МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по развитию образования

_Е.В. Сапир "_"2012 Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление по специальности научных работников 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Ярославль 1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» в соответствии с общими целями основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (далее - образовательная программа послевузовского профессионального образования) являются:

1) формирование у аспирантов представлений о методах исследования динамических систем;

2) овладение современными методами качественного исследования систем дифференциальных уравнений.

2. Место дисциплины в структуре образовательной программы послевузовского профессионального образования Данная дисциплина относится к разделу обязательные дисциплины (подраздел специальные дисциплины отрасли науки и научной специальности) образовательной составляющей образовательной программы послевузовского профессионального образования по специальности научных работников 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин по программам специалитета или бакалавриата – магистратуры: математический анализ, функциональный анализ, линейная алгебра и дифференциальные уравнения.

Знания и умения, приобретенные аспирантами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при написании диссертационной работы.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать - общие принципы качественного исследования нелинейных дифференциальных уравнений, - построение асимптотик периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, - общие принципы построения нормальных форм обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений, - понятие коразмерности критических случаев, - утверждения о соответствии между решениями динамической системы и ее нормальной или квазинормальной формы;

- понятие быстрых и медленных движений релаксационных систем.

Уметь - исследовать решения динамические системы на устойчивость, - находить нормальную и квазинормальную форму систем обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений, - исследовать квазимногочлены на устойчивость, - находить асимптотику периодических решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка, - для сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием получать предельные уравнения.

4. Структура и содержание дисциплины.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

Курс Раздел Виды учебной работы, Формы текущего Неделя Дисциплины включая самостоятельную контроля успеваемости работу обучающихся, и тру- (по неделям) доемкость (в часах) Форма промежуточной Форма обуч.: очная/заочная аттестации Сам. Работа Лабораторных Практических работыКонтроль сам.

Лекций Устойчивость неподвижных точек динамических систем с непрерывным и дискретным Качественный анализ динамических систем.

Алгоритмы нормализации систем ОДУ. Нормализация Пуанкаре-Дюлака.

Описание основного алгоритма.

Структура нормальной формы в простейших случаях Критические случаи коразмерности один.

окрестности критической точки коразмерности два. (Обзор бифуркаций коразмерности Нормальная форма динамической системы в случае двух резонансных пар собственных чисел (коразмерность три).

отображений.

Зависимость решений от малых параметров. Примеры релаксационных колебаний.

Уравнения с малым параметром при производных. Системы второго порядка. Быстрые и медленные движения. Релаксационные колебания.

Асимптотические приближения траектории на участке Асимптотические приближения траектории на участке быстрого движения.

эффициентов разложения вблизи точки срыва.

стем второго порядка., близкие к разрывным.

мула Дородницына.

Т Т Т Т1. Устойчивость неподвижных точек динамических систем с непрерывным и дискретным временем ТТТТ 2. Качественный анализ динамических систем.

ТТТТ 3. Алгоритмы нормализации систем ОДУ. Нормализация Пуанкаре-Дюлака.

ТТТТ 4. Теорема о центральном многообразии.

ТТТТ 5. Описание основного алгоритма.

Т Т Т Т6. Структура нормальной формы в простейших случаях Критические случаи коразмерности один. Транскритическая и вилообразная бифуркации. Бифуркация Андронова-Хопфа.

ТТТТ 7. Нормальная форма в окрестности критической точки коразмерности два. Обзор бифуркаций коразмерности два. Нулевое собственное число кратности два. Нулевое и пара чисто мнимых собственных чисел. Две пары чисто мнимых собственных чисел без резонансов.

ТТТТ 8. Нормальная форма динамической системы в случае двух резонансных пар собственных чисел (коразмерность три). Квазинормальные формы систем параболического типа. Алгоритмическая часть. Формулировка основной теоремы. Общие свойства системы в вариациях на автомодельном цикле.

ТТТТ 9. Алгоритмы нормализации отображений.

ТТТТ 10. Зависимость решений от малых параметров. Примеры релаксационных колебаний. Случай гладкой зависимости. Зависимость решений от параметра на бесконечном промежутке времени.

ТТТТ 11. Уравнения с малым параметром при производных. Системы второго порядка. Быстрые и медленные движения. Релаксационные колебания. Асимптотическое разложение решений по параметру. Нулевое приближение ТТТТ 12. Асимптотические приближения траектории на участке медленного движения. Доказательство асимптотических представлений участка медленного движения.

ТТТТ 13. Асимптотические приближения траектории на участке быстрого движения.

Локальные координаты в окрестности точки срыва. Асимптотические приближения траектории в начале участка срыва. Связь асимптотических приближений с истинными траекториями в начале участка срыва. Специальные переменные для участка срыва. Асимптотические приближения траектории в непосредственной близости от точки срыва.

ТТТТ 14. Асимптотические ряды для коэффициентов разложения вблизи точки срыва. Регуляризация несобственных интегралов. Асимптотические приближения траектории в конце участка срыва. Доказательство асимптотических представлений участка срыва.

ТТТТ 15. Периодические решения систем второго порядка., близкие к разрывным.

Существование и единственность периодического решения, близкого к разрывному. Асимптотические приближения траектории периодического решения. Вычисление времени медленного движения. Вычисление времени срыва. Вычисление времени быстрого движения.

Вычисление времени падения. Асимптотическая формула для периода релаксационного колебания.

ТТТТ 16. Уравнение Ван-дер-Поля. Формула Дородницына.

5. Образовательные технологии: лекции, лабораторные работы.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы обучающихся В качестве средств текущего контроля используются 2 контрольные работы и 2 лабораторные работы.

В контрольной работе №1 обучающиеся должны определить асимптотику цикла модельной сингулярно возмущенной системы. В качестве возможных вариантов могут быть выбраны уравнение Ван-дер-Поля или система ФицХью-Нагумо с различными значениями входящих параметров.

В лабораторной работе №1 обучающиеся должны численно решить систему из контрольной работы № 1 и выяснить, при каких значениях малого параметра численное и асимптотическое решения близки. Кроме того, требуется найти, при каких значениях малого параметра алгоритмы численного решения задачи перестают адекватно работать.

В контрольной работе №2 предлагается найти асимптотику периода сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием.

Лабораторная работа №2 посвящена численному изучению систем импульсным воздействием, являющихся предельными для ассоциаций связанных сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.

Промежуточная аттестация (зачет) дает возможность выявить уровень профессиональной подготовки аспиранта по данной дисциплине.

1. Показать, что при достаточно малых система ФитцХью – Нагумо имеет релаксационный цикл.

2. Для системы ФитцХью – Нагумо построить асимптотику периода релаксационного предельного цикла.

3. Для уравнения Ва-дер-Поля построить асимптотические формулы для медленного участка движения.

1. Алгоритмическая часть метода нормальных форм.

2. Найти значения параметра r, при которых корни квазиполинома лежат на мнимой оси.

3. Построить нормальную форму системы и выяснить при каких значениях и она имеет в окрестности нуля орбитально устойчивый предельный цикл.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

а) основная литература:

1. Гукенхеймер, Д. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Д. Гукенхеймер, Ф. Холмс. – Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

2. Глызин, С.Д. Локальные методы анализа динамических систем: учебное пособие / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006.

3. Мищенко, Е. Ф. Дифференциальные уравнения малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. – М.: Наука, 1975.

б) дополнительная литература:

1. Мищенко, Е. Ф. Асимптотическая теория релаксационных колебаний // Е. Ф. Мищенко, А. Ю. Колесов // Некоторые вопросы теории колебаний и теории оптимального управления. – М.: Наука, 1991. – Труды МИАН. Т. 197. – С. 1–85.

2. Шильников, Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. – Москва - Ижевск:

Институт компьютерных исследований, 2004.

3. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. – М.: Едиториал УРСС, 2002.

4. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: Физматлит, 2004.

5. Мищенко, Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е.Ф. Мищенко, В.А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: Физматлит, 6. Мищенко, Е.Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Колесов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. – М.: Физматлит, 1995.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. САРАТОВСКАЯ ГРУППА «ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ»

2. Ярославский научно-образовательный центр "Нелинейная динамика" 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины: учебные аудитории для проведения лекционных занятий, компьютерные классы с доступом к университетскому вычислительному кластеру.

Программа составлена в соответствии с федеральными государственными требованиями к структуре основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (приказ Минобрнауки от 16.03.2011 г. № 1365) с учетом рекомендаций, изложенных в письме Минобрнауки от 22.06.2011 г. № ИБ – 733/12.

Программа одобрена на заседании кафедры математического моделирования 09.10.2012 (протокол № 2) Заведующий кафедрой Кащенко С.А., доктор физ.-мат. наук, профессор Автор Глызин С.Д., доктор физ.-мат. наук, профессор