1

Министерство транспорта и связи Украины

Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

Одесская национальная академия связи им. А. С. Попова

Кафедра теории электрических цепей

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И СИГНАЛОВ

Модуль 2

Часть 1 Частотные методы анализа электрических цепей Часть 2 Методическое указание к лабораторным работам Учебное пособие для бакалавров Телекоммуникация Телекоммуникационные системы и сети Информационные сети связи Одесса 2007 2 УДК 621372 План УМИ 2006/07 уч. г.

Учебное пособие разработали: Н.Ф. Арбузникова, А.А. Новиков, А.Ю. Калашников, А.В. Шкулипа Учебное пособие рассмотрено и принято на заседании кафедры Протокол № 4 от « 5 » января 2006 г Заведующий кафедрой: Шкулипа А.В.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено к изданию методическим советом факультета информационные сети Протокол № 16 от « 29 » июня 2006 г Декан факультета ИС (И. В. Стрелковская)

СОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ 1 Частотные методы анализа электрических цепей.…...……………...… Содержание модуля 2.…………………………………………………………...….. 1 Входные и передаточные функции электрических цепей…..……….……….. 1.1 Комплексные функции цепей……….……………………………………. 1.2 Входные функции и частотные характеристики двухполюсных пассивных элементов……….……………………….………… 1.3 Комплексные передаточные функции четырехполюсников первого рода………..………………………………………………………….. 2 Электрические резонансы……………………………...………………..…..… 2.1 Последовательный колебательный контур……...…………………..….. 2.2 Параллельный колебательный контур………...……………………..…. 2.3 Резонансы в сложных контурах…………….....………...………………. 3 Основы теории двухполюсников…………………………………………....... 3.1 Виды соответствия двухполюсников…….....…………………………... 3.2 Реактивные двухполюсники………….....……………………………….. 4 Линейные электрические цепи при периодических негармонических воздействиях………………………....………..……………………………….. 4.1 Разложение периодических сигналов в ряд Фурье…………………...... 4.2 Основные характеристики периодического негармонического сигнала…………………………….……………...…………………………….. 4.3 Алгоритм расчета отклика линейной электрической цепи при периодических негармонических воздействиях………………….…….......... 5 Анализ линейных электрических цепей при непериодических воздействиях………………………………….………………………………... 5.1 Представление колебания в виде ряда Фурье в комплексной форме.... 5.2 Представление одиночного импульса с помощью интеграла Фурье…. 5.3 Основные теоремы о спектрах сигналов……….……………………….. 5.4 Алгоритм расчета отклика линейной электрической цепи при непериодических воздействиях……………………....………………………. Список рекомендуемой литературы………...……………………………………. ЧАСТЬ 2 Методические указания к лабораторным работам..…………………. Лабораторная работа № 5. Исследование передаточных функций простейших четырехполюсников…………………………………………………………..….... Лабораторная работа № 6. Исследование частотных характеристик резонансного контура……………………….…………………...……………….... Лабораторная работа № 7. Спектральный анализ периодических колебаний по Фурье…

Лабораторная работа № 8. Исследование реактивных двухполюсников……… ПРИЛОЖЕНИЕ А Тест-вопросы к лабораторным работам………..……......…. ПРИЛОЖЕНИЕ Б Примеры решений задач модуля 2

Частотные методы анализа электрических цепей 1 Входные и передаточные комплексные функции электрических цепей. Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики цепей.

2 Электрические резонансы в простых контурах. Резонансные кривые, параметры резонансных контуров, избирательные свойства резонансных контуров, частотные характеристики. Резонансы в сложных контурах.

3 Виды соответствия двухполюсников. Теория реактивных двухполюсников.

4 Линейные электрические цепи при периодических воздействиях.

Гармонический анализ периодических колебаний, определение отклика цепи при периодическом воздействии.

5 Линейные электрические цепи при непериодических воздействиях. Преобразования Фурье.

Лабораторные работы 1 Исследование передаточных функций простейших четырехполюсников.

2 Исследование частотных характеристик резонансного контура.

3 Спектральный анализ периодических колебаний по Фурье.

4 Исследование реактивных двухполюсников.

Комплексное задание 1 Определение КПФ четырехполюсника, расчет и построение АЧХ, ФЧХ.

2 Определение отклика при периодическом воздействии: спектральный анализ периодического колебания, определение отклика, изображение спектральных характеристик входных и выходных колебаний.

3 Определение отклика цепи на непериодическое воздействие. Спектр воздействия и отклика, изображение спектральных характеристик.

1 ВХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ

ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Задача анализа ЛЭЦ заключается в определении отклика цепи на заданное внешнее воздействие. Задача эта существенно упрощается, если воздействие гармоническое и для цепи найдена комплексная передаточная функция (КПФ).

Под КПФ понимают отношение комплексного отклика к комплексному воздействию. При этом отклик может определяться в любом элементе цепи в виде комплексного тока в этом элементе или комплексного напряжения на нем.

Если отклик и воздействие рассматриваются на одних и тех же зажимах цепи, то функция называется входной (рис. 1.1, а), а если на разных парах зажимов (рис. 1.1, б), – то передаточной.

Рисунок 1.1.1 – Представление цепи: а – двухполюсное; б – четырехполюсное Если внешнее воздействие комплексным входным сопротивлением:

Если воздействие рис. 1.1, а будет напряжением U 1, а откликом является ток I1, то функция представит собой комплексную входную проводимость:

Обратимся к рис. 1.1, б. В зависимости от того, какие величины (токи или напряжения) рассматриваются в виде отклика и воздействия, возможны четыре первые индексы означают вид отклика, а вторые – вид воздействия. Поэтому H ии и H ii – безразмерные величины; H иi – комплексная передаточное сопротивление; H iи – комплексная передаточная проводимость. Отметим, что для цепи рис. 1.1, б можно одновременно найти входные и передаточные функции.

Как и любое комплексное число, функция цепи может быть записана в показательной форме:

или в алгебраической:

Модуль КПФ H() представляет собой отношение действующего (или амплитудного) значения гармонической функции отклика к действующему (или амплитудному) значению гармонической функции воздействия. Аргумент () является разностью начальных фаз между гармонической функцией отклика и гармонической функцией воздействия. Например:

где u1 и u 2 – начальные фазы выходного и входного гармонического напряжения.

При графическом представлении КПФ цепи обычно строят отдельно зависимости модуля H() и аргумента (). При этом H() называют амплитудно-частотной, а () – фазочастотной характеристиками (АЧХ и ФЧХ) цепи. Можно также представить КПФ в виде одной зависимости, построенной на комплексной плоскости в виде вектора, модуль которого соответствует H(), а угол этого вектора соответствует (). Частота Рисунок 1.2 – Изображение комплексной известном воздействии.

величины в виде годографа 1.2 Входные функции и частотные характеристики Для этих элементов существуют только входные функции.

Резистивный элемент. Как было показано выше, комплексное сопротивление резистивного элемента ZR = R = Re j. Следовательно, модуль его сопротивления этого элемента, рис. 1.3 прямая линия, параллельная оси частот, а ФЧХ равна нулю независимо от частоты.

Рисунок 1.3 – Частотные характеристики резистора:

а – модуль комплексного сопротивления Z R ( ) ; б – аргумент R ( ) Индуктивный элемент. Комплексное сопротивление индуктивности ZL = jL = Lej/2. Модуль z L = L линейно растет с ростом частоты (рис. 1.4, а), а разность фаз между гармоническим напряжением и гармоническим током всегда равна /2 (рис. 1.4, б).

Рисунок 1.4 – Частотные характеристики индуктивного элемента:

а – модуль комплексного сопротивления Z L ( ) ; б – аргумент L ( ) Емкостный элемент. Комплексное входное сопротивление емкости до 0 (рис. 1.5, а), разность фаз постоянна и равна –/2 (рис. 1.5, б).

Рисунок 1.5 – Частотные характеристики емкостного элемента:

а – модуль комплексного сопротивления zC ( ) ; б – аргумент C ( ) Последовательное соединение элементов R и L. Схема соединения приведена на рис. 1.6 для мгновенных (а) и комплексных (б) напряжений и токов соответственно.

Для этой цепи При этом zRL() – модуль ZRL, а RL() – аргумент ZRL рассматриваемого двухполюсника. Примерные графики этих характеристик приведены на рис. 1.7.

Рисунок 1.7 – Частотные характеристики сопротивления цепи рис. 1.6:

Отметим, что подобными частотными характеристиками обладает двухполюсник, дуальный рассмотренному, т. е. параллельное соединение G и C характеристики совпадают на всех частотах.

Последовательное соединение элементов R и C. Рассмотрим схему рисунка 1.9, а, а ее схема замещения для комплексных напряжений и токов приведена на рис. 1.9, б.

Комплексное сопротивление запишем в алгебраической и показательной формах:

двухполюсника рассматриваемого, а RC ( ) = u i = arctg – аргумент комплексного сопротивления RC.

Примерные графики этих величин приведены на рис. 1.10.

Рисунок 1.10 – Частотные характеристики комплексного сопротивления RC :

Подобными характеристиками описывается двухполюсник, дуальный рассмотренному, т. е. параллельное соединение элементов G и L (рис. 1.11). Формулы для величины YGL предлагается записать самостоятельно.

где H uu ( ) = – модуль КПФ напряжения рассматриваемой цепи, а ( ) = 2 1 – аргумент КПФ напряжения. Примерные графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 1.13.

Рисунок 1.13 – Частотные характеристики четырехполюсника рис. 1.12:

Предлагается самостоятельно получить КПФ H ии цепей, приведенных на рис. 1.14.

Рисунок 1.14 – Схемы исследуемых четырехполюсников:

На основании вышеизложенного можем сделать заключение, что КПФ цепи зависит от параметров элементов цепи и частоты воздействия.

2 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ

Рассмотрим цепи, представляющие собой неавтономные пассивные двухполюсники, содержащие элементы R, L, C, соединённые между собой последовательно или параллельно. В таких цепях имеет место явление резонанса. Электрическим резонансом называют явление, при котором гармонические ток и напряжение на зажимах двухполюсника на одной из частот (0) совпадают по фазе (и = і). Такие гармонические функции называют синфазными.

2.1 Последовательный колебательный контур Цепь, составленная из последовательного соединения элементов R, L, C и источника напряжения, изображена на рис. 2.1, а. Для этого контура справедливо равенство на основе закона Кирхгофа:

в комплексной форме его можно записать как Символическая схема замещения этой цепи изображена на рис. 2.1, б.

Рисунок 2.1 – Последовательный колебательный контур:

а – схема для мгновенных значений; б – комплексная схема замещения Заменим напряжение по закону Ома:

где Z – комплексное сопротивление цепи.

Таким образом:

или Частотные зависимости сопротивлений элементов R, L, C рассматривались ранее в (1.1). Проанализируем частотную зависимость мнимой части комплексного сопротивления (2.2) цепи рис. 2.1 и построим графики. На рис. 2.2, а изображены частотные характеристики сопротивлений элементов L и C штрихами и характеристика их общего (сумма) сопротивления XLC – сплошной линией.

Рисунок 2.2 – Частотные характеристики последовательного сопротивления LC:

б – – абсолютная величина ХLС Рисунок 2.3 – Векторные диаграммы напряжений последовательного В цепи рис. 2.1 через все элементы протекает один и тот же ток i R =i L = iC = i, а напряжения на элементах меняется, так как меняется сопротивление элементов в зависимости от частоты.

На частоте 0 = наступает резонанс напряжений. Таким образом, условием возникновения резонанса напряжений в электрической цепи является Im [Z] = 0, т. е. мнимая часть комплексного сопротивления равна нулю.

Комплексное сопротивление (2.2) цепи рис. 2.1 можно записать в показательной форме:

C – аргумент (разность фаз) комплексного сопротивления.

= arctg Частотные характеристики z ( ) и () изображены на рис. 2.4.

Рисунок 2.4 – Частотные характеристики комплексного Действующее значение тока в контуре при гармоническом воздействии e(t ) = Em sin( t + C ) (пусть C = 0) где I() – модуль комплексного значения тока I, а () – аргумент этого Частотная зависимость этих величин изображена на рис. 2.5. График рис. 2.5, а называют резонансной кривой последовательно колебательного контура.

I макс Контуры, у которых значения элементов R, L и C разные, отличаются сопротивлениями, резонансными частотами, максимальным током при резонансе. Для того чтобы можно было сравнивать разные контуры, вводят дополнительные параметры, характеризующие их как колебательные контуры.

Волновое сопротивление. Сопротивление одного из реактивных элементов L или C на резонансной частоте X L0 = 0 L ; X C0 =, а так как условием резонанса напряжений является X L0 = X C0, Доказательство последнего выражения самостоятельно.

Добротность контура Q показывает, во сколько раз волновое сопротивление контура больше сопротивления потерь (R):

Если числитель и знаменатель выражения (2.4) умножить на ток I, то можно продолжить определение добротности:

Эти отношения хорошо „работают” при Q > 10. „Индикатором” настроенности контура может служить отношение величин реактивного сопротивления контура ХLС к его резистивной величине R:

После несложных преобразований это отношение может быть записано так:

(безразмерная величина); – обобщенная расстройка.

Тогда сопротивление RLC контура можно записать как а ток в контуре Диапазон частот от 1 до 2 представленный на рис. 2.6 (с обеих сторон от резонансной частоты 0), называют полосой пропускания контура.

избирательные свойства резонансного контура:

f 2 f1 = S A – абсолютная полоса пропускания;

тельная полоса пропускания.

(2.5) подставить = ±1 и преобразования, то можно получить:

нормированных резонансных кривых при разных добротностях. Из этого рисунка видно, что ширина полосы пропускания и добротность контура находятся в обратной зависимости: чем больше добротность контура, тем же его полоса пропускания.

Схема параллельного контура дуальна схеме последовательного колебательного контура рис. 2.1. Все элементы G, L, C и идеальный источник гармонического тока включены между одной и той же парой узлов. Резонанс наступает, когда ток источника тока совпадает по фазе с напряжением на контуре. Это явление имеет место при условии, что мнимая часть комплексной проводимости Предлагаем самостоятельно проанализировать параллельный колебательный контур по аналогии с проведенным анализом последовательного колебательного контура.

Если реактивные элементы L и C находятся в разных ветвях цепи, а следует произвести анализ и определить резонансные параметры – резонансную частоту 0, добротность Q и т. д. – то необходимо предварительно произвести эквивалентные преобразования, для того чтобы схему сложного контура – представить в виде эквивалентной схемы простого контура последовательно или параллельного. Дальнейший анализ производится аналогично анализу простого контура.

В качестве примера рассмотрим схему рис. 2.8.

Рисунок 2.8 – Сложный контур (а) и эквивалентная схема этого контура (б) Запишем сопротивление цепи рис. 2.8, а в комплексной форме:

После несложных преобразований получим:

Условием резонанса этого контура является L получить выражение для резонансной частоты. Предлагаем завершить выкладки самостоятельно.

3 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

При использовании символического метода расчета цепей пассивная двухполюсная цепь ( 2 1 ) определяется одним параметром – комплексным сопротивлением (Impedance) или обратной функцией – комплексной проводимостью Y (Admitance). Зачастую обе функции объединяют (Z, Y – Immitance).

При рассмотрении различных схем и соединений двухполюсников можно выделить несколько видов соответствия между их параметрами (Z, Y).

Двухполюсники могут быть: подобными, обратными, эквивалентными, дополняющими.

Подобными являются двухполюсники, у которых:

(а = const, не зависит от частоты).

Например: два резистора с разными величинами R, две индуктивности, две емкости (с разными величинами L и C соответственно), два колебательных контура с одинаковыми видами резонанса, настроенных на одну частоту. При этом в одном из них индуктивность в а раз больше, а емкость в а раз меньше, чем в другом.

Обратными являются двухполюсники, у которых:

(R и G – постоянные величины, не зависят от ).

Сопротивление индуктивности и емкости:

Простой последовательный колебательный контур (L1, C1) и параллельный (L2, C2). Резонансные частоты этих контуров совпадают. Предлагаем самостоятельно решить этот пример.

Следует заметить, что двухполюсники, которые являются дуальными, всегда будут обратными.

Схемы рис. 3.1 являются дуальными потенциально-обратными, а при условии, что они будут обратными. Это утверждение предлагаем доказать самостоятельно.

Рисунок 3.1 – Схемы обратных двухполюсников:

Эквивалентными являются двухполюсники, у которых Они могут заменить друг друга, не изменив характеристики цепи, с которой соединены. Эквивалентность может иметь место на одной частоте, в диапазоне частот или во всем диапазоне от нуля до бесконечности.

Пример. Цепь имеет вид рис. 3.2, а. Определим условия, при которых цепь рис. 3.2, а и б будут эквивалентны. Для этого необходимо определить значения коэффициентов подобия b, k, d на рис. 3.2, б.

Рисунок 3.2 – Схемы эквивалентных двухполюсников:

Приравняв коэффициенты, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив эту систему, получим искомые величины:

Это и есть условия эквивалентности двух цепей. Условия эквивалентности при сочетании элементов двух видов приведены в [1].

Дополняющими по сопротивлению являются двухполюсники, у которых Z1 + Z2 = R. Дополняющими по проводимости являются двухполюсники, у которых Y1 + Y2 = G.

Двухполюсники рис. 3.3, а и б являются дополняющими по сопротивлению при условии C = L / R2.

Рисунок 3.3 – Схемы дополняющих по сопротивлению двухполюсников:

Сопротивление рис. 3.3, а Дополняющими по проводимости будут двухполюсники рис. 3.4 при условии, что L / C = R2.

Рисунок 3.4 – Схемы дополняющих по проводимости двухполюсников:

Решить этот пример предлагаем самостоятельно.

Анализ реактивных двухполюсников Комплексное сопротивление двухполюсника в общем виде состоит из вещественной и мнимой составляющих: Z = R + jX. Если вещественная составляющая отсутствует (R = 0), то двухполюсник характеризуется только мнимой составляющей jX. Такие двухполюсники называются реактивными – это двухполюсники, содержащие идеальные элементы L и C. Рассмотрим простейшие реактивные двухполюсники, табл. 3.1.

Таблица 3.1 – Простейшие реактивные двухполюсники Преобразование Z для схемы 4 в табл. 3.1 предлагается выполнить самостоятельно. Внимательно рассмотрев таблицу, обнаруживаем, что сопротивления реактивных двухполюсников на „крайних” частотах ( = 0 и ) равны или 0 или. Продолжив рассмотрение схем с большим числом элементов, убеждаемся в том, что эта закономерность сохраняется. Поэтому все реактивные двухполюсники можно представить в виде четырех классов.

Критерием отличия является величина сопротивления Z() на краях частотного диапазона ( = 0 и = ). В табл. 3.2 представлены четыре вида, класса, а также расположение нулей и полюсов их сопротивлений (характеристическая строка). Нумерация классов не производится умышленно, так как в разных учебниках она не совпадает. Из таблицы видно, что нули и полюсы чередуются.

Таблица 3.2 – Классы двухполюсников Сопротивление реактивного двухполюсника можно записать в виде дроби.

В зависимости от класса реактивности формулы будут иметь вид:

Эти формулы носят название формул Фостера. Значение частоты, при которой числитель обращается в нуль, соответствует нулям функции Z (резонансы напряжений), а значение частоты в круглых скобках знаменателя при которых это выражение обращается в, соответствует полюсам функции Z (резонансы токов). В зависимости от класса реактивности сомножитель [j] может быть записан в числителе или в знаменателе. Если характер двухполюсника в начале частотного диапазона (0 = 0) – индуктивный (характеристическая строка начинается с 0), то сомножители j в формуле (3.1) записываем в числителе. Если характер двухполюсника в начале частотного диапазона (0 = 0) – емкостный (характеристическая строка начинается с () полюса), то сомножитель j в формуле (3.1) записывается в знаменателе.

Коэффициент HL или HC имеет размерность индуктивности (HL) или емкости (HC) в зависимости от характера двухполюсника на частоте. Если характер реактивного двухполюсника индуктивный (при над осью), то HL записывается в числителе, а если емкостный, то в знаменателе – HC. Так как HL и HC – эквивалентные индуктивности или емкости соответственно, то H > 0.

Синтез реактивных двухполюсников Задача синтеза реактивных двухполюсников заключается в том, чтобы по заданной частотной характеристике Z(j) найти схему. Характеристика задана известными нулями, полюсами и величиной HL или HC.

Если заданы частоты 1, 3, …, 2, 4, HL для двухполюсника класса …, то формула Z (3.1) записывается в виде Разложив данную функцию на простые дроби, можем получить ряд простых дробей:

Формула для расчета коэффициентов Аk имеет вид где k принимает значения 0, 2, 4, 6, … (2n – 2) для А0, А2, А4 и т. д.

соответственно. Для А Сумма дробей (3.2) соответствует последовательному соединению индуктивности, емкости и параллельных LC контуров, причем число этих контуров совпадает с числом внутренних полюсов функции Z (резонансы токов). Таким образом, схема принимает вид рис. 3.5, а.

Если заданы частоты для двухполюсников других классов, то, записав выражение Z(j) для соответствующего класса реактивности и проделав разложение, приходим к схеме, соответствующей данному классу. На рис. 3. изображены схемы четырех классов двухполюсников.

Рисунок 3.5 – Канонические схемы из параллельных контуров для классов:

Вместо функции сопротивления Z можно разложить на простые дроби обратную функцию Y – проводимость. Так как проводимость есть сумма проводимостей при параллельном соединении элементов, то схемы четырех классов при синтезе путем разложения функции входной проводимости на простые дроби будут выглядеть так, как на рис. 3.6.

Рисунок 3.6 – Канонические схемы из последовательных контуров класса:

Следует заметить, что число последовательных контуров при таком синтезе совпадает с числом внутренних нулей функции Z (резонансы напряжений). Синтез путем разложения на простые дроби получил название синтеза по Фостеру.

Существует способ разложения функции Z или Y в непрерывную дробь [1].

В этом случае схемы имеют вид лестничной структуры. Такой синтез в литературе носит название синтеза по Кауэру. Вид схем при таком синтезе показан на рис. 3.7.

Схемы, представленные на рисунках 3.5…3.7, имеющие определенные правила построения (цепочечные рис. 3.5 и 3.6; лестничные рис. 3.7), называются каноническими. В канонической схеме нет „лишних” элементов.

Если в канонической схеме удалить один из элементов, то это приведет к изменению класса реактивности, общего количества нулей и полюсов, к изменению частотной характеристики. В канонической схеме имеется строгая зависимость между количеством элементов и количеством нулей и полюсов.

Число элементов всегда на единицу больше числа „внутренних” (резонансных) нулей и полюсов.

Рисунок 3.7 – Канонические схемы лестничной структуры класса:

Если реактивный двухполюсник представляет собой неканоническую схему, то с помощью эквивалентных преобразований его следует привести к каноническому виду, а затем производить анализ.

4 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ

ВОЗДЕЙСТВИЯХ

В процессе передачи сигналов по каналам связи часто используются негармонические колебания. Эти колебания могут быть как периодическими сигналами, так и непериодическими.

Сущность частотного метода анализа электрических цепей – определение отклика ЛЭЦ при негармоническом воздействии. В основе частотного метода лежат спектральные представления сигналов, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье. В качестве переменной используется частота.

4.1 Разложение периодических сигналов в ряд Фурье Рисунок 4.1 – Периодические колебания f(t)), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:

где k – номер гармоники; 1 – частота первой гармоники (k = 1):

Коэффициенты ak, bk определяются как Постоянная составляющая представляет собой среднее за период Т значение функции f(t):

Однако для определения отклика цепи на негармоническое воздействие f(t) используют другую форму ряда Фурье:

которая связана с рядом Фурье (4.1) следующими соотношениями:

где Amk – амплитуда k-той гармоники; k – начальная фаза k-той гармоники;

А0 – постоянная составляющая воздействия f(t).

Амплитуды всех гармоник (Amk) вместе с постоянной составляющей (А0) образуют амплитудно-частотный спектр (АЧС).

Начальные фазы всех гармоник (k) разложения образуют фазочастотный спектр (ФЧС).

Спектры (АЧС и ФЧС) периодических негармонических сигналов являются линейчатыми, или дискретными.

В качестве примера разложения сигнала в ряд Фурье рассмотрим периодическую последовательность П-импульсов (см. рис. 4.1).

На интервале времени 0 t tи сигнал f(t) имеет значение А, на интервале времени tи t Т сигнал f(t) равен нулю, – а затем все это повторяется.

Используя формулы (4.2) и (4.3), определим коэффициенты ряда Фурье (4.1):

Используя формулы (4.5)…(4.9), рассчитаем постоянную составляющую А0, амплитуды гармоник Amk и начальные фазы k гармоник.

Amk = ak + bk2 = Согласно (4.4), получим разложение f(t) в ряд Фурье:

последовательности f(t).

Действующее значение негармонической периодической функции f(t) определяется согласно действующему значению гармонической функции:

если вместо f(t) подставить выражение (4.4).

После интегрирования получим – действующее значение k-той гармоники ряда Фурье (4.4).

Если в качестве функции f(t) взять ток i(t), то получим действующее значение негармонического периодического тока Для напряжения u(t) действующее значение Таким образом, действующее значение негармонического периодического тока I или напряжения U полностью определяется постоянной составляющей (I или U0) и действующими значениями его гармоник (Ik или Uk) и не зависит от их начальных фаз k.

Среднее значение Аср негармонической периодической функции f(t) определяется согласно среднему значению гармонической функции, если вместо f(t) подставить выражение (4.4):

С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет средняя активная мощность Р негармонического сигнала и распределение ее между отдельными гармониками.

Активная (вещественная) мощность определяется как где k – разность фаз между начальной фазой k-той гармоники напряжения и k-той гармоники тока.

Реактивную мощность определяется как и полная мощность где I и U – действующие значения, определяемые соответственно формулами (4.14) и (4.15).

В отличие от гармонических сигналов, для негармонических сигналов практически имеет место неравенство 4.3 Алгоритм расчета отклика линейной электрической цепи при периодических негармонических воздействиях В основе расчета ЛЭЦ, находящихся под воздействием периодических негармонических сигналов, лежит принцип суперпозиции (или наложения).

Согласно этому принципу, разложенный в ряд Фурье (4.4) сигнал f(t) воздействует на ЛЭЦ по частям и поочередно:

1) постоянная составляющая А0 сигнала f(t);

2) первая гармоника Am1sin(1t + 1) разложения в ряд Фурье сигнала f(t);

3) вторая гармоника Am2sin(21t + 2) разложения в ряд Фурье сигнала f(t) и т. д. до последней гармоники.

Расчет отклика цепи на воздействие постоянной составляющей А0 сводится к расчету резистивной цепи, поскольку имеющиеся в ней индуктивности заменяем короткими замыканиями, а имеющиеся емкости – обрывами.

Расчет отклика цепи на каждую из гармоник осуществляем методом комплексных амплитуд.

Суммируя все полученные отклики, получаем отклик ЛЭЦ на заданное периодическое негармоническое воздействие.

5 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ПРИ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Если на ЛЭЦ подается негармонический, но периодический сигнал f(t), то, разложив его в ряд Фурье, а затем применив метод наложения, можно найти отклик цепи.

Рассмотрим случай, когда воздействие f(t) на цепь – непериодическая функция и разложить ее в ряд Фурье невозможно. В этом случае будем использовать для определения отклика ЛЭЦ на негармонический непериодический сигнал не ряд Фурье, а интеграл Фурье.

К интегралу Фурье можно перейти от ряда Фурье в комплексной форме.

Для перехода от ряда Фурье (4.7) к его комплексной форме используем формулу Эйлера, на основании которой можно выразить и подставить выражения (5.1) и (5.2) в ряд Фурье (4.1).

После несложных математических преобразований, а также учитывая, что ak = a–k – четная функция частоты; bk=-b–k – нечетная функция частоты, получим где (ak – jbk) является комплексным числом в алгебраической форме.

Обозначим это число через Amk и назовем комплексной амплитудой Таким образом, выражение (5.3) можно переписать в виде В этом выражении: слева – функция вещественного переменного f(t), а справа – сумма комплексных чисел (комплексных амплитуд Amk ).

Выражение (5.5) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, причем постоянная составляющая 0 также находится под знаком суммы, так как суммирование производится в пределах от (– ) до. Однако никакого противоречия в этом нет, поскольку каждая пара сопряженных комплексных амплитуд ( Amk и A mk ) в сумме дает вещественное число:

Все комплексно-сопряженные пары ( Amk и A mk ) вращаются на комплексной плоскости с центром вращения в начале координат комплексной плоскости с определенной скоростью в противоположные стороны относительно друг друга, так как в формуле (5.5) содержится фактор вращения e jk 1t.

Поэтому в результате суммирования вращающихся коплексносопряженных амплитуд ( Amk и A mk ) в каждый момент времени имеем только вещественные числа.

Совокупность модулей ( Amk ) комплексных амплитуд Amk в выражении (5.5) представляет собой АЧС сигнала f(t), а совокупность аргументов (k) комплексных амплитуд Amk – ФЧС сигнала f(t).

На рис. 5.1 изображены АЧС (а) и ФЧС (б) соответственно для произвольного сигнала f(t).

Рисунок 5.1 – Амплитудно-частотный (а) и фазочастотный (б) По сравнению с АЧС ряда Фурье (4.4), представленный АЧС имеет значения составляющих в два раза меньше по величине, а частота гармоник (k1) принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Как уже отмечалось, к интегралу Фурье можно перейти от комплексной формы ряда Фурье. Такой переход можно осуществить, если период Т периодического сигнала f(t) устремить в бесконечность. В результате (при Т ) мы имеем непериодический, т. е. одиночный сигнал f(t).

Прежде, чем переходить к интегралу Фурье, рассмотрим, как можно выразить комплексную амплитуду Amk через сигнал f(t). Для этого в (5.4) подставим (4.2):

а затем выражение (5.7) подставим в комплексную форму Фурье (5.5):

Перейдя в выражении (5.8) к пределу Т и учитывая, что при этом 1 d, k1, а сумма вырождается в интеграл, получим Выражение (5.9) носит название двойного интеграла Фурье. Внутренний интеграл по времени t называется спектральной плотностью сигнала f(t), обозначается через F(j) и является прямым преобразованием Фурье.

Спектральная плотность сигнала F(j) является комплексной функцией частоты и может быть представлена в показательной форме:

где F() – модуль спектральной плотности F(j), который представляет собой АЧС непериодического сигнала f(t); () – аргумент спектральной плотности F(j), который представляет собой ФЧС непериодического сигнала f(t).

Как и для периодического сигнала, АЧС непериодического сигнала является четной, а ФЧС – нечетной функцией частоты. Но, в отличие от АЧС и ФЧС периодического сигнала, АЧС и ФЧС непериодического являются сплошными спектрами, а не линейчатыми, так как непериодический сигнал не имеет отдельных гармоник.

В качестве примера найдем и построим АЧС и ФЧС одиночного (непериодического) одностороннего П-импульса (видеоимпульса) напряжения u(t), рис. 5.2.

сигнал u(t) равен нулю.

В результате интегрирования получим:

Для получения выражений АЧС и ФЧС необходимо представить (2.35) в показательной форме, т. е. выделить из (5.13) модуль и аргумент. Для этого выполним некоторые математические преобразования:

Теперь выделяем из (5.14) выражение модуля по которому построим АЧС для u(t), и выражение аргумента (угла) по которому построим ФЧС для u(t).

Для построения АЧС выделим те значения частот, на которых F() = 0, так как в выражение (5.15) входит функция sin и.

При и = k, где k = 0; ±1; ±2;…, U(k) = 0. При этом частота принимает следующие значения:

В промежутках между своими нулевыми значениями модуль F() изменяется по синусоидальному закону согласно (5.15), причем, с ростом частоты, что видно из того же выражения (5.15), величина модуля F() уменьшается.

На рис. 5.3 изображен АЧС видеоимпульса напряжения u(t). Можно показать, что несмотря на то что АЧС является бесконечным при, 90 % всей энергии сигнала u(t) сосредоточено в первом „лепестке” АЧС.

Рисунок 5.3 – Спектр амплитуд (а) и спектр фаз (б) видеоимпульса Анализируя АЧС (рис. 5.3, а), замечаем, что чем меньше длительность Пимпульса (tи), тем шире „лепестки” АЧС, т. е. для своего прохождения по каналам связи напряжению u(t) понадобится более широкая полоса частот.

И, наоборот, при увеличении tи АЧС будет сжиматься по частоте.

Построение ФЧС (рис. 5.3, б) осуществляем согласно (5.16), причем на характерных частотах = не происходит нарастания фазы более, чем на, так как в модуле U() функция sin и взята по абсолютной величине, а ее отрицательные значения учитываются при построении ФЧС.

Продолжим анализ двойного интеграла Фурье (5.9). Внутренний интеграл по времени в этом выражении назван спектральной плотностью сигнала f(t) и является прямым преобразованием Фурье (5.9).

При подстановке (5.10) в выражение (5.9) получим формулу обратного преобразования Фурье Используя обратное преобразование Фурье (5.18), можно по спектральной плотности сигнала получить сам сигнал f(t).

Как было установлено в 5.2, между сигналом f(t) и его спектральной плотностью F(j) существуют связи, определяемые преобразованиями Фурье (5.10) и (5.18). Поскольку в процессе передачи сигнала он подвергается различным преобразованиям, очень важно установить, как при этом изменяется его спектральная плотность. Это имеет большое значение с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, приема и требований к параметрам канала связи.

Рассмотрим основные теоремы о спектрах сигналов.

1 Теорема о сумме (теорема линейности) Если сигналу f1(t) соответствует спектральная плотность F1(j), а сигналу f2(t) соответствует спектральная плотность F2(j), то алгебраической сумме этих сигналов соответствует алгебраическая сумма спектральных плотностей, т. е.

преобразования Фурье.

2 Теорема о запаздывании (о сдвиге во времени) Если сигналу f(t) соответствует спектральная плотность F(j), то такому же по форме сигналу, но опаздывающему на время t 0, соответствует следующая спектральная плотность:

Из (5.20) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его АЧС не изменяется, а ФЧС изменяется пропорционально t0. Этот вывод учитывается в тех случаях, когда возникает необходимость осуществлять задержку сигнала.

3 Теорема подобия (о сжатии сигнала) Если сигналу f(t) соответствует спектральная плотность F(j), то подобный ему сигнал f(t) имеет следующую спектральную плотность:

где – коэффициент подобия (т. е. мера изменения величины переменного t).

Из (5.21) следует, что сжатие сигнала во времени приводит к расширению его спектра, что наглядно было показано на рис. 5.3 для одиночного Пимпульса напряжения.

4 Теорема о производной (о дифференцировании сигнала) Если F(0) = 0, то при дифференцировании сигнала f(t) его спектральная плотность F(j) умножается на оператор j:

5 Теорема об интеграле Если F(0) = 0, то при интегрировании сигнала f(t) его спектральная плотность F(j) делится на оператор j:

Доказательство (5.22) и (5.23) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье.

6 Теорема об умножении спектров (теорема о спектре свертки) Если имеются сигналы f1(t) со спектром F1(j) и f2(t) со спектром F2(j), то сверткой f(t) этих двух сигналов называется интеграл Рассматриваемая теорема заключается в том, что необходимо найти спектр сигнала f(t), т. е. спектр этих двух сворачиваемых сигналов (спектр свертки).

5.4 Алгоритм расчета отклика линейной электрической цепи при В случае воздействия на ЛЭЦ непериодического сигнала f1(t) определение отклика цепи f2(t) на такой сигнал осуществляется в следующей последовательности:

1) определяется спектральная плотность сигнала f1(t), воздействующего на данную ЛЭЦ, используется при этом прямое преобразование Фурье (5.10);

2) определяется комплексная передаточная функция цепи H(j);

3) исходя из определения комплексной передаточной функции H ( j ) = 2, определяется спектральная плотность отклика цепи F2(j):

В выражении (5.25) произведение модулей комплексной передаточной функции и спектральной плотности воздействия f1(t) представляет собой АЧС отклика цепи f2(t); сумма аргументов комплексной передаточной функции и спектральной плотности воздействия f1(t) представляет собой ФЧС отклика f2(t).

Если этих величин оказывается недостаточно для характеристики отклика цепи, то по обратному преобразованию Фурье (5.18) находится временне представление отклика f2(t):

1 Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.

2 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей.

– М: Радио и связь, 1998.

3 Зевеке Г.В. и другие. Основы теории цепей: Учебник для вузов /Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. – М.: Энергия, 1975.

4 Зелях Э.В. Двухполюсники и четырехполюсники: Учебное пособие. – Одесса, 1976.

Методические указания к лабораторным работам

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРОСТЕЙШИХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

1.1 Исследовать частотные характеристики модуля H() и аргумента () простейших четырехполюсников.

2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998.

2.2 Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1989.

3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности к выполнению лабораторной работы приведены в Приложении А.

4.1 Изучить метод определения комплексных передаточных функций (КПФ), амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик.

4.2 Записать КПФ напряжения схем, изображенных на рис. 4.1.

Зная КПФ, можно определить модуль H() и аргумент (). Далее необходимо рассчитать амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики этих схем. При этом величины элементов должны соответствовать: R = n, Ом; L = по списку группы; m – номер группы на потоке (1, 2, 3). Все величины должны быть представлены в системе СИ.

Расчетные частоты: 0; 0,25 1; 0,5 1; 1; 2 1; 3 1;.

Частота 1 является опорной, аналогично той, что была в лабораторной работе № 4 модуля 1; 11 = R/L, рад/с – для схем 1 и 2; 12 = 1/RC, рад/с – для схем 3 и 4.

Для схем рис. 4.1, 5...7 опорной является резонансная частота 0 =, рад/с.

Все расчеты занести в таблицы 4.1…4.3. По данным таблиц построить графики.

Таблица 4. Таблица 4. Таблица 4. 5.1 Собрать исследуемую схему. Измерить напряжение на входе и выходе на тех частотах, на которых проводились расчеты H() и (). Данные измерений занести в таблицу для каждой схемы измерения. По результатам измерений построить графики.

Таблицы 4.4, 4.5, 4. 5.2 Измерения проводить для всех схем. Измеренные величины для схем рис. 4.1, 1 и 2 внести в табл. 4.4; для схем 3 и 4 – в табл. 4.5; и данные измерений схем 5, 6, 7 – в табл. 4.6.

6.1 Собрать схему исследуемой цепи (RL, RC, RLC). Для этого необходимо нажать кнопку «Выбор элементов» вверху виртуального макета (рис. 6.1). В появившемся окне каждому из двухполюсников Z1, Z2, Z3 необходимо поставить в соответствие элемент цепи (R, L или C). При исследовании двухполюсников RL и RC элемент Z1 или Z2 необходимо заменить коротким замыканием (КЗ). Пример схемы для исследования RL цепи приведен на рис. 6.2.

Рисунок 6.1 – Виртуальный макет исследуемой цепи Рисунок 6.2 – Виртуальный макет для исследования RL цепи 6.2 Установить значение элементов R, L, C согласно заданному варианту.

Для этого необходимо нажать кнопку «Значения элементов» лабораторного макета. В появившемся окне ввести значения элементов в системе СИ и нажать кнопку «ОК».

Примечание. Кратные единицы удобнее вводить с помощью указателя порядка, например, 5 мкФ – «5е-6» Ф.

6.3 Установить параметры генератора. Для этого нажать кнопку «Параметры генератора». В появившемся окне ввести задающее напряжение (устанавливается один раз), частоту из табличных данных, начальную фазу (обычно 0 градусов) и нажать кнопку «ОК».

Замечание. Частоту, равную 0 и, на генераторе выставить нельзя.

6.4 Зафиксировать показания приборов. Для этого следует навести курсор мыши на измерительный прибор и нажать левую кнопку мыши. В появившемся окне приведены показания прибора в системе СИ.

6.5 Для снятия частотных характеристик цепи необходимо выполнить пункты 6.3 и 6.4 данного раздела для всех значений частоты.

6.6 Для изменения схемы необходимо повторить пункты 1 и 2 данного раздела.

6.7 Примерные графики частотных характеристик данной цепи можно пронаблюдать, нажав кнопку «Результаты измерений». Возврат осуществляется с помощью кнопки «Изменить схему».

7.1 Тема и цель работы.

7.2 Результаты выполнения домашнего задания.

7.3 Схемы измерений, графики, аналитические выражения, таблицы.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

РЕЗОНАНСНОГО КОНТУРА

1.1 Исследование частотных характеристик последовательного резонансного контура при разной добротности.

2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998.

2.2 Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1989.

3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности к выполнению лабораторной работы приведены в Приложении А.

4.1 Изучить тему «Резонанс в электрических цепях» по литературе и конспекту.

4.2 Рассчитать и построить частотные зависимости ni = для цепи рис. 4.1 при трех значениях добротности контура Q.

Величины элементов схемы рис. 4.1 соответствуют сопротивление источника).

Добротность определяется по формуле где RЭ = RГ + RК: RГ – сопротивление генератора; RК – сопротивление контура; RЭ – эквивалентное сопротивление; = – волновое сопротивление цепи.

Добротность Q1 определить при RК = 0,5 R, добротность Q2 – при RК = R, добротность Q3 – при RК = 2 R.

Расчет частотной характеристики производится по формуле:

где = =. Все расчеты cвести в таблицу 4.1. Частоты для расчетов взять равными 0; 0,25 0; 0,5 0; 0; 2 0; 3 0;.

4.3 Рассчитать и построить частотную характеристику фазы.

Расчет производится по формуле Результаты расчетов записать в таблицу 4.1, построить графики.

Таблица 4., рад/с f, Гц В таблице 4.1 n1, n2, n3 и 1, 2, 3 значения соответствующих величин при добротностях Q1, Q2, Q3.

4.4 Рассчитать и построить частотную зависимость UL().

Расчет производится по формуле для трех значений RЭ. Результаты расчетов записать в таблицу 4.2, построить графики.

Таблица 4. 4.5 Рассчитать и построить частотную зависимость UС().

Расчет производится по формуле для трех значений RЭ. Результаты расчетов записать в таблицу 4.2, построить графики.

5.1 Собрать схему рис. 4.1. Установить необходимые величины элементов, задать напряжение источника Е = 1 В. Изменяя частоту источника, произвести измерение напряжений. Результаты измерений занести в табл. 5.1.

Сравнить результаты измерений и расчетов.

Таблица 5. 6.1 Собрать схему исследуемой цепи (RLC). Для этого необходимо нажать кнопку «Выбор элементов» вверху виртуального макета (рис. 6.1). В появившемся окне каждому из двухполюсников Z1, Z2, Z3 необходимо поставить в соответствие элемент цепи (R, L или C). Пример схемы для исследования RLС цепи приведен на рис. 6.2.

Рисунок 6.1 – Виртуальный макет исследуемой цепи Рисунок 6.2 – Виртуальный макет для исследования RLС цепи 6.2 Установить значение элементов R, L, C согласно заданного варианта.

Для этого необходимо нажать кнопку «Значения элементов» лабораторного макета. В появившемся окне ввести значения элементов в системе СИ и нажать кнопку «ОК».

Примечание. Кратные единицы удобнее вводить с помощью указателя порядка, например, 5 мкФ – «5е-6» Ф.

6.3 Установить параметры генератора. Для этого нажать кнопку «Параметры генератора». В появившемся окне ввести задающее напряжение (устанавливается один раз), частоту из табличных данных, начальную фазу (обычно 0 градусов) и нажать кнопку «ОК».

Замечание. Частоту, равную 0 и, на генераторе выставить нельзя.

6.4 Зафиксировать показания приборов. Для этого необходимо навести курсор мыши на измерительный прибор и нажать левую кнопку мыши. В появившемся окне приведены показания прибора в системе СИ.

6.5 Для снятия частотных характеристик цепи необходимо выполнить пункты 3 и 4 данного раздела для всех значений частоты.

6.6 Для изменения схемы необходимо повторить пункты 1 и 2 данного раздела.

6.7 Примерные графики частотных характеристик данной цепи можно пронаблюдать, нажав кнопку «Результаты измерений». Возврат осуществляется с помощью кнопки «Изменить схему».

7.1 Тема и цель работы.

7.2 Результаты выполнения домашнего задания.

7.3 Схемы измерения, графики, аналитические выражения, таблицы.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПО ФУРЬЕ

1.1 Выполнить анализ периодического сигнала в виде последовательности прямоугольных импульсов с помощью периодического ряда Фурье.

2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998.

2.2 Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1989.

3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности к выполнению лабораторной работы приведены в Приложении А.

4.1 Выучить тему «Электрические цепи при периодическом негармоническом воздействии» по литературе и конспекту лекций.

4.2 Рассчитать и построить спектр амплитуд и спектр фаз периодического колебания рис. 4.1.

Функцию рис. 4.1 представить в виде ряда Фурье:

где U0 – постоянная составляющая колебания;

Umk – амплитуда k-той гармоники;

k – начальная фаза k-той гармоники.

Рассчитать амплитуды и начальные фазы десяти гармоник. Расчеты свести в таблицу 4.1.

Таблица 4. Umk, В Исходные данные для расчета:

N = n + 1 (при n от 1 до 9), N = n – 8 (при n от 10 до 18), N = n – 17 (при n от 19 до 30), где N = – скважность колебания.

5.1 Установить Т и tи, соответствующие данной скважности N.

5.2 Включить анализатор спектра и записать значение амплитуд и фаз каждой гармоники, зарисовать АЧС и ФЧС.

5.3 Сравнить полученные результаты с расчетами.

5.3 Увеличить период начального колебания в два, три, четыре раза и зарисовать спектры.

1.1 С помощью клавиатуры ввести значения периода колебаний и амплитуды исследуемого колебания в соответствующие поля виртуального макета (рис. 6.1).

Рисунок 6.1 – Виртуальный макет исследования 6.2 Включить макет, нажав с помощью мыши кнопку «Включить» в левом нижнем углу макета. С помощью кнопок « » и « » в поле «Скважность импульса» установить скважность N, заданную по условию. При этом в окне осциллографа (вверху макета) отобразится времення диаграмма исследуемого ПНК, а внизу – соответствующий ей спектр: амплитуд – закладка «Спектроанализатор» либо фаз – закладка «Фазовый спектр» (рис. 6.2).

6.3 Измерения амплитуд и фаз гармоник удобнее выполнять с помощью столбца значений, расположенного справа от соответствующего спектра. Для АЧС значения приведены в вольтах и соответствуют (сверху вниз) амплитудам гармоник с первой по 19-ю, если установлена отметка «Не отображать постоянную составляющую», либо с нулевой (постоянная составляющая) по 18-ю – отметка «Отображать постоянную составляющую». Для ФЧС значения приведены в радианах для гармоник с первой по 19-ю. По оси абсцисс анализаторов отложены номера гармоник. Увеличить (уменьшить) количество отображаемых гармоник можно с помощью ползунка, расположенного под анализатором.

6.4 Изменение скважности осуществляется согласно п. 2 данного раздела.

Период и амплитуда изменяются только при выключенном макете.

7.1 Тема и цель работы.

7.2 Результаты выполнения домашнего задания.

7.3 Спектры, временные диаграммы исследуемых колебаний.

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

1.1 Исследовать частотные свойства реактивных двухполюсников и по результатам синтезировать возможные схемы.

2.1 Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998.

2.2 Зелях Э.В. Двухполюсники и четырехполюсники: Учебное пособие.

– ОЭИС им. А.С. Попова, Одесса: 1976.

3.1 Тест-вопросы для выявления степени готовности к выполнению лабораторной работы приведены в Приложении А.

4.1 Уметь классифицировать двухполюсники по энергетическим свойствам.

4.2 Уметь записывать уравнения двухполюсников.

4.3 Изучить виды соответствия двухполюсников и уметь давать определение каждому виду.

4.4 Изучить теорему о сопротивлении реактивного двухполюсника (теорема Фостера).

4.5 Изучить класс реактивных двухполюсников.

4.6 Уметь преобразовывать неканоническую схему реактивного двухполюсника в каноническую.

4.7 Уметь изображать частотные зависимости сопротивлений для канонических схем реактивных двухполюсников.

4.8 Уметь изображать канонические схемы реактивных двухполюсников по известным частотным характеристикам сопротивлений этих двухполюсников.

4.9 Уметь выражать коэффициенты HL и HC через элементы цепи реактивных двухполюсников.

4.10 Знать некоторые сведения о синтезе реактивных двухполюсников по Фостеру и по Кауэру.

4.11 Найти и записать формулы, основанные на результатах измерений, для определения величин элементов исследуемых двухполюсников.

5.1 Собрать схему макета, включить его.

5.2 Плавно меняя частоту гармонических колебаний генератора, определить все резонансные частоты каждого из исследуемых реактивных двухполюсников (по минимуму и максимуму напряжений на реактивных двухполюсниках).

5.3 Зная резонансные частоты реактивных двухполюсников, изобразить частотные зависимости сопротивлений этих двухполюсников предположив, что это двухполюсники без потерь (L, C).

5.4 По частотным характеристикам определить классы реактивности, количество элементов и изобразить четыре возможные канонические схемы каждого из исследуемых двухполюсников.

5.5 Зная класс реактивности и количество резонансных частот, записать формулу сопротивления каждого реактивного двухполюсника (формулу Фостера).

5.6 По результатам измерений с помощью подготовленных в домашнем задании формул, определить величины элементов одной из схем исследуемых реактивных двухполюсников.

6 Порядок выполнения лабораторной работы 6.1 Схема лабораторного макета приведена на рис. 6.1. Подключите к схеме двухполюсник Z1. Для этого наведите указатель мыши на ключ, соединенный последовательно с данным двухполюсником и нажмите левую кнопку мыши. При этом ключ замкнется и подключит Z1 к цепи.

Рисунок 6.1 – Виртуальный макет исследования 6.2 Для изменения частоты генератора гармонических колебаний необходимо с помощью мыши или стрелок „влево” и „вправо” на клавиатуре переместить ползунок поля «Ввод частоты».

6.3 Для снятия частотной характеристики двухполюсника необходимо пройти весь частотный диапазон, фиксируя точки максимума и минимума напряжения. При максимуме напряжения численное значения частоты светится красным, а при минимуме (рис. 6.3) – синим цветом. Максимумы напряжения соответствуют максимумам, а минимумы – минимумам модуля комплексного сопротивления двухполюсника.

Необходимо зафиксировать все резонансные частоты и соответствующие им значения (максимумы или минимумы) напряжения и, соответственно, модуля сопротивления Z1.

Рисунок 6.2 – Фрагмент работы лабораторного макета Рисунок 6.3 – Фрагмент работы лабораторного макета при минимальном 6.4 Аналогично необходимо снять частотные характеристики остальных двухполюсников. Результаты измерений рекомендуется оформить в виде таблицы (табл. 6.1) отдельно для каждого двухполюсника.

Таблица 6.1 – Частотная характеристика двухполюсника Z, рад/с 6.5 По данным измерений необходимо построить частотные характеристики для каждого двухполюсника, считая, что двухполюсники идеальные (без потерь).

6.6 По характеристикам определить класс реактивности, записать формулу Фостера и изобразить возможные канонические схемы для каждого двухполюсника.

7.1 Тема и цель работы.

7.2 Результаты выполнения домашнего задания.

7.3 Таблицы измерений, графики, схемы двухполюсников.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Тест-вопросы к лабораторным работам

ИСЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРОСТЕЙШИХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

1 Что такое передаточная функция напряжения?

2 Что такое передаточная функция тока?

3 Что такое передаточное сопротивление?

4 Что такое передаточная проводимость?

5 Что такое амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)?

6 Что такое фазочастотная характеристика (ФЧХ)?

7 Сколько передаточных функций можно найти для четырехполюсника?

8 Содержит ли выражение КПФ величины напряжений?

9 Содержит ли выражение КПФ величины токов?

10 Четырехполюсник содержит один реактивный элемент. Как выглядит АЧХ?

11 Четырехполюсник содержит элементы R, L, С. Как выглядит АЧХ?

12 Что такое мгновенная мощность?

13 Как рассчитать мощность в резистивном элементе?

14 Как рассчитать мощность на индуктивности?

15 Как рассчитать мощность на емкости?

16 Что такое комплексная мощность?

17 Как определить полную мощность?

18 В каких единицах измеряется реактивная мощность?

19 В каких единицах измеряется полная мощность?

20 В каких единицах измеряется мощность на резистивном элементе?

21 Чему равняется полная мощность, если известны мощности на двух элементах: 3 Вт и 4 ВАр?

22 Чему равняется полная мощность, если известны мощности на элементах:

индуктивность – 8, емкость – 4, резистор – 3?

23 Чему равняется полная мощность, если известны мощности на элементах:

24 Что такое годограф?

25 При каком условии выделяется максимальная мощность в нагрузке 26 Как изменяется коэффициент полезного действия при увеличении сопротивления нагрузки?

27 Чему равняется коэффициент полезного действия системы генератор – нагрузка при условии выделения максимальной мощности Рмакс?

28 Что такое коэффициент мощности?

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

РЕЗОНАНСНОГО КОНТУРА

1 Что является условием резонанса напряжений?

2 Что является условием резонанса токов?

3 Как определить частоту резонанса напряжений простого контура?

4 Как определить частоту резонанса токов простого контура?

5 Какое сопротивление имеет контур в момент резонанса напряжений?

6 Какова проводимость контура в момент резонанса напряжений?

7 В каких пределах изменяется фаза в последовательном RLC контуре?

8 Какое значение принимает проводимость контура в момент резонанса 9 Какое значение принимает сопротивление контура в момент резонанса 10 В каких пределах изменяется фаза в параллельном GLC контуре?

11 Как определить волновое сопротивление контура?

12 Как определить добротность последовательного контура?

13 Как определить добротность параллельного контура?

14 Как определить обобщенную расстройку последовательного RLC контура?

15 Как определить обобщенную расстройку параллельного RLC контура?

16 Как определить абсолютную полосу пропускания SA?

17 Как связана добротность контура с его полосой пропускания?

18 Источник гармонического напряжения величиной 1 В подключен к последовательному RLC контуру. Чему равняется напряжение на индуктивности на частоте резонанса?

19 Источник гармонического напряжения величиной 1 В подключен к последовательному RLC контуру. Чему равняется напряжение на емкости, если 20 Источник гармонического напряжения величиной 1 В подключен к последовательному RLC контуру. Чему равняется напряжение на индуктивности, 21 Источник гармонического напряжения величиной 1 В подключен к последовательному RLC контуру. Чему равняется напряжение на индуктивности, 22 Источник гармонического тока величиной 1 A подключен к параллельному GCL контуру. Чему равняется ток в проводимости IG, если = 0?

23 Источник гармонического тока величиной 1 A подключен к параллельному GCL контуру. Чему равняется ток в индуктивности IL, если = 0?

24 Источник гармонического тока величиной 1 A подключен к параллельному GCL контуру. Чему равняется ток в емкости IС, если = 0?

25 Что является условием резонанса в электрической цепи?

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПО ФУРЬЕ

1 Что называется периодическими колебаниями?

2 Что определяет постоянная составляющая периодического колебания?

3 Как определить частоту первой гармоники?

4 Что характеризует период колебания?

5 Что называется спектром амплитуд?

6 Что называется спектром фаз?

7 Что такое скважность периодического сигнала?

8 Какой спектр имеет негармоническое периодическое колебание?

9 Какой принцип ТЭЦ применяется для рассмотрения воздействия в виде периодического негармоничного колебания?

10 Какой метод расчета цепей применяется при воздействия в виде периодических колебаний?

11 Чему равняется постоянная составляющая напряжения на резистивном элементе, если периодический ток і(t) = 5 + 5sin(103t) проходит через последовательную RC цепь?

12 Как изменяется сопротивление индуктивности с ростом номера гармоники?

13 Как изменяется сопротивление емкости с ростом номера гармоники?

14 Как изменяется проводимость индуктивности с ростом номера гармоники?

15 Как изменяется проводимость емкости с ростом номера гармоники?

16 Какая связь между периодом колебания и расстоянием между спектральными линиями?

17 Как вычислить амплитуду k-той гармоники отклика, если известна АЧХ 18 Как вычислить начальную фазу k-той гармоники отклика, если известна 19 В каком виде записывается отклик цепи на периодическое воздействие?

20 Как записать величину действующего значения напряжения периодического колебания?

21 Как записать величину действующего значения тока периодического колебания?

22 Какой вид имеет ряд Фурье?

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

1 Какие двухполюсники являются реактивными?

2 Какие двухполюсники являются линейными?

3 Какие двухполюсники являются неавтономными?

4 Какие двухполюсники являются пассивными?

5 Как верно записать уравнение двухполюсника?

лестничными?

7 Какие двухполюсники являются подобными?

8 Какие двухполюсники являются обратными?

9 Какие двухполюсники являются эквивалентными?

11 Сколько классов реактивности представляют реактивные двухполюсники?

12 Чему эквивалентен множитель Н в формуле Фостера, если двухполюсник класса …?

13 Чему эквивалентен множитель Н в формуле Фостера, если двухполюсник класса 0…0?

14 Чему эквивалентен множитель Н в формуле Фостера, если двухполюсник класса 0…?

15 Чему эквивалентен множитель Н в формуле Фостера, если двухполюсник класса …0?

16 Какая схема реактивного двухполюсника называется канонической?

17 Какая связь между количеством резонансных частот и количеством элементов в канонической схеме реактивных двухполюсников?

18 Какая связь между количеством элементов в канонической схеме реактивных двухполюсников и количеством нулей и полюсов (суммарных) функции сопротивления?

19 Что является критерием оценки класса реактивности двухполюсников?

20 Какой вид имеет частотная зависимость сопротивления реактивного двухполюсника?

21 Как выглядит формула Фостера реактивного двухполюсника, если в частотной характеристике первый резонанс напряжений, а всего имеется четыре резонанса?

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Задача 1 Нахождение спектров периодического Пусть u(t) является периодической последовательностью однополярных П-импульсов напряжения: U = 10 В, tи = 0,2 мс, Т = 1 мс.

Требуется определить спектр этого колебания.

Подставив численные значения в формулы (4.10), (4.11), (4.12), получим:

для постоянной составляющей для первой гармоники (k = 1) для второй гармоники (k = 2) для третьей гармоники (k = 3) Таким образом, разложение u(t) в ряд Фурье согласно (4.4) для принятых численных значений приобретает следующий вид:

u (t ) = 2 + 3,74 sin 1t + 35,8° + 3,02 sin 2 1t + 71,8° + 2,02 sin 3 1t 71,8°, В.

На рис. 1.1 изображены АЧС (а) и ФЧС (б) соответственно, построенные согласно разложению в ряд Фурье (4.4).

Дана цепь рис. 2.1 с источником напряжения u(t) и нагрузкой Rн.

На RL цепь (рис. 2.1) подано негармоническое периодическое напряжение u(t) = U0 + Um1sin1t + Um3sin(31t + 3). Требуется определить напряжение uвых(t) на резисторе Rн, а также активную мощность Р на выходе цепи при следующих численных значениях параметров цепи и сигнала u(t):

Um3 = 20 В, 1 = 5104 рад/с, 3 =50.

1) Расчет отклика цепи на постоянную составляющую напряжения U0.

В этом случае индуктивность L в цепи рис. 2.1 заменяем на короткое замыкание (КЗ), так как при постоянном воздействии сопротивление индуктивности равно нулю (рис. 2.2).

Произведем расчеты:

где U0вых – постоянная составляющая выходного напряжения uвых(t).

u1(t) = Um1sin1t = 15sin 510 t, В.

Применим символический метод, согласно которому гармоническое напряжение u1(t) (первую гармонику) заменяем комплексной амплитудой входной ток i(t) цепи и ток в нагрузке iн(t) также заменяем комплексными амплитудами I m1 и I mн соответственно.

На основании закона Ома получим:

Переходим от комплексной амплитуды первой гармоники выходного напряжения U вых1 к мгновенному значению этого напряжения u1вых(t) согласно символическому методу:

u3(t) = Um3 sin(31t + 3) = 20 sin(31t + 50) (В).

Выполняем этот расчет так же, как и в пункте 2, с той лишь разницей, что сопротивление индуктивности будет в три раза больше.

а u3вых(t) = 4,096 sin(31t – 13,3) В – мгновенное значение напряжения на выходе для третьей гармоники.

4) На основании принципа суперпозиции, напряжение на выходе цепи 5) Расчет действующего значения напряжения на выходе цепи.

Согласно (4.10) получим:

6) Расчет активной мощности Р на выходе цепи.

Так как на выходе цепи включена резистивная нагрузка, то действующее значение тока в ней Тогда Задача 3 Определение отклика цепи на периодическое негармоническое воздействие по известным АЧХ и ФЧХ цепи На вход четырехполюсника подведено периодическое негармоническое воздействие u вх (t ) = 2 + 1,5cos(1t + 70 ° ) + 1,2cos(21t + 270° ) + 0,9cos(31t 80 ° ). (3.1) Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики четырехполюсника изображены на рис. 3.1.

Определить временню зависимость uвых(t); изобразить спектр амплитуд и фаз входного и выходного воздействия; изобразить временную диаграмму uвых(t).

Выходное напряжение определим по формуле Выходное напряжение содержит постоянную составляющую и первую гармонику, так как, исходя из АЧХ, H (2 1 ) = H (3 1 ) = 0.

Введем обозначения:

На основании формул (3.1) и (3.2) изобразим спектры амплитуд и фаз входного и выходного напряжений на рис. 3.2.

Временные диаграммы выходного напряжения построим на основании формулы (3.2). На рис. 3.3, а и б приведены временные диаграммы постоянного Е0 и гармонического е(t) напряжений, а на рис. 3.3, в – суммарный график uвых(t).

Рисунок 3.2 – АЧХ и ФЧХ входного (а и б) и выходного (в и г) напряжений Рисунок 3.3 – Временные диаграммы выходного напряжения:

а – постоянная составляющая; б – первая гармоника; в – результирующая Задача 4 Расчет частотных характеристик АЧХ и ФЧХ На входе и выходе четырехполюсника напряжения записаны в виде u вх (t ) = 1,0 + 0,8cos (1t + 30° ) + 0,5cos (21t 70° ) + + 0,3cos( 31t +160° ) + 0,15cos( 41t 10° ) Определить значения АЧХ (Н()) и ФЧХ (()) на соответствующих частотах. Построить графики этих функций.

Амплитудно-частотная характеристика четырехполюсника H () =,а фазочастотная характеристика () = вых вх на соответствующих частотах.

Определим эти значения на частотах 0, 1, 2 1, 3 1 и 4 1. Результаты расчетов сведены в таблицу 4.1.

Таблица 4. По данным таблицы 4.1 построены графики Н() и (), приведенные на рис. 4.1.

Рисунок 4.1 – Частотные характеристики Н() (а) и () (б) Задача 5 Связь входных и выходных спектров сигналов Частотные характеристики четырехполюсника представлены на рис. 4.1 и в таблице 4.1. Выходное напряжение Определить входное напряжение; изобразить спектры амплитуд и фаз входного и выходного воздействий; построить временню диаграмму гармонической составляющей выходного напряжения с частотой 4 1.

Амплитуда и фаза соответствующей гармонической составляющей на выходе четырехполюсника определяется в результате деления амплитуды спектральной составляющей выходного воздействия на значение АЧХ и вычитается из фазы выходного воздействия значения ФЧХ цепи. Проделав указанные действия, находим:

Спектры амплитуд и фаз входного и выходного напряжений приведены на рис. 5.1 и 5.2.

Рисунок 5.1 – АЧС (а) и ФЧС (б) входного напряжения Рисунок 5.2 – АЧС (а) и ФЧС (б) выходного напряжения Гармоническая составляющая выходного напряжения с частотой u 4 (t ) = 2cos(41t 180° ). Времення диаграмма этого напряжения приведена на рис. 5.3.

На рисунке 6.1, а приведена схема двухполюсника, величины элементов которого L1 = 0,1 Гн, C2 = 0,06 мкФ, R3 = 2 кОм, L4 = 0,06 мГн, R5 = 500 кОм.

Найти двухполюсник, подобный данному, с коэффициентом подобия k = 3.

Рисунок 6.1 – Подобные двухполюсники с коэффициентом подобия k = 3:

Схема двухполюсника, подобного данному, имеет вид такой же, как и исходная схема. Величины индуктивностей и сопротивлений необходимо увеличить в k раз, а емкостей – уменьшить в k раз. В результате получим искомый подобный двухполюсник, приведенный на рис. 6.1, б величины элементов которого соответственно равны R3 = 6 кОм; L4 = 0,18 мГн; R5 = 1,5 кОм.

На рисунке 6.1, а приведена схема RLC двухполюсника с величинами L1 = 0,1 Гн; C2 = 0,06 мкФ; R3 = 2 кОм; L4 = 0,06 мГн; R5 = 500 кОм. Найти схему обратного двухполюсника с коэффициентом обратности R0 = 10 6 [Ом]2.

Процедуру нахождения искомого двухполюсника разобьем на несколько этапов. На первом этапе найдем двухполюсник, дуальный данному (см. модуль 1). На втором выполним пересчет элементов по формулам: L = C R0 ; C = 2 ;

, где L, C и R – величины элементов исходной схемы; L, C и R – соответствующие элементы схемы обратного двухполюсника. Двухполюсник, обратный данному, приведен на рис. 7.1.

Рисунок 7.1 – Схема двухполюсника, обратного схеме рис. 6.1, а Для получения обратного двухполюсника с коэффициентом обратности = 10 6 Ом величины элементов этой схемы должны быть соответственно равны:

На рис. 8.1 приведена схема двухполюсника, в котором Z 1 имеет вид схемы рис. 6.1, а, R = 1000 Ом.

Определить двухполюсник, дополняющий данный, по сопротивлению до величины 1000 Ом.

Известно, что дополняющий двухполюсник имеет вид рис. 8.1, б. В этом двухполюснике Z2 должен быть обратным двухполюсником по отношению к Z с коэффициентом R02 = 106 Ом. Такой двухполюсник найден в задаче 7. Если теперь в схемах рис. 8.1, а и б заменить соответственно Z1 и Z2 схемами двухполюсников рис. 6.1, а и рис. 7.1 и соединить их последовательно, то сопротивление полученного двухполюсника будет равно R на всех частотах.

Заметим, что в этом сплошном RLC двухполюснике, содержащим шесть реактивных элементов, имеет место всеволновый резонанс, так как его входное сопротивление равно R и, следовательно, входной ток и напряжение на зажимах этого двухполюсника являются синфазными гармоническими функциями на всех частотах.

На схеме рис. 9.1 приведена схема реактивного двухполюсника.

Определить для него график сопротивления, комплексное сопротивление Z(j) и величину Н.

Рисунок 9.1 – Схема реактивного двухполюсника:

На рис. 9.1, б приведена каноническая схема двухполюсника, полученная из схемы рис. 9.1, а путем замены последовательных и параллельных соединений однотипных элементов эквивалентными. Здесь: C1Э = ;

Двухполюсник рис. 9.1, б содержит семь реактивных элементов и является двухполюсником класса (…0) (Z(0) =, Z() = 0). Количество резонансных частот равно четырем. Первым и третьим резонансами являются резонансы напряжений, вторым и четвертым – резонансы токов. Частоты резонансов токов и напряжений чередуются. Качественный график данного двухполюсника приведен на рис. 9.2.

Из соответствующей теории Фостера следует, что комплексное сопротивление Z(j) данного двухполюсника можно представить в виде:

где НС – эквивалентная емкость при, когда в схеме рис. 9.1, б индуктивности в режиме ХХ (обрыв), остаются три емкости – СЭ1, С3, СЭ соединенные последовательно:

1 и 3 – частоты резонансов напряжений; 2 и 4 – частоты резонансов токов.

Неканоническая схема реактивного двухполюсника приведена на рис. 10.1, а. Определить, Z(j) данного двухполюсника и величину Н.

Путем эквивалентных преобразований приведем исходный двухполюсник к каноническому виду. Для этого заменим эквивалентными последовательные и параллельные соединения однотипных элементов рис. 10.1, б. На этой схеме штрихами, является двухполюсником, построенным в соответствии с первой схемой Фостера, который заменим потенциально эквивалентным двухполюсником, построенным в соответствии со второй схемой Фостера (или первой схемой Кауэра) рис. 10.1, в. В схеме рис. 10.1, в емкости С1 и С заменим эквивалентной СЭ 2 =, и в результате получим каноническую схему, эквивалентную искомой рис. 10.1, г.

Для этой схемы график приведен на рис. 10.2.

На рис. 11.1 приведены характеристические оси сопротивлений реактивZ( ) ных двухполюсников. Изобразить графики ; записать формулы Z(j) с указанными резонансными частотами; определить потенциальноэквивалентные схемы и значения величин Н в этих схемах.

Рисунок 11.1 – Расположение резонансных частот Данные задачи предлагаем решить самостоятельно, используя материалы данного пособия.

Редактор И. В. Ращупкина Компьютерное макетирование Ж.А. Гардыман