МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

в г. Анжеро-Судженске

Факультет информатики, экономики и математики

«УТВЕРЖДАЮ»

декан факультета информатики, экономики и математики К. Ю. Войтиков «31» января 2013 г.

Рабочая программа дисциплины

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем Профиль подготовки Информационные системы и базы данных Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная Анжеро-Судженск 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются:

Целями освоения дисциплины «Дискретная математика, математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках» являются:

– формирование базовых знаний по дискретной математике и математической логике для дальнейшего использования в других областях математического знания и компьютерных науках;

– формирование математической культуры; фундаментальная подготовка по основам профессиональных знаний;

– развитие исследовательских навыков и способности применять знания на практике.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Дисциплина «Дискретная математика» входит в базовую часть профессионального цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению подготовки «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».

Для освоения данной дисциплины обучающийся должен обладать физикоматематическими знаниями и умениями, полученными в курсе математики средней школы.

Курс «Дискретная математика, математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках» является базисным при изучении следующих дисциплин: «Математический анализ», «Логика», «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование».

Его усвоение помогает успешно ориентироваться в вопросах математики, способствует формированию у студентов умений и навыков грамотно оперировать и владеть основными определениями, формулами и фактами «Дискретной математики, математической логики и их приложений в информатике и компьютерных науках», формулировать и логически строго доказывать теоремы, знать элементы теории множеств, элементы математической логики.

Курс направлен на понимание самых общих вопросов «Дискретной математики, математической логики и их приложений в информатике и компьютерных науках», что дает возможность последующего использования их в смежных дисциплинах, которые могут пригодиться в практической работе. В процессе занятий у студентов формируются основы мышления, что способствует формированию общей исследовательской культуры при решении задач по предмету и при выполнении индивидуальных работ, что позволяет правильно описывать решение, точнее мыслить и точнее выражаться, обобщать результаты, представлять эти результаты в удобном для понимания виде. Кроме того, изучение курса способствует лучшему пониманию профессиональной литературы по дискретной математике, где часто используются элементарные понятия.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Освоение дисциплины способствует формированию следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций:

Код Формируемые Результат освоения дисциплины компетенции компетенции знать: основные формулы и факты дисОК-6 способность применять в научно-исследовательской и про- кретной математики;

уметь: разбираться в научной литературе фессиональной деятельности базовые знания в области фун- по математической логике и теории градаментальной и прикладной ма- фов;

владеть: навыками решения задач и остематики и естественных наук новной терминологией по дискретной математике.

знать: основные понятия и категории ПК-2 умение понять поставленную задачу дискретной математики;

уметь: решать задачи на основе типовых методик;

владеть: современными методиками 4. Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах) 4.1.1. Объем и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом В том числе:

В том числе:

4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах) трудоем- самостоятельную работу студен- щего контроля успеваемокость (в тов и трудоемкость (в часах) п/п дисциплины 2 Элементы комбинаторики 13 Булевы функции и формулы 15 Промежуточный контроль 4.2 Содержание дисциплины. Содержание разделов базового обязательного модуля дисциплины 1 Элементы теории мно- Множества и операции над ними. Декартово Основной результат жеств произведение множеств. Бинарные соответст- освоения данного мовия и операции над ними. Отображения. От- дуля дисциплины – 2 Элементы комбинаторики Правило суммы и произведения. Перестановки Основной результат без повторений. Перестановки с повторениями. освоения данного моРазмещения без повторений и с повторениями. дуля дисциплины – 3 Элементы логики Высказывания и логические операции над ни- Основной результат логических связок. Полные системы операций. ознакомление с элеНормальные формы. Совершенные нормаль- ментами математиченые формы. Тавтология и логические следоваской логики. Форминия.

4 Логика высказываний Операции над высказываниями. Алфавит логи- Основной результат 5 Интерпретации формул Интерпретации формул логики высказываний. Основной результат логики высказываний Истинностные значения и истинностные функ- освоения данного моции формул логики высказываний. Таблицы дуля дисциплины – 6 Тождественно истинные Тождественно истинные тождественно лож- Основной результат тождественно ложные ные формулы логики высказываний. Модели. освоения данного моформулы логики высказы- Выполнимые множества формул. Логическое дуля дисциплины – ваний следование. Логические следствия из посылок. формирование тождеПравильные и неправильные аргументы. Обзор ственно-истинных и 7 Понятие предиката Понятие предиката, операции, константы. Ло- Основной результат гические операции над предикатами и их тео- освоения данного моретико-множественный смысл. Сигнатура. дуля дисциплины – 10 Основы теории графов Начальные понятия о графах, их виды. Основ- Основной результат ные определения и примеры графов. Связные освоения данного мографы. Обходы графов. Раскраски. Планарные дуля дисциплины – 11 Основные определения и Граф. Матрица смежности. Степени вершин. Основной результат примеры графов Изоморфизм. Полные графы. Пути и циклы. освоения данного моПодграфы. Удаление вершин и ребер. Сумма дуля дисциплины – 12 Связные графы Маршруты и цепи. Связные графы. Метрика в Основной результат связном графе. Диаметр графа. Точки сочлене- освоения данного мония и мосты. Вершинная и реберная связность. дуля дисциплины – 13 Обходы графов Циклы. Эйлеровы графы. Алгоритм Флери. Основной результат 14 Раскраски Независимые множества и клики. Раскраски. Основной результат 15 Планарные графы Планарные графы. Многогранники и формула Основной результат 16 Алгоритмы дискретной Задачи дискретной оптимизации. Алгоритмы и Основной результат оптимизации их сложность. Примеры: остов минимального освоения данного мовеса (алгоритм Прима), кратчайшие пути, рюк- дуля дисциплины – 17 Потоки в сетях Орграфы и сети. Потоки. Максимальный по- Основной результат 18 Булевы векторы Булев куб. Сложение по модулю 2. Вес и мет- Основной результат 19 Булевы функции и форму- Булевы функции и их таблицы. Элементарные Основной результат лы функции. Суперпозиция. Формулы. Дизъюнк- освоения данного мотивные нормальные формы (ДНФ). Длина и дуля дисциплины – 20 Замкнутые классы буле- Замыкание. Замкнутые классы БФ. Полные и Основной результат вых функций предполные множества БФ. Неприводимые освоения данного момножества. Базисы. Самодвойственные функ- дуля дисциплины – 21 Коды и их свойства Проблемы передачи и защиты информации. Основной результат 22 Коды с исправлением Конечные поля. Линейные коды. Коды с про- Основной результат ошибок веркой на четность. Коды Хэмминга. Совер- освоения данного мошенные коды. Циклические коды. Коды Рида- дуля дисциплины – 4.2.2 Практические занятия № Наименование раздела 1 Элементы теории мно- Множества и операции над ними. Декарто- Основной результат жеств во произведение множеств. Бинарные со- освоения данного моответствия и операции над ними. Отобра- дуля дисциплины – 2 Элементы комбинато- Правило суммы и произведения. Переста- Основной результат рики новки без повторений. Перестановки с по- освоения данного мовторениями. Размещения без повторений и дуля дисциплины – с повторениями. Сочетания. Бином Нью- решение задач потона, его свойства. Треугольник Паскаля. комбинаторике. Формируемые компетенции: ОК-6, ПК-2, ПК- 3 Элементы логики Высказывания и логические операции над Основной результат Системы логических связок. Полные сис- ознакомление с элетемы операций. Нормальные формы. Со- ментами математичевершенные нормальные формы. Тавтоло- ской логики при регия и логические следования. шении заданий. Формируемые компетенции: ОК-6, ПК-2, ПК- 4 Логика высказываний Операции над высказываниями. Алфавит Основной результат 5 Интерпретации формул Интерпретации формул логики высказыва- Основной результат логики высказываний ний. Истинностные значения и истинност- освоения данного моные функции формул логики высказыва- дуля дисциплины – 6 Тождественно истинные Тождественно истинные тождественно Основной результат тождественно ложные ложные формулы логики высказываний. освоения данного моформулы логики выска- Модели. Выполнимые множества формул. дуля дисциплины – зываний Логическое следование. Логические след- решение задач с элествия из посылок. Правильные и непра- ментами комбинатовильные аргументы. Обзор всех следствий рики. Формируемые 7 Эквивалентные форму- Эквивалентные формулы. Основные экви- Основной результат лы валентности логики высказываний. Упро- освоения данного мощение формул логики высказываний. дуля дисциплины – 8 Понятие предиката Понятие предиката, операции, константы. Основной результат Логические операции над предикатами и освоения данного моих теоретико-множественный смысл. Сиг- дуля дисциплины – натура. Кванторы общности и существова- ознакомление с прения. Алфавит логики предикатов сигнату- дикатами на примерах 9 Истинностное значение Истинностное значение формул ЛП при Основной результат ЛП. Модели. Выполнимые множества нахождение истинностного значения форформул. Логическое следование.

10 Модели Тождественно истинные тождественно Основной результат ложные формулы ЛП. Модели. Выпол- освоения данного монимые множества формул. Логическое дуля дисциплины – Алгебра предикатов Основные понятия алгебры предикатов. Основной результат Логические операции над предикатами. освоения данного моКванторные операции над предикатами дуля дисциплины – Основы теории графов Начальные понятия о графах, их виды. Ос- Основной результат новные определения и примеры графов. освоения данного моСвязные графы. Обходы графов. Раскрас- дуля дисциплины – Основные определения Граф. Матрица смежности. Степени вер- Основной результат и примеры графов шин. Изоморфизм. Полные графы. Пути и освоения данного моциклы. Подграфы. Удаление вершин и ре- дуля дисциплины – Связные графы Маршруты и цепи. Связные графы. Метри- Основной результат ка в связном графе. Диаметр графа. Точки освоения данного мосочленения и мосты. Вершинная и ребер- дуля дисциплины – ная связность. Деревья и леса. Остовы. построение маршрутов графов. Формируемые компетенции:

Обходы графов Циклы. Эйлеровы графы. Алгоритм Флери. Основной результат Раскраски Независимые множества и клики. Раскрас- Основной результат ки. Хроматическое число, его оценки, точ- освоения данного моные и приближенные алгоритмы вычисле- дуля дисциплины – 17 Планарные графы Планарные графы. Многогранники и фор- Основной результат мула Эйлера. Теорема Штейница. Гомео- освоения данного моморфизмы. Критерий планарности. дуля дисциплины – 18 Алгоритмы дискретной Задачи дискретной оптимизации. Алго- Основной результат оптимизации ритмы и их сложность. Примеры: остов освоения данного моминимального веса (алгоритм Прима), дуля дисциплины – кратчайшие пути, рюкзак, задача комми- решение задач на алвояжера. Труднорешаемые задачи. Метод горитмы дискретной 19 Булевы функции и фор- Булевы функции и их таблицы. Элемен- Основной результат мулы тарные функции. Суперпозиция. Форму- освоения данного молы. Дизъюнктивные нормальные формы дуля дисциплины – (ДНФ). Длина и сложность. Минимальные знакомство с Булевыми функциями на прии кратчайшие ДНФ. Минимизация ДНФ.

20 Коды и их свойства Проблемы передачи и защиты информа- Основной результат 21 Коды с исправлением Конечные поля. Линейные коды. Коды с Основной результат ошибок проверкой на четность. Коды Хэмминга. освоения данного моСовершенные коды. Циклические коды. дуля дисциплины – 5. Образовательные технологии Формами организации учебного процесса по учебной дисциплине являются, прежде всего, лекции и практические занятия.

Лекции посвящены основным положениям теории. При изложении учебного материала лекторы используют как традиционные, так и нетрадиционные формы проведения лекций. В частности, используются такие формы, как:

– проблемные лекции;

– лекции-беседы;

– лекции-дискуссии;

– лекции с разбором конкретных ситуаций.

Практические занятия по учебной дисциплине проводятся с целью закрепления знаний, полученных студентами на лекциях и в ходе самостоятельной работы.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины Самостоятельная работа включает в себя:

– чтение и конспектирование рекомендованной литературы, – проработку учебного материала (по конспектам лекций, учебной и научной литературе), подготовку ответов на вопросы, предназначенных для самостоятельного изучения, доказательство отдельных утверждений, свойств;

– решение задач, предлагаемых студентам на лекциях и практических занятиях, – подготовку к практическим занятиям, контрольным работам, зачет.

Обязательным является выполнение индивидуальных домашних работ, которые оформляются в специально отведённой для этого тетради и систематически сдаются на проверку. Руководство и контроль самостоятельной работы студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.

Текущий контроль осуществляется в формах:

– опрос студентов;

– домашние работы;

– самостоятельная работа студентов на практических занятиях;

- контрольные работы.

Итоговый контроль:

–экзамен.

1. Доказать, что диаметр графа равен трем. (1 балл) 2. Доказать, что граф не планарный. (2 балла) 3. При каких значениях n существует связный (n, 15)-граф и при каких n он может быть эйлеровым, а при каких нет? (4 балла) 1. Доказать, что диаметр графа равен трем. (1 балл) 2. Доказать, что граф не планарный. (2 балла) 3. При каких значениях n существует связный (n, 21)-граф и при каких n он может быть эйлеровым, а при каких нет? (4 балла) 1. Составить истинностную таблицу формулы 2. Написать выводы в ИВ:

3. Пусть А ={a,b,c,d,e}. Опишите отношение на А, которое рефлексивно, но не является ни симметричным, ни транзитивным.

4. Сколько существует неизоморфных (5,7)-графов?

5. Нарисуйте граф порядка 6, который имеет гамильтонов цикл но не имеет эйлеров.

1. Составить истинностную таблицу формулы 3. Пусть А ={a,b,c,d,e}. Опишите отношение на А, которое симметрично, но не является ни рефлексивным, ни транзитивным.

4. Докажите, что в любом графе порядка > 1 есть две вершины одинаковой степени.

5. Нарисуйте граф порядка 6, который имеет эйлеров цикл но не имеет гамильтонов 1. Сколько различных четырехзначных чисел записывается цифрами из множества 0, 1, 3, 5.

2. Сколькими способами из коллектива в 25 человек можно выбрать 5 делегатов на профсоюзную конференцию?

3. Полный двудольный граф 3, 4 имеет ребер:

4. Граф с набором степеней вершин (2, 3, 2, 4, 3, 3) имеет ребер:

5. Хроматическое число полного графа K 5 равно:

6. Дерево, содержащее 5 вершин, имеет циклов:

7. Расстояние Хэмминга между векторами 00101 и 10110 равно:

8. Эйлеровым циклом в полном графе порядка 5 с вершинами 1,…,5 является:

а) 14235215432451; б) 12345241351; в) 12345241352; г) 4325145234.

9. Вставьте пропущенное слово. Число ребер, содержащих вершину x называется … этой вершины.

1. Сколько различных пятизначных чисел записывается цифрами из множества 0, 1, 3, 5, 7.

2. Сколькими способами из коллектива в 25 человек можно выбрать 7 делегатов на профсоюзную конференцию?

3. Полный граф K 5 имеет ребер:

4. Граф с набором степеней вершин (2, 3, 5, 4, 3) имеет ребер:

5. Хроматическое число полного графа 5,3 равно:

6. Дерево, содержащее 7 вершин, имеет циклов:

7. Расстояние Хэмминга между векторами 00101 и 11110 равно:

8. Совершенной ДНФ для булевой функции ( x1 + x 2 ) x3 является 9. Вставьте пропущенное слово. Цепь, в которой все вершины различны называется … 1. Какие из следующих предложений не являются высказываниями?

А) Треугольник ABC подобен треугольнику A`B`C`.

Б) Студент математического факультета КемГу.

В) Москва – столица СССР.

2. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга:

А) 20; б) 69; в) Функция f – четна, функция f – нечетна;

Г) Треугольник ABC прямоугольный, а ABC – тупоугольный.

3. Пусть высказывание A B истинно. Что можно сказать о логическом значении высказывания (¬A B ) А) Истинно; Б) Ложно 4. Существует ли три таких высказывания A, B и C, чтобы одновременно высказывание A B было истинным, высказывание A C и высказывание А) Не существует; б) Существует.

3. Указать область истинности предиката X+5=1.

4. Укажите, какие из следующих выражений являются формулами логики предикатов:

1. Множество. Способы задания множеств.

2. Понятие подмножества. Равные множества.

3. Объединение, пересечение, разность множеств.

4. Теорема о свойствах операций над множествах.

5. Декартово произведение множеств. Упорядоченная пара.

6. Теорема о свойствах декартова произведения множеств.

7. Бинарные соответствия. Область определения и множество значений бинарного соответствия.

8. Обратные соответствия и их свойства.

9. Свойства произведений бинарных соответствий.

10. Отображение. Инъективное и сюръективное отображение.

11. Бинарные отношения.

12. Рефлексивное бинарное отношение. Признак рефлексивности. Антирефлексивность.

13. Симметричное бинарное отношение. Признак симметричности. Антисимметричность и асимметричность.

14. Транзитивное бинарное отношение. Признак транзитивности.

15. Связное бинарное отношение. Признак связности.

16. Отношение эквивалентности. Теорема о свойствах классов эквивалентности.

17. Понятие разбиения множества. Фактор- множество. Теорема о фактор- множестве.

18. Теорема о методе математической индукции.

19. Правило суммы и произведения. Перестановки без повторений и с повторениями.

20. Размещения с повторениями и без повторений. Сочетания.

21. Схема для решения комбинаторных задач.

22. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

23. Свойства Бинома Ньютона.

24. Высказывания. Истинность и ложность высказывания.

25. Конъюнкция. Таблица истинности.

26. Дизъюнкция. Таблица истинности.

27. Импликация и эквиваленция. Таблицы истинности.

28. Понятие формулы в алгебре высказываний. Подформула.

29. Выполнимая формула.

30. Опровержимая формула.

31. Противоречивая формула.

32. Тавтология.

33. Понятие равносильности. Теорема об основных равносильностях.

34. Приведенная формула.

35. Понятие системы логических связок.

Полная система операций. Теорема о полных системах операций.

Нормальные формы (формулы).

Конъюнктивная и дизъюнктивная формула.

Критерий тождественно-истинной формулы.

Критерий тождественно-ложной формулы.

Совершенная конъюнктивная совершенная форма. Теорема о СКИФ.

Правило приведения формулы к СДНФ, Правило приведения формулы к СКНФ.

Тавтология. Признак тавтологии.

Признак логического следования.

Понятие формальной системы.

Исчисление высказываний. Синтаксис и аксиоматика исчисления.

Непротиворечивость, независимость и разрешимость ИВ.

Множество истинности предиката.

Логические операции над предикатами.

Кванторные операции над предикатами.

Граф. Матрица смежности. Степени вершин. Изоморфизм. Пути и циклы. Подграфы.

62. Маршруты и цепи. Связные графы. Метрика в связном графе. Диаметр графа. Точки сочленения и мосты. Вершинная и реберная связность. Деревья и леса. Остовы.

63. Циклы. Эйлеровы графы. Алгоритм Флери. Гамильтоновы графы.

64. Независимые множества и клики. Раскраски. Хроматическое число, его оценки, точные и приближенные алгоритмы вычисления.

65. Планарные графы. Многогранники и формула Эйлера. Теорема Штейница. Гомеоморфизмы. Критерий планарности.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература 1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 376 с.

2. Асеев Г.Г. Дискретная математика. - Ростов н/Д.: Феникс; Харьков: Торсинг, 2003. с. Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике: с упражнениями и контрольными работами. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 175 с.

3. Горбатов В.А. Дискретная математика. - М.: АСТ; Астрель, 2003. - 448 с. - 2 экз.

4. Иванов Б.Н. Дискретная математика: Алгоритмы и программы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 288 с.

5. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. - М.: Изд. центр "Академия", 2004. - 448 с.

6. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера. - СПб.: Лань, 2007. - 396 с.

7. Куликов В.В. Дискретная математика. - М.: РИОР, 2010. - 174 с.

8. Лавров И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Физматлит, 2003. - 256 с.

9. Москинова Г.И. Дискретная математика: математика для менеджера в примерах и упражнениях. - М.: Логос, 2007. - 239 с. - 3 экз.

10. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики. - М.: Изд-во МАИ, 1992. - 263 с.

11. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб.: Питер, 2001. с.

12. Харари Ф. Теория графов. - М.: УРСС, 2003. - 300 с.

13. Шапорев С.Д. Дискретная математика: курс лекций и практ. занятий. - СПб.: БХВПетербург, 2009. - 396 с.

14. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.: Высш. шк., 2001. - 384 с.

б) дополнительная литература 14. Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика. – М.:, 2003.

15. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.

16. Смирнов В.А, Маркин В.И., Новодворский А.Е., Смирнов А.В. Логика и компьютер: доказательство и его поиск (Курс логики и компьютерный практикум). - М.: Наука, 1996.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы 1) Образовательный математический сайт: http://www.exponenta.ru.

2) Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru.

3) http://elibrary.ru Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU. Крупнейший российский информационный портал в области науки, технологии, медицины и образования, содержащий рефераты и полные тексты более 12 млн научных статей и публикаций. На платформе eLIBRARY.RU доступны электронные версии более 1400 российских научнотехнических журналов, в том числе более 500 журналов в открытом доступе.

4) http://www.iqlib.ru/ Электронная библиотека IQlib образовательных и просветительских изданий. Образовательный ресурс, объединяющий в себе интернет-библиотеку и пользовательские сервисы для полноценной работы с библиотечными фондами. Свободный доступ к электронным учебникам, справочным и учебным пособиям. Аудитория электронной библиотеки IQlib – студенты, преподаватели учебных заведений, научные сотрудники и все те, кто хочет повысить свой уровень знаний.

5) http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm EqWorld – мир математических уравнений.

Учебно-образовательная физико-математическая библиотека. Электронная библиотека содержит DjVu- и PDF-файлы учебников, учебных пособий, сборников задач и упражнений, конспектов лекций, монографий, справочников и диссертаций по математике, механике и физике. Все материалы присланы авторами и читателями или взяты из Интернета. Основной фонд библиотеки составляют книги, издававшиеся тридцать и более лет назад.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Проекционное оборудования для демонстраций чертежей, рисунков, схем.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учётом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».

Автор: старший преподватель кафедры математики Сергеева С.А.

Рецензент Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики Протокол №6 от «31» января 2013 г.

Одобрено методической комиссией факультета информатики, экономики и математики Протокол №5 от «31» января 2013 г.