[ АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру
по специальности 01.01.01
«Вещественный, комплексный и
функциональный анализ»
Издательство Белгородского университета кооперации, экономики и права 2012 Раздел 3. Функциональный анализ
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 3.1. Метрические и топологические Введение…………………………………………. пространства…………………………………….. Раздел 1. Теория функций действительного пеТема 3.2. Нормированные и топологические ременного линейные пространства…………………………. Тема 1.1. Мера, измеримые функции, Тема 3.3. Линейные функционалы и линейные интеграл…………………………………………. операторы………………………………………... Тема 1.2. Неопределенный интеграл Лебега.Тема 3.4. Гильбертовы пространства. СпекТеория дифференцирования……………………. тральная теория самосопряженных оператоТема 1.3. Пространства суммируемых ров………………………………………………… функций………………………………………….. Тема 3.5. Обобщенные функции……………….. Тема 1.4. Тригонометрические ряды.
Рекомендуемая литература Преобразование Фурье…………………………. Тема 1.5. Дифференцируемые многообразия и дифференциальные формы…………………… Раздел 2. Теория функций комплексного переменного Тема 2.1. Интегральные представления аналитических функций………………………… Тема 2.2. Ряды аналитических функций.
Особые точки. Вычеты…………………………. Тема 2.3. Целые и мероморфные функции……. Тема 2.4. Конформные отображения…………... Тема 2.5. Аналитическое продолжение………...
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ВВЕДЕНИЕ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Основная задача аспирантуры – подготовка Тема 1.1. Мера, измеримые функции, интеграл научных и научно-педагогических кадров высшей квалификации математического профиля. Целями Аддитивность и счетная аддитивность меры.подготовки аспиранта являются:
Лебегово продолжение меры. Измеримые функции.
- формирование навыков самостоятельной наСходимость по мере и почти всюду. Теоремы Егороучно-исследовательской и педагогической деятельва и Лузина. Интеграл Лебега. Предельный переход ности;
под знаком интеграла. Сравнение с интегралом Риуглубленное изучение теоретических и метомана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини.
дологических основ математических наук;
- совершенствование знаний иностранного Тема 1.2. Неопределенный интеграл Лебега.
языка, в том числе для использования в профессиоТеория дифференцирования нальной деятельности.
Данная программа предназначена для сдачи Производная неопределенного интеграла Лебевступительного экзамена по специальности 01.01. га. Восстановление функции по ее производной. АбВещественный, комплексный и функциональный солютно непрерывные функции. Интеграл Лебега анализ». Она включает три раздела: «Теория функкак функция множества. Теорема Радона-Никодима.
ций действительного переменного», «Теория функИнтеграл Стилтьеса.
ций комплексного переменного», «Функциональный анализ».
Тема 1.3. Пространства суммируемых функций Прием экзамена по специальности 01.01. «Вещественный, комплексный и функциональный Пространства Lр. Ортогональные системы анализ» проводится по экзаменационным билетам, составленным на основании данной программы. функций в L 2. Ряды по ортогональным системам.
Темы рефератов определятся соискателями и утверждаются на кафедре.
Предполагается, что экзаменующийся владеет общим курсом математического анализа в объеме университетской программы.
двойственности. Изолированные особые точки (одТема 1.4. Тригонометрические ряды.
нозначного характера). Вычеты, теорема Коши о выПреобразование Фурье четах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Рунге о Условия сходимости ряда Фурье. преобразовапродолжении аналитических функций многочленание Фурье в пространствах L 1 и L 2. преобразование ми.
Лапласа. Преобразование Фурье-Стилтьеса.
Тема 2.3. Целые и мероморфные функции Тема 1.5. Дифференцируемые многообразия и дифференциальные формы Вейерштрасса о целых функциях с заданными нуляДифференцируемые многообразия. Дифференми; разложение конечной функции в конечное проциальные формы Стокса.
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Тема 2.1. Интегральные представления Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максиобласти. Критерии однолистности. Теорема Римана.мума модуля. Лемма Шварца. Интеграл Коши. ФорТеоремы о соответствии границ при конформных мулы Соходского.
Тема 2.2. Ряды аналитических функций.
функций; теорема Вейерштрасса. Разложение аналиримановой поверхности. Продолжение вдоль кривой.
тических функций в ряды Тейлора, Лорана, неравенТеорема о монодромии. Изолированные особые точство Коши. Нули аналитических функций. Теорема ного и бесконечного порядка. Принцип симметрии.
Модулярная функция. Нормальные семейства, криТема 3.4. Гильбертовы пространства.
терий нормальности. Теорема Пикара.
РАЗДЕЛ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Сходимость. Полнота и пополнение метриче- Тема 3.5. Обобщенные функции ского пространства. Сепарабельность. Принцип сжимающих отображений. Компактность в метриче- Основные и обобщенные функции. Дифференских и топологических пространствах. цирование обобщенных функций. Прямое произведение и свертка обобщенных функций. Обобщенные Тема 3.2. Нормированные и топологические функции медленного роста. Преобразование Фурье Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, теорема Хана-Банаха.Нормированные пространства. Топологические линейные пространства.
Тема 3.3. Линейные функционалы и линейные Непрерывные линейные функционалы. Общий вид линейных функционалов в основных функциональных пространствах. Сопряженное пространство.
Слабая топология и слабая сходимость. Линейные операторы. Пространство линейных ограниченных
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Берман А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. – СПб.: Лань,2010. – 736с.2. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ: введение в анализ и дифференциальное исчисление: Учебное пособие для вузов. – Минск:
Высшая школа, 2008. – 319 с.
3. Привалов И.И. Введение в комплексный анализ: Учебник. - СПб.: Лань, 2009. – 205 с.
4. Рудин У. Функциональный анализ: Учебник для вузов. Изд. 2-е, испр., доп. – Лань, 2009. – 540 с.
5. Треногин В.А. Функциональный анализ:
Учебник. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 488 с.
«