[ Учреждение образования
«Витебский государственный технологический университет»
УТВЕРЖДАЮ:
Первый проректор УО «ВГТУ»
С.И. Малашенков
«» 2008 г.
регистрационный № УД /баз.
«Высшая математика»
Учебная программа для специальностей 1-50 01 01 «Технология пряжи, тканей, трикотажа и нетканых материалов»
2008 г.
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРЕПОДАВАНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. Цель преподавания дисциплины - сформировать у студентов современные теоретические и практические знания по высшей математике, освоить математический аппарат, который необходим для решения инженерных и экономических задач.1.2.Задачи изучения дисциплины:
В результате изучения дисциплины студент должен знать:
элементы линейной алгебры, аналитической и векторной геометрии;
основы математического анализа;
методы дифференциального исчисления функции одной переменной;
методы интегрирования;
методы дифференциального исчисления функции нескольких переменных;
методы решения дифференциальных уравнений;
основные формулы и теоремы теории вероятностей и математической статистики.
Студент должен уметь:
владеть методами решения задач дифференциального и интегрального исчисления;
применять элементы линейной алгебры и аналитической геометрии к решению инженерных задач;
исследовать с помощью производных свойства функций одной и нескольких переменных;
решать дифференциальные уравнения в задачах прикладного характера;
применять кратное интегрирование при решении задач геометрии, механики и физики;
использовать разложение в степенные ряды Тейлора и Маклорена для нахождения приближенных значений функции;
решать основные задачи теории вероятностей Учебный план предусматривает для изучения дисциплины 689 часов. Из них 306 аудиторных часов.
Примерное распределение часов следующее:
лекции 153 часа;
практические занятия 153 часа.
2. Примерный тематический план дисциплины – в соответствии с таблицей 1.
Таблица 1.
№ Наименование раздела, темы Лекции Практип/п (часы) ческие (часы) 152 1. РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2. Тема 1.1 Определители и их свойства 2 3. Тема 1.2. Матрицы. Линейные операции над ними 3 4. Тема 1.3. Системы линейных уравнений 5 5. Тема 1.4. Элементы векторной алгебры 7 6. Тема 1.5. Прямая на плоскости 2 7. Тема 1.6. Прямая и плоскость в пространстве 3 8. Тема 1.7. Кривые второго порядка 69. РАЗДЕЛ 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
10. Тема 2.1. Числовая последовательность и ее предел 11. Тема 2.2. Предел функции. Непрерывность. 6 12. РАЗДЕЛ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.13. Тема 3.1. Производная функции 4 14. Тема 3.2. Исследование функций при помощи 10 производных 15. РАЗДЕЛ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
МНОГОЧЛЕНЫ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ 6
ФУНКЦИИ. 16. РАЗДЕЛ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 19. РАЗДЕЛ 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
УРАВНЕНИЯ
22 РАЗДЕЛ 9. РЯДЫ 26 РАЗДЕЛ 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ВВЕДЕНИЕ
«Элементарная» и «высшая математика». Математика и действительность.Место математики в системе общеинженерной подготовки. Структура и задачи курса.
РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Тема 1.1 Определители и их свойства Определители второго и третьего порядков. Определитель n-го порядка.Свойства определителя.
Тема 1.2. Матрицы. Линейные операции над ними Матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Согласованные матрицы. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами. Обратная матрица. Определение, свойства, вычисление обратной матрицы.
Тема 1.3. Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Решение системы, совместная и несовместная системы. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Матричный метод решения системы линейных уравнений.. Формулы Крамера.
Исследование решений произвольных систем линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений. методом Гаусса.
Тема 1.4. Элементы векторной алгебры Векторы. Длина вектора, нулевой и единичный векторы. Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство двух векторов. Линейные операции над векторами. Базис векторов. Координаты вектора в базисе. Базисы на плоскости и в пространстве. Ортонормированный базис (на плоскости и в пространстве).
Проекция вектора на вектор. Геометрический смысл координат вектора.
Линейные операции над векторами в координатах. Условие коллинеарности двух векторов. Координаты середины отрезка. Скалярное произведение векторов. Свойства. Ориентация тройки некомпланарных векторов в трехмерном пространстве. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Определение.
Свойства. смешанного произведения.
Тема 1.5. Прямая на плоскости Уравнения линий на плоскости. Прямая на плоскости. Основные виды уравнения прямой на плоскости: по точке и нормали; общее; параметрические;
канонические. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Тема 1.6. Прямая и плоскость в пространстве Уравнения поверхностей в пространстве. Плоскость в пространстве. Основные виды уравнения плоскости в пространстве: по точке и нормали; общее.
Расстояние от точки до плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Уравнения линий в пространстве. Уравнения прямой в пространстве: общее; параметрические; канонические. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве Тема 1.7. Кривые второго порядка Кривые 2-го порядка. Окружность, эллипс, гипербола и парабола, заданные каноническими уравнениями, их основные параметры. Уравнения кривых 2-го порядка, полученных параллельным переносом и поворотом на прямой угол.
Уравнения поверхности в пространстве. Канонические уравнения невырожденных поверхностей второго порядка. Примеры кривых и поверхностей второго порядка в механике.
РАЗДЕЛ 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Тема 2.1. Числовая последовательность и ее предел Множества. Способы задания множества. Подмножества. Операции над множествами. Числовые последовательности, способы их задания. Предел числовой последовательности.Тема 2.2. Предел функции. Непрерывность.
Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечные пределы. Свойства предела функции. Вычисление предела рациональной функции (в конечной точке и на бесконечности). Вычисление предела иррациональной функции.
Первый и второй замечательные пределы, следствия из них. Непрерывные функции. Непрерывность в точке. Непрерывность слева и справа.
Непрерывность на числовом промежутке. Точки разрыва функции 1-го и 2-го рода. Теорема о непрерывности функции в точке.
РАЗДЕЛ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
Тема 3.1. Производная функции Производная функции. Таблица производных. Свойства производных Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Угол между кривыми на плоскости. Механический смысл производной.Тема 3.2. Исследование функций при помощи производных Применение производной для исследования функции. Исследование функций на монотонность. Исследование функций на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Исследование функции с помощью 1-й и 2-й производных. Асимптоты. Вертикальные, наклонные. Полное исследование функции и построения её графика. Пример на полное исследование функции и построения графика. Применение производной для вычисления пределов.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей различных типов.
Дифференциал функции, определение, геометрический смысл. Применение дифференциала для приближённого вычисления значений функции.
РАЗДЕЛ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
МНОГОЧЛЕНЫ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
Комплексные числа. Арифметические операции над комплексными числами.Тригонометрическая форма комплексного числа. Многочлены с действительными коэффициентами. Операции над многочленами. Корни многочлена. Разложение действительных многочленов на множители.
Рациональные функции. Разложение рациональной функции в виде суммы многочлена и простейших дробей методом неопределённых коэффициентов.
РАЗДЕЛ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 5.1. Неопределенный интеграл Первообразная. Свойства первообразной. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Непосредственное вычисление. Вычисление НИ с помощью подстановки. Вычисление НИ методом “по частям”. Интегралы от простейших рациональных функций.Интегрирование произвольных рациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональных выражений.
Тема 5.2. Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определенного интеграла. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона - Лейбница. Методы вычисления определённого интеграла.
Непосредственное вычисление. Теорема о замене переменных в определённом интеграле. Интегрирование по частям. Приложения определённого интеграла.
Вычисление в прямоугольных координатах площади плоской фигуры и длины плоской кривой, объёма и площади поверхности фигур вращения. Вычисление в параметрической форме длины плоской и пространственной кривой.
Несобственные интегралы. Определение несобственных интегралов I и II рода.
Вычисление несобственных интегралов.
РАЗДЕЛ 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Линии уровня функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных. Геометрический смысл частных производных. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в пространстве.Дифференциал функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление приближённых значений функции с помощью дифференциала. Точки экстремума и экстремумы функции двух переменных.
Теорема о необходимом условии точек экстремума и её геометрический смысл.
Теорема о достаточном условии экстремума. Исследование функции на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на замкнутой области.
РАЗДЕЛ 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах.По вторные интегралы первого и второго типа. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты. Запись областей на плоскости в полярных координатах.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойного интеграла.
РАЗДЕЛ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения. Определение дифференциального уравнения nго порядка. Решение, общее решение, частного решение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Интегральная кривая. Геометрическая интерпретация задачи Коши.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, Д.у. Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков.
Структура общего решения. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации решения неоднородных ЛДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Примеры решения задач прикладного характера с помощью дифференциальных уравнений.
Тема 9.1. Числовые ряды Определение числового ряда. Сходимость. Сумма ряда. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Необходимое условие сходимости. Признаки сравнения.
Умножение ряда на число, сложение и вычитание рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядах.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Тема 9.2. Функциональные ряды Определение функционального ряда, его области сходимости. Сумма сходящегося функционального ряда. Степенные ряды. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Ряд Тейлора.
Теорема о сходимости ряда Тейлора. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций. f ( x) = e x, f ( x) = sin x. Ряды Маклорена функций cos x, ln ( x + 1), arctg x, (1 + x). Разложение в ряд Маклорена произвольных элементарных функций. Применение рядов Тейлора для вычиления приближённых значений функции. Теорема об интегрировании степенных рядов и применение её для вычисления определенных интегралов.
РАЗДЕЛ 10. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предмет теории вероятностей. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки. Некоторые комбинаторные формулы. Примеры.Пространство элементарных событий. Случайные события. Классическое определение вероятности события. Операции над событиями. Алгебра событий.
Аксиоматическое построение вероятности. Основные свойства вероятности.
Геометрическое определение вероятности. Совместные и несовместные события. Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия теорем сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Формула Бернулли. Схема Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальныные и центральные теоретические моменты. Свойства числовых характеристик. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.
Функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины, её свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Вероятность попадания в заданный интервал. Классификация случайных величин. Биноминальное и геометрическое распределения, распределение Пуассона, их числовые характеристики. Типовые задачи, в которых возникают эти величины. Равномерное и показательное распределения, нормальный закон распределения. Числовые характеристики указанных распределений. Типовые задачи, в которых возникают эти величины. Двумерные случайные величины.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины. Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Условные законы распределения. Коэффициент корреляции двумерной случайной величины.
РАЗДЕЛ 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.Репрезентативная выборка. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения. Несмещённые, эффективные и состоятельные оценки. Точечные оценки. Генеральная средняя.
Выборочная средняя. Выборочная дисперсия. Несмещённая исправленная выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение.
Интервальные оценки параметров распределения. Доверительные интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения (при известном и неизвестном ). Элементы теории корреляции. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Нахождение параметров линейной корреляционной зависимости. Коэффициент корреляции. Понятие о нелинейной корреляции.
4. ИНФОРМАЦИОННАЯ (ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ)
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Определители второго и третьего порядков. Определитель n-го порядка.2. Матрицы. Линейные операции над матрицами, умножение матриц.
3. Обратная матрица. Определение, свойства, вычисление обратной матрицы.
4. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
5. Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора в базисе.
Проекция вектора на вектор. Геометрический смысл координат вектора.
Линейные операции над векторами в координатах.
6. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их приложения.
7. Уравнения линий на плоскости. Прямая на плоскости.
8. Плоскость и прямая в пространстве.
9. Кривые второго порядка.
10. Пределы последовательностей и функций.
11. Замечательные пределы.
12. Исследование функций на непрерывность.
13. Производная, ее геометрический и механический смысл.
14. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Угол между кривыми на плоскости.
15. Производные высших порядков.
16. Применение производной для исследование поведения функции и построение ее графика.
17. Дифференциал функции, определение, геометрический смысл. Применение дифференциала для приближённого вычисления значений функции.
18. Применение производной для вычисления пределов. Правило Лопиталя.
19. Комплексные числа и операции над ними.
20. Многочлены с действительными коэффициентами. Корень многочлена.
Разложение действительных многочленов на множители.
21. Рациональные функции. Запись рациональной функции в виде суммы многочлена и простейших дробей.
22. Методы вычисления неопределенного интеграла.
23. Интегрирование рациональных функций.
24. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
25. Интегрирование тригонометрических выражений.
26. Определенный интеграл и методы его вычисления.
27. Приложения определенного интеграла.
28. Несобственные интегралы.
29. Функции нескольких переменных. Область определения функции двух переменных, график функции, линии уровня.
30. Частные производные функции многих переменных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности в пространстве.
31. Дифференциал функции двух переменных. Вычисление приближённых значений функции с помощью дифференциала.
32. Экстремумы функции многих переменных.
33. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных на замкнутой области.
34. Двойные интегралы и их вычисление.
35. Приложения двойных интегралов.
36. Дифференциальные уравнения первого порядка.
37. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
38. Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков.
39. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.
40. Знакопеременные ряды.
41. Функциональные и степенные ряды.
42. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.
43. Применение степенных рядов для приближенных вычмслений.
44. Элементы комбинаторики.
45. Случайные события. Классическое и геометрическое определения вероятности события.
46. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
47. Следствия теорем сложения и умножения. Формула полной вероятности.
Формула Байеса. Формула Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
48. Дискретные случайные величины.
49. Непрерывные случайные величины.
50. Основные типы распределений: биноминальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, показательное. Нормальное распределение.
51. Двумерные дискретные случайные величины. Законы распределения.
Коэффициент корреляции.
52. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма.
53. Точечные оценки параметров распределения.
54. Интервальные оценки параметров распределения.
55. Элементы теории корреляции. Нахождение параметров линейной корреляционной зависимости. Коэффициент корреляции.
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Предел.Непрерывность функций. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
2. Дифференциальные уравнения. Ряды.
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Векторы. Прямая на плоскости.11. Определённый интеграл. Функции двух переменных.
ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1. – М.:Наука, 1985.–456с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 2. – М.:
Наука, 1985.–576с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.:Наука,1980.–432с.
4. Ильин В.А. Позняк В.Г. Линейная алгебра.– М.:Наука,1984.–296с.
5. Гурский Е.И., В.В.Ершова. Основы линейной алгебры и аналитическая геометрия. – Мн. Выш.шк., 1978.–318с.
6. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.:Наука,1980.–336с.
7. Жевняк Р.М. Карпук А.А. Высшая математика. Часть I,II,III,IV,V, Мн., Выш. шк.,1984г.
8. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.Т.1-3.–Мн. Выш.шк.,1988.
9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.– М.:Наука,1984.– 10. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике:Учеб.пособие.
В 3 частях/Под ред. Рябушко.–Мн.:Выш. шк., Ч.1,1990.–270с., Ч.2,1991.– 352с., Ч.3,1991.–288с.
11. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.– М.:Наука,1985.
12. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты). – М.:Высш. шк.,1983.–112с.
13. Трубников Ю.В. Методические указания к разделу курса высшей математики. «Дифференциальные уравнения в теории колебаний». /УО «ВГТУ». г. Витебск, 1996.
14. Станкевич Е.М., Ринейский И.Н. Методические указания к разделу курса высшей математики. Ряды. /УО «ВГТУ». г. Витебск, 1997.
15. Станкевич Е.М., Ринейский И.Н. Методические указания. Ряды Фурье.
/УО «ВГТУ». г. Витебск, 1998.
16. Денисов В.С., Садовников Е.Г. Методические указания и контрольные задания. Составление дифференциальных уравнений задач прикладного характера и их решение. /УО «ВГТУ». г. Витебск, 1999.–30с.
17. Мисурагина А.Я., Трубникова Н.Е. Методические указания и контрольные задания. Дифференциальные уравнения Часть I. /УО «ВГТУ». г. Витебск, 2000.–30с.
18. Коваленко А.В., Дмитриев А.П., Завацкий Ю.А. Методические указания и контрольные задания. Применение дифференциальных уравнений при решении задач механики и физики. Часть1, 2. /УО «ВГТУ». г. Витебск, 2001.–30с.
19. Муранов Ю.В., Иванков П.Л., Рубаник О.Е. Методические указания по курсу линейного программирования /УО «ВГТУ». г. Витебск, 2002.–40с.
20. СиливончикВ.В. Высшая математика. «Введение в теорию комплексных чисел, комплексных функций». /УО «ВГТУ». г. Витебск, 2005.–24с.
21. Дмитриев А.П., Белезяк Ю.В. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания «Кривые второго порядка». /УО «ВГТУ».
г. Витебск, 2005.–34с.
22. Джежора А.А., Дунина Е.Б. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания «Функции комплексного переменного в решении прикладных задач» /УО «ВГТУ». г. Витебск, 2005.–11с.
23. Статковский Н.С., Трубникова Н.Е., Мисурагина А.Я. Высшая математика. Методические указания к практическим занятиям. Пределы.
Производные и их приложения. /УО «ВГТУ». г. Витебск, 2005.40с.
24. Статковский В.Н., Трубникова Н.Е., Мисурагина А.Я., Никонова Т.В.
Кратные интегралы. Методические указания и контрольные задания для студентов дневной и заочной формы обучения (срок 4 г). /УО «ВГТУ». г.
Витебск, 2007.–48с.
«