«В. Н. КОРОВКИН, Н. А. КУЛИК ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методический комплекс для студентов строительных специальностей Под общей редакцией Н. А. Кулик Новополоцк ПГУ 2009 УДК 531(075.8) ББК 22.21я73 К68 Рекомендовано ...»

Модуль ударного импульса за обе фазы Разность скоростей тел после удара, согласно уравнению (3.128), равна 3.13.6. Потеря кинетической энергии при неупругом прямом центральном ударе (теорема Карно) Сумма кинетических энергий соударяющихся тел до удара Сумма кинетических энергий тех же тел после неупругого удара где U определяется по формуле (3.122).

Потеря кинетической энергии при ударе Сумму, стоящую в квадратных скобках, преобразуем следующим образом:

Формула (3.132) выражает теорему Карно: потеря кинетической энергии при неупругом ударе равна кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям.

Потерянными скоростями называются разности скоростей (V1 U ) и Можно также получить выражение (3.132), не содержащее U:

3.13.7. Потеря кинетической энергии при не вполне упругом прямом центральном ударе Сумма кинетических энергии соударяющихся тел до удара Сумма кинетических энергий тех же тел после не вполне упругого удара Потеря кинетической энергии за время удара Подставляя значения U1 и U2, выраженные формулами (3.128), получаем При неупругом ударе, когда k = 0, формула (3.135) переходит в формулу (3.133).

3.14.1. Прямолинейное гармоническое колебательное движение материальной точки Определим закон движения точечной массы m под действием силы, пропорциональной расстоянию от некоторого неподвижного центра и направленной в сторону последнего.

дем ось Ох (рис. 3.12). Если принять за начало отсчета точку О, то Рис. 3.12. К выводу дифференциального по условию на данную точечную уравнения движения (3.137) массу будет действовать единственная сила притяжения к неподвижному центру (называемая восстанавливающей силой), изображенная вектором F. Проекция этой силы на ось Ох равна сх, где с – постоянный коэффициент, а х – координата.

Следовательно, в данном случае дифференциальное уравнение движения точечной массы будет иметь вид Разделив уравнение (3.136) на m и обозначив к виду Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общим решением уравнения (3.137) является где а и 0 – постоянные.

Это уравнение представляет собой закон рассматриваемого движения. Как известно из кинематики, движение, происходящее согласно данному закону, называется гармоническими колебаниями. В формуле (3.138) постоянная a, называемая амплитудой колебаний, представляет собой максимальное отклонение движущейся точечной массы от положения равновесия (точки О). Аргумент синуса t + 0 называется фазой колебаний в момент времени t, а угол 0 – начальной фазой. Фаза и начальная фаза измеряются в радианах. Величина называется круговой (или угловой) частотой колебаний.

Размерность круговой частоты [] = рад/с = 1/с.

Период колебаний – промежуток времени, после которого колеблющаяся точка возвращается в данное положение с той же скоростью, Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний. Единицей частоты служит 1 герц (обозначается Гц). Частота 1 Гц соответствует 1 периоду в 1 секунду.

Эта величина называется начальным отклонением колеблющейся материальной точки. Скорость последней в произвольный момент времени t Это выражение для начальной скорости.

Максимальные значения скорости достигаются при cos(t + 0 ) = ±1, или sin(t + 0 ) = 0, что соответствует условию х = 0, то есть моментам прохождения колеблющейся точкой положения равновесия.

Закон гармонических колебаний (3.138) можно преобразовать следующим образом:

Формула (3.141) выражает закон гармонического колебательного движения через начальные значения параметров ( x0 и Vx 0 ).

Величина амплитуды Согласно формуле (3.142), амплитуда зависит от начальных параметров колебания ( x0 и Vx 0 ). Отметим, что в формулы для круговой частоты и периода колебаний начальные параметры не входят.

Начальная фаза находится из выражения 3.14.2. Прямолинейное затухающее колебательное движение материальной точки Рассмотрим движение точечной массы т вдоль оси Ох под действием восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению от начала отсчета, и силы сопротивления R, пропорциональной скорости (направленной против скорости, как показано на рис. 3.13.) дифференциального уравнения На основании (3.144) закон движения данной точечной массы имеет вид где 0 – начальная фаза; 1 – круговая частота, 1 = 2 n 2 (2 – n2 > 0).

Постоянная n = называется коэффициентом затухания (его разm мерность [n] = c–1). Такое движение называется затухающими колебаниями.

Начальное отклонение колеблющейся точки x0 = sin 0.

Скорость точки в произвольный момент времени t находим путем дифференцирования по времени выражения (3.145).

Начальная скорость Учитывая полученные выражения, находим Уравнение затухающих колебаний (3.145) можно преобразовать так:

Из рассмотрения формулы (3.147) следует, что колеблющаяся точка проходит через положение равновесия ( x обращается в нуль) через равные промежутки времени, соответствующие полупериоду функции sin(1t + 0 ).

Промежуток времени условно называется периодом затухающих колебаний, хотя строго говоря, функция в правой части уравнения (3.145) не является периодической:

для всех значений x, кроме x = 0.

Можно показать, что наибольшие отклонения от положения равновесия в одну и ту же сторону (неравные по абсолютной величине) также происходят через одинаковые промежутки времени, равные T1. Для этого нужно учесть, что в указанные моменты времени Vx 0 = 0.

Быстрота уменьшения наибольших отклонений от положения равновесия характеризуется так называемым декрементом затухания, представляющим собой отношение двух последующих наибольших отклонений в одну и ту же сторону от положения равновесия, достигаемых через промежуток времени, равный T1 :

';

Натуральный логарифм D называется логарифмическим декрементом затухания Вышеприведенные рассуждения относились к частному случаю движения материальной точки под действием восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению от положения равновесия, и силы сопротивления, пропорциональной скорости, при условии, что 2 – n2 > 0. Возможны случаи, когда сила сопротивления зависит от скорости нелинейно.

Возможно, что при линейной зависимости силы сопротивления от скорости n. В последнем случае материальная точка будет совершать так называемое апериодическое движение. В зависимости от начальных параметров графики апериодического движения имеют одну из форм, показанных на рис. 3.14.

Рис. 3.14.Графики апериодического всегда существуют силы сопродвижения материальной точки отсутствии специальных мер являются затухающими. Для создания незатухающих колебаний следует осуществлять непрерывный подвод энергии, расходуемой на преодоление сил сопротивления.

3.14.3. Вынужденные колебания материальной точки Рассмотрим движение точечной массы m вдоль оси Ox под действием восстанавливающей силы F, пропорциональной отклонению от начала отсчета, силы сопротивления R, пропорциональной скорости, и дополнительной силы, изменяющейся в функции времени, называемой силой Fн.

Условимся, что возмущающая сила направлена вдоль оси Ox и изменяется по гармоническому закону, то есть выражается формулой где Q – амплитуда возмущающей силы (наибольшее значение ее модуля);

В – круговая частота возмущения.

В данном случае дифференциальное уравнение движения точечной массы имеет вид Разделив обе части этого уравнения на m и обозначив = p, получим линейное дифференциальное уравнение с правой частью Общее решение уравнения (3.151) имеет вид где х1 – общее решение уравнения (3.151), взятого без правой части; х2 – одно из частных решений уравнения (3.151).

Величина х1 может быть определена по формуле где 1, а, и 0 определяются по формуле (3.146).

Для нахождения х2 допустим, что где b и 0 – постоянные, подлежащие определению.

Определим b и 0, подставляя значения х2 и его производных в уравнение (3.151):

Следовательно, закон движения точечной массы выразится формулой График движения согласно закону (3.155) может быть получен суммированием ординат графиков движения, соответствующих уравнениям (3.152) и (3.153), взятых порознь (рис. 3.15).

Из рассмотрения графиков на рис. 3.15 следует, что движение материальной точки представляет собой сумму колебаний двух видов:

1) затухающих колебаний согласно уравнению (3.152);

2) гармонических незатухающих колебаний с круговой частотой В согласно уравнению (3.153).

После затухания колебаний первого вида (при достаточно большом значении t) движение с достаточной точностью описывается уравнением 3.14.4. Резонанс Выше (см. п. 3.14.3) было установлено, что приложение периодической силы к материальной точке, находящейся под воздействием силы, пропорциональной отклонению от положения равновесия, и силы сопротивления, пропорциональной скорости, приводит к тому, что спустя некоторое время данная материальная точка Рис. 3.16. Представление силы P в виде суммы двух сил P1 и P2 В рассмотренном случае сила Р силы развиваются при вращении плохо cбалансированных деталей машин (например, роторов электродвигателей). В этих случаях могут иметь место вынужденные колебания.

Для появления вынужденных колебаний необходимо наличие массы, скрепленной с упругим элементом, и переменной возмущающей силы.

Рассмотрим, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от изменения круговой частоты возмущения.

Для этого преобразуем выражение (3.154) следующим образом:

где Величина k называется коэффициентом расстройки.

Примерный график функции b = b(k) изображен на рис. 3.17.

Эта функция имеет максимум при некотором значении k, называемом критическим (kкр), определяемым по формуле Обычно коэффициент затухания n мал по сравнению с. В этом случае kкр 1.

Заметим, что при исследовании вынужденных колебаний круговую частоту = называют, в отличие от круговой частоты возмущения B, собственной круговой частотой (или частотой свободных колебаний) данной материальной точки.

Из рассмотрения рис. 3.17 следует, что амплитуда вынужденных колебаний при увеличении k возрастает от b0 до bмакс, а затем асимптотически убывает до нуля.

Круговая частота возмущения при k = kкр называется критической круговой частотой.

Совпадение частот В и кр называется резонансом.

Поскольку kкр 1, кр =. Таким образом, резонанс имеет место при совпадении круговой частоты возмущения с собственной круговой частотой.

Определим b0 и bмакс:

а подставив в выражение (3.157) значение kкр, по формуле (3.158) находим Когда n 0, выражение (3.154) принимает вид При этом 1 переходит в, и уравнение, выражающее закон движения материальной точки (3.155), принимает вид:

Из выражения (3.160) следует, что амплитуда вынужденных колебаний, по мере приближения В к, стремится к бесконечности.

Поэтому резонанс при полном отсутствии затухания соответствует бесконечному росту амплитуды вынужденных колебаний.

Поскольку фактически затухание никогда не бывает равным нулю, амплитуда вынужденных колебаний при резонансе имеет конечную величину, определяемую по формуле (3.159). При малом (но не нулевом) значении n амплитуда вынужденных колебаний при резонансе Отметим, что резонанс в технике может быть как вредным, так и полезным явлением.

3.15. Приложение общих теорем динамики к механике жидкости Одно из наиболее интересных приложений теорем динамики дают системы с бесконечным числом частиц, образующие некоторую сплошную среду, например, жидкость, газ и др. Будем предполагать эту жидкость несжимаемой. Данное предположение удовлетворяется в капельных жидкостях (вода, масло) и достаточно близко к действительности при движении газов со скоростями, далекими от скорости звука.

3.15.1. Формула Эйлера Выделим в жидкости некоторый объем V, ограниченный поверхностью, и будем изучать движение этого объема. Силы, приложенные к этому объему, классифицируем как внешние и внутренние, причем внутренние силы не играют роли при изучении изменения количества движения выделенного объема.

Внешние силы, действующие на объем V (взаимодействие жидкого объема с частицами остальной жидкости, а также с другими внешними телами), можно разделить на две группы:

– силы массовые или объемные, такие, которые действуют на все частицы объема V, как внутренние, так и находящиеся на поверхности, например, силы веса частиц;

– силы поверхностные, действующие только на частицы, лежащие на поверхности объема V, – таковы силы давления на поверхность со стороны окружающей ее жидкости или твердых стенок (русла), между которыми происходит движение. Также к этой группе относятся силы трения нашего объема об окружающую жидкость или твердые стенки.

Обозначим главный вектор внешних объемных сил Rоб, а внешних поверхностных сил – Rпов.

Если количество движения жидкого объема равно K, то по теореме об изменении количества движения имеем Предположим, что жидкость двигается в некоторой трубе переменного сечения (рис. 3.18). Рассмотрим объем жидкости между двумя какими-нибудь сечениями S1 и S2, причем, отвлекаясь от разницы скоростей вблизи стенок и в середине трубы, обозначим через V1 скорость жидкости в сечении S1, и V2 – скорость жидкости в сечении S2.

Векторы скоростей V1 и V2 можно представить как средние скорости в сечениях S1 и S2, перпендикулярных к ним.

Рис. 3.18. К выводу формулы через М:

Вычислим теперь изменение количества движения dK выделенного объема за время dt. Для этого заметим, что за время dt частицы объема V сместятся по трубе и изменят свои скорости в связи с переходом в другие сечения. Если средняя скорость в любом сечении трубы от времени не зависит, то есть в данном сечении скорость все время одинакова (такое движение называют установившимся), то за время dt в объеме между сечениями S1 и S2 останутся частицы прежнего объема V, и количество движения в этой части объема будет то же, что и раньше. Таким образом, изменение количества движения произойдет за счет потери количества движения в объеме между сечениями S1, S1 и прибавления количества движения в объеме между сечениями S2, S2. Определяя количество движения в бесконечно малом объеме как произведение массы на вектор скорости, получим Подставляя значение изменения количества движения в основное уравнение, получим Эта формула была выведена Эйлером.

Теорема Эйлера. Главные вектора объемных и поверхностных сил и вектора количеств движения масс жидкости, входящих и выходящих сквозь сечения трубы в единицу времени, направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник.

Обращаем особое внимание на необходимость при применении теоремы Эйлера направлять вектор количества движения массы, проходящей в единицу времени, через нижнее (по течению) сечение, всегда внутрь выделенного объема жидкости в трубе (рис. 3.19).

Из формулы Эйлера можно найти и действие жидкости на трубу. Для этого достаточно по закону равенства действия и противодействия заменить главный вектор поверхностных сил, приложенных к жидкости, на равный ему и прямо противоположный по направлению вектор.

3.15.2. Давление жидкости на неподвижный сосуд Предположим, что некоторый объем жидкости налит в сосуд. Если жидкость неподвижна в сосуде, то полное давление равно весу жидкости.

Откроем кран, тогда жидкость начнет выливаться с некоторой скоростью V2, а уровень в сосуде будет понижаться со скоростью V1 (рис. 3.20).

Добавочное давление R на сосуд поРис. 3.20. К выводу формулы (3.165) лучим, складывая геометрически количества движения MV1, и MV2 (силами трения и давления воздуха пренебрегаем).

Проекции этого давления на горизонтальную и вертикальную ось будут равны Если жидкость в сосуде поддерживается на постоянном уровне и отверстие истечения мало по сравнению с площадью свободной поверхности в сосуде, то исходя из формулы Торричелли можно записать:

тогда будем иметь:

Чтобы оценить реакцию выходящей струи, заметим, что проекции давления жидкости на площадку S2 нижнего конца при закрытом кране были бы равны Заменяя в выражении (3.163) М на V2 S 2 = S2 2 gh и сравнивая с (3.164), получим то есть реакция выходящей струи по величине в два раза превосходит статическое давление на сечение и направлена в сторону, противоположную этому давлению:

Искусственно создавая большое давление на поверхность S1, можно получить очень значительные скорости в выходном отверстии и, таким образом, – значительные реакции вылетающей струи.

3.15.3. Давление струи на пластинку Теорема количеств движения позволяет определять давление струи, падающей на пластинку, если только размеры пластинки значительно превосходят диаметр струи.

Если струя падает перпендикулярно на пластинку (рис. 3.21), то, предполагая, что скорость оттекания (а, следовательно, и площадь сечения струи) мало изменяется, сможем, не учитывая веса, определить силу давления на пластинку так как вектора количеств движения растекающейся по поверхности пластинки жидкости равны и прямо противоположны. Заменяя расход М его значением SV1, получим известную формулу Даниила Бернулли:

где S – площадь сечения струи у выхода из трубки; V1 – скорость выхода;

– массовая плотность жидкости.

Если пластинка наклонена к направлению струи под углом (рис. 3.22), то, предполагая, что размеры пластинки велики по сравнению с диаметром струи, получим вектора MV1, M 2V2, M 2 'V2 ' и давление R ' пластинки на жидкость, которые образуют замкнутый четырехугольник. Давление жидкости на пластинку или пластинки на жидкость будем считать нормальным к пластинке, так как трением жидкости о пластинку можно пренебречь.

Выше (см. п. 3.15.2) в силу симметрии мы считали, что секундные количества движения жидкости, оттекающей по пластинке в обе стороны, одинаковы. Теперь мы не можем сделать этого предположения, как видно из диаграммы на рис. 3.22.

Рис. 3.21. К выводу формулы Рис. 3.22. К вопросу определения Обозначим массу жидкости, протекающую через сечение струи в верхней части пластинки А, – М2, а через сечение струи в нижней части В – М2.

Проектируя вектора, образующие замкнутый четырехугольник, на направление нормали к пластинке, будем иметь Здесь опять S обозначает площадь сечения струи у выхода из трубы.

При = получим формулу (3.166). Проектируя тот же четырехугольник на направление пластинки, получим Кроме того, из условия одинаковости расхода массы жидкости вдоль струи Из этих двух уравнений можно вычислить массы жидкости, растекающиеся в единицу времени в обе стороны пластинки. Обыкновенно считают, что скорости растекания струи одинаковы со скоростью струи при выходе из трубы, то есть V2 = V2 = V1, так что различие значений М2 и М2' происходит за счет разных сечений струи в точках А и В. При таком предположении будем иметь:

откуда находим:

Подобно тому, как мы вычислили давление струи на плоскую пластинку, точно так же можно найти и давление на криволинейную пластинку. Например, если струя ударяется о лопатку в форме дуги круга (рис. 3.23), то Если, например, лопатка имеет форРис. 3.23. К вопросу опредему полуокружности, то =, и мы полуления давления струи на криволинейную пластинку чим максимальное давление то есть в два раза большее давление, чем при натекании на перпендикулярную плоскую пластинку.

3.15.4. Уравнение Бернулли Выделим в жидкости отдельную струйку (рис. 3.24) и обрежем ее двумя перпендикулярными к линии тока сечениями А и В.

За момент времени dt масса жидкости АВ перейдет в новое положение AB, причем количество жидкости, заключенное в каждом из заштрихованных элементов, будет равно mdt, где m – масса жидкости, проходящая через поперечное сечение струйки за единицу времени.

Изменение кинетической энергии выделенной массы жидкости будет равно работе сил веса и гидродинамического давления (работой сил внутреннего трения пренебрегаем, считая жидкость идеальной).

В момент времени t выдеРис.3.24. К выводу уравнения Бернулли ленная масса жидкости, занимая объем АВ, имеет кинетическую энергию Т1, которую можно представить состоящей из двух слагаемых:

кинетической энергии Т1 жидкости в объеме AA и кинетической энергии Т1 жидкости, занимающей остальную часть AB объема струйки.

Пусть V1 – скорость в сечении А, тогда и, следовательно, Аналогично в момент времени (t + dt) получим где Т2 – кинетическая энергия жидкости в объеме AB в момент (t + dt);

V2 – скорость в сечении В.

Считая движение жидкости установившемся, то есть принимая, что скорость, меняясь от сечения к сечению, остается в данном месте постоянной (не изменяется во времени), имеем и, следовательно, Напишем теперь сумму работ сил гидродинамического давления и силы веса, действующих на выделенную часть струйки за время dt.

Работа гидродинамического давления. Пусть р1 и р2 – давления в сечениях А и В; S1 и S2 – соответствующие площади сечения струи. Тогда силы давления на площадки А и В соответственно будут p1S1 и p2S2. Сила p1S направлена по движению жидкости, а p2S2 – против него. Следовательно, искомая работа равна Замечая, что S1V1 = S2V2 – объем жидкости, проходящий в единицу времени через сечение струйки, имеем где – вес единицы объема жидкости.

Тогда выражение для работы сил гидродинамического давления примет вид Работа силы веса. Для ее определения составим разность потенциальных энергий сил веса в моменты времени t и (t + dt). Потенциальная энергия П1 веса массы жидкости, занимающей в момент времени t объем АВ, может быть представлена как сумма потенциальных энергий П1 веса объема АА и потенциальной энергии П1 веса объема AB. Получаем и аналогично для объема АВ в момент (t + dt) где П2 – потенциальная энергия веса объема AB, равная П1.

Подставляя найденные выражения в уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии, получим или после преобразования Три слагаемых формулы (3.167) имеют размерность длины. Член z называется высотой относительно горизонта, или нивелирной высотой, член – пьезометрической высотой, член – скоростной высотой.

При выводе уравнения Бернулли не принимают в расчет потерь энергии, а величины и z – это составные части полной кинетичеg ской энергии Н единицы веса жидкости, которая остается при отсутствии потерь постоянной.

Что является предметом динамики?

В чем заключаются пространственно-временные представления И. Ньютона, положенные им в основу классической механики?

Что называется массой точки? Какие свойства тела выражает понятие массы?

Сформулируйте аксиомы или основные законы классической механики.

Какая система отсчета называется инерциальной?

Выведите дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки при трех способах задания движения материальной точки.

Сформулируйте две основные задачи динамики свободной материальной точки. Посредством каких математических операций они решаются и как именно?

Сколько постоянных интегрирования войдет в общее решение дифференциальных уравнений движения материальной точки, если она движется в пространстве, на плоскости, вдоль прямой, соответственно.

Что такое начальные условия движения материальной точки и как они записываются при трех способах задания движения?

10. Под действием какой силы совершаются свободные колебания материальной точки?

11. Напишите дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки.

12. Напишите формулы, выражающие частоту, период, амплитуду и начальную фазу свободных колебаний материальной точки.

13. Под действием каких сил совершаются затухающие колебания материальной точки?

14. Напишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

15. Напишите решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. От чего зависит вид решения?

16. Что называется декрементом колебаний? логарифмическим декрементом?

17. В каких случаях движение материальной точки будет апериодическим?

18. Под действием каких сил совершаются вынужденные колебания материальной точки?

Напишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

20. Напишите общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний.

21. Каковы частота и период вынужденных колебаний материальной точки?

22. От каких факторов зависит амплитуда вынужденных колебаний материальной точки?

При каких условиях возникает явление резонанса и каковы уравнение и график вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?

24. Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?

25. Как используется в технике явление резонанса? Всегда ли является резонанс полезным эффектом?

26. В каких случаях материальную точку называют несвободной?

27. Дайте определение стационарных и нестационарных, удерживающих и неудерживающих, голономных и неголономных связей.

28. Как записываются уравнения связей для различных видов связей?

Сформулируйте и разъясните принцип освобождаемости от связей.

30. Сделайте вывод основного уравнения динамики относительного движения материальной точки.

31. Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?

32. В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений материальной точки?

33. Как вычисляются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях переносного движения?

34. Какие системы отсчета называются инерциальными? неинерциальными?

35. Напишите условия относительного покоя материальной точки.

36. Почему падающие тела отклоняются к востоку?

37. Почему сила тяжести на полюсах земли имеет наибольшее значение, а на экваторе – наименьшее?

38. Какие явления на земле объясняются действием кориолисовой силы инерции?

39. Что называется системой материальных точек или механической системой?

40. Что такое масса системы?

41. Что называют центром масс системы? Напишите формулы для определения координат центра масс системы.

42. Дайте определение внешним и внутренним силам, действующим на систему.

43. Какими свойствами обладают внутренние силы?

44. Что называют моментами инерции тела относительно плоскости, оси и полюса? Напишите их выражения.

45. Что называют центробежным моментом инерции тела? Напишите его выражение.

46. Что такое радиус инерции?

47. Сформулируйте теорему о моментах инерции тела относительно параллельных осей.

48. Моменты инерции каких тел вы знаете? Напишите формулы для их вычисления.

49. Что называют количеством движения материальной точки?

50. Сформулируйте теорему об изменении количества движения точки в дифференцильной и конечной формах.

51. Что такое элементарный импульс и импульс силы за конечный промежуток времени?

52. Сформулируйте закон сохранения количества движения точки.

53. Что такое главный вектор количеств движения системы или количество движения механической системы?

54. Напишите дифференциальное уравнение движения механической системы.

55. Сформулируйте теорему об изменении количества движения системы в дифференцильной форме.

56. В каком случае сохраняется количество движения системы?

57. Как выражается количество движения системы через массу системы и скорость центра масс?

58. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы.

59. Сформулируйте закон сохранения центра масс механической системы.

60. Что называют моментом количества движения точки относительно центра и оси?

61. Сформулируйте теорему об изменении момента количества движения точки.

62. Что называют центральной силой?

63. В каком случае сохраняется момент количества движения точки относительно центра?

64. Что называют главным моментом количеств движения или кинетическим моментом механической системы относительно центра и оси?

65. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента системы.

Сформулируйте закон сохранения кинетического момента системы.

67. Как вычисляется кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

68. Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси.

69. Что называют кинетической энергией материальной точки?

70. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной и конечной формах.

Что называют элементарной работой силы и как она вычисляется?

72. Как вычисляется работа силы на конечном пути?

73. Как вычисляется работа силы тяжести, силы упругости? Напишите соответствующие формулы.

74. Что называют кинетической энергией механической системы?

75. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии системы.

76. Прочитайте теорему Кенига о кинетической энергии системы в общем случае ее движения.

77. Как вычисляют кинетическую энергию тела при поступательном движении? при вращении вокруг неподвижной оси?

78. Как вычисляют кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении?

79. Каким образом можно ввести понятие о силе инерции? Напишите формулу, выражающую силу инерции материальной точки.

80. Сформулируйте принцип Д'Аламбера для материальной точки.

81. Как выражается сила инерции точки при различных способах ее движения?

83. Сформулируйте принцип Д'Аламбера для несвободной механической системы.

84. Как вычисляется главный вектор и главный момент сил инерции тела при различных случаях его движения?

85. Как определяются динамические реакции опор на ось быстро вращающегося тела?

86. При соблюдении каких условий динамические реакции опор на ось быстро вращающегося тела не отличаются от статических реакций?

87. Какие связи называются стационарными и нестационарными? Напишите уравнения этих связей.

88. Какие связи называются удерживающими и неудерживающими?

Напишите уравнения этих связей.

89. Какие связи называются голономными и неголономными? Напишите уравнения этих связей.

90. Что называют возможным перемещением несвободной материальной точки и механической системы?

91. Какие связи называются идеальными? Приведите примеры идеальных связей.

92. Сформулируйте принцип возможных перемещений.

93. Приведите примеры применения принципа возможных перемещений к определению связей и к простейшим машинам (рычаг, наклонная плоскость и т.д.).

94. Сформулируйте общее уравнение динамики.

Соединением каких принципов является общее уравнение динамики?

Какие координаты называются обобщенными? Приведите пример.

97. Какая связь между числом степеней свободы механической системы и числом ее обобщенных координат?

98. Что называют обобщенной силой?

99. Какие способы вычисления обобщенных сил вы знаете?

100. Как вычисляются обобщенные силы в случае сил, имеющих потенциал?

101. На основании какого уравнения выводятся уравнения Лагранжа второго рода?

102. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

103. Какое явление называется ударом?

104. Чем характеризуется ударная сила?

105. Охарактеризуйте действие ударной силы на материальную точку.

106. Сформулируйте теорему об изменении количества движения при ударе в векторной форме и в проекциях на оси координат.

107. Что называют коэффициентом восстановления при ударе и как он определяется опытным путем?

108. Чем характеризуются первая и вторая фазы упругого удара? В чем состоит особенность абсолютно упругого удара?

109. Как определяются скорости двух шаров в конце каждой фазы прямого центрального удара (неупругого, упругого, абсолютно упругого)?

110. Какова зависимость между ударными импульсами второй и первой фаз при абсолютно упругом ударе?

111. Какова потеря кинетической энергии двух соударяющихся тел при неупругом, упругом и абсолютно упругом ударах?

112. Как формулируется теорема Карно?

113. Из каких составляющих складывается движение материальной точки, находящейся под действием восстанавливающей и возмущающей сил?

114. Какие колебания называют вынужденными колебаниями малой частоты? большой частоты?

115. Каков график вынужденных колебаний при резонансе?

116. Затухают ли вынужденные колебания под влиянием сил сопротивления?

117. По трубе, изогнутой под прямым углом, диаметр поперечного сечения которой равен d, течет струя воды со скоростью V. Определить равнодействующую сил давлений текущей жидкости на стенки трубы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

СТАТИКА

Тема 1. Равновесие тела под действием сходящейся системы сил Цель занятия: изучить применение геометрического и аналитического условий равновесия сходящейся системы сил.

На тело, находящееся в равновесии, могут быть наложены ограничения (связи).

1. Гладкая поверхность – ограничивает перемещение тела в направлении перпендикуляра к общей касательной (рис. 1, а).

2. Гибкая связь – ограничивает перемещение тела в направлении вдоль связи (см. рис. 1, б).

3. Шарнирно-подвижная опора – накладывает ограничение в направлении, перпендикулярном к поверхности скольжения (см. рис. 1, в).

4. Шарнирно-неподвижная опора – ограничивает перемещение тела по вертикали и горизонтали, не исключая возможности вращения вокруг оси в точке А. Реакцию связи представляем в виде двух составляющих, ХА и YА (см. рис. 1, г).

5. Однородный, тонкий, невесомый стержень – ограничивает перемещение тела вдоль стержня, поэтому реакции связи направляются вдоль стержня (см. рис. 1, д).

6. Сферический шарнир (см. рис. 1, е) и подпятник (см. рис. 1, ж) – оба типа связи ограничивают перемещение тела по трем взаимно перпендикулярным направлениям, реакцию связи раскладываем на три составляющие: ХА, YА и ZА – реакции сферического шарнира, ХВ, YВ и ZВ – реакции подпятника.

7. Жесткая заделка – ограничивает любые перемещения тела, поэтому реакция связи представлена в виде составляющих ХА, YА и mА (см. рис. 1, з).

Сходящаяся система сил эквивалентна одной силе – равнодействующей Условием равновесия тела под действием сходящейся системы сил является равенство нулю равнодействующей ( R = 0), которую можно определить аналитически и геометрически, поэтому при решении задач на равновесие сходящейся системы сил можно применять как тот, так и другой способ.

При решении задач следует придерживаться следующего порядка.

План решения задач на равновесие плоской сходящейся системы сил 1. Выделяем объект (узел, тело, точку), равновесие которого будем рассматривать (обычно рассматривают равновесие того тела, к которому приложены заданные силы и реакции связей).

2. Прикладываем заданные силы.

3. Заменяем наложенные связи их реакциями.

4. Строим замкнутый силовой многоугольник (для трех сил – треугольник), начиная построение с заданной силы.

5. Решая полученный силовой многоугольник (для трех сил – треугольник), определяем неизвестные величины, применяя при решении теоремы синусов, косинусов, тригонометрические функции, подобие треугольников.

План решения задач на равновесие плоской и пространственной сходящейся системы сил, (аналитическое условие равновесия) 1. Выделяем объект, равновесие которого будем рассматривать.

2. Прикладываем заданные силы.

3. Заменяем наложенные связи их реакциями.

4. Выбираем и проводим оси координат.

5. Составляем уравнения равновесия для данной системы.

6. Определяем неизвестные величины Аналитические условия равновесия сходящейся системы сил:

Fky = 0; – для пространственной сходящейся системы сил.

Геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил, состоящее в замкнутости силового многоугольника, удобно применять, когда сил, действующих на тело, не более трех, в этом случае получается фигура – треугольник, который легко рассчитывается аналитически.

Пример 1. Определить натяжение троса АВ и давление шара на гладкую стену, если вес шара равен P, а угол между тросом и стеной равен (рис. 2).

Рассмотрим равновесие шара. Прикладываем заданную силу Р и заменяем наложенные связи их реакциями (гладкая стена – реакция N, гибкая связь – реакция Т) (см. рис. 2, б).

Для получения сходящейся плоской системы сил строим силовой треугольник (см. рис. 2, в).

Решая полученный треугольник, находим Для решения проведем через точку 0 оси координат и составим уравнения равновесия:

Из уравнения (2) находим Подставляя Т в уравнение (1), получаем Давление шара на стену равно Q = Ptg и направлено противоположно N, натяжение троса равно Р и направлено противоположно Т.

уравнения равновесия:

Fky = 0 : RBsin45°cos30° RA sin 45°сos30° RС cos15° = 0 ; (2) Fkz = 0 : RBsin45°sin30° RAsin45°sin30° RС sin15° Q = 0. (3) Из (2) вычтем (3), умноженное на 3, получим Знак (–) показывает, что стержни Ответ: RА = RВ = 2,64 кН; RС = 3,35 кН.

Задание 1. Показать реакции наложенных связей (рис. 5).

Задание 2. На рис. 6 схематически изображены стержни, соединенные между собой, с потолком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам B, F и K подвешены грузы Q = 1000 H. Определить усилия в стержнях:

Тема 2. Равновесие тела под действием произвольной Цель занятия: выработать навыки исследования равновесия тела и системы тел под действием произвольной плоской системы сил.

Распределенные нагрузки и их равнодействующие Распределенные нагрузки (рис. 7) при решении задач заменяем их условными равнодействующими (рис. 8):

б) распределенная нагрузка, изменяющаяся по линейному закону, заменяется равнодействующей Q = qmax l.

Линия действия условной равнодействующей проходит через центр тяжести сил распределенной нагрузки.

Для решения задач на равновесие произвольной плоской системы сил составляются три уравнения условия равновесия по одной из форм:

Алгебраическим моментом силы называется алгебраическая величина произведения модуля силы на длину плеча (т.е. на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы) (рис. 9): m0 ( F ) = ± Fh.

Знак (+) ставится, если сила стремится вращать тело против хода часовой стрелки, (–) – если по часовой стрелке.

Теорема Вариньона. Момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки (рис. 10). Рис. План решения задач на равновесие произвольной 1. Выделяем тело (объект), равновесие которого будем рассматривать.

2. Прикладываем заданные силы.

3. Заменяем распределенные нагрузки равноРис. действующими.

4. Заменяем наложенные связи их реакциями.

5. Проводим оси координат.

6. Составляем уравнения равновесия для полученной системы сил.

7. Определяем неизвестные величины.

Пример 1. Определить реакции опор А и В балки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки.

Интенсивность распределенной нагрузки, величины сил и размеры указаны на рис. 11.

Решение. Линейно распределенную нагрузку заменим равнодействующей, которая равна Q = q 2 = 3 2 = 6 кН и приложена в центре тяжести прямоугольника (рис. 12). Силу 6 кН разложим по теореме Вариньона на две составляющие: 6сos45°; 6sin45°.

Составим уравнения:

Из (2): YA = 6сos45° = 4, 242 кН.

Ответ: X A = 2,62 кН; YA = 4, 242 кН; RB = 15,6 кН.

заделки консольной балки, изображенной на рис. 13 и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, одной сосредоточенной силы и Пример 3. Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки, изображенной на рис. 15 вместе с нагрузкой.

Решение. По промежуточному шарниру расчленяем балку на две:

AD и DC (рис. 16).

YB = 22,26 кН; YC = 5 кН; X D = 0; YD = ±5 кН.

Задания для самостоятельной работы Задание 1. Определить реакции заделРис. ки консольной балки, изображенной на рис. 17 и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенной силы и пары сил.

Задание 2. Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки, изображенной на рис. 18 вместе с нагрузкой.

Цель занятия: приобретение навыков расчета плоских ферм.

Фермой называется геометрически неизменяемая шарнирностержневая конструкция (рис. 19).

Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, то ее называют плоской фермой. Точки, в которых сходятся оси стержней, называются узлами фермы, а те узлы, которыми ферма опирается на основание, называются опорными Стержни плоской фермы, расположенные по верхнему контуру, образуют верхний пояс, а расположенные по нижнему контуРис. Вертикальные стержни называются стойками, а наклонные – раскосами. Существует два способа для определения усилий в узлах ферм: способ вырезания узлов и метод сечений или метод Риттера.

Этот способ состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу.

Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты и какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в результате вычислений получают ответ со знаком «минус», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов определяется обычно условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил (двух для плоской фермы и трех – для пространственной). Тогда эти неизвестные определяются сразу из уравнения равновесия сил, действующих на этот узел.

Если ферма плоская, то можно проверить правильность вычислений, построив многоугольники сил, приложенных к ее узлам. Эти многоугольники должны быть замкнутыми.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться равными нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя ее расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю (рис. 20).

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 21).

Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 22).

Порядок расчета фермы методом вырезания узлов 1. Вычерчиваем ферму в соответствии с данными.

2. Раскладываем заданную силу на составляющие по осям координат и записываем их модули.

3. Отбрасываем опоры в опорных узлах и заменяем их действие реакциями.

4. Составляем три уравнения равновесия.

5. Вычисляем величину опорных реакций.

6. Определяем порядок расчета узлов, начиная расчет с того узла, где не более двух неизвестных пересеченных стержней.

7. Вычерчиваем узлы в порядке расчета.

8. В каждом узле: 1) показываем реакции пересеченных стержней, предполагая их растянутыми, направляем реакции от узлов; 2) проводим оси координат; 3) обозначаем углы между осями и реакциями; 4) вычисляем эти углы или находим sin и cos; 5) записываем уравнения равновесия;

6) записываем, что дано и что надо найти; 7) определяем неизвестные величины.

9. Знак (–) в ответе означает, что данный стержень сжат.

Порядок расчета фермы методом Риттера 1. Определяем опорные реакции.

2. Проводим сечение Риттера – оно должно быть сквозным, т.е. разделять ферму на две части. Сечение Риттера должно пересекать не более трех стержней с неизвестными усилиями, не пересекающихся в одной точке.

3. Рассматриваем равновесие одной из частей фермы, лучше той, где меньше приложенных сил.

4. Пересеченные стержни предполагаем растянутыми, и их усилия направляем от узлов, т.е. в сторону отброшенной части.

5. Составляем уравнения моментов относительно точек Риттера для определения неизвестных усилий в стержнях. Точкой Риттера называется точка, в которой пересекаются два из трех перерезанных стержней. Если точка Риттера – в бесконечности, то составляем уравнение проекций на Первый объект равновесия – вся ферма (рис. 24).

Из уравнения (1):

А, в узле сходятся силы RA, S1, S5 и сила F1 = 1 кН. (рис. 25). Составим два уравнения равновесия:

Третий объект равновесия – узел С, в узле С сходятся силы S4, S6, S5 и сила F2 = 2 кН. (рис. 26). Уравнения равновесия для системы сходящихся сил:

Из уравнения (5) выразим S6 и подставим в уравнение (6):

F сos60° + 2 S5сos30°сos60° Ответ: RA = 3,25 кН; RB = 2,75 кН.

Тема 4. Равновесие тела под действием произвольной Цель занятия: приобретение практических навыков исследования равновесия пространственных конструкций.

Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная произведению проекции этой силы на перпендикулярную к оси плоскость на кратчайшее расстояние от линии действия проекции до оси. Знак (+) ставится тогда, когда сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, (–) – когда по часовой стрелке (смотреть на силу с положительного направления соответствующей оси).

Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 30), необходимо:

1) спроецировать силу F на плоскость xOy – найти F1 ;

2) определить кратчайшее расстояние от линии действия проекции силы до оси, т.е. h1 ;

3) составить алгебраическое произведение F1h1 ; Рис. 4) определить знак (для примера, изображенного на рис. 30, знак будет «+»: M z = F1h1.

Из определения следует, что если сила параллельна оси или ее линия действия пересекает ось, то момент такой силы относительно оси равен нулю.

Произвольная пространственная система сил эквивалентна одной силе, равной главному вектору R, и главному моменту M 0.

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо, чтобы R = 0 и M 0 = 0 ; это значит – должны выполняться шесть уравнений равновесия.

связей, заменяя их действие реакциями, а затем для данной системы сил (рис. 32) составляем уравнения равновесия:

Из (1): X A = X В Qсos60° = 1000 0,5 + 200 = 300 Н.

Из (2): Z A = Z В + P Qсos30° = 125 + 384 866 = 357 Н.

Решение. Показываем действующие на раму активные силы, освобождаемся от связей, заменяя их действие реакциями, а затем для данной системы сил (рис. 34) составляем уравнения равновесия:

Задание 1. На горизонтальный вал АВ насажены зубчатое колесо С радиусом 1 м и шестерня D радиусом 10 см. Другие размеры указаны на рис. 35. К колесу С по направлению касательной приложена горизонтальная сила Р = 100 Н, а к шестерне D, также по касательной, приложена вертикальная сила Q.

Определить силу Q и реакции подшипРис. ников А и В в положении равновесия.

весом Р, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямолинейными стержнями. Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвижным Цель занятия: приобретение навыков определения опорных реакций шероховатой поверхности.

При стремлении движения одного тела по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила, препятствующая этому – это сила трения. В состоянии предельного равновесия она равна где N – реакция нормального давления; f – коэффициент трения.

гладкую стену и опирается на горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трения лестницы равен f лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху человек, Рис. 37 Решение. Запишем условие, связывающее силу Горизонтальный стержень АВ имеет на конце А отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку СD, длина втулки b = 2 см;

в точке Е на расстоянии а от оси стойки к стержню подвешен груз Р. Определить, пренебрегая весом стержня АВ, расстояние а так, чтобы под действием груза Р стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой Цель занятия: выработка навыков определения координат центров тяжести плоских тел и стержневых конструкций.

Координаты центра тяжести тела плоской фермы находятся по формулам:

SX SY SZ

где Sk – площадь k-той части тела; Xk, Yk, Zk – координаты центра тяжести k-той части тела; S = Sk – площадь всей фигуры.

а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей;

б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;

в) центр тяжести дуги однородной окружности (рис. 40) находится на оси симметрии, и его положение Рис. радиус окружности; – половина центрального угла.

г) центр тяжести однородного кругового сектора (рис. 41) расположен на оси симметрии и имеет координаты: aB = a A + aBA, YC = 0, где r – радиус окружности, – поперечного сечения неравнобокого уголка, полки Рис. Рис. Решение. Пронумеруем стержни и запишем формулы для вычисления координат Учитывая, что координаты центров тяжести стержней находятся в серединах их сторон (рис. 45), определим их значения и запишем в виде таблицы.

Задание 1. Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса (рис. 46). Длина стержня равна 44 см.

Задание 2. Найти расстояние центра тяжести таврового сечения ABCD от стороны АС, если высота тавра BD = h, ширина полки АС = а, толщина полки равна d и толщина стенки равна b (рис. 47).

КИНЕМАТИКА

Цель занятия: приобретение навыков определения кинематических характеристик точки при различных способах задания движения.

S = S (t ) – закон движения, S – дуговая координата;

V= – алгебраическая скорость;

Пример 1. Движение точки заданно уравнениями (x, y – в см, t – в с):

Найти траекторию точки, выполнить ее рисунок и показать направление движения точки по траектории в различные моменты времени.

Для момента времени t1 = 1,5 с вычислить положение точки и радиус кривизны траектории в этом месте, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки.

Полученные результаты показать на рисунке траектории. Сделать вывод о характере движения точки в момент t1.

Решение. Для получения уравнения траектории исключим время из заданных уравнений движения, воспользовавшись тождеством Отсюда имеем:

Итак, уравнение траектории Это уравнение параболы с горизонтальной осью симметрии, совпадающей с осью ОХ. Но траекторией является только часть этой параболы, ограниченная координатами Выполняем рисунок траектории (рис. 48).

Определим и покажем на нем положения точки в момент времени t0 = 0 и t1 = 1,5 c:

Подставляя в исходные уравнения движения точки моменты времени 0, 1/6, 2/6 и т.д.

до 2, с интервалом в 1/6 с, вычисляем последовательные положения точки на траектории и приходим к выходу, что точка совершает колебания вдоль выделенной части параболы и ни дит за пределы ограничений (3).

Определяем скорость и ускорение точки.

При t1 = 1,5 с: Vx1 =12,56 см/с; Vy1 = 2,22 см/с; V1 = Vx1 + Vy1 = 12,76 см/с.

a x1 = 0 см/с2; ay1 = 3,49 см/с2; a1 = ax1 + a21 = 3,49 см/с2.

Касательное и нормальное ускорения точки при t = 1,5 c:

Полученные результаты показываем на рисунке траектории точки.

Радиус кривизны траектории в точке (x1, y1) Движение точки в момент времени t1 = 1,5 c – ускорение, так как направление вектора скорости и вектора касательного ускорения совпадают (см. рис. 48).

Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного механизма, если r = l = 60 см; МВ = l ; = 4t (t – в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда = 0 (рис. 49).

Тема 8. Вращательное движение твердого тела Цель занятия: приобретение навыков определения скоростей и ускорений точек в простейших механических передачах.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, которое описывается одним уравнением где угол поворота тела вокруг неподвижной оси.

Основные кинематические характеристики вращающегося тела:

Скорости и ускорения точек вращающегося тела определяются по формулам где h расстояние от точки до оси вращения;

Задача 1. Вал радиусом R = 10 см приводится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити.

Движение гири выражается уравнением х = 100 t2, где х – расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах; t – время в секундах. Определить угловую скорость и угловое ускорение вала, а также полное ускорение (рис. 50).

Решение. Зная, что V =, найдем: V = 200t, Угловое ускорение найдем, взяв производную от по t: = = 20, ускорение по формуле a = a + an, или Задача 2. Решить предыдущую задачу в общем виде, выразив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние х, радиус колеса R и ускорение гири = а0 = const.

Преобразуем это выражение:

сцепляющееся с шестерней 4, несущей стрелку. Определить угловую скорость стрелки, если движение штифта задано уравнением x = a sin kt и радиусы зубчаРис. 51 тых колес соответственно равны r2, r3, r4 (рис. 51).

Решение: Зная, что движение штифта x = a sin kt, находим V:

Скорость штифта равна скорости точек обода колеса 2, значит, Линейные скорости точек колеса 3 и 4 равны, значит, 2 3r2 = 4r4.

гальванометра.

Задание 1. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно. Через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4 рад/с. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мин?

Задание 2. Маховое колесо радиусом R = 2 м вращается равноускоренно из состояния покоя. Через 10 с точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью V = 100 м/с. Найти скорость, нормальное, касательное ускорения точек обода колеса для момента t1 = 15 с.

Тема 9. Плоскопараллельное движение твердого тела Цель занятия: приобретение навыков определения скоростей и ускорений точек при плоском движении твердого тела.

Движение твердого тела называется плоским или плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Скорости точек при плоском движении можно определить по формулам:

где VA – скорость некоторой точки, принимаемой за полюс; VBA – скорость во вращательном движении вокруг полюса.

Проекции скоростей двух точек на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.

где AP расстояние от точки до МЦС (точка P ).

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: VP = 0.

Во всех четырех случаях известны направления скоростей точек А и В тела. Мгновенный центр скоростей (точка Р) определяется пересечением перпендикуляров, восстановленных к скоростям VA и VВ. В четвертом случае МЦС находится в бесконечности ( = 0 ), тело в данный момент времени будет совершать поступательное движение (VA = VB ).

Ускорения точек при плоском движении находятся по формуле где a A – ускорение точки, принятой за полюс; aBA – ускорение во вращательном движении вокруг полюса.

Пример 1. Определить для заданного механизма скорости и ускорения обозначенных точек, а также угловые скорости и угловые ускорения звеньев механизма (рис. 53).

Строим точку Р2 – МЦС звена 2.

Определяем скорость точки В:

Ускорение точки В определяем по формуле, учитывающей, что точка В соединяет звенья 2 и 3:

Вычисляем вектора, входящие в формулу; те вектора, которые неизвестны, определим из уравнений Проектируем равенство на оси координат:

x; aB cos 60 + aB cos30 = a A aBA ;

Задание 1. Найти скорость ползуна B нецентрального кривошипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных положениях кривошипа, вращающегося вокруг вала O (рис. 55) с угловой скоростью = 1,5 рад/с, если Задание 2. Найти ускорения точек A и B кривошипно-ползущего механизма (рис. 56), если Цель занятия: рассмотреть применение теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса к определению скорости и ускорения точки в сложном движении.

Движение точки, участвующей одновременно в двух или более движениях, называется сложным или абсолютным.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным.

Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называется переносным движением.

Скорость точки в сложном движении равна где Vпер скорость точки в переносном движении; Vотн скорость точки в относительном движении.

Ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее ускорений в переносном, относительном движении и ускорения Кориолиса (теорема Кориолиса):

Для нахождения направления aкор применяем правило Н.Е. Жуковского: чтобы получить направление aкор, следует повернуть проекцию вектора Vотн в плоскость, перпендикулярную к, в сторону вращения, на 90.

Пример 1. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М, движущейся по дуге тела D, вращающегося вокруг подвижной оси, в момент времени t1 = 1 c. Точка М на рис. 58 изображена в направлении положительного отсчета расстояния ОМ.

Решение. Движение точки М относительно оси О1О2 – абсолютное, вращение тела D относительно оси О1О2 – переносное, движение точки М относительно тела D – относительное.

Определяем положение точки М в момент времени t1 = 1 c:

Радиус траектории точки в переносном движении h = R cos 60° = 15 см.

Угловая скорость и угловое ускорение переносного движения Абсолютная скорость (рис. 59) Vабс = Vпер + Vотн ;

Т.к Vпер Vотн, Vабс = Vпер + Vотн = 41, 4 см/с.

Кориолисово ускорение (рис. 60) Проекции на оси координат 1,2 м/с от А к B по хорде диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к плоскости диска (рис. 60). Найти абсолютные скорость и ускорение шарика, когда он находится на кратчайшем расстоянии от центра диска, равном 30 см. В этот момент времени угловая скорость диска равна 3 рад/с, угловое замедление

ДИНАМИКА

Теоремы о движении центра масс системы и об изменении Цель занятия: изучение особенностей применения теорем к исследованию движения механических систем.

Центром масс системы называется точка, характеризующая распределение масс в системе, радиус-вектор которой определяется по формуле Координаты центра масс:

где xк, yк, zк – координаты точек системы; mк – масса точки; М – масса всей системы.

Теорема о движении центра масс системы устанавливает взаимосвязь между внешними силами, действующими на систему, и ускорением центра масс:

Закон сохранения движения центра масс:

Количество движения системы Теорема об изменении количества движения системы:

= Fке – в дифференциальной форме;

Q Q0 = Sк – в интегральной форме.

Пример 1. По горизонтальной товарной платформе длиной 6 м и массой 2700 кг, находящейся в начальный момент в покое, рабочие перекатывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый (рис. 62).

В какую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая масса отливки и рабочих равна 1800 кг? Силами сопротивления дви- Рис. жению платформы пренебречь.

Решение. Для определения перемещения платформы применим теорему о движении центра масс системы, состоящей из платформы и отливки, в проекции на ось Х.

Fк е = 0, т. к. все внешние силы вертикальны;

Определяем Mxc0 по формуле Пусть платформа переместится вправо на величину х. Находим Mxc :

Приравнивая выражения Mxc0, получим:

Перемещение платформы происходит влево на величину 2,4 м, о чем свидетельствует полученный знак ( ).

Пример 2. Определить силу давления на грунт насоса для откачки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных частей – корпуса Д и фундамента Е равна М1, масса кривошипа (ОА = а) равна М2, масса кулисы В и поршня С равна М3. Кривошип ОА, вращающийся равномерно с угловой скоростью, считать однородным стержнем (рис. 63).

Решение. Для определения искомой реакции N применим теорему о движении центра масс в проекции на ось Y:

Выражение Myc найдем по формуле Продифференцируем дважды это выражение:

Задание 1. На средней скамейке лодки, находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массой М1 = 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массой М2 = 70 кг, для того чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м.

Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием ВС на гладкую Рис. 64 перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании груза М1 на высоту h1 = 10 см. Масса клина М1 = 4М1 = 16М2, массой нити и блока пренебречь (рис. 64).

Теорема об изменении кинетического момента системы Цель занятия: изучение особенностей применения теоремы об изменении кинетического момента к исследованию движения системы.

Главный момент количеств движения всех точек системы относительно центра или оси называется кинетическим моментом системы относительно этого центра или этой оси.

K 0 = m0 mк Vк – кинетический момент относительно центра;

K z = mz ( mк Vк ) – кинетический момент относительно оси Z.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то Пример 1. Круглая однородная горизонтальная платформа радиусом r = 3 м и массой m = 20 кг вращается без трения вокруг вертикальрад ной оси с угловой скоростью 0 = 2. В точке А на ободе платформы находится материальная точка К массой m2 = 10 кг. В некоторый момент времени (t = 0) точка К начинает двигаться по хорде АВ платформы с постоянной относительной скоростью.

Определить угловую скорость платформы в момент, когда точка К попадает в точку В хорды АВ (рис. 65).

Решение. На систему действуют внешние силы: P, Q – силы тяжести точки и платформы; RD, RE – реакции подшипника Д и подпятника Е.

Применим для нахождения момента относительно оси Z где K z = J z – кинетический момент платформы;

K z = m2Vотн r cos30° + m2r – кинетический момент точки.

Так как точка совершает сложное движение, Vпер = r, Приравнивая значения Kz, получаем:

Пример 2. Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинута веревка (рис. 66); в точках А и В произойдет с человеком В, если человек А станет подниматься с относительной по отношению к веревке Решение. На механическую систему, состоящую из невесомого блока, троса и двух человек, действуют внешние силы: P1, P2 – силы тяжести; x0, y0 – Так как при t0 = 0 система находилась в покое, то Kz0 = 0 и значит, Kz = 0 ;

где K z A ; K z B – кинетические моменты относительно оси Z человека А и В.

Абсолютная скорость человека А (обозначим ее V1) Абсолютная скорость человека B – V2 ;

к барабану А приложен вращающий момент mвр, пропорциональный времени, причем mвр = at, где а – постоянная.

Груз В массой М1 поднимается посредством каната, навитого на барабан А радиусом r и массой М2. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром (рис. 67). В начальный момент лебедка находилась в Рис. Задание 2. Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью относительно стрелы. Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный m0.

Определить угловую скорость вращения крана в зависимости от расстояния x тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна М, J – момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии х0 от Рис. оси АВ (рис. 68).

Теорема об изменении кинетической энергии системы Цель занятия: научиться определять кинетическую энергию и работу сил. Рассмотреть применение теоремы при определении кинематических характеристик тел системы.

Кинетическая энергия системы Кинетическая энергия твердого тела:

а) при поступательном движении б) при вращательном движении в) при плоскопараллельном движении Работа силы, приложенной к телу:

а) движущемуся поступательно б) при вращательном движении где mz ( F ) – момент силы F относительно оси вращения.

Для определения ускорения тела применяется теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме При определении скоростей точек или тел системы в интегральной форме Решение. Для определения а1 применяем теорему Так как доска движется поступательно, а катки плоскопараллельно, то J 0 = 2 = 2 – момент инерции катка;

Так как силы N и P, P2 перпендикулярны к скоростям точек их приложения, то работа этих сил равна нулю.

Подставляя в выражение теоремы и разделив обе части на dt, получаем Пример 2. К барабану ворота радиусом r1 и массой m1 приложен постоянный вращающий момент М. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось С колеса, масса которого равна m2. Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав родными круглыми цилиндрами. В начальный момент система находилась в покое (рис. 70). Массой троса и трением в шарнирах пренебречь.

Решение. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме Работа внутренних сил Ak = 0.

T0 = 0 по условию задачи, Кинетическая энергия системы т.к. тело 1 вращается вокруг неподвижной оси, тело 2 движется плоскопараллельно.

Моменты инерции При повороте барабана на угол = 2N совершают работу момент М и сила Р2, работа остальных сил будет равна нулю.

где Sc = r1 = 2Nr1 – перемещение точки С.

Приравниваем Т и Ak Задания для самостоятельного решения при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок D, поднимает вверх груз В массой М2, и D считать однородными сплошными дисками массой М3 каждый. Определить скорость груза А в момент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое (рис. 71).

Рис. положенной под углом к горизонту, вращается блок D, а каток В катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол (рис. 72).

Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути S, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой нити пренебречь.

Цель занятия: изучить применение принципа Даламбера к определению динамических реакций опор.

Если к каждой точке движущейся системы приложить силу инерции этой точки, то все силы инерции будут уравновешиваться заданными силами и реакциями связей.

Сила инерции точки и направлена противоположно вектору a.

Силы инерции при движении механической системы приводятся к силе, равной главному вектору и паре сил с моментом, равным главному моменту:

а) при поступательном движении твердого тела силы инерции приводятся к одной силе б) при вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс, силы инерции приводятся к паре сил с моментом направленным противоположно направлению ;

в) при плоскопараллельном движении твердого тела силы инерции приводятся к силе, равной главному вектору, и паре сил с моментом Пример 1. Электромотор, установленный на горизонтальной балке, поднимает с помощью троса груз весом Р1 = 2000 Н. Радиус барабана, укрепленного на оси мотора, r = 0,4 м.

Момент инерции барабана вместе с ротором J = 40 кг·м2. Определить динамические реакции опор А и В, если груз поднимается с ускорением а = 1 м/с2; АВ = 3 м; масса балки 80 кг; b = 0,6 м (рис. 73).

Решение. Присоединяем к активным силам Р1, Р2, реакциям связей хА, yA, RB силы инерции и момент сил инерции Составляем уравнения равновесия Подставляя числовые значения, находим Пример 2. Через блок массой m2 перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массой m1 и m2. Найти ускорения грузов и реакцию оси блока, считая его однородным круглым диском; m1 = 3m; m2 = 6m; m3 = 2m (рис. 74).

Решение. На систему действуют заданные силы Р1, Р2, Р3, реакции опоры х0, у0. Показываем a, учитывая, что m2 > m1, и прикладываем к системе силы инерции F1u, F2u и момент сил инерции Мu, модули которых равны Задания для самостоятельного решения Задание 1. Груз А массой М1, опускаясь вниз по наклонной плоскости D, образующей угол с горизонтом, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок С, груз В массой М2.

Определить горизонтальную составляющую давления наклонной плоскости D на выступ пола E.

Массой нити пренебречь (рис. 75).

Задание 2. Однородный круглый диск радиусом R и массой M вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своего вертикального диаметра. Определить силу, разрывающую диск по диаметру (рис. 76).

Цель занятия: изучение особенностей применения принципа возможных перемещений к определению опорных реакций.

Принцип возможных перемещений определяет необходимое и достаточное условие равновесия механической системы с идеальными, голономными, удерживающими, стационарными связями. Это условие обеспечивается выполнением уравнения Задачи на применение принципа возможных перемещений следует решать в следующей последовательности:

1. Выполнить рисунок заданной конструкции, приложив действующие на нее силы.

2. При определении реакции опоры следует либо ее отбросить (если она дает только одно ограничение в перемещении), либо заменить другим типом связи, отбрасывая только одну связь.

3. Определить независимые возможные перемещения тел системы.

4. Сообщить системе, получившей одну степень свободы, возможное перемещение и выразить возможные перемещения через какое-либо одно.

5. Составить сумму работ всех сил, приложенных к системе на возможном перемещении.

6. Решая уравнение, определить неизвестную реакцию.

Пример 1. Определить опорные реакции составной балки, состоящей из балок АС и СД, соединенных в точке С шарниром (рис. 77).

Найти: xA; yA; RB; RD.

Равнодействующая от распределенной нагрузки Определяем yA (рис. 78):

Определяем хА (рис. 79):

Определяем RD (рис. 80):

Определяем RA (рис. 81):

Пример 2. Каркас платформы состоит из Г-образных рам с промежуточными шарнирами С. Верхние концы рам жестко защемлены в бетонную стену, нижние опираются на цилиндрические подвижные опоры. Определить вертикальную реакцию защемления при действии сил P1 и Р (рис. 82).

Решение. Для определения уА выполним замену жесткой заделки другим типом связи и реакцией уА. Сообщим системе, получившей одну степень свободы, возможное перемещение и составим уравнение работ.

Задания для самостоятельного решения Задание 1. Составная балка AD, лежащая на трёх опорах, состоит из двух балок, шарнирно соединенных в точке С. На балку действуют вертикально силы, равные 20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке.

Определить реакции опор А, В, и D (рис. 83).

Задание 2. Две балки BC и CD соединены в С цилиндрическим шарниром В и прикреплены к вертикальной стойке АВ, защемленной в сечении А, а цилиндрическим шарниром D соединены с полом. К балкам приложены горизонтальные силы Р1 и Р2.

Определить горизонтальную составляющую реакции в сечении А. Размеры указаны на рис. 84.

Цель занятия: научиться определять ускорения точек механической системы с помощью общего уравнения динамики.

Совместное применение принципа Даламбера и принципа возможных перемещений дает возможность использовать при исследовании движения системы выражение общего уравнения динамики ментарных работ сил инерции.

Общее уравнение динамики применяется для составления дифференциальных уравнений движения системы материальных точек с одной или несколькими степенями свободы. При применении общего уравнения динамики к решению задач рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Определить число степеней свободы системы, равное числу независимых возможных перемещений.

2. Показать на рисунке действующие на систему активные силы (в случае неидеальных связей заменить их реакциями, включив их в число активных сил).

3. Задав направление ускорения одного из тел системы, показать на рисунке главные векторы сил инерции и главные моменты сил инерции.

4. Сообщить системе возможное перемещение, соответствующее одной из ее степеней свободы, считая остальные независимые возможные перемещения равными нулю, и найти зависимость между возможными перемещениями, выразив их через какое-либо одно возможное перемещение.

5. Найти сумму работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении системы.

6. Подставив все найденные выражения и зависимости в общее уравнения динамики, составить уравнение дифференциального движения системы.

7. Найти неизвестные величины.

Пример 1. Груз А массой m1, который подвешен на невесомой нерастяжимой нити, переброшенной через невесомый блок Д и намотанной на шкив В радиусом R, заставляет связанный со шкивом вал радиусом r катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Общая масса шкива и вала равна m2, их радиус инерции относительно центральной оси равен.

Найти ускорение груза А (рис. 85).

Решение. Связи, наложенные на систему, – идеальные, система имеет одну степень свободы. Приложим к системе активные силы (Q = m2g;

P = m1g). Задаем направление a, показываем на рисунке силы инерции и момент сил инерции Сообщим системе возможное перемещение и запишем сумму работ активных сил и сил инерции Подставляя все зависимости в выражение суммы элементарных работ, находим а.

Сокращая на S, получаем Задания для самостоятельного решения Задание 1. К системе блоков, изображенной на рис. 86, подвешены грузы: М1 массой 10 кг и М2 массой 8 кг. Определить ускорение 2 груза М2 и натяжение нити, пренебрегая массами блоков.

щая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Катки считать однородными круглыми цилиндрами (рис. 87).

Цель занятия: изучение особенностей составления уравнения Лагранжа II рода.

Обобщенными координатами называются независимые параметры, однозначно определяющие положение точек механической системы, число которых равно числу степеней свободы (обозначается q). Выбор этих координат обоснован условиями задачи.

Обобщенная сила Q определяется по формуле Уравнение Лагранжа II рода имеет вид где Т – кинетическая энергия системы; q – обобщенная скорость; Q – обобщенная сила; q – обобщенная координата.

При составлении уравнений Лагранжа II рода для заданной механической системы рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Установить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты.

2. Показать на рисунке действующие на систему активные силы.

3. Вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости.

4. Вычислить обобщенные силы, последовательно задавая элементарные положительные приращения обобщенных координат.

5. Подсчитываем соответствующие производные и составляя уравнение Лагранжа определяем неизвестные величины.

Пример 1. Каток А массой М1, скатываясь без скольжения по наклонной плоскости вниз, поднимает посредством нерастяжимой нити, переброшенной через блок В, груз С массой М2. При этом блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной к его плоскости. Каток А и блок В – однородные круглые диски одинаковой массы и раРис. диуса. Наклонная плоскость образует угол с горизонтом. Определить ускорение оси катка. Массой нити пренебречь (рис. 88).

Решение. Система имеет одну степень свободы, связи, наложенные на систему, – идеальные. Примем в качестве обобщенной координаты линейные перемещения оси катка А.

Записываем уравнение Лагранжа II рода:

Вычислим кинетическую энергию системы:

Выразим все скорости через обобщенную скорость:

Вычисляем производные:

Вычисляем обобщенную силу Q:

Составляем уравнение Лагранжа II рода:

каток. Определить ускорение груза В, если каток катится без скольжения, а коэффициент катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE.

Катки считать однородными круглыми цилиндрами (рис. 90).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ

УПРАВЛЯЕМОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Качество и глубина усвоения студентами курса теоретической механики в значительной степени зависят от их систематической работы по изучению теоретического материала и от полученных ими навыков в решении практических задач. Поэтому в самостоятельную работу студентов входит изучение теоретического материала курса по рекомендуемым учебникам, ознакомление с методиками и особенностями решения примеров и задач, приведенных в учебниках и учебных пособиях, а также выполнение индивидуальных заданий (расчетно-графических работ). Контрольные работы проводятся по наиболее важным разделам теоретического курса, их содержание определяется кафедрой.

Правильная организация самостоятельной работы компенсирует дефицит времени аудиторных занятий, прививает вкус к решению творческих технических задач, закладывает основы современных инженерных знаний.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Задания и методические указания к выполнению По специальностям строительного профиля предусмотрено выполнение четырех расчетно-графических работ:

II семестр – РГР-1. «Исследование равновесия механических систем»;

РГР-2. «Исследование движения механических систем».

III семестр – РГР-3. «Исследование динамики механических систем c применением общих теорем динамики»;

РГР-4. «Исследование динамики механических систем методами аналитической механики».

Выполнение этой работы вырабатывает навыки и умения исследования равновесия простейших строительных конструкций. Расчетнографическая работа содержит 6 задач.

Задачи С1 – С3. Равновесие произвольной плоской системы сил (балка, рама, составная балка).

1. Выделяем тело (объект), равновесие которого будем рассматривать.

2. Прикладываем заданные силы.

3. Заменяем наложенные связи их реакциями.

4. Проводим оси координат.

5. Составляем уравнения равновесия для данной системы сил.

6. Определяем неизвестные величины.

7. При рассмотрении равновесия составной конструкции, произведя расчленение, выполняем операции последовательно, начиная с п. 1 для каждой части конструкции.

Пример 1. Определение опорных реакций балки Балка АВ, нагруженная произвольной плоской системой сил, удерживается в равновесии при помощи неподвижной шарнирной опоры А и подвижной шарнирной опоры С (рис. 1). Определить реакции опор, если F1 = 12 кН; F2 = 10 кН; m = 4 кНм; q = 6 кН/м; = 30°. Линейные размеры на рис. 1 даны в метрах.

Решение. Для определения реакций опор рассмотрим равновесие балки АВ. Реакция Rc горизонтально-подвижной шарнирной опоры С направлена вертикально (предположим, вверх). Реакцию RА неподвижной шарнирной опоры А представим в виде двух составляющих Х А и YA, направленных горизонтально и вертикально (например, вправо и вверх).

Мысленно заменим опоры этими силами реакций и сделаем балку свободной (принцип освобождаемости от связи). Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q, равной 6 кН/м, заменим равнодействующей силой Линия действия силы Q проходит через середину участка длиной 3 м, где эта нагрузка действует. Так получается расчетная схема несвободной балки (рис. 2), находящейся в равновесии под действием произвольной системы сил.

Выбрав оси проекций Х и Y, составляем и решаем уравнения равновесия балки:

(знак «–» указывает на то, что эта составляющая силы реакции RА направлена в противоположную сторону, т.е. не вправо, как предполагали вначале, а влево. Чтобы не исправлять решение, оставим без изменения выполненный ранее рисунок расчетной схемы балки, но будем иметь в виду, что X A = 10,4 кН );

Возвращаясь ко второму уравнению равновесия, вычисляем YA:

Истинное направление этой составляющей силы реакций RА – вертикально вниз. Полная реакция опоры А:

Выполним проверку правильности решения задачи. Для этого составим еще одно уравнение равновесия балки, причем такое, которое не использовалось при определении сил реакций, например:

Подставим в это уравнение заданные и найденные силы, получаем:

Следовательно, неизвестные силы реакций опор определены верно.

X A = 10,4 кН, влево ; YA = 0,3 кН, вниз ; RC = 22,3 кН, вверх.

Пример 2. Определение опорных реакций балки Решение. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Рассмотрим ее равновесие под действием заданной системы сил и искомых реакций жесткой заделки В. Эти реакции представим в виде неизвестной реактивной силы RB (которую сразу разложим на две составляющие, параллельные произвольно выбранным осям проекций Х и Y) и реактивного момента MВ, выбрав его направление произвольно (например, против хода часовой стрелки). Заменив жесткую заделку В этими реакциями, получаем расчетную схему балки в виде свободного твердого тела, находящегося в равновесии под действием указанных сил и неизвестных сил (рис. 4).

Составляем и решаем уравнения равновесия балки:

Знак «–» при MB указывает на то, что истинное направление реактивного момента противоположно предварительно принятому, т.е. MB = 12 кНм, направление – по ходу часовой стрелки.

Чтобы не проводить все решение заново, оставим принятые направления реакций жесткой заделки В без изменения, но будем помнить о знаках найденных реакций.

В заключение выполним проверку правильности решения задачи, составим еще одно уравнение равновесия. Например, Полученное тождество свидетельствует о правильности решения задачи.

XB = 4 кН (влево); YB = 10 кН (вверх); MB = 12 кНм (по ходу часовой стрелки).

Пример 3. Определение опорных реакций рамы Плоская рама находится в равновесии благодаря наложенной связи – жесткой заделке в сечении А (рис. 5). Определить реакции связи и выполнить проверку правильности решения.

Получаем расчетную схему рамы в виде свободного твердого тела, находящегося в равновесии под действием заданной произвольной плоской системы сил и произвольной плоской Подставив значения заданных величин и решив уравнения, получаем:

Для проверки составим еще одно уравнение равновесия, не использованное при решении:

Подстановка полученных и заданных величин в это уравнение приводит к тождеству 0 = 0. Следовательно, неизвестные силы реакций найдены верно.

Пример 4. Определение опорных реакций рамы Плоская рама находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил и закреплена неподвижно при помощи неподвижной шарнирной опоры (точка А) и подвижной шарнирной опоры (точка В). Приняв линейные размеры рамы непосредственно из рис. 7, определить реакции опор рамы и выполнить проверку правильности решения задачи.

Дано: sin = 0,8; cos = 0,6;

F1 = 50 кН; F2 = 30 кН; q = 10 кН/м;

m1 = 100 кНм; m2 = 60 кНм; m3 = 40 кНм.

Решение. Для определения реакций связей рассмотрим равновесие рамы. Чтобы получить расчетную схему, отбросим связи и заменим их действие искомыми силами реакций. Реакцию опоры в точке А представим в виде двух составляющих X A и YA, направленных параллельно произвольно принимаемым осям проекций Х и Y (рис. 8).

Реакция RB подвижной шарнирной опоры в точке В направлена перпендикулярно к опорной поверхности, т.е. вертикально (например, вверх).

Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q = 10 кН/м заменим ее равнодействующей силой Линия действия этой силы проходит через середину участка длиной 4 м, на который действует нагрузка.

схема представлена на рис. 8.

Составляем и решаем уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, действующей на раму:

Выполним проверку правильности полученных результатов, составив еще одно уравнение равновесия рамы. Например, Значит, реакции опор рамы найдены верно.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Эти задачи – на равновесие системы сочлененных тел. В них впервые ставится вопрос об определении внутренних сил, действующих между составными частями конструкции.

Следует иметь в виду, что внутренние силы есть во всех телах, во всех системах, в любых конструкциях. Но они, подчиняясь принципу равенства действия и противодействия, существуют всегда попарно. Поэтому в любом теле, в любой системе, в любой конструкции они между собой уравновешиваются. По этой причине при рассмотрении равновесия тела, системы или конструкции в целом эти внутренние силы не вводятся в уравнения равновесия. Но их знание необходимо для создания прочных, работоспособных конструкций, механизмов и т.п. Кроме того, без определения этих сил не всегда удается решить задачи о нахождении сил реакций внешних связей методами теоретической механики.

Например, конструкция, показанная на рис. 9, состоит из трех тел (балок АЕ, ЕК, КD), соединенных между собой шарнирами Е и К.

Для удержания ее в равновесии нужны внешние связи. В рассматриваемой конструкции таковыми являются опорные стержни в точках А, В, С и неподвижная шарнирная опора D. Под действием внешних заданных нагрузок в них (опорах) появляются неизвестные силы реакций общим числом (в неподвижной шарнирной опоре D – две составляющие одной неизвестной по величине и направлению силы реакции RD ). Следовательно, для их определения необходимо иметь пять независимых уравнений. Но, оставаясь в рамках теоретической механики и исходя только из уравнений равновесия твердого тела, получить такое количество независимых уравнений невозможно. Дело в том, что количество таких (независимых между собой) уравнений равновесия определяется не особенностями рассматриваемой системы (конструкции, механизма и т.п.), а исключительно видом системы сил, приложенной к ней (сходящаяся, произвольная плоская, произвольная пространственная или какая-то иная). Например, в случае произвольной плоской системы сил таких уравнений можно составить только 3. Тем не менее, задача является статически определимой, т.е. все пять неизвестных внешних реакций могут быть найдены. Но для этого придется дополнительно рассматривать равновесие отдельно взятых частей конструкции. Например, рассматривать только ее часть АЕ (рис. 10).

Из уравнений равновесия (для этой части конструкции можно составить именно три независимых уравнения равновесия, поскольку действующая на АЕ система сил также произвольная Рис. плоская) нетрудно определить и силу RA (которая является внешней силой и для АЕ, и для всей конструкции АЕКD в целом), и силу реакции в шарнире Е (с составляющими). Они – внешние для АЕ, но внутренние для всей конструкции в целом. После того, как силы ХЕ и YЕ найдены, можно рассмотреть равновесие следующей части конструкции – ЕК (рис. 11).

При построении расчетной схемы необходимо учесть, что силы, действующие на эту часть конструкции со стороны АЕ, т.е. давления в точке Е, численно равны найденным выше реакциям, но их направления противоположны этим реакциям:

Именно с учетом этого обстоятельства и показаны силы X E, YE на рис. 11.

Снова замечаем, что в рассматриваемых фрагментах задачи и конструкции три неизвестных – RB, X K, YK. Но так как на балку ЕК действует произвольная плоская система сил, то можно составить именно три независимых уравнения ее равновесия. Следовательно, задача решается, и все три неизвестные RB, X K, YK будут найдены.

Далее можно рассмотреть либо часть конструкции КD, либо всю конструкцию целиком. В последнем случае неизвестными будут RC, X D, YD, т.к. RA и RB уже найдены. Снова можно составить три независимых уравнения равновесия и из них найти эти оставшиеся три неизвестные силы.

Подведем итоги. Внутренние силы существуют во всех телах, системах, конструкциях. В целом они уравновешиваются, но для каждой отдельно взятой части системы (конструкции) некоторые из них становятся внешними. При рассмотрении равновесия какой-либо части конструкции (системы) с такими «новыми» внешними силами обращаются как и со «старыми», в частности, эти силы входят в уравнения равновесия и при определенных условиях могут быть найдены методами теоретической механики. Это так называемые «статически определимые задачи», в которых количество неизвестных сил и число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы сил, равны между собой.

После определения всех внешних (для конструкции в целом) неизвестных сил можно выполнить проверку решения задачи обычным приемом – составить одно (или несколько) уравнений равновесия, неиспользованных при определении неизвестных. Например, это могут быть уравнения равновесия конструкции (системы) в целом.

Так, «расчленением» составной конструкции на отдельные части и рассмотрением их равновесия решаются задачи С4 – С7. Они отличаются друг от друга только количеством тел, из которых состоит сложная конструкция, находящаяся под действием произвольной плоской системы сил и закрепленная неподвижно при помощи тех или иных опорных устройств.

Ниже рассмотрены примеры решения подобных задач.

Пример 5. Определение реакций внешних опор и давления во внутреннем шарнире составной конструкции Составная конструкция состоит из двух балок BA и AE, соединенных шарниром А. Определить реакции внешних опорных стержней в точках В, Е и неподвижной шарнирной опоры D, удерживающих конструкцию в равновесии при действии на нее произвольной плоской системы сил (рис. 12).

Определить также давление в соединенном (внутреннем) шарнире А.

Решение. Для составной конструкции в целом имеем 4 неизвестные внешние реакции (реакции опорных стержней RB, RE и две составляющие неизвестной силы реакции RD неподвижной шарнирной опоры D – X D, YD ).

Независимых уравнений равновесия всей конструкции в целом (если воспользоваться аксиомой отвердевания) – только 3, т.к. действующая на конструкцию система сил является произвольной плоской. Этого недостаточно для определения четырех неизвестных.