[ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ
Расчётно-графические работы
Часть 1
Методические указания
к самостоятельной работе студентов
Составители: Богдыль П.Т.
Захаров А.А.
Скопинский В.Н.
Москва 2010 Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов технических специальностей МГИУ, изучающих учебные дисциплины «Сопротивление материалов» или «Механика материалов и конструкций». В них приведены расчетно-графические работы (учебные задания) по основным темам «Растяжение и сжатие», «Кручение» и «Изгиб», которые включают условия задач, расчётные схемы и таблицы числовых данных, обеспечивающих выдачу индивидуального задания каждому студенту.
В конце каждого задания приводятся контрольные тематические вопросы, которые могут быть использованы студентами для подготовки к сдаче работы, тестированию или практическим занятиям.
Рецензент Минеев А.В., к.ф.-м.н., доцент (МГИУ) Рекомендовано к изданию на заседании кафедры сопротивления материалов:
протокол № 1 от 28.01. Оглавление Введение
Требования к выполнению и оформлению расчётно-графических работ
1. Расчётно-графическая работа № 1. Расчёты стержней и стержневых систем при растяжении и сжатии
1.1. Статически определимый стержень
1.2. Статически неопределимый стержень
1.3. Статически определимая шарнирно-стержневая система.. 1.4. Примерные тематические вопросы к РГР № 1
2. Расчётно-графическая работа № 2. Расчёты валов при кручении
2.1. Статически определимый вал
2.2. Статически неопределимый вал
2.3. Примерные тематические вопросы к РГР № 2
3. Расчётно-графическая работа № 3. Расчёты статически определимых балок и плоских рам
3.1. Консольная балка
3.2. Двухопорная балка
3.3. Плоская рама
3.4. Примерные тематические вопросы к РГР № 3
Список литературы
Приложение 1. Механические свойства материалов
Приложение 2. Нормальные линейные размеры
Приложение 3. Коэффициенты для расчёта бруса прямоугольного сечения при кручении............... Приложение 4. Сталь горячекатаная. Балки двутавровые.
Швеллеры
Приложение 5. Основные расчётные формулы
Приложение 6. Форма титульного листа
Введение При изучении учебных дисциплин «Сопротивление материалов» и «Механика материалов и конструкций» большое значение имеет практическое освоение курса студентами, связанное с изучением основных расчётных формул и методов расчёта и их применением для решения задач по различным разделам курса. Для этого в учебно-методическом комплексе по дисциплине отводится значительный объём времени для самостоятельной работы студентов.
Одним из видов самостоятельной работы студентов является выполнение расчётно-графических работ (РГР) по основным тематическим разделам. Для первой части указанных учебных дисциплин такими разделами являются три: «Растяжение и сжатие», «Кручение» и «Изгиб». Целью расчётно-графических работ является закрепление теоретических сведений и развитие навыков самостоятельных практических расчётов у студентов. В помощь студентам для выполнения РГР на кафедре «Сопротивление материалов» МГИУ подготовлена и издана необходимая учебнометодическая литература: теоретические сведения и примеры расчётов приведены в учебных изданиях [14].
Представленные в данной методической разработке РГР являются упрощёнными учебными заданиями, предназначенными для контроля минимально необходимых знаний студентов. Упрощение РГР достигается за счёт уменьшения как количества задач, так и их трудоёмкости.
Одной из форм семестровой аттестации и оценки качества подготовки студентов МГИУ является экзаменационное компьютерное тестирование, проводимое по итогам обучения в семестре.
По итогам обучения по сопротивлению материалов и механике материалов и конструкций за первый семестр для студентов проводится компьютерное тестирование, состоящее из трёх независимых тематических тестов (блоков) по указанным разделам курсов. Каждый тест включает 10 тестовых заданий. К компьютерному тестированию допускаются студенты, сдавшие все РГР.
При наличии сданных упрощённых РГР и лабораторных работ, а также положительных результатов компьютерного тестирования студенты получают удовлетворительную оценку.
Требования к выполнению и оформлению расчётно-графических работ При выполнении и оформлении расчётно-графических работ (РГР) необходимо придерживаться определённых правил и требований.
1. РГР рекомендуется выполнять на листах формата A4 (11), которые следует заполнять с одной стороны.
2. Расчётная схема изображается в масштабе в соответствии с исходными данными задачи согласно варианту задания, т.е. с учётом заданного направления нагрузки, конкретных значений длин участков, площадей сечений и т.д.
В начале каждой задачи обязательно приводятся все исходные данные: размеры, нагрузки, используемые материалы и их характеристики, необходимые для расчётов (предел текучести, пределы прочности при растяжении и сжатии, модуль упругости и др.).
Рекомендуется выбранные значения нагрузки и геометрических параметров показать на расчётной схеме.
3. Все вычисления выполняются в системе единиц СИ.
4. Необходимо выполнять следующий порядок оформления расчётов: после записи расчетной формулы в общем виде сделать подстановку значений входящих в формулу величин и полученный результат округлить до трёх верных значащих цифр.
Примечания 1. Для выполнения РГР студент получает от преподавателя индивидуальный шифр, определяющий вариант учебного задания, согласно которому выбирается расчётная схема бруса (стержня, вала, балки) или стержневой системы и исходные данные задачи.
2. При определении линейных размеров поперечных сечений бруса (стержня, вала, балки) полученные значения необходимо выбрать в соответствии с рядом нормальных линейных размеров (приложение 2).
1. Расчётно-графическая работа № РАСЧЁТЫ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Для выполнения расчётов (решения задачи) используются соответствующая расчётная схема и исходные данные. Во всех задачах (кроме задачи 1.2) номер расчётной схемы стержня или стержневой системы соответствует первой цифре индивидуального шифра задания. Номера вариантов исходных данных в таблицах следует выбирать по последующим цифрам шифра: для первой таблицы по второй цифре, для второй таблицы по третьей цифре и т.д., в зависимости от количества таблиц, используемых в задаче. Исходные данные представлены в соответствующих столбцах таблицы.1.1. Статически определимый стержень Расчётную схему стержня выбрать из рис. 1.1. Исходные данные материал стержня и нормативный коэффициент запаса, нагрузку Pi = kiP (i = 1, 2, 3) и длины участков следует выбрать из табл. 1.1–1.3.
Характеристики материала стержня (модуль Юнга Е и предел текучести т) взять из приложения 1 (табл. 1), вид термообработки выбрать самостоятельно.
1. Построить эпюры нормальных (продольных) сил N, нормальных напряжений, продольных деформаций и осевых перемещений w.
2. Определить из условия прочности значения площадей и диаметров поперечных сечений стержня на каждом участке. Полученные значения диаметров округлить до соответствующих значений из ряда нормальных линейных размеров (см. приложение 2).
3. Вычислить значения максимальной продольной деформации max, удлинения (или укорочения) L стержня и максимального перемещения wmax.
При расчете принять: P = 10 кН, l = 0,4 м.
Рис. 1. Материал стержня и нормативный коэффициент запаса 1.2. Статически неопределимый стержень Расчётную схему стержня и нагрузку Pi = kiP (i = 1, 2) выбрать из табл. 1.4 по первой цифре шифра и с использованием рис. 1.2.
Геометрические параметры стержня (площади поперечных сечений и длины участков) выбрать из табл. 1.5, 1.6 по второй и третьей цифрам шифра.
1. Раскрыть статическую неопределимость стержня.
2. Построить эпюры нормальных сил N, нормальных напряжений и осевых перемещений w.
3. Из условия прочности определить допускаемое значение параметра нагрузки Pдоп.
4. Вычислить значение параметра нагрузки Pт, при котором максимальные напряжения в стержне достигают предела текучести т.
При расчете принять: F = 2 см2, l = 0,5м, т = 250 МПа, [nт] = 2.
Коэффициенты нагрузки (Pi = kiP) и расчётная схема (рис. 1.2) k1 1,0 1,2 1,4 1,5 1,8 2,0 2,5 2,0 2,5 3, Схема № F1 2F 2,2F 2,4F 2,6F 2,8F 3F 3,2F 3,4F 3,6F 3,8F 1.3. Статически определимая шарнирно-стержневая Выполнить расчёт одной из двух стержневых систем.
Вариант 1. Расчётную схему шарнирно-стержневой системы выбрать с использованием рис. 1.3. Исходные данные угловой параметр, длины и площади поперечных сечений стержней следует выбрать из табл. 1.7, 1.8.
1. Изобразить расчётную схему стержневой системы, используя конкретное значение угла.
2. Найти нормальные силы N i (i 1, 2) в стержнях.
3. Из расчёта на прочность определить значение допускаемой нагрузку Pдоп.
4. Вычислить перемещение общего узла в направлении перпендикулярном силе Р.
При расчёте принять: F = 2 см2, []p = 50 МПа, []c = 80 МПа, Е = 110 ГПа, l = 0,3 м.
Вариант 2. Расчётную схему шарнирно-стержневой системы с абсолютно жёсткой балкой выбрать с использованием рис. 1.4. Исходные данные значение угла, площади поперечных сечений и длины стержней, материал стержней и размеры а1, а2, а3 следует выбрать из табл. 1.7–1.9.
1. Изобразить расчётную схему стержневой системы, используя конкретное значение угла.
2. Найти выражения для нормальных сил N i (i 1, 2) в стержнях.
3. Из расчёта на прочность определить допускаемое значение параметра F и площади Fi (i = 1, 2) поперечных сечений стержней.
4. Вычислить угол поворота жёсткой балки.
При расчёте принять: P = 10 кН, [nT] = 2,2, l = 0,4 м, а = 0,5 м.
Характеристики материала стержней (значения модуля Юнга Е и условного предела текучести 0,2) взять из приложения 1 (табл. 3).
Угловой параметр и площади поперечных сечений стержней F1 2,3F 2,4F 2,5F 2,6F 2,7F 2,8F 2,9F 3,0F 3,1F 3,2F F2 1,4F 1,5F 1,6F 1,7F 1,8F 1,9F 2,0F 2,1F 2,2F 2,1F Значения размера ai и материал стержней Материал Д1 Д6 Д16 АМг6 АМц АК6 В95 ОТ4 ВТ5 ВТ Рис. 1. Рис. 1. 1.4. Примерные тематические вопросы к РГР № 1. Как определяется нормальная сила в произвольном поперечном сечении бруса (стержня) или стержневой системы?
2. Как определяются нормальные напряжения в поперечном сечении стержня? Как определяются максимальные нормальные напряжения в ступенчатом стержне, в стержневой системе?
3. Как определяются продольные деформации в стержне?
4. Как формулируется и записывается закон Гука?
5. Какие существуют упругие характеристики материала?
6. Как определяются продольные перемещения сечений в прямолинейном стержне?
7. В каком виде записываются условия прочности для стержня или стержневой системы из пластичного и хрупкого материалов? Какие основные задачи решают на основе условий прочности?
8. Какие напряжения принимаются в качестве предельных для хрупкого и пластичного материалов?
9. В каком случае ступенчатый стержень является равнопрочным? В чём заключается преимущество равнопрочных стержней?
10. Какие параметры определяют жёсткость стержня? В чём состоит условие жёсткости для стержня или стержневой системы?
11. Как определяются перемещения узлов в стержневой системе?
12. Какие задачи называются статически определимыми? Как определяются усилия в стержнях и реакции связей в статически определимой стержневой системе?
13. Какие задачи называются статически неопределимыми?
Как определяются усилия в стержне с жёстко закреплёнными концами?
2. Расчётно-графическая работа № РАСЧЁТЫ ВАЛОВ ПРИ КРУЧЕНИИ
Схему нагружения вала выбрать с использованием табл. 2.1 и рис. 2.1, а. Моменты Mi = kiM (i = 1, 2), действующие на вал, вычислить с использованием значений коэффициентов ki, взятых из табл. 2.1. В расчёте принять M = 200 Н·м.
Примечание. При отрицательном значении коэффициента ki направление момента Mi изменить на противоположное.
Величину и направление момента М3 определить из условия равновесия вала.
Рассматривается ступенчатый вал, первый участок которого имеет сплошное круглое сечение, а второй – кольцевое сечение.
Геометрические параметры вала выбрать из табл. 2.2.
Материал вала и соответствующие прочностные и упругие характеристики (предел текучести т, модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона ) выбрать из табл. 2.3 и приложения 1 (табл. 1). Значение модуля сдвига материала G вычислить, используя значения Е и.
1. Определить значения крутящих моментов в сечениях на участках вала.
2. Вычислить диаметры сечений на участках вала, удовлетворяющие условиям прочности и жёсткости. При этом полученные значения диаметров D1, D2 округлить до соответствующих значений из ряда нормальных линейных размеров (см. приложение 2).
3. Изобразить расчётную схему вала согласно исходным данным задания и расчётным значениям диаметров (рекомендуется соблюдать масштабы длин участков и диаметров сечений).
4. Построить эпюры крутящих моментов Mк, максимальных касательных напряжений max, относительных углов закручивания и углов поворота сечений , условно считая неподвижным одно из торцевых сечений вала.
5. Изобразить распределение касательных напряжений в поперечных сечениях вала на каждом участке.
Коэффициенты ki и схема нагружения вала (рис. 2.1, а) Длины участков и коэффициент полости кольцевого сечения вала 20(н) 30(н) 40Х(у) 40(н) 45(н) 45(у) 40(у) 30(у) 50Г(н) 60(н) Сталь 2.2. Статически неопределимый вал Исходные данные для расчёта вала следует выбрать из табл. 2.4–2.6, расчётная схема вала указана в табл. 2.4. При расчётах принять: модуль сдвига материала вала G = 80 ГПа; нормативный коэффициент запаса [nт] = 2,5. Предел текучести материала т вала взять из табл. 1 приложения 1.
1. Изобразить расчётную схему вала согласно исходным данным задания (рекомендуется соблюдать масштабы длин участков и диаметров сечений).
2. Раскрыть статическую неопределимость вала и вычислить значения крутящих моментов и относительных углов закручивания на участках. Сделать проверку расчёта.
3. Построить эпюры крутящих моментов Mк, максимальных касательных напряжений в сечениях max, относительных углов закручивания и углов поворота сечений.
4. Определить коэффициент запаса nт по отношению к пределу текучести материала т и сделать заключение о прочности вала.
Нагрузка, материал вала и расчётная схема вала (рис. 2.2) Сталь 30(н) 20(н) 40(у) 40(у) 45(н) 45(у) 40Х(у) 30(у) 50(н) 60(н) D1, мм D2, мм 2.3. Примерные тематические вопросы к РГР № 1. Как определяется внутренний крутящий момент в поперечном сечении вала? Какое правило знаков применяется для крутящего момента?
2. Что такое полярный момент инерции сечения? Полярный момент сопротивления сечения?
3. Как распределяются касательные напряжения в круговом сечении вала? В чем преимущества использования полых валов?
4. Как определить касательное напряжение в произвольной точке круглого поперечного сечения вала?
5. Как определить максимальные касательные напряжения для вала круглого сечения и в каких точках сечения они действуют?
6. Как записывается условие прочности вала при кручении?
Какие основные задачи решаются при расчёте вала на прочность?
7. Что такое относительный угол закручивания? Как он вычисляется и какие единицы измерения используются для него?
8. Как определить угол закручивания участка вала постоянного сечения?
9. Как записывается условие жёсткости для вала? Как определяется диаметр вала из условия жёсткости? Какие задачи могут решаться при расчёте вала на жёсткость?
10. Как записывается закон Гука при чистом сдвиге? Какова зависимость между модулем Юнга и модулем сдвига для изотропного материала?
11. Какой порядок расчёта статически неопределимого вала?
12. Как осуществляется проверка правильности расчёта статически неопределимого вала?
13. Как распределяются касательные напряжения в прямоугольном поперечном сечении бруса при кручении? По какой формуле определяются максимальные касательные напряжения?
14. Как определяется угол закручивания для консольного бруса прямоугольного сечения при кручении?
3. Расчётно-графическая работа № РАСЧЁТЫ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
И ПЛОСКИХ РАМ
Во всех задачах номер расчётной схемы балки или рамы соответствует первой цифре индивидуального шифра задания. Номера вариантов исходных данных в таблицах следует выбирать по последующим цифрам шифра; исходные данные представлены в соответствующих столбцах таблиц.Расчётную схему балки выбрать из рис. 3.1, исходные данные следует выбрать из табл. 3.1, 3.2.
1. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M.
2. Для балки стандартного профиля из расчёта на прочность подобрать сечения по сортаменту прокатной стали (двутавр, два швеллера). Определить какое сечение является более рациональным, сравнив площади поперечных сечений балок.
3. Построить эпюру нормальных напряжений (y) в опасном сечении балки.
При расчёте принять: P = 8 кН, l = 0,4 м, т = 250 МПа, [nТ] = 1,8.
Геометрические характеристики стандартных профилей следует выбрать из таблиц приложения 4.
Расчётную схему балки выбрать из рис. 3.2, исходные данные следует выбрать из табл. 3.1, 3.2, 3.3.
1. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M.
2. Из расчёта на прочность подобрать размеры поперечных сечений балки в виде круга, кольца (с коэффициентом полости = d/D), прямоугольника (с отношением сторон = h/b) и стандартного профиля (двутавра, швеллера или сдвоенных швеллеров).
Геометрические характеристики стандартных профилей следует выбрать из таблиц приложения 4.
3. Сравнить массы полученных балок (по отношениям площадей поперечных сечений) и сделать вывод о рациональности каждой формы сечения балки.
4. Для каждой балки построить эпюру нормальных напряжений (y) в опасном сечении.
5. Вычислить максимальные касательные напряжения max для балки прямоугольного сечения и балки с сечением из стандартного профиля. Изобразить эпюру касательных напряжений (y) в опасном сечении.
При расчёте принять: P = 10 кН, l = 0,3 м, = 160 МПа.
Коэффициенты нагрузки (Р1 = k1P, M = k2Pl, q = k3P/l) Вариант стандарт.
профиль Рис. 3. Рис. 3. Расчётную схему плоской рамы выбрать из рис. 3.3, исходные данные следует выбрать из табл. 3.4 и 3.5.
1. Построить эпюры нормальных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Проверить равновесия узла рамы.
2. Из расчёта на прочность рамы определить диаметры d и D кольцевого поперечного сечения рамы из дюралюминия. Полученные расчётные значения диаметров округлить до соответствующих значений из ряда нормальных линейных размеров (см. приложение 2).
Для опасного сечения определить нормальные напряжения от растяжения или сжатия (от максимальной нормальной силы N) и сопоставить их с максимальными напряжениями от изгиба.
3. Определить горизонтальное перемещение сечения А или вертикальное перемещение сечения В рамы.
При расчёте принять: а = 0,1 м, Р = 1 кН, Е = 72 ГПа, [nт] = 2, т = 300 МПа, = d/D = 0,8.
Коэффициенты нагрузки (Р1 = k1Р, Р2 = k2P, M = k3Pa) Рис. 3. 3.4. Примерные тематические вопросы к РГР № 1. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях балки при изгибе? Какие правила знаков используют для них?
2. Какие правила контроля применяют для проверки эпюр Q иM?
3. Как определяются нормальные напряжения в произвольной точке сечения и максимальные напряжения? Какой вид имеет эпюра нормальных напряжений в сечении?
4. Как определяется момент сопротивления сечения при изгибе? Чему равны моменты инерции и моменты сопротивления для прямоугольного, круглого и кольцевого сечений?
5. Как записывается условие прочности при изгибе? Какие задачи решают на основе условия прочности?
6. Что понимается под рациональными формами сечений балок при изгибе? В чём преимущества применения балок стандартного профиля?
7. Как определяются максимальные касательные напряжения в балке?
8. Какой вид имеет эпюра касательных напряжений для прямоугольного поперечного сечения балки? В каких случаях необходимо учитывать касательные напряжения?
9. В чём заключается процедура определения перемещений сечений балок и рам при изгибе по методу Максвелла-Мора?
10. Как определяются перемещения сечений балок и рам с использованием способа Верещагина?
11. Что такое рама? Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях рамы? Влиянием каких из них пренебрегают при расчёте рамы на прочность и жёсткость?
1. Скопинский В.Н., Захаров А.А. Сопротивление материалов. Ч. 1: Учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: МГИУ, 2004. – 137 с.
2. Скопинский В.Н. Расчёты стержней и шарнирностержневых систем на растяжение и сжатие: Практикум по сопротивлению материалов. – M.: МГИУ, 2005. – 85 с.
3. Скопинский В.Н., Захаров А.А., Сметанкин А.Б. Расчёты валов на кручение: учебное пособие. – М.: МГИУ, 2009. – 119 с.
4. Захаров А.А. Изгиб: Практикум по сопротивлению материалов. – М.: МГИУ, 2003. – 101 с.
Механические свойства материалов * Условные обозначения термообработки:
Н нормализация; У улучшение; В закалка с охлаждением в воде;
М закалка с охлаждением в масле; НВ твердость по Бринеллю; число после М и В среднее значение твёрдости по Роквеллу (HRC).
Механические свойства для отливок из чугуна Механические свойства цветных и титановых сплавов № Материал Нормальные линейные размеры (ГОСТ 6636-69) Для простановки линейных размеров диаметров, длин, высот и др. стандартом устанавливаются ряды (Ra5, Ra10, Ra20, Ra40). Ниже в таблице приведён ряд Ra40 с наиболее мелкой градацией.
прямоугольного сечения при кручении Для расчёта бруса прямоугольного сечения при кручении используются такие геометрические характеристики:
Wк = аb2 момент сопротивления сечения при кручении;
Jк = аb3 момент инерции сечения при кручении, где а, b большая и малая стороны прямоугольного сечения.
Значения коэффициентов, в зависимости от отношения сторон (а/b) приведены в таблице.
Значения коэффициентов,, для прямоугольного сечения 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0, 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0, 1,0 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0, Для определения коэффициентов, можно воспользоваться и приближёнными формулами:
t средняя толщина полки; Sx статический момент половины сечения 1 внутренних сил по методу сечений стержня 3 наклонном сечении стичного материала 5 для стержня из для материала Коэффициент Пуассона речной деформации 11 мещения поперечных wz w0 z на участке = const сечений Перемещение 12 сечения в конце участка стержня из уравнений равновесия напряжений Определение Определение внутренних 1 моментов по методу сечений 2 в произвольной точке в сечении Напряжения в наклонных 5 площадках при чистом сдвиге Связь модуля сдвига G и модуля Юнга E 8 Относительный угол 9 Определение углов участка вала Угловое перемещение 12 Условие жёсткости вала в прямоугольном сечении Определение 1 внутренних сил по методу сечений Дифференциальные dz dz q – интенсивность распределённой 3 напряжения в произ- y тельно главной центральной оси x;
речного сечения 4 нормальные напряWx жения в сечении Условие прочности 5 для балки из плат /[ nт ] – допускаемые стичного материала го материала жения в произвольS x – статический момент отсечённой 8 линейным и угловым перемещениями 10 уравнение упругой линии балки Интеграл Мора 12 для вычисления интеграла Мора
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный индустриальный университет Кафедра 113 «Сопротивление материалов» Расчётно-графическая работа № _ по дисциплине _ на тему _ Преподаватель _
«