На правах рукописи

Антипов Олег Игоревич

ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЛЯ

САМООРГАНИЗОВАННЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ, БИОЛОГИЧЕСКИХ И

ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.04.03 – Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант – доктор физико-математических наук, профессор В.А. Неганов Самара 2011

Работа выполнена на кафедре основ конструирования и технологий радиотехнических систем Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Неганов

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор С.А. Никитов;

доктор физико-математических наук, профессор А.М. Бобрешов;

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Крутов

Ведущая организация:

НИИ радиоэлектронной техники МГТУ им. Н.Э. Баумана

Защита состоится «_23_» декабря 2011 г. в _10_ часов на заседании диссертационного совета Д219.003.01 в Поволжском государственном университете телекоммуникаций и информатики по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУТИ.

Автореферат разослан «» _ 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук О.В. Осипов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Построение прогнозирующих моделей для предсказывания дальнейшего поведения наблюдаемой величины является крайне актуальной задачей. При этом наблюдаемая величина будет являться результатом работы какой-либо самоорганизованной системы. Но для построения адекватной модели, предсказывающей дальнейшее изменение какой-либо величины, необходимо знать принципы работы системы. Однако, в природе мы часто сталкиваемся с самоорганизованными системами, принцип работы которых очень сложен и на момент исследования в принципе не известен. Примеров таких самоорганизованных систем можно привести целое множество, однако следует ограничиться теми, которые рассмотрены в данной диссертационной работе. В частности, рынки энергоносителей и драгоценных металлов являются самоорганизованными системами (принцип формирования мирового рынка предполагает его самоорганизацию). Однако, даже математически описав все законы функционирования данных рынков, придется столкнуться со множеством неизвестных величин, без учета которых модель будет не полная и достоверного прогноза не даст. Следующими примерами хаотических систем являются рассмотренные в данной работе такие биологические системы, как желудочно-кишечный тракт человека и человеческий мозг. Эти системы также, безусловно, являются самоорганизованными, поскольку сам человеческий организм самоорганизуется из хромосомного набора еще в утробе матери и в этом процессе участие предыдущего поколения, кроме энергетического обеспечения, крайне минимально. Все эти системы чрезвычайно сложны, и полные модели этих систем построить практически невозможно. Однако, на практике чаще всего приходится сталкиваться с еще более сложной задачей. И самой сложной и интересной из них является, по мнению автора диссертации, построение прогностической модели самоорганизованной системы на основании одного лишь наблюдения за изменением поведения во времени одной лишь выходной величины системы. Это так называемая задача построения модели «черного ящика», внутри которого заключена неравновесная нелинейная самоорганизованная система. Причем основной информацией об этой системе является только временной ряд, представляющий собой зависимость выходной величины системы от времени. Для рассмотренных систем такие величины следующие: для рынка фьючерсов – цены на основные энергоносители, для рынка мировых товаров – цены на основные драгоценные металлы, для валютных рынков – соотношение евро к доллару (ежедневные значения для продолжительных торгов и ежеминутные значения для внутридневного трейдинга), для желудочно-кишечного тракта человека – электроэнтерографический (ЭГЭГ) сигнал, для человеческого мозга – электроэнцефалограмма (ЭЭГ).

Кроме вышеперечисленных, в работе уделено внимание таким техническим системам, как различные разновидности импульсных стабилизаторов напряжения. Это во многом уникальные системы. Во-первых, они являются реально существующими системами, которые обладают натурной моделью, и при учете достаточного количества параметров их математические модели могут с высокой степенью точности описать (или предсказать) их работу. Причем ни один из параметров не является математической абстракцией и абсолютно реален. Во-вторых, эти системы, несмотря на то, что описываются относительно небольшим числом уравнений, демонстрируют весьма сложные нелинейные эффекты. Это похоже на то, как простое популяционное логистическое уравнение дает сложнейшую нелинейную динамику при изменении одного лишь его коэффициента (бифуркационного параметра), что, в свою очередь, позволяет построить бифуркационную диаграмму, отражающую большинство бифуркационных явлений, отождествляемых с катастрофами.

Построение предсказывающих моделей и методов для рассмотренных выше систем является крайне актуальной задачей. Необходимо разработать или преобразовать алгоритм, позволяющий анализировать сигнал или временной ряд, поступающий от неравновесной нелинейной системы, и построить по результатам этого анализа прогностическую модель, дающую прогноз дальнейшего поведения этой системы. Соответственно, данный алгоритм также необходимо адаптировать к каждой конкретной области с учетом ее особенностей.

Один из основных этапов данного алгоритма, требующий наиболее пристального внимания – метод выявления временного лага. Эта задача особенно актуальна при анализе временных выборок, представленных достаточно большим количеством отсчетов, к коим, например, относится рассматриваемый в работе электрогастроэнтерографический сигнал. Как будет показано в работе, существующие на данный момент методы определения временного лага не дают вразумительных результатов даже для аналитических моделей дискретно-нелинейных систем. Поэтому одной из главных целей данной диссертационной работы будет являться разработка фрактального метода выявления временного лага.

Вплоть до появления работ с участием автора данной диссертационной работы не поднималась задача об установлении начального отсчета исходного временного ряда для выборки с известным временным лагом. Данный номер первого отсчета при восстановлении псевдофазового пространства можно рассматривать как аналогию с фазовым сдвигом для гармонических сигналов. Это наиболее актуально для рассматриваемых в работе дискретно-нелинейных систем, у которых моменты переключения внутреннего тактового генератора наиболее полно отражают динамику их работы. Таким образом, актуальной является задача разработки метода выявления так называемого фазового сдвига применительно к дискретно-нелинейным системам.

Построение прогностических моделей для экономических систем было и будет являться крайне актуальной задачей. На данный момент существует множество методов для примерного предсказания поведения каких-либо экономических рядов. Современная тенденция такова, что наиболее хорошо при менительно к некоторым сегментам рынка работают модели, учитывающие максимально возможное число параметров. В частности, модели, построенные на нейронных сетях, должны, согласно современным требованиям, учитывать даже природные факторы, такие как погода и время года (не говоря уже о сезонных распродажах) [Л1]. Возможно, такой переизбыток информации и полезен для рынка продаж бытовых товаров и товаров повседневного спроса. Однако, данные модели разрабатываются целыми закрытыми институтами и являются крайне дорогостоящими продуктами, ориентированными на ограниченное число заказчиков. Соответственно, для нашей страны получение таких моделей также не является возможным из-за коммерческой тайны.

В данной диссертационной работе предложен совершенно иной подход.

Он предлагает произвести анализ сложности динамики какого-либо экономического процесса на основании одного лишь временного ряда. Цель такого анализа – выявление момента качественного изменения поведения исследуемой экономической системы (т.е. кризиса в терминологии теории катастроф).

С помощью фрактальных методов анализа и предложенных автором их модификации, возможно определить моменты качественного изменения в поведении системы и, соответственно, предсказать их дальнейшее поведение в относительно долгосрочной перспективе. В рамках данного подхода самой актуальной задачей, решаемой разрабатываемыми методами, является выявление момента наступления крупных экономических кризисов (таких, например, как в 2008г.), то есть их предсказания в краткосрочной перспективе для конкретных рынков энергоносителей и драгоценных металлов.

Однако, для некоторых практических задач, и рассмотренных в данной диссертационной работе систем, построение прогностической модели не является главной целью. В частности, для биологических систем наиболее актуально дифференцировать ЭГЭГ сигналы, поступающие от нормально и не нормально функционирующих систем между собой, а для ЭЭГ сигналов классифицировать их отдельные участки для выявления функционального состояния мозга в диагностических целях.

Поскольку в работе рассматриваются самоорганизованные системы, разрабатываемые методы их анализа должны быть фрактальными, что наиболее хорошо согласуется с их природой.

Таким образом, решение вышеперечисленных проблем является крайне актуальной задачей.

Цели и задачи исследования Основные цели и задачи можно свести к следующим пунктам:

– построение математических моделей импульсных стабилизаторов напряжения для имитации их работы в неравновесном состоянии с учетом различных активных потерь;

– проведение разностороннего анализа пространственно-временного хаоса в дискретно-нелинейных системах с помощью фрактальных мер детерминированного хаоса и исследование их фрактальных и мультифрактальных свойств);

– разработка метода выявления временного лага для неравновесных нелинейных систем и его апробирование на примере дискретно-нелинейных систем;

– разработка метода предсказания качественной смены поведения системы применительно к рынкам драгоценных металлов и энергоносителей;

– применение разработанных методов фрактального анализа к выявлению нарушений в работе ЖКТ путем анализа биопотенциальных сигналов;

– разработка фрактального метода анализа биопотенциалов головного мозга с целью выявления фазы сна и построения гипнограммы.

Объект исследования. Первоначальными объектами исследования явились дискретно-нелинейные системы, которые были представлены импульсными стабилизаторам напряжения различных типов и структур, а также с различным видами обратных связей. Следующими объектами исследования явились системы мирового ценообразования на основные энергоносители. В частности, исследовались рынки фьючерсов на нефть-сырец и отопительную нефть. Также исследовались рынки ценных металлов, таких как платина, золото и палладий. Кроме того, исследовались такие экономические системы, как мировые валютные рынки. В частности, рассматривались ежедневные и ежеминутные курсы соотношения единой европейской валюты (Euro) к американскому доллару (USD). Также в рамках диссертационной работы исследовались биологические системы. Были рассмотрены последовательности биоэлектрических потенциалов в виде эквидистантных временных рядов, поступающих от желудочно-кишечного тракта человека. Также были рассмотрены биоэлектрические потенциалы человеческого мозга в различных стадиях его функционирования. Таким образом, было проведено исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и явления самоорганизации в неравновесных физических, биологических и экономических системах.

Предмет исследования. Предметом исследования в дискретно нелинейных системах явились их выходные сигналы, представленные в виде эквидистантных временных рядов. Поскольку в качестве дискретно-нелинейных систем выступали импульсные стабилизаторы напряжения, то рассматривалось их выходное напряжение. Основное внимание уделено исследованию данных систем в неравновесном состоянии, когда их фазовое пространство демонстрировало проявление пространственно-временного хаоса, на фоне которого явственно прослеживалось явление самоорганизации, выраженное во фрактальных и мультифрактальных свойствах сигналов, поступающих от исследуемых систем.

Для данных систем решалась задача выявления временного лага и фазового сдвига для корректного вычисления фрактальных характеристик. Затем данные характеристики использовались для построения нейронных сетей, предсказывающих дальнейшее поведение данных систем. Показано на конкретном примере, каким образом можно использовать данные прогнозирующие системы для вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей и определения горизонта прогнозирования с помощью энтропии Колмогорова.

Для экономических систем были исследованы временные ряды фьючерсных цен на такие энергоносители, как нефть-сырец и отопительная нефть, и решалась задача разработки фрактального метода предсказания приближающейся смены тенденции. Та же самая задача решалась и применительно к ценовым рядам стоимости таких драгоценных металлов, как платина, золото и палладий. Также было проведено исследование ежедневных и ежеминутных соотношений Euro/USD с целью выявления корреляции между их фрактальными свойствами.

Одним из предметов исследования биологических систем явился низкочастотный сигнал, поступающий от ЖКТ человеческого организма. Задачей исследования ставилось выявление различий во фрактальных свойствах сигналов здоровых людей и пациентов с жалобами на работу ЖКТ. Для решения данной задачи был применен метод, разработанный на основе фрактального анализа дискретно-нелинейных систем. Другим предметом исследования биологических систем была электроэнцефалограмма человеческого головного мозга, находящегося в различных стадиях бодрствования и сна. Задачей исследования данного предмета была разработка фрактального метода выявления стадии сна на основании одного лишь биоэлектрического сигнала, снятого с кожного покрова головы. На основании полученных результатов строится гипнограмма, позволяющая специалисту диагностировать различные расстройства здоровья, связанные со сном.

Методологическая и теоретическая основа исследования Методы исследования. Бенуа Мандельброт – математик, впервые предложивший термин «фрактал» применительно к самоподобным структурам, является одним из основателей фрактальной методологии. Используемый в работе метод нормированного размаха Хёрста (R/S анализ) впервые широко был применен к фрактальным одномерным рядам различного происхождения именно Мандельбротом. Фрактальность многих биологических и экономических систем создается за счет явления самоорганизации. Наиболее основательно теорию самоорганизации впервые рассмотрел Герман Хакен, развив целую отрасль науки, названную им впоследствии «синергетика». В рамках синергетики, Хакен выявил и исследовал используемый в данной диссертационной работе принцип подчинения, позволяющий сложнейшие хаотические процессы описать относительно небольшим числом независимых переменных. Извлечение максимальной информации о фрактальных свойствах систем на основании только лишь одномерного ряда на их выходе стало возможным благодаря теореме Такенса и его методу восстановления аттрактора в псевдофазовом пространстве. Впоследствии к этому аттрактору становятся применимы такие методы, как метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления кореляционной размерности, метод ложных ближайших соседей, метод аппроксимационной энтропии и различные методы определения спектра фрактальных размерностей Реньи с помощью различных методов покрытия фазового пространства. Определение странности аттрактора производится с использованием определения устойчивостей по Ляпунову и Пуассону. Определение спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) производилось по модифицированному алгоритму Бенеттина с использованием стандартного метода ортогонализации Грама-Шмидта. Для рассматриваемых временных рядов это стало возможным благодаря предложенному В.А. Головко методу вычисления спектра ЛХП с использованием нейросетевого моделирования [Л2]. Построение нейронных сетей производилос ь на теоретических базах теоремы Колмогорова-Арнольда и работы Хехт-Нильсена. Предлагаемые в работе прогнозирующие нейронные сети полностью отвечают требованиям объединенной теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена, вытекающим из ее следствий.

Для обучения нейронных сетей применялись такие методы, как стандартный метод обратного распространения ошибки и градиентный метод ЛевенбергаМарквардта. Определение горизонта прогнозирования производилось с помощью вычисления энтропии Колмогорова через положительные члены спектра ЛХП.

Применение результатов фрактального анализа к экономическим системам производилось на основании предложенной Петерсом теории фрактального рынка. Практические аспекты конкретных реализаций некоторых вышеперечисленных методов можно найти в работах Анищенко.

Информационная база исследования. В качестве основной методологической и информационной базы исследования использовались методы и данные из научных книг и статей, а также иностранных научных статей по исследуемой тематике на языке оригинала. Также, в работе использовались данные, взятые из докладов на различных международных конференциях. Основой диссертационной работы являются данные, взятые автором из материалов собственных расчетов и исследований, основные результаты которых опубликованы в виде монографий и статей, а также доложены на различных всероссийских и международных конференциях. Исследуемые в рамках диссертационной работы финансовые временные ряды брались из открытых бесплатных источников сети Интернет. Рассматриваемые в работе биоэлектрические сигналы мозга и желудочно-кишечного тракта были получены в результате их клинического съема с пациентов-добровольцев, проводившегося на базе кафедры неврологии при СОКБ им. Калинина и в городской больнице №8 г. Самары соответственно.

Научная новизна работы состоит в разработке теоретических положений, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в теории анализа самоорганизованных неравновесных технических, экономических и биологических систем, а именно:

– впервые введено понятие «фазового сдвига» применительно к эквидистантным временным рядам различного происхождения и предложен фрактальный метод его выявления;

– предложена модификация метода БЛС применительно к финансовым временным рядам, которая впервые применена в качестве индикатора, предсказывающего качественное изменение в поведении исследуемой экономической системы;

– впервые применен разработанный алгоритм фрактального анализа к электрогастроэнтерографическому сигналу с целью выявлению нарушений в работе ЖКТ;

– впервые применен фрактальный метод нормированного размаха к выявлению стадий сна при полисомнографии;

– впервые проведен мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем;

– впервые проведено обобщение для неравновесных технических, экономических и биологических систем с точки зрения теории самоорганизации (синергетики) для определения сложности происходящих в них динамических процессов.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается:

– использованием обоснованных физических моделей и строгих математических методов решения поставленных задач;

– сравнением отдельных полученных результатов с расчетными данными, приведенными в научной литературе;

– сравнением некоторых результатов математического моделирования с результатами исследования построенного макета.

Практическая значимость работы Разработанные в диссертационной работе фрактальные методы выявления временного лага и фазового сдвига могут найти широкое применение в прикладных и теоретических областях науки, связанных с анализом хаотических временных рядов. Это области исследования нелинейной динамики, прикладной физики, синергетики фрактального анализа. Разработанные методы для экономических систем могут быть применены в экономических областях, связанных со стратегическим планированием торгово-экономической политики. Разработанные методы анализа электрогастроэнтерограмм совместно с прикладным оборудованием могут быть применены не только в стационарах, где находятся послеоперационные пациенты, но и во всех широкопрофильных поликлиниках. Разработанный метод анализа электроэнцефалограмм может быть использован в любых медицинских учреждениях, связанных с неврологией. На базе методологии могут быть разработаны малогабаритные или мобильные приборы регистрации ЭЭГ с автоматизированным построением гипнограмм для широкого спектра задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Фрактальный и мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем.

2. Фрактальный метод выявления временного лага и фазового сдвига хаотических временных рядов.

3. Алгоритм построения прогнозирующих нейронных сетей по результатам фрактального анализа временных рядов.

4. Фрактальный метод прогнозирования экономических кризисов по финансовым временным рядам.

5. Алгоритм фрактального анализа электрогастроэнтерографического сигнала.

6. Фрактальный метод определения фазы сна по электроэнцефалографическому сигналу.

Апробация результатов исследования Результаты диссертационной работы апробировались на IX Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2002 г.), X Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2003 г.), IX Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж, 2003 г.), II Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2003 г.), XI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2004 г.), III Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 2004 г.), IV Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.), XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2005 г.), V Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.), VI международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.), VII Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2008 г.), XVI Российской научной конференции профессорскопреподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2009 г.), X Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологии телекоммуникации» (г. Самара, 2009 г.), XVII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2010 г.), IX Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Челябинск, 2010 г.), XVIII Российской научной конференции профессорскопреподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2011 г.).

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 183 наименований и содержит страниц текста, в том числе 182 рисунка.

Публикации По материалам диссертации опубликована 61 работа, в том числе 20 статей в журналах, включенных в перечень ВАК, и монографии «Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах» и «Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети». Автор имеет 9 единоличных публикаций, в том числе статью в журнале, включенном в перечень ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и задачи исследования, показана новизна и практическая ценность работы, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе подробно рассмотрены математические модели дискретно-нелинейных систем, в роли которых выступают импульсные стабилизаторы напряжения различных типов и структур с различными видами обратных связей, работающие в неравновесном состоянии. Функциональные схемы некоторых из них показаны на рис. 1.

Рис. 1 – Функциональные схемы с учетом активных потерь реактивных элементов Здесь представлены основные типы импульсных стабилизаторов напряжения (ИСН): понижающий (ИСН-1), повышающий (ИСН-2), инвертирующий (ИСН-3) и сдвоенный понижающий (2-ИСН-1). Показаны различные проявления хаотических явлений в этих системах и доказывается их фрактальная природа, что позволяет утверждать о том, что хаотические проявления являются самоорганизованными. Это дает теоретическое право применять к дальнейшему анализу дискретно-нелинейных систем синергетические принципы подхода. В главе постепенно вводятся такие базовые понятия фрактального анализа детерминированного хаоса как бифуркация, показатель Ляпунова (ПЛ), бифуркационная диаграмма (БД), кризис, перемежаемость, фрактальная размерность, спектр фрактальных размерностей Реньи, «ползучий» хаос и т.д. Непосредственно перед использованием даны их краткие теоретические основы из работ отечественных и зарубежных авторов.

Полученные БД для данных рассмотренных систем позволяют однозначно утверждать, что в основном переход к хаосу в них происходит через цикл бифуркаций удвоения. В качестве примера на рис. 2 представлена характерная БД для импульсного стабилизатора напряжения повышающего типа (ИСН-2), находящегося в неравновесном состоянии.

Здесь параметром бифуркации выступает величина тока опорного источника I ref. Для наглядности данная БД совмещена со значением старшего показателя Ляпунова l, рассчитанного по алгоритму Беннетина [Л2]. Из рис. 2 видно, что наряду с обычными бифуркациями удвоения периода ( I ref = I 2, I 4, I 5 ) существуют узкие окна нечетных периодов в интервале I 5 < I ref < I 6. При I ref > I 5 наступает хаотический режим, что соответствует положительным значениям l. В интервале I 5 < I ref < I 6 расположено так называемое «окно» периода три, т.е. «окно» нечетного периода.

Теоретическое обоснование, объясняющее подобное поведение системы, Рис. 2 – Бифуркационная диаграмма и изложено в [Л3,Л4].

При I ref > I 6 находятся три, как бы уменьшенные, копии бифуркационной структуры левой части бифуркационной диаграммы. Таким образом, БД ИСНсама является фрактальной структурой, что согласуется с предположением о связи между фракталами и хаосом [Л5]. Ранее фрактальность БД визуально показана в [Л6] на примере логистического отображения, теперь, в данной работе она доказана для дискретно-нелинейных систем.

Также в главе получены математические модели для исследуемых систем с учетом различных активных потерь реактивных и силовых элементов. Показано, что учет активных потерь позволяет более точно рассчитать границы устойчивости дискретно-нелинейных систем на предмет возникновения в них бифуркационных явлений. Также показано, что при учете потерь некоторые явления в этих системах хотя и имеют внешне линейную форму, аппроксимируются экспоненциальными функциями, что автоматически переводит их на другой уровень анализа. Построенные с учетом потерь БД показывают качественное изменение в характере работы исследованных систем при варьировании различных параметров бифуркации. Это подтверждает наличие в дискретно-нелинейных системах кризисов и справедливость применения к ним теории катастроф [Л7]. Для данных систем также получены различные виды аттракторов, подтверждены их фрактальные свойства и вычислены спектры размерностей Реньи. Эти результаты достоверно подтверждают наличие явлений самоорганизации в этих системах, что позволяет рассматривать их с точки зрения синергетики [Л8,Л9].

Разработан, построен и исследован макет ИСН-2, работающий в хаотическом режиме. На основании экспериментальных данных построена бифуркационная диаграмма, подтверждающая качественные изменения, происходящие при изменении параметра бифуркации. Показано наличие всех характерных режимов, присутствующих в математической модели, что подтверждает правильность ее построения.

Во второй главе на примере ИСН-3 показано, что дискретно-нелинейные системы, рассматриваемые в работе, обладают не только фрактальными, но и мультифрактальными свойствами. Это также подтверждает справедливость применения к ним синергетического подхода, т.е. говорит об их самоорганизованной природе.

Впервые показано, что аттракторы дискретно-нелинейных систем обладают свойствами геометрического самоподобия. В частности, на рис. 3 и рис. приведены обнаруженные автором скейлинговые эффекты для аттракторов на сечениях Пуанкаре для выходного напряжения и тока дросселя ИСН-3. В доказательство этому утверждению проведен численный анализ скейлинговых свойств этих аттракторов. Масштабные коэффициенты соотношений расстояний между траекториями определены по соотношениям [Л10]:

где X и Y – координаты точек аттракто- dn 2.55546 2.55543 2. ра, лежащих на соответствующих прямых в показанных сечениях рис. 3 и рис. 4.

Значения масштабных коэффициентов для n = 1, 2, 3 сведены в таблицу 1, из которой видна масштабная инвариантность. Это является одним из основных доказательств принадлежности данных аттракторов к классу странных.

Рис. 3 – Геометрическое самоподобие Рис. 4 – Масштабная инвариантность сечения Пуанкаре для выходного на- сечения Пуанкаре для тока дросселя Следующим способом подтверждения фрактальности какой-либо структуры, будь то множество чисел или хаотический аттрактор диссипативной системы, является исследование поведения зависимости показателя массы от его порядка q. Показатель массы определяется соотношением через статистическую сумму [Л11,Л12]:

где pi = lim ( N i / N ) - вероятность попадания точки, принадлежащей аттракN ® тору в i -ю ячейку, Ni -число точек в этой ячейке, N -число точек аттрактора.

Полученный вид зависимости показателя массы от порядка для аттракторов ИСН-3 оказался типичным для мультифрактала [Л11].

Для вычисления мультифрактального скейлинг-спектра через преобразование Лежандра [Л12] автором была получена зависимость показателя Липшица-Гёльдера от порядка q :

С учётом (1) и (2), выразив показатель массы через обобщенную статистическую сумму, можно получить сингулярный скейлинг-спектр через преобразование Лежандра:

На основании выражений (2) и (3) автором была создана математическая модель для построения сингулярного скейлинг-спектра как зависимости от показателя Липшица-Гёльдера. Правильность ее работы проверялась на известном аттракторе Эно. Внешний вид полученного спектра показан на рис. 5 (подобный вид имеет неоднородный треугольник Серпинского [Л12]). Правильность геометрической формы спектра подтверждена на основании её основных свойств, которые описаны в [Л12,Л13]. При помощи этой модели были построены спектры для аттракторов ИСН-3 при различных значениях сопротивления датчика тока. Некоторые из них представлены на рис. 6.

Рис. 5 – Мультифрактальный сингу- Рис. 6 – Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр аттрактора лярный скейлинг-спектр аттракторов Эно и геометрическая интерпретация ИСН-3 при различных значениях соего основных свойств противления датчика тока В диссертационной работе для дискретно-нелинейных систем впервые получена такая специфическая зависимость, как «чертова лестница». Это также попутно позволило получить функции распределения для выходных сигналов дискретно-нелинейных систем. В работе показано, что их внешний вид отличается от нормально распределенных, как показано на рис. 7 на примере одного из странных аттракторов ИСН-3. На рис. 8 показано совмещение графика «чертовой лестницы» с соответствующим распределением вероятности.

Внешний вид данной «чертовой лестницы» имеет такие же характерные особенности, как интегральная вероятность выигрыша при игре с использованием «поглощающего» алгоритма [Л14], т.е. она является самоафинной, а моды функции распределения распределены по скейлинговому закону Фейгенбаума с коэффициентом d » 1.85. Это полностью доказывает как фрактальную, так и мультифрактальную природу рассмотренных в работе сигналов дискретнонелинейных систем и позволяет утверждать о неприменимости к данным сигналам методов статистического анализа.

Рис. 7– Распределение плотности веро- Рис. 8 – Распределение плотности вероятностей вдоль оси ординат (б) для про- ятностей аттрактора ИСН-3 (а) и соотнормированного аттрактора ИСН-3 (а) ветствующая ей «чёртова лестница» (б) В третьей главе диссертационной работы представлены разработанные автором методы выявления временного лага t и введено понятие «фазового сдвига» применительно к дискретно-нелинейным системам. До сих пор выбор t производился методами статистики и полученному значению величины не придавали значения [Л15-Л19,Л13]. В книге [Л15] сказано, что выбор таких параметров, как размерность пространства вложения m и временной задержки t, влияет на диагностику хаотичности, установления уровня шума, на оценку энтропии, время предсказуемости и на верхний предел допустимой длины окна реконструкции. Как будет показано в этой и следующих главах, правильность выявления данных величин имеет существенное значение.

Кроме того, на момент начала исследований во всех работах, посвященных данной теме, не поднимался вопрос о времени начала регистрации выходного сигнала системы. Ведь если проводить аналогию между временным лагом t и периодом работы дискретно-нелинейной системы T, то существует аналогия между фазовым сдвигом и началом регистрации сигнала, идущего от системы. Поэтому далее в главе автор предлагает свой метод для выявления так называемого «фазового сдвига». А также, конкретно для дискретнонелинейных систем, решается вопрос о возможности выявления времени срабатывания внутреннего тактового генератора в хаотическом режиме работы с помощью фрактальных мер.

Для получения алгоритма метода решалась так называемая задача «прозрачного ящика», когда параметры анализируемой системы известны, что позволяет мгновенно оценить достоверность метода. В качестве анализируемых дискретно-нелинейных систем были выбраны ИСН различных типов, работающих в хаотическом режиме (рис. 1). Математические модели данных систем и их работа в хаотическом режиме наиболее подробно описаны автором в [1]. Достоинством данных систем является то, что параметры дискретизации заложены в их структуру, то есть являются естественными.

На данный момент для выбора временной задержки t при анализе временного ряда существуют следующие основные методы [Л15,Л17]: метод автокорреляционной функции, метод взаимной информации, метод среднего отклонения и метод, основанный на вычислении спектра мощности. После анализа результатов применения всех этих методов к выявлению временного лага на примере дискретно-нелинейных систем была доказана неприменимость этих методов к данному классу неравновесных систем.

В результате дальнейших исследований предложен метод, основанный на вычислении корреляционного интеграла Ce(e, N ) по методу ГрассбергераПрокаччиа. Особенность вычислений предлагаемого метода заключается в том, что сами вычисления зависимостей Ce(e, N ) от e нужно производить не для всех значений mC вплоть до насыщения значения корреляционной размерности, а только для двумерного случая, т.е. mC = 2. Это существенно сокращает время расчетов и позволяет автоматизировать процедуру, исключив визуальный метод выделения линейного участка. Согласно методу, необходимо получить значения корреляционного интеграла Ce как функции Ce(t ), где t -непрерывный ряд целочисленных значений, лежащих в искомом диапазоне.

Для этого сначала получаем временные выборки из исходного ряда, каждая из которых будет получена с соответствующим временным лагом t. Для полноты исследования для каждого t были получены временные ряды с различными фазовыми сдвигами j, чтобы исключить фактор его влияния. Результаты приведены на рис. 9 в виде зависимостей минимальных, максимальных и средних значений Ce(e, N ) (множество значений Ce(e, N ) получено за счет вычислений для различных j ). Из рисунка видно, что искомому значению t / t 0 = 1 соответствуют абсолютные минимумы зависимостей Ce(t / t 0 ). Однако, те же самые результаты автором были получены с помощью другого метода, разработанного в рамках данного исследования. Данный метод основан на методе БЛС, но является его модификацией. В ходе Рис. 9 – Графики зависимостей минимального, максимального и среднего значений Ce при различных значениях t / t 0 для ИСН-1 (а), ИСН-2 (б), ИСН-3 (в) и исследования было выявлено, что для размерности пространства вложения mC = 2 отношение числа ближайших ложных соседей к длине выборки P / N при переходе в пространство mC = 3 существенно зависит от величины взятого лага t. Как и в предыдущем методе, вычислялась зависимость P / N для различных t. Результаты данного расчета приведены на рис. 10.

Как видно из рисунка, результаты такие же, как и при применении метода Грассбергера-Прокаччиа (см. рис. 9). Скорость расчета данного метода компенсирует его сложность.

После вычисления временного лага t встает вопрос о выявлении фазового сдвига. Как показано в диссертационной работе, для дискретно-нелинейных систем это имеет особое значение. В итоге, хороший результат показало обычное вычисление показателя Хёрста для различных значений фазового сдвига j. Значения показателя H как функции от j в полярной системе координат показаны на рис. 11 для всех исследуемых систем. На данных графиках направления “фазового сдвига” j, соответствующие максимальному значению показателя Хёрста, отмечены стрелками. Как видно из рисунка, направления стрелок совпадают со значениями исходных фазовых сдвигов j0 = 0° с точностью до p / 8.

Рис. 10 – Графики значений отношений ложных ближайших соседей к длине ряда P / N для пространства вложения mC = 2 в виде зависимостей от t / t 0 для Рис. 11 – Зависимости значений показателя Хёрста H от “фазового сдвига” j, построенные в полярной системе координат при t = t 0 для следующих систем:

Для сдвоенного стабилизатора 2-ИСН-1 направление j соответствует 180°. Это связано с тем, что 2-ИСН-1 состоит из двух стабилизаторов, работающих в противофазе и соединенных по схеме ведущий-ведомый. Причем ведущий стабилизатор работает с “фазовым сдвигом” j0 = 180°. Это хороший результат, поскольку, как показал проведенный в диссертационной работе анализ, внешний вид аттракторов не дает особых намеков на выбор j.

Далее в диссертационной работе с помощью фрактальных мер детерминированного хаоса было проведено исследование, показывающее, что неправильный выбор временного лага и фазового сдвига дают неправильные результаты фрактального анализа для исследуемого класса систем.

Таким образом, в главе предложены фрактальные методы выявления временного лага фазового сдвига применительно к дискретно-нелинейным системам. Однако, как показано далее в диссертационной работе, обобщения данных методов позволили применять их для различных самоорганизованных биологических и экономических систем.

В четвертой главе диссертационной работы представлен предложенный автором алгоритм построения ПНС на основе предварительного фрактального анализа, основанный на проведенных автором исследованиях.

Неравновесные технические, а тем более экономические и биологические системы являются самоорганизованными структурами [Л8]. Для большинства биологических и экономических систем невозможно построить макета или натурной модели для анализа их работы и предсказания их поведения. Однако, можно построить математическую модель, описывающую поведение этих систем. В данной главе предлагается решение крайне интересной, на взгляд автора, задачи – построения математической модели нелинейной неравновесной системы на основании одного лишь временного ряда, порожденного данной системой, т.е. создание реконструкции динамической системы (ДС).

На практике чаще всего нет возможности измерить зависимость от времени всех координат состояния системы. Типична ситуация, когда доступной для измерения является только одна из характеризующих процесс величин, одна из координат состояния a (t ). Зависимость величины, описывающей состояние системы, от некоторой независимой переменной, которая чаще всего является временем или пространственной координатой, называется (наблюдаемой) реализацией системы. Ситуация, при которой единственный способ получения представления об устройстве интересующей нас системы состоит в изучении ее реализаций, а любая другая информация является недоступной, привела к возникновению понятия «черного ящика». Этим термином стали называть любые системы, единственной информацией о которых является сигнал, подаваемый на вход, и сигнал, измеряемый на выходе, причем существование первого сигнала не является обязательным. Зависящая от времени реализация (наблюдаемая), дискретизированная с некоторым шагом Dt, называется одномерным временным рядом a (iDt ) = a i, i = 1, 2,..., N. Реконструкция ДС собственно и состоит в восстановлении модельной системы по экспериментальному временному ряду a i.

Идея того, что любая самоорганизованная система должна обладать размерностью, под которой автор будет понимать количество независимых факторов, влияющих на ее поведение, легла в основу предлагаемого автором полного алгоритма, описанного в этой главе. Для выявления количества степеней свободы в данной работе привлечен фрактальный анализ временного ряда, порожденного исследуемой системой. Зная размерность исследуемой системы, легко определить размерность математической модели, описывающей ее поведение. Это особенно актуально, если строить математическую модель на основе прогнозирующих нейронных сетей (ПНС), как предлагается в данной работе. Полный алгоритм анализа временного ряда был описан в [18].

По результатам фрактального анализа строится предсказывающая нейронная сеть (ПНС). Из всего разнообразия конфигураций НС теореме Такенса о реконструкции удовлетворяет структура ПНС с временной задержкой, показанная на рис. 12. В такой системе автоматически реали- Рис. 12 – Структура предсказывающей зуется метод Такенса для восстановления псевдофазового пространства. В качестве нейронной сети с прямой связью был выбран многослойный персептрон с одним скрытым слоем. Согласно объединенной теореме Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена [Л20] именно эта структура является наиболее математически обоснованной.

Важным, по мнению автора диссертации, является тот факт, что в данном случае в качестве предпроцессирования (с соответственным последующим постпроцессированием) автор использовал следующую нормировку:

Это сужает диапазон значений как входной, так и, соответственно, выходной переменных до интервала [0.25;0.75]. Поскольку выходная переменная находится в том же диапазоне, что и входная, будет использоваться только линейный участок функции активации выходного нейрона. Это сделано с двумя целями. Во-первых, это увеличивает длину прогноза за счет приближенной к линейной функции активации. А во-вторых, данная нормировка позволяет видеть, когда сигнал прогноза выйдет за рамки нормировки, что достоверно свидетельствует об ошибочном прогнозе.

Наличие связи между фрактальной размерностью аттрактора исследуемой системы и степенью ее свободы с параметрами ПНС также предполагалась в работах Головко В.А. [Л2], где он использовал для анализа известные системы Лоренца, Эно и Ресслера. Однако, используемые в этих работах стандартные методы выявления временного лага показали свою нежизнеспособность применительно к дискретно-нелинейным системам, как это было показано в предыдущей главе. Также, в данных работах не было проведено полномерного исследования зависимости конкретных характеристик ПНС от результатов фрактального анализа с точки зрения их оптимальности. В диссертационной работе автор установил конкретные зависимости оптимальной конфигурации параметров ПНС от фрактальных характеристик сигнала системы и проиллюстрировал на примере конкретной дискретно-нелинейной системы – ИСН-3. Далее в работе показано, что стандартные формулы для НС [Л20] являются неприменимыми. Были построены различные ПНС на базе многослойного персептрона с различным количеством элементов входного слоя и с различным количеством нейронов скрытого слоя, и произведен их анализ. Согласно работам Головко В.А. [Л2], такие параметры, как количество элементов входного слоя n и количество нейронов скрытого слоя m, напрямую связаны с фрактальными характеристиками прогнозируемого сигнала. В результате в работе была установлена четкая взаимосвязь между фрактальными характеристиками сигнала и конфигурацией наиболее оптимальной ПНС, предсказывающей его дальнейшее поведение. Наилучшие результаты по совокупному анализу нескольких тестовых рядов дала сеть, построенная на базе многослойного персептрона (МП) с конфигурацией МП 14:14:1. Характерные предсказания данной ПНС представлены на рис. 13.

Рис. 13 – Примеры прогнозирования ПНС МП 14:14:1 для тестового ряда, используемого при кросс-проверке (а) и независимого тестового ряда (б), который не использовался в процессе обучения (сплошная линия – оригинальная последовательность исходного ряда, а пунктирная – ее прогноз) Рис. 14 – Аттракторы оригинальной последовательности (а) и от ПНС (б) На взгляд автора, более объективной оценкой достоверности полученной прогнозирующей системы является способность данной системы к восстановлению аттрактора в фазовом пространстве. Большинство полученных в данной работе ПНС показали неудовлетворительный результат, однако, сеть МП 14:14:1 позволяет получить аттрактор, наиболее близкий к оригинальному, что видно из рис. 14. Остальные системы, давшие более-менее удовлетворительный результат, имели либо урезанные аттракторы, либо «расплывчатые».

В конце четвертой главы, как логическое завершение проведенного исследования и предложенного алгоритма показано, как, преобразовав полученные ПНС, получить математическую модель, способную рассчитать для одномерного ряда спектр ляпуновских характеристических показателей (ЛХП).

Идея получения спектра ЛХП по одномерной реализации принадлежит Головко В.А. [Л20], который с помощью ПНС реализовал алгорим Беннетина с ортогонализацией и ортонормировкой по методу Грама-Шмидта и с успехом применил к известным хаотическим системам. В данной диссертационной работе автором реализована программа, которая, имитируя работу ПНС, на основании полученного спектра ЛХП через энтропию Колмогорова позволяет рассчитывать горизонт прогнозирования.

В начале пятой главы с помощью фрактального анализа по авторской методике решалась задача выявления степени корреляции между различными фрактальными значениями ежедневных и ежеминутных колебаний отношения европейской валюты евро к американскому доллару (€/$).

Как показали расчеты, ежедневные и ежеминутные значения €/$ имеют не только схожий внешний вид, но и примерно одинаковые значения показателя Херста в районе H » 0.96. В результате анализа спектра мощности можно сделать предположение, что анализ ежеминутной в отличие от ежедневной динамики не даст никаких долгосрочных прогнозов.

На рис. 15 и рис. 16 представлены характерные результаты применения метода Грассбергера-Прокаччиа, из которых видно, что ежедневные значения €/$ представляют зашумленный ряд от конечномерной самоорганизованной системы, в отличие от ежеминутных значений €/$, которые являются просто шумом.

Рис. 15 – Зависимости корреляционного интеграла от e при разных m в двойном логарифмическом масштабе (а) и зависимость корреляционной размерности от размерности пространства вложения (б) для ряда ежедневных значений за период с Рис. 16 – Зависимости корреляционного интеграла от e при разных m (а) и зависимость DC (m) (б) для ряда ежеминутных значений за 18.05.2008г.

Главным результатом пятой главы явилось применение предложенного автором алгоритма, основанного на модифицированном методе ближайших ложных соседей для предсказания изменения динамики цен на различные виды нефти и драгоценные металлы. Метод ближайших ложных соседей, после его авторской модификации, позволил прогнозировать на основе анализа предыдущих цен последующие устойчивые тренды, как положительные, так и отрицательные.

Суть модификации заключалась в следующем. Как и в авторском методе выявления временного лага, рассчитывалось количество ложных соседей P при переходе из двумерного в трехмерное псевдофазовое пространство. Однако, в данном случае длина ряда соответствовала длине плавающего окна w. В результате авторских исследований, представленных в главе, установлена оптимальная длина окна w = 90, а величина порога Rt = 2e. В методе флагом изменения предлагается принимать начало выхода значения зависимости P / w от n за границы коридора P / w - 2s и P / w + 2s, где P / w – среднее значение за весь наблюдаемый период, а s - стандартное отклонение, определяемое через квадратный корень из дисперсии.

Первоначально с помощью данного метода анализировался рынок различных видов нефти. Значения цен на различные виды нефти оказались сильно коррелированны, поэтому результат применения метода оказался схожим. На рис. 17 показаны результаты вычислений отношения P / w для фьючерсной цены на нефть-сырец BC (от названия тиккера Brent Crude). Здесь жирной линией показано среднее значение величины P / w для каждого дня ряда за = n -1 i =1 ( P / w)i, где n – номер отсчета с начала исследования за вычетом размера окна w. Из рис. 17 видна закономерность: начала выхода P / w за границу диапазона P / w - 2s предшествовали отрицательному тренду, а за границу диапазона P / w + 2s предшествовали положительному тренду.

Рис. 17 – Сопоставление экстремумов вычисленной зависимости количества ложных ближайших соседей P, отнесенной к длине окна w, с соответствующими значениями фьючерсной цены нефти-сырца BC Далее по предложенной выше методике было проведено исследование рынка драгоценных металлов, таких как золото, платина и палладий. Результаты фрактального анализа для платины представлены на рис. 18. В результате применимость метода подтвердилась для рынка драгоценных металлов.

Таким образом, в главе проведен фрактальный анализ валютного рынка, выявивший степень корреляции между ежедневными и внутридневными отсчетами. Важным результатом главы явилось применение фрактального авторского метода к таким самоорганизованным экономическим системам, как фьючерсный рынок энергоресурсов и рынок драгоценных металлов. Одним из основных результатов применения метода явилось получение флагов, предсказывающих длительные положительные и отрицательные тренды, в том числе и кризис 2008г., для всех исследованных экономических рядов.

Рис. 18 – Сопоставление экстремумов отклонений вычисленной зависимости P / w с соответствующими значениями цены на платину Pt в долларах.

В шестой главе представлены результаты применения авторских разработок в области самоорганизованных биологических систем. В частности, исследовались такие сигналы биологических систем, как электрогастроэнтерографический сигнал (ЭГЭГ) желудочно-кишечного тракта (ЖКТ) человека и электроэнцефалограмма человеческого мозга. В главе показана эффективность использования авторских методов с целью диагностирования различных отклонений в функционировании человеческого организма.

В главе был проведен фрактальный анализ ЭГЭГ сигнала с использованием авторского метода нахождения временного лага. В частности, на рис. показаны результаты корреляционной оценки, из которых следует, что ЭГЭГ сигнал не является каким-либо шумом, а сам ЖКТ является конечномерной самоорганизованной системой.

Рис. 19 – Зависимости корреляционного интеграла Ce от размера элементарных ячеек e для различных значений пространств вложения m (а) и зависимость фрактальной размерности DC от размерности пространства вложения mC для ЭГЭГ сигнала, взятого с временным лагом t = Авторский алгоритм фрактального анализа лег в основу разработанного совместно с соавторами [Л21,16] программно-аппаратного комплекса для съема и фрактального анализа ЭГЭГ сигнала. Клинические испытания комплекса проводились в городской больнице №8 г. Самары в период с 1 августа по 1 ноября 2010 года методом периферической гастроэлектроэнтерографии. Было снято 27 гастроэлектроэнтерограмм у лиц без жалоб на болезни ЖКТ и 26 у больных Рис. 20 – Результаты эксперимента по фракпациентов в возрасте от 18 до 40 лет, тальному анализу ЭГЭГ здоровых людей результаты фрактального анализа которых показаны на рис. 20.

Из рисунка видна четкая дифференциация между здоровыми людьми и пациентами с жалобами на ЖКТ, что позволяет использовать комплекс в диагностических целях. На данный момент, экспериментальный образец радиотехнического комплекса для регистрации и анализа ЭГЭГ сигналов внедрен в ФГУ 354 ОВКГ МО РФ г. Самара.

Далее в шестой главе решалась задача автоматизации процесса распознания стадий сна путем анализа ЭЭГ сигнала, снятого в рамках полисомнограммы. На данный момент для решения задачи используется либо ручной труд квалифицированных специалистов, либо используются спектральные методы, поставляемые вместе с дорогостоящим оборудованием для снятия полисомнограмм. Спектральные методы обладают рядом недостатков, в том числе низким процентом правильно распознанных стадий и крайне плохим выявлением глубоких стадий сна. Поскольку человеческий мозг является самоорганизованной системой [Л22], то решение данной задачи требует синергетических подходов. За рубежом подобная задача решалась с помощью расчета корреляционного интеграла и корреляционной энтропии. Автор предложил свои модификации этих методов и к тому же предложил свой метод, основанный на расчете показателя Херста.

Гипнограммы, полученные с помощью всех трех используемых в данной работе методов, представлены на рис. 21 в виде пунктирных линий. Гипнограмма, полученная специалистами, показана на этом же рисунке в виде сплошной линии. На данном рисунке по оси абсцисс отложены номера эпох со времени начала регистрации ЭЭГ. По оси ординат отложены следующие фазы [Л23]: ВД – время движения (нераспознаваемая фаза, связанная с наличием двигательных артефактов, длительность которых составляет минимум 25% времени эпохи), РБ – расслабленное бодрствование, БДГ – фаза с быстрым движением глаз (фаза парадоксального сна), I,II,II,IV – 1,2,3 и 4 фазы сна соответственно.

Рис. 21 – Сравнение гипнограммы, полученной специалистами (сплошная линия), с гипнограммами, полученными с помощью следующих фрактальных методов (пунктирные линии): а – методом нормированного размаха Хёрста; б – методом Грассбергера-Прокаччиа; в – методом аппроксимационной энтропии Если сравнивать количественные характеристики совпадения гипнограмм, полученных с помощью различных фрактальных методов, с гипнограммой, составленной специалистами вручную по количеству эпох, имеющих полное совпадение фаз сна, то получены следующие результаты: авторский метод, основанный на показателе Херста – 52,2%; метод, основанный на корреляционном интеграле – 47,8%; метод основанный на аппроксимационной энтропии – 48,5%. По скорости вычисления авторский метод на два порядка превосходил метод корреляционного интеграла и на два порядка метод аппроксимационной энтропии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам работы можно сделать следующие выводы.

1. Построены математические модели дискретно-нелинейных систем с учетом активных потерь и доказана правильность их работы, как путем сравнения с работами зарубежных авторов, так и экспериментальным путем.

2. Подтверждены фрактальные и мультифрактальные свойства дискретнонелинейных систем, что подтверждает их неравновесное состояние и возникшее на это фоне явления самоорганизации.

3. Предложен новый алгоритм выявления временного лага на основании исследования неравновесного состояния дискретно-нелинейных систем, содержащий авторские модификации известных фрактальных методов.

4. Предложен новый алгоритм выявления «фазового сдвига» для дискретно-нелинейных систем, основанный на известном фрактальном методе.

5. Разработан алгоритм построения прогностических моделей на базе нейронных сетей для неравновесных динамических систем, предсказывающих их поведение, содержащий авторские методы выявления временного лага и фазового сдвига.

6. Предложен новый метод, основанный на модификации известного фрактального метода, позволяющий анализировать финансовые временные ряды и предсказывать тенденции в экономических системах.

7. Предложен алгоритм анализа (включающий авторские модификации фрактальных методов) биоэлектрических сигналов ЖКТ, позволяющий дифференцировать здоровых людей от людей с неправильно функционирующими ЖКТ.

8. Предложен алгоритм анализа ЭЭГ сигналов при полисомнографии, позволяющий дифференцировать различные стадии функционирования человеческого мозга в диагностических целях. Данный алгоритм основан на фрактальных методах с использованием синергетического подхода.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

По тематике диссертационной работы опубликована 61 работа, в том числе:

1. Антипов О.И., Неганов В.А., Потапов А.А. Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах. – М.: Радиотехника, 2009. – 2. Антипов О.И., Неганов В.А. Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети. – М.: Радиотехника, 2011. – 350 с.

3. Антипов О.И., Неганов В.А. Оценка пульсаций импульсных источников электропитания методом усреднения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2003. – Т. 6. – № 3. – С. 69-74.

4. Антипов О.И., Неганов В.А. Детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения повышающего типа // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2004. – Т. 7. – № 3. – С. 53-61.

5. Антипов О.И., Неганов В.А. Детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения повышающего типа в режиме управления по току с дополнительной обратной связью по напряжению // Электромагнитные волны и электронные системы. – Москва, 2005. – Т. 10. – № 9 – С. 25-32.

6. Антипов О.И., Неганов В.А., Панфёрова Т.А. Нелинейная динамика и хаотические явления в нематическом жидком кристалле // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9. – № 4 – С. 76-87.

7. Антипов О.И., Неганов В.А. Исследование динамических характеристик и детерминированного хаоса импульсных стабилизаторов напряжения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9.

8. Антипов О.И., Неганов В.А. Влияние учета активных потерь на детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения инвертирующего типа // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 9. Антипов О.И., Неганов В.А. Исследование динамического хаоса в импульсном стабилизаторе напряжения инвертирующего типа с учетом влияния активных потерь с помощью мер фрактального исчисления // Нелинейный мир. – Москва, – 2008. – Т. 6. – № 7 – С. 364-377.

10. Антипов О.И., Неганов В.А. Сравнение детерминированного хаоса в импульсных стабилизаторах напряжения различных типов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Пленарные доклады. – 11. Антипов О.И., Неганов В.А. Применение метода нормированного размаха Хёрста к анализу стохастических временных рядов в импульсных стабилизаторах напряжения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2009. – Т. 12. – № 3 – С. 78-85.

12. Антипов О.И. Анализ хаотической работы составного стабилизатора, состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме ведущий-ведомый, при помощи фрактальных мер детерминированного хаоса // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. – 2010. – Т.

13. Антипов О.И., Неганов В.А. Фрактальный анализ дискретно-нелинейных систем на примере импульсного стабилизатора, работающего в хаотическом режиме, и построение на его основе прогнозирующих нейронных сетей // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2010.

14. Антипов О.И., Добрянин А.В., Неганова Е.В., Неганов В.А. Фрактальный анализ динамики цен на нефть // Экономические науки – 2010, Май, №5(66), – С. 260-271.

15. Антипов О.И., Неганов В.А. Фрактальный анализ нелинейных систем и построение на его основе прогнозирующих нейронных сетей // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2010. – Т. 13. – № 16. Антипов, О.И., Нагорная М.Ю. Фрактальный анализ электрогастроэнтерографического сигнала // Биомедицинская радиоэлектроника. – 2010. – №10. – С. 40-44.

17. Антипов О.И., Неганова Е.В. Анализ корреляции между фрактальными мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения EURO/USD // Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, – 2010. – Т.

18. Антипов О.И., Неганов В.А. Прогнозирование и фрактальный анализ хаотических процессов дискретно – нелинейных процессов с помощью нейронных сетей // ДАН, 2011. – Том 436. - № 1. – С. 1-4.

19. Antipov O.I., Neganov V.A. Neural Network Prediction and Fractal Analysis of the Chaotic Processes in Discrete Nonlinear Systems // ISSN 1028- Doklady Physics, 2011, Vol. 56, №1, PP. 7-9.

20. Антипов О.И. Показатель Херста биоэлектрических сигналов / О.И.

Антипов, М.Ю. Нагорная // Инфокоммуникационные технологии. – 2011. – №1 (9). – С. 75-77.

21. Неганов В.А., Антипов О.И., Неганова Е.В. Фрактальный анализ временных рядов, описывающих качественные преобразования систем, включая катастрофы // Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, – 2011. – Т. 14 – № 1 – С. 105-110.

22. Антипов О.И., Ивахник В.В., Неганова Е.В., Неганов В.А. Фрактальный анализ динамики цен на драгоценные металлы // Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, – 2011. – Т. 14 – № 2 – С. 110-116.

Л1. Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его приложения в экономике и бизнесе. М. : МИФИ, 1998. 222 с.

Л2. Головко В.А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов // VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика 2005»: Лекции по нейроинформатике. М. : МИФИ, 2005. С. 43–91.

Л3. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике/ Пер.с англ., Науч.ред. В.А.Журавлев.–М.:Эдиториал УРСС, 2001. – 320 с.

Л4. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение/ Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 312 с.

Л5. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет. – 2000. – 352 с.

Л6. Ряшко Л.Б. Модели динамики популяции: от порядка к хаосу // Соросовский образовательный журнал, 2001, Т. 7, №10. – С.122-127.

Л7. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. М. : Наука. Гл. ред. физ.

мат. лит., 1990. 128 с.

Л8. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах: Пер. с англ. М. : Мир, 1985. 423 с.

Л9. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. – М.: Наука, 1990. – 272 с.

Л10. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных сотрудников и аспирантов / Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 312 с.

Л11. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

Л12. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – Ижевск:

НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128 с.

Л13. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.– 296 с.

Л14. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 528 с.

Л15. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика:

Подходы, результаты, надежды. Изд. 2-е. М. : КомКнига, 2009. 280 с.

Л16. Ширяев В.И. Финансовые рынки: Нейронные сети, хаос и нелинейная динамика: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 232 с.

Л17. Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы высшей математики. СПб : Санкт-Петербургский Государственный Университет Информационных технологий Механики и Оптики (СПбГУ ИТМО), 2006. 80 с.

Л18. Постнов Д.Э., Павлов А.Н., Астахов С.В. Методы нелинейной динамики: Учеб. пособие для студ. физ. фак. Саратов 2008. 120 с.

Л19. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов : Гос УНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

Л20. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. 2-е изд., стереотип. М. : Горячая линия-Телеком, 2002. 382 с.

Л21. Куляс М.О., Нагорная М.Ю. Аппаратно-программный комплекс для записи и обработки электрогастроэнтерографических сигналов // Физика и технические приложения волновых процессов – 2010. – №1. С. 93-99.

Л22. Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетичнский подход к активности мозга, поведению и когнитивности деятельности. М. : ПЕР СЭ, 2001. 351 с.

Л23. Белов А.М. Анализ процесса сна при полисомнографии. М. : ТГТПС, 2000. 81 с.

Библиотека литературы по функциональной гастроэнтерологии:

http://www.gastroscan.ru/literature/