На правах рукописи
БАГРОВА Инна Александровна
МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ
Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Тверь — 2012
Работа выполнена на кафедре математической статистики и системного анализа факультета прикладной математики и кибернетики ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет».
Научный руководитель – кандидат физико-математических наук доцент Архипов Сергей Викторович
Официальные оппоненты – доктор физико-математических наук профессор, профессор кафедры математической статистики Московского государственного университета Бенинг Владимир Евгеньевич;
доктор физико-математических наук профессор, декан факультета прикладной математики и компьютерных технологий, заведующий кафедрой прикладной математики Зейфман Александр Израилевич
Ведущая организация – Российский университет дружбы народов
Защита состоится 21 декабря 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый переулок, 35, ауд. 200.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.
Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы 21 ноября 2012 года на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ по адресу: http://vak.ed.gov.ru, а также на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу:
http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/.
Автореферат разослан 21 ноября 2012 года.
И.о. ученого секретаря диссертационного совета доктор физико-математических наук К.М.Зингерман доцент
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Устойчивые законы в последнее двадцатилетие стали использоваться во многих прикладных задачах, связанных с физикой, экономикой, радиотехникой, гидрологией, астрономией и т.д.
Особенно интенсивно они используются в математических моделях, имеющих «тяжелые» хвосты распределения. В силу того, что многие эмпирические данные имеют такое распределение, необходимо строить модели, обладающие этими свойствами. Кроме того, устойчивые законы применяются в математических моделях точечных источников влияния, примерами которых являются гравитационное поле звезд, распределение температур в ядерном реакторе, распределение напряжений в кристаллических решетках. Моделирование устойчивых случайных векторов необходимо также для проверки робастности методов оценки их параметров. В силу сказанного тема диссертационной работы является актуальной.
Устойчивые распределения описывались в монографиях Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова, В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника и В. В. Петрова. Основные результаты, касающиеся характеризации устойчивых законов, вошли в книгу А. М.Кагана, Ю.В. Линника и С.
Р. Рао. Вопросы, связанные с аналитическими свойствами устойчивых законов, рассматривались в монографиях В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника, в книге Е. Лукача, а также в статье Д. Холта и Е. Кроу. Труды следующих авторов специально посвящены устойчивым распределениям и процессам: Золотарев В.М., Учайкин В.В., Janicki A., Weron A., Samorodnitsky G., Taqqu M.S., Nolan J. P.
Исторически первым появился датчик для односторонних устойчивых случайных величин, использующий интегральное представление функции распределения, полученное в статьях Ибрагимова, Чернина (1959) и Kanter’а (1975). Затем на основе интегрального представления Золотарева Chambers, Mallows, Stuck (1976) разработали датчик устойчивых чисел с произвольными параметрами, использующий экспоненциально и равномерно распределенные случайные величины. Другая методика, основанная на представлении устойчивых величин с помощью случайных рядов LePage’а была предложена A. Janicki и A.Weron’ом (1994).
Цели и научные задачи. Целью работы является разработка и программная реализация метода моделирования устойчивых случайных величин и векторов, основанного на обобщенной центральной предельной теореме (ОЦПТ).
Основные задачи
. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:
получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием (в случае, когда показатель устойчивости (0, 1]);
получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием ( (1, 2));
получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры;
получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае сферически симметричной спектральной меры.
Методы исследований. Для построения алгоритмов моделирования используется ОЦПТ. Для вывода формул применяется метод характеристических функций, асимптотические методы математического анализа, численные методы и комплексный анализ. Программная часть была реализована в системе Matlab.
Научная новизна. В диссертационной работе реализован подход к моделированию устойчивых случайных величин и векторов, основанный на ОЦПТ. Основные результаты работы являются новыми:
1) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием ( (0, 1]);
2) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием ( (1, 2));
3) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры;
4) разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры;
5) получены представления характеристических функций смеси распределений Парето;
6) получены асимптотические представления характеристических функций нормированной суммы независимых центрированных (при > 1) случайных величин, являющихся смесью распределений Парето.
Теоретическая и практическая значимость. К настоящему времени разработаны два метода моделирования устойчивых величин:
а) с помощью интегрального представления Золотарева;
б) с помощью представления устойчивых случайных величин рядами LePage’а.
Однако эти методы не допускают обобщения на многомерный случай.
Предложенный в работе метод, основанный на ОЦПТ, может быть использован для моделирования устойчивых случайных векторов в Rd с произвольной спектральной мерой, как дискретной, так и непрерывной.
Поэтому он может использоваться для построения математических моделей с «тяжелыми хвостами» распределения, появляющихся в различных разделах науки.
В ходе работы над диссертацией был разработан комплекс программ, реализующий разработанные методы и алгоритмы моделирования устойчивых случайных величин и векторов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов.
Достоверность полученных результатов основана на использовании ОЦПТ, а также на подтверждении результатов моделирования теоретическими результатами, полученными аналитическими методами.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в ходе диссертационной работы:
1. алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием ( (0, 1]), основанный на применении ОЦПТ;
2. алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (1, 2), основанный на применении ОЦПТ;
3. алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры, основанный на применении ОЦПТ;
4. алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры, основанный на применении ОЦПТ;
5. программная реализация разработанных алгоритмов моделирования устойчивых случайных величин и векторов.
Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Методы моделирования устойчивых случайных векторов, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Моделирование трейдинговых стратегий».
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (8-12 декабря 2010 года, Тверской государственный университет, Тверь), на XIV Всероссийском симпозиуме с международным участием по теории и приложениям непараметрических и робастных статистических методов «НЕПАРАМЕТРИКА- XIV» (1-3 июля 2012 года, Томский государственный университет, Томск).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, приведенных в конце автореферата, 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и изложена на 132 страницах. Список литературы содержит 80 наименований, включая работы автора.
Содержание работы. Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведен обзор работ, посвященных описанию, моделированию и применению устойчивых законов, кратко изложены структура и содержание диссертации.
В первой главе введены основные определения, понятия и теоретические результаты теории устойчивых распределений, необходимые в дальнейшем. Кратно изложена история появления интереса к устойчивым распределениям.
В разделе 1.1 даны наиболее часто используемые определения устойчивых распределений. В качестве основных определений выделены два их них. Первое отражает главное свойство устойчивых законов:
Определение 1 Случайная величина Y Rd называется устойчивой, если для любых ее независимых копий Y1 и Y2 и для C1, C2 > существуют такие C3 > 0 и D Rd, что Если D = 0, то с.в. Y называется строго устойчивой (с.у.).
Замечание. Знак «=» обозначает совпадение распределений случайных величин.
Второе определение основано на обобщенной центральной предельной теореме и положено в основу способа моделирования, описанного в представленной диссертации:
Определение 2 Устойчивые законы являются предельными распределениями для нормированной суммы независимых одинаково распределенных центрированных (при > 1) случайных величин X1,..., Xn Rd, входящих в область притяжения устойчивого распределения Y Показано, что устойчивые распределения характеризуются асимметрией, а также «тяжелыми хвостами». Для описания характеристических функций устойчивых законов был выбран параметрический подход.
В общем случае, устойчивые распределения описываются четырьмя параметрами: параметр устойчивости (0, 2), параметр асимметрии [1, 1], параметр сдвига µ (, ) и параметр масштаба > 0.
Дана интерпретация перечисленных параметров.
В связи с тем, что только для четырёх наборов параметров выражения для плотностей f (x,,, µ, ) имеют достаточно простой вид, существует трудность в изучении аналитических свойств устойчивых распределений. Поэтому описание устойчивых законов осуществляется через их характеристические функции.
Во втором разделе первой главы приведены формулировки основных параметризаций характеристических функций устойчивых законов: (A), (B), (M). Например, характеристическая функция в форме (A) имеет вид:
Дано обоснование существования многочисленных форм записи, представлены взаимосвязи между параметризациями. Кроме того, описана предельная форма параметризации для устойчивых законов форма (L).
В разделе 1.3 перечислены наиболее важные свойства устойчивых распределений и их функций плотностей. Рассмотрено понятие области притяжения устойчивых законов. Описаны распределения, которые входят в область притяжения устойчивых законов.
В заключении главы 1 приведены области применения устойчивых законов. Показана практическая значимость и актуальность темы исследования.
Во второй главе рассмотрено моделирование одномерных устойчивых распределений.
В первом разделе второй главы описаны ранее известные методы:
метод, основанный на интегральном представлении Золотарева, и метод, использующий представление устойчивой случайной величины в виде ряда LePage’a. Главным недостатком этих представлений является то, что их аналоги в многомерном случае не были получены. Например, для вывода многомерного аналога представления Золотарева необходимо применение теоремы Коши в Z d, что является практически невыполнимой задачей.
Остается путь, связанный с обобщенной центральной предельной теоремой. Ранее1 были получены выражения для параметров в ОЦПТ, при этом в качестве слагаемых рассматривались случайные величины из области притяжения устойчивых законов. Но эти выражения, справедливые при количестве слагаемых n, не подходят для моделирования.
В разделе 2.2.1 описаны вспомогательные понятия. Обоснован выбор распределения Парето, которое обеспечивает получение наиболее простых формул для параметров в обобщенной ЦПТ. Это свойство приобретает значение в условиях ограниченности ресурсов, как временных, так и аппаратных. Для проверки влияния поведения случайных величин Xj около нуля на формирование устойчивых чисел была использована смесь распределений Парето и равномерного на положительной и отрицательной полуосях.
Поскольку устойчивые распределения имеют явные представления для характеристических функций, то необходимо получить выражение для характеристической функции суммы из ОЦПТ и произвести подбор параметров, имея в виду, что Процесс моделирования накладывает ограничение на теоретическое положение n, n может быть достаточно большим, но не бесконечным. Поэтому для конечного n необходимо подобрать параметры, минимизирующие выбранное расстояние между характеристическими функциями Sn и Y.
Изложены теоретические результаты, используемые в дальнейшем при описании предлагаемого подхода к моделированию. В силу равномерной сходимости, следующей из (2), необходимо определить границу области D, в которой рассматриваются характеристические функции. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля2. Показано существование Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. – Utrecht: VSP, 1999. – 594 p.
Маслов О.Н. Устойчивые распределения и их применение в радиотехнике. – М: Радио и связь, 1994. – 152 c.
специфики при переходе от неполной гамма-функции Эйлера к полной.
В записи характеристической функции устойчивого закона присутствует параметр сдвига µ, который предполагается равным нулю.
В разделе 2.2.2 описан алгоритм моделирования устойчивых чисел при (0, 1). Подробно приведены доказательства c выводом соответствующих формул для параметризации (A), т.к. она является наиболее распространенной. С помощью формул перехода между параметризациями можно подобрать параметры для форм (B), (M). Кроме того, описана предельная форма для устойчивых законов – форма (L), которая является более естественной при 1.
Как было отмечено выше, значение нормирующего параметра полученное в ОЦПТ из (1) при допущении n не позволяет правильно моделировать устойчивое распределение при конечном n. Поэтому были получены выражения для характеристической функции распределения Парето, а также для смеси распределений Парето с носителями на положительной и отрицательной полуосях.
Показано, что несмотря на отсутствие математического ожидания, необходим сдвиг. В силу сказанного, формулу (1) для Sn необходимо изменить следующим образом:
В следующей теореме получены асимптотические представления для параметров b и a из (3):
распределенные случайные величины, представимые как где слагаемые имеют распределение Парето с носителем на положительной и отрицательной полуосях и имеют функции распределения вида (r, l > 0):
Если в сумме (3) определить параметры следующим образом:
Система взаимосвязи параметров смеси распределений Парето и устойчивого закона выглядит следующим образом:
Вследствие того, что нормирующий и центрирующий параметры зависят от t, был разработан алгоритм нахождения оптимальной пары параметров в (3), которая минимизирует максимальное отклонение характеристических функций в области D:
В приложении помещены значения параметров для моделирования устойчивых случайных величин в форме (А).
Примеры моделирования устойчивых случайных величине в форме (А) можно увидеть на рисунке 1.
Кроме того, показано, каким образом необходимо определить параметры a и b для получения устойчивых случайных чисел в формах (M), (B) и (L).
Рис. 1: График функций плотности распределения сгенерированных случайных чисел и устойчивой случайной величины в форме (A) при n = 104, K = 105, a) = 0.3, A = 1, b) В разделе 2.2.3 описано моделирование устойчивого распределения при = 1 в случае смеси распределений Парето, а также для смеси распределений Парето и равномерного. Проведено вычисление характеристической функции суммы распределений Парето и смеси распределений Парето на положительной и отрицательной полуосях.
При = 1 соответствующая сумма Sn также имеет вид (3). Для того, чтобы характеристическая функция суммы имела в пределе вид характеристической функции устойчивого распределения с = 1, необходимо определить параметры a и b следующим образом:
где – постоянная Эйлера.
Система взаимосвязи параметров имеет вид (6) с = 1.
Кроме того, для моделирования двухстороннего устойчивого распределения при = 1 можно также использовать смеси распределений Парето и равномерного на положительной и отрицательной полуосях:
где p1 + p2 = p, q1 + q2 = q, p + q = 1, Xj1, Xj1 – равномерно распределенные случайные величины соответственно на интервалах (l; 0) и (0; r), Xj2, Xj2 –случайные величины, распределенные по Парето соответственно на лучах (; l] и [r; ), r, l > 0. Для этого случая также были получены соответствующие выражения для вычисления параметров b и a и система соотношений параметров смеси распределений Парето и равномерных.
Результаты моделирования продемонстрированы на графиках.
В разделе 2.2.4 разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с характеристическим показателем (1, 2). В этом случае слагаемые Xj необходимо центрировать:
где Xj = Xj M Xj, Xj = Xj M Xj, Xj, Xj – распределенные по Парето (см. (4)) случайные величины с носителями на положительной и отрицательной оси соответственно, а M Xj и M Xj их математические ожидания.
Полученное выражение для параметра b в предположении, что n имеет порядок 103 106, можно применять при (1, (n)]. В то же время оно не позволяет моделировать устойчивые случайные величины при ( (n), 2). Это происходит вследствие того, что с ростом функция плотности fY (x) становится все более симметричной, несмотря на различные значения коэффициента A. Этим свойством должна обладать и эмпирическая функция плотности fSn (x). Ее симметричности можно добиться подбором скорректированного коэффициента асимметрии A за счет изменения вероятностей смеси p и q в (8).
Теорема 2 Пусть X1, X2,..., Xn имеют вид (8). Если вычислять поправочное значение для вероятности p по итерационной формуле где а нормирующий множитель b находить из соотношения:
то fSn (t) будет равномерно сходиться к fY (t) в области D при n.
Разработан алгоритм для нахождения оптимальных параметров A и b.
Результаты работы алгоритма показаны на графиках (см. рисунок 2).
Рис. 2: График функций плотности распределения сгенерированных случайных чисел и устойчивой случайной величины в форме (A) при n = 104, K = 105 a) при = 1.2, A = 1 и Аналогичные выражения для (9) и (10) и алгоритм моделирования получены для смеси распределений Парето и равномерного.
Составлена таблица, в которую помещены значения параметров A и b для случая смеси распределений Парето при r = l = A, применяемые для моделирования устойчивых случайных величин S (1, A, 0).
Замечание. Отметим, что критерии согласия Колмогорова-Смирнова и Пирсона показали согласие распределения смоделированных данных с устойчивым. Кроме этого, для оценки качества аппроксимации использовались средняя абсолютная ошибка M AE и средняя абсолютная процентная ошибка M AP E.
В третьей главе описано моделирование устойчивых случайных векторов.
В первом разделе третьей главы изложены некоторые сведения о многомерных устойчивых законах. Описаны формы представления характеристических функций.
Во втором разделе третьей главы описано моделирование устойчивых векторов на основе ОЦТП с дискретной спектральной мерой:
где wl >0– веса, l – точечная единичная масса в l S d1.
Характеристическая функция в форме (A) многомерного устойчивого вектора с дискретной спектральной мерой имеет вид:
В этом случае слагаемые Xj имеют распределение Парето с функцией плотности:
Получены формулы для нормирующего параметра. Например, для случая (0, 1) b должен вычисляться из соотношения:
Соответствующие веса wl связаны с параметрами распределения Парето следующим образом: wl = pl rl.
Адекватность разработанного метода для d = 2 продемонстрирована на графиках. В частности, было сгенерировано одномерное распределение, когда спектральная мера имеет два противоположных направления.
Пример моделирования устойчивого вектора, имеющего дискретную спектральную меру в трех направлениях:
Рис. 3: a) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов Выражение для нахождения нормирующего параметра b при (1, 2) имеет вид:
Пример моделирования симметричного устойчивого вектора для = 1. и заданных направлений спектральной меры l :
Рис. 4: a) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при = 1.9, n = 103, K = 104, pl = 1/6, l = (l 1)/3, l = 1, 6, b) точечное распределение, Третий раздел третьей главы посвящен моделированию сферически симметричных распределений, которые имеют характеристическую функцию Функция плотности слагаемых Xj будет иметь вид:
где |S d1 | – площадь поверхности единичной сферы.
вектора для = 0.5:
Рис. 5: a) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при = 0.5, n = 103, K = 105, b) точечное распределение, с) линии уровня В случае (1, 2) параметр b находится из уравнения:
симметричного вектора при = 1.3.
Рис. 6: a) График функции плотности распределения сгенерированных случайных векторов при = 1.3, n = 103, K = 104, b) точечное распределение, с) линии уровня Программная реализация разработанных алгоритмов и методик осуществлена в системе Matlab. Для упрощения ввода параметров, сохранения и загрузки сгенерированных случайных чисел использован графический интерфейс. Программный комплекс состоит их двух модулей:
модуль моделирования устойчивых величин и модуль моделирования устойчивых векторов. На вход подаются параметры требуемого устойчивого распределения Y, а также параметры распределения Xj из области притяжения Y. Результатом работы программы являются K случайных чисел, имеющих устойчивое распределение в выбранной форме параметризации.
Основные результаты. В ходе решения поставленных в диссертационной работе задач были достигнуты следующие результаты:
1. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием ( (0, 1]): уточнена формула для Sn и получены выражения для ее характеристической функции fSn (t), выявлена взаимосвязь параметров распределений Y и Xj, получены асимптотические представления параметров b и сдвига a в Sn ;
2. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием ( (1, 2)): выведены формулы для характеристической функции Sn, получены выражения и разработан алгоритм для вычисления скорректированного коэффициента A и нормирующего множителя b;
3. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры: определен вид характеристической функции суммы Sn, получены формулы для нормирующего параметра b;
4. разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры: получены формулы для нормирующего множителя отдельно для случаев (0, 1) и (1, 2);
5. разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе, использование которого позволяет моделировать устойчивые случайные величины и векторы.
Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить круг практических задач, решаемых в математических моделях с «тяжелыми хвостами», за счет возможности использования датчика устойчивых случайных векторов.
рекомендованных ВАК 1. Архипов С.В., Багрова И.А. О моделировании односторонних устойчивых случайных величин // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 4(15). – Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2009. – с. 53-62.
2. Архипов С.В., Багрова И.А. О моделировании устойчивых случайных величин при близких к единице // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 3(18). – Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2010. – c. 5-14.
3. Архипов С.В., Багрова И.А. О моделировании двухсторонних устойчивых случайных чисел при (0, 1) // Вестник Тверского госуниверситета. Серия: Прикладная математика, выпуск 1(24). – Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2012. – с.103Багрова И.А.Моделирование устойчивых случайных величин в случае альфа равном единице // Вестник Тверского госуниверситета. Серия:
Прикладная математика, выпуск 4(23) – Тверь: изд-во Тверского государственного университета, 2011. – с. 51-62.
Прочие публикации автора по теме диссертации 1. Багрова И.А. О моделировании устойчивых случайных величин// Математика, информатика, их приложения и роль в образовании:
материалы второй Российской школы-конференции для молодых ученых с международным участием: статьи, обзоры, тезисы докладов. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010. – с. 32-37.
Технический редактор А.В. Жильцов Подписано в печать 20.11.2012. Формат 60 80 16.
Бумага типографская №1. Печать офсетная.
Усл. печ.л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ № 580.
Тверской государственный университет.
Редакционно-издательское управление.
Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33.