МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТОБОЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ ИМ. Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА»
Кафедра математики, теории и методики обучения математике
УМК
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ТОПОЛОГИИ»Специальность 05020102.65 – “Математика” (код и наименование направления подготовки) специализация «Алгебра и геометрия»
Составитель: Коробейников В.С.
УМК переутвержден на заседании кафедры математики, теории и методики обучения математике ТГСПА им. Д.И. Менделеева Протокол от 8 сентября 2011 г. № 1_ Зав. кафедрой Л.П. Шебанова.
Тобольск,
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования«ТОБОЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ ИМ. Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА»Кафедра математики, теории и методики обучения математике
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ»
Специальность 05020102.65 – “Математика” (код и наименование направления подготовки) специализация «Алгебра и геометрия»Программа переутверждена на заседании кафедры математики, теории и методики обучения математике ТГСПА им. Д.И. Менделеева Протокол от 8 сентября 2011 г. № 1_ Зав. кафедрой Л.П. Шебанова.
Тобольск,
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Классическая ветвь математики – дифференциальная геометрия – и более современная математическая дисциплина – топология – являются теми, связанными между собой разделами современной математики, без знания которых невозможно представить квалифицированного специалиста-математика. Современные геометрия и топология используются как для решения теоретических вопросов математики, так и для решения прикладных математических задач. Всё это показывает важность и актуальность изучения дифференциальной геометрии и топологии для подготовки квалифицированных специалистов по направлению 050201.65.Главная цель курса вытекает из квалификационных требований к выпускникам вузов по математическим специальностям: формирование у студентов системы знаний об основных проблемах математики, о состоянии и перспективах развития её важнейших направлений;
о значении математики в познании фундаментальных законов мира;
о важнейших аспектах прикладного использования математических знаний.
Поэтому целью преподавания дисциплины “Элементы конструктивной геометрии и топологии” является:
овладение студентами математическим аппаратом классической и современной геометрии и топологии, фундаментальными теоретическими положениями этих теорий;
воспитание и развитие их математической культуры;
осознание ими прикладного характера математики в целом геометрии и топологии в частности.
Вместе с тем, изучение дисциплины “Элементы конструктивной геометрии и топологии ” преследует и следующие частные цели:
обеспечение понятийной базы для изучения других предметов, использующих геометрию и топологию в качестве поставщика необходимого математического аппарата (математический и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теоретическая физика, геометрия “в целом”, алгебраическая и дифференциальная топология и др.), и дальнейшего самостоятельного изучения математики;
формирование более широкого и глубокого понимания важнейших геометрических и топологических структур, повсеместно используемых в математике;
сопровождение теоретического материала разнообразными задачами и упражнениями для самостоятельного решения, позволяющими более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы.
Курс “Элементы конструктивной геометрии и топологии” должен решать следующие задачи:
вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по геометрии и топологии;
давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;
учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке геометрии и топологии;
демонстрировать применение дифференциальной геометрии и топологии для решения широкого круга математических задач;
обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.
Содержание дисциплины “Элементы конструктивной геометрии и топологии” тесно связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом по направлению подготовки 050201.65:
с алгеброй (теория линейных векторных пространств, теория групп);
с аналитической геометрией (геометрией евклидова, аффинного и проективного пространств);
с математическим анализом (дифференциальное и интегральное исчисление);
с теорией дифференциальных уравнений.
При этом преподавание дифференциальной геометрии и топологии не только создаёт базу для изучения вышеперечисленных предметов, но и предполагает достаточно хорошее освоение классических результатов алгебры, геометрии и математического анализа.
Кроме того, в процессе изучения дисциплины “Элементы конструктивной геометрии и топологии” (в личном общении с преподавателем, при овладении теоретическими и практическими аспектами дисциплины, в коллективном общении студентов группы) у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:
учебно-воспитательная;
научно-методическая;
культурно-просветительская;
В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:
учебно-воспитательная:
– проводить уроки математики с учащимися различного возраста с учётом особенностей учебных программ;
– использовать в процессе обучения математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и – обучать учащихся приёмам учебной и познавательной деятельности;
– использовать различные формы контроля за результатами усвоения знаний.
научно-методическая:
– уметь организовывать научно-исследовательскую деятельность учащихся;
– участвовать в работе методических объединений учителей;
– уметь организовать учебно-методическую работу в школе и т.д.
культурно-просветительская:
– владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном мире и в системе наук;
– уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и повышения своей квалификации;
– уметь стимулировать развитие внеурочной деятельности учащихся.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Основные требования к знаниям и умениям студентов по дисциплине “Элементы конструктивной геометрии и топологии” раскрываются через требования, заложенные в стандарте высшего профессионального образования по направлению подготовки 050201.65 “Математика”.Изучение каждой темы предполагает овладение определёнными знаниями, умениями и навыками, представленными ниже:
Раздел 1. Элементы конструктивной геометрии и топологии Знать определения метрического и топологического пространств и их примеры.
Иметь представление о непрерывных отображениях и гомеоморфизме. Понимать предмет топологии.
Иметь представление о компактности и связности топологического пространства, о компактных множествах евклидова пространства.
Знать определение гладкого многообразия и примеры многообразий.
Иметь понятие о римановом многообразии.
Иметь представление о касательном пространстве и векторных полях на многообразии.
Знать определение внешней дифференциальной формы, внешнего произведения и внешнего дифференциала.
Уметь вычислять внешний дифференциал внешней дифференциальной формы.
Иметь представление о параллельном переносе векторных полей и о геодезической связности риманова многообразия.
Знать определение интеграла дифференциальной формы на многообразии.
Понимать суть общей формулы Стокса и её частных случаев: формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Уметь решать задачи прикладного характера с применением вышеперечисленных формул.
Иметь представление о степени отображения, степени векторного поляна поверхности.
Знать теорему Гаусса-Бонне.
Знать основные методы решения задач на построение в евклидовой плоскости.
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
– темы, выносимые на самостоятельное изучение – подготовка к практическим занятиям – выполнение заданий творческого4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
ИТОГО:
4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Семестр Раздел, тема, содержание лекции Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.Тема: Топологические и метрические пространства, примеры.
Тема: Непрерывное отображение и гомеоморфизм.
касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Параллельный перенос векторных полей, геодезические связности, согласованные с метрикой риманова многообразия.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Топологические и метрические пространства, примеры.
Тема: Компактность и связность.
Тема: Непрерывное отображение.
Тема: Гомеоморфизм.
Тема: Кривизна поверхности.
Тема: Теорема Гаусса-Бонне.
Тема: Методы решения задач на построение
4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Подготовка к практическим занятиям Выполнение заданий творческого характе- в течение Не предусмотрен.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Абрамов А.А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Дрофа, 2004.
3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран В.Е. Элементы топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Б) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971.6. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1975.
7. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч. II. – М.: Просвещение, 1987.
8. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в “целом”. – М.: Наука, 1973.
9. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. – М.: Наука, 1979.
11. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. – М.: Наука, 1977.
12. Жафяров А.Ж. Геометрические построения на плоскости. – Новосибирск, 1993.
13. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. – М.: Мир, 1983.
14. Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
15. Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
16. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1980.
17. Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М: Изд-во МГУ, 18. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003.
19. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967.
20. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2004.
5.2 СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Компьютерный класс.
7. СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО
КОНТРОЛЯ
7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (приложение 3)7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
7.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И
КУРСОВЫХ РАБОТ
Курсовых работ и рефератов не предусмотрено.
7.4. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ
Дисциплина “Элементы конструктивной геометрии и топологии” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в VII-м семестре IV курса. На её изучение отведено 112 часов, из них аудиторных – 54 часа: 36 часов лекций и 18 часов практических занятий. На самостоятельную работу студентов выделено 58 часов.Форма итогового контроля: зачёт.
В семестре предусмотрена контрольная работа которая оценивает освоение студентом тем, вынесенных на самостоятельное изучение и текущих тем, изучаемых аудиторно.
8. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ
ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Классическая ветвь математики – дифференциальная геометрия – и более современная математическая дисциплина – топология – являются теми, связанными между собой разделами современной математики, без знания которых невозможно представить квалифицированного специалиста-математика. Современные геометрия и топология используются как для решения теоретических вопросов математики, так и для решения прикладных математических задач. Всё это показывает важность и актуальность изучения дифференциальной геометрии и топологии для подготовки квалифицированных специалистов по направлению 050201.65.
9. УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Не предусмотрена.Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Топологические и метрические пространства, примеры.
Тема: Непрерывное отображение и гомеоморфизм.
Тема: Компактность и связность.
Тема: Определение гладкого многообразия и примеры, отображения многообразий, многообразие с краем.
Тема: Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Дифференциальные формы, их внешнее произведение. Тема: Внешнее дифференцирование, внешняя алгебра.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Параллельный перенос векторных полей, геодезические связности, согласованные с метрикой риманова многообразия.
Тема: Двумерные римановы многообразия.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.
Тема: Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.
Тема: Теорема Гаусса-Бонне.
Раздел I. Элементы конструктивной геометрии и топологии.
Тема: Методы решения задач на построение на плоскости с евклидовой
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
РАЗДЕЛ I. ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ И
ТОПОЛОГИИ
Тема: Топологические и метрические пространства, примеры Знать определение топологической структуры.Напомнить определения компактности и связности.
Знать примеры топологических пространств.
Решить: [3] № № 1173–1176.
Решить: [3] № № 1177–1181.
Решить: [3] № № 1182–1184.
7. Домашние задания № № 1- Знать определения непрерывного отображения.
Напомнить понятие гомеоморфизма.
Решить: [3] № № 1196–1198.
Решить: [3] № № 1199–1201.
Домашние задания № № 4- Тема: Поверхности как римановы многообразия Знать определение и примеры поверхностей.
Знать формулы нахождения кривизны поверхности.
Знать теорему Гаусса-Бонне.
Решить: [3] № № 972–980.
Решить: [3] № № 1100–1108.
Домашние задания № № 6- Тема: Методы решения задач на построение на плоскости с евклидовой метрикой 1. Знать методы решения задач на построение на плоскости с евклидовой метрикой.
2. Решить: [6] № № 27–30, 58–61, 120–124.
3. Домашние задания № № 8- СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
1. ПРИМЕРНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
РАЗДЕЛ I. ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.Решить: [3] № № 1185–1187.
Решить: [3] № № 1188–1190.
Решить: [3] № № 1191–1193.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [3] № № 1202–1206.
3. Решить: [3] № № 1207–1211.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [3] № № 982–992.
3. Решить: [3] № № 1015–1025.
1. Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
2. Решить: [6] № № 32–36, 62–70, 125–130.
СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО
КОНТРОЛЯ
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ ПО КУРСУ “ЭЛЕМЕНТЫ
КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ”
Способы задания плоской кривой. Касательная.Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.
Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.
Первая квадратичная форма поверхности и её роль.
Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.
Полная и средняя кривизны поверхности.
Деривационные формулы поверхности.
Символы Кристоффеля и их вычисление.
Метрические пространства. Примеры.
Топологические пространства. Примеры.
10.
Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
11.
Компактность и связность топологического пространства.
12.
Гладкие многообразия. Примеры.
13.
Касательное пространство гладкого многообразия.
14.
Дифференциальные формы. Внешнее произведение и внешнее дифференцирование форм.
Геодезические связности на римановом многообразии. Параллельный перенос векторных полей.
Интеграл дифференциальной формы. Общая формула Стокса и её частные 17.
случаи (формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса).
Теорема Гаусса-Бонне.
18.
Методы решения задач на построение в плоскости с евклидовой метрикой.
19.
Алгебраический метод решения задач на построение в плоскости с евклидовой метрикой.
ПРИМЕРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
“ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ”
2. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности x = u, 3. Найти кривизну и кручение линии x = t3 – 2 t + 1, y = t2 – 3 t, z = 4 – t2 при t = – 4. Вычислить длину дуги кривой y = ln cos x между точками x1 = 0, x2 =.5. Определить первую квадратичную форму поверхности и вычислить площадь области поверхности, ограниченной линиями u = 0, u = 3, v = 0, v = 1: x = 6. Доказать, что интервал, полуинтервал и сегмент на вещественной прямой попарно не гомеоморфны.
7. Найти внешний дифференциал дифференциальных форм:
8. Используя формулу Грина, вычислить замкнутый интеграл по окружности Г: x + y2 = 2 в направлении против часовой стрелки:
9. Используя внешний дифференциал, показать, что следующий интеграл не зависит от пути интегрирования: ( x 2 y 2 ) dx 2 x y dy.
«