[ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ЗАРЕМБО Екатерина Викторовна
МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН,
РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
КАЗАНЬ
Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет Смирнов Юрий Геннадьевич
Официальные оппоненты: Карчевский Евгений Михайлович доктор физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет Самохин Александр Борисович доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики ФГБОУ ВПО Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Защита состоится 18 октября 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 218.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.
Автореферат разослан сентября 2012 года и размещен на официальном сайте ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет : www.kpfu.ru
Ученый секретарь диссертационного совета Липачев Е. К.
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена решению нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение электромагнитных ТМ- и ТЕ-волн в нелинейной среде с произвольной нелинейностью.
Актуальность темы Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются несколько десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Они представляют и самостоятельный математический интерес, поскольку описываются нелинейными задачами сопряжения на собственные значения, общие методы решения которых недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения. Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский1, В. С. Серов, Ю. В. Шестопалов, H. W. Shrmann2, u 3 4 Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов, A. D. Boardman, K. M. Leung ).
Цели работы:
– исследовать задачи о распространении ТМ- и ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с произвольной нелинейностью;
– сформулировать метод исследования нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения, описывающих процессы распространения ТМ- и ТЕ-волн;
– исследовать разрешимость рассматриваемых нелинейных задач;
– разработать метод нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых задач.
Eleonskii P. N., Silin V. P. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. – 1971. – V. 33, № 5. – P. 1039–1044.
Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reection and transmission of a plane TE-wave at a u lossless nonlinear dielectric lm // Physica D. – 2001. – № 158. – P. 197–215.
Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 264 с.
Ponath H.-E., Stegeman G. I. (editors) Modern problems in condensed matter sciences. V. 29. Nonlinear surface electromagnetic phenomena. – North-Holland: Elsevier Science Publishers, 1991.
Leung K. M. P-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B. – 1985. – V. 32, № 8. – P. 5093–5101.
Основные результаты диссертационной работы:
1. Для исследования процессов распространения электромагнитных ТМи ТЕ-волн в нелинейных слоях, сводящихся к нелинейным задачам сопряжения на собственные значения, разработан, обоснован и реализован метод задачи Коши.
2. Для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения на собственные значения доказаны теоремы существования и локализации собственных значений.
3. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений для нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения, описывающих распространение электромагнитных ТМ- и ТЕ-волн в нелинейных слоях. Проведено сравнение численных результатов.
Научная новизна:
– для теоретического и численного исследования рассматриваемых нелинейных задач сопряжения на собственные значения применен метод задачи Коши;
– доказаны теоремы существования и локализации собственных значений для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения.
Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для разработки методов исследования нелинейных задач сопряжения (в том числе на собственные значения) в многосвязных областях для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Отметим, что предложенный в рассматриваемой работе метод нахождения приближенных собственных значений может быть использован для практического нахождения постоянных распространения волноведущих структур и обладает следующими достоинствами: метод эффективен и прост в реализации; метод позволяет находить приближенные собственные значения с любой заданной точностью.
Перечисленные достоинства позволяют говорить о большой практической значимости предложенного метода.
Реализация и внедрение полученных результатов Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет :
РФФИ 11-07-00330-а.
Апробация работы Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:
– Международной конференции Days on Diraction – 2007 (Россия, Санкт-Петербург, 2007);
– V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Россия, Санкт-Петербург, 2008);
– IX Всероссийской школе-семинаре Волновые явления в неоднородных средах ( Волны-2008 ) (Россия, Москва, 2008);
– VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Россия, Санкт-Петербург, 2009);
– X Всероссийской школе-семинаре Волновые явления в неоднородных средах ( Волны-2009 ) (Россия, Москва, 2009);
– Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Россия, Казань, 2012);
– Международной конференции 32nd Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS) (Россия, Москва, 19–23 августа 2012 г.);
– Международной конференции 14th Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET2012) (Украина, Харьков, 27–31 августа 2012 г.).
Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–7]. Работы [1–5] опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 65 наименований, и приложения. Полный объем диссертации 109 страниц текста с 24 рисунками.
Содержание диссертации Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты диссертации.
Первая глава посвящена постановке и решению нелинейной краевой задачи сопряжения на собственные значения для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение электромагнитных ТМ-волн в анизотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши; доказана теорема о существовании и локализации собственных значений. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 и 3 соответственно (1, 3 – произвольные действительные числа).
Всюду µ – магнитная проницаемость вакуума. Геометрия задачи представлена на рис. 1.
Электромагнитное поле E и H удовлетворяет уравнениям Максвелла условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред x = 0 и x = h, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид где xx = f + 0 f (|Ex|2, |Ez |2 ) и zz = g + 0g(|Ex |2, |Ez |2 ). Вид элемента yy здесь не описан, поскольку в силу поляризации этот элемент не входит в изучаемые уравнения. Здесь f, g – постоянные составляющие диэлектрических проницаемостей xx, zz ; f (u, v) – однократно непрерывно дифференцируемая по обоим аргументам функция; g(u, v) – непрерывная по обоим аргументам функция.
Будем искать решения уравнений Максвелла во всем пространстве.
Рассмотрим ТМ-волны E = (Ex, 0, Ez )T, H = (0, Hy, 0)T, где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z).
Можно показать, что для рассматриваемой геометрии компоненты Ex, Ez, Hy не зависят от переменной y. Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармонически зависят от z. Учитывая сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).
Подставив (2) в (1), выполнив нормировку в соответствии с формулами обозначения Z() := Ez, X() := iEx и опуская значок тильды, получаем и – тензор, определенный выше. При x < 0 и x > h в системе (3) мы полагаем, что xx = zz = const и равно 1 или 3 соответственно.
Решения системы (3) в полупространствах x < 0 и x > h с учетом условия на бесконечности имеют вид где X(0 0) известна; X(h + 0) определяется из условий сопряжения.
Внутри слоя система (3) в нормальной форме имеет вид где fu = dX 2, (далее эти производные понимаются в этом смысле).
Из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций X и Z:
где [f ]|x=x0 = lim f (x) lim f (x).
Введем обозначения для граничных значений функций X(x) и Z(x) на границах слоя 0 < x < h изнутри:
Из формул (4), (5) получаем начальные условия для (6):
где X0 определяется из условий (7); Z0 = 1 2 1X(0 0).
Обозначим f0 = f X0, Z0, fh = f Xh, Zh, тогда из (7) получаем Определение 1. Число =, при котором существуют нетривиальные решения X(x) и Z(x) системы уравнений (6) внутри слоя, удовлетворяющие условиям сопряжения (7) и представимые в виде (4), (5) в полупространствах x < 0 и x > h, будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функции X(x) и Z(x), которые соответствуют найденному собственному значению, будем называть собственными функциями задачи.
Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача PM ): необходимо найти собственные значения, для которых существуют нетривиальные функции X(x) и Z(x) такие, что при x < 0 и x > h функции X и Z определяются выражениями (4), (5), где X(0 0) – известная величина, а X(h + 0) находится из условий сопряжения (7); при 0 < x < h функции X и Z удовлетворяют системе (6);
функции X и Z удовлетворяют условиям сопряжения (7).
Введем некоторые обозначения. Пусть max(1, 3) < < <, [, ] и b, b < – некоторые постоянные. Определим множества Пусть P и Q – правые части уравнений системы (6), и числа M, M таковы, что Можно показать, что имеют место следующие утверждения.
Утверждение 1. Решение задачи Коши для системы (6) с начальными условиями (8) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при всех x [0, h], где h b/M.
Утверждение 2. Решение X (x, ), Z (x, ) задачи Коши для системы (6) с начальными условиями (8) непрерывно дифференцируемо относительно x, единственно и существует при всех x [0, h], где h b /M, и непрерывно зависит от, для всех [, ].
Величина X (h + 0, ) является неизвестной и подлежит определению.
Из условий сопряжения (7) получаем Величины X(h 0, ) и Z(h 0, ) определяются из решения рассматриваемой задачи Коши. Пусть Тогда если число = таково, что F (h, ) = 0, то является собственным значением задачи PM.
Теорема 1. Пусть выполняются условия утверждения 2 и пусть отрезок [, ] [, ] таков, что F (h, )F (h, ) < 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение [, ] задачи PM.
Перейдем к формулировке модифицированного метода интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ), который позволяет найти точное дисперсионное уравнение для спектрального параметра задачи PM.
Введем новые переменные: (x) = f + X 2 (x) и (x) = X(x)Z 1(x) (x), Система (6) в новых переменных примет вид Тогда получим Будем полагать функции f и g таковыми, что правая часть второго уравнения системы (10) положительна.
Теперь мы можем найти знаки выражений (0) и (h). Как видно из (4), (5), (9), величины X0 и Z0 либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. В то же время из (4), (5), (9) следует, что Xh и Zh противоположных знаков. Учитывая сказанное для (0) и (h), получаем Правая часть второго уравнения (10) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из (12) видно, что функция (x) не может быть дифференцируема на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.
Можно показать, что решения X, Z системы (6) при аналитических правых частях являются аналитическими функциями. Значит, функция может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюса функции, которые находятся в нулях функции Z.
Дисперсионное уравнение имеет вид где N 0 – целое число; (0), (h) определяются формулами (12);
w w() = 1 2 1(f 2 + f ) + (3 2f ) и = () определяется из решения задачи Коши для уравнения (11) с начальными условиями Дисперсионное уравнение (13) справедливо для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N.
Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.
Для того чтобы вычислить значение h для конкретного из уравнения (13), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (13) при заданном известны. Для вычисления интегралов в (13) используем какойлибо из известных численных методов. Важный момент заключается в том, что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке. Но в подынтегральную функцию входит ().
Поскольку мы решили задачу Коши для уравнения (13) с начальными данными (0), (0), то теперь, находя из этого решения значение, соответствующее значению, мы получаем ().
Вторая глава посвящена постановке и решению нелинейной краевой задачи сопряжения на собственные значения для распространяющихся поляризованных электромагнитных ТЕ-волн в изотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши; доказана теорема о существовании и локализации собственных значений. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.
Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1, 3 соответственно (1, 3 – произвольные действительные числа). Всюду µ – магнитная проницаемость вакуума. Геометрия задачи представлена на рис. 2.
Электромагнитное поле E и H удовлетворяет уравнениям Максвелла условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред x = 0 и x = h, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x < 0 и x > h.
Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ; 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума; f (x) – непрерывная функция.
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
Рассмотрим ТЕ-волны: E = (0, Ey, 0)T, H = (Hx, 0, Hz )T, где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).
Можно показать, что для рассматриваемой геометрии компоненты электромагнитного поля не зависят от y. Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармонически зависят от z. Учитывая сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).
Подставив (15) в (14), выполнив нормировку в соответствии с формулаj обозначение Y () := Ey и опуская значок тильды, получаем Решения уравнения (16) в полупространствах x < 0 и x > h с учетом условия на бесконечности имеют вид где Y (0 0) известна; Y (h + 0) определяется из условий сопряжения.
Внутри слоя уравнение (16) имеет вид Из непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций Y и Y :
где [f ]|x=x0 = lim f (x) lim f (x).
Введем обозначения для граничных значений функций Y (x) и Y (x) на границах слоя 0 < x < h изнутри Из условий сопряжения (20) получаем Определение 2. Число =, при котором существует нетривиальное решение Y (x) уравнения (16) внутри слоя, удовлетворяющее условиям сопряжения (20) и представимое в виде (17) в полупространствах x < и x > h, будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функцию Y (x), которая соответствует найденному собственному значению =, будем называть собственной функцией задачи.
Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача PE ): необходимо найти собственные значения, для которых существуют нетривиальные функции Y (x) и Y такие, что при x < 0 и x > h функция Y определяется выражениями (17), где Y (0 0) – известная величина, а Y (h + 0) определяется из условий сопряжения; при 0 < x < h функция Y удовлетворяет уравнению (19); функции Y и Y удовлетворяют условиям сопряжения (20).
Запишем уравнение (19) в виде системы. Пусть Y1 := Y, Y2 := Y, тогда Из формул (21) получаем начальные условия для (22) Введем некоторые обозначения. Пусть max(1, 3) < < <, [, ] и b, b < – некоторые постоянные. Определим множества Пусть P и Q – правые части уравнений системы (22), числа M, M таковы, что Можно показать, что имеют место следующие утверждения.
Утверждение 3. Решение задачи Коши для системы (22) с начальными условиями (23) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при x [0, h], где h b/M.
Утверждение 4. Решение Y1 (x, ), Y2(x, ) задачи Коши для системы (22) с начальными условиями (23) непрерывно дифференцируемо относительно x, единственно и существует при всех x [0, h], где h b /M, и непрерывно зависит от для всех [, ].
Используя условия сопряжения (20), мы получаем, что причем Y1 (h 0, ) и Y2 (h 0, ) есть предельные значения решения задачи Коши на границе изнутри слоя. Из формул (21) получаем, что Y1 (h + 0, ) = Yh и Y2 (h + 0, ) = 2 3 Yh. Теперь, учитывая формулы (24), получаем, что Но величина Yh является неизвестной и подлежит определению. Из первой формулы (25) получаем, что Yh := Y1 (h 0, ). Пусть F (h, ) := := Y2 (h 0, ) + 2 3Y1 (h 0, ). Тогда, если число = таково, что F (h, ) = 0, то является собственным значением задачи PE.
Теорема 2. Пусть выполняются условия утверждения 4 и пусть отрезок [, ] [, ] таков, что F (h, )F (h, ) < 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение (, ) задачи PE.
Перейдем к формулировке модифицированного метода интегральных дисперсионных уравнений, который позволяет найти точное дисперсионное уравнение для спектрального параметра задачи PE.
Введем новые переменные: (x) = 2 + Y12(x), (x) = Y1 (x)Y21(x) (x), откуда получим, что Y12 = 2, Y1Y2 = ( 2 ) 1, Y22 = ( 2 ) 2 2.
Система (22) примет вид (мы обозначили 0 = 2 2) Будем полагать функцию f такой, что правая часть второго уравнения системы (26) положительна.
Из начальных условий и условий сопряжения получаем (0) = 2 +Y12(0), (h) = 2 + Y12 (h); поскольку значение Y1 (0) известно, то и (0) известно.
Для (0) и (h) получаем Правая часть второго уравнения (26) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из (28) видно, что функция (x) не может быть дифференцируема на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.
Можно показать, что решения Y уравнения (19) при аналитической правой части являются аналитическими функциями. Значит, функция может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюса функции, которые находятся в нулях функции Y.
Дисперсионное уравнение имеет вид где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (28); = () определяется из решения задачи Коши для уравнения (27) с начальными условиями (0) = 2 +Y1 (0), (0) = 2 + Y12(0) и T wd.
Дисперсионное уравнение (29) справедливо для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N.
Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.
Для того чтобы вычислить значение h для конкретного из уравнения (29), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (29) при заданном известны. Для вычисления интегралов в (29) используем какойлибо из известных численных методов. Важный момент заключается в том, что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке. Но в подынтегральную функцию входит ().
Поскольку мы решили задачу Коши для уравнения (29) с начальными данными (0), (0), то теперь, находя из этого решения значение, соответствующее значению, мы получаем ().
Третья глава посвящена формулировке и обоснованию метода нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых нелинейных задач. На основе результатов, изложенных в первых двух главах, изучены конкретные виды нелинейностей. Приведены как новые численные результаты, так и проведено сравнение с МИДУ.
Рассмотрим метод нахождения приближенных собственных значений для ТМ-волн (формулировка метода для ТЕ-волн аналогична).
числа. Считаем, что h [h, h ] и [, ]. Разбиваем отрезки [h, h ] и [, ] на n и m частей соответственно. Имеем сетку {hi, j }, i = 0, n, j = 0, m; причем h0 = h, hn = h, 0 =, m =. Тогда для каждой пары индексов (i, j) будем иметь пару начальных значений (Xij (0), Zij (0)), где Xij (0) X0 и Zij (0) = j j 1X(0 0), а X0 определяется из уравнения 1 X(0 0) = f + f (X0, Z0 ) X0.
Поставим задачу Коши для системы (6) с начальным условием Xij (0), Zij (0). Величина является параметром в системе (6), и решения этой системы зависят от. Решив указанную задачу Коши, получаем значения Xij (h) Xj (hi ) и Zij (h) Zj (hi ). Поскольку X непрерывна при x = h, то это позволяет вычислить Xij (h+ 0) = 1 f + f (Xj (hi ), Zj (hi )) Xj (hi).
Теперь, используя вторую формулу (5) и найденное Xij (h + 0), находим Zij (h + 0) = j j 3 Xij (h + 0). Но значение Zij (h 0) известно из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность Z(x) на границе x = h, построим функцию В диссертации показано, что F (hi, j ) является непрерывной функцией параметра. Пусть для заданного hi существуют такие j и j+1, что F (hi, j ) F (hi, j+1) < 0. Значит, существует по крайней мере одно значение i (j, j+1) такое, что j является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя hi.
Обозначим G() := F (hi, ). Пусть > 0 – погрешность нахождения собственного значения. Пусть интервал ( 1, 1 ) такой, что G( 1 )G( 1 ) < 0.
Обозначим ( 1, 1 ) искомое собственное значение.
Определим середину отрезка 1 = 1 2 1 и вычислим значение G(1).
Проверяем следующие условия:
1. Если |G (1)| <, то 1 – искомое приближенное собственное значение.
2 := 1, и, значит, приближенное собственное значение 2 ( 2, 2 ).
2 := 1, и, значит, приближенное собственное значение 2 ( 2, 2).
Выполнив n итераций, получаем, что искомое приближенное собственное значение n ( n, n ). Ясно, что | n n | = 2n| 1 1|. Выберем n таким образом, чтобы 21n | 1 1 | <. Тогда за приближенное собственное значение n можно принять, например, середину отрезка ( n, n ), т.е. n = n 2 n.
Теорема 3. Пусть F ( 1 )F ( 1 ) < 0, выполняются условия теоремы 1 и {n} – последовательность приближенных собственных значений, тогда limn n =.
Для задачи PE имеет место аналогичная теорема.
Теорема 4. Пусть F ( 1 )F ( 1 ) < 0, выполняются условия теоремы 2 и {n} – последовательность приближенных собственных значений, тогда limn n =.
Результаты расчетов Нелинейность с насыщением (ТM-волны). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя является скалярной функцией и имеет вид результаты расчетов дисперсионных кривых представлены на рис. 3 слева.
Керровская нелинейность (ТЕ-волны). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид результаты расчетов дисперсионных кривых представлены на рис. 3 справа.
Рис. 3. Дисперсионные кривые для линейного (пунктирные линии) и нелинейного (сплошные линии и ромбы) слоев: слева – 1 = 1, 2 = 4, 3 = 1, Z0 = 1, = 0.001, = 0.001; сплошные кривые рассчитаны с помощью предложенного в этой диссертации метода; справа – 1 = 1.1, 2 = 1.7, 3 = 1.1, = 0.02, Yh = 1; сплошные кривые рассчитаны МИДУ, ромбы вычислены с помощью предложенного в этой диссертации метода Публикации автора по теме диссертации Статьи в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Зарембо, Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 1. – С. 75–82.
2. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТE-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2. – С. 60–75.
3. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3. – С. 58–71.
4. Сысова, Е. В. Решение задачи дифракции электромагнитной ТЕволны на диэлектрическом слое с нелинейностью некерровского типа / Е. В. Сысова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2006. – № 5. – С. 116–121.
5. Сысова, Е. В. Итерационные решения уравнения непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕволны в среде с кубичной по полю нелинейностью / Е. В. Сысова // Научнотехнический вестник СПбГУ ИТМО. Сер. Оптотехника, Оптоинформатика, Оптические материалы. – 2008. – № 58. – С. 47–50.
Публикации в других изданиях 6. Сысова, Е. В. Непараксиальная динамика пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в среде с кубичной по полю нелинейностью / Е. В. Сысова // Оптоинформатика, наносистемы и теплотехника : сборник трудов конференции молодых ученых. – СПб. – 2009. – Вып. 3. – С. 162–166.
7. Zarembo, E. V. Electromagnetic TM wave propagation in nonlinear multilayered waveguides. Numerical technique to obtain propagation constants / E. V. Zarembo, D. V. Valovik // 2012 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Proceedings. – Kharkov, 2012. – P. 105–108.
ЗАРЕМБО Екатерина Викторовна
МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН,
РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Технический редактор Ф. Д. Фафурин Компьютерная верстка Е. В. Зарембо Подписано в печать 10.09.2012. Формат 60 841/16. Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: [email protected]
«