На правах рукописи

Степанов Роман Григорьевич

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА В

N –КОМПОНЕНТНЫХ МОДЕЛЯХ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.01.05 Теория вероятностей и

математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ – 2005

Работа выполнена на кафедре экономической кибернетики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский государственный университет имени В.И. Ульянова – Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Миссаров Мукадас Дмухтасибович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Муштари Данияр Хамидович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Козырев Сергей Владимирович

Ведущая организация: Институт Проблем Передачи Информации РАН, г.Москва

Защита диссертации состоится 22 декабря 2005 г. в 14:30 на заседании диссертационного совета К212.081.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете (420008, г. Казань, ул. Кремлевская,18, корпус 2, ауд. 217).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 21 ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент Агачев Ю.Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Состояние систем с большим числом степеней свободы в статистической физике обычно описывается с помощью гиббсовских случайных полей. Преобразование ренормализационной группы (РГ) соответствует переходу от одного гиббсовского случайного поля к другому с помощью операций суммирования и нормировки. При этом речь идет о суммах сильно зависимых случайных величин. Теорию ренормализационной группы можно рассматривать как развитие классической теории предельных теорем для гиббсовских случайных полей. Распределения вероятностей, инвариантные относительно действия РГ, называются автомодельными распределениями вероятностей или неподвижными точками РГ.

Гауссовские автомодельные процессы, известные сейчас под названием дробного броуновского движения, впервые были рассмотрены А.Н. Колмогоровым. Связь автомодельных распределений с предельными теоремами теории вероятностей обсуждалась Ламперти и Р.Л. Добрушиным.

Проблемой автомодельных распределений занимались также Галлавоти, Йона-Лазинио, М. Розенблатт, Такку, Дайсон, Я.Г. Синай, П.М. Блехер, М.Д. Миссаров и другие.

Интерес к преобразованиям ренормгруппы и к автомодельным распределениям вероятностей объясняется тем, что данные объекты возникают в фундаментальных вопросах статистической физики и квантовой теории поля. Как известно, макроскопические характеристики разнообразных физических систем с бесконечным числом степеней свободы при изменении температуры или некоторых констант связи могут иметь особенности (фазовые переходы). Оказывается, состояние таких систем в критической точке определяется автомодельными распределениями вероятностей. Метод ренормализационной группы в теории критических явлений был создан Вильсоном, Кадановым, Фишером и другими. Данный метод позволяет вычислять критические показатели, характеризующие поведение систем в критической точке.

Диссертация посвящена исследованию преобразования ренормализационой группы в различных N –компонентных моделях статистической физики. Рассматриваемые случайные поля определены в евклидовом или pадическом пространстве или на иерархической решетке, являющейся дискретной версией p-адического пространства.

Иерархические модели были предложены Ф.Дайсоном. Большой вклад в теорию РГ в иерархических моделях внесли П.М. Блехер и Я.Г. Синай. Первые p-адические модели математической физики появились в работах В.С. Владимирова и И.В. Воловича. Связь между иерархическими и p-адическими моделями была установлена в работах М.Д. Миссарова и Э.Ю. Лернера. Важным достоинством p-адических моделей является то, что сложные проблемы современной математической физики получают точное решение. Например, многие проблемы теории РГ в четырехкомпонентной фермионной иерархической модели получили явное решение.

Еще один класс задач, рассмотренных в диссертационной работе, представлен стохастическими версиями известных задач комбинаторной оптимизации (задача коммивояжера, задача о минимальном паросочетании и задача о минимальном остовном дереве) в p–адических пространствах. Идеи, близкие к идеям ренормгруппы, позволили явно вычислить математические ожидания оптимальных решений и исследовать их асимптотическое поведение.

Цель работы исследовать преобразование ренормализационной группы в различных N –компонентных моделях статистической физики; исследовать стохастические задачи комбинаторной оптимизации (ЗКО) в ультраметрических пространствах.

Направления исследования.

1. Распространить формализм проеционных гамильтонианов на случай O(N )–симметричных N –компонентных бозонных случайных полей, заданных как в евклидовом, так и в p–адическом пространствах. Вычислить критические показатели до второго порядка теории возмущений.

2. Исследовать 2N –компонентную фермионную иерархическую модель.

3. Исследовать N –компонентную бозонную иерархическую модель.

4. Для стохастических задач комбинаторной оптимизации в d–мерном p– адическом пространстве вычислить математические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях, а также исследовать их асимптотику при n, где n – число точек.

Методы исследования. Для исследования преобразования РГ Вильсона в случае N –компонентных O(N )–симметричных случайных полей в евклидовом и p–адическом пространствах используется техника фейнмановских диаграмм и перенормировок, а для описания неподвижных точек РГ и критических показателей строятся формальные ряды теории возмущений. 2N –компонентная фермионная иерархическая модель исследуется с привлечением понятий из суперанализа и теории динамических систем.

Стохастические задачи комбинаторной оптимизации исследуются с помощью комбинаторных рассуждений с привлечением сведений из теории вероятностей и математического анализа.

Научная новизна. Формализм перенормированных гамильтонианов распространен автором на случай N –компонентных O(N )–симметричных полей, заданных как в евклидовом, так и в p–адическом пространствах. Получены формулы для симметрийных коэффициентов фейнмановских графов, доказаны теоремы о контрчленах, построены ряды теории возмущений для неподвижных гамильтонианов РГ и критических показателей.

Критические показатели в евклидовой и p–адической теориях вычислены в рамках ( 3/2d)– и (4d)–разложений. Проведен их сравнительный анализ.

Автором исследовано преобразование РГ для 2N –компонентных фермионных случайных полей, заданных на иерархической решетке. Ряд наблюдений, полученных для данной модели, не имеет аналогов в других известных N –компонентных моделях статистической физики. Например, преобразование РГ удалось представить в виде конечномерного преобразования в пространстве констант связи, а для определения неподвижных точек предложена система алгебраических уравнений.

Автором установлена интересная связь между преобразованиями РГ в бозонной и фермионной 2N -компонентных моделях. Оказалось, что одно преобразование переходит в другое при формальной замене N на N.

Удалось явно вычислить математические ожидания оптимальных решений стохастических задач комбинаторной оптимизации в p–адическом пространстве, а также исследовать их асимптототическое поведение.

Практическая ценность результатов. Результаты, полученные в работе, носят в основном теоретический характер.

Развитый в диссертации формализм проекционных гамильтонианов позволяет вычислять критические показатели для N –компонентных O(N )– симметричных случайных полей, пользуясь ( 3/2d)–разложением, либо (4 d)–разложением.

Строгие результаты, полученные для фермионной и бозонной иерархических моделей позволяют глубже понять динамику преобразования РГ.

Наблюдения, полученные для этих моделей могут быть источником гипотез для евклидовых моделей математической физики.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах. Две работы приняты к печати.

Апробация и внедрение результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях:

III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция Вероятность и статистика (Сочи, октябрь 2002), Международная конференция по p–адической математической физике (Москва, 1– октября 2003), XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Сочи, сентябрь 2004), VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция Вероятность и статистика (Санкт– Петербург, май 2005), Вторая международная конференция по p–адической математической физике (Белград, Сербия и Черногория, сентябрь 2005).

Структура и объем диссертации: Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, содержащего 48 наименований. Работа изложена на 123 листах и содержит рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы исследований, формулируется цель работы, проводится обзор литературы, прилегающей к темактике диссертации.

В главе 1 формализм проекционных гамильтонианов, предложенный П.М. Блехером и М.Д. Миссаровым для однокомпонентной модели, обобщается на случай N -компонентной O(N )-симметричной модели.

Пусть в d–мерном шаре R = {q : | q| R} задано N –компонентное O(N )–симметричное гиббсовское поле (q) = (1 (q),..., N (q)).

Действие преобразования ренормализационной группы (РГ) Вильсона r, задается как r, (q) = (s, (q))(q), где – параметр растяжения, – параметр РГ, (q) – индикатор шара R.

Распределения гиббсовских O(N )–симметричных случайных полей (q) задаются гамильтонианами вида H() = где hk (q1,..., q2k ) – функции, удовлетворяющие свойствам изотропности и инвариантности относительно перестановок переменных, суммирование В пространстве гамильтонианов преобразование РГ R, сводится к композиции двух преобразований R, = P S,, где преобразование скейлинга S, индуцировано преобразованием s, и сводится к изменению коэфq1 q2k проекции P индуцирован операцией ограничения поля (q) = s, (q), живущего в шаре R, на шар R.

Для подсчета возникающих функциональных интегралов используется техника фейнмановских диаграмм. Пусть G – некоторый связный фейнмановский граф, построенный на n вершинах, n - натуральное число, и пусть все эти вершины пронумерованы числами от 1 до n. Степенью вершины назовем количество линий, выходящих из данной вершины. Обозначим степень вершины с номером v через 2kv (считаем, что это всегда четное число).

Пусть все линии, выходящие из вершины v, пронумерованы числами от до 2kv.

Предположим, что граф G имеет 2k внешних линий. Каждая внешняя линия определяется набором (v, m), где v – номер вершины, из которой выходит линия, m – ее порядковый номер среди линий данной вершины.

Отождествим каждую внутреннюю линию с четверкой (v1, m1, v2, m2 ). При этом считаем, что внутренняя линия (v1, m1, v2, m2 ) соединяет вершины v1, v2 и имеет для вершины v1 номер m1, а для вершины v2 номер m2.

Пусть L(G) = {(v1, m1, v2, m2 )} – множество внутренних линий графа G; E(G) = {(v, m)} – множество внешних линий графа G.

Коэффициентом симметрии графа G назовем следующее выражение:

Будем пользоваться двумя формализмами теории возмущений: формализм ( 3/2d)-разложения и формализм (4 d)-разложения.

( 3/2d)–разложение Введем следующие обозначения:

Заметим, что гамильтониан 1 H0,, R задает гауссовское случайное поле, инвариантное относительно преобразования РГ, с бинарной корреляционной функцией < i (q1 )j (q2 ) >= i,j (q1 + q2 )1 (q1 ), где 1 (q) = | q|d ( (q)). Обозначим через < · >c1 связное упорядочивание Вика по этому гауссовскому полю.

Как и в случае однокомпонентной модели, анализ дифференциала РГ на гауссовской ветви неподвижных точек показывает, что значение = 3/2d является бифуркационным значением. Дальнейшие разложения будут строиться по параметру = 3/2d.

Пусть A.R.FG (q) – операция аналитической перенормировки по параметру фейнмановской амплитуды FG (q), соответствующей графу G.

Рассмотрим перенормированный проекционный гамильтониан Здесь операция A.R. применяется ко всем фейнмановским амплитудам FG (q), возникающим при подсчете < · >c1 и обеспечивает конечность гамильтониана при 0.

Теорема 1 (Теорема о контрчленах) Для гамильтониана (2) справедливо представление:

Суммирование выполняется по фейнмановским графам, порожденным n вершинами степени 4 и одной вершиной степени 2 и имеющим 2 внешние линии. Суммирование выполняется по графам, порожденным n вершинами степени 4 и имеющим 4 внешние линии. O(G) – вершинная часть графа G.

Теорема 2 Действие РГ на перенормированный проекционный гамильтониан (2) задается формальным дифференциальным оператором Система уравнений 1 (u1, u2 ) = 0, 2 (u2 ) = 0 имеет два решения: решение u1 = 0, u2 = 0, соответствующее гауссовскому неподвижному гамильтониану, и решение u1 = 0, u2 = u = c1 + c2 2 +... (c1 = 0), соответствующее негауссовскому неподвижному гамильтониану.

Теорема 3 Гамильтониан Hef f (0, u ) является негауссовским гамильтонианом, неподвижным относительно R,.

Критический показатель, называемый также аномальной размерностью, определяется по формуле = 2 + d = (4 d)/2. Критический показатель вычисляется по формуле = ln 1, где 1 – старшее собственное число дифференциала R, в нетривиальной неподвижной точке.

Теорема 4 Гамильтониан u1 Hef f (u1, u2 ) u =0, u =u является собственным гамильтонианом дифференциала R, в неподвижной точке казатель равен:

До второго порядка по получаем следующий ответ для модели в евклидовом пространстве:

где = 0.577216... – константа Эйлера.

Все результаты, сформулированные для евклидовой модели, без изменений переносятся на p-адическую модель. При этом Сопоставление (7) и (8) показывает любопытное сходство ответов. Формула (7) переходит в (8), если гамма-функцию (x) заменить на fp (x), а значение заменить на ln p. Связь между функциями (x) и fp (x) хорошо известна в теории дзета-функции Римана.

(4 d)–разложение Заметим, что гамильтониан 2 H0, R задает гауссовское случайное поле с бинарной корреляционной функцией < i (q1 )j (q2 ) >= i,j (q1 + q2 )2 (q1 ), где 2 (q) = | q|2 (1 (q)). Обозначим через < · >c2 связное упорядочивание Вика по этому гауссовскому полю. Дальнейшие разложения будут строиться по параметру = 4 d.

Пусть D.R.FG (q) – операция аналитической перенормировки по параметру фейнмановской амплитуды FG (q), соответствующей графу G.

Рассмотрим перенормированный проекционный гамильтониан Теорема 5 (Теорема о контрчленах) Для гамильтониана (9) справедливо представление:

Суммирование выполняется по графам с 2 внешними линиями, поG графам с 2 внешними линиями, порожденным n вершинами степени с 4 внешними линиями, порожденным n вершинами степени 4. O(G) – вершинная часть графа G.

Теорема 6 Действие РГ на перенормированный проекционный гамильтониан (9) задается формальным дифференциальным оператором Система уравнений 0 = 0, 1 = 0, 2 = 0 относительно, u1, u имеет два решения: решение u1 = 0, u = 0, = 2 + d, соответствующее гауссовскому неподвижному гамильтониану, и решение u1 = 0, u = u = c1 + c2 2 +...

(c1 = 0), = 3/2d + (u )/2, соответствующее негауссовскому неподвижному гамильтониану. Значение u определяется из уравнения (u )2 (u ) = 0.

Теорема 7 Пусть u – ненулевое решение уравнения (u )2 (u ) = 0.

Пусть параметр выбран следующим образом:

Для любого u0 гамильтониан Hef f (u0, 0, u (1 + 2u0 )2 ) является негауссовской неподвижной точкой преобразования R,.

Для критического показателя верно представление:

собственным гамильтонианом дифференциала R, в неподвижной точке Hef f (u0, 0, u (1 + 2u0 )2 ) с собственным числом Критический показатель равен:

Для евклидовой модели получаем следующий ответ:

Этот результат совпадает с результатами вычислений в рамках формализма уравнений Каллана-Симанзика. В p-адической модели = 0, Для того, чтобы сравнить ответы для в обоих вариантах разложений, подставим в (7) значение = 3/2d = /2, где определено в (15), и переразложим (7) по степеням. Используя то, что A(4) = 1/2, нетрудно показать, что после такой подстановки формула (7) совпадет с (14). Это говорит в пользу того, что оба разложения, по-видимому, описывают одну и ту же негауссовскую неподвижную точку РГ. Аналогичное сравнение ответов в p-адической модели дает тот же результат.

В главе 2 рассматривается 2N -компонентная фермионная модель на иерархической решетке.

Четырехкомпонентная модель получила точное решение в работах М.Д. Миссарова. Обобщение четырехкомпонентной фермионной иерархической модели на случай, когда число компонент спина равно 2N, рассматривалось в работе М.Д. Миссарова и Э.Ю. Лернера. Однако в ней был предложен лишь алгоритм для вычисления преобразования РГ в пространстве констант связи. Явных формул предложено не было. Вопрос о существовании негауссовской ветви неподвижных точек был исследован лишь локально в окрестности тривиальной (гауссовской) неподвижной точки.

В данной диссертации преобразование РГ явно вычислено в N –мерном проективном пространстве констант связи. Исследованы некоторые свойства этого преобразования, Пусть n – количество узлов в элементарном блоке иерархической решетки. Считаем, что в каждом узле j Z определено N пар спинов:

(j) = (1 (j), 1 (j),..., N (j), N (j)), при этом k (j), k (j), k = 1,..., N, – образующие алгебры Грассмана.

Спин-блоковое преобразование ренормализационной группы определяется формулой:

где R – параметр ренормгруппы, Vi = {j Z : (i 1)n < j in}.

Рассмотрим O(N )–симметричные негауссовские фермионные поля, в которых взаимодействие задано гауссовским гамильтонианом, инвариантным относительно действия РГ, а плотность свободной меры имеет вид:

рассматриваем, как точку N -мерного проективного пространства.

Теорема 9 Пусть поле имеет плотность свободной меры f (). Тогда ренормированное поле имеет плотность свободной меры f () вида f () = R(, n)f (), где k, ± – грассмановы образующие, k = 1,..., N. Интегралы понимаются как грассмановы интегралы по Березину.

Преобразование R(, n) обладает следующей симметрией относительно преобразования Фурье F : R(, n)F = F R(2, n).

Динамика преобразования РГ легко исследуется, когда = 1. Заметим, что при этом значении нормировка спина в преобразовании РГ ВильсонаКаданова (17) совпадает со стандартной нормировкой n1/2 в центральной предельной теореме. В нашей модели справедлива теорема, которую можно рассматривать, как аналог центральной предельной теоремы для антикоммутирующих полей.

Теорема 10 Пусть f () – некоторая плотность вида (18), и пусть справедливо соотношение:

limk R(1, n)k f () = ().

Удобно сделать следующую замену:

преобразование РГ имеет вид (t = 0,..., N ):

Обозначая vj = wj /w0, получим систему алгебраических уравнений на неподвижную точку РГ относительно неизвестных (v1,..., vN ) (j изменяется от 1 до N ):

n[t] = n(n 1)... (n t + 1). Данная система имеет два тривиальных решеj ния: решение vj = n1 1, j = 1,..., N, соответствующее гауссовской неподвижной точке РГ, и решение vj = 0, j = 1,..., N, соответствующее грассмановой -функции.

При N = 1 данная система имеет лишь тривиальные решения. При N = 2, кроме тривиальных решений, система имеет два нетривиальных решения. При N = 3 имеется несколько нетривиальных решений, при этом для различных значений a количество вещественных решений различно.

Значения = 1, 1/2,..., 1/N являются точками бифуркации для ветви неподвижных точек, соответствующей грассмановой –функции. Точки = 2 1, 2 1/2,..., 2 1/N являются точками бифуркации для гауссовской ветви неподвижных точек.

Пусть c() = (c0 (),..., cN ()) – некоторая ветвь нетривиальных неподвижных точек РГ, непрерывная при = 1. Тогда lim1 c() = (1, 1,..., 1).

В главе 3 мы рассматриваем N -компонентную бозонную (вещественнозначную) модель на иерархической решетке.

Каждому узлу j решетки соответствует N -компонентный спин (j) = (1 (j),..., N (j)) R.

Спин-блоковое преобразование ренормализационной группы определяется формулой:

Пусть поле имеет плотность свободной меры f (y), y RN. Тогда ренормированное поле имеет плотность свободной меры f (y) вида Показано, что для описания неподвижных точек можно использовать как разложение по параметру = 3/2, так и по параметру = 4 d.

В последнем случае мы фиксируем n = pd, = (d + 2)/d. В Евклидовом случае этот выбор соответствует гауссовской части, заданной оператором Лапласа. В случае однокомпонентной модели негауссовские неподвижные точки РГ описаны с помощью обоих типов разложений. Сравнение ответов в первых двух порядках теории возмущений говорит в пользу того, что оба разложения описывают одну и ту же неподвижную точку в размерности d = 3.

Для сопоставления бозонной и фермионной моделей примем число компонент поля равным 2N. С целью получения более компактных формул, сделаем в бозонной модели замену, аналогичную замене (20):

Теорема 11 В пространстве коэффициентов wk преобразование РГ имеет вид няется N j образом, преобразование РГ в фермионной 2N -компонентной модели формально совпадает с преобразованием РГ в бозонной (2N )-компонентной модели.

В главе 4 рассматриваются задачи комбинаторной оптимизации для точек, лежащих в ультраметрическом пространстве. Рассматриваются три известные задачи комбинаторной оптимизации - задача коммивояжера (ЗК), задача о минимальном паросочетании (МП), задача о минимальном остовном дереве (МОД). “Жадные” алгоритмы в ультраметрическом пространстве дают оптимальное решение этих задач.

Пусть имеется n точек, равномерно распределенных по мере Хаара в d-мерном p-адическом шаре {x : |x|p 1}. Пусть LМП, LМОД, LЗК – матеn n n матические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях задач МП, МОД и ЗК соответственно.

Теорема 12 Для величин LМП, LМОД, LЗК верны представления:

Задача отыскания асимптотики этих величин при n сводится к отысканию асимптотики ряда вида Gn = где 0 < a < 1.

Теорема 13 При d = 1 величина Gn представима в виде:

Однако при фиксированном вещественном x и натуральном параметре m существует предел m (p(m+x)d )11/d где Ud (x) - периодическая функция с периодом 1, равная

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Формализм перенормированных гамильтонианов распространен на случай N –компонентных O(N )–симметричных полей. Получены формулы для симметрийных коэффициентов фейнмановских графов, доказаны теоремы о контрчленах, определены негауссовские неподвижные гамильтонианы РГ.

2. Критические показатели, рассчитаны для евклидовых и p–адических пространств до второго порядка теории возмущений с использованием ( 3/2d)– и (4 d)–разложений.

3. Исследовано преобразование РГ для 2N –компонентных фермионных случайных полей на иерархической решетке. Преобразование РГ представлено в виде конечномерного преобразования в пространстве констант связи, а для определения неподвижных точек предложена система алгебраических уравнений.

4. Исследовано преобразование РГ для N –компонентных бозоных случайных полей на иерархической решетке. Построены -разложения неподвижных точек РГ. Показано, что преобразование РГ в 2N –компонентной бозонной модели формально совпадает с преобразованием РГ в (2N )– компонентной фермионной модели.

5. Исследованы стохастические задачи комбинаторной оптимизации в p–адическом пространстве. Удалось явно вычислить математические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях данных задач, а также исследовать асимптотику этих величин при n, где n – количество точек.

Список работ по теме диссертации 1. Миссаров М.Д. О построении неподвижных точек ренормализационной группы в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов //Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2002. – Т.9, № 2. – с.425–426.

2. Миссаров М.Д. О задачах комбинаторной оптимизации в ультраметричных пространствах / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. – 2003. – Т.136, № 1. – с.164–176.

3. Миссаров М.Д. -разложения в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. – 2004. – Т.139, № 2. – с.268–275.

4. Миссаров М.Д. Преобразование ренормгруппы в 2N –компонентной фермионной иерархической модели, / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2004. – Т.11, № 3.

– с.510–511.

5. Миссаров М.Д. Действие ренормализационной группы в N –компонентной 4 – модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Материалы международной научной конференции Актуальные проблемы математики и механики. – Труды математического центра им. Лобачевского. – Казань, 2004. – Том 25. – с.188–190.

6. Миссаров М.Д. Инвариантные многообразия ренормгруппы Вилсона в N –компонентной модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2005. – Т.12, № 2. – с.439–440.

7. Миссаров М.Д. -разложения в N -компонентной 4 –модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). – 2006. – Т. 8. Степанов Р.Г. Эпсилон–разложения в N –компонентной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Тез. докл. Международной конференции студентов и аспирантов Ломоносов–2004. – Москва, 2004. – 117.

9. Степанов Р.Г. Преобразование ренормализационной группы в 2N компонентной фермионной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). – 2006. – Т. 10. Missarov M.D. Stochastic versions of combinatorial optimization problems in p-adic spaces / M.D. Missarov, R.G. Stepanov // 8th Vilnius Conference on Probability Theory, Abstracts. – June 23-29, 2002. – P. 11. Missarov M.D. Comparison of -expansions in the Euclidean and p-adic models, / M.D. Missarov, R.G. Stepanov, // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. – 15–21.09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. – P.32.

12. Stepanov R.G. Critical exponents in the bosonic hierarchical model / R.G.Stepanov, // Тезисы докладов Международной конференции по pадической математической физике. – Москва, 1-5 октября 2003.

13. Stepanov R.G. Renormalization group in 2N -component fermionic hierarchical model / R.G.Stepanov // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. – 15-21.09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. – P.45–46.