УДК 519.08+ч-48

УЧЕБНИК КАК ОБУЧАЮЩАЯ СИСТЕМА

Ганичева Антонина Валериановна, заведующая кафедрой “Математики“,

кандидат физико-математических наук, доцент

Тверская государственная сельскохозяйственная академия, г. Тверь, Россия

[email protected]

В статье разработана модель учебника в виде обучающей системы. Проведена оценка основных характеристик этой системы. Логика работы модели рассмотрена на примере учебника по теории вероятностей и математической статистике.

Ключевые слова: обучающая система; фрагмент; «сбой» в понимании учебного материала; простейший поток; марковский процесс; целостность системы; эффективность; надежность; иерархичность; синергетическое свойство.

THE TEXTBOOK AS TRAINING SYSTEM

Antonina Ganicheva, managing faculty "Mathematicians“, candidate of physical and mathematical sciences, senior lecturer Tver state agricultural academy, Tver, Russia [email protected] In clause the model of the textbook in the form of training system is developed.

The estimation of the basic characteristics of this system is lead. The logic of WRK of model is considered on an example of the textbook on probability theory and mathematical statistics.

Keywords: training system; a fragment; "failure" in understanding of a teaching material; the elementary stream; markovs process; integrity of system; efficiency; reliability; hierarchy; синергетическое property.

Математическое моделирование учебников и учебных пособий является важной и актуальной задачей. Предложенный в данной работе подход к построению математической модели учебника является новым.

Цель предложенной работы заключается в построении обучающей системы на примере учебника.

Основные решаемые задачи:

1. Построение математической модели учебника.

2. Оценка основных характеристик системы.

Прежде всего укажем, что выводы, которые делаются в данной работе, основаны на использовании статистических данных обучения на протяжении нескольких лет студентов Тверского филиала Московского университета экономики, статистики и информатики, Тверского филиала Московского социального университета, Тверской государственной сельскохозяйственной академии.

Любой учебник (учебное пособие) можно рассматривать как иерархическую многоуровневую систему. При этом возможны разные подходы или этапы. Первый подход (этап) заключается в рассмотрении структурно-логической схемы учебника безотносительно к обучающимся по данному учебнику учащимся. Второй подход (этап) связан с рассмотрением системы «учебник - учащиеся» с отражением процесса обучения по данному учебнику и получением среднестатистических показателей. Третий подход (этап) связан с оценкой процесса обучения конкретного обучаемого (конкретной группы обучаемых), в частности, с целью выявления отклонений в его (их) обучении относительно среднестатистических данных. В качестве верхнего (нулевого) уровня можно рассматривать «Введение», где сформулированы основные цели, задачи изучения данной дисциплины, перечислены разделы, темы. Нижележащие уровни представляют собой либо разделы, либо главы, темы, параграфы учебника (учебного пособия). Удобно при описании учебника (учебного пособия) как системы использовать статистическое моделирование, поэтому рассматриваемые выборки должны быть репрезентативными. Cледовательно, в качестве уровней системы целесообразно рассматривать либо главы, либо параграфы, либо пункты. Мы будем рассматривать в качестве уровней параграфы. Параграфы имеют сплошную нумерацию согласно их следованию в учебнике (рис.1).

Введение a1m a a11 Внешняя среда § a 2m a21 a § a imi ai1 ai §i §k a k1 ak 2 a km k an1 an §n Внешняя среда a nm n Экзамен Рис. 1.

На этом рисунке нижний уровень характеризует итоговую аттестацию по изучению данного учебника. «Внешняя среда» представляет собой, например, обращение обучаемых к другим источникам, консультации у преподавателей, сокурсников, родителей и т. д.

Будем называть фрагментами данного параграфа (темы, раздела, дисциплины) ключевые понятия, свойства, теоремы, формулы, таблицы, графики, совокупности слов или предложений объясняющего характера. В общем случае весь текст учебника можно представить в виде конкатенации указанных фрагментов. Заметим, что при изучении учебника конкатенация часто нарушается и рассматривается либо объединение фрагментов, либо объединение конкатенаций определенных фрагментов. Будем говорить, что фрагмент aij определяет фрагмент a kl ( i k, при i=k j l), если akl следует по смыслу или логически из aij, т.е. aij используется при изучении a kl. Параграфы, отнесенные к одной теме, образуют группу уровней данной темы. Каждый параграф содержит определенное количество фрагментов aij, где i – номер уровня (параграфа), j – номер по порядку фрагмента в i - ом параграфе. Фрагменты образуют элементы данной системы. На множестве фрагментов определено отношение следования aij Rakl, которое означает, что фрагмент aij используется при изучении a kl, здесь k i, и определяет связь между i - ым и k - ым (k>i) параграфами, направленную от i - ого уровня к k - ому, либо фрагментами данного параграфа при i=k, что на рис. 1 показано соответствующими стрелками. Если рассматривать систему «учебник - учащиеся», то появляются стрелки, идущие от фрагментов нижележащих уровней к фрагментам вышележащих уровней, отражающие факт непонимания фрагмента a kl и возврат к определяющему его фрагменту aij ( i k, при i=k l j) либо повторение непонятного фрагмента. Таким образом, на графе (рис.1) могут быть петли.

Фрагмент aij может непосредственно определять фрагмент akl, т.е. иметь непосредственное использование при изучении akl (обозначение: aij akl ), либо может быть опосредованное использование через последовательность фрагментов ai1 j1, ai2 j 2,…, aiu ju таких, что в этой последовательности последующий член непосредственно определяется предыдущим, aij непосредственно определяет ai1 j1, aiu ju непосредственно определяет akl. Если несколько фрагментов au1q1, au 2 q 2,…, au v q v используются при изучении akl, то используется Оценим основные характеристики данной системы.

Одной из основных характеристик является степень целостности системы:

, где М Ф - фактическое число связей между элементами в системе, М max - максимально возможное число связей, равное m 2 для системы из m элеmi (i 1, n) фрагментами на ментов. Для учебника, имеющего n параграфов с i - ом уровне, имеющими sij (i 1, mi ) связей с элементами нижних уровней, М Ф n mi sij. Первое слагаемое соответствует связям между нулевым уровнем и нижележащими уровнями. Второе слагаемое соответствует связям между фрагментами. Таким образом, Во избежание громоздкости, но не нарушая общности, оценим целостность параграфа «Потоки событий» из [2]. Для упрощения записи будем нумеровать его цифрой «1». Укажем конкатенацию фрагментов данного параграфа, причем отдельные фрагменты будем заключать в кавычки: a11 =«Определение потока событий» a12 = «Пример потока событий» a13 = «Определение интенсивности потока» a14 =«Определение регулярного потока» a15 =«Пример регулярного потока» a16 =«Определение стационарного потока» a17 =«Пример стаa18 =«Определение a19 =«Пример потока без последействия» a1,10 =«Определение ординарного потока» a1,11 =«Пример» a1,12 =«Определение простейшего потока» a1,13 =«Условия его возникновения» a1,14 =«Вывод формулы Пуассона» a1,15 = «Трактовка этой формулы при отсутствующих событиях» a1,16 =«Пример применения формулы Пуассона» a1,17 = «Описание распределения интервала времени между двумя произвольными соседними событиями простейшего потока» (используются формулы и 1 график) a1,18 =«Определение показательного закона» a1,19 = «Связь a1,20 =«Свойство показательного закона» a1,21 = «Приближенная формула вероятности попадания хотя бы одного события на малый отрезок времени».

Рассмотрим случай непосредственных связей. Итак:

a18 a19, a11 a1,10, a1,10 a14, a16 a18 a1,10 a1,12, a1,12 a1,13, a16 a18 a1,10 a1,14, a1,14 a1,15, a1,15 a1,14b a1,16, где b = «Вероятность противоположного события» (фрагмент предшествующего параграфа), a1,15 b с d е a17, здесь с = «Определение функции распределения F(t)» – фрагмент предыдущего параграфа, d= «Определение плотности распределения»

- фрагмент предыдущего параграфа, е = «График плотности распределения» – фрагмент предыдущего параграфа, a1,17 a1,18, a1,18 a1,19, f a1,20, здесь f = «Пример» - разъяснение свойства, b c g а1, 21, где g = «Разложение в ряд функции» - другой учебник (учебное пособие) – внешняя среда. В этом примере a11 опосредованно используется для понимания a19 через промежуточный фрагмент a18.

Другой важной характеристикой системы является ее эффективность, которая характеризуется вероятностью изучения дисциплины по данному учебнику без «сбоев». Приведем некоторые определения. Будем называть «сбоем»

непонимании данного фрагмента учебного материала. Пусть – среднестатистическая плотность «сбоев» в понимании фрагментов изучаемой дисциплины среднестатистического студента при изучении данного учебника, его раздела или темы, полученная на основе наблюдений за группами обучаемых, и поток «сбоев» является простейшим пуассоновским потоком. Такое допущение оправдано, если, во-первых, плотность потока постоянна, во-вторых, можно считать, что отсутствует последствие, т.к. число «сбоев» в будущий период времени зависит от числа «сбоев» в настоящий период времени и не зависит от предыстории, в-третьих, за малый промежуток времени можно ожидать не более одного «сбоя».

В случае простейшего потока «сбоев» процесс изучения учебника обучаемым (группой обучаемых) можно считать марковским и рассматривать аналогично процессу ликвидации неисправностей в техническом устройстве, где состояние S i (i 0, m) означает, что в данный момент времени имеется i «сбоев» в понимании фрагментов. Переход из состояния S i в состояние S i 1 происходит под воздействием простейшего потока «сбоев» с плотностью i,i 1, обратный переход осуществляется под воздействием простейшего потока устраненных «сбоев» с плотностью i 1, i в результате соответствующих отработок непонятого материала под руководством преподавателя либо в результате консультаций у других обучаемых, репетитора и т. п.

Как известно [1], в этом случае вероятность отсутствия «сбоев» вычисляется по формуле а вероятности Pi (i 1, m) остальных состояний S i (i 1, m), соответственно, по формулам Удобно марковским процессом моделировать изучение каждого параграфа (или темы). Тогда эффективность Э изучения данного курса по данному учебнику можно определить как вероятность изучения без «сбоев» всех параграфов учебника. Таким образом, здесь P (i ) - вероятность изучения без «сбоев» i-го параграфа, n - число параграфов.

Например, параграф 3.5 «Функция распределения случайной величины» из [2], согласно статистическим данным, имеет в среднем 4 разных «сбоя» при изучении данного материала. Первый «сбой» обычно происходит при восприятии определения функции F(x), второй – в процессе рассмотрения примера построения ее графика, третий – при изучении 3-его свойства, четвертый – при изучении 4-го свойства. Таким образом, имеем систему с пятью состояниями Si (i 0,4). Сначала рассмотрим упрощенный вариант, когда все i,i 1 и i 1, i (i 0,4) равны 1. Тогда P0 0,2. Это означает, что пятую часть времени система находится в каждом из состояний S 0, S1, S 2, S 3, S 4. Однако в рассматриваемом примере далеко не все обучаемые, «споткнувшись» на определении функции распределения, после повторного ознакомления с этим определением осознанно его воспринимают. У некоторых обучаемых осознанное восприятие наступает со второго, у некоторых – с третьего раза. Поэтому в общем случае переход из состояния S 0 в состояние S1 осуществляется под воздействием потока «сбоев» в понимании определения функции F(x) c плотностью M 01, равной средней арифметической подобных «сбоев» у данной группы обучаемых. Аналогично находятся плотности i,i 1 (i 1,4). При каждом таком «сбое» учащийся снова переосмысливает данное понятие либо самостоятельно, либо с помощью преподавателя, других учащихся и т.п. В результате происходит обратный переход от состояния S i к Si (i 0,4) под воздействием потоков устраненных «сбоев», плотность i 1, i которых рассматривается как средняя арифметическая для данной группы обучаемых, т.к. у одних обучаемых при переходе от S i 1 к S i это будет один устраненный «сбой», у других - два и т.д. Например, если 01 =1, 12 =3, 23 1, 34 =1, 10 =2, 21 =4, 32 =2, 43 =2, то, согласно формулам (2) и (3), находим P0 0,46; P1 0,23; P2 0,17; P3 0,086; P4 0,043. Следовательно, наибольшую часть времени система будет находиться в состоянии S 0 отсутствия «сбоев». Эффективность изучения данного параграфа равна 0,46. Возникает важная задача повышения эффективности. В общем случае, как показано в [3], данная система управляемая, и на каждом шаге можно найти значение плотности i 1, i, такое, чтобы вероятность состояния S i имела заданное значение, и тем самым повысить эффективность работы данной системы.

Поскольку потоки «сбоев» и устраненных «сбоев» являются простейшими, время Т между «сбоями» при переходе от S i к S i 1, время Т 1 между устраi ненными «сбоями» при переходе от S i 1 к S i имеет показательное распределение, а вероятность того, что это время будет в диапазоне от t1 до t 2, вычисляется соответственно по формулам:

Вероятность того, что данное время будет менее или не более t, вычисляется, соответственно, по формулам:

Так, для рассмотренного примера вероятность того, что за первые 0,5 часа не будет «сбоев» в восприятии учебного материала, при плотности 01 =1 сбой за 0,25 часа, составит P (T0 0,5 ) 1 e 0,25 2 0,4. Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. В среднем у четырех обучаемых из десяти не будет «сбоев» в восприятии учебного материала в течение 0,5 часа.

Еще один марковский процесс, протекающий в системе «учебник - учащиеся», связан с простейшими потоками изучаемых и изученных фрагментов.

Данный процесс можно охарактеризовать вероятностями, такими же, как (2) и (3), причем в числителях стоят плотности изучаемых, а в знаменателях - изученных фрагментов. Эффективность и вероятности того, что время между изучаемыми и время между изученными фрагментами будет в указанном диапазоне, вычисляются, соответственно, по формулам, аналогичным формулам (4), (6), (7), (8) и (9).

Еще одна важная характеристика системы – это ее надежность, которая связана с изучением данного материала в течение данного времени T t. Если поток «сбоев» -простейший, время Т между сбоями имеет показательное распределение с функцией распределения F(t), а надежность системы характеризуется вероятностью [1]:

Если плотность «сбоев» (t ), т.е. зависит от времени, то поток будет не стационарным пуассоновским и, как показано в [1], в этом случае где - фиксированный момент времени, при этом где - плотность распределения времени Т между «сбоями».

Рассмотрим примеры.

Из статистических данных было установлено, что плотность распределения времени чтения данного учебника без «сбоев» имеет распределение, показанное а) на рис.3, б) на рис 5. Зависимость плотности потока «сбоев» от времени представлена, соответственно, на рис.4 и на рис. 6. Требуется определить надежность данной системы.

через точки A и B:

Аналогично находим уравнение для t из уравнения прямой, проходящей через точки С и D:

С учетом полученных выражений для f (t ) и (t) из (12) получаем:

Следовательно, в рассматриваемом примере надежность является постоянной величиной, не зависящей от времени и определяемой параметрами t1, t 2 и h.

Случай б) представлен на рис. 5 и 6.

По свойству плотности распределения, находим a 1.Таким образом, Уравнение для t находится из уравнения прямой, приходящей через две точки:

Тогда Значит, в данном случае имеет гиперболическую зависимость от времени.

Если в потоке не выполняется условие последействия, то вместо простейшего потока рассматривается поток Эрланга k-го порядка, получающийся в результаf k t те разряжения простейшего потока. В этом случае плотность распределения времени между соседними точками («сбоями» в изучении учебного материала) потока Эрланга k-го порядка вычисляется по формуле Тогда функция распределения Надежность системы в этом случае можно рассчитать по формуле Так, например, если поток «сбоев» можно аппроксимировать потоком Эрланга 3-го порядка, то надежность Каждую страницу учебника можно рассматривать как карту, содержащую, например, 32 горизонтальных строки и 64 вертикальных. Учебник в целом и любой его раздел можно рассматривать как карту, если сделать соответствующую плоскую развертку. Тогда можно говорить о пуассоновском поле фрагментов данной области со среднестатистической плотностью, равной. При этом каждый фрагмент интерпретируется как точка на этой карте. Для этого ему становится в соответствии либо точка, характеризующая его начало, либо точка, координаты которой представляют собой средние арифметические, соответственно, первых и вторых координат символов или точек (если речь идет о графике) данного фрагмента. Например, пусть фрагмент aij - это определение случайного события и aij = «Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти». Пусть начальный символ «С» этого фрагмента имеет координаты (7,4), тогда эту точку можно рассматривать как представителя этого фрагмента. Но такое соответствие является грубым и не полным, т.к. не учитывается количество символов во фрагменте. Поэтому желательно рассматривать все символы фрагмента. Для рассматриваемого примера фрагмент разбивается на три строки, содержащие соответственно 58, 64 и символа, включая пробелы. Номера строк – 4, 5 и 6. Четвертая строка начинается с 7 – го символа, две другие – с первого. Имеем следующие средние арифметические суммы координат символов:

Пусть R – расстояние от произвольного фрагмента до ближайшего к нему, выраженное в условных единицах. Для того чтобы R было меньше r, надо, чтобы в круг радиуса r попала хотя бы одна точка (кроме данной). В силу отсутствия последствия, вероятность этого события не зависит от того, есть ли в центре круга точка или нет. Значит, функция распределения R Продифференцировав данную функцию, найдем плотность распределения данного расстояния:

Формула (15) описывает распределение Релея с числовыми характеристиками, Dr, которые для каждого фрагмента определяют, соответстmr венно, среднее расстояние от данного фрагмента до ближайшего к нему и разброс этого расстояния.

В случае, если ( х, y ), т.е. зависит от координат точки (фрагмента), то, как показано в [1], где S – площадь фигуры, для рассматриваемого случая это площадь круга радиуса r.

Согласно предложенному представлению учебника как системы можно утверждать, что учебник – это иерархическая многофункциональная система, поскольку, кроме обучающей функции, учебник должен выполнять развивающую и воспитательную функции. Развивающая функция связана с развитием умственных способностей, творческого подхода, интереса и т.д. Воспитательная функция должна способствовать развитию трудолюбия, ответственности, патриотизма на примере жизнедеятельности великих ученых.

Система «учебник - учащиеся» имеет связь с внешней средой через а) связь обучаемых с преподавателем (событие А), б) связь обучаемых с другими учебными пособиями (события В), в) консультации у одноклассников, родителей, знакомых (С), г) репетиторство (D). Согласно статистическим данным, p1 0,01 0,01 0,03 0,1 0,15; двух связей - p 2 0,03 0,05 0,05 0,05 0,05 0, Система «учебник - учащиеся» обладает свойством оптимальности, поскольку хороший учебник обеспечивает выполнение запланированных целей при наилучшем использовании потенциала системы, т.е. структуры, подбора соответствующих задач и примеров.

Учебник обладает свойством мультипликативности, согласно которому результаты некоторых свойств определяются умножением относительно свойства каждого компонента системы. Действительно, вероятность усвоения данной темы равна произведению вероятностей усвоения слагающих её параграфов, вероятность усвоения раздела учебника равна произведению вероятностей усвоения тем данного раздела, вероятность усвоения учебника равна произведению вероятностей усвоения его разделов.

Система «учебник - учащиеся» обладает синергетическим свойством, состоящим в том, что сумма эффективностей подсистем меньше эффективности системы в целом. В самом деле, если эффективность системы «учебник - учащийся» трактовать как результат его изучения данным учащимся ( данной группой учащихся), то учебнику и его темам (или разделами), образующим подсистемы учебника, ставятся в соответствие баллы данного обучаемого (средние баллы группы обучаемых). Тогда изучение тем (разделов) в произвольном порядке, без связи друг с другом может иметь вообще нулевой эффект.

Итак, подведем итог. Построенная обучающая система на основе учебника может найти широкое применение в учебном процессе, особенно при дистанционной форме обучения, а также в системах искусственного интеллекта.

Литература 1. Вентцель Е.С.Исследование операций.- М.: Советское радио, 1972. – с. 552.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2000.-с. 543.

3. Ганичева А.В. Математическая модель повышения качества учебного процесса. – Журнал «Естественные и технические науки», №2(52), 2011.–с. 508.

Рецензент:

Попов П.Г., д.т.н., профессор