Министерство образования Московской области

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский государственный областной гуманитарный институт

«Утверждаю»

проректор по научной работе

Яковлева Э. Н.

«»2012 г.

ПРОГРАММА КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА

КЭ.А.З. по специальности 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) по научной специальности 01.01.02 Дифференциальные уравнения. Динамические системы и оптимальное управление Орехово-Зуево Кандидатский экзамен по дифференциальным уравнениям, динамическим системам и оптимальному управлению Научная специальность: 01.01.02 Дифференциальные уравнения. Динамические системы и оптимальное управление.

Курс: Трудоемкость в ЗЕТ:

Трудоемкость в часах:

Количество часов на самостоятельную работу:

Настоящая экзаменационная программа соответствует утвержденному паспорту научной специальности "Дифференциальные уравнения". В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, а также ряд отдельных вопросов функционального анализа и теории функциональных пространств.

Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова и Московского энергетического института (технического университета).

Кандидатский экзамен по специальной дисциплине – один из трех обязательных кандидатских экзаменов в основной профессиональной образовательной программе подготовки аспиранта. К экзамену аспиранты готовятся в ходе освоения обязательной дисциплины 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Цели экзамена:

Процедура экзамена и структура экзаменационных материалов:

Подготовка к экзамену должна осуществляться в соответствии с программой экзамена. Программа кандидатского экзамена объявляется не позднее, чем за полгода до проведения экзамена. В этот период проводятся обзорные лекции для аспирантов по вопросам программы экзамена.

На самом экзамене:

1. Каждый аспирант получает экзаменационный билет, содержащий два вопроса из разных разделов программы, и специальный бланк для ответа.

2. При подготовке к ответу аспиранты могут пользоваться программой экзамена. Использовать на экзамене другие источники информации и технические средства, не предусмотренные программой экзамена, не разрешается.

3. После 40 мин. – 1 часа подготовки студенты могут быть вызваны для ответа.

4. После ответа студента председатель и члены экзаменационной комиссии могут задавать дополнительные вопросы по содержанию билета.

5. Все вопросы экзаменационного билета и все дополнительные вопросы фиксируются в протоколе.

6. После того, как все аспиранты ответят, комиссия приступает к обсуждению ответов каждого аспиранта и выставлению оценок.

7. Оценка каждого студента заносится в протокол, который подписывается председателем и членами экзаменационной комиссии.

8. После заполнения всех протоколов, сдававшие экзамен студенты приглашаются в аудиторию, где им объявляются результаты экзамена. По просьбе студентов комиссия должна аргументировать свои оценки.

Примерные вопросы к экзамену:

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения.

3. Общая теория линейных уравнений и систем (область существования решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля—Остроградского, метод вариации постоянных и др.).

4. Автономные системы уравнений. Положения равновесия. Предельные циклы.

5. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия по первому приближению.

6. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем.

7. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина.

Представление решения краевой задачи.

8. Задача Штурма—Лиувилля для уравнения второго порядка. Свойства собственных 9. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант.

10. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори.

11. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.

Характеристики. Задача Коши. Теория Гамильтона—Якоби.

1. Системы уравнений с частными производными типа Ковалевской. Аналитические решения. Теория Коши—Ковалевской.

2. Классификация линейных уравнений второго порядка на плоскости.

Характеристики.

3. Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и др.) 4. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения.

Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.) 5. Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.) 6. Обобщенные функции. Свертка обобщенных функций, преобразование Фурье.

7. Пространства Соболева Wpm. Теоремы вложения, следы функций из Wpm на границе области.

8. Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка. Задачи на собственные функции и собственные значения.

9. Псевдодифференциальные операторы (определение, Основные свойства).

10. Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства.

11. Монотонные нелинейные эллиптические уравнения. Основные свойства.

12. Монотонные нелинейные параболические уравнения. Основные свойства.

Рекомендуемая литература для подготовки к экзамену:

1. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.:

Физматлит, 2000.

2. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 3. МихайЫов В.П. Дифференциальные ураанения в частных производнъх. М.: Наука, 4. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курA по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1995.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998(и последующие издания).

6. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г.

Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1963 (и последующие 7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953 (и последующие издания).

8. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.:

Физматлит., 1985.

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ, 1996.

3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Наука, 4. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения.

М.: Наука, 1985.

5. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.:

Наука, 1978 Вайнберг М..М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

а) основная литература 1. Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. - М.: Научный мир, 2010.

2. Благодатских, В.И. Введение в оптимальное управление. – М.: Высшая школа, 3. Иосида, К. Функциональный анализ.-М.:Мир, 2009.

б) дополнительная литература 1. Бенсусан А. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. /А. Бенсусан.

Ж.Л. Лионс. – М.: Наука, 2. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. –М.: Наука, 2000.

3. Лионс, Ж.-Л. Оптимальное управление системами системами, описываемыми уравнениями с частными производными/Ж.-Л. Лионс. – М.: Мир, 4. Плангиотополус, П. Неравенства в механике и их приложения. –М.: Мир, 2006.

6 Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. –М.: Наука, 1989.

в) интернет-ресурсы и электронные издания:

1. Электронная библиотека РФФИ – http://elibrary.ru/defaultx.asp 2. Электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета – www.lib.mexmat.ru/books/ 3. Новая электронная библиотека – www.newlibrary.ru 4. Российское образование (федеральный портал) – www.edu.ru 5. Нехудожественная библиотека – www.nehudlit.ru 6. Электронная библиотека издательства «Лань» – http://e.lanbook.com 7. Виртуальный читальный зал Электронной Библиотеки Диссертаций РГБ – http://www.diss.rsl.ru г) ведущие периодические издания:

1. «Прикладная математика и механика»

2. «Дифференциальные уравнения»

3. «Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН».

4. «Математические записки»

Авторы – составители программы кандидатского экзамена КЭ.А.З по Дифференциальным уравнениям. Динамическим системам и оптимальному управлению:

Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры математики и физики.

Протокол № от «_» 2012 г.

Заведующий кафедрой доктор педагогических наук, доцент