ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Белов Виктор Михайлович

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ И

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ РАСЧЕТА

НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕННЫХ ЗАДАЧ

О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА

Специальность 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2006

Работа выполнена в обособленном структурном подразделении «Научноисследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета» и на кафедре теоретической механики Томского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Жаровцев Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Биматов Владимир Исмагилович доктор физико-математических наук, профессор Ткаченко Алексей Степанович

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН

Защита состоится 15 декабря 2006 года в 30 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.

Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 407, корпус №10 (НИИ ПММ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан « » ноября 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук Ю. Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема расчета параметров газа на внутренних и внешних границах расчетных областей является одной из самых важных проблем в вычислительной газовой динамике. Граничные условия варьируются достаточно широко в зависимости от типа решаемых задач, поэтому вряд ли можно предложить метод, пригодный для всех случаев.

Ниже рассматривается подход, приемлемый для расчета параметров газа на внутренних границах высокоскоростных легкогазовых установок.

Потребность в исследовании процессов и явлений, происходящих при высокоскоростном (свыше 3 км/с) полете и ударе, возникла и постоянно поддерживается в результате интенсивного развития космической техники.

Поскольку прямые эксперименты на космических объектах чрезвычайно дороги и не всегда возможны, были разработаны средства высокоскоростного метания, базирующиеся на различных физических принципах. Так, например, при метании взрывом тело ускоряется продуктами детонации взрывчатых веществ, в электродинамических контактных ускорителях на тело действует сила Лоренца, в легкогазовых установках (ЛГУ) метаемый элемент разгоняется предварительно сжатым легким газом (водородом, гелием). Преимущество последнего способа метания состоит в том, что он позволяет придать метаемому телу заданной массы и формы ускорение в заданном направлении.

В настоящее время большое внимание уделяется разработке нетрадиционных легкогазовых установок, позволяющих улучшать их эксплуатационные качества в тех или иных аспектах. Чтобы исключить разрушение метаемого тела при больших сдвиговых напряжениях, Л. В.

Комаровским был сформулирован принцип свободного метания, при котором метаемое тело в процессе разгона не соприкасается со стенками канала. Для ускорения процесса выстрела предложены легкогазовые системы с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления.

L-, Т-, П- и Ш-образные ЛГУ предложены для непосредственного вывода в ближний космос капсул с грузами, которые могут выдержать большие ускорения. Конструкция этих установок (отражённая в аббревиатуре) позволяет существенно уменьшить их габариты.

Высокая стоимость изготовления и эксплуатации легкогазовых систем требует тщательной предварительной теоретической проработки баллистических схем метания и математического сопровождения экспериментов. Такой теоретический анализ проводится в настоящее время с помощью компьютерных программ, позволяющих рассчитать внутрибаллистические характеристики выстрела из ЛГУ. Компьютерные программы реализуют конкретные алгоритмы решения систем уравнений в частных производных с краевыми условиями, которые моделируют процессы высокоскоростного метания в легкогазовых системах. Поэтому работы, связанные с математическим моделированием процессов выстрела из ЛГУ, а также с теоретическим обоснованием и построением алгоритмов и программ расчета внутрибаллистических параметров как внутри, так и на границах расчетных областей, являются актуальными. К аналогичным постановкам задач приводит исследование поведения сильных одиночных возмущений в системах каналов сложной конфигурации (системы пневмоавтоматики, импульсные аэродинамические трубы, двигатели внутреннего сгорания, шахтные системы и т. п.) Каждая нетрадиционная ЛГУ, как объект математического моделирования, представляет собой систему каналов постоянного и переменного сечения, в которых движутся газы, поршень и метаемое тело. В отличие от классических легкогазовых систем в этих каналах имеются особенности типа скачков площади поперечного сечения, препятствий, не полностью перекрывающих каналы, узлов разветвлений и соединений, как параллельных каналов, так и под углом, а также узлов поворота и разворота газа. В газовой динамике по аналогии с гидравликой особенности подобного типа часто называются местными сопротивлениями (МС). В некоторой окрестности каждого МС поток газа испытывает заметное пространственное воздействие. Конечно, высокоскоростные потоки газа в таких каналах можно рассчитывать, привлекая для всей области расчета или для некоторой ее части нестационарные уравнения газовой динамики с двумя или тремя пространственными координатами. Однако проведение неодномерных расчетов не всегда оправдано, поскольку требует привлечения большого объема вычислительных ресурсов. Поскольку во всех легкогазовых системах продольные длины каналов существенно превосходят их поперечные размеры, для расчёта течений в ЛГУ может быть предложен альтернативный подход, при котором зоны, содержащие МС, заменяются поверхностями разрыва параметров потока, а вне этих зон течение считается одномерным.

Таким образом, поверхности разрыва в квазиодномерной модели играют роль внутренних границ расчётных областей. Параметры газа на внутренних границах могут быть найдены из решения обобщённой задачи о распаде произвольного разрыва на соответствующем местном сопротивлении (РПР МС). Задача РПР МС – это задача Коши для одномерных уравнений газовой динамики с плоскими волнами, когда постоянные начальные данные имеют одну точку разрыва первого рода и в этой точке выполняются соотношения, моделирующие местное сопротивление. В каждой такой задаче появляется зависимость решения от входных параметров, характеризующих вид МС, и возникает необходимость отыскания области допустимых значений этих параметров, в которой решение задачи РПР МС существует и является единственным.

Необходимо также учесть, что алгоритмы расчёта течения газа в легкогазовых системах должны быть рассчитаны на широкий диапазон изменения скоростей и быть замкнутыми по отношению ко всему диапазону изменения начальных данных. Эта цель достигается, если замкнут по отношению к начальным данным алгоритм РПР МС. Поэтому для каждого типа МС должна быть разработана такая конструкция алгоритма РПР МС, которая позволяет рассчитать граничные условия в соответствующих разностных задачах для произвольных начальных данных параметров газового потока. Таким образом, актуальность темы диссертационной работы конкретизируется в необходимости исследования проблемы существования и единственности решения задачи РПР для различных типов МС и конструирования алгоритмов решения обобщённых задач РПР, обеспечивающих эффективность в упомянутом выше смысле схем расчёта граничных условий в задачах высокоскоростного метания.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является теоретическое обоснование и построение алгоритмов и программ расчета параметров газа на внутренних границах, моделирующих в системах каналов сложной конфигурации местные сопротивления и предназначенных в первую очередь для решения специфических задач внутренней баллистики.

Задачи исследования в соответствии с заявленной выше актуальностью основных направлений исследования формулируются следующим образом.

1. Построение замкнутого алгоритма решения задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. В частности, решены задачи:

– о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения для газа Дюпре. В том числе случае исследуется решение задачи РПР для газа Дюпре при отсутствии МС.

– о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке;

– о распаде произвольного разрыва на проницаемой поверхности;

– о разделении потоков;

– о смешении потоков;

– о распаде произвольного разрыва в каналах, стыкующихся под углом друг к другу;

– о распаде произвольного разрыва в произвольном тройнике.

2. Исследование проблемы существования и единственности решения задач, перечисленных в п.1.

3. Исследование параметрической структуры соотношений на разрыве с целью формулирования условий возникновения возможных конфигураций и режимов течения газа.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования диссертационной работы являются математические модели течений газа в нетрадиционных легкогазовых ускорителях. Предметом исследования – решения некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва, моделирующих в нетрадиционных ЛГУ местные сопротивления.

Методы исследования и фактический материал. Методологической основой исследования является разработка параметрической структуры решения обобщённой задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. В основе решения задачи РПР МС лежит метод ( p, u ) -диаграмм. Фактическим материалом являются результаты экспериментальных исследований и расчётные данные задач других авторов.

Достоверность. Полученные решения обобщенных задач о распаде произвольного разрыва являются точными решениями задач Коши для одномерных уравнений газовой динамики с разрывными кусочнопостоянными начальными данными и заданными поверхностями разрывов.

Достоверность расчётов подтверждается сравнением с имеющимися экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в следующем. Впервые в полном объёме (выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также закона неубывания энтропии на поверхности разрыва, доказательство существования и единственности решения для всех физически допустимых значений входных параметров) решены следующие задачи обобщённого распада произвольного разрыва: на скачке площади поперечного сечения, в узле стыковки трёх параллельных каналов, на локальном препятствии, в узле стыковки под произвольным углом двух и трёх каналов, в узлах стыковки LT-,П- и Ш-образных каналов.

Теоретическая значимость полученных результатов. В диссертационной работе впервые приведены параметрические решения ряда задач Коши для уравнений газовой динамики, описывающих плоские одномерные течения с разрывными начальными данными. Эти решения при фиксированных значениях входных параметров могут быть получены с любой заданной степенью точности. В то же время разумный произвол в определении входных параметров соответствующих задач РПР МС позволяет использовать эти решения в качестве граничных условий на внутренних границах расчетных областей плоских одномерных течений.

Предложенный в работе способ конструирования параметрической структуры решения обобщённых задач РПР позволяет детально исследовать его наиболее существенные свойства: существование и единственность решения, возможность его доопределения, условия возникновения возможных конфигураций заданного типа.

и программы решения обобщённых задач о распаде произвольного разрыва могут быть использованы для нахождения параметров газа на внутренних границах расчётных областей в нетрадиционных легкогазовых баллистических установках, а также в подобных системах каналов сложной геометрии (системы пневмоавтоматики, импульсные аэродинамические трубы, двигатели внутреннего сгорания, шахтные системы и т. п.). Данные алгоритмы и программы были положены в основу методики расчёта параметров газа в узлах стыковки газосборной сети газовых месторождений в условиях Западной Сибири. Алгоритмы удовлетворяют специфическим требованиям, предъявляемым к решениям рассматриваемого класса задач.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработка параметрической структуры решения задач Коши для уравнений газовой динамики, описывающих плоские одномерные течения с разрывными начальными данными.

2. Исследование проблемы существования и единственности решения обобщённой задачи РПР МС для характерных типов местных сопротивлений.

3. Исследование зависимости условий возникновения различных типов конфигураций от начальных условий и входных параметров задачи.

4. Обобщение в ряде случаев результатов на случай газа Дюпре.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на 6 конференциях:

1. Международная научная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997).

2. Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ, 1999).

3. Международная научно-практическая конференция «Вторые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2000).

4. Вторая Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» ( Томск, 2000).

5. Вторая научная конференция Волжского регионального центра РА РАН«Современные методы проектирования и отработки ракетноартиллерийского вооружения» (Саров, 2001).

6. Международная конференция по математике и механике (Томск, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. При выполнении работ [4-14], опубликованных совместно с научным руководителем и другими соавторами, В. М. Белов принимал участие в постановке задачи, разработке численных алгоритмов, обсуждении полученных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Им выполнены теоретическое обоснование (доказательство существования и единственности решения обобщённой задачи РПР МС) и программная реализация разработанных численных алгоритмов, проведены расчёты тестовых задач и значительный цикл вычислительных экспериментов. Кроме того, Беловым В. М. в [8] проведена серия расчётов, а также сравнение и анализ полученных результатов с экспериментальными данными.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка использованной литературы. Общий объём диссертации 153 страницы, в ней содержится 81 рисунок, 3 таблицы, список литературы включает 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются актуальность работы, цель и задачи исследования, научная новизна работы, теоретическая и практическая значимость результатов работы. Проведён обзор исследований отечественных и зарубежных авторов, посвящённых проблеме описания течения газа в каналах с местными сопротивлениями. Рассмотрены в хронологическом порядке работы основоположников теории распада произвольного разрыва Б. Римана, Н. В. Кочина, Л. Д. Ландау и Е. М.

Лифшица и более поздние работы Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко, С.

К. Годунова, Л. В. Овсянникова и ряда других авторов, в которых исследуются те или иные аспекты классической задачи РПР. Отмечено, что задача РПР СПС впервые поставлена и решена В. Г. Дуловым, а позднее независимо – И.К. Яушевым. Более поздние работы этих авторов и их сотрудников А. П. Черешнева, С. В. Павлова привели к появлению теории обобщенных задач о распаде произвольного разрыва. В работах И.К. Яушева и С. В. Павлова, А. Н. Крайко с сотрудниками и ряда других авторов рассматриваются различные подходы к решению задачи РПР, обусловленные выбором скалярной формы уравнения импульса и отражающие конкретные методологические аспекты поставленной проблемы. В работе А. С. Фатова решение задачи РПР СПС конструируется в области допустимых значений параметров, а реакция уступа предполагается неизвестной функцией числа Маха набегающего потока. Отмечен также альтернативный подход к определению интегральных характеристик потока в зонах локального воздействия в работе Ю. А. Дубравина. В данной работе привлекается гипотеза о независимости коэффициента восстановления давления от любых геометрических воздействий на поток, которая позволяет расширить область применения квазиодномерного подхода при описании течений газа в каналах сложной геометрии. В монографии А. Ф. Сидорова, В. П. Шапеева и Н. Н. Яненко решение задачи РПР при отсутствии автомодельных решений у неоднородных систем уравнений гиперболического типа предложено искать в классе ДП-решений.

В представленной диссертационной работе сформулированы общие методологические принципы исследования в виде требований к модели РПР МС, что отражает авторский подход к решению поставленных в работе задач.

Задачи диссертационной работы сформулированы в виде трёх ключевых проблем, общих для всех рассмотренных в работе моделей РПР, а именно:

определение области допустимых значений входных параметров задачи РПР МС, доопределение решения в том случае, когда при заданных фиксированных входных значениях параметров МС задача не имеет решения, а также исследование условий возникновения возможных конфигураций и режимов течения газа в зависимости от значений входных параметров. Исследование каждой модели РПР в контексте решения этих проблем по сути составляет содержание работы и структурно объединяет все её разделы.

В первом разделе на примере задачи РПР СПС для газа Дюпре рассмотрены принципиальные аспекты моделирования течения газа в окрестности МС и предложена схема РПР СПС, которая служит основой алгоритмов более сложных моделей, рассматриваемых в последующих разделах. Структура соотношений на СПС задаётся таким образом, чтобы модель РПР СПС содержала характеристики наиболее существенных аспектов решения задачи, таких, как проблема существования и единственности решения, условия возникновения различных режимов и т. п.

Этим требованиям удаётся удовлетворить, если соотношения на СПС задавать с параметрическим произволом в уравнении импульса. Произвол (в определённых границах) в задании параметров-констант, определяющих вид реакции p уступа на поток, выражает неизвестную функциональную зависимость величины p от параметров потока слева и справа от СПС.

Интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии без учёта в первом приближении вязкости и теплопроводности и при отсутствии объёмных источников энергии в пространстве записываются в виде Здесь полагаем по определению s ( x, t ) = этих формулах скорость, p – давление, – плотность, M = u / c ( c 2 = p ( (1 )) ) – число Маха, – коволюм, – отношение удельных теплоемкостей, e – удельная внутренняя энергия газа. Интегральные уравнения (1)-(3) приводят к конечным соотношениям В (4)-(6) “1” и “2” – соответственно индексы площадей большего (широкой части) и меньшего (узкой части) поперечных сечений канала, k и l – индексы прилегающих к СПС зон постоянного течения в широкой и узкой частях канала соответственно, Rs = p ( s1 s 2 ) – параметрическая составляющая уравнения импульса и, следовательно, системы соотношений на разрыве в целом. Величина p в последнем равенстве представляет собой усредненную реакцию единицы площади стенки уступа на поток и изменяется в пределах, естественных с точки зрения физической интерпретации.

Процесс перетока газа из широкой части канала в узкую будем называть истечением, из узкой части в широкую – втеканием. Положительным считается направление истечения. С учётом введенных обозначений конкретная конфигурация, возникающая при РПР, может быть представлена как последовательность символов, например, RBRTS, ( R, S )TB ( R, S ), где R – волна разрежения (ВР), S – ударная волна (УВ), T – контактный разрыв (КР), B – СПС. Зоны постоянного течения обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, (рис. 1, а, б).

ВР КР УВ ВР КР УВ ВР

Рис. 1, а. Схема волновых процессов при втекании (вариант)

ВР КР УВ УВ ВР КР УВ

Рис. 1, б. Схема волновых процессов при истечении (вариант) Реакция потока на уступ при втекании задается формулой c являются параметрами задачи.

Система соотношений (4)-(6) на скачке площади сечения, разрешенная относительно параметров газа слева от СПС, имеет вид (k = 4, l = 5) где и верхний знак выбирается для значений M 5 1, нижний – когда M 5 < 1.

Система уравнений (4)-(6), разрешенная относительно параметров газа справа от СПС, имеет вид Условие M 5 = 1 эквивалентно равенству D = 0. Нижний знак выбирается для значений M 4 m1, а верхний знак – для значений M 4 m2, где причем для меньшего корня справедливо неравенство m 2 1.

Условие неубывания энтропии на скачке площади сечения накладывает ограничения на область изменения величины с учётом (7-10) записывается в виде для случая втекания и с учётом (11-14) для случая истечения. Анализ функциональных зависимостей, от входных параметров задачи показывает справедливость соотношений при втекании и для идеального газа, для газа Дюпре при истечении. Соотношения (15)-(17) показывают, что при дозвуковом режиме перехода через СПС энтропия газа не убывает при любых допустимых значениях параметров задачи. При сверхзвуковом режиме втекания при любых фиксированных, кроме c, значениях допустимых параметров из области допустимых значений существует единственный корень уравнения = 1 и область где при M 5 1 на СПС выполняется условие неубывания энтропии.

Аналогично при сверхзвуковом истечении закон неубывания энтропии выполняется только тогда, когда 0 является единственным корнем уравнения = 1 (остальные где c p аргументы функции, кроме c p, зафиксированы). В работе показано, что в случае выхода за пределы области допустимых значений параметров задачи, определённой условием неубывания энтропии, давление на переходе через СПС может оказаться отрицательным, что означает неразрешимость задачи в целом. Кроме того, в режиме втекания необходимо исключить такие значения параметра c, для которых ( p, u ) -диаграммы состояния газов не пересекаются в ситуациях, когда при РПР не образуются зоны вакуума.

Условие неубывания энтропии выражает требованиие адекватности модели РПР реальным физическим процессам, происходящим в окрестности местного сопротивления. Кроме того, оно гарантирует разрешимость соотношений на ударных волнах и волнах разрежения в конфигурациях, возникающих при РПР, поскольку является достаточным условием неотрицательности давления. Другим необходимым условием, выражающим требование корректности модели РПР в собственно математическом смысле, является разрешимость систем уравнений, связывающих параметры газа на переходе через СПС. Вообще говоря, это условие требует проверки для любого типа МС, поскольку в отличие от обычного распада разрыва в основе схемы РПР МС лежит не идеализация реального физического процесса, а его квазиодномерное приближение, в котором учёт влияния на МС осуществляется гипотетически и не может гарантировать априори существование решения задачи. Для систем уравнений (7-10), (11-14) условием разрешимости является неотрицательность подкоренных выражений D и D. Неравенство D 0 является следствием неравенств непосредственно. При дозвуковом истечении 0 M 2 m1, следовательно, в этом случае D 0. Для идеального газа при 1 и 0 c p 2 показана справедливость неравенства которое эквивалентно соотношению где M СУВ = (2 + ( 1)m2 ) /(2m2 ( 1)) – число Маха за фронтом стоячей ударной волны, вычисленное по значению m2 перед фронтом.

Неравенство (18) означает, что сверхзвуковой переход возможен только для значений M 2 m 2, то есть в области, где D 0. В случае газа Дюпре в силу непрерывности по уравнений (11-14) существует 0 такое, что при 0 < 0 неравенства (18), (19) также справедливы. К сожалению, значение 0 с помощью аналитических выкладок установить не удалось. Однако алгоритмически всегда возможна газодинамическая перестройка решения по таким образом, чтобы соотношения (18), (19) не были нарушены.

В работе показано, что при фиксированном значении параметров в задании реакции уступа на поток условия возникновения конфигурации с промежуточным скачком площади сечения для идеального газа оказываются выполненными на некотором подмножестве начальных данных при втекании и не выполняются при истечении. Исследована зависимость типа конфигурации от величины скачка площади поперечного сечения.

Рассмотрена специфика так называемых “запертых” режимов истечения, при которых скорость газа за СПС при истечении равна скорости звука.

Получены ограничения на входные параметры задачи при звуковом истечении. Показано, что величина 0 = является точной верхней границей значений СПС, при которых возможно сверхзвуковое истечение газа.

Для варианта схемы С. К. Годунова, учитывающего изменение скачка поперечного сечения, показано, что явное решение в волне разрежения может быть получено только для идеального газа. В случае газа Дюпре значение плотности в волне разрежения отыскивается с помощью метода Ньютона, при этом обоснован способ выбора начального приближения.

Второй раздел посвящен конструированию моделей, являющихся прямым обобщением либо модификацией модели РПР СПС и содержащих такой же либо меньший набор входных параметров. Первый тип моделей представлен системой параллельных каналов и перфорированной перегородкой, второй – проницаемой поверхностью.

Решение задачи о разделении потоков в параллельных каналах строится в области допустимых значений входных параметров. Условное разделение основного канала на два вдоль его осевой линии позволяет свести эту задачу к двум последовательным задачам РПР СПС при выполнении условия совпадения значений давления и скорости для каждой из задач РПР СПС в основном канале. Если при фиксированных значениях входных параметров задачи данное условие не выполняется, решение задачи предлагается доопределить. Это достигается посредством расширения области допустимых значений входных параметров за счет изменения параметровконстант либо площади поперечного сечения потока в одном из разветвлений в результате предполагаемого отрыва потока от стенок канала. Установлен немонотонный характер траектории опорных точек ( p, u ) -диаграмм газов при изменении вспомогательного сечения в основном канале, и введены ограничения на область изменения величины указанного сечения, которые однозначно определяют решение задачи разделения потоков.

Решение задача о смешении потоков в параллельных каналах также отыскивается в области допустимых значений параметров. Поиск решения осуществляется в два этапа. Сначала отыскивается такое разбиение основного канала на два, при котором значения давления и скорости в каждом из этих каналов совпадают. Затем потоки массы, импульса и энергии в основном канале рассчитываются с применением процедуры осреднения.

В случае, когда МС представляет собой локальное препятствие (ЛП), рассмотрены два варианта модели РПР. В первом случае ЛП в виде перфорированной перегородки заменяется двумя последовательными скачками площади сечения с «проходным» сечением, равным сумме площадей отверстий перегородки. В качестве значений параметров потока по обе стороны перегородки берутся последовательные решения задач РПР СПС для случаев истечения и втекания. Здесь необходимо отметить следующие особенности. Сравнение данной модели с моделью РПР на перфорированной перегородке (ПП) с изоэнропическим истечением показывает, что в последнем случае среднее давление на уступе оказывается меньше, чем давление в широкой части канала. При относительно небольших значениях числа Маха слева от перегородки получено хорошее согласование результатов расчётов по изоэнропической модели истечения с экспериментальными данными. Отсюда можно сделать вывод, что модель РПР ПП не может быть представлена линейной последовательностью моделей РПР СПС при истечении и втекании, а приобретает новые качества.

Наиболее приемлемой физической интерпретацией модели течения газа в переходной области является отрыв потока газа от стенок канала слева от линии разрыва. С математической точки зрения это обстоятельство трактуется как необходимость расширения области допустимых значений параметра c p за счёт уменьшения её нижней границы до значения вещественности корней дискриминанта в формулах перехода при истечении, выражающем необходимсть сохранения специфики «запертых» режимов истечения.

Для второго типа модели РПР ЛП переходная зона, содержащая ЛП, заменяется поверхностью разрыва (проницаемой поверхностью), а реакция МС в этом случае пропорциональна величине скоростного напора. Показано, что энтропийное неравенство выполнено для любых наборов входных параметров, а ограничения на область допустимых значений параметров обусловлены требованием совместности системы квадратных уравнений на разрыве. На рис. 2 результаты расчётов по первой модели представлены Рис. 2. Зависимость числа Маха в зоне слева от перегородки от нтенсивности сплошной линией без маркировки, по второй – линией с квадратиками, данные эксперимента для различных степеней поджатия = 1 / изображены соответственно треугольниками и точками.

Сравнение двух типов моделей РПР ЛП показывает, что первая модель точнее описывает течение газа в переходной области. Это объясняется её большей информативностью по сравнению со второй моделью, которая, однако, более проста в реализации.

В третьем разделе задача РПР СПС обобщается на случай каналов, стыкующихся друг к другу под произвольным углом, а задачи о разделении и смешении потоков в параллельных каналах обобщаются для произвольного тройника. Решения этих задач для частного случая стыковки под прямым углом используются при расчете параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов L-, Т-, П- и Ш-образных легкогазовых установок нетрадиционного типа. Решение задачи РПР для двух плоских стыкующихся под углом каналов и в общем случае плоского тройника конструируется на основе тех же подходов, что и в рассмотренных выше случаях. Для двух возможных вариантов стыковки каналов под острым и тупым углом соответственно указаны значения параметров, в окрестности которых решение задачи существует и единственно. В случае плоского тройника расчет РПР осуществляется для произвольных начальных значений параметров потока.

Алгоритм расчета параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов L- и Т-образных легкогазовых установок, предназначенных для непосредственного вывода в космос метаемых тел, можно рассматривать как частный случай описанных выше алгоритмов. В Тобразной установке два одинаковых поршневых ствола с общей осью состыкованы под прямым углом с баллистическим стволом. Процесс выстрела происходит так, что поршни движутся симметрично относительно баллистического ствола. Хотя конструкция установки существенно отличается от классической легкогазовой системы, для описания течения легкого газа в каждом из стволов вполне применима схема, использованная в предыдущих разделах. Системы каналов L- и Т-образного типов представлены на рис. 3, 4 соответственно.

Алгоритм РПР модели легкогазовой установки L-образного типа обобщен для П- и Ш-образных легкогазовых установок. В П-образной ЛГУ оси баллистического и поршневого стволов параллельны друг другу, что позволяет существенно уменьшить общую длину установки. Так же, как и в схемах предыдущих разделов, выделяется участок локальной неодномерности (переходная область), в которой происходит двукратное скачкообразное изменение площади поперечного сечения, а поток газа разворачивается на 1800. Расчет параметров газа в узле стыковки поршневых и баллистических стволов сводится, таким образом, к решению задачи РПР в П-образной системе каналов( рис. 5).

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

Настоящая диссертационная работа представляет собой итог исследований автора, посвященных рассмотрению наиболее существенных аспектов задачи о распаде произвольного разрыва в каналах сложной конфигурации. Объединяющая идея работы – построение максимально «прозрачной» математической модели распада произвольного разрыва в зонах с местными сопротивлениями. Основные результаты работы резюмируются следующим образом.

1. В качестве граничных условий расчетных областей в каналах, содержащих местные сопротивления, предложено использовать значения параметров потока в зонах постоянного течения, возникающих слева и справа от МС в результате распада произвольного разрыва. Такой выбор обуславливается следующими факторами: асимптотика в реальных процессах устанавливается мгновенно; линейные размеры местного сопротивления пренебрежимо малы в сравнении с протяженностью расчетных областей;

решение задачи РПР МС может быть получено с любой степенью точности;

алгоритм РПР МС относительно прост в реализации.

2. Исследование параметрической структуры соотношений на разрыве позволяет установить границы изменения входных параметров задачи, в которых решение задачи РПР СПС существует, единственно и удовлетворяет на линии разрыва законам сохранения массы, импульса, энергии, а также условию неубывания энтропии.

3. Возможный произвол в изменении параметров c и c p может быть использован для согласования с любой дополнительной информацией (данные эксперимента, расчетные данные аналогичных задач, возможная функциональная зависимость реакции уступа от параметров потока и т.

п). При этом следует отметить, что зависимость реакции МС от параметров потока и геометрических характеристик МС в имеющейся литературе для широкого диапазона скоростей изучена недостаточно полно, поэтому акцент делается на изучении свойств возникающего в результате РПР течения для произвольной константной зависимости реакции потока на уступ.

Построение конкретной функциональной зависимости указанного типа требует дополнительного привлечения информации и выходит за рамки данной работы.

4. Анализ соотношений на разрыве позволяет указать такие свойства решения задачи РПР МС, как зависимость типа конфигурации от входных параметров, c и c p, возможность появления конфигурации с промежуточным СПС, положительность дискриминанта в формулах перехода при втекании и знакопеременность при истечении, т. е.

возможности появления “запертых” режимов течения, возможность получения отрицательных значений давления при выходе за границы области допустимых значений параметров, ограничения при звуковом истечении и др.

5. Значительная часть полученных результатов обобщена для газа Дюпре. В тех случаях, когда такое обобщение не удалось получить аналитически, было проведено численное тестирование алгоритма РПР. Для используемых в расчетах значение коволюма качественных различий в характере возникающего течения идеального газа и газа Дюпре не обнаружено, тем не менее в последнем случае существенно усложнялись теоретические выкладки для задачи РПР СПС, а в зоне волны разрежения расчет параметров потока мог быть осуществлен только с помощью итерационного процесса.

6. Построение замкнутого алгоритма решения задачи РПР МС требует, вообще говоря, привлечения всех возможных ресурсов задачи т.е. параметров, c, c p, c x с целью доопределения (при необходимости) её решения.

7. Сравнение расчетных данных с экспериментом при моделировании РПР на перфорированной перегородке показывает, что для течений с относительно небольшими значениями числа Маха изоэнтропическая модель истечения в наибольшей степени согласуется с данными эксперимента.

Привлечение модели РПР на скачке площади поперечного сечения требует расширения области допустимых значений входных параметров задачи РПР СПС. Найдена нижняя граница изменения параметра c p, для которой запирание потока происходит при любой степени поджатия, т.е. влияние перегородки оказывается существенным, если только противодавление справа невелико. Найдены ограничения на область изменения параметра c x в определении реакции p в случае, когда локальное препятствие моделируется одной поверхностью разрыва (проницаемой поверхностью).

Сравнение двух способов моделирования показывает, что модель с двумя СПС лучше согласуется с данными эксперимента, в то время как модель проницаемой поверхности более проста в реализации.

8. Найдены ограничения на входные параметры задачи, при которых существует и является единственным решение задачи РПР в узле стыковке двух каналов под произвольным углом, удовлетворяющее законам сохранения массы, импульса, энергии и условию неубывания энтропии. При этом следует отметить, что в модели РПР для произвольного тройника, в отличие от модели РПР для параллельных каналов, решение задачи существует и единственно для любых начальных значений параметров газов, т. к. возможны любые направления потоков в каналах системы.

9. Получено решение задачи РПР для случая стыковки каналов под прямым углом и на его основе сконструированы алгоритмы расчета параметров течения газа в окрестности узла стыковки поршневого и баллистического стволов легкогазовых установок нетрадиционного типа, а именно LT-,П- и Ш-образных ЛГУ.

10. Совокупный анализ утверждений пп. 1-9 позволяет сделать вывод:

обобщённая модель РПР МС, представленная в работе, применима для расчета течений газа в окрестности МС в широком диапазоне начальных скоростей потока. Представленные типы моделей вполне отвечают потребностям практических задач газодинамики, возникающих при исследовании высокоскоростных процессов и могут быть использованы, в частности, при математическом моделировании и проектировании легкогазовых установок.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белов В. М. Учет второго закона термодинамики в задании параметрической структуры решения задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения // Аэрогазодинамика. – Томск: Изд-во ТГУ, 1992. – С. 38-44.

2. Белов В. М. Сравнительный анализ параметрической структуры решения задачи о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке // Международная конф. по матем. и мех. Томск. 16- сентября 2003: Тез. докл. – Томск, 2003. – С. 84.

3. Белов В. М. Об одном алгоритме расчета параметров газа в системах каналов, стыкующихся под углом друг к другу // Международная конф.

по матем. и мех. Томск. 16-18 сентября 2003: Тез. докл. – Томск, 2003. – 4. Белов В. М., Жаровцев В. В. Применение одной разностной схемы для интегрирования одномерных газодинамических уравнений в переменных Эйлера // Аэрогазодинамика. – Томск: Изд-во ТГУ, 1987. – С. 14-18.

5. Белов В. М., Жаровцев В. В. Некоторые особенности численной реализации на ЭВМ задачи о распаде произвольного разрыва в случае газа Дюпре // Аэрогазодинамика. – Томск: Изд-во ТГУ, 1987. – С. 3-6.

6. Белов В. М., Жаровцев В. В. Ограничения на входные параметры задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения при звуковом истечении // Аэродинамика нестационарных процессов. – Томск: Изд-во ТГУ, 1988. – С. 16-20.

7. Белов В. М., Жаровцев В. В. Об одном алгоритме решения задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения // Рук. Деп. в ВИНИТИ, № 3678-В89 от 06.06.89. – 19 с.

8. Белов В. М., Жаровцев В. В. К решению задачи о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке // Известия высших учебных заведений: Физика. – 2006. – № 6. Приложение. – С. 28-31.

решения задачи распада разрыва в разветвляющихся параллельных каналах // Аэрогазодинамика нестационарных процессов. – Томск: Издво ТГУ, 1992. – С. 38-42.

10. Белов В. М., Жаровцев В. В. Моделирование течений газа в трубе с локальным препятствием // Математическое моделирование процессов в синергетических системах. – Улан-Удэ–Томск: Изд-во ТГУ, 1999. – С.

132-136.

11. Белов В. М., Жаровцев В. В. Расчет параметров газа в узлах стыковки поршневых и баллистических стволов П, L и Т-образных легкогазовых установок // Материалы докладов Международной научно-практической конференции «Вторые Окуневские чтения». – Ч. 1. Баллистика, СПб.:

БГТУ, 2000. – С. 56-60.

12. Белов В. М., Жаровцев В. В. Задача о распаде произвольного разрыва в каналах с разворотом газа // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Докл. Второй Всеросс. науч. конф. 6-8 июня 2000. – Томск, 2000. – С. 143-144.

13. Белов В. М., Жаровцев В. В. О расчете параметров газа в узлах стыковки поршневых и баллистических стволов некоторых легкогазовых систем // Современные методы проектирования и отработки ракетноартиллерийского вооружения. – Саров: РФЯЦ–ВНИИЭФ, 2003. – С. 106Белов В. М., Жаровцев В. В., Комаровский Л. В. Газодинамический расчет двухступенчатой баллистической установки диафрагменного типа // Избранные доклады международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике». – Т. 2. Механика, Ч. 1. – Томск: Изд- во ТГУ, 1997. – С. 30-36.