«КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. И. ВОДОПЬЯНОВ, А. Н. САВКИН О. В. КОНДРАТЬЕВ КУРС ...»

Проектный. Из условия прочности (7.11) находят необходимое значение момента сопротивления. Размеры нестандартных сечений (круг, прямоугольник…) округляют в соответствие с ГОСТом. Стандартные прокатные профили выбирают из таблиц сортамента. Если размер сечения выбран меньше требуемого, то выполняют поверочный расчет. Перегрузка более 5 % не допускается.

Определение допускаемой нагрузки. При известных характеристиках прочности материала и заданном размере поперечного сечения определяют допускаемое внутреннее усилие (изгибающий момент), а затем, исходя из схемы нагружения, находят допускаемые внешние силовые факторы.

Если сечение несимметрично относительно оси z (трапецеидальное, треугольное, тавровое…), а также при использовании хрупкого материала (чугун, керамика…), условие прочности проверяют отдельно по максимальным и минимальным напряжениям, используя формулу (7.9).

7.6. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

От поперечной силы Qy в поперечном сечении возникают касательные напряжения у. Для их определения приняты следующие гипотезы.

Касательные напряженияу параллельны поперечной силе Qy и соответственно оси 0у.

Касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения на любом уровне их определения, задаваемом ординатой у.

Для определения нормальных напряжений используют выражения, выведенные для случая чистого изгиба.

Д. И. Журавским предложена формула где Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

S z – статический момент площади отсеченной части сечения относительно центральной оси;

b – ширина сечения на уровне исследуемой точки;

Iz – момент инерции сечения относительно центральной оси.

Знак касательных напряжений у определяется знаком поперечной силы Qy.

Пример 7.3. Построить эпюру для прямоугольного сечения.

h/ h/ Sz изменяется по параболической зависимости (координата у во второй степени) и определяет характер изменения напряжения :

При у = h/2 (на периферии) = 0.

Пример 7.4. Построить эпюру для круглого сечения.

Касательные напряжения переменны по высоте, вызывают искривление поперечного сечения, причем в тем большей степени, чем больше, то есть в центральной части сечения больше, на периферии – меньше. Следовательно, гипотеза плоских сечений, на которой основывался вывод формулы нормальных напряжений, неприменима. Однако это искривление почти не отражается на продольных деформациях волокон, что позволяет пользоваться формулой = z y и при наличии поперечной силы.

Пример 7.5. Оценить соотношение нормальных и касательных напряжений при поперечном изгибе.

Для консольной балки прямоугольного сечения максимальные нормальные напряжения Сопоставив эти напряжения, получим Аналогичное соотношение для круглого поперечного сечения:

Отметим, что max и max действуют в разmax ных точках сечения: max на периферии, в точках наиболее удаленных от нейтральной оси, z где = 0; max – в центре, на нейтральной оси, где = 0. Для приведенного выше примера в опасном сечении (в защемлении) эпюры распределения нормальных и касательных напряжений показаны на рисунке.

По мере укорочения длины пролета или участка балки роль момента, а, следовательно, и нормальных напряжений, снижается (в рассмотренном примере М зависит от длины, а Q – постоянна). Превалирующими в этом случае могут оказаться касательные напряжения. В сложившейся практике подбор размеров поперечного сечения выполняют по максимальным нормальным напряжениям (как при чистом изгибе), а проверку прочности проводят по максимальным касательным. В двутавровом сечении балки Рис. 7.6. Особенности проверки прочности балки момент отсеченной части площади А (на рис. 7. 6 заштрихована) находят как Эквивалентные напряжения в точке К вычисляют по теориям прочности. Линия 1 на эпюре касательных напряжений отражает закон распределения, рассчитанных для ширины сечения d, а линия 2 – ширины сечения b. Размеры отличаются примерно в 20 раз, чем и обусловлен скачок напряжений в окрестности точки К.

8. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

В общем случае нагрузка на брус может быть такой, что в его поперечных сечениях возникает одновременно несколько внутренних усилий.

Такой случай рассматривают как комбинацию простых видов сопротивления и называют сложным сопротивлением.

Расчеты на прочность и жесткость бруса при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе независимости действия сил (суперпозиций), при котором каждый из простых видов сопротивления рассматривают независимо от остальных. Полные напряжения и деформации, возникающие в упругой системе, определяют путем геометрического сложения напряжений и перемещений, соответствующих простым видам сопротивления.

В зависимости от сочетания внутренних усилий сложное сопротивление условно подразделяют на три вида: косой изгиб, изгиб с растяжением, а также изгиб с кручением.

Косой изгиб – частный случай сложного сопротивления, при котором силовая плоскость не совпадает с главными плоскостями инерции.

Рис. 8.1. При въезде автомобиля на наклонную плоскость линия действия силы F не совпадает ни с одной из главных Рис. 8.2. В начале движения мостового крана вдоль пролета цеха, и при его торможении возникает горизонтальная сила В общем случае косого изгиба в поперечных сечениях возникают четыре внутренних усилия: две поперечные силы Qz, Qy и два изгибающих момента Mz, My. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость при расчете длинных балок часто пренебрегают ввиду их малости. Так, для прямоугольника и круга соответственно max = 4 = 6 (см.

разд. 7, п. 7.6). В дальнейшем будем учитывать только изгибающие моменты.

Изгибающий момент М (рис. 8.3, а) в сечении раскладывают на две его составляющие, действующие в главных плоскостях инерции M z = M cos и M y = M sin (рис. 8.3, б).

От каждого из внутренних усилий возникают нормальные напряжения, приложенные к одной паре площадок. Две другие пары площадок свободны от напряжений. Имеет место линейное напряженное состояние.

Нормальные напряжения в произвольной точке с координатами z, y определяют суммой напряжений от моментов Mz, My (рис. 8.3, в):

Из рисунка следует, что опасными являются точки, в которых складываются напряжения с одним знаком, то есть точки A и C:

Рис. 8.3. Взаимное положение силовой плоскости и главных плоскостей инерции при косом изгибе (а); внутренние усилия в произвольном сечении бруса (б);

характер распределения напряжений в произвольном сечении бруса (в);

напряженное состояние в произвольных точках поперечного сечения бруса (г) Правила знаков: из анализа знаков напряжений (рис. 8.3, г) следует, что для получения верного результата по формулам (8.1) и (8.2) необходим как учет знака изгибающего момента, так и выбор (назначение) направления координатных осей в сечении.

Направление координатных осей следует выбирать так, чтобы в первом квадранте координатной системы z0y (где z > 0; y > 0) изгибающий момент вызывал растягивающие напряжения.

III I II

II I III

Рис. 8.4. Примеры выбора направления координатных осей при косом изгибе В уравнении (8.2), связывающем напряжение в произвольной точке с ее координатами, переменными являются координаты z, y. Поскольку они в первой степени, то, следовательно, напряжения распределяются по линейному закону и должна быть линия, на которой напряжения равны нулю.

Нейтральная линия (нейтральная ось) – геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю.

то есть уравнение прямой с угловым коэффициентом где собственно угловой коэффициент вычисляют 1. Свободный член уравнения (8.3) равен нулю, следовательно, прямая проходит через начало координат. Нейтральная линия разделяет сечение на сжатую и растянутую области.

имеют разные знаки, следовательно, разных плоскостях. Углы и отБазисная перпендикулярны (см. рис. 8.3, в).

Поскольку напряженное состояние линейное (рис. 8.3, г), результаты расчета по любой из гипотез прочности совпадают. Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Их положение определяют графически после построения нейтральной линии (рис. 8.3, в).

Условие прочности, вытекающее из уравнения (8.1):

Условие прочности, вытекающее из уравнения (8.2):

то есть такое же как при плоском изгибе, но с множителем в скобках бльшим единицы.

Выполняют три вида расчетов: поверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки.

Проектный расчет. Требуемый размер поперечного сечения находят из условия прочности (8.6):

Искомый параметр находится по обе стороны от знака неравенства.

Полученное уравнение – трансцендентное, то есть не могущее быть выраженным алгебраическим выражением. Такие уравнения решают методом итераций, то есть методом последовательных приближений.

Для стандартного прокатного профиля (двутавра, швеллера…) отношение W z W y зависит от размеров профиля. Так, для двутавров от № до № 60 отношение W z W y изменяется в диапазоне от 6,12 до 14,07. Поэтому в первом приближении принимают среднее число из указанного диапазона (например, 10). Подбирают профиль, а затем выполняют поверочный расчет. Следующая проба – уточненная. Перегрузку max выше 5 % не допускают.

размер двутавра для консольной ной нагрузкой. Дано:

Решение. Из условия прочности при косом изгибе:

требуемый момент сопротивления где Mmax= q /2 = 5·4/2 = 10 кН·м;

Принимаем двутавр № 18: Wz = 143 см3; Wy = 18,4 см3.

Недогрузка Принимаем двутавр № 16: Wz = 109 см3; Wy = 14,5 см3.

Перегрузка Напряжения при плоском изгибе, то есть при = Сопоставление напряжений при косом и плоском изгибах:

Вывод: напряжения при косом изгибе больше, чем при плоском изгибе в 2,29 раз. Косой изгиб опаснее плоского.

размеры поперечного сечения деF ревянной балки с отношением высоты к ширине с = h/b = 2. Дано:

ности при косом изгибе:

требуемый момент сопротивления Из эпюры моментов Mmax= F· = 2·3 = 6 кН·м. Тогда Принимаем: b = 0,12 м, h = 0,24 м. Выполняем поверочный расчет:

Вывод: косой изгиб опаснее плоского.

Пример 8.3. Подобрать размеры прямоугольного сечения балки с отношением высоты к ширине h/b = 1,6. Материал балки сталь 40 (т = 340 МПа). Дано: F = 10 кН; q = 30 кН/м; а = 1,3 м; с = 1,5 м.

Решение. Имеем разновидность косого изгиба, при котором оба силовых фактора действуют в разных главных плоскостях инерции (рис. а).

Внутренние усилия определяем методом сечений (рис. б и в), начиная со свободного конца, чтобы избежать процедуры определения опорных реакций в защемлении (в общем случае их шесть).

qс 2 сжатие – в точках A и D. Распределенная нагрузка деформирует балку так, что растягивающие напряжения возниMy пряжения с одним знаком: точки В и D. Условие прочности bD имеет вид:

где изгибающие моменты а моменты сопротивления Назначим допускаемое напряжение, выбрав [nт] из диапазона [nт] = 1,3-2, Перепишем условие прочности в виде:

откуда требуемое значение ширины сечения b 3 = 0,0989 м ;

Принимаем: ширина сечения b = 0,1 м, высота сечения h = 1,6·0,1= 0,16 м.

С использованием универсального уравнения упругой линии (метода начальных параметров) или энергетического метода для некоторых случаев плоского изгиба найдено максимальное значение прогиба – стрела прогиба f.

Деформацию балок при косом изгибе определяют путем геометрического сложения векторов прогибов в направлениях главных центральных осей инерции.

то есть так же, как и при плоском изгибе, но с множителем (корнем), бльшим единицы.

Положение плоскости изгиба (направление перемещения центра тяжести сечения) определяется углом :

прогиба Линия При установке на опоры двутавра № 60, предназначенного для работы на изгиб в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка, и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол = 1°. Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба плоском изгибах В случае плоского изгиба балка прогибается в вертикальном направлении на величину fy. При косом изгибе величина полного прогиба f z2 + f y. От вертикального направления балка отклоняется на угол, ставит:

Ответ: напряжения увеличились на 24,5, а полный прогиб – на 26,6 %.

Изгиб с растяжением – частный случай сложного сопротивления, при котором на брус действуют продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса.

В общем случае в поперечных сечениях возникают пять внутренних усилий: действующие в двух плоскостях изгибающие моменты Mz, My, поперечные силы Qz, Qy, а также продольная сила N. Возникает сложный изгиб с растяжением или сжатием.

Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил Qz, Qy (для длинных балок с отношением /h > 10 их влияние незначительно), можно считать напряженное состояние в опасных точках линейным.

Внецентренное растяжение – частный случай изгиба с растяжением, при котором брус растягивается силами, параллельными оси бруса так, что их равнодействующая не совпадает с осью бруса, а проходит через точку Р, называемую полюсом силы.

Рис. 8.6. Примеры деталей и узлов, работающих при внецентренном нагружении:

а – болт-костыль; б – пружина сцепления; в – сварное соединение В произвольном сечении х бруса (рис.8.7, а) методом сечений определяем внутренние усилия Отличны от нуля три внутренних усилия (рис. 8.7, б), от которых возникают нормальные напряжения, действующие по одной из трех пар граней (рис. 8.7, в); две другие пары граней свободны от напряжений. Имеет место линейное напряженное состояние. Напряжения в произвольной точке являются суммой трех слагаемых Учитывая, что отношение i = – радиус инерции сечения, получим О правиле знаков внутренних усилий. Формула (8.10) выведена для случая положительной растягивающей силы N и изгибающих моментов Mz, My, вызывающих растягивающие напряжения в точке, принадлежащей первой четверти осей координат (где x > 0 и y > 0). Поэтому оси координат поперечного сечения бруса следует направлять так, чтобы полюс P (точка приложения силы) находился в первом квадранте. Если сила, приложенная к брусу, сжимающая, то ее числовое значение будет со знаком минус.

1. Отсутствие координаты х свидетельствует о неизменности напряжений вдоль оси бруса.

2. В случае приложения силы в центр тяжести сечения (zP = 0, yP = 0) напряжения в любой точке сечения постоянны и равны = F/A, то есть центральное растяжение является частным случаем внецентренного.

3. Независимо от значений координат полюса Р напряжение в центре тяжести сечения (yцт =0, zцт = 0), цт = F/A.

4. Переменные z и y в первой степени, следовательно, формула (8.10) является уравнением прямой и нормальные напряжения распределяются по линейному закону, значит должна быть нейтральная линия, на которой напряжения равны нулю.

Нейтральная линия (нейтральная ось) – геометрическое место точек, в которых нормальное напряжение в поперечном сечении равно нулю.

Приравняем нулю уравнение (8.10). Поскольку F/A 0, то выражение в скобках равно нулю следовательно, нормальные напряжения приведем к виду уравнения прямой в отРис. 8.8. Уравнение прямой в отрезках, где a и b – отрезки, отсекаемые резках и график прямой линии, линией на осях координат. В нашем слу- известные из школьного курса чае уравнение нейтральной линии будет записано как Свободный член полученного уравнения не равен нулю, следовательно, нейтральная линия через начало координат не проходит. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях y и z, соответственно равны:

По найденным значениям отрезков проводят нейтральную линию и находят точки В и С, наиболее удаленные от нее (рис. 8.9). Выполняют это простым геометрическим построением, проводя касательные к сечению, параллельные нейтральной оси. Найденные точки – опасные, поскольку напряжения в них наибольшие по величине.

Рис. 8.9. Эпюра напряжений тяжести цт = F/A (рис. 8.9), поскольку yцт = 0 и zцт = 0 (подставьте в (8.10)).

Нейтральная линия может разделять поперечное сечение на области, в которых действуют напряжения разных знаков. Некоторые материалы (чугун, силумин, керамика, кирпичная кладка…) хорошо сопротивляются сжатию и плохо – растяжению. Поэтому необходимо уметь определять такую область приложения нагрузки, в которой не возникают напряжения разных знаков.

Ядро сечения – область вокруг центра тяжести сечения, при приложении нагрузки внутри которой, напряжения во всем сечении будут одного знака.

yн.л отрезков нейтральной линии для соответствующие им координаты точек ядра сечения (точки 1, 2, 3):

Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на другую (например, от н.л 3 к н.л 4) она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы перемещается по прямой (на рис. 8.10 отрезок 3 – 4), образуя контур ядра.

Пример 8.4. Построить ядро сечения для круга диаметром d.

Решение. Квадрат радиуса инерции круга:

Задаем положение нейтральной линии 1–1, касательной к окружности. Ее координаты:

Координаты точки ядра сечения:

Из симметрии сечения относительно его центра тяжести следует, что при других положениях нейтральной линии на окружности диаметром d точки ядра сечения образуют концентрический с ней круг диаметром d/4.

Пример 8.5. Построить ядро сечения для прямоугольника с размером сторон bh.

Решение. Квадраты радиусов инерции:

сательной к верхней грани прямоугольника. Ее координаты: zн.л 1 = ; yн.л1 = h/2. Координаты соот- b ветствующей точки ядра сечения:

Аналогично для нейтральной линии 2-2: zн.л 2 = b/2; yн.л 2 =.

Учитывая симметрию прямоугольного сечения относительно осей z и y, задаем положения нейтральных линий на противоположных сторонах прямоугольника и получаем еще две точки. Соединяя все точки, получаем ядро сечения в виде ромба с диагоналями, равными h/3 и b/3.

III III

I-I Расчет на прочность при внецентренном нагружении Поверочный расчет выполняют, используя условие прочности Проектный расчет обладает особенностью, связанной с тем, что геометрические характеристики, входящие в условие прочности содержат искомый размер поперечного сечения в разной степени. Площадь А измеряется в м2, а моменты сопротивления W в м3. Попытка выразить искомый размер из условия прочности приводит к трансцендентной функции, то есть аналитической функции, не являющейся алгебраической.

Проектный расчет выполняют методом итераций1 [от лат. iteratio – повторение]. В первом приближении, пренебрегая одним из внутренних усилий, – продольной силой N – подбирают размер сечения только из условия прочности при изгибе. Полученный размер подставляют в исходное уравнение и выполняют следующую пробу. Процесс повторяют до тех пор, пока невязка – разность размеров последующей и предыдущей проб, не достигнет заданной наперед малости.

Пример 8.7. (Винокуров А. И. Сборник задач … 5.35).

скного клапана. При расчете использовать p = 1,5 МПа; e = 12 мм;

усилие F в момент открывания клапана в D = 35 мм; [] = 210 МПа конце рабочего хода поршня.

По обе стороны от знака неравенства искомый диаметр – имеем трансцендентное уравнение, которое решаем методом приближений:

Метод последовательных приближений, при котором каждое новое приближение вычисляют исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно.

Разность между последним и предпоследним приближениями Процесс подбора прекращаем, принимаем d = 10 мм.

Напряжения изгиба больше напряжений растяжения в Пример 8.8. (Винокуров А. И. Сборник задач … 5.38.).

Размер h в обеих части неравенства. Полученное уравнение – трансцендентное. Решаем его методом последовательных приближений. В первом приближении принимаем h в скобках под корнем равным нулю: h0 = 0.

Тогда Невязка подбора Невязка подбора Последняя невязка менее 1 %, поэтому выходим из цикла подбора.

Принимаем h = 103 мм.

Сопоставим вклады от изгиба и растяжения в общее напряжение:

Напряжения от изгиба в 8,24 раза превышают напряжения от растяжения. Полученное соотношение можно сделать более благоприятным снизив долю растягивающих напряжений от изгиба за счет уменьшения плеча е изгибающего момента. На практике применяют тавровое и двутавровое сечения, смещая центр тяжести с ближе к линии действия силы и располагая больше материала в области растягивающих напряжений, к которым хрупкие материалы более чувствительны.

Линия действия силы Изгиб с кручением – вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении бруса возникают изги- х бающие и крутящий моменты.

Рассмотрим случай, при котором внешние силы располагаются в плоскости поперечного сечения, но не пересе- F кают геометрическую ось х (рис. 8.12, щие Fz, Fy. Методом сечений определим чении х (рис. 8.12, б).

динатные оси и составив уравнения осей, найдем внутренние усилия. Из шести внутренних усилий не равно ну- Рис. 8.12. Определение внутренних На выделенном элементе В (рис. 8.12, б) показаны действующие по его граням напряжения (рис. 8.13, а).

От поперечных сил и крутящего момента возникают каб сательные напряжения Qy, Qz, T. От изгибающих мо- ментов – нормальные напряжения и. Для длинных T валов и балок ( > 10 d) влиянием поперечных сил часто Рис. 8.13. Анализ напряженпренебрегают. Таким образом, учитывают только три момента: крутящий и два изгибающих. От них возникают три напряжения: одно касательное и два нормальных (рис. 8.13, б).

Расчет на прочность при изгибе с кручением Из рисунка 8.13, б следует, что в произвольном сечении возникает плоское напряженное состояние Как при изгибе, так и при кручении круглого сечения опасными являются точки на периферии. Для круга и кольца Условие прочности для пластичных материалов по III теории прочности (наибольших касательных напряжений): экв = 1 3 [], где Тогда Поскольку для круглого и кольцевого сечений не существует точки, одинаково удаленной от обеих осей инерции z, y, то используют результирующий момент – геометрическую сумму векторов изгибающих моментов относительно осей z, y:

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения:

Мприв – приведенный момент, действие которого эквивалентно совместному действию My, Mz, T в соответствии с используемыми теориями прочности.

По III теории прочности (наибольших касательных напряжений) По IV теории прочности (энергетической) Приведенного момента в действительности не существует, изобразить его нельзя, вектора он не имеет. Величина приведенного момента зависит от используемой теории прочности. Результаты расчетов по III и IV теориям прочности близки, отличаются примерно на 5–10 %.

Пример 8.9. (Вольмир А. С. Сборник задач … 6.52). Вал с кривошипом подвергается действию силы F = 3,5 кН. Определить диаметр вала по третьей теории прочности при [] = 160 МПа; = 50 см, а = 10 см.

откуда Округлив до большего значения, принимаем диаметр вала d = 50 мм.

9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ СИЛ

Нагрузка статическая – постоянная или изменяющаяся медленно так, что силами инерции вследствие ускорения, можно пренебречь.

Нагрузка динамическая – быстро меняющая свое значение или место приложения.

Метод расчета на динамическую нагрузку основан на принципе Даламбера: всякое движущееся тело можно рассматривать как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы тела на его ускорение (J = am), направленную в сторону, противоположную ускорению. Для определения динамических напряжений при ударе используют закон сохранения энергии.

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ

ем а тросом с площадью поперечного сечения A, изготовленным из материала с объемным весом. Определить наA, где g – ускорение свободного падения.

В покое статическое усилие Nст = Q. За счет движения с ускорением усилие возрастает в отношении Отношение динамического значения некоторого фактора (усилия, напряжения, перемещения) к соответствующему статическому значению этого фактора называют динамическим коэффициентом.

Напряжение в тросе Если учитывать вес троса, то внутренние усилия в нем:

Динамическое напряжение в тросе Условие прочности Удар – взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно возникают конечные изменения скорости соударяемых тел.

Приняты следующие допущения:

удар неупругий, то есть тела после соударения не отделяются друг от друга и движутся совместно. После соударения в некоторый момент времени скорость перемещения ударяющего груза становится равной нулю;

вид деформированной системы (эпюра перемещений) при ударе в любой момент времени подо- x F бен виду деформированного состояния системы при где х, д ин, х, с т – динамический и статический прогиб x,дин дин в произвольном сечении х; дин, ст – динамический и статический прогиб в точке соударения;

масса ударяемого тела считается малой по сравнению с массой ударяющего тела;

напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности так, что закон Гука при ударе сохраняет силу;

потерей части энергии, перешедшей в теплоту колебания, пренебрегают.

Груз Q, падая с высоты Н, деформирует систему на дин. Работа, совершаемая грузом Q на перемещении (Н+дин) Н – высота падения груза Q; дин – деформация стержня (балки) в месте соударения Сила, деформирующая стержень (балку) от момента соударения до остановки груза, изменяется от нуля до значения Qдин.

При этом потенциальная энергия упругой деформации стержня На основании закона сохранения энергии работа W внешних сил равна потенциальной энергии U системы: W = U Принимая допущения Qдин = Q K дин ; дин = ст Kдин, получим Решая уравнение относительно динамического коэффициента, получим Так как динамический коэффициент отрицательным быть не может, то При свободном падении тела

9.3. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ

Большинство деталей машин, энергетических установок, химических аппаратов испытывают переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени. В некоторых случаях доля циклической составляющей в общей нагрузке невелика и при расчетах на прочность не учитывается. В других случаях пренебрежение переменной составляющей нагрузки или ее неправильный учет приводит к авариям и разрушениям подчас с тяжелыми последствиями и человеческими жертвами.

Анализ случаев поломок машин свидетельствует о том, что большинство поломок (по литературным данным 80–90 %) происходит вследствие усталости металлов. Этот вид разрушения металлов наблюдается при повторном и повторно-переменном действии нагрузки.

Усталость – процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.

Выносливость – свойство материала противостоять усталости.

Весь диапазон чисел циклов, где возникает разрушение от переменных нагрузок, условно разбит на две области: малоцикловой и многоцикловой усталости.

Усталостное повреждение – необратимое изменение физикомеханических свойств материала объекта под действием переменных напряжений. Накопление повреждений начинается задолго до окончательного разрушения. Разрушение, как правило, наступает внезапно.

Усталостное разрушение – разрушение материала нагружаемого объекта до полной потери его прочности или работоспособности вследствие распространения усталостной трещины.

Усталостная трещина – частичное разделение материала под действием переменных напряжений.

В подавляющем числе случаев напряжение в элементах механических систем изменяется периодически. Законы изменения во времени t переменных напряжений могут быть различными, что обусловлено кинематикой механизма и взаимодействием движущихся систем. Некоторые виды циклов представлены на рис. 9.1.

Совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения Т называют циклом напряжений или просто циклом.

Циклом называют замкнутую однократную смену напряжений, проходящих непрерывный ряд значений.

Время Т, в течение которого протекает один цикл, называют периодом.

а – треугольный; б – трапецеидальный;в – гармонический;

г – результат сложения трех гармонических циклов с различной Максимальное напряжение цикла m a x – наибольшее по алгебра- Напряжение ическому значению напряжение цикла.

Минимальное напряжение цикла m i n – наименьшее по алгебраmax ическому значению напряжение цикла.

Среднее напряжение цикла m – постоянная составляющая цик-ла полусумме максимального и минимального напряжений цикла: Рис. 9.2. параметры цикла напряжений Амплитуда напряжений цикла a – наибольшее числовое положительное значение переменной составляющей цикла, равной алгебраической полуразности:

Коэффициент асимметрии цикла напряжений R – отношение минимального напряжения цикла к максималь- ному R = min.

употребительны симметричный и отнулевой циклы.

Симметричный цикл напряжений – цикл, у которого максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку R = –1.

Отнулевой цикл напряжений – знакопостоянный цикл напряжений, изменяющихся от нуля до максимума R = 0.

Кривая усталости и предел выносливости Кривая усталости – график, характеризующий зависимость между максимальными напряжениями max или амплитудами цикла a и циклической долговечностью N

I II III

Рис. 9.3. Характерные участки кривой (реже). Благодаря особенности логарифмической шкалы на ней можно отложить циклическую долговечность, исчисляемую как единицами, так десятками и сотнями миллионов циклов без потери физической сущности явления.

Зависимость между действующими напряжениями и числом циклов до разрушения имеет вид, называемый в литературе S-образным, что обусловлено наличием на кривой усталости двух перегибов и трех основных участков, отличающихся типом разрушения.

В пределах I участка происходит выделение и накопление односторонней деформации, приводящей к разрушению, по всем признакам аналогичному статическому растяжению. Из-за этого участок получил название участка (области) квазистатического разрушения. Протяженность I участка зависит от характеристик прочности и пластичности, коэффициента асимметрии цикла напряжений и составляет от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч циклов. При симметричном цикле напряжений (R = –1) участок I вырождается.

В пределах участка III остаточное удлинение и сужение почти отсутствуют ( 0, 0). Разрушение имеет хрупкий характер и происходит от усталостной трещины (усталостное разрушение). В некоторых случаях участок кривой усталости переходит в горизонтальную линию, соответствующую пределу выносливости R. Этот участок получил название участка (области) многоцикловой усталости.

Многоцикловая усталость – усталость материала, при которой усталостное повреждение или разрушение происходит в основном при упругом деформировании.

На участке II происходит переход от квазистатического типа разрушения (участок I) к усталостному (участок III). Для участка II характерны признаки двух типов разрушения: хрупкого от усталостной трещины и вязкого – от накопленной односторонней деформации. На фоне развитой шейки можно наблюдать трещины разной длины и степени раскрытия.

Этим участком ограничивается область малоцикловой усталости.

Малоцикловая усталость – усталость материала, при которой усталостное повреждение или разрушение происходит при упругопластическом деформировании..

Предел выносливости R – максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не происходит усталостное разрушение до базы испытаний (см. рис. 9.3). Для симметричного цикла R –1. Для отнулевого цикла R 0.

База испытаний – предварительно задаваемая наибольшая продолжительность испытаний на усталость. Для черных металлов принята база, равная 107 циклов; для цветных металлов – 108 циклов. Иногда для оценки усталостной прочности назначают другую базу испытаний, например 104 или 105. Тогда определяют ограниченный предел выносливости, соответствующий заданному числу циклов.

Предел выносливости определяют по результатам испытаний. Природа накопления усталостных повреждений такова, что результаты испытаний могут иметь значительный случайный разброс, на порядок и более.

Для получения достоверных характеристик прочности материала при циклическом нагружении требуется от нескольких десятков до нескольких сотен однотипных образцов. Метод трудоемок и продолжителен по времени.

Так, при испытании на изгиб с вращением при частоте нагружения n = 3000 об/мин для наработки базы испытаний 107 циклов одним образцом требуется 3333 минуты, или 55,5 часов, или 2,3 суток при безостановочной работе. Полный цикл испытаний занимает несколько недель или месяцев.

Разработаны ускоренные методы испытаний, а также предлагаются эмпирические зависимости, устанавливающие связь предела выносливости с характеристиками прочности и пластичности.

Расчеты на выносливость при переменном нагружении Из многочисленных факторов, влияющих на усталостную прочность, особо выделим следующие:

1) концентрация напряжений;

2) абсолютные размеры детали (масштабный фактор);

3) качество обработки поверхности и состояние поверхностного слоя;

4) состояние макро- и микроструктуры изделия;

5) состояние внешней среды: температура, облучение, агрессивность;

6) технологические методы упрочнения.

В связи с этим расчеты на усталость выполняют, как правило, поверочные. Вычисляют предел выносливости -1д реальной детали, ориентируясь на предел выносливости 1 лабораторного образца (гладкого, полированного), полученный в результате статистической обработки результатов экспериментов:

где К – коэффициент, учитывающий влияние перечисленных выше факторов. Вычисляют коэффициенты запаса прочности отдельно по нормальным напряжениям при растяжении или изгибе и по касательным напряжениям при кручении:

В случае одновременного действия нормальных и касательных напряжений общий коэффициент запаса прочности находят с учетом обоих частных коэффициентов Деталь считают работоспособной, если n [n]. Нормативный запас прочности [n] может зависеть от следующих факторов:

1) достоверной точности определения усилий и напряжений и напряжений;

2) однородности материала;

3) культуры производства и технологии изготовления детали;

В зависимости от перечисленных выше факторов выделяют три группы значений допускаемого коэффициента запаса прочности при расчетах на выносливость:

1) группа [n] = 1,3–1,5 назначается при повышенной точности расчета с использованием экспериментальных данных определения усилий для деталей, изготовленных из однородного материала при качественной технологии и высокой культуре производства (например, коленчатые валы);

2) группа [n] = 1,5–2 назначается при недостаточно полном объеме экспериментальной информации о нагрузках и прочности детали, при среднем уровне культуры производства, но в условиях систематического дефектоскопического контроля;

3) группа [n] = 2–3 назначается при малом объеме или отсутствии экспериментальной информации, высоком уровне производства.

10. ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

10.1. РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Приступать к выполнению задания необходимо лишь после изучения соответствующего учебного материала.

• Студенты заочного отделения выполняют работу на одной стороне листа формата А4 или в тетради чернилами, разборчивым почерком.

Титульный лист оформить согласно примеру. Студенты заочного обучения дополнительно указывают дату отсылки работы и точный почтовый адрес.

• Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие, составить аккуратно схему в масштабе и указать на ней величины, необходимые для расчета.

• Решение должно сопровождаться краткими и грамотными, без сокращения слов, пояснениями и чертежами; ссылкой на рисунки и использованную литературу. Необходимо избегать механического пересказа учебника.

• Все вычисления следует проводить с точностью до трех значащих цифр. Размеры подобранных сечений округлить согласно ГОСТу.

• Размерность величин, получаемых в результате вычислений, должна соответствовать Международной системе единиц (см. приложение П2).

• После выполнения контрольная работа предъявляется для проверки и защиты. При защите студент должен уметь решать задачи по соответствующим разделам курса. Работа должна быть выполнена в установленные графиком сроки и быть зарегистрированной в деканате не позднее недели до начала зачетно-экзаменационной сессии.

• В зависимости от специальности и объема курса преподаватель может варьировать количество контрольных задач.

Выбор варианта производится с использованием номера зачетной книжки по табл.10.1. Исходные для расчета данные выбирают из табл. 10. Предпоследняя цифра номера № варианта Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и кручении Задачи 1 и 2. Для заданных расчетных схем (рис. 10.1 и 10.2), выбранных в соответствии с шифром, выполнить расчеты на прочность и жесткость: определить внутренние силовые факторы по участкам и построить эпюры, определить положение опасного сечения, из условия прочности подобрать размеры поперечных сечений, определить деформации каждого из участков в отдельности, построить эпюры перемещения сечений.

Задача 3. Для стальной балки (рис. 10.3), подобрать поперечное сечение в нескольких вариантах исполнения: двутавровое, прямоугольное с отношением высоты к ширине h/b = 1,5, круглое и трубчатое c отношением d/D = 0,8. Варианты исполнения сопоставить по металлоемкости. Выполнить проверку прочности по касательным напряжениям.

Расчеты на прочность при сложном сопротивлении Задача 4. Для стального бруса с ломаной геометрической осью (рис. 10.4) определить внутренние усилия на каждом участке. Построить эпюры внутренних усилий (значения усилий в буквенном выражении), определить положения опасных сечений. Подобрать размеры поперечных сечений в виде прямоугольника с отношением сторон h/b = 2, круга и кольца с отношением диаметров d/D = 0,8. Размеры сечений округлить до стандартных значений.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Ступенчатый брус из стали Ст4 нагружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения сечений. Дано:

I. Определение внутренних усилий и напряжений. В защемлении возникает опорная реакция R (рис. П1.1, а), вычислять которую нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, проецируя силы на продольную ось бруса (см. пример 1.1). Строим эпюру внутренних усилий (рис. П.1.1, б).

Рис. П1.1. Схема нагружения стержня (а), эпюра внутренних усилий (б), эпюра напряжений (в), эпюра перемещения сечений (г) Проверка. Сечениям, к которым приложена сосредоточенная сила, на эпюре N соответствуют скачки на величину приложенной силы и в направлении ее действия:

Сечение f: Nf = (NII – NI) = (–13 – (–28)) = 15 кН = F2 (скачок в плюс) Определив напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок II. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет, поскольку они сопротивляются растягивающим и сжимающим нагрузкам одинаково.

II. Проектный расчет. Из условия прочности при растяжении находим требуемое значение площади поперечного сечения Допускаемое напряжение назначено согласно рекомендациям таблицы П1.

Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений (рис. П1.1, в).

III. Деформации бруса. Удлинения каждого из участков определим, используя закон Гука при растяжении:

Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выберем в сечении d, поскольку оно неподвижно (защемлено).

III II I

Строим эпюру перемещения сечений (рис. П1.1, г).

Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом брусе.

Из условия прочности подобрана площадь поперечного сечения опасного участка. Исходя из заданного соотношения площадей, вычислены площади поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков, построена эпюра перемещений сечений; полная длина бруса уменьшилась на 0,595 мм.

Ст5 с отношением диаметров D/d = 2 приложе- M = 15 кН; a = 0,6 м;

ны крутящие моменты, как показано на рисунке M = 22 кН; b = 0,8 м;

П1.2, а. Из условия прочности при кручении опре- M = 28 кН; c = 1,1 м;

закручивания.

I. Определение внутренних усилий и напряжений. В защемлении возникает опорный момент М (рис. П.1.2, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, составляя сумму моментов относительно продольной оси бруса (см. пример 1.3). Строим эпюру внутренних TI = –M1 = –15 кН·м;

TIII = –M1 – M2 = –15 – 22 = –37 кН·м;

Проверка. Сечениям, к которым приложена пара сила, на эпюре Т соответствуют скачки на величину приложенного момента и в направлении его действия. эпюра напряжений (в), эпюра углов Сечение h: Th = (TII – TI) = (–37 – (–15)) = –22 кН = M2 (скачок в минус) Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок I. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет.

II. Проектный расчет. Из условия прочности при кручении находим требуемое значение полярного момента сопротивления сечения Принимаем полученное значение диаметра вала, округлив до стандартного значения: d = 85 мм, D = 170 мм. Допускаемое напряжение для стали Ст при кручении назначено согласно рекомендациям таблицы П1.

Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений (рис. П2.2, в).

III. Деформации вала. Угол закручивания каждого из участков определим, используя закон Гука при кручении, вычислив предварительно полярные моменты инерции. Для участков II, III и IV они одинаковы.

Здесь G = 80 ГПа – модуль касательной упругости.

Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выберем в сечении f, поскольку оно неподвижно (защемлено):

Строим эпюру углов закручивания сечений (рис. П1.2, г).

Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом вале. Из условия прочности подобран диаметр вала опасного сечения. Исходя из заданного соотношения диаметров, вычислены размеры поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков, построена эпюра углов закручивания сечений; крайнее левое сечение вала повернулось относительно защемления на угол 0,03164 радиана.

Для балки из стали Ст3, схема котоДано:

рой представлена на рис. П1.3, а, подобрать поперечное сечение в нескольких вариантах M0 =12 кН·м; q = 24 кН/м;

исполнения: двутавровое, прямоугольное с от- а = 0,9 м; с = 0,6 м.

ношением высоты к ширине h/b = 1,5, полнить проверку прочности по касаa c I. Определение опорных реакций.

составляющие реакции: горизонталь- кН·м + ную и вертикальную. Согласно услоРис. П1.3. Схема нагружения балки вию задачи в горизонтальном направ- (а), эпюра поперечных сил (б), эпюра лении нагрузки отсутствуют. Следова- изгибающих моментов (в) тельно, горизонтальная реакция равна нулю, поэтому нет необходимости в ее изображении.

Проверка найденных реакций:

8,533 5,867 + 24 0,6 = 0.

Фактическое направление опорных реакций обратно показанному на рис. П1.3, а.

Удобно на первом участке рассматривать равновесие левой, а на втором – правой отсеченной части балки.

Q(x)= RA = –8,533 кН;

M(x)= RA·x – уравнение прямой линии;

Mx=a = RA·a = –8,533·0,9 = –7,68 кН·м.

Q(x)= –q·x – уравнение прямой линии.

Приравняв первую производную функции момента по абсциссе, находим экстремум этой функции:

В этом сечении находится вершина параболы.

Строим эпюры Q и M (рис. П1.3, б и в) и выполняем проверку правильности их построения:

на участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q параллельна базисной линии, а эпюра моментов – наклонная прямая;

на участках, где равномерная распределенная нагрузка действует, эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра моментов ограничена параболой, выпуклость которой совпадает с направлением распределенной нагрузки;

на участках, где Q отрицательна, значения М убывают;

в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (в конкретном случае реакции в опорах), на эпюре Q скачки в направлении этих сил и на их величину, а на эпюре М – изломы в направлении действия этих сил;

в том сечении, где приложен момент на эпюре М ему соответствует скачок на величину приложенного момента и в направлении его действия.

Из эпюры моментов следует, что опасным является крайнее правое сечение, где момент принимает значение Mmax = 12 кН·м.

Из условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления, ориентируясь на рекомендуемые значения допускаемого напряжения [из] = 150 МПа, взятого из таблицы П Прямоугольник с Круг Найденному значению момента сопротивления соответствуют следующие размеры поперечных сечений:

Требуемые размеры округлены в соответствии с ГОСТ 6636- (табл. П3) и занесены в третий столбец. Здесь d – внутренний диаметр полого сечения, а t – толщина его стенки. Металлоемкость балки определяется ее объемом, то есть произведением длины на площадь поперечного сечения. Поскольку длины балок одинаковы, сопоставим площади поперечных сечений различных форм с двутавровым:

Самое неэкономичное сечение – круг.

IV. Распределение напряжений по высоте поперечного сечения Опасным для заданной схемы нагружения является крайнее правое сечение с максимальным изгибающим моментом. Однако поперечная сила в этом сечении равна нулю (см. рис. П1.3, б и в). На примере одного из рассматриваемых сечений (прямоугольного) на рис. П1.4 показаны эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте поперечного сечения в фактически разных по длине балки местах: эпюра в крайнем правом сечении, а эпюра – в сечении над опорой В.

1. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяют по формуле где Mz – изгибающий момент; Iz – момент инерции.

точки – линейная, поскольку переменная у в первой степеh/ ни. Максимальные напряжеy напряжения равны по вели- Рис. П1.4. Характер распределения нормальчине, но противоположны по ных (б) и касательных (в) напряжений в прямоугольном поперечном сечении (а) бруса при знаку.

Знак напряжения зависит как от знака изгибающего момента, так и от положения рассматриваемой точки относительно оси z. Изгибающий момент в опасном сечении отрицателен (см. рис. П1.3, в), изогнутая ось балки выпукла вверх, верхняя часть растянута (знак напряжения положительный), нижняя часть балки сжата.

2. Касательные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле где Qy – поперечная сила; b – ширина сечения на уровне той точки, в которой вычисляют напряжение; Iz – момент инерции.

Переменным параметром в формуле является S z – статический момент отсеченной части площади; зависит от ординаты у во второй степени. Поэтому касательные напряжения описываются уравнением параболы.

Поперечная сила во всех сечениях балки отрицательна (см. рис. П1.3, б);

она определяет знак касательных напряжений (рис. П1.4, в).

На основе приведенной формулы для некоторых часто применяемых сечений найдены выражения, по которым вычисляют максимальные касательные напряжения и выполняют проверку прочности, сопоставляя их с допускаемыми касательными напряжениями. Для стали Ст3 согласно рекомендациям, приведенным в табл. П3, [] = 75 МПа Форма сечения Двутавр Круг Кольцо Прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом. Тем самым подтверждается положение о том, что при расчете на прочность длинных балок ( 10 h) влиянием поперечных сил можно пренебречь.

Из условия прочности найдены размеры поперечных сечений балок различных вариантов исполнения. Размеры округлены до стандартных значений.

Сопоставлены металлоемкости балок различных вариантов исполнения. По сравнению с двутавровым сечением самым неэкономичным является круг. пряжений по высоте поперечного сечения балки.

усилия на каждом участке. Построить эпюры внутренq них усилий (значения усилий в буквенном выражении), M0 ний; найденные размеры сечений округлить согласно ГОСТ 6636–69.

часть бруса на I участке (б); то же на II участке (в); то (е); эпюра крутящих моментов и продольных усилий (ж) обычно пренебре- Внутренние усилия в рассчитываемом ломаном брусе пряжения от Q на Внутренние от силового от силового от силового ренних усилий усq·2a·x 0 -q·2a·a танавливаем соqx (x/2) 0 0 0 -q·2a·a гласно правилам механики: если при взгляде в торец отсеченной части бруса внутренний момент, уравновешивающий внешнюю нагрузку, вращает против хода часовой стрелки, то его считают положительным.

Каждую из эпюр изгибающих моментов My и Mz построим в отдельности на растянутой части бруса (рис. П1.5, д, е). Эпюры крутящего момента Т и осевого усилия N целесообразно совместить.

Сопоставив эпюры внутренних усилий, можно заключить, что опасными являются следующие сечения:

участок I – при x = 2a, плоский изгиб;

участок II – при x = a, совместное действие изгиба и кручения;

участок III – имеет место изгиб в двух плоскостях, кручение и растяжение;

огибающие всех эпюр параллельны базисной линии – все сечения равноопасны;

Для использования условия прочности на первом участке потребуется допускаемое напряжение на изгиб. На двух других участках ломаного бруса имеет место совместное действие изгиба и кручения. В этом случае эквивалентное напряжение, найденное по теориям прочности, сопоставляют с допускаемым, определенным при растяжении. Поэтому, воспользовавшись табл. П3.4, выпишем и будем использовать рекомендуемые значения допускаемых напряжений для стали Ст5 как при изгибе, так и при растяжении. Допускаемое напряжение при растяжении [р] = 165 МПа, при изгибе [из] = 200 МПа.

Из условия прочности при плоском изгибе определяем требуемое значение момента сопротивления C учетом отношения высоты прямоугольника к его ширине h/b = момент сопротивления прямоугольного сечения Округлив размер ширины до стандартного значения b = 25 мм, найдем высоту прямоугольного сечения h = 2·25 = 50 мм.

Из условия прочности при изгибе с кручением находим требуемое значение момента сопротивления круглого сплошного сечения При использовании III гипотезы прочности приведенный момент Требуемый диаметр поперечного сечения круга В соответствии с ГОСТ 6636–69 принимаем диаметр d = 56 мм.

На участке действуют четыре внутренних усилия. Подбор сечения выполним из условия прочности при изгибе с кручением, то есть, учитывая два изгибающих Mz, My и крутящий T моменты, а при поверочном расчете учтем еще и продольное усилие N. Требуемый момент сопротивления где D – наружный диаметр трубчатого сечения; d – диаметр полости.

Для трубчатого сечения момент сопротивления Требуемый наружный диаметр полого поперечного сечения круга Округлив до стандартного значения, принимаем D = 80 мм.

Момент сопротивления и площадь поперечного сечения бруса Напряжение от изгиба в двух плоскостях и от кручения Напряжение от действия продольной силы N Суммарное нормальное напряжение 150,4+1,56 152 МПа, что меньше допускаемого [] = 165 МПа.

Как видно из поверочного расчета, доля нормального напряжения, вызванная осевой силой N, незначительна. В рассматриваемом примере она составляет около 1 % от общего напряжения. Поэтому при подборе размеров поперечного сечения осевой составляющей нагрузки в первом приближении часто пренебрегают.

Из условий прочности подобраны размеры поперечных сечений ломаного бруса при различных сочетаниях внутренних усилий. Размеры округлены в соответствие со стандартом.

Нормальные линейные размеры (выписка из ГОСТ 6636–69) Механические свойства сталей углеродистых качественных Марка Допускаемые напряжения при статической нагрузке для углеродистых сталей обыкновенного качества в горячекатаном Марка при растя- при изгибе при круче- при срезе при смятии стали * Горский А. И., Иванов-Емин Е. Б., Кареновский А. И. Определение допускаемых напряжений при расчетах на прочность. М.: НИИмаш, 1974.

Приставка в Международной системе единиц (СИ) Погонная нагрузка

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А. В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высш. шк., 2003. – 560 с.

2. Горшков, А. Г. Сопротивление материалов : учеб. пособие / А. Г. Горшков, В. Н. Трошин, В. И. Шалашилин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 544 с.

3. Сопротивление материалов : учеб пособие / Н. А. Костенко [и др]. – М.: Высш. шк., 2004. – 430 с.

4. Подскребко, М. Д. Сопротивление материалов : учеб. / М. Д. Подскребко. – Минск : Выш. шк., 2007. – 797 с.

5. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов / Н. М. Беляев. – М.:

Наука, 1976. – 607 с.

КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ

Темплан 2012 г. (учебники и учебные пособия). Поз. № 75.

Подписано в печать 20.12.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная.

Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,91. Уч.-изд. л. 9,72.

Волгоградский государственный технический университет.

400005, г. Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в типографии ИУНЛ ВолгГТУ.

400005, г. Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28, корп. 7.