Московский государственный технический университет

имени Н.Э.Баумана

Факультет «Энергомашиностроение»

Кафедра «Гидромеханика, гидромашины и гидропневмоавтоматика»

В.П.Харитонов

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Электронное учебное издание

Учебное пособие по дисциплине «Механика жидкости и газа»

Москва (С) 2012 МГТУ им. Н.Э.Баумана 2 УДК 532.5.013 Рецензенты:

Грибков Александр Михайлович, Заведующий кафедрой «Гидромеханика и гидравлические машины»

Национального Исследовательского Университета «Московский Энергетический Институт»

Щёголев Николай Львович, Заведующий кафедрой «Газотурбинные и нетрадиционные энергоустановки»

Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э.Баумана Жердев Анатолий Анатольевич, Декан факультета «Энергетическое машиностроение» МГТУ им. Н.Э.Баумана Академик МАХ, д.т.н., профессор, Харитонов В.П.

Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа.

Электронное учебное издание. - М.:МГТУ имени Н.Э.Баумана, 2012. 65 с.

Издание содержит выводы основных уравнений механики жидкости и газа, предусмотренных Учебно-методическим комплексом дисциплины «Механика жидкости и газа» для специальностей факультета «Энергомашиностроения»

МГТУ им. Н.Э.Баумана. Рассмотрены уравнения неразрывности, динамики жидкости «в напряжениях», уравнения Эйлера, закон трения Стокса, уравнения Навье-Стокса.

Для студентов факультета «Энергомашиностроение» МГТУ им. Н.Э.Баумана Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК «Энергомашиностроение»

МГТУ имени Н.Э.Баумана Харитонов Владислав Петрович Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа.

(С) 2012 МГТУ им. Н.Э.Баумана Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Физическая модель жидкости и газа, основные понятия. 2. Уравнение неразрывности в дифференциальной форме. 3. Уравнение неразрывности в интегральной форме 4. Уравнение динамики жидкости «в напряжениях» 5. Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости 6. Закон трения Стокса в главной системе координат. 7. Закон трения Стокса в произвольной системе координат. 8. Уравнение Навье-Стокса 9. Контрольные вопросы 10. Список литературы Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа 1. Физическая модель жидкости и газа, основные понятия.

Предмет механики жидкости и газа.

Механика жидкости и газа – это третья и заключительная часть фундаментальной дисциплины «Механика».

Первая часть – «Теоретическая механика», изучает законы движения материальных точек и их систем, абсолютно твёрдых тел.

Вторая часть – механика упругого тела (теория упругости, теория сопротивления материалов) Третья часть – механика жидкости и газа – изучает общие законы движения жидкостей и газов, взаимодействие с твердыми телами, движение в каналах различной формы, а также методы применения этих законов для решения инженерных гидравлических задач.

Для всех частей дисциплины «Механика» общими являются законы сохранения, например, закон сохранения массы, основные теоремы, например, уравнение Эйлера кинематики твёрдого тела, основные понятия и термины, например, тензор напряжения, нормальные и касательные напряжения. Конечно, есть и отличия, так как движение и напряжённое состояние жидкости много сложнее движения и напряжённого состояния твёрдого тела.

Составными частями «Механики жидкости и газа» являются такие разделы науки, как Аэродинамика, Газовая динамика, Гидравлика, Гидроаэромеханика, Гидродинамика, Динамика разреженных газов, Магнитная гидродинамика и др..

Физическая модель жидкости и газа.

Будем рассматривать макроскопическую модель вещества, согласно которой жидкость и газ представляют собой сплошную текучую изотропную ньютоновскую среду с непрерывным распределением массы и других физических величин.

В этой физической модели мы абстрагируемся от молекулярного строения вещества, не рассматриваем поведение отдельных молекул, атомов и элементарных частиц, и предполагаем, что всегда можно выделить сколь угодно малый объём жидкости, обладающий теми же свойствами, что и остальная часть жидкости. Конечно, это всего лишь выдуманная модель жидкости, но, как показывает опыт поколений, именно эта физическая модель жидкости и газа имеет для современной цивилизации громадное практическое значение.Текучесть среды – свойство неограниченной деформируемости среды, то-есть способность изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил, если жидкость не сдерживается какими-либо стенками.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Сплошность или неразрывность среды – это способность заполнять весь объём, занимаемый материалом тела, без всяких пустот, общность свойств любой части среды и среды в целом.

Изотропность среды – независимость всех физических величин и свойств среды от направления.

Ньютоновская среда – среда, в которой касательные напряжения прямо пропорциональны градиенту скорости (или скорости угловых деформаций). При отсутствии угловых деформаций, например, в состоянии покоя, в ньютоновской жидкости касательные напряжения равны нулю.

Ньютоновскими жидкостями, как показал опыт, можно считать практически все важные для нас жидкости: воду, смазочные масла, жидкое топливо, жидкий воздух, гелий, водород, спирт… автомобилей.

';

Может быть, Вы заметили, что я, перечисляя жидкости, назвал и газы: воздух, гелий. Я не оговорился. Различие между газом и жидкостью в нашем курсе настолько несущественно, что в дальнейшем я буду говорить о жидкости, а подразумевать и жидкость, и газ. Следует отметить, что такое свойство газов, как сжимаемость, свойственно и жидкостям: плотность воды у дна океана заметно выше плотности той же воды у поверхности.

При описании движения жидкости будем использовать в нашем курсе переменные Эйлера:

x, y, z, t. Это означает, что в выбранной нами неподвижной системе прямоугольных координат для каждой точки пространства и для заданного момента времени определено или следует найти в аналитическом или векторном виде поле скоростей вектора скорости частичек жидкости V с проекциями Vx, Vy, Vz :

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Кроме поля скоростей при изучении движения жидкости нас могут интересовать:

- скалярные величины: плотность r, кг / м3, температура T, K ;

- тензоры: тензор напряжения p, Па, и тензор линейных и угловых деформаций.

Каждая из искомых функций является функцией четырёх независимых переменных:

координат и времени: x, y, z и t. Представляют практический интерес двумерные и одномерные задачи, а также картины установившегося течения. Математическая модель механики жидкости и газа в наиболее общем случае представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка в частных производных с начальными и граничными условиями. Одно из фундаментальных уравнений - энергетическое, связывающее температуру с другими физическими величинами, Вы будете изучать во втором семестре, а мы ограничимся частным случаем этого уравнения:

то-есть, ограничимся в нашем курсе рассмотрением только изотермических течений.

Напряжённое состояние жидкости.

Рассмотрим самое распространённое состояние жидкости в природе: жидкость находится под воздействием сил, например, силы тяжести, силы атмосферного давления или инерционных сил (если, например, жидкость находится во вращающемся сосуде). Выделим в жидкости произвольную поверхность S, а на ней выберем произвольную площадку DS очень малых нормалью к которой является n. Направление вектора pn может отличаться от направления нормали, в большинстве случаев именно это и наблюдается.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Выделим в жидкости элементарный объём кубической формы, ориентированный по осям координат (каждая грань кубика перпендикулярна какой-либо оси). В механике жидкости принята следующая система обозначений напряжений, Рис. 3. Все напряжения, в том числе, нормальные и обозначаются буквой p с нижним индексом из одного или двух символов.

касательные, напряжения получат обозначения и p yz. Аналогично обозначаются напряжения в остальных гранях.

Проверьте правильность соотношений:

здесь через i, j, k обозначены единичные векторы (орты) прямоугольной системы координат.

Опыт показывает, что покоящаяся жидкость всегда находится в сжатом состоянии.

Соотношение напряжений Поставим задачу определить, как связаны между собой напряжение на произвольно ориентированной площадке с напряжениями в этой же точке, но действующими в площадках, перпендикулярных осям координат.

Выделим в потоке жидкости, Рис. 4, элементарный тетраэдр 0АВС с вершиной в точке 0, образованный наклонной плоскостью АВС и боковыми гранями А0В, А0С и В0С. Применим принцип Д’Аламбера, согласно которому сумма всех сил, действующих на жидкость в объёме тетраэдра, и сил инерции равна нулю. На жидкость в объёме тетраэдра действуют массовые и поверхностные силы. Массовые силы – это силы тяжести и силы инерции. Они пропорциональны Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа массе тетраэдра, которая равна силы, действующие на грани тетраэдра, они пропорциональны площади этих граней. Легко увидеть, что с уменьшением размеров тетраэдра влияние массовых сил становится менее заметным. Если мы уменьшим все линейные размеры тетраэдра в 1000 раз то поверхностные силы уменьшатся в миллион раз, а массовые силы станут меньше в миллиард раз. Поэтому при стремлении размеров тетраэдра к нулю влиянием массовых сил можно пренебречь.

В проекции на ось 0y, отбрасывая слагаемые с массовыми силами, получим следующее уравнение:

Заметим, что из рассмотрения треугольника 0ВК, следует Здесь введены обозначения углов a, b, g, которые вектор образует с положительными полуосями координат, а cos a, cos b, cos g называют направляющими косинусами вектора.

Из уравнений (1.1) и (1.3) следует:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Аналогичными рассуждениями получим два других уравнения:

Тензор напряжений, его свойства Мы видели, что напряжённое состояние жидкости характеризуется девятью величинами – нормальными и касательными напряжениями. В механике жидкости принято работать с тензором – физической величиной, определённой для каждой точки пространства. Тензору 2-го ранга соответствует его матрица (таблица компонентов) из трёх столбцов и трёх строк компонентов тензора. Первым индексом компонента тензора принято обозначать номер строки, вторым - номер столбца. Мы, однако, будем использовать в нашем курсе лекций в качестве индексов не цифры, а обозначения координат. Например, тензор напряжений жидкости будет выглядеть следующим образом:

1. Матрица тензора симметрична. Вам уже известна со второго курса теорема, согласно которой касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках и перпендикулярно линии пересечения этих площадок, равны по величине (закон парности касательных напряжений):

2. Для тензора напряжений сумма его компонентов на главной диагонали ( pxx + p yy + pzz ) является инвариантом линейных преобразований координат. Поскольку геометрический смысл линейных преобразований координат заключается в повороте координатных осей, это означает, что сумма нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, не зависит от ориентации площадок. Это позволяет характеризовать напряжённое состояние Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа жидкости скалярной величиной – гидродинамическим давлением, равным средней арифметической величине нормальных напряжений, взятой со знаком минус 3. Для любой точки жидкости существует, причём, единственная, система координат, в которой тензор напряжений имеет диагональный вид: все касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения равны по величине:

Такая система координат называется главной системой координат, а оси – главными осями тензора напряжений.

Скорости относительных линейных деформаций.

В отличие от движения абсолютно твёрдого тела расстояние между двумя точками в элементарном объёме движущейся жидкости может изменяться: укорачиваться или удлиняться. Это обусловливает линейную и объёмную деформацию жидкости. Более того, углы между отрезками, соединяющими три произвольных точки внутри жидкости, при движении жидкости могут изменяться, что обусловливает непрерывное искажение формы пространственных или плоских фигур, выделенных внутри движущейся жидкости. Это объясняет появление угловых деформаций жидкости.

Первая теорема Гельмгольца формулируется следующим образом:

«Скорости частиц элементарного объёма сплошной среды складываются из скоростей квазитвёрдого и деформационного её движения»

Таким образом, движение элементарного объёма жидкости может быть единственным образом разложено на четыре составляющих этого движения:

1 – поступательное перемещение со скоростью V ;

2 – вращение как твёрдого тела с угловой скоростью w ;

3 – объёмное расширение (сжатие) в направлении координатных осей – линейные деформации;

4 – искажение формы, изменение углов между отрезками в элементарном объёме жидкости – угловые деформации.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Первые две составляющих движения – это движение элементарного объёма жидкости как квазитвёрдого тела.

Третья и четвёртая составляющие – это деформационное движение жидкости.

Пусть нам известно поле скоростей V ( x, y, z, t ) одномерного движения жидкости в направлении оси 0x ( движение жидкости в направлении осей 0 y, 0 z отсутствует). Рассмотрим контрольный элемент жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда, Рис. 5. Введём понятие скорости относительной линейной деформации e x вдоль оси 0x как отношение приращения длины элемента dlx в направлении оси 0x за время dt к первоначальной длине элемента вдоль оси 0x :

Индекс x указывает направление линейной деформации.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа В момент времени t контрольный элемент занимал положение 1-2-3-4. В момент времени t + dt, то-есть через небольшой промежуток времени dt, контрольный элемент занимал положение 1’-2’-3’-4’. Линейная деформация контрольного элемента в направлении оси 0x - это приращение длины элемента dlx, равное разности длин отрезков 1’-4’ и 1-4.

И аналогично:

Вычислим скорость относительной объёмной деформации e W, как скорость относительного изменения объёма контрольного элемента:

Раскрывая скобки в числителе выражения (1.14) и пренебрегая слагаемыми с высокими степенями сомножителя dt, получим:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Скорости угловых деформаций.

тангенсу этого угла и выразить через отношение приращений длин соответствующих отрезков. За время dt отрезок AB сместится в положение A’B’, длину его dx будем считать неизменной.

Если обозначить скорость точки A в направлении оси 0z через Vz, то скорость точки B в этом же Тогда угловая деформация Q x может быть вычислена приближённо:

И аналогично:

Скорость угловой деформации e xz ( e xz = e zx ) контрольного элемента жидкости в плоскости x0 z равна:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Тензор скоростей деформаций, его свойства Тензором скоростей деформаций или мерой деформаций поля скоростей называют тензор E:

Или в развёрнутом виде через скорости:

Мы видим, что деформационное состояние жидкости характеризуется девятью величинами – скоростями относительных линейных и угловых деформаций. Тензору скоростей деформаций соответствует его матрица (таблица компонентов) из трёх столбцов и трёх строк компонентов тензора. Первым индексом компонента тензора принято обозначать номер строки, вторым - номер столбца. Мы, однако, будем использовать и в тензоре скоростей деформаций в качестве индексов не цифры, а обозначения координат. Тензор скоростей деформаций обладает следующими свойствами.

1 Матрица тензора скоростей деформаций симметрична: скорости угловых деформаций в координатных плоскостях равны:

2. Для тензора деформаций сумма его компонентов на главной диагонали в произвольной точке пространства является инвариантом линейных преобразований координат. Поскольку геометрический смысл линейных преобразований координат заключается в повороте координатных осей, это означает, что дивергенция вектора скорости не зависит от ориентации площадок.

3. Для любой точки жидкости существует, причём, единственная, система координат ( x ', y ', z '), в которой тензор деформаций имеет диагональный вид: все скорости угловых деформаций равны нулю:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Такая система координат называется главной системой координат, а оси её – главными осями тензора деформаций.

4. Все элементы тензора деформаций выражаются через поле скоростей.

Докажите самостоятельно, что главные оси тензора деформаций совпадают с главными осями тензора напряжений.

Вихрь, ротор вектора скорости, угловая скорость В кинематике абсолютно твёрдого тела Вы часто использовали формулу Эйлера, согласно которой вектор скорости V любой точки M абсолютно твёрдого тела произвольной формы и размеров может быть представлен векторной суммой вектора скорости поступательного движения V 0 вместе с произвольно выбранным полюсом О и вектором вращательной составляющей:

полезна для уяснения природы движения жидкости.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Напомним, что векторное произведение двух векторов представляет собой также вектор, компоненты которого определяются по следующим формулам. Допустим вектор c (cx, c y, cz ) есть векторное произведение двух векторов a (ax, a y, az ) и b(bx, by, bz ). Тогда и компоненты вектора c (cx, c y, cz ) вычисляются по формулам:

В проекциях на оси координат формула (1.25) принимает вид:

Ещё раз подчеркну, что для момента времени t для всех точек контрольного элемента жидкости постоянными величинами в уравнениях (1.30-1.32) являются: Vx 0, Vy 0, Vz 0, w x, w y, w z, x0, y0, z Из равенств (1.33-1.35) следует:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Кроме угловой скорости в механике жидкости используют и другие термины: ротор (вихрь) - это векторный дифференциальный оператор над векторным полем скорости. Ротор скорости показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке.

Он обозначается rotV.

Отметим, что В общем случае можно каждой точке движущейся жидкости сопоставить вектор скорости V и вектор угловой скорости w. Каждому их этих векторов соответствует векторная линия – геометрическое место точек, в которых касательная к векторной линии совпадает с направлением вектора. Вектору V соответствует линия тока, а вектору w - вихревая линия. Линии тока, проходящие через элементарный замкнутый контур внутри жидкости, образуют элементарную трубку тока. Вихревые линии, проходящие через элементарный замкнутый контур внутри жидкости, образуют элементарную вихревую трубку.

2. Уравнение неразрывности в дифференциальной форме.

Уравнение неразрывности отражает закон сохранения массы. Напомню, что плотность жидкости – это скалярная величина, определяемая как предел отношения массы жидкости к её объёму, когда объём стягивается в точку.

Рассмотрим контрольный элемент жидкости dw, состоящий в любой момент времени из одних и тех же частиц жидкости. Масса такого элемента в Ньютоновской механике сохраняет свою величину постоянной. Поэтому для контрольного элемента справедливо:

Заменим в уравнении (2.2) величин:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Вычислим приращение объёма контрольного элемента жидкости через скорости. Рассмотрим контрольный элемент в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Его объём в момент времени t равен За время dt каждая грань контрольного элемента переместится на некоторое расстояние, вследствие чего объём изменится. Левая грань, параллельная плоскости y 0 z, перемещается перемещается со скоростью Соответственно, этими гранями за промежуток времени dt будут пройдены расстояния Vx dt В момент времени (t + dt ) длина контрольного элемента в направлении оси 0x станет равной Аналогично, вдоль других осей:

В момент времени (t + dt ) объём контрольного элемента будет равен:

Приращение объёма контрольного элемента за время dt равно разности объёмов в моменты времени (t + dt ) и dt :

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Раскроем скобки в выражениях (2.8,2.9) и расположим слагаемые по степеням dt :

Произведём сокращения и, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка dt 2 и dt 3, получим:

Или, поделив на dt,получим:

Подставив в (2.3) выражение (2.10) и поделив на dw, получим искомое уравнение неразрывности в дифференциальной форме:

Вы можете встретить уравнение неразрывности с использованием других общепринятых обозначений, например, где дивергенция скорости div (V ) равна:

где символом обозначен оператор набла (оператор Гамильтона), который определяется следующим образом:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа где i, j, k - единичные векторы по осям x, y, z.

Равенство получают символьно, формально применяя к векторам,, и V {Vx, Vy, Vz } правила вычисления скалярного произведения двух векторов Получим более распространённую, но столь же общую форму уравнения неразрывности.

Вспомним выражение полной производной по времени от функции четырёх переменных:

Раскроем уравнение (2.11), используя выражение (2.19) и перегруппируем слагаемые, как это показано ниже:

Частные случаи уравнения неразрывности.

1. Установившееся движение жидкости – движение, при котором в любой точке все физические величины остаются постоянными в течение всего времени наблюдения; в установившемся режиме движения частная производная от плотности по времени равна нулю.

Уравнение неразрывности в пространстве в установившемся режиме принимает вид:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа 2. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости ( r = const ) в пространстве:

Отметим, что уравнения (2.27, 2.28) верны и для установившегося, и для неустановившегося режимов течения.

3. Уравнение неразрывности для плоского движения несжимаемой жидкости ( r = const ):

4. Уравнение неразрывности для одномерного движения несжимаемой жидкости ( r = const ), например, вдоль оси 0х, (или вдоль другого направления), принимает вид:

Значение и применение уравнения неразрывности.

1. Уравнение неразрывности является одним из основных фундаментальных уравнений, являющимся следствием фундаментального закона механики, незаменимой составляющей математической модели механики жидкости и газа. В этом главное его значение.

2. Уравнение неразрывности может быть использовано для проверки корректности уравнений, описывающих поле скоростей, полученных, например, экспериментальным путём.

Пример: Соблюдается ли уравнение неразрывности для потока несжимаемой жидкости, если поле скоростей задано следующим образом:

3. Уравнение неразрывности может быть использовано для вычисления одной из компонент вектора скорости, если заданы остальные.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Пример: Для установившегося плоского движения несжимаемой жидкости известно:

Найти выражение для скорости Vy и модуль скорости V в точке (-1,1).

4. Уравнение неразрывности может использоваться для уточнения экспериментальных коэффициентов в аппроксимационных формулах поля скоростей.

Пример: В эксперименте коэффициент А найден равным 2.4. При каком значении неразрывности ?

5. Уравнение неразрывности может быть использовано для сокращения необходимого объёма экспериментов по определению поля скоростей.

Пример. Докажите, что для экспериментального определения поля скоростей при установившемся плоском движении несжимаемой жидкости достаточно найти, например, зависимости Vx( x, y ) и Vy ( x, 0), а искать экспериментально Vy ( x, y ) не обязательно.

3. Уравнение неразрывности в интегральной форме Мы получили уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Теперь я предлагаю получить интегральную форму этого же уравнения. Зачем ? Тому две причины.

При постановке задач иногда целесообразно использовать не только дифференциальные уравнения, но и интегральные уравнения, и интегро-дифференциальные уравнения. Речь, конечно, идёт лишь о разных формах отображения реальных законов природы.

Вторая причина заключается в том, что задачами обучения являются не только освоение результатов инженерной науки, но, и это ещё более важно, ознакомление с методами их получения. Один из методов вывода уравнений состоит в рассмотрении бесконечно малых контрольных элементов, другой – в рассмотрении контрольных элементов конечных размеров. В первом случае получаем дифференциальное уравнение, во втором – интегральное уравнение.

Дифференциальное и интегральное уравнения неразрывности отражают один и тот же закон Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа сохранения – закон сохранения массы. Обе формы уравнения неразрывности могут быть преобразованы из одной в другую.

Рассмотрим контрольный элемент произвольных размеров, формы и места положения.

Поверхность контрольного элемента будем называть контрольной поверхностью. Назовём совокупностью частиц контрольного элемента все частицы жидкости внутри контрольного элемента в момент времени t. Поместим неподвижную прямоугольную систему координат в поток жидкости и проследим движение контрольного элемента в течение очень малого промежутка времени D t. Пусть в момент времени t контрольный элемент занимал положение, переместилась за время D t в часть пространства, см. рис., ограниченную сплошной линией.

В общем случае можно выделить три области:

область А – часть пространства, из которой ушли все «наши» частицы; эта область отделена от «чужих» частиц поверхностью S 2, область В – часть пространства, которую занимали и продолжают занимать «наши» частицы; эта область отделена от пространства, в которое перетекли «наши» частицы за время D t, поверхностью S1 ; постарайтесь убедиться сами в том, что поверхности S1 и S 2 составляют контрольную поверхность контрольного элемента в начальный момент времени t ;

область С – часть пространства, которую полностью заполнили «наши» частицы, вытеснив из неё бывшую там жидкость, вытеснив «чужие» частицы, причём, «наши» частицы перетекли в область С исключительно через поверхность S1.

В начальный момент времени t массу контрольного элемента можно представить суммой масс двух областей: А и В:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа В момент времени ( t + Dt ) эту же величину можно представить суммой масс двух других областей В и С:

Изменение массы контрольного элемента за время D t (мы помним, что это изменение равно нулю) можно выразить формулой:

Добавим и вычтем в уравнении (3.4) массу области А в момент времени ( t + Dt ) и сгруппируем члены следующим образом:

Заметим, что в уравнении (3.5) суммы в круглых скобках равны массе контрольного элемента в моменты времени ( t + Dt ) и t соответственно:

Разделим обе части уравнения (3.5) на D t и заменим круглые скобки равенствами (3.6) и (3.7);

в результате уравнение (3.5) примет вид:

Рассмотрим физический смысл разностных соотношений в уравнении (3.8). Первая дробь означает изменение за время D t массы в одной и той же области (А+В) пространства Предел такого отношения при Dt ® 0 есть частная производная по времени от массы жидкости в этой области пространства:

Физический смысл выражения M Ct +Dt ), стоящего в числителе второй дроби, означает массу «наших» частиц, поступивших в область С через поверхность S1. Эту массу можно вычислить через скорость и плотность жидкости следующим образом. Рассмотрим на поверхности S элемент площадью dS, столь малых размеров, что на всей его поверхности можно считать скорость одинаковой по величине и направлению. Тогда объём жидкости, прошедшей через элемент dS за отрезок времени D t, можно выразить произведением Vn Dt dS, где Vn есть проекция скорости V на направление нормали n. Умножив найденное выражение на плотность, получим массу «наших» частиц, перетекших в область С через элемент площадью Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа dS : r Vn Dt dS. Интегрируя это выражение по всей поверхности S1, получим массу «наших»

частиц, равную M Ct +Dt ) :

Физический смысл выражения M At +Dt ) означает массу «чужих» частиц, поступивших в область А через поверхность S 2 за время D t. Эту массу можно вычислить через скорость и плотность жидкости аналогичным способом (надо только учесть, что направление скорости и внешней нормали к поверхности в этом случае не совпадают, и после знака равенства надо поставить знак «минус»):

Таким образом, вторая дробь в уравнении (3.8) может быть представлена выражением:

Из уравнений (3.8), (3.9) и (3.12) получаем уравнение неразрывности в интегральной форме:

Смысл этого уравнения очевиден: изменение массы в любой фиксированной области пространства за время dt равно изменению количества массы жидкости, прошедшей за это время сквозь поверхность, ограничивающую данную область пространства. Важно иметь виду, что в формуле (3.13) объём W - это объём области, ограниченной поверхностью S.

Получим векторную запись уравнения неразрывности в интегральной форме. Для этого вспомним, что единичная нормаль к поверхности n есть вектор, проекции которого на оси координат определяются направляющими косинусами:

Вспомнив правила вычисления скалярного произведения двух векторов, направленными под углом j друг к другу, получим:

Из уравнений (3.13) и (3.15) получаем:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Связь интегральной и дифференциальной форм уравнения неразрывности.

Покажем, что из уравнений (3.13) или (3.16) можно получить уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Представим второе слагаемое этих уравнений (поверхностный интеграл) в развёрнутом виде, воспользовавшись правилом вычисления скалярного произведения двух векторов Заметим, что выражения представляют собой проекции элементарной площадки поверхности S на координатные плоскости.

Поэтому уравнения (3.13) и (3.16) можно записать в виде:

Применим к уравнению (3.19) формулу Остроградского. Остроградский опубликовал свою формулу в 1831 году в следующем виде:

В наших обозначениях применительно к уравнению (3.17) эта формула принимает вид:

Из уравнений (3.16), (3.17) и (3.21) следует:

В уравнении (3.22) внесём знак частной производной по времени под знак интеграла – это можно сделать, так как интегрирование ведётся по пространству, и результат не зависит от последовательности операций. Кроме того, сумма интегралов равна интегралу суммы, если переменная интегрирования и область интегрирования для обоих интегралов являются одними и теми же. С учётом сказанного уравнение (3.22) можно переписать в виде:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Коши, Пуассона, Фурье, Лапласа, Лежандра.

За шесть лет жизни в Париже молодой математик опубликовал в трудах Парижской Академии наук несколько талантливых работ, получил признание Коши и многих выдающихся французских математиков. Но Михаила влечёт на родину. В 1828 г. он отправляется домой. По дороге его ограбили, и от Франкфурта-на-Майне он добирался до Петербурга пешком. В России за подозрительным пешеходом с «порочным» студенческим прошлым был установлен тайный полицейский надзор, о чём он, к счастью, не догадывался всю жизнь.

С возвращением на родину начался плодотворный творческий период его жизни: уже через два года его избирают членом Академии наук по прикладной математике, а чуть позже его избирают членом многих зарубежных Академий наук. Основные работы Остроградского посвящены математической физике, механике, гидродинамике, теории упругости, аналитической механике, распространению тепла.

Формулу Остроградского он опубликовал в 1831 г. в возрасте 30 лет. Для одного частного случая аналогичная формула была получена Гауссом в 1813 г. Поэтому в западной литературе эта формула называется «теоремой Гаусса-Остроградского».

Жизненный путь, научная и педагогическая деятельность Остроградского служили примером для многих поколений российских граждан. Молодых людей, отправлявшихся на учёбу за границу, родные напутствовали словами: «Становись Остроградским».

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Если интеграл от некоторой функции равен нулю на произвольной, любой и каждой, области интегрирования, то такая функция тождественно равна нулю. Следовательно, из уравнения (3.23) и того факта, что контрольный элемент с объёмом W выбран произвольно, в любой области изучаемого потока жидкости, произвольной формы и размеров, следует, что подинтегральное выражение тождественно равно нулю:

Уравнение (3.24) совпадает с уравнением (2.21) и является дифференциальной формой уравнения неразрывности.

Примеры использования интегральной формы уравнения неразрывности для решения задач Задача 1. Получить основное уравнение расхода несжимаемой жидкости в трубопроводе переменного сечения.

Решение: В уравнении неразрывности (3.16) знак частной производной по времени можно внести под знак интеграла – результат от этого не изменится. По условию задачи r = const и производная от постоянной величины равна нулю.. Тогда получим:

Уравнение неразрывности принимает вид:

где Vn - нормальная составляющая скорости к поверхности dS.

Рассмотрим трубопровод переменного сечения, Рис. 9. Выделим пунктиром контрольный элемент W и контрольную поверхность S. Разобьём контрольную поверхность на три области:

область S1 - поперечное сечение на входе жидкости в трубопровод, S 2 - поперечное сечение на выходе жидкости из трубопровода, S3 - боковая поверхность трубопровода.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уравнение (3.26) можно представить как сумму трёх интегралов:

Скорости в уравнении (3.27) Vn, V1, V2, V3, как было уже подчёркнуто, представляют собой нормальные составляющие скорости, величины которых в разных точках сечения Si могут быть различны. Знак минус перед первым интегралом поставлен потому, что направление скорости V1 и нормали к сечению S1 противоположны. В уравнении (3.27) последнее слагаемое равно нулю, так как скорость V3 равно нулю (стенки трубопровода непроницаемы). В отношении двух других интегралов воспользуемся теоремой о среднем значении интеграла и получим алгебраическое равенство:

В уравнении (3.29) скорости V1 и V2 есть средние значения скоростей в сечениях 1 и 2, площади которых обозначены соответственно S1 и S Задача 2. Получить основное уравнение расхода сжимаемой жидкости в трубопроводе переменного сечения в условиях установившегося режима течения.

Задача 3. (John J.E. Introduction to fluid mechanics. N.Y.,1980. p.587) В установившемся режиме работы насоса, Рис. 10, распределение скорости жидкости во всасывающем патрубке (сечение 1-1) имеет параболический вид:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа а на выходе из насоса (сечение 2-2) – равномерное распределение скорости:

V2 = const.

Найти скорость V2, если r1 = r 2 ; d1 = 250; d 2 = 300 (диаметры указаны в мм, скорость – м/с) Решение.

Для установившегося режима течения жидкости справедливо:

Выберем контрольную поверхность, как показано пунктиром на рисунке. Стенки патрубков и насоса непроницаемы, следовательно, Vn на боковых поверхностях равна 0. Из уравнения неразрывности получаем:

Раскроем подинтегральные выражения и используем равенство r1 = r Выполним интегрирование:

Отсюда получаем:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Задача 4. В установившемся режиме работы насоса распределение скорости жидкости во всасывающем патрубке имеет вид:

а распределение скорости на выходе из насоса имеет вид Известно: R1 = 100, R2 = 80, Vmax1 =1, m1 = 3, 22; m2 = 3, Найти максимальную скорость на выходе из насоса Vmax 4. Уравнение динамики жидкости «в напряжениях»

Механика жидкости и газов развивалась эволюционным путём: от простого к сложному, от частного к общему. Можно сказать, что уравнение динамики жидкости начинает свою историю от второго закона Ньютона:

В уравнении (4.1) размерность величин такова: [ m ]= кг, [ a ]=, [ f ]= Н. Если мы разделим обе части равенства на массу m, и выразим ускорение через скорость, то уравнение (4.1) можно записать в виде:

Уравнение движения идеальной жидкости (жидкости, лишённой вязкости) впервые получил Леонард Эйлер. Когда Вы познакомитесь с уравнением Эйлера, вспомните уравнение (4.2).

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уравнения движения вязкой жидкости впервые получил французский учёный и инженер Анри Навье. Нам удобнее не повторять историю гидродинамики, а применить принцип «от общего к частному». Мы познакомимся с выводом наиболее общего уравнения движения жидкости, известного под названием «уравнение динамики жидкости «в напряжениях», а из него в качестве частных случаев, получим уравнения Эйлера для покоящейся жидкости, уравнения Эйлера движения идеальной жидкости, уравнения Эйлера в форме Громеко-Ламбе, уравнения НавьеСтокса. Вывод уравнения динамики жидкости «в напряжениях» выполним, используя теорему об изменении главного вектора количества движения.

Применительно к механике жидкости и газа эта теорема формулируется следующим образом:

производная по времени от главного вектора количества движения жидкости в объёме контрольного элемента равна главному вектору внешних массовых и поверхностных сил, ограничивающей его поверхности.

Здесь K - главный вектор количества движения, F W - главный вектор внешних массовых сил, F S - главный вектор поверхностных сил.

Главный вектор массовых сил F W в объёме W :

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Главный вектор поверхностных сил F S, действующих на поверхности S :

Подставив выражения K, F W и F S в уравнение (4.3), получим:

Преобразуем левую часть уравнения (4.4), помня о том, что:

- результат вычисления производной по времени от пространственного интеграла не зависит от последовательности действий – знак производной можно внести под знак интеграла;

- производная по времени от массы контрольного элемента равна нулю – масса ( r dW ) остаётся неизменной в течение всего периода наблюдений.

теории упругости, гидравлике и гидромеханике. Автор курса сопротивления материалов. Навье сформулировал теорию упругости в математическом виде (1821 г.), сделав её пригодной для применения в строительстве с достаточной точностью. Его основной вклад (1822) – уравнение движения вязкой жидкости, играющее ключевую роль в гидродинамике (уравнение НавьеСтокса).

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Воспользуемся уравнением (1.7) применим формулу Остроградского (см. уравнение (3.21)):

Объединим пространственные интегралы в уравнениях (4.4,4.5 и 4.6) и перенесём их в левую часть уравнения:

В силу произвольности выбора формы и размеров контрольного элемента W, то-есть в силу произвольности области интегрирования, равенство пространственного интеграла (4.7) нулю означает равенство нулю подынтегральной функции всюду в этой области. Отсюда мы получаем уравнение динамики жидкости «в напряжениях»:

Другие формы представления этого уравнения с использованием тензора напряжений (см.

(1.8)):

В дальнейшем нам потребуется развёрнутая форма уравнения динамики жидкости «в напряжениях» в проекциях на оси координат. Воспользуемся выражением полной производной по времени от скорости, как от функции четырёх переменных :

причём, а результирующий вектор объёмных сил F имеет проекции на оси координат X, Yи Z :

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа С учётом сделанных замечаний уравнение динамики жидкости «в напряжениях» в проекциях на оси координат представим в виде:

5. Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости Под идеальной жидкостью понимают жидкость, лишённую вязкости. Рассматривая только ньютоновские жидкости, мы должны отметить, что в идеальной ньютоновской жидкости нет жидкостного трения и обусловленных им касательных напряжений. Следствием этого является гидростатического давления при движении идеальной жидкости.

Дифференциальные уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости мы получим из уравнения динамики жидкости «в напряжениях» при следующих значениях входящих в него величин:

После подстановки в уравнения (4.12,4.13,4.14) значений (5.1) получаем уравнения Эйлера:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Векторная форма уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Леонард Эйлер (1707-1783) родился в семье пастора, г. Базель, Швейцария. В 13 лет был принят в работы Эйлер написал на русском языке. Первый начальный учебник «Руководство к арифметике» в России был написан Эйлером. Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. За первый период 15-летнего пребывания в России (1726-1741) он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

В период 1741-1766 г Эйлер работал в Берлине, оставаясь почётным членом Российской АН и получая жалованье. В 1766 г. по настоянию Екатерины II Эйлер навсегда вернулся в Россию и плодотворно работал до своей смерти в возрасте 76 лет. Похоронен в Петербурге.

Основные работы Эйлера: «Введение в анализ бесконечно малых», «Морская наука», «Теория движения Луны», «Наставление по дифференциальному исчислению», «Теория движения твёрдых тел», «Элементы вариационного исчисления», «Начала алгебры», «Полный курс алгебры», трёхтомник «Оптика», трёхтомник «Интегральное исчисление» и др. – всего свыше 800 работ.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости в форме Громека-Ламба поверхности сферы (1885 г.), ряд случаев равновесия идеального газа, механику кровообращения.

Н.Е. Жуковский: «Работы профессора Казанского университета Громеки И.С., к сожалению, малоизвестны, а между тем в них разрешаются многие вопросы гидромеханики. Он дал оригинальное изложение теории капиллярных явлений, исследовал движение вихрей на сфере, исследовал движение капель, движение вязкой жидкости в трубах, причем нашел интересный тип движения жидкости, который он назвал винтовым. Некоторые из теорем об установившемся движении жидкости, обыкновенно приписываемые Ламба, раньше найдены Громекой».

Приступим к выводу уравнения Эйлера в форме Громеко-Ламба. В уравнениях Эйлера динамики идеальной жидкости (5.5-5.7), добавим и вычтем слагаемые, выделенные жирным шрифтом:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Заметим, что в уравнении (5.9) присутствуют слагаемые сумма которых может быть представлена в виде:

В уравнении (5.9) разности представляют собой проекции вектора rotV V на ось 0x. Убедитесь в этом сами:

С учётом сказанного уравнения (5.5-5.7) можно записать в следующем виде:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уравнения динамики идеальной жидкости в виде уравнений (5.18-5.20) впервые были получены И.С.Громекой и независимо от него английским учёным Г. Ламба (1879).

В векторной форме уравнение Громека-Ламба записывается более компактно:

6. Закон трения Стокса в главной системе координат.

Стокса – его фундаментальный вклад в механику жидкости и газа. В честь Джорджа Стокса названа единица кинематической вязкости стокс, Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Вы уже знакомы с законом Ньютона для внутреннего трения в жидкости, который связывает между собой напряжение t внутреннего трения (напряжение сдвига) и градиент скорости V.

Эта зависимость была получена опытным путём и предложена Исааком Ньютоном в 1687 году для одномерного движения несжимаемой жидкости. Коэффициент пропорциональности m, Па с, называют коэффициентом динамической вязкости.

Формула (6.1) отражает гипотезу И.Ньютона о том, что напряжения сдвига при движении жидкости прямо пропорциональны скорости угловой деформации. Обобщение этой гипотезы на случай трёхмерного пространства осуществил Джордж Стокс. Полученный им закон называют обобщённым законом Ньютона или законом Стокса для внутреннего трения в жидкости.

Связь между напряжённым состоянием жидкости и скоростью её деформации зависит от свойств жидкости и может быть найдена только эмпирическим путём. Закон трения Стокса устанавливает соотношение между напряжённым состоянием жидкости и скоростями деформаций в предположении, что эта связь является аналогичной закону Ньютона.

Это означает, что каждый элемент тензора напряжений может быть выражен через элементы тензора скорости деформаций. Вспомним выражения этих тензоров:

Рассмотренные ранее четыре вида движения жидкости характеризуются следующими величинами:

составляющими Vx, Vy, Vz скорости V ;

- вращательное (как твёрдое тело) движение определяется составляющими w x, w y, w z угловой скорости w ;

- линейное (или объёмное) расширение (сжатие) связано со скоростью линейной или объёмной относительной деформации e xx, e yy, e zz, e W ;

- искажение геометрической формы связано со скоростями относительной угловой деформации e xy, e yz, e zx.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Только два последних движения вызывают деформацию элемента жидкости; первые же два движения даже в самом общем случае вызывают только смещение элемента жидкости из его первоначального положения.

Тензор напряжения для покоящейся жидкости имеет вид:

Девиатор тензора напряжений.

Девиатором тензора напряжений называют тензор, которому соответствует матрица D, напряжённого состояния:

Нормальные напряжения девиатора тензора напряжений и нормальные напряжения тензора напряжений связаны соотношениями:

Свойства девиатора тензора напряжения:

1) Матрица девиатора тензора напряжения симметрична, поскольку симметричны матрицы, разницей которых она является, см. (6.5);

2) Девиатор тензора напряжения покоящейся жидкости тождественно равен нулю 3) В главной системе координат девиатор тензора напряжений имеет диагональный вид, так как матрицы тензора напряжений в главных осях и тензор напряженного состояния покоящейся жидкости имеют диагональный вид;

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа 4) Элементы девиатора тензора напряжений не зависят от величин Vx, Vy, Vz и w x, w y, w z.

Действительно, эти величины определяют поступательное и вращательное движение жидкости; такое движение представляет собой движение квазитвёрдого тела, которое не сопровождается ни линейными, ни угловыми деформациями.

диагональный вид.

Вспомним, что в главных осях координат каждый из тензоров (6.2) принимает диагональный вид и содержит в общем случае по три величины. Естественно ожидать, что закон внутреннего трения жидкости не зависит от выбора системы координат, и вязкости должны быть инвариантными величинами относительно поворота осей координат в конкретной точке.

В главных осях координат (а Вы знаете, что главные оси тензора напряжения и тензора деформаций совпадают) искомых коэффициентов пропорциональности будет только 9. По этой причине вывод закона трения Стокса проведём сначала для главной системы координат, в ней определить коэффициенты будет проще, а лишь потом перенесём полученный результат на произвольную систему координат.

Как было уже отмечено, из всех величин, определяющих движение и напряжённое влияют на элементы девиатора тензора напряжений в главной системе координат. Это величины e x ' x ', e y ' y ', e z ' z '. Заметим, что скорости угловых деформаций e x ' y ', e y ' z ', e z ' x ' в главной системе координат равны нулю.

угловых деформаций e x ' x ', e y ' y ', e z ' z '. Запишем эти зависимости в общем виде:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Найти все девять коэффициентов (девять коэффициентов вязкости) без ещё одного очень важного допущения мы не сможем. Им является требование наличия изотропных свойств у жидкости. До сих пор мы нигде не требовали, чтобы жидкость была изотропной. Теперь же будем оговаривать, что все полученные ниже формулы имеют силу лишь для изотропных жидкостей, для которых можно считать все свойства независимыми от направления в пространстве. Очевидно, что это допущение не является обременительным, поскольку анизотропия свойственна лишь неньютоновским жидкостям, которые мы не рассматриваем, и жидким кристаллам.

Для изотропных жидкостей уравнения (6.9-6.11) сохраняются при любом выборе направлений координатных осей, то-есть коэффициенты aij перед скоростями угловых деформаций должны сохранять свои значения при любом направлении координатных осей. Это так же естественно, как утверждать, что динамическая вязкость в законе трения Ньютона одинакова при движении жидкости в любом направлении: вправо, влево, вверх или вниз под углом. Воспользуемся свойством изотропии и запишем уравнения (6.9-6.11) в другой системе координат, где ось 0 x ' заменена на ось 0 z ', а ось 0 z ' заменена на ось 0 x '.

Тогда уравнения (6.9-6.11) в новой системе координат примут вид:

Коэффициенты aij, стоящие перед скоростями угловых деформаций, например, перед e x ' x ', должны быть одинаковыми в любой системе координат. Поэтому из сопоставления уравнений (6.9) и (6.14) следует:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Запишем теперь уравнения (6.9-6.11) в системе координат, где ось 0 x ' заменена на ось 0 y ', а ось 0 y ' заменена на ось 0 x '. Тогда уравнения (6.9-6.11) в этой системе координат примут вид:

Из сопоставления уравнений (6.13) и (6.18) следует:

Из сопоставления уравнений (6.14) и (6.19) следует:

Подведём итоги:

Исходные уравнения (6.9-6.11) принимают вид:

Для коэффициентов a и b были введены новые обозначения:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа В новых обозначениях уравнения (6.28-6.30) принимают вид:

В развёрнутом виде с учётом уравнений (6.6) получаем закон трения Стокса в главной системе координат:

В законе трения Стокса коэффициент m - это знакомая нам динамическая вязкость.

Коэффициент l получил название второй или объёмной вязкости. Физическая природа второй вязкости долгое время оставался непознанной. Для несжимаемой жидкости, для которой 7. Закон трения Стокса в произвольной системе координат.

Обратите внимание: закону трения Стокса в главной системе координат соответствуют три уравнения (6.36-6.38) – уравнения, устанавливающие зависимость трёх нормальных напряжений ( px ' x ', p y ' y ', pz ' z ' ) от скоростей относительных линейных деформаций.

В произвольной системе координат в общем случае закон трения Стокса должен будет отображать зависимость уже шести напряжений от шести скоростей деформаций. Для того, чтобы получить закон трения Стокса в общем виде, достаточно в уравнениях (6.36-6.38) заменить координаты и величины в главной системе координат на аналогичные величины в произвольной системе координат. Иными словами, нам нужно иметь соотношения для координат, скоростей, напряжений, скоростей относительных линейных и угловых деформаций в системах координат, которые можно совместить простым поворотом осей координат.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Соотношения координат при повороте осей координат.

Тогда нужные нам соотношения можно записать так:

Учтём, что орты систем координат связаны соотношениями:

Свойства скалярного произведения позволяют получить несколько соотношений, которые потребуются нам чуть позже. Из равенств Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Маленький секрет. Как не перепутать индексы в этих простых и важных соотношениях ?

Я с самого начала нарисовал «шпаргалку», которой всё время пользовался, вот она:

Запомнить, как построена «шпаргалка», нетрудно, а как пользоваться ею, я показывал на своём примере. Далее она нам снова пригодится.

Соотношение скоростей в главной и произвольной системах координат.

Искомые соотношения можно получить из соотношений (7.1-7.6), используя определение скорости:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Дифференцируя соотношения (7.1-7.6) по времени, получаем:

Соотношение скоростей относительных линейных деформаций в главной и произвольной системах координат.

отсутствуют, и, следовательно, Напомним, что проекции скорости на оси координат являются сложными функциями независимых переменных и справедливо выражение:

Продифференцируем уравнение (7.25) трижды: по x ', по y ' и по z ' :

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Подставим в уравнение (7.29) выражения (7.32-7.35) :

Повторив предыдущие выкладки с уравнениями (7.30.) и (7.31), получим:

Соотношение скоростей угловых деформаций в главной и произвольной системах координат.

В произвольной системе координат скорости угловых деформаций можно вычислить из соотношений:

Вычислим частную производную от Vy по z :

Продифференцируем уравнение (7.26) трижды: по x ', по y ' и по z ' с учётом (7.32):

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Подставим в уравнение (7.42) выражения (7.32, 7.43-7.45) :

Повторим выкладки (7.42-7.46) для частной производной от Vz по y :

Дифференцируем уравнение (7.27) трижды: по x ', по y ' и по z ' с учётом (7.32):

Подставим в уравнение (7.47) выражения (7.31, 7.48-7.50) :

Подставим в уравнение (7.41) выражения из уравнений (7.46) и (7.51) :

Отметим, что сложив уравнения (7.36-7.38) и используя равенства (7.14-7.19), имеем:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Соотношение напряжений в главной и произвольной системах координат.

В проекции на ось 0y поверхностных сил, отбрасывая слагаемые с массовыми силами, получим следующее уравнение:

Мы уже отмечали, что Подставим (7.57) в (7.56):

Повторив все выкладки для площадок АВС, перпендикулярных осям 0x и 0z:

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Применим принцип Д’Аламбера к проецированию сил на ось 0х:

Повторив все выкладки для площадок АВС, перпендикулярных осям 0x и 0z:

Используем закон трения Стокса в главной системе координат для преобразования уравнениям (6.36-6.38):

Уравнение (7.65) легко упрощается, если принять во внимание, что сумма квадратов косинусов (7.14-7.19) равна 1.

Кроме того, используем уравнение (7.37) и (7.55) и повторим всё для (7.58) и (7.60) :

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уравнения для касательных напряжений в произвольной системе координат получим, использовав уравнения (7.62-7.64) и (6.36-6.38):

Уравнение (7.69) легко упрощается, если принять во внимание, что сумма попарных произведений косинусов (7.8-7.13) равна нулю. Следует принять во внимание также уравнения (7.52), (7.53) и (7.54).

или, учитывая также уравнения (7.39-7.41) и (7.52-7.54) и повторив всё для (7.63) и (7.62):

Уравнения (7.66-7.68, 7.71-7.73) и есть закон трения Стокса в произвольной системе координат.

Гипотеза Стокса. Вторая вязкость.

Если применять закон трения Стокса для жидкостей и газов, для которых дивергенция физический смысл коэффициента l в уравнениях (7.66-7.68)? Как его определить ? Более ста лет эти вопросы оставались без ответа. Сейчас, в эпоху высоких скоростей, сверхзвуковых полётов, многое прояснилось, хотя важные вопросы, связанные с коэффициентом терминологию, продолжают обсуждаться в научных кругах.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Чаще всего коэффициент l называют второй вязкостью или объёмной вязкостью. Вторая вязкость проявляется в сжимаемых средах и характеризует превращение механической энергии в тепловую при объёмных деформациях. Коэффициент l ответственен за интенсивность поглощения звуковых колебаний, и для определения его используют экспериментальные данные по поглощению и дисперсии звука. Величина l зависит от температуры и давления, в жидкостях она больше, чем в газах, на 1—3 порядка.

Стокс был первым, кто рассмотрел проблему второй вязкости. Он в совершенстве знал теорию упругости и гидродинамику и обладал научной интуицией. Он первым связал коэффициент l с особенностями распространения звука. В своих выводах он опирался и на аналогию теории упругости и гидродинамики, и на свои физические представления. И всё же его гипотеза, чрезвычайно востребованная временем, была скорее гениальной догадкой, нежели научно обоснованным результатом.

В 1845 году Джордж Стокс опубликовал свою гипотезу: коэффициент l жёстко связан с динамической вязкостью m соотношением:

подтверждается опытом, хотя существует и множество ситуаций, когда она не верна, или не совсем точна. В случае подтверждения гипотезы Стокса закон трения Стокса становится применимым и для несжимаемых, и для сжимаемых жидкостей и газов в следующем виде.

Именно в этом виде, с учётом гипотезы Стокса, мы используем закон трения Стокса при выводе уравнения Навье-Стокса.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа 8. Уравнение Навье-Стокса Исходными уравнениями для вывода уравнения Навье-Стокса являются уравнения динамики в напряжениях и закон трения Стокса. Концепция вывода проста: достаточно подставить в уравнения движения соотношения закона трения, который связывает компоненты тензора напряжений со скоростями деформаций. В результате из уравнений движения исчезнут частные производные от нормальных и касательных напряжений, и число неизвестных величин резко сократится.

Вспомним, как выглядят уравнения динамики в напряжениях в проекции на оси координат:

Подставим уравнения (7.75-7.80) в уравнения (8.1-8.3) и получим уравнения Навье- Стокса.:

dVx dVy dVz В этих уравнениях коэффициент динамической вязкости, которая в общем случае, зависит от температуры и давления, является в неизотермических течениях жидкости и газа функцией четырёх переменных ( x, y, z, t ) и не может быть вынесен за знак производной. Но в изотермических течениях, в силу слабой зависимости динамической вязкости от давления, её можно считать постоянной величиной и вынести за знак производной. В этом случае обычно заменяют частное от деления динамической вязкости m на плотность r кинематической Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения жидкости уравнении (8.4):

dVx или Используем обозначение дифференциального оператора Лапласа (лапласиан, оператор дельта) Окончательная форма уравнения:

Выполним аналогичные действия с уравнением (8.5) :

или Окончательная форма уравнения в проекции на ось 0 y :

Выполним аналогичные действия с уравнением (8.6) dVz или Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Окончательная форма уравнения в проекции на ось 0z :

Векторная форма записи уравнения Навье-Стокса для изотермического течения:

Уравнение Навье –Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости.

Вы уже знаете, что для несжимаемой жидкости дивергенция вектора скорости равна нулю.

Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости ещё более упростится:

Или в проекциях на оси координат:

Уравнение Навье-Стокса в безразмерном виде. Числа и критерии подобия.

Рассмотрим в качестве примера уравнение Навье-Стокса в проекции на ось 0x (8.20):

Введём относительные, безразмерные величины следующим образом Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Заметим, что справедливы соотношения типа :

Перейдём в уравнении (8.23) к относительным величинам:

Все члены этого уравнения имеют одну и ту же размерность, в данном случае, м/с2 (Н/кг).

Каждый член этого уравнения представляет собой произведение двух комплексов величин:

- относительных, безразмерных величин:

- размерных коэффициентов; в данном случае размерность коэффициентов м/с2 (Н/кг):

Очень важно отметить, что размерность каждого коэффициента одна и та же.

Следовательно, если мы поделим всё уравнение на один из этих коэффициентов, то получим уравнение в безразмерном виде. Разделим уравнение на коэффициент :

Введём общепринятые обозначения:

Мы получили очень важную форму уравнения Навье-Стокса - уравнение в безразмерном виде. Коэффициенты этого уравнения являются безразмерными величинами, составленными из размерных физических величин, определяющих закономерности движения жидкости и газа.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Коэффициенты уравнения (по-другому, числа и критерии подобия), названы в честь имени учёных, внёсших своими работами основной вклад в изучение процессов, связанных с данным безразмерным комплексом.

Число Струхала Sh ( или Sr, St )– безразмерный параметр, равный отношению характерного времени движения частиц к характерному времени процесса. Число Струхала - один из критериев подобия нестационарных течений жидкостей и газов, характеризующий постоянство протекания процессов во времени.

Число Фруда Fr - безразмерный параметр, который характеризует соотношение между инерционной силой и силой тяжести. Число Фруда применяют при моделировании движения кораблей, течений воды в открытых руслах, испытаниях моделей гидротехнических сооружений.

Введено У. Фрудом в 1870.

Число Эйлера Eu - безразмерный параметр, характеризующий соотношение между силами давления на единичный объём жидкости и инерционными силами:

Число Рейнольдса Re - безразмерный параметр, характеризующий соотношение инерционных и вязкостных сил:

Для течения жидкости внутри круглых труб число Рейнольдса вычисляют по формуле:

где V - средняя скорость, d - внутренний диаметр трубы, n - кинематическая вязкость.

Критическое число Рейнольдса для круглых труб равно 2300. При числах, меньших 2300, наблюдается устойчивое ламинарное течение.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Винсенс Струхаль (1850-1992), чешский физик и гидродинамик. Один из основателей физического факультета и ректор в Карловом университете в Праге. Исследовал в 1878 году колебания струн, процесс возникновение звука, измерял частоту колебаний проводов линий электропередач при различных скоростях ветра. Обнаружил, что причиной возникновения звука при колебании струны являются периодический отрыв воздуха и связанное с ним вихреобразование. Он первым предложил использовать число Струхала для анализа экспериментальных данных нестационарных процессов. Именем Струхала назван один из крупных астероидов (за номером 7391).

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Уильям Фруд (1810 —1879) — английский инженер, основоположник корабельной гидродинамики. Получил образование в Оксфорде. Разработал теорию, позволяющую рассчитать сопротивление воды движению судна по результатам испытаний модели. Является создателем первого в мире опытового бассейна.Первый в России (шестой в мире) опытовый бассейн был введён в эксплуатацию в полном объёме в 1894 г на острове Новая Голландия в Санкт-Петербурге.

Здесь испытывались модели первого в мире ледокола «Ермак», модели практически всех наших подводных лодок и боевых кораблей. На базе опытового бассейна был создан институт военного кораблестроения, ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа Осборн Рейнольдс (Osborne Reynolds; 1842–1912), английский инженер и физик. Родился в Белфасте в семье священнослужителя. С 18 лет работал в механической мастерской, поступил в Кембриджский университет, где изучал математику и механику. Окончил университет в 1867 г. В 1868–1905 гг. — профессор кафедры строительной механики Манчестерского университета. С 1888 г. возглавлял Витвортовскую инженерную лабораторию. Работы Рейнольдса посвящены механике, гидродинамике, теплоте, электричеству, магнетизму. В 1883 г. Рейнольдс установил, что ламинарное течение переходит в турбулентное, когда введенная им безразмерная величина (число Рейнольдса) превышает критическое значение.

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа 9. Контрольные вопросы 1. Почему уравнение Навье-Стокса применимо только для изотропной жидкости ?

2. Как упростится уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости (уравнение 5.5) для установившегося течения жидкости ?

3. Используя интегральную форму уравнения неразрывности, получите уравнение расхода для потока сжимаемой жидкости в трубопроводе переменного сечения.

4. Докажите, что главные оси тензора напряжений, девиатора и тензора деформаций 5. Покажите связь критериев подобия с фундаментальными уравнениями механики жидкости 6. В каком из рассмотренных уравнений вращательная составляющая движения жидкости присутствует в явном виде?

7. В чём заключается особенность применения уравнения Эйлера кинематики твёрдого тела к изучению течения жидкости ?

Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа 10. Список литературы 1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – Учеб. для вузов.-Изд.6-е, перераб. и доп.-М.:

Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987.-840 с.

2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: Учебник для вузов по спец. "Гидравлические машины и средства автоматики".- М.: Машиностроение, 1987.- 440с. (1978- 463с.) 3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит.,1974, 712 с.

4. John J.E. Introduction to fluid mechanics. N.Y.,1980. p. Оглавление В.П.Харитонов. Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа