Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ухтинский государственный технический университет

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания

Ухта 2009

УДК 519.211

М 14

Майорова, Э.Г.

Элементарная теория вероятностей [Текст] : метод. указания / Э.Г. Майорова, О.М Прудникова. – Ухта : УГТУ, 2009.– 47 с.: ил.

Методические указания предназначены для студентов II курса всех специальностей.

Методические указания содержат конспективно основные теоретические сведения, подробные примеры решения задач, упражнения для самостоятельной работы, варианты контрольной и расчетно-графической работы.

Содержание указаний соответствует рабочей программе.

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики 26.01.2009, пр. №5.

Рецензент – Пластинина Е.В., доцент каф. ВМ.

Редактор – Канева Е.А, ассистент каф. ВМ.

В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.

План 2009 г., позиция 22.

Подписано в печать 04.02.2009. Компьютерный набор.

Объем 47 с. Тираж 100 экз. Заказ № 228.

© Ухтинский государственный технический университет, 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

Оглавление Глава 1. Случайные события 1.1. Элементы комбинаторики

1.2. Случайные события. Действия над событиями

1.3. Статистическое и классическое определение вероятности

1.4. Геометрическое определение вероятности

1.5. Условная вероятность. Вероятность произведения и суммы событий

1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1.7. Формула Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.............. Контрольная работа по теме «Случайные события»

Глава 2. Случайные величины 2.1. Дискретная случайная величина и законы ее распределения............. 2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины.............. 2.3. Основные законы распределения дискретных случайных величин.... 2.4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.. 2.5. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин Расчетно-графическая работа по теме «Случайные величины»................. Библиографический список 1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 256 с.

2. Лихолетов, И.И. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике [Текст] / И.И. Лихолетов, И.П. Мацкевич. – Минск: Высшая школа, 1969. – 454 с.

3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.

ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1.Элементы комбинаторики Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил:

1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый элемент можно выбрать n1 способами, и после каждого такого выбора второй элемент можно выбрать n2 способами, то оба элемента можно выбрать n1 n2 способами.

2. Правило сложения: Если некоторый элемент можно выбрать n1 способами, а другой элемент можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из двух элементов можно выбрать n1 + n 2 способами.

Пусть дано множество, состоящее из n элементов.

Размещением из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. Число размещений из n элементов по m элементов обозначается символом An и вычисляется по формуле Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Число всех перестановок из n элементов вычисляется по формуле Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества. Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле Если при выборке m элементов из n элементов элементы возвращаются, то говорят, что это размещения с повторениями. Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле Примеры 1-4:

1) Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 5 элементов (книг), т.е. P5 = 5!= 2) В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения задания двух студентов одного пола?

Решение.

10 9 = 90 способами, а двух юношей – 6 5 = 30 способами. Следует выбрать двух девушек или двух юношей. По правилу сложения таких способов выбора будет 90 + 30 = 120.

3) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 6?

Решение. Все трехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 5, 6 отличаются друг от друга либо порядком их следования, либо самими цифрами (например, 122 или 653). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 3 с повторениями, т.е. A43 = 4 3 = 64.

4) В коробке 4 синих, 5 красных и 3 белых шара. Сколькими способами можно выбрать 2 карандаша одного цвета?

Решение. 2 белых карандаша из 3 можно C 32 способами, 2 красных из можно выбрать C 52 способами, и 2 синих из 4 – C 4 способами. Значит, по правилу сложения общее число способов равно C 32 + C 52 + C 4 =3+30+6=39.

Упражнения.

1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

2. В автомобиле 5 мест. Сколькими способами могут 5 человек сесть в машину, если занять место водителя могут только двое из них?

3. Сколько «слов» можно составить, переставляя буквы в словах: а) МОРЕ;

4. В электричке 10 вагонов. Сколькими способами можно разместить 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

5. Известно, что 9 человек сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

6. Игральная кость (на ее гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте?

Напишите некоторые из них.

7. Сколькими способами можно рассадить 6 человек за круглым столом?

8. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

9. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных места?

10. В группе 10 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 3-х человек?

1.2. Случайные события. Действия над событиями Будем считать фиксированным комплекс условий S и станем рассматривать некоторую систему событий А, В, С, каждое из которых должно при каждом осуществлении комплекса S произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти, обозначается.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти, обозначается.

Суммой событий А и В называется событие C = A + B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Произведением событий А и В называется событие C = A B, которое происходит при одновременном наступлении обоих событий.

Событие, которое состоится, если событие А произойдет, а В не произойдет, называется разностью событий и обозначается A В.

Если при каждом осуществлении комплекса условий S, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет В и записывают A B.

Если A B и B A, т.е., если при каждой реализации комплекса условий S события А и В оба наступают или оба не наступают, то события А и В называются равными; записывают A = В.

Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называют противоположным для А и обозначают A.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном случае события называют совместными.

События A1, A2,... An называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

Говорят, что события A1, A2,... An образуют полную группу, если Пример 5. Опыт: бросание игральной кости. Событие А– выпадение очков, событие В–выпадение четного числа очков, событие С– выпадение целого числа очков, событие D– выпадение более 6 очков.

Здесь события А и В– случайные, С– достоверное, D– невозможное. А и В – несовместные, А и С– совместные.

1.3. Статистическое и классическое определения вероятности Пусть в n повторяющихся опытах событие А наступило n A раз. Число n A называется частотой события А, а отношение Называется относительной частотой ( или частостью) события А в рассматриваемой серии опытов.

Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе опытов.

Свойства статистической вероятности:

3) Если события А и В несовместные ( A B = ), то Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, элементарными событиями.

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

Из классического определения вероятности вытекают свойства:

3) Если события А и В несовместные ( A B = ), то Пример 6. В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Найти вероятность, что среди наугад вынутых 5 шаров 2 будут черными.

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что среди 5 вынутых шаров 2 будут черными. Выбрать 5 шаров из 10 можно C10 способами (все выборки – неупорядоченные подмножества, состоящие из 5 элементов), т.е., n = C10.

Число способов выбрать 2 черных шара из 6 равна C6. Каждому такому выбору соответствует C 4 способов выбора 3 белых шаров из 4 белых в урне. Значит, по правилу умножения, имеем: m = C6 C 4. По формуле (1.7) находим Упражнения.

1. Брошены 2 игральные кости. Чему равна вероятность того, что произведение выпавших очков равно 6, а сумма равна 7?

2. Какова вероятность, что в январе наудачу взятого года окажется 4 воскресенья?

3. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно один туз.

4. Из 40 экзаменационных вопросов студент знает 30. Найти вероятность того, что среди 3-х наугад выбранных вопросов студент знает: 1) все вопросы; 2) 2 вопроса.

5. В книге 400 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь номер, кратный 7?

6. Семь человек рассаживаются наудачу на скамейке. Какова вероятность, что два определенных человека будут сидеть рядом?

7. На 5 карточках разрезной азбуки изображены буквы А, Б, Т, Т, У. Ребенок случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово БАТУТ?

1.4. Геометрическое определение вероятности Рассмотрим на плоскости некоторую область, имеющую площадь S, и внутри области область D с площадью S D (рис. 1). В области случайно выбирается точка X. При этом попадание точки в область – достоверное событие, в D – случайное. При этом брошенная точка может попасть в любую точку области и вероятность попасть в область D не зависит ни от ее расположения и формы. Пусть событие A состоит в том, что брошенная точка попадет в область D.

Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области D к площади области, т.е.

Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области D и обе линейные или объемные. Таким образом, формулу (1.8) можно записать в виде где через mes обозначена мера (площадь, длина, объем) области.

Пример 7. Стержень длины l разломан в двух наугад выбранных точках.

Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.

Решение. Пусть x– длина первого отрезка, y– длина второго, тогда l x y – длина третьего. Область представляет собой множество пар чисел ( x, y ), для которых x + y < l. Чтобы из них можно было составить треугольник, необходимо выполнение условий:

y + (l x y ) > x (сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны треl l l угольника). В результате получим: x + y >, y <, x <. Эти неравенства определяют заштрихованную область на рис.2.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем P ( A) Из определения условной вероятности следует, что Для n событий A1, A2,..., An формула умножения вероятностей имеет вид:

Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной Для независимых событий правило умножения вероятностей (4.2) принимает вид:

Можно показать, что если события А и В независимы, то независимы события A и В, А и B, A и B.

Вероятность суммы двух совместных событий определяется формулой Пример 8. В урне 5 белых и 9 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был белым?

Решение. Пусть событие А– 1-й шар белый, В– 2-й шар черный. Так как событие А произошло, в урне осталось 13 шаров, из них 9 черных. Поэтому, Пример 9. Найти вероятность, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 5, либо 2, либо тому и другому одновременно.

Решение. Пусть событие А – наудачу взятое число кратно 5, а В – число кратно 5. Надо найти P( A + B). Т.к. А и В – совместные, то Всего двузначных чисел 90. Очевидно, что 45 из них кратны 2, 18 кратны 5 и кратны 2 и 5 одновременно. Поэтому, P( A + B) =0,5+0,2-0,1=0,6.

Пример 10. Два стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7. Найти вероятность: 1) только одного попадания в цель; 2) по крайней мере одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. Пусть А и В – события, состоящие в том, что в цель попал первый и второй стрелок соответственно. P( A) = 0,6, P( B) = 0,7.

1) требуется найти вероятность точно одного попадания в цель, т.е.

2) Пусть событие С состоит в том, что по крайней мере один стрелок попал в цель, тогда C – ни один стрелок не попал в цель.

Значит, P(C ) = 1 P(C ) = 1 0,12 = 0,88.

Упражнения.

1. В урне 2 белых и 8 черных шаров. Из нее наудачу вынимают (без возврата) 2 шара. Какова вероятность, что они будут: а) одного цвета; б) разных 2. Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет 10 очков, равна 0,45, 9 очков – 0,3, и, наконец, 8 или меньше очков – 0, 25. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

3. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?

4. На 30 одинаковых карточках написаны двузначные числа от 11 до 40.

Карточки тщательно перемешивают, после чего наудачу берут одну. Какова вероятность вынуть карточку с числом, кратным 2 или 3?

5. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 20 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша: а) хотя бы по одному билету?; б) по одному билету денег, а по другому – вещей?

6. Надежность (т.е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,7. Для повышения надежности данного прибора он дублируется другими такими приборами. Сколько приборов нужно взять, чтобы повысить его надежность до 0,95?

7. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

8. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная?

1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса Пусть события (гипотезы) H 1, H 2,..., H n образуют полную группу. Тогда для любого события A имеет место формула полной вероятности Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез H i, принятых до опыта по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности P ( H i | A) :

где P ( A) – полная вероятность, вычисляемая по формуле (1.16).

Пример 11. Электролампы изготавливаются на 3 заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%.

Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго– 80%, третьего – 85. В магазины поступает продукция всех трех заводов.

1) Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

2) Чему равна вероятность того, что лампа изготовлена на втором заводе, если известно, что она стандартная?

Решение. Введем обозначения. Пусть событие H 1 – купленная лампа изготовлена на первом заводе, H 2 – лампа со второго завода, H 3 – лампа с третьего завода, и событие A– лампа оказалась стандартной. Из условия задачи следует, что P ( H 1 ) = 0,45, P ( H 2 ) = 0,40, P ( H 3 ) = 0,15. Условные вероятности 1) По формуле полной вероятности + 0,4 0,8 + 0,15 0.85 = 0,7625.

2) Найдем вероятность того, что стандартная лампа со второго завода. По формуле Байеса Упражнения.

1. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик.

Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

2. Имеется 12 урн, из них в 6 урнах по 3 белых и 4 черных шара (I состав), в 4 урнах по 2 белых и 8 черных шаров (II состав), в 2 урнах по 5 белых и черных шара (III состав). Из наугад выбранной урны взят шар. Найти вероятность, что этот шар белый.

3. В условии задачи 1 вынутый шар оказался белым. Чему равна вероятность, что это шар из урны третьего состава?

4. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,08, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что из строя вышла первая микросхема?

5. Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 4 дороги. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,5; 0,4; 0,3. Чему равна вероятность, что заблудившийся пошел по второй дороге, если известно, что он вышел из леса через По самолету производится 3 одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем– 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно 3 попаданий: при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

7. По линии связи передается кодированный с помощью букв А, В, С текст.

P( B) = 0,3, P(C ) = 0,2. Вероятности искажения при передаче отдельных букв равны соответственно 0,01; 0,03; 0,02. Установлено, сигнал из двух букв принят без искажений. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

1.7. Схема Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p, независимо от результатов предыдущих опытов. Тогда вероятность того, что событие А произойдет m раз, определяется формулой Бернулли Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается ( n ), а вероятность p наступления события А неограниченно уменьшается ( p 0 ) так, что np = есть величина постоянная, то Из предельного равенства при больших n ( n 50 ) и малых p ( np 10 ) вытекает приближенная формула Пуассона В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю и единице ( p 0, p 1 ), для вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы Муавра-Лапласа.

Согласно локальной теореме Муавра-Лапласа вероятность Pn (m) может быть вычислена по приближенной формуле функция ( x) = называется функцией Гаусса. Для функции (x) соe ставлена таблица значений, пользуясь которой, следует учитывать, что:

1) функция (x) четная, т.е. ( x) = ( x) ;

2) при x 4 можно считать, что (x) =0.

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится не менее k1 раз, но не более k 2 раз, т.е. Pn ( k1 ; k 2 ), используют интегральную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой ставлена таблица значений. Следует помнить, что:

С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклонения отnA носительной частоты от вероятности p в n независимых испытаниях Пример 12. Производится три независимых выстрела по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. Найти вероятность: 1) одного попадания; 2) не менее двух попаданий в цель.

формулой Бернулли, находим:

1) P3 (1) = C3 0,91 0,12 = 3 0,9 0,1 = 0,027 – вероятность одного попадания;

2) вероятность не менее двух попаданий определяется как сумма вероятностей двух несовместных событий: двух попаданий и трех попаданий при трех выстрелах.

= 0,243 + 0,729 = 0,972.

Пример 13. На лекции по теории вероятностей присутствуют 95 студентов. Какова вероятность того, что среди них есть два студента, у которых сегодня день рождения?

Решение. Вероятность того, что у отдельного студента сегодня день рождения можно считать равной p = 0,0027 ; n = 84, np = 84 0,0027 0, мало, значит, применим формулу Пуассона:

Пример 14. Из партии, в которой доля первосортных деталей равна 0,8, отобрано 60 единиц (с возвратом). Определить вероятность того, что среди отобранных деталей окажется первого сорта: 1) 40 деталей; 2) не более 50 деталей.

Решение. 1) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.

лице значений функции (x) находим (2,59) = 0,0139. Искомая вероятность 2) Вероятность отобрать не более 50 первосортных деталей найдем по формуле Тогда P60 (0; 50) (0,65) (15,53) = =0,4843+0,5 =0,9843.

Упражнения.

1. 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них высшего сорта?

2. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0, 003. Некто приобрел 5 билетов. Какова вероятность выиграть: а) по двум из них?; б) по крайней мере по одному из них?

3. Из последовательности чисел 1, 2,..., 100 выбирают наугад с возвращением 10. Чему равна вероятность, что среди них кратных 6 будет не более 4?

4. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,4. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше, чем 0,9?

5. Что вероятнее выиграть у равносильного противника-шахматиста: две партии из четырех или три из шести? Ничьи во внимание не принимаются.

6. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 10% отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм следует ожидать с вероятностью 0,058 среди 400 клемм?

7. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожденных больше 480, но меньше 540 (вероятность рождения мальчика принять равной 0,515).

8. В каждой из 1000 колод по 36 карт. Из каждой колоды вынимают наудачу две карты. Чему равна вероятность того, что число пар с одним тузом заключено между 100 и 200?

9. Найти такое число k, чтобы с вероятностью 0,7, число выпадений герба при 4000 бросаниях монеты было заключено между 3000 и k.

10. Вероятность попадания в мишень при каждом из 700 выстрелов равна 0,3.

Какое максимально возможное отклонение частости от вероятности попадания при отдельном выстреле можно ожидать с вероятностью 0,99?

Контрольная работа по теме «Случайные события»

1. В коробке лежат 18 деталей, из которых 7 окрашенных. Найти вероятность, что среди извлеченных наудачу 5 деталей окажется не менее 4 окрашенных.

2. Сколько раз нужно подбросить две монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадут два герба?

3. Имеются две урны. В первой 6 красных и 8 синих шаров, во второй – красных и 9 синих. Из первой урны, не глядя, берут шар и перекладывают его во вторую урну. После чего из второй урны вынимают один шар. Найти вероятность, что этот шар будет красным.

4. Игральная кость подбрасывается 10 раз. Найти вероятность выпадения пятерки: а) два раза; б) не менее трех раз.

5. Среди продукции, изготовленной на данном предприятии, брак составляет 1,5%. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0, можно было ожидать, что частость бракованных изделий среди них отличается от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,05?

1. В лифт 9-этажного дома вошли 4 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Найти вероятность, что все они вышли на разных этажах.

2. Три стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга. Вероятности попадания для каждого из стрелков равны 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно.

Найти вероятность двух попаданий в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

3. Известно, что 80% изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,07. Определить вероятность, что изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

4. В магазин вошли 10 покупателей. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,4.

5. Найти такое число k, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что число мальчиков среди 900 новорожденных больше k. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,515.

1. На отдельных карточках написаны цифры от 1 до 9. Все 9 карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут 4 из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке их появления. Какова вероятность получить при этом четное число?

2. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50%, красных – 20%, зеленых – 20%, синих – 10%. Найти вероятность, что наудачу взятая катушка окажется не синей?

3. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,4, а у второго – 0,6. В результате залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность, что промахнулся первый охотник?

4. В цехе работают 8 станков, причем вероятность остановки в течение часа для каждого из них одна и та же и равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа: а) остановятся 4 станка; б) остановятся не более 6 станков.

5. По данным медицинской статистики 25% грудных детей страдают дисбактериозом. Найти вероятность того, что из 500 детей, рожденных в течение некоторого времени, не более 150 детей больны дисбактериозом.

1. Из колоды в 52 карты наудачу вынимают две карты (без возвращения).

Найти вероятность, что обе карты одной масти.

2. Вероятности попаданий в цель при стрельбе из трех орудий равны 0,5, 0, и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одном залпе из всех орудий.

3. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из них две нестандартные. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй ящик. Найти вероятность, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет стандартная.

4. Игральная кость подбрасывается 10 раз. Найти вероятность выпадения единицы: а) 3 раза; б) не более двух раз.

5. В партии из 1000 изделий имеются 8 дефектных. Найти вероятность того, что среди 200 изделий, наудачу взятых из этой партии, не более 3 окажутся дефектными.

1. Собрание из 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть выбран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

2. В урне 5 белых, 6 красных и 7 черных шаров. Наудачу по одному (без возвращения) извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что шары появятся в такой последовательности: белый, красный, черный.

3. На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго –2000, с третьего – 2500 деталей.

4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Что вероятнее: из шести детей родилось три мальчика или из четырех детей два мальчика?

5. Вероятность того, что ребенок школьного возраста страдает близорукостью, равна 0,35. Найти вероятность того, что из 3000 школьников не более 1000 детей близоруки.

1. Устройство состоит из 14 элементов, из которых 4 элемента неисправны.

При включении устройства случайным образом включаются 3 элемента.

Найти вероятность того, что два элемента окажутся исправными.

2. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, что вынув наудачу 6 шаров (без возвращения), получим не менее 4 белых.

3. В урну, содержащую два шара, брошен белый шар, а затем извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлечен белый шар, если в урне первоначально с одинаковой вероятностью могло быть 0, 1 или 2 белых шара.

4. Из последовательности чисел 1, 2,..., 50 выбирают наугад с возвращением 8. Чему равна вероятность того, что среди них кратных 5 будет не более трех?

5. Сколько раз с вероятностью 0,048 можно ожидать появление события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,4?

1. На 5 карточках разрезной азбуки изображены буквы Е, Е, Л, П, П. Ребенок случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово ПЕПЕЛ?

2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа элементов равны 0,02, 0.03 и 0,05 соответственно. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал один элемент.

3. Имеются две команды стрелков. В первой команде 6 отличных и 8 хороших стрелков, во второй – 5 отличных и 6 хороших стрелков. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле у отличного стрелка равна 0,9, у хорошего – 0,8. На соревнованиях из наудачу взятой команды наудачу вызывается 1 стрелок. Отмечено попадание в мишень. Найти вероятность того, что стрелок был из второй команды.

4. В магазин вошли 9 покупателей. Найти вероятность того, что не более двух из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,5.

5. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Сколько испытаний необходимо провести, чтобы вероятность отклонения частости от 0,6 по абсолютной величине менее чем на 0,01 была равна 0,995?

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность, что в нем все цифры кратны 3.

2. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?

3. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,7, а у второго – 0,8. В результате залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность, что в цель попал первый охотник?

4. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что, вынув наудачу с возвращением 12 шаров, получим белых не менее 10.

5. В партии изделий число брака составляет 0,8%. Найти вероятность того, что среди 500 изделий, наудачу взятых из этой партии, не более 10 окажутся дефектными.

1. В партии 100 деталей, из которых 75 стандартных. Найти вероятность того, что среди отобранных наудачу 50 деталей ровно 40 стандартных.

2. Сколько раз нужно подбросить две монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадут два 3. В группе из 20 стрелков имеются 6 отличных, 8 хороших и 6 посредственных. Вероятность попадания в цель при одном выстреле у отличного стрелка равна 0,9, у хорошего – 0,8 и посредственного – 0,6. Наугад вызванный стрелок выстрелил дважды. Найти вероятность одного попадания и одного промаха.

4. В цехе работают 10 станков, причем вероятность остановки в течение часа для каждого из них одна и та же и равна 0,6. Найти вероятность того, что в течение часа: а) остановятся 2 станка; б) остановятся не более станков.

5. Найти такое число m, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать, что среди 800 новорожденных более m девочек. Вероятность рождения девочки принять равной 0,48.

1. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны. Барабан приводится во вращение, потом нажимается спусковой курок. Найти вероятность того, что, повторив опыт два раза, получим 2 выстрела.

2. В урне 9 белых, 5 красных и 4 черных шаров. Наудачу по одному (без возвращения) извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что шары появятся в такой последовательности: белый, красный, белый.

3. Имеются две партии с виду одинаковых изделий по 15 и 20 штук, причем в первой партии два, а во второй – три бракованных изделия. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу одно изделие из второй партии. Найти вероятность, что выбранное изделие является бракованным.

4. Игральная кость подбрасывается 10 раз. Найти вероятность выпадения тройки: а) три раза; б) не более двух раз.

5. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Сколько испытаний необходимо провести, чтобы вероятность отклонения частости от 0,8 по абсолютной величине менее чем на 0,1 была равна 0,95?

1. В урне находятся 10 шаров, 7 из которых белых. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

2. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигрышей на каждые 10000 билетов. Некто приобрел 2 билета. Найти вероятность выигрыша по одному билету вещей, а по второму – денег.

3. В автохозяйстве имеются две цистерны. Вероятность технической исправности этих машин составляет, соответственно, 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения второй автоцистерной работы заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну.

4. Контрольный тест состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых один правильный. Найти вероятность правильного ответа: а) на три вопроса теста; б) не менее чем на 6 вопросов для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).

5. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти вероятность того, что из 1000 сотрудников данного предприятия в поликлинику обратятся не менее 150 и не более 500 человек.

1. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых три нового выпуска.

Читатель последовательно, один за другим, взял два учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.

2. Три автомашины направлены на перевозку груза. Вероятность исправного состояния первой машины составляет 0,7, второй – 0,8 и третьей – 0,5.

Найти вероятность того, что только две машины находятся в эксплуатации.

3. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если вероятность попадания в цель стрелками равны 0,4, 0,5 и 0,7 соответственно.

4. Из последовательности чисел 1, 2,..., 60 выбирают наугад с возвращением 10. Чему равна вероятность того, что среди них кратных 7 будет не более четырех?

5. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Найти такое число m, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы утверждать, что страховой случай наступит не более чем для m клиентов. Вероятность страхового случая принять равной 0,005.

1. На 5 карточках разрезной азбуки изображены буквы А, А, Д, С, Ф. Ребенок случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово ФАСАД?

2. Для производственной практики на 20 студентов предоставлено 12 мест в организации А и 8 мест в организации В. Какова вероятность, что два определенных студента попадут на практику в одну организацию?

3. В двух конвертах находятся фотографии. В первом конверте 5 цветных и 3 черно-белых, во втором – 8 цветных и 5 черно-белых. Из первого конверта, не глядя, берут фотографию и перекладывают ее во второй конверт. После этого наудачу извлекают фотографию из второго конверта.

Найти вероятность того, что она окажется цветной.

4. Контрольный тест состоит из 8 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых один правильный. Найти вероятность того, что студент ответит правильно: а) на 6 вопросов; б) не менее чем на 5 вопросов теста, если ответ выбирается им наугад.

5. Найти вероятность того, что при 1000 бросаниях игральной кости 3 очка появятся не менее 100 и не более 300 раз.

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наудачу выбирается одна, а потом из оставшихся четырех другая цифра. Найти вероятность того, что обе цифры нечетные.

2. В коробке лежат 18 деталей, из них 12 окрашенных. Найти вероятность того, что среди четырех извлеченных наудачу деталей не менее трех окрашенных.

3. Для участия в соревнованиях выделено с первого курса 16 студентов, со второго – 14 и с третьего – 10 студентов. Вероятности попасть в сборную для студентов I, II и III курсов равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,6. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что 4. Два студента играют в шахматы. Вероятность выигрыша первого студента равна 0,6. Что вероятнее: первый студент выиграет 3 партии из 5 или 5. Каждый пятый школьник страдает близорукостью. Найти такое число m, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы утверждать, что не более m школьников среди 1500 учащихся школы страдает близорукостью.

ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Дискретная случайная величина и законы ее распределения Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта. Количественной же характеристикой результата проведенного опыта является случайная величина, к рассмотрению которой мы приступаем.

Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т. д., а их значения – соответствующими строчными буквами: x, y, z и т. д.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т. е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность x1, x2, …, xn или бесконечную последовательность x1, x2, …, xn … Вероятность того, что случайная величина X примет значение x, обозначают P( x) = P( X = x).

Соответствие между возможными значениями x1, x2, …, xn случайной величины X и их вероятностями p1, p2, …, pn называется законом распределения случайной величины X.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы События X = x1, X = x2, …, X = xn образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Зависимость вероятности p от X, кроме таблицы, задают и графически в виде так называемого многоугольника распределения.

Всякую случайную величину Х полностью характеризует ее функция распределения вероятности F(x):

это вероятность того, что случайная величина Х примет значение левее заданной точки х. Для дискретной случайной величины F(x) будет ступенчатой неубывающей функцией.

Свойства функции F(x):

3. F(x) – неубывающая функция.

Пример 1. Построить функцию распределения F(x) для дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения:

Решение. Будем задавать различные значения x и находить для них F(x) по формуле (2).

1. Если x 0, то, очевидно, F ( x) = P ( X < 0) = 0 ;

Строим график F(x), рис. 2:

2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины Математическое ожидание.

Кроме закона распределения, который дает полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. Среди числовых характеристик весьма важной является математическое ожидание, которое указывает, какое среднее значение случайной величины следует ожидать в результате испытаний или наблюдений.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений xi на их вероятности pi:

Свойства математического ожидания:

Дисперсия.

Отклонением называется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т. е. Х – М(Х).

Заметим, что отклонение Х – М(Х) и его квадрат (Х – М(Х))2 также являются случайными величинами.

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Для вычисления дисперсий более удобной является формула:

Докажем ее, используя свойства математического ожидания:

Пример 2. Дискретная случайная величина распределена по закону Решение. По формуле (2.3) находим ем и обозначается:

Величина (Х) характеризует “основной разброс” значения случайной величины Х около ее математического ожидания.

Величины D(X) и M(X) являются частными случаями понятий центрального и начального момента распределения.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины Х:

или Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения Х от ее математического ожидания.

Приведем ниже формулы, связывающие начальные и центральные моменты:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

2.3. Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение.

Дискретная с. в. Х имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями Ряд распределения д.с.в. Х, имеющей биномиальное распределение, задается в виде:

Математическое ожидание и дисперсия с.в. Х, имеющей биномиальное распределение вычисляются по формулам Эти формулы полезно знать.

Пример 3. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Найти MX, DX.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий в цель при четырех выстрелах – может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли (2.10):

Итак, искомый закон распределения имеет вид Контроль:

Пуассоновское распределение.

Когда число независимых испытаний велико, а вероятность появления события p достаточно мало, прибегают к асимптотической формуле Пуассона:

Для с.в. с.в. Х, имеющей распределение Пуассона, т.е. параметр m пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии с.в. X, имеющей это распределение.

Геометрическое распределение.

Вероятность “сложного события”, при котором в первых m-1 испытания событие не наступило, а в m испытаниях появилось, по теореме умножения вероятностей вычисляется следующим образом:

Для с.в. Х, имеющей геометрическое распределение, Пример 4. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, p = 0,6, q = 0,4, m =3. Искомая вероятность по формуле (6):

Гипергеометрическое распределение.

Д.с.в. X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2,..., min(n, M ) с вероятностями числа.

Математическое ожидание и дисперсия д.с.в. X, имеющей гипергеометрическое распределение, можно вычислить по формулам Пример 5. В группе из 16 студентов 3 девушки. Из этой группы наудачу отбираются 2 студента. Составить закон распределения д.с.в. X – числа девушек из отобранных студентов. Найти MX.

Решение. С.в. X принимает значения 0, 1, 2. Вероятности этих значений Ряд распределения:

Упражнения.

2. Охотник, имеющий три патрона, стреляет в цель до первого попадания.

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3. Составить закон распределения с.в. X – числа израсходованных патронов. Найти MX, DX, построить график функции распределения с.в. X.

3. В лотерее имеется 500 билетов, из них выигрышных: 10 по 200 руб., 50 по 100 руб., 100 по 10 руб. Найти математическое ожидание и дисперсию выигрыша на один билет.

4. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить ряд распределения числа бракованных изделий из 4 взятых наудачу. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

5. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,4. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти МХ, DX.

6. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10?

2.4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики Считается, что случайная величина Х имеет непрерывное распределение вероятностей, если ее функция распределения непрерывна на всей числовой прямой.

В случае, когда непрерывная функция распределения F(x) случайной величины X представима в виде где f(x) 0, говорят, что Х имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности f(x).

В точках непрерывности плотности вероятности Функция f(x) может рассматриваться как плотность вероятности некоторой случайной величины тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим двум условиям:

1) f ( x) 0 (неотрицательность);

Для случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) при a < b Таким образом, вероятность попадания случайной величины в промежуток с концами a и b можно интерпретировать геометрически как площадь под графиком плотности вероятности, которая приходится на этот промежуток (рис. 3).

Математическое ожидание.

где f(x) – плотность распределения.

Дисперсия.

Начальный момент k-го порядка.

Центральный момент k-го порядка.

Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения Найти параметр а, функцию плотности f(x), вероятность того, что с.в. Х примет значения не менее 1.

Решение.

lim F ( x) = lim F ( x ). Таким образом, 1 = lim a ( x + 1) 2 = a 32 = 9a, откуда a =. Следовательно, функция распределения имеет вид Вероятность того, что с.в. Х примет значения не менее 1, равна 2.5. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин Равномерный закон распределения.

Непрерывная с.в. Х имеет равномерное распределение на отрезке [a ; b] (обозначают X ~R[a, b]), если ее плотность f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

Соответствующая функция распределения записывается в виде Графики функций f(x) и F(x) приведены на рис. 4.

Равномерное распределение широко используется в приложениях, особенно в связи с проблемами моделирования других распределений.

Показательный закон распределения.

Непрерывная с.в. Х имеет показательное (экспоненциальное) распределение (Х ~E()), если ее плотность вероятности имеет вид:

где > 0 – параметр распределения.

Соответствующая функция распределения записывается в виде Графики функций f(x) и F(x) представлены на рис. 5.

Экспоненциальным распределением часто характеризуется срок службы той или иной технической системы до отказа (выхода из строя), что обуславливает широкое применение этого распределения в теории надежности.

Если X ~ E(), то Вероятность попадания данной случайной величины в интервал (a, b) равна:

Пример 7. Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 200 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Нормальный закон распределения.

Непрерывная с.в. Х распределена по нормальному закону с параметрами a и >0 (Х ~ N(a,2)), если ее плотность распределения имеет вид Графики плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x) случайной величины Х представлены на рис. Как видно из рис. 6, изменение параметра a не влияет на форму кривых.

Влияние параметра на форму кривой нормальной плотности вероятности представлено на рис. 7. Здесь изображены графики f(x) при одном и том же значении a, но разных значениях : 1 > 2 > 3.

Рис. 8 дает представление о площадях под графиком нормальной плотности, приходящихся на промежутки (-, a-3), (а-3, а-2),…, (а+2, а+3), (а+3, ). Эти площади равны вероятностям попадания случайной величины Х в соответствующий промежуток. В частности, Этот факт иногда приводят в следующем виде.

Правило трех сигм. Нормально распределенная случайная величина с дисперсией 2 практически не отклоняется от своего среднего значения больше, чем на 3.

Для всякой случайной величины Х ~ N(a, 2) при a < b Вероятность попадания нормальной с.в. Х в интервал (a ; a + ), симметричный относительно центра рассеяния a, вычисляется по формуле Пример 8. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром = 10 мм. Производятся три независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.

Решение. По формуле (2.36) находим:

Вероятность того, что эта ошибка превышает 2мм в одном опыте, равна По теореме умножения вероятность того, что во всех трех опытах ошибка измерения превышает 2мм, равна 0,841483 0,5958. Следовательно, искомая вероятность равна 1 0,5958 = 0,4042.

2. С. в. Х задана функцией распределения F ( x ) = 0,25 x 2, А < x В, Найти значения А и В, МХ, DX.

3. С.в. Х задана функцией распределения F ( x ) = 2 x + 1, А < x В, Найти значения А и В, определить вероятность попадания с.в. Х в интервал (-2; -0,25). Как называется это распределение?

4. Ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами a = 0 и = 4 мм. Определить вероятность того, что при 5 измерениях ошибка дважды не превысит 7 мм.

5. Нормально распределенная с.в. Х задана плотностью вероятностей б) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,8926 попадет с.в. Х.

6. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием а=25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35; 40).

7. Магазин продает мужские костюмы. Известно, что распределение по размерам является нормальным с параметрами а=48 и = 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49; 51).

8. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону, причем среднее время безотказной работы равно 200 часов. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно не менее 300 часов.

9. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины:

дисперсию с.в.; 3) P (1 < x < 10).

10. Электрички движутся строго по расписанию с интервалом 10 минут.

Время прихода пассажира равновероятно в интервале (0; 10). Написать закон распределения с.в. Х– времени прихода пассажира. Построить график плотности f ( x ). Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать очередную электричку не более 7 минут.

Расчетно-графическая работа по теме «Случайные величины»

1. В урне n белых и k черных шаров. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров из m вынутых наудачу. Построить график функции распределения F ( x ).

2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов, вероятности отказа которых равны p1, p 2, p3 соответственно. Составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших приборов. Найти:

1) математическое ожидание МХ; 2) дисперсию DX; 3) функцию распределения F ( x ) и построить ее график.

3. Дана плотность распределения f ( x ) случайной величины Х. Найти: 1) параметр ; 2) математическое ожидание МХ; 3) дисперсию DX; 4) функцию распределения F ( x ) ; 5) вероятность выполнения неравенства x1 < X < x2.

Варианты 11–20: f ( x) = 4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а и. Найти: 1) вероятность того, что с.в. Х примет значения из интервала ( ; ) ; 2) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9452 попадет с.в. Х; 3) вероятность того, что с.в. Х отклонится по абсолютной величине от своего математического ожидания не менее, чем на ; 4) построить нормальную кривую 5. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение с параметром, причем среднее время безотказной работы равно t часов.

Найти: 1) параметр ; 2) математическое ожидание MT и дисперсию DT с.в. T ; 3) вероятность того, что прибор проработает безотказно не менее T часов.