СЕМИНАР 4

Система двух автономных обыкновенных линейных

дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы

двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Перейдем к изучению систем уравнений. Рассмотрим

систему линейных дифференциальных уравнений. В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде:

dx dt = ax + by, (4.1) dy = cx + dy.

dt Анализ системы уравнений начинается с нахождения стационарных состояний. У систем вида (4.1) особая точка единственна, ее координаты — (0,0). Исключение составляет вырожденный случай, когда уравнения можно представить в виде:

dx dt = ax + by, (4.1*) dy = kax + kby.

dt Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек В этом случае все пары ( x, y ), удовлетворяющие соax отношению y =, являются стационарными точками b системы (4.1*). В частности, точка (0,0) также является стационарной для системы (4.1*). На фазовой плоскости (см. Семинар 5) в данном случае имеем прямую с коэфa фициентом наклона, проходящую через начало коорb динат, каждая точка которой является особой точкой системы (4.1*) (см. таблицу 4.1, пункт 6).

Основной вопрос, на который должен отвечать результат исследования системы уравнений: устойчиво ли стационарное состояние системы, и какой характер имеет ее решение (монотонный или немонотонный).

Напомним, что решением системы уравнений (4.1) на некотором интервале времени является пара функций x(t ), y (t ), результатом подстановки которых в оба уравнения системы является верное тождество на том же временном интервале.

Какими же должны быть функции x(t ), y (t ), «претендующие» на то, чтобы быть решением исследуемой системы уравнений? После подстановки функцийкандидатов» в исходные уравнения, в левой части будут стоять их производные, а в правой — сами функции. При этом должно выполнять равенство между частями уравнения. Только экспоненциальная функция f ( z ) = e z остается после дифференцирования функцией того же вида.

Таким образом, общее решение системы уравнений (4.1) необходимо искать среди функций вида:

x(t ) = A et, y (t ) = B et, (4.2) где A, B, — некоторые неизвестные константы. Определив значения этих трех неизвестных, получим общее решение системы.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Подставим функции (4.2) в исходную систему уравнений:

dx dt = A e = a ( A e ) + b ( B e ), t t t dy = B et = c ( A et ) + d ( B et ).

dt Сокращая на ненулевой множитель et, получаем:

A = a A + b B, (4.3) B = c A + d B.

Система (4.3) представляет собой алгебраическую систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных A, B :

(a ) A + b B = 0, (4.4) c A + (d ) B = 0.

Система уравнений (4.4) имеет ненулевое решение лишь в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов системы, равен нулю:

(a ) b = 0. (4.5) (d ) c Раскрывая определитель (4.5), получаем характеристическое уравнение 2 (a + d ) + (ad bc) = 0. (4.6) Квадратное уравнение (4.6) имеет два решения 1 и 2, при которых возможны ненулевые значения констант A, B для решения (4.2) системы уравнений. Каждому из значений 1,2 соответствует свой набор констант, а общее решение системы двух дифференциальных уравнений (4.1) является суммой двух линейно-независимый решений:

Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек Здесь константы C1,2 определяются начальными условиями задачи, а коэффициенты 1,2 зависят от характеристических значений 1,2 и задаются формулами:

Характеристические числа 1,2 выражаются через коэффициенты линейных уравнений следующим образом:

Разберем возможные варианты значений характеристических чисел. В зависимости от знака подкоренного выражения (a + d ) 2 4(ad bc) корни характеристического уравнения могут принимать как действительные, так и комплексные значения.

1) Оба корня характеристического уравнения 1,2 принимают действительные значения, если выполнено неравенство:

то неравенство (4.9) всегда верно. Более того, а это означает, что То есть, в выражении (4.8) к величине (a + d ) прибавляется (или из нее вычитается) бльшая величина Учебное пособие «Математические модели в биологии»

(a + d ) 2 4(ad bc). Таким образом, два характеристических корня 1 и 2 будут всегда разных знаков.

то для того, чтобы оба характеристических корня были действительными, должно выполняться неравенство В этом случае выполняется неравенство То есть, в выражении (4.8) к величине (a + d ) прибавляется (или из нее вычитается) меньшая величиa + d ) 2 4(ad bc). Таким образом, два характена ристических корня 1 и 2 будут всегда одного знака. Причем знак будет совпадать со знаком выражения (a + d ).

2) Оба корня характеристического уравнения 1,2 принимают комплексно-сопряженные значения, если выполнено неравенство:

В этом случае характеристические числа задаются формулой:

Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек Итак, характеристические числа могут быть:

1) действительными разных знаков, 2) действительными одного знака, 3) комплексно сопряженными, а также, в вырожденных случаях, 4) чисто мнимыми, 5) действительными совпадающими, 6) действительными, одно из которых (или оба) равно нулю.

Эти случаи определяют тип поведения решения системы ОДУ. В таблице 4.1 представлены соответствующие фазовые портреты1.

Рассмотрим, какие фазовые траектории (поведение решения системы уравнений) имеют место в случаях 1—4.

1) При действительных значениях 1,2 каждое слагаемое в выражениях для общего решения (4.7) системы дифференциальных уравнений представляет собой монотонную функцию, возрастающую (для положительного значения ) или убывающую (для отрицательного значения ). В данном случае в общую формулу и для x(t ), и для y (t ) входит один возрастающий и один убывающий член. Таким образом, на временном интервале от до + фазовые траектории всегда будут сначала приближаться к стационарной точке ( 0, 0 ), а затем от нее удаляться. Стационарное состояние в этом случае — неустойчивое, а тип поведения фазовых траекторий называется седло.

Определение терминов фазовый портрет и фазовая траектория, а также методы построения фазового портрета — см. Семинар 5.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

2) При положительных значениях 1,2 решение (4.7) системы представляет собой монотонную функцию, каждая входящая в него экспонента возрастает. С течением времени фазовые траектории удаляются от стационарной точки (0, 0). Такой тип поведения фазовых траекторий называется неустойчивый узел; при отрицательных значениях 1,2 решение (4.7) системы представляет собой монотонную функцию, каждая входящая в него экспонента убывает. С течением времени фазовые траектории стремятся к стационарной точке (0, 0). Такой тип поведения фазовых траекторий называется устойчивый узел.

3) Пусть корни характеристического уравнения принимают комплексно-сопряженные значения:

Тогда решение системы, например для x(t ), имеет вид:

Значение функции x(t ) в каждый момент времени t является действительным, поэтому в правой части выражения (4.10) должно быть так же действительное выражение. Это требование будет выполнено, если мнимая часть Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек для любого t, а действительная часть Такая ситуация возможна в двух случаях:

а) константы C1 и C2 действительные и C1 = C2. Тогда решение имеет вид б) константы C1 и C2 — комплексно-сопряженные, т.е.

их можно представить в виде:

C2 = 1 i 1. Тогда решение имеет вид Первый множитель в выражениях (4.11 — 4.12) при t либо стремится к бесконечности (при положительных значениях u = a + d ), либо стремится к 0 (при отрицательных значениях u = a + d ). Второй множитель является ограниченной величиной ( sin vt 1, cos vt 1, 1, 1, C1 — константы), значения которой меняются периодически. Таким образом, решение x(t ) либо бесконечно удаляется от стационарного состояния x = 0, либо стремится к нему. Однако, в отличие от рассмотренных случаев 1) и 2), поведение решения x(t ) не является монотонным, представляет собой затухающие или нарастающие колебания (множитель eut обеспечивает либо постоянно уменьшающуюся, либо постоянно увеличивающуюся с течением времени амплитуду колебаний). Аналогичные рассуждения справедливы и для функции-решения y (t ).

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

1,2 = ±i (a + d )2 4(ad bc) = ±i v. Тогда, аналогично рассмотренному случаю 3) решение системы, например для x(t ), имеет вид:

Выражение в правой части (4.13) представляет собой ограниченную периодическую функцию. Амплитуда колебаний определяется константами 1, 1, C1. Таким образом, решение x(t ) совершает колебания около стационарного значения x = 0, не удаляясь от него, но и не приближаясь (для каждой начальной точки амплитуда колебаний постоянна). Аналогичные рассуждения справедливы и для функции-решения y (t ).

Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек Таблица 4.1. Типы стационарных состояний системы двух линейных дифференциальных уравнений и соответствующие фазовые портреты.

1. 1,2 — действительные, разных знаков седло 2. 1,2 — действительные, одного знака неустойчивый узел 1,2 > Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Таблица 4.1. Продолжение.

3. 1,2 — комплексные, вещественная часть отлична от нуля неустойчивый фокус устойчивый фокус 4. 1,2 — чисто мнимые центр Семинар 4. Система двух линейных ОДУ. Типы особых точек Таблица 4.1. Окончание.

5. 1,2 — действительные, совпадающие дикритический узел устойчивый или неустойчинеустойчивый вый, система имеет вид dt = ax, dy = ay 6. 1 — действительный, 2 = 0 или 1 = 2 = особыми точками являютвсе точки прямой y ( x) ся все точки прямой y ( x) Учебное пособие «Математические модели в биологии»

ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ