«Т. А. Алексеева ИСПЫТАНИЯ, КОНТРОЛЬ И СЕРТИФИКАЦИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Учебно-методический комплекс для студентов радиотехнического факультета специальности 1-39 02 01 Моделирование и компьютерное проектирование ...»

вероятностная и статистическая. Вероятностная форма применяется при аналитических оценках надежности, а статистическая – при экспериментальных исследованиях или испытаниях.

Рассмотрим наиболее часто применяемые при испытаниях показатели надежности РЭС.

1. Вероятность безотказной работы РЭС в интервале времени от 0 до tср.определяется следующими параметрами:

а) вероятностное определение где Т1 – случайная наработка РЭС до первого отказа; F(tcp) – распределение времени до первого отказа.

Таким образом, P(tсp) – вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени, начав работать в момент времени t = 0.

б) статистическое определение где N(Tср) – количество работоспособных РЭС к моменту времени Тср;

N(0) – количество РЭС, поставленных на испытание в момент t = 0; п(Тср) – число РЭС, отказавших к моменту времени t0.

2. Вероятность отказа объекта в интервале времени от 0 до tсp определяется как дополнительная к вероятности безотказной работы, т.е.

Сумма вероятностей безотказной работы и появления отказа, как противоположных событий, равна единице:

3. Плотность распределения отказов:

а) вероятностное определение т.е. f(t) – плотность вероятности того, что время работы РЭС до отказа окажется меньше t.

б) статическое определение где f (t ) – отношение числа отказов в интервале времени (t, t + t) к произведению количества исправных РЭС в начальный момент времени t = на длительность промежутка времени t.

4. Интенсивность отказов РЭС в момент времени t:

а) вероятностное определение где (t) – условная плотность вероятности отказа РЭС к моменту времени t при условии, что до этого момента отказ РЭС не произошел;

б) статистическое определение где (t ) – отношение числа отказов за промежуток времени (t, t + t) к произведению количества исправных РЭС в момент времени t = 0 на длительность промежутка времени t.

5. Средняя наработка РЭС до отказа:

а) вероятностное определение В выражении (6.10) величина T ср является математическим ожиданием (средним значением) наработки до отказа;

б) статистическое определение Значение Tср чаще записывается в форме где ti = Тi – случайное время наработки до i-того отказа; N = N(0) – количество РЭС, поставленных на испытание в момент времени t = 0.

Из рассмотренных количественных показателей надежности для невосстанавливаемых РЭС наиболее важным является интенсивность отказов (t). Многочисленными исследованиями установлены три основные зависимости интенсивности отказов от наработки технических устройств (рис. 6.1).

Для устройств первой группы с функцией интенсивности (t) (см. рис. 6.1, а) характерны относительно короткий период I приработки, на котором (t) либо убывает, либо нарастает (пунктирные линии), и основной период II нормальной эксплуатации РЭС, в течение которого интенсивность отказов не зависит от наработки и остается постоянной вплоть до выработки назначенного ресурса.

Для устройств второй группы (см. рис. 6.1, б) типично закономерное ухудшение их параметров по наработке и практически линейное возрастание интенсивности отказов.

Рис. 6.1. Зависимость интенсивности отказов от наработки На кривой интенсивности (t) третьего вида (см. рис. 6.1, в) можно выделить три участка – период приработки I, период нормальной эксплуатации II с (t) = const и период III с возрастанием интенсивности отказов по причине износа и старения РЭС. Для РЭС с (t) видов б и в предусматривается проведение профилактических работ и ремонтов с целью поддержания высокого уровня их надежности в течение всего срока службы (ресурса). Межремонтный ресурс для устройств с интенсивностью отказов вида в обычно назначается до наступления процессов износа и старения.

Для стационарных потоков отказов, когда (t) = = const, приведенные выше соотношения (6.1) – (6.12) упрощаются.

Они принимают вид Для анализа постепенных отказов с учетом явлений износа и старения используется гипотеза о нормальном распределении наработки до отказа. Тогда плотность вероятности постепенных отказов выражается как где TП и – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонеt TП ние наработки до постепенного отказа; Ф( ) – нормированная функция Лапласа.

Соответственно интенсивность постепенных отказов Выражения (6.18) – (6.20) используются в данном случае для описания и расчета характеристик надежности РЭС с кривой интенсивности (t) = R + П(t), где R – постоянная по наработке интенсивность внезапных отказов, a П(t) – интенсивность постепенных отказов.

С учетом (6.20) будем иметь:

На рис. 6.2 показан вид зависимостей вероятности безотказной работы от наработки для устройств, имеющих интенсивности отказов, приведенные на рис. 6.1.

Рис. 6.2. Зависимости вероятности безотказной работы от наработки До сих пор речь шла о вероятностных показателях надежности РЭС.

По статистическим данным, полученным в процессе эксплуатации или испытания РЭС, можно вычислить где R0 – число поставленных на испытание РЭС; R(t) – число работоспособных РЭС; n(t) – число отказавших РЭС за время наработки t;

R0 = R(t) + n(t).

Вопросы оценки показателей надежности РЭС по статистическим данным будут рассмотрены ниже.

Для восстанавливаемых объектов приведем только дополнительные показатели надежности.

Все показатели надежности для невосстанавливаемых РЭС, в случае необходимости, могут быть применены для оценки безотказности и восстанавливаемых РЭС.

Испытания на надежность восстанавливаемых РЭС могут быть рассмотрены в следующей последовательности.

В начальный момент времени изделие РЭС поступает на испытание и работает до отказа.

При отказе происходит полное восстановление изделия, и оно вновь работает до отказа, и т.д. Как правило, РЭС восстанавливаются агрегатным методом, т.е. заменой отказавшего изделия на исправное (или заменой отдельных деталей или сборочных единиц).

События отказов восстанавливаемых однотипных РЭС образуют поток однородных событий. В свою очередь, события восстановления (замены) РЭС также образуют поток однородных событий восстановления.

При рассмотрении надежности восстанавливаемых изделий РЭС в смысле их безотказности время восстановления не учитывается, поэтому можно считать события отказа и восстановления совпадающими.

В качестве характеристик потока отказов восстанавливаемых радиоустройств обычно используются:

– ведущая функция потока, равная математическому ожиданию числа отказов восстанавливаемых РЭС в интервале наработки:

где Рn (t) – вероятность появления равно n отказов в интервале t;

– интенсивность потока отказов где n(t + t ), n(t ) – соответственно математические ожидания чисел отказов в интервалах (t + t) и (0, t);

– параметр потока отказов, представляющий собой плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого изделия РЭС в рассматриваемый момент времени, где P0 (t, t + t ) – вероятность того, что в интервале (t, t + t ) отказов не будет.

Наработка на отказ, равная отношению наработки t восстанавливаемых изделий РЭС к математическому ожиданию числа их отказов в течение этой наработки n(t + t ) :

Отличие параметра µ(t) от интенсивности (t) потока отказов состоит в следующем: если рассматривать малый интервал наработки (t, t + dt), то µ(t)dt примерно равно вероятности появления ровно одного отказа в этом интервале, (t)dt – вероятность появления хотя бы одного отказа.

При испытаниях полагают, что отказы восстанавливаемых РЭС образуют ординарные пуассоновские потоки, для которых µ(t) = (t) и справедливы соотношения Следует заметить, что при постоянной интенсивности отказов ( = const) наработка на отказ равна наработке до отказа РЭС, т.е.

Выше были приведены единичные показатели надежности. Примером комплексного показателя надежности может служить коэффициент готовности где T0 – наработка на отказ; ТВ – среднее время восстановления.

Из формулы (6.32) следует, что коэффициент готовности характеризует одновременно два свойства надежности – безотказность и ремонтопригодность.

6.6. Специальные показатели надежности РЭС С появлением РЭС, имеющих в своем составе цифровые вычислительные устройства, в практических расчетах надежности стали применяться специальные показатели, основными из которых являются:

- вероятность А(а, t) заданной суммарной наработки а за фиксированное календарное время t;

- вероятность B(b, t) наличия интервала безотказной работы, большего заданной величины b, за фиксированное календарное время t;

- вероятность C*(c, t) отсутствия интервала простоя, большего допустимой величины с, за фиксированное суммарное время простоя t.

Рассмотрим более подробно содержание перечисленных специальных показателей надежности РЭС.

1. Вероятность заданной суммарной наработки а за фиксированное календарное время t:

а) вероятностное определение где а – заданный уровень суммарной наработки; S(f) – суммарная наработка за время t.

б) статистическое определение где N(0) – общее число устройств; Si(t) – суммарная наработка i-того устройства за время t;

Показатели A(a,t) и A(a, t ) используются при оценке надежности систем, которые имеют перерывы в работе и могут включаться в любой момент времени t.

2. Вероятность наличия интервала безотказной работы, большего заданной величины b, за фиксированное календарное время t:

а) вероятностное определение где b – заданная величина интервала; t – фиксированное календарное время; – квантор «существует»; Тi – интервал безотказной работы; B(b, t) – вероятность того, что за время t проявится хотя бы один интервал безотказной работы Ti, больший заданной величины b.

б) статистическое определение где {T,h)i – реализация последовательности интервалов безотказной работы и простоя для i-того устройства за время t; {T, h}i = 1, если за время t в {T, h}i существует хотя бы один интервал Ti, больший b, в противном случае {T, h}i = 0.

Показатели (6.33) – (6.36) используются для оценки надежности РЭС, в которых после сбоя или отказа возможно повторное выполнение прежней программы.

2. Вероятность отсутствия интервала простоя, большего допустимой величины с, за фиксированное суммарное время простоя t:

а) вероятностное определение где hi – интервал простоя (включая часть незавершенного последнего интервала h*); SB(t) – суммарное время простоя; С*(с, t) – вероятность того, что за суммарное время простоя не появится ни одного интервала простоя hi (включая часть незавершенного последнего интервала h*), большего заданной величины С ( – квантор «для всех»).

б) статистическое определение где {h} – реализация последовательности интервалов безотказного простоя для i-того изделия РЭС за суммарное время простоя t.

Запись [{hi}]с в выражении (6.38) означает: [{hi}]с = 1, если за время t в {hi} не существует ни одного интервала простоя i (включая часть незавершенного интервала), большего С, в противном случае [{hi}]с = 0.

Проще говоря, C*(c,t) – это доля общего числа РЭС, у которых в реализации времени простоя за суммарное время простоя t не окажется ни одного интервала простоя (включая часть незавершенного простоя интервала h*), большего заданной величины.

6.7. Оценка надежности РЭС вероятностными методами Оценка показателей надежности (безотказности) вероятностными методами производится как на этапе проектирования, так и в процессах испытаний и эксплуатации РЭС. При оценке надежности сложных невосстанавливаемых РЭС предполагается, что интенсивности отказов составляющих ее элементов известны, а сама РЭС разделяется на такие элементы, отказы которых можно считать независимыми.

Соединение элементов системы называется последовательным (в смысле надежности), если отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всей системы. Вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением т элементов равна где Рк, к (и) относится к k-тому элементу РЭС, а вероятность отказа системы Интенсивность отказов РЭС с последовательным соединением элементов определяется суммой Средняя наработка до отказа РЭС По (6.39) – (6.42) можно оценить показатели РЭС при любых функциях интенсивности отказов. В частности, при к = const; k = 1, 2, 3,..., т Последовательное соединение элементов на структурной схеме надежности (рис. 6.3) называется также основным. Из анализа (6.39) – (6.42) следует, что чем больше элементов последовательно соединено в РЭС, тем ниже ее показатели надежности.

Рис. 6.3. Последовательное соединение элементов Если, например, надежность РЭС должна быть равна Pc(t) = 0,9, а она состоит из 10 элементов, то надежность (в смысле вероятности безотказной работы) каждого элемента должна быть не менее 0,99. Однако если в РЭС 1000 элементов, надежность каждого из них уже должна иметь величину 0,9999.

При параллельном соединении элементов (рис. 6.4) отказ РЭС происходит только тогда, когда отказывают все элементы. Вероятность отказа РЭС при параллельном соединении элементов равна произведению вероятностей отказов отдельных элементов:

Из анализа (6.46) следует, что с увеличением числа параллельно соединенных элементов вероятность безотказной работы системы повышается. Поэтому системы с параллельным соединением сборочных единиц, блоков и т.д. называются резервированными, а величина m – 1 считается кратностью резервирования.

Обычно параллельно соединенные элементы являются одинаковыми по конструкции. Если принять 1 = 2 = m = = const, то с учетом (6.14) – (6.16) формулу (6.46) можно преобразовать к виду Функция плотности вероятности наработки до отказа По аналогии с (6.48) продифференцируем (6.47) и получим Отсюда интенсивность отказов системы Средняя наработка до отказа системы в этом случае будет равна т.е. величина Т1с возрастает с увеличением кратности резервирования m – 1.

На рис. 6.5, 6.6 показаны структурные схемы надежности с различными видами резервирования. При расчете схем с общим резервированием (см. рис. 6.5, а) вначале используется формула для последовательного соединения элементов, а затем – параллельного. Для структурных схем, приведенных на рис. 6.5, б, наоборот, вначале подсчитывается вероятность безотказной работы для участков с параллельным соединением элементов, а затем – для последовательного соединения участков.

Для схемы на рис. 6.5, б будем иметь Более сложным является смешанное резервирование (см. рис. 6.6, а).

Для оценки надежности такой системы используется каноническое уравнение а) с общим резервированием; б) с раздельным резервированием а) со смешанным резервированием; б) с резервированием замещением Равенство (6.53) охватывает все 2m возможных состояний системы из т элементов, образующих полную группу состояний. Например, полагая, что в схеме на рис. 6.6, а все элементы равнонадежны (1 = 2 =…= 1 = ), получим Будем считать, что система работоспособна, если сохраняется хотя бы одна цепь из исправных элементов, связывающих вход и выход системы.

Отказ системы произойдет, если откажут все элементы. Вероятность такого события равна q5. Отказ любых четырех элементов с вероятностью 5pq4, а также отказы трех элементов в комбинациях 123, 124, 125, 451, 452, 453, 135, 234 (вероятность 8p2q3) и двух в комбинациях 12, 45 (вероятность 2p3q2) приводят к нарушению работоспособности системы. Таким образом, вероятность отказа системы можно оценить с помощью уравнения а вероятность безотказной работы На практике находит применение приближенный способ оценки надежности РЭС по среднегрупповым интенсивностям отказов элементов.

По этому способу подсчитывается количество mi однотипных элементов, имеющихся в системе (однотипных транзисторов, конденсаторов, диодов, резисторов и т.д.). По справочникам определяется значение i интенсивности отказов элементов, а интенсивность отказов системы оценивается путем сложения суммарных интенсивностей отказов всех групп однотипных элементов, входящих в систему:

где К – число групп однотипных элементов.

В оценке показателей надежности РЭС принимаются во внимание режимы их работы и воздействие на них различных физических факторов (температуры, вибрации, давления). На рис. 6.7 приведены для примера такие зависимости для транзисторов, диодов и трансформаторов, где 0 – интенсивность отказов элементов по справочным данным.

В общем случае табличные значения интенсивности отказов, полученные для нормальных условий (15 °С, 760 мм рт. ст.), принято умножать на эксплуатационный коэффициент > 1 и считать = 0. Значения коэффициентов устанавливаются с учетом опыта эксплуатации или путем специально поставленных испытаний.

Отметим некоторые особенности оценки надежности электрических схем РЭС, где возможны отказы элементов двух типов – обрыв цепи или короткое замыкание. Каноническое уравнение надежности для электрической схемы, состоящей из т элементов, имеет вид где Рк – вероятность безотказной работы k-того элемента; qk ( кз ), qk (0) – вероятности короткого замыкания и обрыва k-того элемента.

Методику оценки надежности системы с учетом возможных обрывов и коротких замыканий рассмотрим на примере простой схемы, приведенной на рис 6.8, для которой можно записать равенство Рис. 6.7. Зависимость интенсивности отказов от температуры:

Число возможных состояний по приведенной формуле равно 34 = 81, из них одно с вероятностью р4 соответствует работоспособному состоянию всех четырех элементов, а остальные – различным комбинациям обрывов и коротких замыканий элементов. Анализ схемы на рис. 6.8 показывает, что в 39 случаях из 81 система сохраняет работоспособность, а вероятность безотказной работы определяется суммой Рис. 6.8. Структурные схемы надежности: а) по обрыву; б) по короткому замыканию Здесь, например величине 4p2q2кз отвечают короткие замыкания элементов комбинациях 12, 34, 14, 32 при двух других исправных элементах.

Заметим, что структурные схемы надежности, показанные на рис. 6.8, отдельно по обрыву и по короткому замыканию различны.

6.8. Способы повышения надежности РЭС Можно сформулировать следующие пути обеспечения высокой надежности РЭС:

- применение современных изделий электронной техники с таким сочетанием их характеристик, которое обеспечивает стабильную и безотказную работу РЭС;

- использование в ряде случаев облегченных режимов работы комплектующих изделий (например, перевод на 50 %-ную нагрузку диодов, транзисторов, конденсаторов и других комплектующих изделий электронной техники уменьшает интенсивность их отказов в 2 – 5 раз), наличие значительных запасов прочности в деталях и сборочных единицах;

- резервирование наиболее ответственных блоков и устройств РЭС;

- применение специальных схем и средств защиты РЭС от перегрузочных режимов.

Одним из эффективных способов повышения надежности выпускаемых комплектующих изделий электронной техники являются технологические тренировки. Технологической тренировкой называется испытание готовых изделий под повышенной нагрузкой с целью отбраковки из их числа потенциально ненадежных. Величину нагрузки выбирают такой, чтобы в процессе тренировки вызвать отказ у потенциально ненадежных изделий, не повреждая при этом годных. Отказавшие изделия изымаются, а выдержавшие испытания признаются годными к эксплуатации.

Технологические тренировки стараются проводить в период приработки (см. рис. 6.1) изделий. При тренировке изделий большое значение имеет выбор вида нагрузки. Например, для полупроводниковых приборов и интегральных схем наибольший интерес при отбраковке потенциально ненадежных изделий представляют электрическая и термическая нагрузки.

Исследования показывают [11], что тренировки под электрической нагрузкой для полупроводниковых приборов более предпочтительны, чем их испытания под термической нагрузкой – работа полупроводниковых приборов и микросхем под электрической нагрузкой позволяет выявлять отказы, которые обычно нельзя обнаружить при термических нагрузках.

Известны, например, причины отказов вследствие рассеяния мощности внутри прибора и возникновения градиента температуры между р-n переходом и корпусом прибора. При испытаниях под электрической нагрузкой возникают электрические поля, которые ускоряют миграцию ионов различных загрязнений к р-n переходу.

Иногда при тренировке микросхем и полупроводниковых приборов целесообразно применять комбинацию электрической и термической нагрузок, так как при приложенном напряжении могут возникать инверсные каналы, а повышенная температура будет ускорять отказ, в этом случае – за счет увеличения скорости носителей.

Резервирование представляет собой способ повышения надежности РЭС введением избыточности. Структурное резервирование предусматривает использование дополнительных, избыточных элементов структуры объекта, таких же по конструкции, как основные элементы. Эти избыточные элементы обеспечивают работоспособность РЭС в случае отказа основных элементов. По способу включения выделяют резервирование постоянное, при котором резервированные элементы участвуют в функционировании РЭС наравне с остальными, и резервирование замещением, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента.

По схеме включения различают общее резервирование, когда резервируются РЭС в целом, и раздельное резервирование, при котором резервируются отдельные элементы или их группы. Резервирование может быть также смешанным. По режиму работы резерв может быть нагруженным, т.е. работающим в том же режиме, что и основной элемент, ненагруженным, т.е. не включенным под нагрузку, и облегченным, когда резервный элемент находится в менее нагруженном режиме, чем основной.

Рассмотрим показатели надежности РЭС с резервированием. Выше были приведены формулы вероятности безотказной работы для РЭС с постоянно нагруженным общим (см. рис. 6.5, а) и раздельным резервированием (см. рис. 6.5, б). Оценим эффективность раздельного резервирования из отношения вероятностей отказа нерезервированной системы (основного соединения), когда qс = 1 – Р0(t), и резервированной с интенсивностью отказа qср = 1 – Рср(t):

где P(t) = Pij(t), см. (6.52); Pcp(t) – вероятность безотказной работы системы с раздельным резервированием.

Эффективность общего резервирования где Pco (t ) = 1 1 Pij (t ) – вероятность безотказной работы системы при общем резервировании. По аналогии с (6.57) здесь также P(t) = Pij(t).

Оба способа резервирования дают существенное увеличение вероятности безотказной работы. Для их сопоставления возьмем отношение При q < 0,l (что на практике часто имеет место) (1 – q) 1 – q.

Тогда h rm–1.

Таким образом, при равном количестве элементов эффективность раздельного резервирования в rm–1 раз больше, чем общего резервирования.

Если требуется обеспечить заданную надежность резервированной системы Рс.зад, то при раздельном резервировании она достигается при меньшем количестве резервных элементов.

6.9. Надежность системы с резервированием замещением При резервировании замещением отключение отказавшего элемента и подключение резервного осуществляется с помощью переключателей П (см. рис. 6.6, б).

При нагруженном резерве общая надежность системы с резервированием замещением из-за отказов переключателей будет ниже, чем при постоянно включенном резерве. Поэтому способ резервирования замещением целесообразен только при ненагруженном или облегченном резервах.

Рассмотрим случай ненагруженного резерва, полагая, что до момента включения он исправен с вероятностью единица. Основной элемент, проработав случайное время t1, отказывает и заменяется первым резервным элементом, работающим случайное время t2, и т.д. Проработав время tm, отказывает последний m-ный элемент, а с ним и вся резервированная система с общим временем наработки Случайные величины ti (i = l, 2,..., т) являются независимыми, и поэтому распределение случайной величины t представляет собой распределение суммы m независимых случайных величин.

В частности, при m = 2 t = t1 + t2 и функция плотности распределения вероятностей находится по соотношению где f0(t), fD(t) – функции плотности вероятности случайной наработки до отказа соответственно основного и резервного элементов со своими переключателями.

Будем полагать, что распределение наработки до отказа элементов с переключателями – экспоненциальное с одинаковыми интенсивностями.

Последовательно применяя (6.62) для т = 3, затем т = 4 и т.д., для кратности резервирования (m – 1) получим Проинтегрируем (6.63) по dt и найдем вероятность отказа резервированной системы Например, при дублировании, когда т = 2, Средняя наработка до отказа системы находится усреднением (6.60):

Сравнивая среднюю наработку до отказа системы при резервировании замещением (6.66) и при постоянном резервировании (6.51) по их отношению, равному можно убедится в том, что резервирование замещением при безотказных переключателях (* = ) эффективнее постоянного при любых значениях интенсивности отказов основного и резервного элементов.

Например, при кратности резервирования т – 1 = 3 отношение Тс/Т1с = 1,92.

С учетом надежности переключателей, приняв в системе с резервированием замещением * = + п, резервирование замещением будет эффективнее при соблюдении неравенства На рис. 6.9 показаны кривые вероятностей безотказной работы при двух видах резервирования (резервирование замещением и постоянное) и при отсутствии резервирования. Из сравнения этих кривых видно, что система 1 с резервированием замещением имеет бльшую вероятность безотказной работы по сравнению с системами 2 и 3.

Рис. 6.9. Вероятность безотказной работы: 1 – резервирование замещением;

2 – постоянное резервирование; 3 – без резервирования 6.10. Методы определения точечных и интервальных оценок Точечные методы оценки показателей надежности Методы точечных оценок надежности условно подразделяются на две группы:

- аналитические (методы моментов, квантилей, максимального правдоподобия и др);

- графические (построение гистограммы, интегральной функции безотказной работы РЭС и т.п.).

Достоверную оценку показателей надежности РЭС по результатам испытания можно получить лишь на основе анализа большого объема статистических данных. На практике всегда приходится иметь дело с ограниченными статистическими данными, которые по существу являются величинами случайными. Приближенное, случайное значение показателя надежности, получаемое в процессе испытания (эксперимента), принято называть оценкой этого показателя. Оценка должна выбираться с таким расчетом, чтобы даже при сравнительно небольшом объеме статистических данных ошибка от замены точного (вероятностного) значения показателя надежности его оценкой была по возможности малой.

Формальными признаками качества точечных оценок служат состоятельность, несмещенность и эффективность. Известно, что оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов N она сходится по вероятности к показателю надежности а. В качестве примера можно указать на среднее время наработки до отказа, равное Действительно, с увеличением числа испытаний N оценка TC сходится по вероятности к Тср.

Оценка называется несмещенной, если она удовлетворяет условию отсутствия систематических ошибок, когда математическое ожидание М[] равно искомому показателю a, т.е M[] = a.

Из равенства (6.68) следует, что оценка Тср является также и несмещенной, т.к.

Эффективной называется оценка, обладающая по сравнению с другими несмещенными оценками наименьшей дисперсией, т.е.

Параметр а характеризуется в процессе испытания одним числом, и поэтому оценка а называется точечной.

Метод моментов основан на том, что если число отказов достаточно велико, то в силу закона больших чисел значения статистических моментов близки к теоретическим. Идея метода моментов состоит в том, что моменты распределения, зависящие от результатов испытания, приравниваются к эмпирическим (опытным) моментам. Взяв число моментов равным числу оцениваемых параметров, получаем необходимое число уравнений.

Статистическим моментом k-того порядка называется величина где ti – наработка i-того устройства до отказа; п – объем выборки.

Оценки параметров типовых распределений, полученные методом моментов, приведены в табл. 6.2.

Метод моментов достаточно прост в реализации, однако получаемые при этом оценки неэффективны и могут использоваться лишь при объемах выборки n 30.

Нормальное Логарифмически нормальное В табл. 6.2 приняты обозначения:

T – первый выборочный момент;

S2 – выборочная дисперсия;

– выборочное среднее для логарифмических распределений;

2 – выборочная дисперсия для логарифмических распределений.

Метод квантилей основан на том, что квантили теоретического распределения приравниваются к статистическим квантилям. При этом используется столько статистических квантилей и, соответственно, уравнений, сколько параметров необходимо оценить.

Оценки параметров типовых распределений, полученные методом квантилей, имеют вид:

экспоненциальное нормальное где t1, t2 – квантили статистической функции распределения; F1, F2 – значения статистической функции распределения, соответствующие квантилям t1 и t2; Ф–1(F1), Ф–1(F2) – квантили функций стандартного нормального распределения, соответствующие уровням F1 и F2.

Для использования метода квантилей требуется знание параметров статистической функции распределения. Кроме того, оценки, получаемые методом квантилей, обладают значительной дисперсией.

Метод максимального правдоподобия является универсальным и наиболее мощным с точки зрения эффективности оценок. Идея метода заключается в том, что для фиксированного результата испытания составляется функция отношения правдоподобия где f ( x1, x2,… xn / R1 ), f ( x1, x2,… xn / R0 ) – условные плотности распределения выборки х1, х2, хп соответствующие уровням надежности R1 и R0.

Уровень надежности считается приемлемым, когда где RH – некоторая нормативная величина надежности, партия устройств отклоняется, как не прошедшая испытания на надежность.

Аналогично при точечной оценке надежности партия устройств принимается, и бракуется, если В качестве искомых точечных оценок в случаях (6.78) и (6.79) берутся значения параметров, максимизирующие функцию правдоподобия.

Графические методы определения точечных оценок надежности по результатам испытаний связаны с известными процедурами статистической обработки:

- построением вариационного ряда, гистограммы и функции интенсивности отказов;

- оценкой параметров статистической функции распределения и их точечных значений;

- оценкой согласия статистического распределения с выбранным теоретическим по количественному критерию.

Интервальные методы оценки показателей надежности Точечная оценка обладает существенным недостатком в том смысле, что она сама представляет собой лишь частное значение случайной величины. Поэтому, кроме точечной оценки, желательно найти такой интервал оценок, который с достаточно высокой вероятностью «накрывал» бы искомый показатель надежности.

Для определения точности оценок в математической статистике используются понятия доверительных интервалов и доверительных вероятностей, назначение которых можно объяснить следующим образом.

Потребуем, чтобы с достаточно высокой вероятностью (например, 0,9; 0,95) отклонение оценки от ее точного (но неизвестного) значения a не превосходило некоторой заданной положительной величины :

Условие (7.81) означает вероятность того, что случайный интервал ( – ; + ) содержит в себе достоверный, т.е. точный, но неизвестный показатель а, равна.

Вероятность называется доверительной вероятностью, интервал ( – ; + ) = I – доверительным интервалом, а его границы ( – : + ) – доверительными границами.

Таким образом, если по результатам испытания (опыту эксплуатации) ограниченного числа РЭС определена оценка а показателя надежности и найдено значение I при заданной величине, то по полученным данным можно утверждать, что с доверительной вероятностью точное значение неизвестного показателя надежности а заключено между доверительными границами – и +, т.е. находится в нутрии интервала I.

Очевидно, что с увеличением количества испытываемых РЭС при той же доверительной вероятности доверительный интервал I будет сужаться, а доверительные границы – ; + – сближаться. Точность оценок при этом повышается.

При решении практических задач отыскания доверительных интервалов при заданной величине необходимо знать закон распределения случайной оценки а (напомним, что а – величина неслучайная). Если бы закон распределения a был известен, то задача нахождения и I решалась бы достаточно просто, достаточно было бы при заданной найти такое значение, которое удовлетворяет условию (6.80), а затем вычислить I.

Так, например, при симметричной функции плотности распределения f(x) случайной величины х = a – уравнение для определения имеет вид При несимметричном распределении требуется, чтобы вероятности попадания а в диапазон значений слева и справа от доверительного интервала были одинаковы и составляли Тогда выражение (6.81) можно представить двумя уравнениями:

где a1 = a ; a2 = a + – соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала.

Можно взять также другую пару уравнений:

Затруднение, однако, состоит в том, что закон распределения оценки, как уже упоминалось, зависит от закона распределения событий отказов и, следовательно, от его неизвестных параметров, в том числе и параметра (показателя) а. Для выхода из такого положения применяется приближенный способ, состоящий в том, что в получаемых на основе (6.81) аналитических значениях для I неизвестные параметры а заменяют их точечными оценками *. Такой способ приемлем лишь при достаточно большом статистическом материале, когда число испытываемых на надежность РЭС составляет 30 – 40 единиц и более.

Чтобы устранить указанные трудности, на практике применяют специальный прием. Он основан на том, что в неравенствах вида (6.80), (6.81) переходят от случайной величины к некоторой функции от, но такой, что закон ее распределения не зависит от неизвестного параметра а, а зависит от числа испытаний и от вида закона распределения событий отказов.

Как было показано ранее, законы распределения (экспоненциальный, нормальный и др.) для событий отказа РЭС в настоящее время хорошо исследованы, что дает возможность применения точных методов оценки доверительных интервалов в практических задачах.

Пусть за суммарное время t однотипных РЭС произошло n отказов.

Тогда среднее время наработки на один отказ будет равно Величина Т0 случайная. При другом аналогичном испытании п отказов может появиться при иной суммарной наработке. Поток отказов РЭС в процессе испытания можно считать простейшим пуассоновским потоком.

Тогда вероятность появления k отказов за время t в соответствии с законом Пуассона Вероятность появления n и более отказов В выражениях (6.84), (6.85) T0 = – достоверное (точное) значение среднего времени наработки на один отказ; – параметр потока отказов.

Это величины неслучайные.

Вероятность (6.85) представляет собой интегральную функцию распределения случайной наработки t/T0 до появления n отказов. Введем новую переменную 2 = 2t/T0 и запишем (6.85) в виде Как видно из (6.86), функция 2 (хи-квадрант) зависит только от числа отказов n и не зависит от величины Т0.

Дифференцируя (6.86) по dx2, получим функцию плотности распределения случайной величины х2 = 2t /T0:

Функция (6.87) отвечает известному в теории вероятностей так называемому x2-распределению с 2n степенями свободы. Кривая x2-распределения приведена на рис. 6.10.

Теперь рассмотрим порядок определения доверительного интервала x 2 – верхнюю границу доверительного интервала (см. рис. 6.10).

Таким образом, с вероятностью величина х2 находится в пределах или с учетом принятого обозначения х = 2t /T В правой и левой частях (6.91) записана соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала для точного показателя надежности T0, которые находятся по полученным в результате испытания РЭС значениям суммарной наработки t и числу отказов n.

Имея в виду, что P(t ) = e, с учетом (6.91) можно получить довеT рительный интервал для вероятности безотказной работы РЭС в течение времени t:

где Так как = 1/Т0, то нетрудно найти доверительный интервал для интенсивности отказов