковариантное дифференцирование и римановы связности; см. [11], пп. 28, 29). Введем на тензорных полях операцию ковариантного дифференцирования, которая переводит тензоры снова в тензоры. Сначала определим ковариантную производную векторов и 1-форм в терминах локальных представлений.

На векторных полях операция ковариантного дифференцирования задается посредством где На 1-формах определим операцию ковариантного дифференцирования по формуле где Для того, чтобы указанная операция переводила векторные поля снова в векторные поля, а 1-формы в 1-формы, необходимо, чтобы символы i при замене координат xi = xi (x ) преобразоkj вывались по закону:

Из приведенной формулы, в частности, видно, что символы i kj ведут себя как тензоры только относительно линейных замен координат.

Функции (i ), преобразующиеся по формуле (1.7) при замене координат, называются символами Кристоффеля, а операция ковариантного дифференцирования j – связностью. Связность j симметрична, если kj = jk.

Продолжим теперь операцию ковариантного дифференцирования на тензорные поля произвольного ранга, пользуясь следующими правилами:

1) ковариантное дифференцирование есть линейная операция, совпадающая на функциях с обычной производной:

2) ковариантная производная векторных полей и 1-форм задается приведенными выше формулами;

3) ковариантная производная удовлетворяет правилу Лейбница, т.е. ковариантная производная тензорного произведения S T тензоров Sj1...jp и Tlk1...kr равна Этими свойствами операция ковариантного дифференцирования определяется однозначно. Например, ковариантная производная произвольного тензора ранга (2, 0) равна Геометрический смысл связности (параллельный перенос).

Если X – векторное поле на многообразии M, имеющее локальное представление то можно определить ковариантную производную тензора вдоль X, полагая На функциях f эта операция совпадает с операцией дифференцирования по направлению векторного поля X.

Определение 4. Пусть x = x(t) есть гладкая кривая на многообразии M с началом в точке p = x(0) и концом в точке q = x(1).

Обозначим через x векторное поле скорости кривой x(t) с локальным представлением вида Тензорное поле T ковариантно постоянно или параллельно вдоль x(t), если в точках x = x(t). Параллельным переносом вектора X(p) Tp M вдоль кривой x(t) называется векторное поле определенное в точках x = x(t), которое параллельно вдоль x(t) и при t = 0 совпадает с X(p). Вектор X(q) = X (x(t)) |t=1 есть результат параллельного переноса вектора X(p) вдоль кривой x(t).

Локальное условие параллельности имеет вид при всех t, т.е. параллельный перенос вектора X(p) вдоль кривой x(t) определяется решением обыкновенного дифференциального уравнения (1.8) с начальным условием: X i |t=0 = X i (p).

Связность k называется согласованной с римановой метриij кой gij, если ковариантная производная от gij равна нулю:

Симметричная связность такого типа существует и определяется единственным образом по метрике gij. Ее символы Кристоффеля вычисляются по формуле Эта связность называется римановой или связностью ЛевиЧивита.

Из приведенной формулы для символов Кристоффеля римановой связности вытекает, что они тождественно равны нулю для обычной евклидовой связности на пространстве Rn, согласованной с евклидовой метрикой.

Мы определили связности на тензорных полях, которые позволяют их дифференцировать. Позже будут введены связности на векторных расслоениях, которые позволяют дифференцировать гладкие сечения этих расслоений.

Вернемся к уравнениям Эйлера–Лагранжа для функционала энергии E() гладких отображений : M N римановых многообразий. Приведем сначала их вид в локальных координатах.

В локальных координатах (xi ) в точке p M и (u ) в точке q = (p) N римановы связности M многообразия M и N многообразия N задаются символами Кристоффеля соответственно. В этих координатах уравнения Эйлера–Лагранжа для функционала энергии E() отображения : M N имеют вид Оператор называется оператором Лапласа–Бельтрами многообразия M, определяемым римановой метрикой g. Это линейный дифференциальный оператор 2-го порядка по. Второе слагаемое во второй строке формулы (1.9) зависит от геометрии многообразия N, т.е. от геометрии образа отображения, и задается выражением, квадратичным по производным отображения.

Пример 3. При N = Rm каждое из уравнений (1.9) превращается в уравнение Лапласа–Бельтрами на компоненту отображения, решениями которого являются гармонические функции на M. Если n = dim M = 1, то гармонические отображения : M N – это просто геодезические на N, параметризованные длиной дуги.

Задача 3. Выведите уравнения Эйлера–Лагранжа для функционала энергии E() гладких отображений : M N римановых многообразий.

Инвариантная форма уравнений Эйлера–Лагранжа. Напомним (см. п. 1.2), что дифференциал d можно рассматривать как сечение расслоения Римановы связности M и N порождают естественную связность на этом расслоении (найдите выражение для этой связности в локальных координатах!). В ее терминах уравнение Эйлера– Лагранжа может быть записано в виде или в локальных координатах Векторное поле := tr( d) называется иначе полем напряжений отображения.

1.4. Гармонические отображения комплексных Отступление (комплексные и почти комплексные многообразия; см. [21], гл. I, п. 3).

Определение 5. Пусть M – гладкое многообразие размерности 2n. Почти комплексной структурой на M называется гладкое сечение J расслоения End(T M ), удовлетворяющее соотношению Указанное сечение можно рассматривать как тензорное поле ранга (1, 1), сопоставляющее каждой точке p M линейный оператор Jp в пространстве Tp M, квадрат которого равен I.

Обозначим через T C M комплексифицированное касательное расслоение многообразия M, определяемое как В терминах локальных координат (x1,..., xn ; y 1,..., y n ) в окрестности точки p M это расслоение можно описать следующим образом. Базис касательного расслоения T M в окрестности p образуют векторные поля так что любое гладкое векторное поле X в окрестности p представляется в виде линейной комбинации с коэффициентами aj, bj, являющимися гладкими R-значными функциями в окрестности p. Сечения расслоения T C M в окрестности p задаются той же формулой (1.10), в которой коэффициенты aj, bj являются произвольными гладкими C-значными функциями в окрестности p.

Удобнее однако перейти к комплексному локальному базису расслоения T C M, задаваемому векторными полями вида где Тогда любое гладкое комплексное векторное поле (или, что то же самое, локальное сечение расслоения T C M ) в окрестности точки p будет записываться в виде где X j, X j – произвольные гладкие C-значные функции в окрестности p.

Аналогичным образом, локальный базис кокасательного комплексифицированного расслоения T,C M в окрестности точки p M составляют 1-формы так что любая гладкая 1-форма в окрестности p представляется в виде с гладкими C-значными коэффициентами j, j.

Выбранные локальные базисы векторных и ковекторных полей можно использовать для представления произвольных комплексных тензорных полей, т.е. сечений расслоений вида В частности, любая комплексная r-форма, являющаяся гладким сечением расслоения записывается в виде где форма p,q имеет вид и называется формой типа (p, q). Расслоение форм типа (p, q) обозначается через p,q M.

Вернемся к почти комплексным структурам. Пусть J – почти комплексная структура на M, задаваемая гладким сечением расслоения End(T M ). Продолжим ее комплексно-линейным образом до сечения расслоения End(T C M ). Значение продолженного линейного оператора Jp End(Tp M ) в произвольной точке p M в заданном локальном базисе задается той же матрицей, что и значение исходного линейного оператора Jp End(Tp M ) в точке p (по этой причине оба оператора обозначаются одним и тем же символом). Обозначим через Tp M (соответственно Tp M ) собственное подпространство оператора Jp End(Tp M ), отвечаC ющее собственному значению i (соответственно i). Тогда для комплексифицированного касательного расслоения T C M получим следующее разложение где T 1,0 M (соответственно T 0,1 M ) – подрасслоение T C M, слоями которого являются собственные подпространства Tp M (соответственно Tp M ).

Если взять в качестве локального базиса расслоения T C M в окрестности точки p M базис, образованный векторными полями то локальный базис подрасслоения T 1,0 M будут составлять поля а локальный базис подрасслоения T 0,1 M – поля Гладкие сечения подрасслоения T 1,0 M (соответственно T 0,1 M ) называются иначе векторными полями типа (1, 0) (соответственно векторными полями типа (0, 1). По аналогии с формами типа (p, q) можно ввести и векторные поля произвольного типа (p, q).

Определение 6. Почти комплексная структура J на гладком многообразии M называется интегрируемой, если оператор внешнего дифференцирования форм можно представить в виде суммы двух операторов где оператор d переводит формы типа (p, q), p + q = r, в формы типа (p + 1, q):

а оператор d – формы типа (p, q) в формы типа (p, q + 1):

Поясним приведенное определение на простом примере. В случае форм типа (1, 0) оператор d отображает расслоение 1,0 M в расслоение Выполнение условия интегрируемости означает в этом случае, что компонента оператора d, действующая из расслоения 1,0 M в расслоение 0,2 M (называемая иначе тензором Нийенхейса), должна быть равна нулю.

Для интегрируемой почти комплексной структуры J выполняются соотношения каждое из которых можно взять за определение интегрируемости J.

Эквивалентная формулировка условия интегрируемости почти комплексной структуры J в терминах векторных полей звучит так: скобка любых векторных полей типа (1, 0), т.е. гладких сечений расслоения T 1,0 M, должна быть снова векторным полем типа (1, 0).

Задача 4. Докажите эквивалентность всех приведенных определений интегрируемости почти комплексной структуры J на почти комплексном многообразии M. А именно, J интегрируема полей типа (1, 0) есть снова векторное поле типа (1, 0).

Замечание 1 (теорема Ньюлендера–Ниренберга, см. [14], п. 2.12). Если почти комплексная структура J на гладком многообразии M интегрируема, то такое многообразие на самом деле является комплексным. Иначе говоря, на нем можно построить 1.4. Отображения комплексных многообразий атлас из локальных комплексных координат, в которых оператор J будет задаваться умножением на i. В частности, почти комплексное многообразие (M, J) с интегрируемой почти комплексной структурой J обладает большим запасом локальных голоморфных функций. Напротив, на многообразии (M, J) с неинтегрируемой почти комплексной структурой J таких функций может не быть вовсе.

Предположим теперь, что почти комплексное многообразие (M, J) является также римановым, т.е. наделено римановой метрикой g. Будем называть эту метрику эрмитовой, если она совместима с J в том смысле, что для любых векторных полей X, Y на M. В этом случае многообразие (M, g, J) называется почти эрмитовым или эрмитовым в случае, когда почти комплексная структура J интегрируема.

Пусть (M, g, J) – почти эрмитово многообразие. Рассмотрим на нем 2-форму Если эта 2-форма замкнута, т.е. d = 0, будем называть такое многообразие (M, g, J, ) почти кэлеровым. Если форма к тому же невырождена (в этом случае задает симплектическую структуру на M ), а почти комплексная структура J интегрируема, то форма w называется кэлеровой, а само многообразие (M, g, J, ) – кэлеровым.

Задача 5. На гладком многообразии M заданы три совместимые друг с другом структуры: почти комплексная структура J, риманова метрика g и симплектическая форма. Покажите, что любые две из этих структур однозначно определяют третью.

Обратимся к гармоническим отображениям комплексных многообразий.

Определение 7. Пусть : M N есть гладкое отображение почти комплексных многообразий. Оно называется почти голоморфным или псевдоголоморфным, если касательное к нему отображение : T M T N коммутирует с почти комплексными структурами, т.е.

где M J (соответственно N J) есть почти комплексная структура на M (соответственно на N ). Отображение называется почти антиголоморфным, если антикоммутирует с почти комплексными структурами:

Удобно также называть почти голоморфные отображения +псевдоголоморфными, а почти антиголоморфные отображения –псевдоголоморфными, так что оба понятия объединяются единым термином ±псевдоголоморфных отображений.

Пусть : M N есть гладкое отображение почти комплексных многообразий. Продолжим касательное отображение : T M T N комплексно-линейным образом до отображения : T C M T C N комплексифицированных касательных расслоений. Полученное отображение, в соответствии с разложениями можно представить в блочном виде, где блоки задаются следующими четырьмя операторами Если отождествить с дифференциалом d, рассматриваемым как сечение расслоения то введенные операторы получат аналогичную интерпретацию как сечения соответствующих подрасслоений указанного расслоения. Например, оператор можно отождествить с сечением расслоения В терминах введенных операторов отображение почти голоморфно (соответственно почти антиголоморфно), если В случае, когда оба многообразия M и N почти эрмитовы, энергию гладкого отображения : M N можно представить в виде где Отображение почти голоморфно (соответственно почти антиголоморфно) тогда и только тогда, когда E () = 0 (соответственно E () = 0).

Пусть : M N есть гладкое отображение компактных почти кэлеровых многообразий. Положим Задача 6. Пусть : M N есть гладкое отображение компактных почти кэлеровых многообразий. Покажите, что число является топологическим инвариантом, т.е. зависит только от гомотопического класса отображения.

то экстремали у всех трех функционалов совпадают и всегда Следовательно, почти голоморфные и почти антиголоморфные отображения задают минимумы энергии E() в заданном топологическом классе: при k() 0 минимумы реализуются на почти голоморфных отображениях с E () = 0, при k() < 0 – на почти антиголоморфных отображениях с E () = 0.

Тем самым, в случае почти кэлеровых многоообразий локальные минимумы функционала энергии описываются также, как в случае отображений римановой сферы в себя.

В заключение остановимся более подробно на наиболее интересном для нас случае гармонических отображений римановых поверхностей в римановы многообразия. Пусть : M N – гладкое отображение из римановой поверхности M в риманово многообразие N. Как было отмечено выше, касательное отображение : T M T N можно продолжить комплексно-линейным образом до отображения : T C M T C N комплексифицированных касательных расслоений и отождествить с сечением d расслоения Поэтому дифференциал d можно представить в виде суммы где есть сечение расслоения 1,0 M 1 (T C N ), а – сечение расслоения M (T N ).

Обозначим, как и ранее, через естественную связность на расслоении T M 1 (T N ), порожденную римановыми связностями M и N, и продолжим ее комплексно-линейно на комплексифицированное расслоение T,C M 1 (T C N ). Введем операторы, действующие на сечениях указанного расслоения, которые в терминах локальной координаты z на M определяются следующим образом (заметим, что это определение согласуется с формулой (1.11)).

Тогда условие гармоничности отображения : M N будет записываться в виде или в эквивалентной форме В случае, когда многообразие N является кэлеровым, полученные условия можно упростить и далее, воспользовавшись соотношениями Так как для кэлерова многообразия N связность N сохраняет разложение T C N = T 1,0 N T 0,1 N (см. задачу ниже), то условие гармоничности можно переписать в виде Задача 7. Докажите, что риманова связность N на кэлеровом многообразии N сохраняет пространства p,q M форм типа (p, q).

Еще одна интерпретация условия гармоничности будет дана после того, как мы сформулируем следующую теорему.

Теорема 1 (теорема Кошуля–Мальгранжа, см. [13], а также [2], гл. IV, п. 1). Пусть E M – комплексное векторное расслоение над римановой поверхностью M, снабженное связностью. Тогда на E существует единственная комплексная структура, согласованная со связностью, относительно которой E M является голоморфным векторным расслоением.

Согласованность комплексной структуры с означает, что оператор, отвечающий этой структуре, совпадает с 0,1.

Будем называть комплексную структуру на E, существование которой утвердается в сформулированной теореме, структурой Кошуля–Мальгранжа, индуцированной связностью, или коротко, KM-структурой. Заметим, что векторное подрасслоение F E голоморфно относительно введенной KM-структуры тогда и только тогда, когда выполняется условие 0,1 C (M, F ) C (M, F ), где через C (M, F ) обозначено пространство гладких сечений расслоения E M.

В терминах KM-структуры на 1,0 M 1 (T C N ), индуцированной связностью, условие гармоничности, даваемое формулой (1.12), означает, что есть голоморфное сечение расслоения 1,0 M 1 (T C N ). В случае, если N кэлерово, условие гармоничности, даваемое формулой (1.15), означает, что есть голоморфное сечение расслоения 1,0 M 1 (T 1,0 N ).

Эта глава посвящена твисторному подходу к построению гармонических отображений. Она начинается с эвристической формулировки так называемой твисторной программы Пенроуза. Затем мы разбираем наиболее известный пример твисторного расслоения над 4-мерной сферой, даваемый хопфовским расслоением, и приводим общую конструкцию твисторного расслоения над римановыми многообразиями, восходящую к пионерской работе Атьи–Хитчина–Зингера. Завершается глава изложением твисторной конструкции гармонических отображений, предложенной Иллсом и Саламоном.

2.1. Твисторная программа Пенроуза Основной целью курса является построение гармонических отображений из компактных римановых поверхностей в компактные кэлеровы многообразия. Точнее, мы описываем метод, который позволяет свести эту общую проблему к решению более узкой (и более исследованной) задачи: построению голоморфных отображений из компактных римановых поверхностей в компактные кэлеровы многообразия. Образы голоморфных отображений компактных римановых поверхностей в комплексные многообразия часто называются просто голоморфными кривыми. Таким образом, речь идет о следующей редукции:

гармонические отображеголоморфные кривые ния компактных римановых поверхностей в компактные кэлеровы многообразия В случае успеха нам удалось бы свести исходную “вещественную” задачу построения гармонических отображений к ”комплексной” задаче построения голоморфных кривых.

В дифференциальной геометрии имеется общий подход к такого рода редукциям, который носит название твисторного метоГлава 2. Твисторный подход да Пенроуза. Сначала поясним идею Пенроуза на эвристическом уровне, приспособив ее к рассматриваемой задаче.

Твисторная программа Пенроуза. Построить для заданного риманова многообразия N так называемое твисторное расслоение : Z N, где Z – почти комплексное многообразие, а – гладкая субмерсия (т.е. гладкое отображение Z N с касательным отображением максимального ранга). Это расслоение должно обладать следующим нетривиальным свойством: оно должно устанавливать взаимно-однозначное соответствие между:

Таким образом, твисторный подход позволяет изучать вещественную геометрию риманова многообразия N через комплексную геометрию его твисторного пространства Z.

Приведенная формулировка твисторной программы Пенроуза дана в работе Атьи–Хитчина–Зингера [4], где одновременно предложена конкретная конструкция твисторного расслоения : Z N для произвольного четномерного риманова многообразия N. Прежде, чем переходить к изложению этой конструкции в общей ситуации, разберем ее на простом, но содержательном примере N = S 4.

2.2. Хопфовское расслоение над S Мы будем рассматривать евклидову сферу S 4 как кватернионную проективную прямую. Эта интерпретация аналогична представлению римановой сферы в виде комплексной проективной прямой.

Отступление (кватернионы). Пространство кватернионов H состоит из элементов вида где x1, x2, x3, x4 – вещественные числа, i, j, k – мнимые единицы, т.е.

Сложение и умножение кватернионов на вещественные числа определяются покомпонентно, закон умножения кватернионов вводится с помощью соотношений и их циклических перестановок.

Как вещественное векторное пространство H R4, а с алгебраической точки зрения является телом (т.е. некоммутативным полем). В частности, любой ненулевой элемент H обладает обратным (проверьте это!).

Кватернионы q H можно записывать также в комплексной форме где z1 = x1 + ix2, z2 = x3 + ix4 – комплексные числа. Как комплексное векторное пространство, H C2.

Удобно реализовать кватернионы в виде комплексных 2 2матриц, сопоставляя при этом умножению кватернионов будет отвечать умножение матриц (проверьте!).

Роль единичной окружности в H играет сфера S 3, отождествляемая с группой где q := x1 ix2 jx3 kx4. В матричной реализации этой группе будет соответствовать группа SU(2) унитарных 2 2-матриц с единичным детерминантом.

Задача 8. Группа SO(4) не является простой (в отличие от групп SO(n) с n > 4). Если обозначить через Spin(4) универсальную (иначе говоря, односвязную) накрывающую группы SO(4), то эта группа, называемая спинорной, будет двукратно накрывать группу SO(4). При этом Докажите этот факт, пользуясь кватернионной интерпретацией R4.

Вернемся к построению хопфовского расслоения над S 4. Для этого отождествим евклидову сферу S 4 = R4 {} с кватернионной проективной прямой HP1. Точками HP1 являются пары [q, q ] кватернионов, не равных нулю одновременно, которые заданы с точностью до умножения справа на ненулевой кватернион.

(Строго говоря, определенное таким образом множество нужно называть правой кватернионной прямой. Аналогичным образом можно определить и левую кватернионную прямую. Поскольку в этом курсе используется только правая кватернионная прямая, мы опускаем термин “правая” в ее названии.) Хопфовское расслоение над S 4 HP1 имеет вид и задается тавтологической формулой Здесь, четверка комплексных чисел [z1, z2, z3, z4 ] рассматривается как точка 3-мерного комплексного проективного пространства CP3, т.е. определена с точностью до умножения на ненулевое комплексное число (общее определение n-мерного комплексного проективного пространства будет дано ниже в п. 3.1), а пара кватернионов [z1 + z2 j, z3 + z4 j] HP1 определена с точностью до умножения на ненулевой кватернион. Слой расслоения совпадает с комплексной проективной прямой CP1, инвариантной относительно умножения справа на j, т.е. инвариантной относительно отображения Для того, чтобы усмотреть связь построенного расслоения со стандартным хопфовским расслоением над S 4, поднимем отображение на сферу S 7 C4, пользуясь расслоением сопоставляющим точке пространства C4 проходящую через нее комплексную прямую. Получим расслоение со слоем S 3 – кватернионный аналог хопфовского расслоения которое также можно построить из комплексного расслоения Построенное расслоение : CP3 S 4 имеет красивую интерпретацию в терминах комплексных структур на R4, предложенную в работе [4]. Рассмотрим ограничение хопфовского расслоения на евклидово пространство R4 H, имеющее вид где выброшенная комплексная проективная прямая CP1 отождествляется со слоем 1 () хопфовского расслоения над S 4.

Пространство R4 можно отождествить с C2 многими способами, среди которых нет канонического. Опишем пространство всех почти комплексных структур на R4, совместимых с евклидовой метрикой и ориентацией R4. Они задаются гладкими сечениями J = {Jq } расслоения End(T R4 ), такими что значение Jq в точке q R4 является линейным оператором на Tq R4 R4, квадрат которого равен I и совместимым с евклидовой метрикой и ориентацией R4. Последнее означает, что операторы Jq задаются кососимметричными матрицами с нулевым следом (почему?). Иначе говоря, все они получаются из фиксированного оператора Jq действием преобразований из группы SO(4). При этом комплексные структуры с операторами Jq, полученными из Jq действием преобразований из подгруппы U(2) SO(4), эквивалентны исходной (т.е. получаются из нее с помощью комплексной замены базиса). Таким образом, пространство комплексных структур на Tq R4, совместимых с метрикой и ориентацией, можно отождествить с Указанное однородное пространство совпадает с Задача 9. Докажите этот факт.

Тем самым, слой расслоения комплексных структур над R в произвольной точке q, состоящий из различных комплексных структур на Tx R4 R4, совпадает с S 2 CP1, а само расслоение совпадает с расслоением Последний факт можно пояснить еще таким образом.

Пространство CP3 \ CP1 расслаивается на параллельные проективные плоскости CP2, которые пересекаются в CP3 на выброшенной проективной прямой CP1 = 1 (). Через каждую точку z слоя над точкой q R4 проходит единственная проективная плоскость CP2 из этого семейства. Касательное отображение отождествляет эту проективную плоскость с пространством Tq R и, тем самым, наделяет Tq R4 индуцированной комплексной структурой. Это и есть комплексная структура J(z), отвечающая точке z расслоения : CP3 \ CP1 R4.

Еще одну интерпретацию хопфовского расслоения можно получить, пользуясь следующей задачей.

Задача 10. Пусть M есть ориентированное риманово 4-мерное многообразие. Тогда расслоение 2-форм 2 M на M является прямой суммой расслоений автодуальных и антиавтодуальных форм 2.3. Твисторное расслоение риманова многообразия Формы 2 M удовлетворяют соотношению: = ±, где – оператор Ходжа, определяемый метрикой M. Покажите, что сферическое подрасслоение S(2 M ) можно каноническим образом отождествить с твисторным расслоением комплексных структур на M, совместимых с метрикой и ориентацией.

Отметим важное свойство построенного расслоения : CP S 4. Твисторное пространство совпадает в этом случае с CP3 и, следовательно, обладает канонической комплексной структурой.

В следующем параграфе мы увидим, что многие из отмеченных нами свойств хопфовского расслоения распространяются на твисторные расслоения общих римановых многообразий.

2.3. Твисторное расслоение риманова Начнем с описания пространства эрмитовых структур на четномерном евклидовом пространстве R2n, т.е. комплексных структур на R2n, задаваемых кососимметричными линейными операторами J, квадрат которых равен I. Пространство таких структур, обозначаемое через J (R2n ), отождествляется с однородным пространством Оно является объединением двух копий однородного пространства SO(2n)/U(n), параметризующего комплексные структуры на R2n, совместимые с метрикой и ориентацией (в случае n = это пространство, рассмотренное в предыдущем параграфе, совпадает с S 2 ).

Пространство O(2n)/U(n) является комплексным многообразием. Комплексную структуру на O(2n)/U(n) можно построить, вкладывая его в комплексное грассманово многообразие Gn (C2n ), состоящее из n-мерных подпространств в C2n. (Общее определение грассмановых многообразий дается ниже в п. 3.1.) Указанное вложение сопоставляет комплексной структуре J J (R2n ) касательное пространство TJ (R2n ) векторов типа (1, 0) относительно этой структуры:

Образ этого вложения является комплексным подмногообразием в Gn (C2n ) с комплексной структурой, индуцированной из Gn (C2n ). (Образ вложения (2.1) можно описать явным образом.

Если продолжить евклидову метрику h0 комплексно-линейным образом с R2n на C2n, то образ (2.1) будет состоять из n-мерных подпространств в C2n, изотропных относительно h0. Иначе говоря, этот образ совпадает с квадрикой в Gn (C2n ), задаваемой уравнением: h0 (z, z) = 0 в естественных комплексных координатах на Gn (C2n ), см. п. 3.1.) Можно ввести комплексную структуру на пространстве J (R2n ) O(2n)/U(n) и не обращаясь к вложению в Gn (C2n ), если воспользоваться общей конструкцией инвариантных комплексных структур на орбитах присоединенного представления, излагаемой в следующем отступлении.

Отступление (инвариантные комплексные структуры на орбитах присоединенного представления; см. [17], п. 3). Пусть G есть компактная группа Ли с алгеброй Ли g и C g – орбита присоединенного представления (см. п. 5.1) группы G в алгебре Ли g (иначе говоря, C есть класс сопряженности). Тогда на C имеется инвариантная комплексная структура, которую можно ввести следующим образом. Фиксируем произвольную точку C и обозначим через подгруппу изотропии точки, алгебра Ли которой совпадает с При этом орбита C отождествляется с фактором G/H, а ее касательное пространство в точке – с фактором g/h. Фиксируем на алгебре Ли g скалярное произведение, инвариантное относительно присоединенного действия группы G. Оператор ad на алгебре Ли g кососимметричен и имеет ядро, совпадающее с h. Поэтому образ m этого оператора является прямым дополнением к h, так Для того, чтобы определить G-инвариантную комплексную структуру на орбите C, достаточно построить H -инвариантное разложение комплексифицированного касательного пространства T C mC в прямую сумму подпространств m+ векторов 2.3. Твисторное расслоение риманова многообразия типа (1, 0) и m векторов типа (1, 0), а затем разнести его в другие точки орбиты C с помощью действия группы G.

Продолжение оператора ad на T C является косоэрмитовым оператором с ненулевыми собственными значениями, поэтому мы можем взять за m+ прямую сумму собственных подпространств ad с собственными значениями, имеющими положительную мнимую часть: Im > 0, а за m – прямую сумму собственных подпространств с собственными значениями : Im < 0. Тогда Очевидно, что разложение mC = m+ m является H -инвариантным, поэтому оно определяет на C инвариантную почти комплексную структуру, для которой подпространство касательных векторов типа (1, 0) в точке совпадает с m+. Указанная почти комплексная структура интегрируема, поскольку [m+, m+ ] m+.

В рассматриваемой нами ситуации G = O(2n), g = o(2n), C = J (R2n ) o(2n). Роль играет комплексная структура J J (R2n ), задающая разложение В этом случае собственное подпространство m+ допускает следуJ ющее описание Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно (см. также [17], пред. 3.3).

Пусть, теперь, N – четномерное риманово многообразие размерности 2n. Рассмотрим расслоение : J (N ) N эрмитовых структур на N, слоем которого в точке q N является пространство J (Tq N ) J (R2n ) эрмитовых структур на касательном пространстве Tq N. Это расслоение ассоциировано с главным расслоением ортонормированных реперов на N, слой которого в точке q N совпадает с множеством O(Tq N ) всех ортонормированных реперов в Tq N и отождествляется с группой O(2n).

Иначе говоря, расслоение J (N ) можно можно отождествить с расслоением (смысл этого обозначения проясняется в нижеследующем отступлении).

Отступление (ассоциированные расслоения и косые произведения; см. [23], гл. 4, п. 5). Пусть на многообразии E действует справа группа Ли G и это действие не имеет неподвижных точек. Пусть, далее, F – другое многообразие, на котором та же группа действует слева. Тогда прямое произведение E F можно снабдить правым действием группы G по правилу:

Проекция на первый сомножитель порождает отображение на пространство орбит группы G в E. Обозначим через пространство орбит группы G в E F. Указанное выше отображение порождает отображение которое является расслоением со структурной группой G и слоем F. В случае, когда E есть главное G-расслоение над многообразием M, эта конструкция дает расслоение над M, ассоциированное с E M, которое имеет слоем пространство F.

В рассматриваемом нами случае роль G играет группа O(2n), которая действует справа на O(N ) заменой реперов, и действует левыми сдвигами на пространстве J (N ).

Расслоение J (N ) N будет играть роль твисторного расслоения над N. Покажем, прежде всего, что J (N ) обладает естественной почти комплексной структурой. Для этого нам понадобится определение связности на расслоении.

2.3. Твисторное расслоение риманова многообразия Отступление (связности и вертикально-горизонтальные разложения; см. [5], гл. 5, пп. 5.1, 5.2, 5.4). Пусть P M – главное расслоение над n-мерным многообразием M, слоем которого является группа Ли G.

Рассмотрим распределение плоскостей V T P, слой которого в точке p P состоит из векторов, касательных к слою P(p) расслоения P, проходящему через точку p. Иными словами, Связностью на расслоении P M называется гладкое распределение H T P n-мерных плоскостей, для которого выполняются следующие условия:

(1) Tp P = Vp Hp в каждой точке p P ;

(2) группа G, действующая на T P с помощью присоединенного представления, отображает Hp в Hpg для любого g G.

Распределение V называется вертикальным, а H – горизонтальным распределением на расслоении P.

Из приведенного определения связности вытекает, что касательное отображение устанавливает изоморфизм для любого p P. Поэтому любое векторное поле X на M допускает однозначный подъем до сечения X расслоения H, называемого горизонтальным подъемом векторного поля X. Это позволяет, в частности, определить параллельный перенос слоя P(p) вдоль произвольного пути : [0, 1] M на M с началом в точке (p): (0) = (p). Для этого нужно рассмотреть горизонтальный подъем до пути на расслоении P с началом в точке p и выбрать в качестве образа точки p при параллельном переносе вдоль значение (1). Указанная конструкция связывает данное определение связности с ее определением в терминах параллельного переноса (см. п. 1.3).

Для того, чтобы установить соответствие приведенного определения с определением связности в терминах ковариантного дифференцирования (символов Кристоффеля–Шварца), введем форму связности, которая является 1-формой на расслоении P со значениями в алгебре Ли g группы G. Эта форма задается следующим образом: значение в точке p P на векторе v Tp P равно проекции prV (v) этого вектора на вертикальное подпространство Vp Tp P, рассматриваемой как элемент алгебры Ли g.

Заметим, что форма связности однозначно определяет саму связность H, а именно, слой Hp отождествляется с ядром формы p.

Построим теперь вертикально-горизонтальное разложение на расслоении, которое ассоциировано с главным расслоением P M, снабженным связностью P H. Пусть E M – такое расслоение со слоем F и структурной группой G, действующей на F слева. Рассмотрим отображение задаваемое действием элемента p G на элемент f F. Касательное к нему отображение позволяет определить горизонтальное распределение E H на E M, полагая Вернемся к твисторному расслоению J (N ) N. Риманова связность N порождает естественную связность на главном O(2n)-расслоении O(N ) N, которая определяет вертикальногоризонтальное разложение ассоциированного расслоения J (N ):

2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Введем почти комплексную структуру J 1 на J (N ), полагая Значение вертикальной компоненты Jzv End(Vz ) в точке z J (N ) совпадает с канонической комплексной структурой на пространстве введенной в начале этого параграфа. Значение горизонтальной компоненты Jzh End(Hz ) в точке z совпадает с комплексной структурой J(z) z на пространстве Hz, отождествляемом с T(z) N посредством. Напомним, что слой 1 (q) расслоения J (N ) N над точкой q = (z) N состоит из эрмитовых структур на Tq N и мы обозначаем через J(z) эрмитову структуру на Tq N, отвечающую точке z 1 (q).

Построенная почти комплексная структура J 1 на J (N ) превращает пространство J (N ) в почти комплексное многообразие.

2.4. Твисторная конструкция гармонических отображений в римановы многообразия В предыдущем параграфе мы построили для произвольного четномерного риманова многообразия N твисторное расслоение и наделили твисторное пространство Z почти комплексной структурой J 1. В этом параграфе мы покажем, каким образом можно использовать указанное твисторное расслоение для решения нашей исходной задачи – построения гармонических отображений из компактных римановых поверхностей в римановы многообразия.

Начнем с эвристических соображений. Напомним, что согласно твисторной программе Пенроуза можно свести любую задачу римановой геометрии на рассматриваемом нами римановом многообразии N к некоторой задаче комплексной геометрии на твисторном пространстве Z = J (N ). Поверив в этот тезис Пенроуза, следует предположить, что гармонические отображения : M N из компактной римановой поверхности M в многообразие N должны возникать из псевдоголоморфных отображений : M (Z, J 1 ) как проекции этих отображений на N, И это почти верно. Оказывается, что проекции псевдоголоморфных отображений : M Z на N действительно удовлетворяют дифференциальным уравнениям 2-го порядка на N, но это не гармонические уравнения, а ультрагиперболические, т.е. гармонические уравнения с “неправильной” сигнатурой (n, n) вместо нужной нам сигнатуры (2n, 0). Поэтому, если мы хотим, оправдывая тезис Пенроуза, строить гармонические отображения : M N как проекции псевдоголоморфных отображений : M Z, то должны поменять определение почти комплексной структуры на твисторном пространстве Z = J (N ). А именно, в терминах вертикально-горизонтального разложения искомая почти комплексная структура J 2 на J (N ) должна задаваться как Указанная почти комплексная структура на J (N ) была введена Иллсом и Саламоном и, как мы увидим, именно она отвечает за твисторную интерпретацию гармонических отображений.

2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Переходя к строгому доказательству этого утверждения, определим сначала более формально понятие твисторного расслоения риманова многообразия.

Определение 8. Гладкое расслоение : Z N, где Z = (Z, J 2 ) есть почти комплексное многообразие, называется твисторным расслоением риманова многообразия N, если проекция := любого псевдоголоморфного отображения : M Z произвольной компактной римановой поверхности M в твисторное пространство Z является гармоническим отображением Замечание 2. Поясним, почему в приведенном определении и, вообще, в этом курсе мы ограничиваемся отображениями из римановых поверхностей M, а не рассматриваем, скажем, отображения из произвольных комплексных (или почти комплексных) многообразий M. Можно показать, что проекции почти голоморфных отображений : M (J (N ), J 2 ) на риманово многообразие N при dimC M > 1 являются не только гармоническими, но и плюригармоническими отображениями (т.е. удовлетворяют гармоническому уравнению при ограничении на любую комплексную кривую в M ), что накладывает на них очень сильные ограничения. Поэтому, в надежде получить все гармонические отображения : M N с помощью твисторной конструкции, мы ограничиваемся случаем dimC M = 1.

Пусть N – риманово многообразие размерности 2n и : Z = J (N ) N – его твисторное расслоение эрмитовых структур.

Риманова связность N определяет разложение в терминах которого введенные почти комплексные структуры задаются как Рассмотрим вопрос об их интегрируемости.

Теорема 2 (Ронсли, см. [17]). Почти комплексная структура J 1 на расслоении J (N ) интегрируема N конформно плоско, т.е. N конформно эквивалентно плоскому пространству.

Напомним, что отображение : (M, g) (N, h) римановых многообразий называется конформным, если индуцируемая им метрика h на M конформно эквивалентна римановой метрике g многообразия M, т.е.

для некоторой положительной гладкой функции на M.

Что касается почти комплексной структуры J 2 на J (N ), то она никогда не интегрируема (см. [18]). Пояснить последнее утверждение можно следующим образом. Нетрудно показать, исходя из определения почти комплексной структуры J 2, что при условии ее интегрируемости локальные J 2 -голоморфные кривые f : U J (N ) могут быть только горизонтальными, т.е. касательные к ним пространства должны принадлежать горизонтальному распределению H. С другой стороны, если бы (J (N ), J 2 ) было комплексным многообразием, то локальную голоморфную кривую на нем можно было выпустить в любом комплексном касательном направлении.

На первый взгляд, приведенные результаты о неинтегрируемости почти комплексных структур J 1 и J 2 выглядят разочаровывающими, поскольку неинтегрируемые почти комплексные структуры могут быть “дикими” – например, они могут не иметь даже локальных голоморфных функций. Однако в рассматриваемой задаче мы имеем дело, к счастью, не с голоморфными функциями на твисторном пространстве Z = J (N ) (т.е. с голоморфными отображениями f : Z C), а с двойственным объектом – голоморфными отображениями : M Z из римановых поверхностей M в Z. Такое отображение голоморфно относительно почти комплексной структуры J 2 на Z оно удовлетворяет уравнению Коши–Римана J = 0 относительно индуцированной почти комплексной структуры J := (J 2 ) на M. А на римановой поверхности любая почти комплексная структура интегрируема.

Поэтому свойства интегрируемости почти комплексной структуры J 2 на твисторном пространстве Z = J (N ) прямого отношения к нашей задаче не имеют. Мы упомянули о них для того, чтобы дать представление об устройстве введенных почти комплексных структур.

Вернемся к задаче построения гармонических отображений : M N из компактных римановых поверхностей M в заданное риманово многообразие N. Допустим, что : M J (N ) есть 2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия гладкое отображение, проекция которого на N совпадает с заданным отображением : M N : =.

По определению горизонтального распределения H, индуцированное расслоение 1 (T N ) изоморфно обратному образу 1 H, поэтому расслоение 1 (T N ) наследует почти комплексную структуру J h из H. Значение этой почти комплексной структуры на слое 1 (T N )p = T(p) N равно J(p) J (N )(p). Обратh но, для любого гладкого отображения : M N задание почти комплексной структуры на расслоении 1 (T N ) порождает естественным образом отображение : M J (N ) со свойством:

Следовательно, построение отображения : M J (N ) такого, что =, эквивалентно введению почти комплексной структуры на расслоении 1 (T N ).

Обозначим почти комплексную структуру на расслоении 1 (T N ), индуцируемую отображением, через J. Ее можно представить в виде J = 1 J, где J – почти комплексная структура на N (совпадающая с образом отображения : M J (N )). Почти комплексная структура J порождает разложение комплексифицированного расслоения 1 (T C N ) в прямую сумму собственных подрасслоений этой структуры, отвечающих собственным значениям ± i. Чтобы подчеркнуть их зависимость от отображения : M J (N ), обозначим эти собственные подрасслоения через ±. Тем самым, введение почти комплексной структуры на расслоении 1 (T N ), отвечающей отображению, эквивалентно представлению комплексифицированного расслоения 1 (T C N ) в виде Обозначим через 1 связность на расслоении 1 (T C N ), индуцированную римановой связностью N. Дифференциал d отображения отождествляется с сечением расслоения T M 1 T Z, где Z = J (N ). Как было указано ранее, связность N порождает вертикально-горизонтальное разложение касательного расслоения T Z:

и, в соответствии с этим разложением, мы можем представить дифференциал d в виде суммы его вертикальной и горизонтальной составляющих. Горизонтальная составляющая совпадает с d, поскольку H 1 (T N ), а вертикальная составляющая совпадает с (), где – 1-форма связности на Z, определяемой разложением (2.3). Таким образом, в соответствии с разложением (2.3).

Вертикальную компоненту дифференциала можно охарактеризовать еще и следующим утверждением, которое понадобится нам ниже.

Лемма 1 (Ронсли, см. [17], пред. 5.2). Для любого вектора X T M имеет место соотношение Следующее предложение дает критерий J 1 - и J 2 -голоморфности отображения : M J (N ) в терминах введенных понятий.

Предложение 1 (Ронсли [17]). Отображение : M J (N ) является J 1 -голоморфным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(1a) d(T 1,0 M ) + ;

(1b) (1 )Z : C ( + ) C ( + ) для любого вектора Z Эти условия можно записать в другой, эквивалентной форме:

(2b) (1 )Z (J ) + = 0 для любого вектора Z T 1,0 M.

Отображение : M J (N ) является J 2 -голоморфным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(3b) (1 )Z : C ( + ) C ( + ) для любого вектора Z 2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Эти условия можно записать в эквивалентной форме:

(4b) (1 )Z (J ) + = 0 для любого вектора Z T 0,1 M.

Замечание 3. Напомним, что почти комплексные структуры J 1 и J 2 определяются в терминах вертикально-горизонтального разложения (2.3) и отличаются только знаком вертикальной компоненты J v. Приведенное предложение дает критерий почти голоморфности отображений : M J (N ) отдельно для горизонтальной и вертикальной составляющих структур J 1, J 2.

Горизонтальная голоморфность отображения обеспечивается условием (1a)=(3a), совпадающим для обеих структур. Вертикальная голоморфность гарантируется условиями (1b) и (3b), которые, как и следовало ожидать, отличаются знаком. Заметим, что условие (3b) означает голоморфность подрасслоения + 1 (T C N ) относительно KM-структуры на 1 (T C N ), индуцированной связностью 1.

Доказательство. Мы докажем только критерий J 2 -голоморфности отображения : M J (N ), утверждение, касающееся его J 1 -голоморфности, доказывается аналогично. Для доказательства J 2 -голоморфности нужно проверить, что Горизонтальная составляющая этого соотношения имеет вид что совпадает с условием (4a). Вертикальная составляющая (2.4) имеет вид Вычислим значения обеих частей последнего равенства на векторе X T M и возьмем скобку полученных значений с оператором J. Пользуясь леммой 1, получим В случае, когда вектор X имеет тип (0, 1), левая часть равна i(1 )X J и последнее соотношение превращается в Обозначая A := (1 )X J, мы можем переписать его в виде 1 J v A = iA. Иными словами, A 1 (T 1,0 V ). Из формулы (2.2) (см. п. 2.3) вытекает, что последнее условие эквивалентно тому, что Первое из этих соотношений совпадает с (4b). Второе вытекает из следующего утверждения, проверку которого мы оставляем читателю.

Пусть (M, J ) – почти эрмитово комплексное многообрариманова связность на M. Тогда оператор X J зие и отображает каждое из собственных подрасслоений оператора J в его ортогональное дополнение, т.е. X J : TJ M TJ M Условия (3a), (3b) являются просто переформулировками условий (4a), (4b).

Замечание 4. В приведенном предложении не использовался тот факт, что M является римановой поверхностью. Оно справедливо для произвольных гладких отображений : M J (N ) почти комплексных многообразий M в пространство J (N ).

Имея критерий J 2 -голоморфности, даваемый предложением Ронсли, мы можем доказать, что расслоение эрмитовых структур J (M ) N является твисторным в смысле определения 8.

Теорема 3. Расслоение эрмитовых структур является твисторным, т.е. проекция = произвольного J 2 -голоморфного отображения : M J (N ) произвольной римановой поверхности M в пространство J (N ) является гармоническим отображением.

Доказательство. Мы должны показать, что 2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Заметим, что векторное поле M Z Z T 1,0 M, поскольку Z Z = 0 (это одна из формулировок условия интегрируM M емости комплексной структуры на M ). Поэтому по условию (3a) из предложения С другой стороны, поскольку d(Z) + по условию (3a), а по условию (3b) из предложения 1. Поэтому Но вещественно, следовательно, Тем самым, = 0, т.е. отображение гармонично.

Замечание 5. Доказанная теорема немедленно переносится на случай, когда M есть произвольное кэлерово многообразие (проверьте это самостоятельно).

Мы показали, что проекция любой J 2 -голоморфной кривой : M J (M ) является гармоническим отображением. Спрашивается, когда верно обратное, иными словами, когда указанное гармоническое отображение : M N является проекцией некоторой J 2 -голоморфной кривой : M J (M )? Оказывается, “воспоминанием” отображения : M N о том, что оно было получено как проекция J 2 -голоморфной кривой в J (M ), служит, помимо его гармоничности, еще и конформность отображения.

Общее определение конформного отображения : M N римановых многообразий, данное выше при обсуждении интегрируемости почти комплексной структуры J 2, в случае римановой поверхности M можно переформулировать следующим образом.

Отображение : M N римановой поверхности M в риманово многообразие (N, h) конформно, если (в этом равенстве подразумевается, что риманова метрика h продолжена комплексно-линейным образом на T C N ). Указанное условие означает, что образ пространства T 1,0 M при касательном отображении является изотропным подпространством относительно метрики h, иначе говоря, конформность отображения эквивалентна его изотропности. В случае, когда N является кэлеровым, условие (2.5) можно переписать в виде Возвращаясь к поставленному нами вопросу, можно показать (см. [17]), что любое гармоническое конформное отображение : M N из компактной римановой поверхности M в ориентированное риманово многообразие N локально является проекцией некоторой J 2 -голоморфной кривой : M J (M ).

Рассмотренное нами расслоение эрмитовых структур J (M ) N является далеко не единственным твисторным расслоением, с помощью которого можно строить гармонические отображения. Исходя из расслоения J (M ) N, можно строить и другие твисторные расслоения Z N, пользуясь следующим методом, предложенным Ронсли.

Пусть задано гладкое расслоение p : Z N, слои которого являются комплексными многообразиями с комплексной структурой, гладко зависящей от точки q N.

Допустим, что имеется послойное отображение j : Z J (N ), которое голоморфно на слоях. Предположим, далее, что на расслоении p : Z N имеется гладкое горизонтальное распределение Z H, которое переводится отображением j в горизонтальное распределение H на J (N ). Тогда на Z H возникает почти комплексная структура Z J h, задаваемая прообразом почти комплексной структуры J h на H при отображении j. Используя эту горизонтальную почти комплексную структуру Z J h на Z H и заданную вертикальную комплексную структуру на слоях расслоения p : Z N, мы можем ввести на Z почти комплексные структуры Z J 1 и Z J 2 также, как в случае расслоения : J (N ) N.

2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Ясно, что отображение j является почти голоморфным по отношению к обеим введенным структурам, поэтому p : Z N есть твисторное расслоение над N также, как и : J (N ) N.

Продемонстрируем на конкретных примерах, как действует метод Ронсли “на практике”.

Пример 4 (расслоение эрмитовых структур, совместимых с ориентацией). Обозначим через J + (N ) N расслоение эрмитовых структур, совместимых с ориентацией. Слоем этого расслоения в точке q N является пространство J + (Tq N ), которое отождествляется с однородным пространством SO(2n)/U(n).

Также, как в случае расслоения J (N ), риманова связность N порождает вертикально-горизонтальное разложение а естественное вложение j : J + (N ) J (N ) превращает J + (N ) N в твисторное расслоение, наделенное почти комплексной структурой J 2.

Пример 5 (комплексное грассманово расслоение). Пусть N есть кэлерово многообразие размерности m. Обозначим через комплексное грассманово расслоение, слоем которого в точке q N является грассманово многообразие Gr (Tq N ) комплексных подпространств размерности r в комплексном векторном пространстве Tq N. Если обозначить через U(N ) N главное U(m)расслоение унитарных реперов на N, то В случае кэлерова многообразия N риманова связность N определяет связность на расслоении U(N ) и потому задает горизонтальное распределение на пространстве Z. Комплексная структура на слоях Z N индуцируется естественной комплексной структурой на грассмановом многообразии Gr (Cm ) (см. п. 3.1).

Построим теперь отображение полагая для подпространства W Gr (Tq N ):

Построенное отображение j : Z J (N ) удовлетворяет условиям метода Ронсли (проверьте это!), откуда следует, что грассманово расслоение Gr (T 1,0 N ) N является твисторным, иными словами, проекция любого J 2 -голоморфного отображения : M Gr (T 1,0 N ) из компактной римановой поверхности M на многообразие N является гармоническим отображением : M N.

Как было указано выше, такое отображение обязательно конформно. В случае r = 1 можно построить и обращение приведенной твисторной конструкции, иными словами, построить для произвольного конформного гармонического отображения : M N его твисторное поднятие до J 2 -голоморфного отображения : M G1 (T 1,0 N ). Заметим, что грассманово расслоение G1 (T 1,0 N ) N совпадает с проективизацией P(T 1,0 N ) N расслоения T 1,0 N N.

Предположим, что задано конформное гармоническое отображение : M N, не являющееся антиголоморфным (для антиголоморфных, как и голоморфных, отображений задача о построении их твисторных поднятий не стоит). Его дифференциал записывается в виде (см. формулу (1.14) в п. 1.4) Если отображение не является антиголоморфным, то (/z) задает не равное тождественно нулю сечение расслоения 1 (T 1,0 N ), которое голоморфно относительно KM-структуры на этом расслоении, индуцированной римановой связностью N.

Это сечение может иметь только изолированные нули, вне которых твисторное поднятие : M P(T 1,0 N ) задается, по определению, посредством Иными словами, значение (p) отображения в точке p M совпадает с комплексной прямой в T(p) N, порождаемой (1, 0)компонентой вектора (/z). Пользуясь голоморфностью построенного линейного подрасслоения в расслоении 1 (T 1,0 N ), можно продолжить его на изолированные нули сечения (/z) (вариант теоремы Римана о стирании изолированных особенностей голоморфных функций), получив, тем самым, искомое отображение Построенное отображение является J 2 -голоморфным, если конформно.

2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия Задача 11. Докажите последнее утверждение, пользуясь критерием J 2 -голоморфности из предложения 1.

Мы рассмотрели примеры различных твисторных пространств над римановыми многообразиями N. Сужая класс допустимых римановых многообразий (как в последнем примере, где мы ограничились классом кэлеровых многообразий N ), можно с помощью метода Ронсли строить новые примеры твисторных пространств. Руководящая идея состоит в том, чтобы для каждого класса римановых многообразий N выбирать в качестве адекватного твисторного расслоения расслоение комплексных структур, так или иначе связанных с геометрией многообразий изучаемого класса. В следующих главах мы приведем конструкцию твисторных расслоений над комплексными проективными и грассмановыми многообразиями. Ее можно рассматривать как частный случай более общей конструкции твисторных расслоений над однородными пространствами вида G/H. В этой общей конструкции, которая также может быть получена методом Ронсли, в качестве твисторного расслоения выбирается расслоение Gинвариантных комплексных структур на G/H.

Глава 3. Гармонические отображения в комплексные проективные пространства В этой главе будет дано описание гармонических отображений : M CPn из компактных римановых поверхностей M в комплексное проективное пространство CPn. В п. 3.1 приводится конструкция гармонических отображений в терминах голоморфных кривых, не использующая твисторного подхода. Ее твисторная интерпретация в терминах флагового расслоения над CPn дается в п. 3.2.

3.1. Гармонические отображения и Отступление (комплексное проективное пространство и комплексное грассманово многообразие; см. [9], гл. I, п. 5).

Комплексное проективное пространство CPn есть множество комплексных прямых в Cn+1, проходящих через начало координат. Поскольку такая прямая полностью определяется любой своей точкой z = 0, то элементы CPn можно отождествить с классами эквивалентности [z], z Cn+1 \{0}, заданными с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Тем самым имеется естественное отображение сопоставляющее точке z Cn+1 \ {0} ее класс эквивалентности [z] CPn. Слой этого отображения совпадает с C := C \ {0}.

Наделим CPn топологией, индуцируемой проекцией, и рассмотрим открытые подмножества состоящие из комплексных прямых, не лежащих в гиперплоскости {zi = 0} Cn+1. Введем отображение 56 Глава 3. Отображения в проективные пространства (“шляпка” над выражением zi означает, что оно должно быть пропущено).

Открытые множества {Ui } вместе с гомеоморфизмами {i } образуют атлас комплексных координатных окрестностей и локальных карт на многообразии CPn, поскольку на пересечениях Ui Uj отображения задаваемые посредством голоморфны (в последней формуле предполагается, что j < i и дробь wj стоит на i-м месте). Это задает на CPn структуру комплексного многообразия размерности n. Оно компактно, поскольку совпадает с непрерывным образом отображения где S 2n+1 – единичная сфера в Cn+1. Координаты [z0,..., zn ], заданные с точностью до пропорциональности, называются однородными координатами в CPn.

По-другому, можно представлять себе CPn как компактификацию Cn, получаемую добавлением к Cn гиперплоскости H на бесконечности. В координатах вложение Cn CPn можно задать отображением при этом H отождествляется с гиперплоскостью {z0 = 0} CPn.

Построим эрмитову метрику на CPn. Для этого рассмотрим форму на Cn+1 \ {0}, задаваемую выражением где |z|2 = |z0 |2 +· · ·+|zn |2. Последнюю формулу можно переписать в виде где Форма является d-замкнутой (т.е. d = 0) однородной формой на Cn+1 \{0}, поэтому она спускается до замкнутой формы типа (1, 1) на CPn. Ее ограничение на координатную окрестность U можно записать в виде где wj = zj /z0. Определяемый этой формулой тензор имеет коэффициенты hjk (w) = (1 + |w|2 )2 jk wj wk, составляющие положительно определенную эрмитову матрицу. То же самое рассуждение применимо к любой координатной окрестности Ui.

Тем самым, h является метрическим тензором некоторой эрмитовой метрики на CPn, называемой метрикой Фубини–Штуди. Эта метрика вместе с замкнутой формой задает на CPn структуру кэлерова многообразия.

Комплексное грассманово многообразие Gk (Cn ) есть множество k-мерных комплексных подпространств в Cn. Любое такое подпространство V задается набором из k векторов-строк (v1,..., vk ) в Cn, порождающих подпространство V, иначе говоря, V задается (k n)-матрицей Две такие матрицы A, A задают одно и то же подпространство V тогда и только тогда, когда A = gA для некоторой (k k)матрицы g GL(k, C).

Фиксируем ортонормированный базис {ei } в Cn. Для произвольного набора 58 Глава 3. Отображения в проективные пространства индексов из k элементов обозначим через и через VI его ортогональное дополнение, т.е.

VI = {(n k)-мерное подпространство в Cn, Введем множества UI, которые будут играть роль координатных окрестностей на Gk (Cn ):

Иначе говоря, UI состоит из k-мерных подпространств в Cn, трансверсальных VI. Для любого подпространства V UI можно найти матричное представление, в котором (k k)-минор с индексами из I будет единичным. Например, любое подпространство V UI 0 с I 0 = {1,..., k} можно однозначно задать (k n)матрицей вида вектор-строки которой отвечают точкам пересечения V с аффинными плоскостями VI + ei, 1 i k.

Обратно, любая такая матрица задает некоторое подпространство V UI 0. Тем самым, имеется взаимно-однозначное отображение С помощью аналогичных рассуждений строятся взаимно-однозначные отображения для любого множества I {1,..., n} из k индексов. Наделим множество Gk (Cn ) слабейшей топологией, индуцированной отображениями {I }, в которой все отображения I непрерывны. Тогда атлас {UI } вместе с координатными отображениями {I } будет задавать на Gk (Cn ) структуру комплексного многообразия размерности k(n k). (Для того, чтобы убедиться в этом, нужно еще проверить, что отображения I 1 : J (UI UJ ) J (UI UJ ) голоморфны. Проделайте это самостоятельно.) Унитарная группа U(n) транзитивно действует на Gk (Cn ) посредством замены базиса {ei }. Подгруппа изотропии подпространства VI 0 совпадает, очевидно, с группой U(k) U(n k), поэтому многообразие Gk (Cn ) допускает однородное представление вида из которого вытекает, что Gk (Cn ) компактно.

При k = 1 грассманово многообразие G1 (Cn ) совпадает с комплексным проективным пространством CPn. При k > 1 его также можно реализовать в виде подмногообразия комплексного проективного пространства с помощью плюккерова вложения:

где nk := n 1. Это отображение сопоставляет k-мерному подk пространству V Cn, порождаемому векторами v1,..., vk, kвектор v1 · · · vk. В базисе {eI }, eI := ei1 · · · eik, пространства k Cn, однородные координаты подпространства V в пространстве CPnk будут иметь вид где I – (k k)-минор (k n)-матрицы, задающей V, со столбцами, занумерованными индексами из I. Отображение является голоморфным вложением Gk (Cn ) CPnk. Его образ совпадает с проективным подмногообразием в CPnk, выделяемым условием разложимости k-вектора v k Cn (т.е. представимости v в виде v = v1 · · · vk ). Это условие записывается в виде системы квадратичных соотношений на компоненты k-вектора v, тем самым, образ совпадает с пересечением квадрик в CPnk.

Задача 12. Опишите образ плюккерова вложения грассманиана G2 (C4 ) в проективное пространство CP5.

Плюккерово вложение : Gk (Cn ) CPnk позволяет наделить Gk (Cn ) естественной эрмитовой метрикой, индуцированной метрикой Фубини–Штуди на CPnk.

60 Глава 3. Отображения в проективные пространства Перейдем к описанию гармонических отображений : M CPn и вначале изложим метод их построения, который формально не аппелирует к теории твисторов (его твисторная интерпретация будет дана в п. 3.2). Указанный метод позволяет строить гармонические отображения M CPn, исходя из голоморфных кривых в CPn.

Пусть f : M CPn – голоморфная кривая в CPn, т.е. голоморфное отображение компактной римановой поверхности M в CPn. Кривая f называется полной, если ее образ не содержится ни в каком собственном проективном подпространстве в CPn. Сопоставим f ассоциированную с ней кривую fr : M Gr+1 (Cn+1 ) в грассмановом многообразии Gr+1 (Cn+1 ) с 0 r n.

Для этого выберем локальную карту (U, z) в точке p M с локальной координатой z и рассмотрим локальный подъем fU отображения f над окрестностью U. Иными словами, fU есть отображение U Cn+1 \ {0}, накрывающее f над U, так что f (z) = (fU (z)) для z U :

Обозначим := /z для = 1, 2,... и рассмотрим подпространство в Cn+1 вида натянутое на векторы fU (p), fU (p),..., r fU (p). Указанное подпространство не зависит от выбора локальной карты в точке p и локального подъема fU кривой f. Оно называется примыкающим к f пространством порядка r. При изменении p размерность примыкающего пространства может меняться, но для полной кривой размерность dim n (p) должна быть равна n + 1 хотя бы в одной точке p M (а значит, и в некоторой ее окрестности).

Введем особое множество и определим голоморфное отображение fr : M \ S Gr+1 (Cn+1 ), полагая 3.1. Гармонические отображения и голоморфные кривые Множество S для полной голоморфной кривой f состоит из изолированных точек, поэтому отображение fr можно продолжить до голоморфного отображения которое называется r-й ассоциированной кривой отображения f.

Очевидно, f0 = f и мы полагаем для удобства f1 : M G0 (Cn+1 ) равным 0.

Определим для полной голоморфной кривой f : M CPn ее поляру как отображение где второе отображение сопоставляет подпространству V Gn (Cn+1 ) его ортогональное дополнение V. Поляра g : M CPn является антиголоморфной кривой в CPn, которая связана с f соотношениями ортогональности:

или в терминах локальных подъемов:

(проверьте это утверждение самостоятельно!).

Теорема 4 (Иллс–Вуд [12]). Пусть f : M CPn – полная голоморфная кривая. Для заданного r, 0 r n, определим отображение : M CPn, полагая т.е. (p) есть ортогональное дополнение к fr1 (p) в fr (p). Эквивалентное определение:

где g – поляра f. Построенное таким образом отображение : M CPn является полным и гармоническим.

Кроме того, построенное отображение : M CPn обладает свойством комплексной изотропности, обобщающим конформность. Напомним (см. п. 2.4), что отображение : M N из 62 Глава 3. Отображения в проективные пространства римановой поверхности M в кэлерово многообразие (N, h) конформно, если Будем называть это отображение комплексно изотропным, если для всех, с + 1, где – оператор, введенный в п. 1.4.

Отображения : M CPn, построенные в теореме Иллса–Вуда, являются комплексно изотропными.

Теорема Иллса–Вуда позволяет строить комплексно изотропные отображения : M CPn, исходя из полных голоморфных кривых f : M CPn. Более того, как следует из [12], построенное в этой теореме соответствие число r, 0 r n является взаимно-однозначным. Более подробно, в [12] предложена конструкция, которая сопоставляет каждому полному комплексно изотропному гармоническому отображению некоторую полную голоморфную кривую f : M CPn и число r такие, что построенное по формуле (3.1) отображение совпадает с исходным гармоническим отображением. Мы опускаем доказательство теоремы (которое можно найти в [12]), поскольку нас в первую очередь интересует твисторная интерпретация теоремы Иллса– Вуда, которая будет приведена в следующем параграфе. Прежде, однако, остановимся более подробно на применениях сформулированной теоремы и, в частности, проанализируем, насколько ограничительным является условие комплексной изотропности.

Следующие ниже примеры заимствованы из цитированной выше статьи Иллса–Вуда.

Пример 6 (сфера M = S 2 = CP1 ). Любое гармоническое отображение : CP1 CPn комплексно изотропно, поэтому в случае M = CP1 имеется взаимно-однозначное соответствие между полными гармоническими отображениями : CP1 CPn и парами (f, r), где f : CP1 CPn – полная голоморфная кривая.

При n 2 имеются гармонические отображения любой степени, не являющиеся ± голоморфными.

Пример 7 (тор M = T 2 ). Любое гармоническое отображение ют гармонические отображения любой степени, не являющиеся ± голоморфными.

Пример 8 (M – компактная риманова поверхность рода 2). Любое конформное гармоническое отображение стеg пени | deg | 2g + 1 комплексно изотропно. При n 3 существуют гармонические отображения степени g + 1, не являющиеся ± голоморфными.

3.2. Твисторная интерпретация Твисторная интерпретация гармонических отображений :

M CPn связана со следующей коммутативной диаграммой в которой отображение является твисторным расслоением.

Обозначим для краткости T := T 1,0 CPn и Gr := Gr (T 1,0 CPn ).

Сопоставим отображению : M Gr подрасслоение слой которого в точке p M совпадает с r-мерным подпространством (p) в T.

Пусть D есть риманова связность на CPn. Она согласована с комплексной структурой CPn (поскольку CPn кэлерово) и потому порождает естественную связность на расслоении T = T 1,0 CPn и грассмановом расслоении Gr (T ) CPn. ОбознаD индуцированную связность на расслоении чим через Если обозначить через ортогональное дополнение к в T, то будем иметь ортогональные разложения 64 Глава 3. Отображения в проективные пространства где T := T 0,1 CPn, = ( ), = ( ). Введенные ранее расслоения + и, задающие ортогональное разложение 1 T C M = +, связаны с расслоениями и соотношениями Назовем отображение : M Gr горизонтальным, если образ (p), p M, лежит в горизонтальном подпространстве H(p) T(p) Gr относительно связности D на Gr. Ясно, что для горизонтального отображения понятия J 1 - и J 2 -голоморфности совпадают.

Предложение Ронсли (см. предложение 1 в п. 2.4), характеризующее J 2 -голоморфные отображения в терминах подрасслоений + и, может быть в рассматриваемой ситуации переформулировано следующим образом (доказательство этого варианта предложения 1 оставляем читателю).

Предложение 2 (Ронсли, [17], п. 8). Отображение : M Gr (T 1,0 CPn ) (1) горизонтально тогда и только тогда, когда для любого векторного поля X на M ;

(2) J 2 -голоморфно тогда и только тогда, когда является голоморфным подрасслоением в T = 1 T и (3) горизонтально и голоморфно тогда и только тогда, когда (В двух последних утверждениях рассматривается как сечение расслоения 1,0 M 1 T, а – как сечение расслоения 0,1 M 1 T.) Заметим, что голоморфность подрасслоения расслоения T эквивалентна следующему условию для любого вектора Z T 0,1 M.

Введем обозначение Тогда Определим высшие ковариантные производные отображения по индукции Из предложения 2 вытекает, что для горизонтального голоморфного отображения выполняются условия для всех k, поэтому для всех k, l 1. Иначе говоря, отображение комплексно изотропно. Тем самым, показано, что проекция горизонтального голоморфного отображения : M Gr является комплексно изотропным гармоническим отображением.

Справедливо также обратное утверждение, к формулировке которого мы переходим. Введем по аналогии с примыкающим пространством голоморфной кривой, -примыкающее пространство Его размерность может меняться при изменении p. По определению, максимум r размерности dimC (p) по p M называется -порядком отображения. В этом случае в неособых точках Обещанная обратная конструкция является прямым обобщением конструкции твисторного поднятия для расслоения G1 (T 1,0 N ) N (см. п. 2.4) на грассманово расслоение 66 Глава 3. Отображения в проективные пространства Предложение 3 (Ронсли). Если : M CPn – полное гармоническое комплексно изотропное отображение, имеющее порядок r, то существует его твисторное поднятие : M Gr (T 1,0 CPn ).

Доказательство. На дополнении к особому множеству которое состоит из изолированных точек, положим: (p) = r (p).

Это определяет голоморфное отображение : M \ S Gr (T ), продолжающееся в изолированные точки S до голоморфного отображения Заметим, что вне точек S имеет место включение: r = r, поскольку -порядок равен r. Отсюда и из голоморфности вытекает, что для любого векторного поля X на M. Следовательно, горизонтально вне S, откуда следует, что и : M Gr (T ) горизонтально. Кроме того, из условия r r вытекает, что (T 1,0 M ), а из условия комплексной изотропности следует, что Из приведенных утверждений вытекает, что имеет место следующая диаграмма (см. с. 67), все отображения в которой являются взаимно-однозначными соответствиями (подразумевается, что отображения f, и в “ящиках” диаграммы являются полными; при этом полнота отображения : M Gr (T ) означает, что его проекция : M CPn полна).

Построим явное отображение, сопоставляющее паре (f, r), где f : M CPn есть полная голоморфная кривая, отображение : M Gr (T ). Для этого нам потребуется новая интерпретация расслоения Gr (T 1,0 CPn ) CPn.

Определим для 0 r n флаговое многообразие пары (f, r), где кривая M CPn, которое является расслоением над CPn вида Покажем, что это расслоение изоморфно грассманову расслоению Gr (T 1,0 CPn ) CPn. Действительно, касательное пространство Tw (CPn ) в точке w CPn изоморфно пространству линейных отображений Hom(w, w ) (почему?). Сопоставим r-мерному комплексному подпространству H в Tw (CPn ) r-мерное комплексное подпространство в w, натянутое на образы L(w) линейных отображений L H Hom(w, w ). Тем самым, мы отождествляем где T CPn – расслоение, получающееся из тавтологического расслоения T CPn послойным ортогональным дополнением.

Но Gr (T ) можно отождествить с Fr с помощью соответствия 68 Глава 3. Отображения в проективные пространства Иначе говоря, паре V W из Fr мы сопоставляем подпространство V Gr (Cn+1 ), которое рассматривается как подпространство из [w]. Подпространство W восстанавливается по V Gr (T )[w] по формуле: W = span{w, V }.

Итак, мы показали, что твисторное расслоение совпадает с флаговым расслоением Опишем теперь отображение – полная голоморфная Пусть f : M CPn – полная голоморфная кривая. Сопоставим ей отображение задаваемое кривыми fr1, fr, ассоциированными с f. Проверьте самостоятельно, что является полным горизонтальным голоморфным отображением.

Задача 13. Пусть f, g – мероморфные функции на римановой поверхности M, причем g const. Определим отображение : M CP3 по формуле Покажите, что голоморфно и горизонтально для твисторного расслоения : CP3 S 4. Обратно, если : M CP3 – полное горизонтальное голоморфное отображение, то = (f, g) для некоторых (однозначно определенных) мероморфных функций f, g на M.

Глава 4. Гармонические отображения в комплексные грассмановы многообразия В этой главе будет дано описание гармонических отображений : M Gr (Cn ) из компактных римановых поверхностей M в комплексное грассманово многообразие Gr (Cn ). Такие отображения, как утверждает теорема Вуда, допускают факторизацию в виде произведения конечного числа гармонических отображений, каждое из которых получается из предыдущего с помощью операции замещения (начальное гармоническое отображение полагается равным нулю). Ключевое для этого результата понятие замещения вводится и подробно разбирается в п. 4.1 данной главы. В п. 4.2 дается твисторная интерпретация теоремы Вуда.

4.1. Гауссовы расслоения и замещения Отступление (эрмитовы связности; см. [21], гл. III, пп. 1, 2).

Пусть E M – комплексное векторное расслоение над комплексным многообразием M, снабженное эрмитовой метрикой ·, ·.

Иначе говоря, в каждом слое Ep задана эрмитова метрика ·, · p, гладко зависящая от p M. Такие расслоения называются эрмитовыми. Связность D на эрмитовом расслоении E M называется эрмитовой, если она согласована с эрмитовой метрикой на E в том смысле, что для любых сечений, расслоения E. Если, в частности, расслоение E совпадает с касательным расслоением T M, то, выбирая в качестве сечений векторные поля ei, образующие унитарный репер в окрестности точки p M, получим справа 0, и в этом случае понятие эрмитовой связности сводится к понятию унитарной связности на главном расслоении унитарных реперов.

Если расслоение E M голоморфно, то на E существует единственная эрмитова связность D, совместимая с голоморфной 70 Глава 4. Отображения в грассмановы многообразия структурой, т.е. такая что где E – оператор Коши-Римана на E (иначе говоря, голоморфными сечениями E M являются сечения этого расслоения, удовлетворяющие уравнению E = 0), а D0,1 – (0, 1)-компонента связности D.

Любое комплексное подрасслоение F эрмитова расслоения E M, наделенного эрмитовой связностью E D, наследует эрмитову метрику и эрмитову связность из E. Например, эрмитова связность F D на F задается ортогональным проектированием связности E D на подрасслоение F :

где F P : E F – оператор ортогонального проектирования на F.

Если расслоение E голоморфно, а F – его голоморфное подрасслоение, то эрмитова связность E D, совместимая с голоморфной структурой, индуцирует на F связность F D, также совместимую с голоморфной структурой.

Пусть : M Gr (Cn ) – гладкое отображение. Обозначим через T Gr (Cn ) тавтологическое расслоение, слой которого в точке W Gr (Cn ) совпадает с r-мерным подпространством W Cn.

Сопоставим векторное расслоение := 1 T, являющееся подрасслоением ранга r тривиального расслоения Cn := M Cn Обратно, любое подрасслоение E ранга r в Cn определяет гладкое отображение : M Gr (Cn ) по формуле: (p) = Ep Cn.

Будем называть подрасслоение E в Cn гармоническим, если ему отвечает гармоническое отображение : M Gr (Cn ).

Задача 14. Покажите, что расслоение := 1 T, построенное по гладкому отображению : M Gr (Cn ), гармонично тогда и только тогда, когда гармонично расслоение.

Обозначим через D плоскую связность на тривиальном расслоении Cn Gr (Cn ) Gr (Cn ). Тавтологическое расслоение T, будучи подрасслоением тривиального расслоения, наследует эрмитову метрику и эрмитову связность из этого расслоения. Тривиальное расслоение Cn и его подрасслоение снабжаются индуцированными метрикой и связностью. Обозначим последнюю := 1 D и наделим комплексной KM-структурой, инчерез дуцированной.

Касательное расслоение T 1,0 Gr (Cn ) можно (также, как в случае CPn ) отождествить с расслоением послойно-линейных отображений Hom(T, T ), сопоставляя вектору Z T 1,0 Gr линейное отображение где T : Gr Cn T – ортогональная проекция.

Форме d при отождествлении с подрасслоением Cn будет отвечать форма, коэффициенты которой являются сечениями расслоения Hom(, ) следующего вида где коэффициенты A, A равны или, если рассматривать их как сечения расслоения Hom(Cn, Cn ), В этих формулах : Cn и : Cn обозначают ортогональные проекции.

Из формулы (4.1) следует, что дифференциал, рассматриваемый как сечение расслоения 1,0 M 1 (T 1,0 Gr ), отождествляется с формой dz A, а дифференциал, рассматриваемый как сечение расслоения 0,1 M 1 (T 1,0 Gr ), отождествляется с формой d A.

Условия голоморфности и гармоничности отображения переписываются в терминах форм A, A следующим образом:

(1) отображение : M Gr (Cn ) голоморфно тогда и только 72 Глава 4. Отображения в грассмановы многообразия (2) отображение : M Gr (Cn ) гармонично тогда и только тогда, когда гармоничности означает, иными словами, что dz A есть голоморфное сечение расслоения 1,0 M Hom(, ).

Пусть : M Gr (Cn ) есть гармоническое отображение. Тогда A есть голоморфное сечение расслоения Hom(, ). Рассмотрим пространство Заметим, что оно не зависит от выбора локальной комплексной координаты z в точке p, но его размерность может меняться при изменении p. Обозначим через s максимальную размерность Im A,p по всем p M. Тогда множество состоит из изолированных точек. Продолжим голоморфное расслоение Im A, заданное над M \ S, до голоморфного расслоения над M. Полученное голоморфное расслоение называется гауссовым -расслоением отображения и обозначается через G ().

Аналогичным образом, обозначим через s максимальную размерность пространства Im A,p по всем p M. Голоморфное расслоение Im A, первоначально определенное вне точек особого множества продолжается до голоморфного расслоения над M, которое обозначается через G () и называется гауссовым -расслоением.

Гауссовы расслоения играют ключевую роль в описании гармонических отображений в грассмановы многообразия, поэтому мы остановимся более подробно на их свойствах.

Свойства гауссовых расслоений.