МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.982.256

515.124.4

Беднов Борислав Борисович

КРАТЧАЙШИЕ СЕТИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2014

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Бородин Петр Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Лившиц Евгений Давидович (руководитель исследовательской группы ООО Эверноут ) кандидат физико-математических наук Дружинин Юрий Юрьевич (методист ГБОУ СОШ №1158)

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита диссертации состоится 17 октября 2014 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механикоматематический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8-й этаж).

Автореферат разослан сентября 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физ.-матем. наук, профессор В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена вопросам геометрии банаховых пространств, связанным с понятиями кратчайшей сети, минимального заполнения, точек Штейнера (и соответствующих им кратчайших сетей типа звезды) для конечных подмножеств этих пространств. В работе исследуются существование кратчайшей сети, существование и единственность точки Штейнера, реализуемость минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существование элемента наилучшего n-приближения.

Актуальность темы. Пусть (X, ) метрическое пространство и G = (V, E) связный граф со множеством вершин V и множеством ребер E. Отображение : V X называется сетью в X, параметризованной графом G, или сетью типа G. Вершинами сети называются точки (v), v V, ребрами сети называются пары (v), (w) при условии, что пара v, w соединена ребром в графе G. Длиной ребра (v)(w) называется число ((v), (w)), а длиной || сети сумма длин всех ее ребер. Если M X конечное множество и M (V ), то говорят, что сеть соединяет (или затягивает) множество M. Множество M называется границей сети.

Число |smt|(M, X) = inf{|| : сеть соединяет M } называется длиной кратчайшей сети для M в X, а smt(M, X) = { : сеть в X, соединяющая M, || = |smt|(M, X)} есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для M в X.

Теория кратчайших сетей (и более общо, экстремальных сетей) составляет обширную область метрической геометрии. Теорией кратчайших сетей интересовался Гаусс: в письме к Шумахеру он задал вопрос о том, как построить кратчайшую систему дорог, соединяющих четыре города.

Общая задача о поиске кратчайшей сети (то есть связного графа минимальной длины), соединяющей заданное конечное множество точек плоскости, была поставлена Ярником и Кесслером1 в 1934 году. В книге Куранта и Роббинса "Что такое математика?" эта задача называется проблемой Штейнера. В настоящее время теория экстремальных сетей в метрических пространствах получила значительное развитие благодаря исследованиям А.О. Иванова, А.А. Тужилина и их учеников.

Jarn V., Kssler M. O minimalnich grafeth obeahujicich n danijch bodu, Cas. Pest. Mat. a Fys., 1934, k o 63, 223-235.

Типы связных графов, задающих кратчайшие сети, удовлетворяют достаточно жестким условиям, сформулированным в следующей хорошо известной лемме.

Лемма А. Пусть Mn n-точечное множество в метрическом пространстве X. При поиске графа, параметризующего кратчайшую сеть smt(Mn, X), достаточно рассматривать деревья, которые имеют не более n 2 дополнительных (отличных от прообразов точек из Mn ) вершин, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3.

В банаховом пространстве (X, · ) сети можно представлять себе как связные конечные объединения отрезков, соединяющих точки этого пространства, то есть как связные графы в X с ребрами–отрезками. В случае конечномерных банаховых пространств некоторые свойства кратчайших сетей собраны в книге Сванеполя "The local Steiner problem in Minkowski spaces" (2009). В диссертации исследуются кратчайшие сети в бесконечномерных банаховых пространствах.

Для трехточечных множеств M3 кратчайшая сеть в силу леммы A состоит из трех (возможно, вырожденных) отрезков, соединяющих точки из M3 с их точкой Штейнера, то есть точкой, сумма расстояний от которой до точек из M3 минимальна.

В дальнейшем нам понадобится общее определение: для заданного набора M = {x1,..., xn } X множество точек Штейнера (в англоязычной литературе медиан) st(M, X) состоит из таких точек s X, для которых В случае гильбертова пространства точка Штейнера s(x1, x2, x3 ) существует и единственна: она лежит в плоскости точек x1, x2, x3 и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике x1 x2 x3 есть угол, не меньший 120 ), либо совпадает с точкой Торричелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120 ).

В широком классе метрических пространств кратчайшая сеть существует для любого набора точек.

В бесконечномерном банаховом пространстве X кратчайшие сети могут не существовать уже для трехточечных множеств M3 другими словами, множества smt(M3, X) и st(M3, X) могут быть пустыми. Первый пример таких X и M3 построил А.Л. Гаркави2 в 1974 г. Другие примеры строиГаркави А.Л., Шматков В.А. О точке Ламе и ее обобщениях в нормированном пространстве // лись Л. Веселы (1993), М. Баронти, Е. Касини, П. Папини (1993), П. Папини (2005), П.А. Бородиным (2010).

Л. Веселы3 доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство X можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме некоторая тройка M3 X не затягивается кратчайшей сетью. В.М. Кадец (2011), не зная о работе Веселы, доказал этот результат иным способом.

Н.П. Стрелкова (2011) для всякого n 3 построила пример банахова пространства X и n-точечного множества Mn X, для которых множество smt(Mn, X) кратчайших сетей пусто. Построение Стрелковой основывается на примере П.А. Бородина (2010), для которого свойство несуществования точки Штейнера приводимых троек x1, x2, x3 устойчиво: для любых троек элементов x1, x2, x3, достаточно близких по норме к x1, x2, x3 соответственно, точка Штейнера также не существует. Пример Гаркави также обладает этим свойством устойчивости.

В главе I диссертации доказывается, что во всяком банаховом пространстве X, 1-дополняемом в своем втором сопряжённом (в частности, в любом сопряжённом пространстве, а также в любом пространстве L1 ) множество smt(M, X) непусто для всякого конечного M X.

Недавно в работе А.О. Иванова и А.А. Тужилина4 (2012) наметилось новое направление теории кратчайших сетей, связанное с введенным ими понятием минимального заполнения.

Пусть (M, ) конечное метрическое пространство. Число где инфимум берется по всем изометричным вложениям пространства M в различные метрические пространства Y, называется длиной минимального заполнения пространства M, а сети элементы множества называются минимальными заполнениями пространства M.

Для всякого конечного множества M в метрическом пространстве (X, ), рассматриваемого как метрическое пространство с той же метрикой, выполнено очевидное неравенство |smt|(M, X) |mf|(M ).

Матем. сб., 1974, 95(137), №2(10), 272–293.

Vesel L. A characterization of reexivity in the terms of the existence of generalized centers // Extracta Mathematicae, 1993, 8, №2–3, 125–131.

Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении// Матем.

сб., 2012, 203, №5, 65–118.

В отличие от кратчайших сетей, минимальные заполнения всегда существуют, то есть mf(M ) непусто для всякого конечного метрического пространства M.

Для трехточечного пространства M3 = ({x1, x2, x3 }, ) минимальное заполнение можно получить в четырехточечном расширении ({x1, x2, x3, s}, ), где (s, xi ) = 2 ((xi, xj ) + (xi, xk ) (xj, xk )) (i = 1, 2, 3, {i, j, k} = {1, 2, 3}) в виде сети–дерева с ребрами sx1, sx2 и sx3. При этом величина |mf|(M3 ) равна полупериметру треугольника x1 x2 x3.

Для четырехточечного пространства M4 = ({x1, x2, x3, x4 }, ) минимальное заполнение имеет длину |mf|(M4 ) = 2 (max(M4 ) + min(M4 )), где max(M4 ) и min(M4 ) соответственно максимальная и минимальная из сумм (x1, x2 ) + (x3, x4 ), (x1, x3 ) + (x2, x4 ), (x1, x4 ) + (x2, x3 ), и может быть реализовано сетью в некотором не более чем 6-точечном расширении M4.

Для произвольных конечных метрических пространств M величина |mf|(M ) как функция расстояний между точками из M может быть вычислена по некоторой переборной формуле, полученной А.Ю. Ереминым5.

Будем говорить, что метрическое пространство (X, ) реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества M, если |smt|(M, X) = |mf|(M ) и множество smt(M, X) непусто.

А.О. Иванов и А.А. Тужилин поставили задачу6 об описании всех метрических пространств, реализующих минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств, и вместе со своими учениками привели нетривиальные примеры таких пространств. В частности, З.Н. Овсянников (2011) доказал, что таким пространством является пространство l для всякого натурального n (n-мерное действительное пространство с нормой x = max{|x1 |,..., |xn |}), а также пространство l ограниченных последовательностей.

В случае банаховых пространств эта задача полностью решается в главе I диссертации. Именно, оказалось, что банахово пространство реализует минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств в точности тогда, когда оно обладает так называемым свойством 4.2.I.P. (предуально к L1, является пространством Линденштраусса).

Напомним необходимые сведения из геометрии банаховых пространств.

Пусть n 3 натуральное число. Говорят, что банахово пространство Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб., 2013, 204, 9, 51–72.

Edelsbrunner H., Ivanov A., Karasev R. Current Open Problems in Discrete and Computational Geometry // Модел. и анализ информ. систем, 2012, 19, №5, 5–17.

X обладает свойством n.2.I.P. (n.2 Intersection Property), если всякие n попарно пересекающихся замкнутых шаров в X имеют непустое пересечение.

Теорема А (Гротендик7, Линденштраусс8 ). Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

(1) X обладает свойством n.2.I.P. для всякого n 3;

(2) X обладает свойством 4.2.I.P.;

(3) X изометрически изоморфно L1 (µ) = L1 (E,, µ) для некоторого множества E, некоторой -алгебры подмножеств E и некоторой аддитивной меры µ, определенной на ;

(4) X 1-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве Z (то есть существует линейный проектор P : Z X нормы 1).

Пространства, удовлетворяющие условиям теоремы A, называются предуальными к L1 или пространствами Линденштраусса. К этому классу пространств относятся все пространства C(Q) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте Q, пространства c0 (E), l и многие другие. Пространство размерности n предуально к L1 тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно l.

Отметим, что класс предуальных к L1 пространств уже известен как описывающий экстремальное геометрическое свойство.

Теорема B (Рао9 ). Действительное банахово пространство X предуально к L1 тогда и только тогда, когда для всякого конечного множества M X его чебышевский радиус равен половине диаметра M.

Нетрудно видеть, что для всякого ограниченного множества в произвольном банаховом пространстве X имеет место неравенство rC (M ) diam(M)/2. При этом Рао показал, что чебышевский центр (точка e, для которой supxM x e = rC (M )) в предуальном к L1 пространстве существует для всякого конечного множества M, то есть предуальные к L пространства и только они реализуют "минимальные заполнения" всех своих конечных подмножеств в смысле чебышевских центров.

Grothendieck A. Une caractrisation vectorielle-mtrique des espaces L1 // Canad. J. Math., 1955, 7, №4, 552–561.

Lindenstrauss J. Extension of compact operators // Mem. Amer. Math. Soc., 1964, 48, 1–112.

Rao T. S. S. R. K. Chebyshev centers and centrable sets// Proc. Amer. Math. Soc., 2002, 130, №9, 2593– 2598.

В главе II диссертации доказывается аналог теоремы B, в котором вместо чебышевских центров фигурируют точки Штейнера. Приведем необходимые определения.

Помимо общих минимальных заполнений, в упомянутой работе Иванова и Тужилина вводятся еще так называемые параметрические минимальные заполнения конечных метрических пространств (M, ), в определении которых изометрично вложенное пространство (M ) соединяется в пространстве Y кратчайшей сетью заданного типа. Один из таких типов, специально рассматриваемый в работе Иванова и Тужилина, получил название звезды: рассматриваемые сети параметризуются графами–деревьями, в которых одна вершина соединена со всеми остальными. Дадим точное определение в терминах точек Штейнера.

Число где инфимум берется по всем изометричным вложениям пространства M в различные метрические пространства Y, называется длиной минимального заполнения типа звезды множества M.

Для трехточечных метрических пространств M3 величина |st|(M3 ) совпадает с |mf|(M3 ) и равна полупериметру треугольника с вершинами из M3.

Для четырехточечных метрических пространств M4 нетрудно показать, что |st|(M4 ) совпадает с определенной выше величиной max(M4 ).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, ) реализует минимальное заполнение типа звезды для своего конечного подмножества M, если |st|(M, X) = |st|(M ) и множество st(M, X) непусто.

Теперь можно сформулировать доказываемый в главе II аналог теоремы B: банахово пространство реализует минимальные заполнения типа звезды тогда и только тогда, когда оно предуально к L1.

Остальные результаты главы II посвящены точкам Штейнера (или, что то же, кратчайшим сетям типа звезды) в пространствах L1 и C.

В пространстве L1 (M,, µ) действительнозначных функций, суммируемых на множестве M по мере µ, определенной на сигма-алгебре подмножеств M, точки Штейнера описываются достаточно просто. Для трех функций f1, f2, f3 из этого пространства точка Штейнера s существует, единственна и почти в каждой точке t M значение s(t) равно среднему из чисел f1 (t), f2 (t), f3 (t). При этом величина |st|({f1, f2, f3 }, L1 ) равна полупериметру треугольника f1, f2, f3, то есть пространство L1 реализует минимальные заполнения (они же минимальные заполнения типа звезды) для всех своих трехточечных множеств.

Как показано в главе II, это свойство вместе со свойством единственности точки Штейнера s(f1, f2, f3 ) полностью характеризует пространство L1 среди всех банаховых пространств.

Отметим, что это не первый результат, в котором пространство L1 характеризуется во "внутренне–метрических" терминах см., например, теорему 3.10 в работе О. Лимы.

Отметим также, что в терминах точек Штейнера были охарактеризованы гильбертовы пространства.

Теорема C (Бенитез, Фернандез, Сориано11 ). Действительное нормированное пространство X размерности не меньше 2 является гильбертовым тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка любых трёх точек из X содержит их точку Штейнера.

Кроме того, в главе II диссертации приводится описание множеств точек Штейнера для троек точек в пространстве непрерывных функций и исследуются свойства этих множеств.

Наряду с точками Штейнера можно (по аналогии с чебышевскими центрами) рассматривать и относительные точки Штейнера, когда для заданных точек x1,..., xn банахова пространства X точка s, минимизирующая сумму x1 s + · · · + xn s, ищется не во всем пространстве X, а в заданном множестве M X. Такие точки s составляют так называемую метрическую n-проекцию PM (x1,..., xn ) точек x1,..., xn на множество M.

Исследование свойств метрической n-проекции относительно новый раздел теории приближений в нормированных пространствах. В частности, в работе П.А. Бородина12 поставлен вопрос об исследовании nантипроксиминальных множеств.

Пусть (X, · ) банахово пространство, M X. Для x1,..., xn X положим (x1,..., xn, M ) = inf zM n xi z Непустое множество M назовём n-антипроксиминальным, если для любых таких x1,..., xn X, что (x1,..., xn, M ) > (x1,..., xn, X), выполнено PM (x1,..., xn ) \ {xi }n =.

При n = 1 это определение дает обычные антипроксиминальные множества (то есть такие множества M X, что для любой точки x X \ M во множестве M нет точки, ближайшей к x), исследование которых составLima A. Intersection properties of balls and subspaces in Banach spaces// Trans. Amer. Math. Soc., 1977, 227, 1–62.

Ben C., Fernndez M., Soriano M.L. Location of Fermat–Torricelli medians of three points // Trans.

Amer. Math. Soc., 2002, 354, №12, 5027–5038.

Бородин П.А. О выпуклости N -чебышёвских множеств // Изв. РАН. Сер. Матем., 2011. 75, № 5.

19–46.

ляет заметную область в геометрической теории приближений.

Кли13 сформулировал вопрос о существовании в банаховом пространстве выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального множества. Антипроксиминальные множества начал исследовать Зингер14. Он называл такие множества "very non-proximinal". Пространство X содержит выпуклое замкнутое антипроксиминальное множество M тогда и только тогда, когда оно не рефлексивно (M ядро функционала, не достигающего своей нормы). Холмс ввёл термин "антипроксиминальное множество".

Эдельштейн (1970) доказал, что в сепарабельном сопряжённом пространстве выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Эдельштейн и Томпсон15 (1972) построили первое выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело (в пространстве c0 ). Кобзаш (1974, 1976, 1978) привёл примеры таких тел в пространствах, изоморфных c0, и доказал, что если измеримое пространство (E,, µ) содержит атом относительно меры µ, то в пространстве L1 (E,, µ), для которого сопряжённое пространство канонически изоморфно L (E,, µ), выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Борвейн, Эдельштейн и Фелпс доказали отсутствие выпуклых замкнутых ограниченных множеств в пространствах X со свойством Радона-Никодима.

Флорет (1978) доказал несуществование таких множеств в пространствах X = X1 X2 с нормой x1 + x2 = x1 + x2, где рефлексивное пространство X2 = {0}. В.П. Фонф построил выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные тела в широком классе пространств непрерывных функций и доказал, что произвольное бесконечномерное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств в новой норме существовать не будет. В.С. Балаганский16 построил пример такого множества в бесконечномерном пространстве C(Q) для произвольного топологического хаусдорфового пространства Q, а также в некоторых пространствах Гротендика (2012). Борвейн, Хименез-Севилла и Морено (2002) доказали, что в пространстве X = Y c0 с нормой x = max{ y, z } есть выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело. Теория Klee V. Remarks on nearest points in normed linear spaces//Proc. Colloq. Convexity, Copenhagen 1965.

161–176.

Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Bucharest-Berlin:

Editura Academiei and Springer Verlag, 1970.

Edelstein M., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in c0 // Pacic J. Math. 1972. 40, № 3. 553–560.

Балаганский В.С. Антипроксиминальные множества в пространствах непрерывных функций// Математические заметки. 1996. 60, № 5. 643–657.

антипроксиминальных множеств развивалась также и в других направлениях.

Одна из самых интересных нерешённых задач теории антипроксиминальных множеств формулируется так: существует ли выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело в L1 [0, 1]?

В главе III диссертации исследуется вопрос о существовании выпуклых замкнутых n-антипроксиминальных множеств в пространствах непрерывных функций и суммируемых функций.

Цель работы: исследование существования кратчайшей сети, существования и единственности точки Штейнера, реализуемости минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существования элемента наилучшего n-приближения.

Научная новизна работы. Все результаты работы являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Доказано, что в банаховом пространстве X, для которого существует проектор P : X X нормы 1 (в частности, в любом сопряжённом пространстве или в пространстве L1 ), для любого натурального n и для любых n точек существует соединяющая их кратчайшая сеть.

2. Доказано, что для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны: X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих элементов; X реализует минимальное заполнение для всякой четвёрки своих элементов; X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякого конечного набора своих элементов;

X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякой тройки и всякой четвёрки своих элементов; X предуально к L1.

3. Доказано, что действительное банахово пространство X реализует единственное минимальное заполнение типа звезды для всякой тройки своих элементов тогда и только тогда, когда X изометрически изоморфно L1.

4. Доказано, что в пространствах C и L1 условия антипроксиминальности и 2-антипроксиминальности множества эквивалентны, и что в этих пространствах не существует n-антипроксиминальных выпуклых замкнутых ограниченных тел при n = 3, 4....

Методы исследования. В работе используются различные методы теории функций действительного переменного, функционального анализа, линейной алгебры, выпуклой геометрии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и геометрии.

Апробация работы. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

• семинар по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством профессора Е.П. Долженко (неоднократно, 2010–2014);

• семинар по теории приближений в МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством профессора И.Г. Царькова, доцента А.С. Кочурова, н.с.

А.Р. Алимова, асс. А.А. Васильевой (2011);

• семинар по теории функций в МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН С.В. Конягина, проф. Б.И. Голубова и проф. М.И. Дьяченко (2012);

• научный семинар кафедры высшей математики Московского физикотехнического института (государственного университета) под руководством профессора Е.С. Половинкина (2014);

• семинар по геометрической теории приближений в МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством доцента П.А. Бородина (неоднократно, 2009–2014).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

• Международная конференция Теория приближений, посвященная 90-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (2010);

• школа С.Б. Стечкина по теории функций в г.Миасс (2011, 2013, 2014);

• 17-я Саратовская зимняя школа Современные проблемы теории функций и их приложения (2014).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах (три из перечня ВАК), список которых приведён в конце автореферата. Из работы [2] в диссертацию включены только результаты, доказанные автором без участия Н.П. Стрелковой. Все теоремы из [1] получены совместно с П.А. Бородиным и включены в диссертацию. В каждой из них автору принадлежит либо первая, либо вторая половина доказательства.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 66 наименований. Общий объем диссертации 70 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан исторический обзор по тематике работы, обоснована актуальность и сформулированы цели исследования, а также изложены основные результаты диссертации.

В главе I диссертации исследуется вопрос существования кратчайших сетей и минимальных заполнений для конечных множеств в банаховых пространствах.

Теорема 1.1. В банаховом пространстве X, для которого существует проектор P : X X нормы 1 (в частности, в любом сопряжённом пространстве или в пространстве L1 ), для любого натурального n и для любых точек x1,..., xn существует соединяющая их кратчайшая сеть.

Далее m[a, b] обозначает метрический отрезок с концами a и b в банаховом пространстве X:

Теорема 1.2. Пусть X действительное банахово пространство.

Следующие свойства эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение для всякой тройки своих точек;

(2) для всякой тройки a, b, c X множество st({a, b, c}, X) непусто и величина |st|({a, b, c}, X) равна полупериметру треугольника abc;

(3) для всякой тройки a, b, c X пересечение m[a, b]m[b, c]m[c, a] непусто;

(4) X обладает свойством 3.2.I.P.

При этом во всяком таком пространстве X для всякой тройки точек выполнено равенство st({a, b, c}, X) = m[a, b] m[b, c] m[c, a].

Приводится пример четырёх точек в пространстве l1 (обладающего свойством 3.2.I.P.), для которых минимальное заполнение не реализуется.

Следующая теорема характеризует банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения для произвольного конечного множества своих элементов.

Теорема 1.4. Для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих точек;

(2) X реализует минимальное заполнение для всякого набора из 4 своих точек;

(3) X предуально к L1.

Из этой теоремы следует, что в пространстве непрерывных функций для любого конечного набора точек существует кратчайшая сеть, которая является минимальным заполнением для этого набора.

В главе II диссертации исследуются свойства сетей типа звезды и множеств точек Штейнера в банаховых пространствах.

Теорема 2.1. Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякого конечного набора своих точек;

(2) X реализует минимальное заполнение типа звезды для всех троек и четверок своих точек;

(3) X предуально к L1.

Теорема 2.2. Для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) для всяких трех точек a, b, c X существует и единственна точка s = st(a, b, c), для которой сумма s a + s b + s c равна полупериметру треугольника abc;

(2) для всяких трех точек a, b, c X пересечение m[a, b] m[b, c] m[c, a] одноточечно;

(3) X изометрически изоморфно некоторому пространству L1 (µ).

В пространстве непрерывных функций на хаусдорфовом компакте K описано множество точек Штейнера для произвольной тройки функций, выявлены тройки функций, для которых точка Штейнера единственна, и построена липшицева выборка из отображения St, ставящего в соответствие тройке функций множество их точек Штейнера.

Глава III диссертации посвящена исследованию n-антипроксиминальных множеств в пространствах непрерывных и суммируемых функций.

Теорема 3.1. Пусть M выпуклое замкнутое множество в пространстве c0 и n N. Множество M n-антипроксиминально тогда и только тогда, когда M антипроксиминально.

Теорема 3.2. В пространстве C[K] непрерывных функций на бесконечном хаусдорфовом компакте K (1) антипроксиминальность выпуклого замкнутого множества M эквивалентна его 2антипроксиминальности; (2) не существует выпуклых замкнутых ограниченных n-антипроксиминальных тел при n = 3, 4,....

Теорема 3.3. В пространстве c нет выпуклых замкнутых nантипроксиминальных множеств при n = 3, 4,....

Здесь c обозначает пространство сходящихся последовательностей с равномерной нормой.

Приведён пример, показывающий, что аналог теоремы 3.3 для произвольного пространства C[K] неверен.

Теорема 3.4. Для пространства L1 (E,, µ), сопряжённое к которому канонически изоморфно L (E,, µ), в частности, для пространства L1 (E,, µ) с -конечной мерой µ, верны следующие утверждения:

(1) антипроксиминальность выпуклого замкнутого множества M эквивалентна его 2-антипроксиминальности;

(2) не существует выпуклого замкнутого n-антипроксиминального множества при n = 3, 4... ;

(3) если -алгебра содержит хотя бы один атом относительно меры µ, то в пространстве L1 (E,, µ) нет выпуклых замкнутых ограниченных 2-антипроксиминальных множеств.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук Петру Анатольевичу Бородину за постановку задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе. Автор благодарен профессору И.Г. Царькову, академику РАН Б.С. Кашину, кандидату физико-математических наук А.Р. Алимову, доценту О.Н. Косухину за ценные замечания.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Беднов Б.Б., Бородин П.А. Банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения // Матем. сб., 2014, Т. 205, вып. 4, 3–21.

[2] Беднов Б.Б., Стрелкова Н.П. О существовании кратчайших сетей в банаховых пространствах // Матем. заметки, 2013, Т. 94, вып. 1, 46–54.

[3] Беднов Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Вестник МГУ, Серия 1, Математика, Механика, 2011, № 6, 26-31.

[4] Беднов Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Международная конференция по теории приближений, посвященная 90-летию С.Б. Стечкина, Тезисы докладов, М., 2010, 9.

[5] Беднов Б.Б. Об n-антипроксиминальных множествах // Материалы 17-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, ООО Издательство "Научная книга", 2014, 33–34.