На правах рукописи

Рахматуллин Джангир Ялкинович

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ВЫПУКЛЫМ ОБЛАСТЯМ

РЕШЕТЧАТЫМИ КУБАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ НА

МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

01.01.07 вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Марат Давидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Осипов Николай Николаевич доктор физико-математических наук, доцент Васкевич Владимир Леонтьевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.

М. В. Келдыша РАН (г. Москва)

Защита состоится 21 декабря 2006 в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.098.03 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ауд. Г 4-17, факс (8-3912) 43-06-92, тел. 49-76-46.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан ноября 2006.

Ученый секретарь диссертационного совета К. В. Сафонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Кубатурной формулой KN (f ) называется линейный функционал, задающий приближенное значение интеграла def I (f ) = dxf (x) по многомерной области в виде линейной комбинации значений функции f в N произвольных точках узлах кубатурной формулы:

N ck,N f (x(k) ), x(k) Rn.

def I (f ) KN (f ) = (0.1) k=1,N k= Теория кубатурных формул и их одномерных аналогов квадратурных формул является хорошо развитой областью математического анализа и вычислительной математики. Данным научным направлением занималось множество математиков известны работы И. Ньютона, Л. Эйлера, К. Гаусса, Ш. Эрмита, русских и советских математиков П. Л. Чебышева, С. Н. Бернштейна, С. Л. Соболева, С. Н. Никольского и других. Теория квадратурных и кубатурных формул продолжает интенсивно развиваться и на сегодняшний день по данной тематике публикуется множество работ и регулярно проводятся научные конференции.

Весомый вклад в разработку теории приближенного интегрирования внес С. Л. Соболев. Важное место в его исследованиях занимало применение методов функционального анализа к оценкам погрешностей интегрирования.

Многие ученые, в частности, Н. С. Бахвалов, В. Н. Белых, О. В. Бесов, И. В. Бойков, В. Л. Васкевич, Я. М. Жилейкин, М. В. Носков, Н. Н. Осипов, В. И. Половинкин, М. Д. Рамазанов, Г. Н. Салихов, И. М. Соболь, Ц. Б. Шойнжуров занимались разработкой теории квадратурных и кубатурных формул в функциональных пространствах.

Несмотря на множество работ по данной теме, на сегодняшний день существуют актуальные задачи, связанные как непосредственно с теорией формул С. Л. Соболева, так и с ее приложениями в компьютерных вычислениях.

В частности, актуальной является проблема приближенного вычисления интегралов большой кратности, для решения которой в данный момент используются, в основном, методы интегрирования типа МонтеКарло, имеющие, однако, слабые стороны.

Поэтому главной проблемой, решаемой в диссертации, является необходимость программной реализации какого-либо из развитых на данный момент теоретических методов, преодолевающая недостатки программ интегрирования, использующихся на сегодняшний день.

Актуальность проблемы обусловлена следующими факторами:

1) большой прикладной значимостью приближенного вычисления интегралов по областям больших размерностей 2) потребностью в реализации алгоритмов, имеющих гарантированные оценки точности результатов вычислений и высокую скорость сходимости 3) необходимостью эффективного использования современной вычислительной техники 4) потребностью в стандартных прикладных программах, вычисляющих интегралы с достаточной точностью за разумное время Результаты диссертации послужили основой отчетов по Программе № 17 фундаментальных исследований Президиума РАН Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах, по грантам РФФИ № 03-07-90077-в Создание библиотек программ для персональных и суперЭВМ и № 02-01-01167-а Теория приближенного вычисления многомерных интегралов.

Целью работы является:

1) Решение задачи численного интегрирования функций по многомерным областям. В качестве теоретической базы используется аппарат решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. Посредником, обеспечивающим преобразование математического алгоритма в машинный, является язык программирования C++ с библиотекой параллельных функций MPI1. Конечным результатом См. Рахматуллин Д.Я. Введение в MPI. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2006., Том 1.

является стандартная параллельная программа, предназначенная для использования в суперкомпьютерах с MPP (Massively Parallel Processing - массовый параллелизм) архитектурой многопроцессорных системах с распределенной памятью.

2) Теоретическое исследование решеток узлов, дающих наилучший порядок приближения для оптимальных кубатурных формул в неизотропном пространстве W2 (R2 ) Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты:

1) Модифицирован алгоритм М. Д. Рамазанова нахождения коэффициентов кубатурной формулы с ограниченным пограничным слоем, имеющей универсальные асимптотические свойства на классе пространств.

2) Предложенный алгоритм преобразован в алгоритм для использования на многопроцессорных вычислительных системах; он реализован в виде параллельной программы, эффективно использующей возможности передовых технологий (суперкомпьютеров), языков программирования (C++ и MPI) и превосходящей имеющиеся аналоги по показателям точности, быстродействия, а также размерности пространства интегрирования.

3) Предложен новый способ построения решеток узлов в пространстве неизотропной гладкости W2 (R2 ), на которых оптимальные формуm лы имеют наилучший порядок приближения. При этом обнаружено новое явление, связанное с приближением функций из неизотропных классов функциями дискретных аргументов на изотропных решетках. Исследованы свойства нового способа в сравнении с уже существующими, сделаны оценки его вычислительных свойств, которые подтверждены вычислительным экспериментом.

Основные полученные результаты являются новыми.

Методика исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, вычислительной математики и теории приближенного интегрирования.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в задачах, требующих достаточно быстрого и точного счета многомерных интегралов с размерностями до 10.

Предложенный способ построения решеток узлов в пространстве неизотропной гладкости W2 (R2 ) может использоваться как в теоретических исследованиях, так и вычислительных разработках.

Личный вклад автора. Все исследования и разработки программ выполнены автором лично и опубликованы впервые. В работах, выполненных в соавторстве, вклады соавторов примерно равны.

Апробация результатов. Основные результаты работы были доложены и получили положительную оценку на следующих конференциях:

Кубатурные формулы и их приложения, VIII Международный семинарсовещание 15-22 августа 2005 года. г. Улан-Удэ; V Региональная школаконференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа, БашГУ, 27-28 октября 2005 года; Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, БашГУ, 30 ноября декабря 2005 года; VI Всероссийская молодежная школа-конференция „Численные методы решения задач математической физики”, Казань, НИИММ, 26 июня – 1 июля 2006 года.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 5 научных работах, одна из которых опубликована в научном журнале, включенном в Перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух разделов, заключения, библиографического списка, включающего 50 наименований, и 2 приложений. Работа изложена на 114 листах машинописного текста, содержит 17 рисунков и 13 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении определяются объект, предмет, цели и методы исследования, дается краткая история вопроса и обзор существующих методов построения кубатурных формул, их достоинства и недостатки.

Существующие недостатки порождают проблему: необходима программная реализация какого-либо из развитых на данный момент теоретических методов, преодолевающая слабые стороны существующих программ. Излагаются основные положения актуальности проблемы. Перечисляются результаты, выносимые на защиту.

1. Численное интегрирование по многомерным областям В первом разделе дается общая постановка проблемы, алгоритм решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем, приводится описание составленной программы, вычислительные эксперименты и анализ результатов тестирования.

Пусть задана ограниченная область Rn с гладкой границей.

ческих функций, интегрируемых с p-ой степенью вместе с производными до m-го порядка включительно, в одной из эквивалентных норм:

где Q единичный гиперкуб: Q = {x : xi [0; 1), i = 1, n }.

Взяв это пространство за основу, построим новое пространство Wp () с нормой Требуется приближенно вычислить интеграл произвольной функm ции f Wp () по области Q.

Мы решаем эту задачу путем приближения интеграла решетчатыми кубатурными формулами с ограниченным пограничным слоем (ОПСформулами). Поясним эти термины.

получим последовательность решеток со сгущающимися узлами. Мы будем рассматривать частный случай H I, т.е. последовательность решеток {hk}kZn, называемую прямоугольной (кубической). Заметим, что выбор решетки вполне согласуется с изотропностью нашего пространства функции из него по всем направлениям имеют одну и ту же гладкость m.

Кубатурной формулой (КФ) KN (f ) назовем линейный функционал, нейной комбинации значений функции f Wp () в N произвольных точках узлах кубатурной формулы:

КФ называется решетчатой, если ее узлы лежат на решетке узлов.

Мы будем рассматривать последовательности решетчатых кубатурных формул Kh (f ), соответствующие последовательностям решеток со сгущающимися узлами {hk}kZn, h 0 :

Здесь за знак суммы вынесен масштабный множитель hn, равный объему элементарной (наименьшей) ячейки, образуемой узлами решетки.

Для согласовывания решетки узлов с периодичностью функции из пространств Wp () накладывается ограничение, носящее технический характер: h 0 так, что остается целым числом.

Будем говорить, что КФ обладает ограниченным пограничным слоем (ОПС), если выполнены следующие два условия:

1) коэффициенты КФ равномерно ограничены по k и h :

т.е. при любом фиксированном h все коэффициенты, соответствующие узлам решетки, расположенным внутри области достаточно глубоко на расстоянии, не меньшем L2 h от границы, равны единице.

Отметим, что выбор решетчатых КФ позволяет достичь необходимой универсальности и единообразия в интегрировании по областям произвольных форм вследствие того, что последовательности решеток не зависят от форм областей интегрирования. Использование же КФ с ОПС позволяет, не сильно сужая выбор КФ, использовать алгоритмы вычисления коэффициентов формул с хорошими и теоретически обоснованными аппроксимационными свойствами.

Для оценки качества КФ введем понятие функционала погрешности (ФП). Функционалом погрешности lh (f ), соответствующим КФ Kh (f ), называется линейный функционал, представляющий собой разность точного значения интеграла I (f ) функции по области и кубатурной формулы Kh (f ) :

или в виде обобщенной функции:

Мы также будем опускать слово последовательность для последовательностей функционалов погрешности, соответствующих последовательностям кубатурных формул (ПКФ), отмечая лишь стремление h к нулю.

В качестве численного показателя точности приближения интеграла кубатурной формулой берется норма соответствующего ФП в пространстве, сопряженном пространству подынтегральных функций:

Желание использовать лучшие для данной последовательности решеток кубатурные формулы приводит нас к понятию оптимальной КФ, а также асимптотически оптимальной и оптимальной по порядку КФ.

КФ, минимизирующая при любом фиксированном h нормы элементов соответствующего ФП, называется оптимальной:

На практике оптимальные КФ трудновычислимы, поэтому часто ограничиваются рассмотрением КФ, имеющим оптимальные свойства лишь в пределе, при h 0.

КФ Kh называется асимптотически оптимальной, если выполняется равенство:

КФ Kh называется оптимальной по порядку, если М. Д. Рамазановым создан алгоритм вычисления КФ, оптимальной по порядку на каждом из пространств Wp () с m = p, M, т.е. универсально оптимальной по порядку на этом классе пространств. Как следствие, для любого из этих пространств будет верна следующая оценка нормы соответствующего ФП:

Такая КФ также будет являться универсально асимптотически оптимальной.

Теорема (М.Д. Рамазанов). ПКФ с ОПС асимптотически оптимальна на каждом пространстве из множества тогда и только тогда, когда она оптимальна на каждом из них по поn Алгоритм дает явные выражения коэффициентов последовательности кубатурных формул для ограниченной области с кусочно гладкой границей. При этом область предполагается разбитой на участки, каждый из которых имеет явную формулу для границы, которая может быть гладко и взаимнооднозначно спроектирована на одну из координатных плоскостей.

Алгоритм был доработан и оптимизирован диссертантом. Приведем его окончательный вид.

Пусть выпуклая область, лежащая внутри единичного гиперкуба вместе с замыканием: int Q, а параметр h стремится к нулю по одной из последовательностей, каждый член которой можно представить в виде N 1, где N N.

Алгоритм основан на сведении задачи интегрирования по области с гладкими границами к нескольким однотипным задачам интегрирования по единичному гиперкубу. Эту последнюю задачу решает функционал погрешности где Здесь x Rn, S Zn, S конечное множество, в качестве которого мы берем порядок M, т.е. удовлетворять условию где мультииндекс.

Тогда ФП qh (x) является оптимальным по порядку на функциях из пространств Wp (Rn ), Wp (Q) и имеет порядок O(hm ):

где символ обозначает двустороннюю оценку.

Случай произвольной области с гладкой границей, вложенной в единичный гиперкуб Q, сводится к разобранному случаю следующим образом.

Для нашей области всегда можно подобрать специальное разбиение единицы конечный набор функций (будем называть их срезывающими), удовлетворяющий условиям:

1) они являются периодическими с основным периодом Q и в сумме составляют функцию, тождественно равную единице в периодически продолженной с основным периодом Q фиксированной окрестности области, целиком лежащей в гиперкубе Q;

2) они принадлежат пространству C M (Q);

3) носитель1 одной из срезывающих функций лежит полностью внутри области, не пересекаясь с ее границей; пересечение носителя каждой из остальных срезывающих функций с границей непусто и гладко (класса C M ) и взаимно однозначно проектируется на одну из координатных гиперплоскостей;

Примем количество срезывающих функций за T + 1. Обозначим их как Функцию 0 (x) подберем так, чтобы множество точек E0, где она равна единице, находилось не ближе, чем на расстоянии 0 < от границы области:

Для удобства под носителем срезывающей функции будем иметь ввиду лишь одну из ее связных компонент, лежащую в гиперкубе Q.

Интеграл dxf (x) можно представить в виде суммы интегралов:

Для удобства программной реализации, область будем задавать неявно как множество точек, где неотрицательна гладкая функция (x) :

При этом граница задается как Пусть градиент функции (x) на границе не обращается в ноль:

Наложенных на (x) условий достаточно для того, чтобы уравнение для каждого из участков границы в достаточно малой окрестности каждой точки границы можно было разрешить относительно координаты, задающей направление, ортогональное гиперплоскости, на которую мы гладко проектируем :

Если каждой области сопоставить ФП то общий функционал погрешности можно собрать из таких функционалов следующим образом:

При этом коэффициенты ck (h) функционала погрешности lh (x) получаются следующим образом:

Так как в определении ФП lh (x) каждый ФП lh (x) умножен на срезывающую функцию (x), мы можем в дальнейшем доопределять lh (x) вне supp (x), не изменяя итоговой суммы.

Для того, чтобы ФП lh (x) был оптимальным по порядку в Wp (), достаточно оптимальности по порядку каждого из функционалов lh (x).

Ниже для произвольного подберем коэффициенты c (h) так, чтобы выk Для определенности, во-первых, будем предполагать, что уравнение для границы задается функцией, выражающей последнюю координату вектора x через остальные:

Во-вторых, пусть Тогда искомые коэффициенты локальной КФ выражаются следующей формулой1 :

Здесь {vij }M +1 элементы матрицы, обратной к матрице, имеющей определитель Вандермонда:

Итоговые коэффициенты находятся по формуле (0.31).

См. Рамазанов М.Д. Лекции по теории кубатурных формул. Уфа: Изд-во БашГУ, 1973. Формула (0.34) для ускорения счета изменена диссертантом следующим образом:

Заметим, что, в отличие от формулы (0.34), в формуле (0.36) явно выделены множители Ai, которые для каждого M можно вычислить заранее, избавившись от необходимости пересчитывать четыре вложенные суммы в правой части (0.34) в каждой точке.

Диссертантом были придуманы и построены срезывающие функции для произвольной n-мерной выпуклой области, содержащей центр гиперкуба Q. Вычислительный эксперимент показал, что построенные срезывающие функции имеют хорошие вычислительные свойства.

По алгоритму была написана многопроцессорная программа на языке C++ с библиотекой параллельных функций MPI. Расчеты проводились со следующими входными данными:

• Подынтегральная функция f (x) 1.

• Функция, задающая область : (x) = В таблице 1 приведены погрешности вычислений для двумерного 100 2.92E-06 4.64E-05 2.31E- 1000 4.04E-09 1.61E-11 8.50E- 2000 5.00E-10 1.51E-12 2.04E- 3000 1.48E-10 3.40E-13 1.55E- 4000 6.26E-11 1.33E-13 3.33E- 5000 3.21E-11 4.87E-14 1.33E- 10000 4.03E-12 0.00E+00 1.11E- 100 6.35E-04 6.18E- 1000 4.00E-15 5.44E- 2000 1.78E-15 2.22E- 3000 4.44E-16 0.00E+ 4000 1.78E-15 1.44E- 5000 2.22E-16 5.55E- 10000 1.11E-16 1.11E- 60 4.78E-06 1.18E-05 9.68E- 70 3.84E-07 5.42E-09 1.28E- 80 1.13E-07 6.51E-10 4.56E- 90 4.78E-08 1.24E-11 5.18E- 100 2.22E-08 1.33E-11 7.57E- 150 1.48E-08 1.74E-11 3.35E- 200 8.47E-09 9.85E-11 1.92E- 250 2.81E-09 1.04E-11 1.31E- 60 1.32E-04 1.67E- 70 9.87E-10 5.12E- 80 2.87E-10 3.49E- 90 5.37E-11 7.98E- 100 4.55E-11 8.06E- 150 1.52E-11 1.32E- 200 7.21E-12 8.68E- 250 1.55E-12 1.65E- Анализ результатов вычислений показал, что точность счета во многих случаях не уступает теоретической, а порой даже превосходит ее на несколько порядков. Исключение составляют случаи, когда M велико при малом N (т.е. слишком широк пограничный слой толщины 2M h). Естественное ограничение на точность вычислений налагается конечным количеством верных цифр (15) типа данных double. С ростом размерности увеличивается количество множителей и слагаемых, из которых составляются срезывающие функции, что также ухудшает точность. Однако эксперимент с десятимерным интегралом показывает, что при малом M можно добиться удовлетворительного результата даже при N = 10.

Перейдем теперь к анализу быстроты счета и качества распараллеливания программы. Рассмотрим, для примера, результаты счета для n = 3, M = 2, N = 1000. Для анализа качества распараллеливания введем понятия ускорения и эффективности программы:

где TP время, за которое задача выполняется на P процессорах. Будем варьировать P от 100 до 1000 с шагом 100. При этом положим T1 = 100 T100. На рис. 1 показано отклонение экспериментального ускорения SP (темная ломаная) от идеального ускорения (светлая прямая).

2. Наилучший порядок приближения интегралов функций из W m (R2 ) Второй раздел диссертации посвящен теоретическому результату, полученному совместно М.Д. Рамазановым и Д.Я. Рахматуллиным. В отm личие от пространства Wp () функций, имеющих одинаковую по всем направлениям гладкость m, здесь рассматривается неизотропное пространство W m (R2 ), m = (m1, m2 ) размерности 2. Исследуются послеSp Рис. 1. Зависимость ускорения от числа процессоров (n=3) довательности кубатурных формул, имеющие на этом пространстве не только оптимальный порядок сходимости, но и наилучший.

Последовательность кубатурных формул где функции f принадлежат банаховому пространству B, называется наилучшей, если при любом фиксированном N она минимизирует норму ее разности с точным значением интеграла I как по набору коэффициентов {ck,N }, так и по расположению узлов {x(k) }:

,best ПКФ KN называется наилучшей по порядку, если выполняется неравенство:

Известен наилучший возможный порядок приближения в n-мерном пространстве W m (Rn ), m = (m1,..., mn ) интегралов по ограниченной области с помощью кубатурных формул вида (0.38):

С исследованиями, проведенными в первом разделе диссертации, тему второго раздела роднит тот факт, что наилучший порядок может достигаться на решетчатых формулах. В частности, установлено1, что такой порядок достигается, если взять векторный шаг решетки, подчиненный заданной гладкости подынтегральной функции. В направлениях большей гладкости следует брать бльшие шаги решетки:

Еще большее родство с темой первого раздела диссертации дает выносимый на защиту результат. Оказывается, в двумерном случае наилучший порядок аппроксимации достигается и на кубических решетках за счет поворота на угол, тангенс которого есть золотое сечение, = tg = 2. То есть следует взять последовательность решеток узлов (не зависящую от параметров гладкости m1 и m2 ).

Таким образом, использование последовательностей кубических решеток оказывается удобным не только в смысле простоты их использования в компьютерных программах, но и в теоретически обоснованных хороших свойствах на их основе можно строить кубатурные формулы наилучшие как на изотропных классах функций (Раздел 1), так и на неизотропных (Раздел 2).

Приведем теперь формальную постановку задачи. Пусть обладает кусочно-гладкой границей и лежит в круге {x : |x| < < 1}.

Функционал погрешности кубатурной формулы с кубической решеткой узлов {hHk}, k Z2, где H находится из (0.42), имеет вид См. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

Стр. В работе показывается, что вычисление порядка сходимости ФП (0.43) в пространстве W m (R2 ) сводится к оценке суммы Теорема. Решетчатые кубатурные формулы вида с узлами на кубической решетке и оптимальные по порядку в неизотропном пространстве являются в нем наилучшими по порядку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одной из важных проблем, возникающих при решении некоторых прикладных задач математической физики, квантовой химии, механики является приближенное интегрирование функций по многомерным областям с кривыми границами.

В диссертации предложен, реализован и проанализирован один из самых быстрых и точных способов приближенного интегрирования по многомерным выпуклым областям с гладкими границами по функциям различной гладкости (из пространства Wp () с m = 2..6). За основу берется алгоритм1 М.Д. Рамазанова, модифицированный и реализованный в виде стандартной параллельной программы автором диссертации.

Полученный результат обладает как вычислительными достоинствами (точностью, быстродействием, эффективностью, масштабируемостью См., например, Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. 484с. С. 254 263.

на произвольное количество процессоров, переносимостью на любые платформы, совместимые с библиотекой MPI), так и теоретическими строгим обоснованием алгоритма и гарантированной оценкой погрешности вычислений. Теоретическое обоснование стало возможным благодаря достижениям теории кубатурных формул, развитой С.Л. Соболевым и продолженной его последователями, в частности М.Д. Рамазановым.

Результат является новым как по форме (программа предназначена для современных многопроцессорных вычислительных систем), так и по содержанию (алгоритм дополнен и оптимизирован).

Практическая польза заключается в создании альтернативы имеющимся на сегодняшний день программам интегрирования для многомерных областей, в частности методам типа Монте-Карло.

Второй результат, изложенный в диссертации, является продолжением исследования хороших свойств кубатурных формул, построенных на основе последовательностей кубических решеток. М.Д. Рамазановым и автором диссертации совместно был установлен неожиданный факт достижения наилучшего порядка приближения интегралов в неизотропных пространствах (размерности 2) кубатурными формулами с кубической решеткой узлов, не зависящей от параметров гладкости, а лишь только повернутой на фиксированный угол.

Для практической проверки теоретического результата диссертантом была написана программа сравнения точности вычислений с тремя видами решеток: обычной кубической решетки, прямоугольной решетки с векторным шагом и кубической решетки, повернутой на специальный угол. Вычислительный эксперимент продемонстрировал хорошие вычислительные свойства предложенной решетки.

Авторы результата предполагают, что он может оказаться полезным как в теоретическом, так и в практическом плане, инициировать дальнейшие исследования.

ПУБЛИКАЦИИ

Основное содержание диссертации изложено в публикациях:

1) Рамазанов М. Д., Рахматуллин Д. Я. Достижение наилучшего порядка приближения интегралов функций из W m (R2 ) на решетчатых кубатурных формулах за счет поворота решетки узлов // Материалы VIII международного семинара-совещания 15–22 августа 2005 г., ВСГТУ, г. Улан-Удэ. 2005. С. 109–116.

2) Рахматуллин Д. Я. Вычисление интегралов по многомерным областям на многопроцессорных вычислительных системах // Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, БашГУ, Уфа, 30 ноября 06 декабря 2005 года. Уфа: РИО БашГУ, 2005. С. 151–157.

3) Рахматуллин Д. Я. Достижение наилучшего порядка приближения интегралов функций из W m (R2 ) в частных случаях // V Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Тезисы докладов. Уфа: РИО БашГУ, 2005. С. 20.

4) Рахматуллин Д. Я. Вычисление интегралов по многомерным областям на многопроцессорных вычислительных системах // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № 3. С. 118–125.

5) Рахматуллин Д. Я. Интегрирование на суперкомпьютере. Математика. Механика. Информатика: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 19–22 сентября 2006 г. С. 114.