Географический факультет

факультет (институт)

кафедра

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Методы оптимизации в экологии и природопользовании

наименование дисциплины по учебному плану

Б2.В.ОД.3 Код дисциплины по учебному плану Для студентов направления Направление 022000.62 «Экология и природопользование»

Профиль «Природопользование»

код и наименование специальности г. Иркутск

1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

1.1. Обеспечиваемые компетенции:

ПК-1: обладать базовыми знаниями в области фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для владения математическим аппаратом экологических наук, для обработки информации и анализа данных по экологии и природопользованию;

ПК-4: иметь базовые общепрофессиональные (общеэкологические) представления о теоретических основах общей экологии, геоэкологии, экологии человека, социальной экологии, охраны окружающей среды;

ПК-6: знать основы природопользования, экономики природопользования, устойчивого развития, оценки воздействия на окружающую среду, правовых основ природопользования и охраны окружающей среды, быть способным понимать, излагать, и критически анализировать базовую информации в области экологии и природопользования;

ПК-7: знать теоретические основы экологического мониторинга, нормирования и снижения загрязнения окружающей среды, техногенных систем и экологического риска; обладать способностью к использованию теоретических знаний в практической деятельности;

ПК-9: владеть методами прикладной экологии, экологического картографирования, экологической экспертизы и мониторинга, владеть методами обработки, анализа и синтеза полевой и лабораторной экологической информации и использовать теоретические знания на практике.

1.2. Цель Сформировать основы знаний по оптимизации различных сфер экологии и природопользования;

научить составлять математические модели задач оптимизации в природопользовании и экологии и решать эти задачи известными математическими методами, а также с помощью программы Microsoft Excel.

1.3. Задачи • уметь строить линейные математические модели простейших задач экологии и природопользования • знать простейшие математические методы решения этих задач (графический, симплексметод, метод потенциалов) • понимать значения «теневых цен» и других аспектов теории двойственности • уметь интерпретировать математическое решение в терминах исходной задачи природопользования • уметь проводить пост-оптимальный анализ решения • иметь навыки решения линейных оптимизационных задач с помощью программы Microsoft Excel • иметь понятие о матричных, биматричных играх, играх n лиц, бескоалиционных и кооперативных играх • уметь представлять различные природопользовательские и экологические конфликты в виде теоретико-игровых моделей и анализировать их как таковые • знать простейшие математические методы решения таких задач (аналитический и графоаналитический метод, переход к эквивалентной игре, правило дополняющей нежесткости, отбрасывание доминируемых стратегий, сведение к задачам линейного программирования, правила нахождения С-ядра и вектора Шепли) 1.4. Место дисциплины в процессе подготовки бакалавра Освоение программы требует от студентов определенных знаний линейной алгебры и теории матриц (операции с векторами и матрицами, линейная зависимость и независимость векторов, ранг матриц, системы линейных алгебраических уравнений, скалярное произведение), поэтому дисциплину можно изучать только после изучения общего курса математики. Кроме того, необходимы определенные знания теории вероятности (случайные события, теоремы сложения и умножения вероятностей, математическое ожидание случайной величины). Поэтому изучение курса целесообразно проводить после хотя бы частичного освоения базового курса по теории вероятности. Наконец, использование встроенного решателя Поиск решения программы Microsoft Excel требует элементарных навыков работы с этой программой из курса информатики.

Теоретической основой курса «Методы оптимизации в природопользовании» являются курсы математического и естественно-научного цикла – «Математика», «Информатика».

2.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ

для студентов очного отделения Общая трудоемкость дисциплины составляет 2зачетных ед., 80часов * Самостоятельная Аудиторные занятия Всего работа студентов № Тема,раздел часов Вид лекции семин. лабор. СРС КСР КСР Часть 1. Линейные оптимизационные задачи Раздел 1. Математические постановки задач линейного программирования.

Примеры линейных экологоматематических моделей.

Раздел 2. Исследование двумерного Раздел 3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Раздел 4. Двойственные задачи линейного программирования.

Раздел 5. Пост-оптимальный анализ программирования.

Раздел 6. Транспортные задачи природопользовании.

Раздел 7. Раскройные задачи природопользовании.

Раздел 8. Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel.

Часть 2. Теоретико-игровые модели принятия решения Раздел 2. Методы нахождения решения стратегиях.

Раздел 3. Игры n лиц в нормальной Раздел 4. Нахождение оптимальных смешанных стратегиях.

Раздел 6. Оптимальные исходы в кооперативных играх.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2зачетных ед., 72часов * оптимизационные задачи Раздел 1. Математические постановки задач линейного программирования.

Примеры линейных экологоматематических моделей.

Раздел 2. Исследование двумерного Раздел 3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Раздел 4. Двойственные задачи линейного программирования.

Раздел 5. Пост-оптимальный анализ программирования.

Раздел 6. Транспортные задачи природопользовании.

Раздел 7. Раскройные задачи природопользовании.

Раздел 8. Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel.

Часть 2. Теоретико-игровые модели принятия решения Раздел 2. Методы нахождения решения стратегиях.

Раздел 3. Игры n лиц в нормальной Раздел 4. Нахождение оптимальных смешанных стратегиях.

Раздел 6. Оптимальные исходы в кооперативных играх.

3.СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Введение. Предмет курса и его актуальность в наше время.

Часть 1. Линейные оптимизационные задачи Раздел 1. Математические постановки задач линейного программирования. Примеры линейных эколого-математических моделей. Терминология. Постановка задач линейного программирования. Задача о рационе кормления скота, задача о переработке нефти. Формы задач линейного программирования (общая, стандартная, каноническая). Преобразование задач линейного программирования из одной формы записи в другую. Эквивалентность форм.

Раздел 2. Исследование двумерного случая. Геометрический метод решения задач линейного программирования. Пост-оптимальный анализ для двумерного случая: изменение коэффициентов целевой функции, изменение правых частей ограничений, добавление нового ограничения.

Раздел 3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Базисные планы.

Описание и обоснование итерации симплекс-метода. Табличный симплекс-метод. Свойства симплекс-метода. Метод искусственного базиса. Двухфазный симплекс-метод.

Раздел 4. Двойственные задачи линейного программирования. Симметричная пара двойственных задач. Двойственность для канонической задачи линейного программирования.

Соотношения двойственности. Теоремы двойственности.

Раздел 5. Пост-оптимальный анализ решения задачи линейного программирования.

Параметрический анализ задач линейного программирования. Диапазоны устойчивости решения.

Экономическая интерпретация двойственных оценок.

Раздел 6. Транспортные задачи линейного программирования в природопользовании.

Транспортные задачи линейного программирования, возникающие в природопользовании.

Постановка транспортной задачи. Нахождение начального опорного плана методом северозападного угла. Транспортные таблицы. Метод потенциалов. Реализация метода потенциалов на языке транспортных таблиц.

Раздел 7. Раскройные задачи линейного программирования в природопользовании.

Построение математических моделей раскройных задач, возникающих в природопользовании, в виде задач линейного программирования.

Раздел 8. Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel. Использование средств Microsoft Excel для нахождения решения задачи линейного программирования и постоптимального анализа решения.

Часть 2. Теоретико-игровые модели принятия решения Раздел 1. Антагонистические игры. Антагонистическая игра как математическая модель принятия решения в условиях противоположности интересов. Матричные игры. Нижняя и верхняя цена игры. Устойчивое поведение и седловые точки. Теорема о связи седловой точки с ценой игры. Смешанное расширение матричной игры. Основные правила для функции выигрыша в смешанном расширении. Теорема фон Неймана и ее следствия. Задача – профилактика наводнения.

Раздел 2. Методы нахождения решения матричной игры в смешанных стратегиях.

Определение решения матричной игры. Правила, связанные с нахождением решения игры (переход к эквивалентной игре, правило дополняющей нежесткости, отбрасывание доминируемых стратегий). Аналитический и графоаналитический метод нахождения решения матричной игры. Нахождение решения матричной игры с помощью системы линейных неравенств. Сведение задачи нахождения решения матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования. Задача о планировании посева в неопределенных погодных условиях.

Раздел 3. Игры n лиц в нормальной форме. Игра n лиц как математическая модель совместного принятия решения в условиях несовпадения интересов. Бескоалиционные игры.

Задача – штраф за загрязнение окружающей среды. Принцип оптимальности в форме равновесия по Нэшу. Некоторые особенности равновесия по Нэшу. Теорема Нэша о реализуемости принципа равновесия в смешанных стратегиях. К-устойчивость. Формулировка условия Кустойчивости в рамках системного описания и на языке стратегий. Задача распределения ресурсов.

Раздел 4. Нахождение оптимальных решений биматричных игр в смешанных стратегиях.

Условия равновестности ситуации в смешанных стратегиях в биматричной игре. Описание множества ситуаций равновесия биматричной игры. Ситуации равновесия в биматричных играх формата (2х2). Кооперативный подход к анализу биматричной игры. Противоречие между выгодностью и устойчивостью.

Раздел 5. Кооперативные игры. Коалиции. Характеристическая функция игры лиц. Свойство супераддитивности. Эквивалентность кооперативных игр. Величина кооперативного эффекта коалиции. Существенные и несущественные игры. 0-1 редуцированная форма игры. Дележи.

Условия существенности и несущественности игры в терминах дележей.

Раздел 6. Оптимальные исходы в кооперативных играх. Отношение доминирования дележей и его простейшие свойства. С-ядро. Критерий принадлежности дележа к С-ядру. Вектор Шепли, его аксиоматическое обоснование и явное выражение. Вектор Шепли для простых игр. Задача о штрафе за загрязнение бассейна.

3.2 ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Моделирование линейных эколого-математических задач.

2. Геометрический метод решения задач линейного программирования в экологии и природопользовании.

3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

4. Решение задач линейного программирования, возникающих в экологии и природопользовании через двойственные задачи.

5. Пост-оптимальный анализ решения задачи линейного программирования.

Экономический смысл двойственных переменных.

6. Транспортные задачи линейного программирования в природопользовании.

7. Раскройные задачи линейного программирования в природопользовании.

8. Решение задач линейного программирования в Microsoft Excel.

9. Методы нахождения решения матричной игры в чистых стратегиях.

10. Методы нахождения решения матричной игры в смешанных стратегиях.

11. Методы нахождения решения игр n лиц в нормальной форме.

12. Методы нахождения решения биматричной игры в смешанных стратегиях.

13. Методы нахождения решения кооперативных игр.

3.3 ТЕМАТИКА ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Примерные самостоятельные практические задания.

Первые 5 заданий студенты выполняют аналитически. После этого, задания 2 и 3 решаются на компьютере средствами программы Microsoft Excel. Задание 7 является моделью теоретикоигровой ситуации. Студенты рассматривают ее аналитически.

Задание 1. Составить математическую модель задачи и решить ее геометрически.

Озеро можно заселить двумя видами рыб А и В. Средняя масса рыбы равна 2 кг для вида А и кг для вида В. В озере имеется два вида пищи: Р1 и Р2. Средние потребности одной рыбы вида А составляют 1 ед. корма Р1 и 3 ед. корма Р2 в день. Аналогично потребности для рыбы вида В составляют 2 ед. Р1 и 1 ед. Р2. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне не более ед. Р1 и 900 ед. Р2. Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?

Задание 2. Решить задачу симплекс-методом.

Перерабатывающее предприятие производит три типа изделий А, В, С, используя для этого два вида сырья R1, R2. Расход сырья на одно изделие, его запасы и цена реализации единицы продукции приведены в таблице Найти план выпуска продукции, максимизирующий суммарный доход.

Задание 3. Для задачи задания 2 найти границы изменения цены каждого изделия и запасов сырья, при которых сохраняется оптимальность плана или ассортимент выпуска.

Задание 4. Используя условия равновесия, найти решения следующей задачи Задание 5. Решить транспортную задачу Задание 6. Решить задачу задания 2 на компьютере средствами программы Microsoft Excel.

Найти границы изменения цены каждого изделия и запасов сырья, при которых сохраняется оптимальность плана или ассортимент выпуска.

Задание 7. Рассмотреть следующую теоретико-игровую ситуацию для определенного n.

В районе имеются n промышленных предприятий, каждое из которых является источником загрязнения атмосферы. Пусть xi – величина выброса для i-го предприятия. Концентрация вредных примесей может быть рассчитана по формуле q = сi xi, где с1, с2, …, сn – некоторые постоянные. За загрязнение окружающей среды каждое предприятие платит штраф, величина которого для i-го предприятия пропорциональна доле, которое оно «вкладывает» в показатель q.

Представить ситуацию как бескоалиционную игру n игроков. Найти величину штрафа для каждого предприятия. Как можно интерпретировать величины ci?

Пусть n=4, xi, сi указаны в таблице

3.4 ПРИМЕРНЫЙ СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ

1. Построение математических моделей для задач линейного программирования в экологии и природопользовании.

2. Умение занести эту модель в электронные таблицы Microsoft Excel и решить ее средствами Поиска решения.

3. Умение представить полученное решение в терминах поставленной задачи экологии или природопользования.

4. Интерпретация Отчета по устойчивости Microsoft Excel.

5. Экономический смысл двойственных переменных.

6. Диапазоны устойчивости решения при изменении коэффициентов целевой функции 7. Диапазоны устойчивости решения при изменении запасов ресурсов.

8. Раскройная задача линейного программирования в природопользовании.

9. Транспортная задача линейного программирования в природопользовании.

10. Умение решать раскройные задачи природопользования в Microsoft Excel и интерпретировать результаты.

11. Умение решать транспортные задачи, возникающие в природопользовании, в программе Microsoft Excel и интерпретировать результаты.

12. Интерпретация Отчета по устойчивости Microsoft Excel при решении транспортных задач, возникающих в природопользовании.

13. Антагонистическая игра как математическая модель принятия решения в условиях противоположности интересов. Антагонистическая игра с природой.

14. Матричные игры. Нижняя и верхняя цена игры. Устойчивое поведение и седловые точки.

Теорема о связи седловой точки с ценой игры.

15. Смешанное расширение матричной игры. Основные правила для функции выигрыша в смешанном расширении.

16. Теорема фон Неймана и ее следствия.

17. Определение решения матричной игры. Правила, связанные с нахождением решения игры (переход к эквивалентной игре, правило дополняющей нежесткости, отбрасывание доминируемых стратегий).

18. Аналитический и графоаналитический метод нахождения решения матричной игры.

19. Нахождение решения матричной игры с помощью системы линейных неравенств.

Сведение задачи нахождения решения матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования.

20. Умение представить игровую ситуацию как задачу линейного программирования, решить ее средствами Microsoft Excel и интерпретировать результаты в терминах исходной игровой ситуации.

21. Игра n лиц как математическая модель совместного принятия решения в условиях несовпадения интересов. Бескоалиционные игры. Задача – штраф за загрязнение окружающей среды.

22. Принцип оптимальности в форме равновесия по Нэшу. Некоторые особенности равновесия по Нэшу.

23. Условия равновестности ситуации в смешанных стратегиях в биматричной игре.

Описание множества ситуаций равновесия биматричной игры.

24. Ситуации равновесия в биматричных играх формата (2х2).

25. Кооперативный подход к анализу биматричной игры. Противоречие между выгодностью и устойчивостью.

4. ФОРМЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ:

Форма итоговой аттестации: зачет.

Промежуточный контроль состоит в проверке самостоятельных работ. До зачета студенты должны сделать 7 заданий самостоятельной работы в тетради, предложить одну свою задачу по природопользованию или экологии, которую можно представить как задачу линейного программирования или матричную игру, построить ее математическую модель и решить в Microsoft Excel с пост-оптимальным анализом задачи. На зачете студенты решают одно зачетное задание в Microsoft Excel с пост-оптимальным анализом в компьютерном классе.

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Интернет-источники nto.immpu.sgu.ru/sites/default/files/3/17007.pdf -- Математические модели принятия решений в экономике. Учебное пособие. В.В. Розен. Л.В. Бессонов.

http://math.isu.ru/ru/chairs/mo/seminars.html -- Аргучинцев А.В. Линейное программирование:

практикум / А.В.Аргучинцев, А.И.Беников. – Иркутск: Иркут. ун-т, 2011.– 74 с.

5.2. Оборудование Для проведения лабораторных занятий необходим компьютерный класс на 15-20 рабочих мест.

Каждое рабочее место должно быть оборудовано персональным компьютером с подключением к сети интернет и установленными Системными программными средствами:

- операционная система Windows 2000 и выше;

- антивирусные программы Dr. Web, Aidstest, Антивирус Касперского Прикладными программными системами общего назначения:

- Microsoft Excel (с надстройкой Поиск решения) 5.3.Материалы • Методические указания по самостоятельной работе для студентов.

• Методические указания по контролю за СРС для преподавателей.

• Материалы к лекциям и практическим занятиям.

6.1. Основная литература 1. Аргучинцев А.В. Линейное программирование: практикум / А.В.Аргучинцев, А.И.Беников. – Иркутск: Иркут. ун-т, 2011.– 74 с.

2. Стрекаловский А.С. Биматричные игры и билинейное программирование / А.С.

Стрекаловский, А.В. Орлов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 224 с.

6.2. Дополнительная литература 1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. М.: Высшая школа, 1993. - 336 с.

2. Ашманов С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. – М.: Наука, 1981.

3. Ашманов С.А. Теория оптимизации в задачах и упражнениях / С.А. Ашманов, А.В.

Тимохов. – М.: Наука, 1991.

4. Беников А.И. Линейное программирование / А.И. Беников. – Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 5. Заславский Ю.Л. Сборник задач по линейному программированию / Ю.Л. Заславский. – М.: Наука, 1969. – 256 с.

6. Карманов В.Г. Математическое программирование / В.Г. Карманов. – М.: Физматлит, 7. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. Учебное пособие / В.В. Розен. – М.: Книжные дом «Университет», Высшая школа, 2002.

8. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации / А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов, В.В. Федоров. – М.: Наука. 1986.