WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

УДК

ГРНТИ

Инв. №

УТВЕРЖДЕНО:

Исполнитель:

Факультет вычислительной математики и

кибернетики Московского государственного

университета имени М.В. Ломоносова

От имени Руководителя организации

/ Моисеев Е.И. /

М.П.

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ

ОТЧЕТ о выполнении 4 этапа Государственного контракта № 16.740.11.0570 от 30 мая 2011 г.

Исполнитель: Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова Программа (мероприятие): Федеральная целевая программа «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия № 1.3.1 Проведение научных исследований молодыми учеными кандидатами наук.

Проект: Свойства дискретных функций и операций над ними Руководитель проекта:

/Федорова Валентина Сергеевна (подпись) Москва 2012 г.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ

по Государственному контракту 16.740.11.0570 от 30 мая 2011 на выполнение поисковых научно-исследовательских работ для государственных нужд Организация-Исполнитель: Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Руководитель темы:

кандидат физико- Федорова В. С.

математических наук, без подпись, дата ученого звания Исполнители темы:

кандидат физико- Ларионов В. Б.

математических наук, без подпись, дата ученого звания Реферат Отчет 32 с., 1 ч., 1 рис., 0 табл., 10 источн., 2 прил.

Многозначная логика, дискретная функция, замкнутый класс, монотонность, частично упорядоченное множество, надструктура, предикат В отчете представлены результаты исследований, выполненных по 4 этапу Государственного контракта № 16.740.11.0570 "Свойства дискретных функций и операций над ними" (шифр "2011-1.3.1-111-001") от 30 мая по направлению "Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук в следующих областях:- математика; - механика" в рамках мероприятия 1.3.1 "Проведение научных исследований молодыми учеными - кандидатами наук.", мероприятия 1.3 "Проведение научных исследований молодыми учеными - кандидатами наук и целевыми аспирантами в научно-образовательных центрах", направления 1 "Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий."

федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы.

Цель работы - Получение результатов для полного описания надструктуры класса однородных функций многозначной логики, а также доказательство критерия наличия бесконечной надструктуры для специальных классов монотонных функций многозначной логики.

Методы теории множеств, теории графов, теории функций многозначной логики, соответствие Галуа между решетками функций и предикатов.

Персональный компьютер; операционная система Microsoft Windows; пакет офисных программ Microsoft Office; текстовый редактор TeXnicCenter и пакет программ MikTeX.

1. Полное описание надструктуры класса однородных функций многозначной логики.

2. Статья, содержащая результаты решения исследуемых задач, в высокорейтинговом российском или зарубежном журнале.

3. Доказательство критерия наличия бесконечной надструктуры для классов монотонных функций, сохраняющих частично упорядоченное множество специального вида.

4. Публикация в трудах научной конференции.

5. Научно-технический отчёт по четвертому этапу.

Содержание Содержание

1. Введение

2. Однородные функции и монотонные, сохраняющие частично упорядоченное множество специального вида

2.1. Надструктура класса однородных функций многозначной логики

2.2. Надструктура класса монотонных функций, сохраняющих частично упорядоченное множество специального вида

2.3. Публикации результатов НИР

3. Заключение

4. Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Теория дискретных управляющих систем занимает одно из важнейших мест в области знаний, исследования по которой в отечественной традиции относят к математической кибернетике, а в зарубежной – к theoretical computer science. Различные задачи, связанные с дискретными управляющими системами, играют важную роль как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач из разных областей знаний.

Исследования, проводимые в рамках работ по Государственному контракту, связаны с изучением неотъемлемой части теории дискретных управляющих систем – теории дискретных функций. В частности, проведенные в рамках четвертого этапа работ по Государственному контракту исследования касались теории функциональных систем, а точнее, проблем выразимости, классификации элементов и описания замкнутых классов функций.

На четвертом этапе Государственного контракта были выполнены работы по следующим направлениям, касающимся изучения строения фрагментов решетки замкнутых классов функций многозначной логики:

1. Исследовалась надструктура замкнутого класса однородных функций многозначной логики. Была доказана ее конечность и получено полное описание всех классов (и их взаимных включений), содержащих класс однородных функций. Также были изучены основные свойства надструктуры класса однородных функций многозначной логики.



2. Исследовалась надструктура классов монотонных функций многозначной максимальными элементами и одним минимальным элементом. Доказан критерий наличия бесконечной надструктуры для таких классов монотонных Кроме того, выполненные на четвертом этапе работы включали также следующие действия:

3. Подготовка научных статей к публикации: по результатам проведенных исследований опубликованы статьи в высокорейтинговом российском журнале 4. Подготовка настоящего научно-технического отчета.

Все перечисленные работы проводились в соответствии с составленным ранее планом проведения исследований, вошедшим в научно-технический отчет по итогам первого этапа. Подробное изложение результатов проведенных исследований содержится в основной части настоящего отчета.

2. Однородные функции и монотонные, сохраняющие частично упорядоченное множество специального вида 2.1. Надструктура класса однородных функций многозначной логики Одной из основных задач в теории функций многозначной логики является проблема выразимости функций: заданную k-значную функцию или класс функций требуется выразить, используя суперпозицию функций некоторого имеющегося множества. Указанную задачу, несколько уменьшив общность постановки, можно переформулировать в задачу описания всех замкнутых относительно операции суперпозиции классов функций k-значной логики, то есть таких классов, которые содержат любую функцию, представимую суперпозицией произвольных функций этого класса.

Яновым и Мучником в [1] было показано, что решетка замкнутых относительно операции суперпозиции классов функций k-значной логики для любого k 3 содержит континуальное число классов. В силу невозможности ее исчерпывающего описания представляется интересным изучение различных подмножеств этой решетки. В рамках третьего этапа данного Государственного контракта была описана структура всех классов, содержащих произвольный класс самодвойственных функций [2]. В рамках четвертого этапа с использованием схожей техники изучается надструктура класса однородных функций.

В качестве основного инструмента исследований по данной тематике был выбран предикатный подход, но также широко применялись теория Галуа, аппарат теории графов и элементы теории частичного порядка.

Введем необходимые определения и обозначения. Обозначим через Ek множество Функция f ( x1,, xn ) называется функцией k-значной логики ( k 2 ), если она определена на Ek и все ее значения принадлежат Ek.

Будем использовать следующие стандартные обозначения. Множество всех функций k-значной логики обозначим Pk. Для любого подмножества A из Pk через [A] будем обозначать замыкание относительно операции суперпозиции (для функций везде далее будет идти речь именно об этом типе замыкания). Множество всех замкнутых классов в k, упорядоченных по отношению включения, будем называть решеткой замкнутых классов k-значной логики.

Для данного класса A надструктурой будем называть множество классов, строго содержащих класс A.

Пусть на множестве Ek задана некоторая подстановка. Функция k-значной логики f ( x1,, xn ) называется самодвойственной относительно подстановки, если выполнено следующее тождество:

где через Известно [3], что множество всех функций из Pk, самодвойственных относительно, является замкнутым классом. Обозначим этот класс через S.

Замкнутый класс функций, равный пересечению всех классов самодвойственных функций, называется классом однородных функций. Будем обозначать указанный класс через S k.

Пусть p ( x1,, xm ) – некоторый предикат, определенный на Ek, f ( y1,, y n ) – функция из множества Pk. Будем говорить, что функция f ( y1,, y n ) сохраняет предикат p ( x1,, xm ), если для любых n наборов ai = (ai1,, aim ), i {1,, n }, удовлетворяющих предикату p, набор ( f (a11,, a n1 ),, f (a1m,, a nm ) ) также удовлетворяет предикату p. По определению будем считать, что тождественно ложный предикат сохраняет любая функция.

Обозначим через Pol ( p ) множество функций, сохраняющих предикат p. Для произвольного множества функций A через Inv A обозначим множество предикатов, каждый из которых сохраняет любая функция из A.

отождествление переменных, добавление квантора существования по какой-либо переменной (проекция). Для произвольного множества предикатов P через [P] будем обозначать замыкание относительно указанных операций. Подробное определение этих операций можно найти в [4] и [5].

Лемма 2 [6]. Пусть p = p1 & & pm, где предикаты p1,, pm не имеют общих переменных. Тогда Пусть A и B – произвольные непустые подмножества Ek одинаковой мощности.

Обозначим через FAB множество всех различных взаимно однозначных отображений множества A во множество B, а через Fk – объединение множеств FAB для всевозможных пар подмножеств A и B указанного вида. Для f FAB обозначим D f = A, T f = A B.

Для произвольного отображения f Fk обозначим через R f ( x1, x2 ) предикат, истинный на всех парах (a, f (a )), где a D( f ), и только на них.

Замкнутые классы функций S f = Pol ( R f ), где f Fk, будем называть классами квазисамодвойственных функций, а сами функции, входящие в указанные классы, – квазисамодвойственными функциями. Отметим, что согласно данному определению все классы самодвойственных функций [3] (в случае D f Ek, f – не тождественная подстановка), а также класс Pk (в случае D f Ek, f – тождественная подстановка на Ek ) являются классами квазисамодвойственных функций. Если f – тождественная подстановка на D f, где D f Ek, то S f – предполный центральный класс [6].

Зафиксируем некоторое число k 3. Пусть = { 1,, k !} – множество всех подстановок на Ek. Отметим, что Обозначим множество {R 1,, R k } через RS. Окончательно получаем S k = Pol RS.

Лемма 3. Для любого предиката p [ RS ] справедливо S k Pol p.

Доказательство. Пусть R = R 1 & R 2 & & R k !, где конъюнкция строится без отождествления переменных, 1,, – все подстановки на Ek. По лемме 2 справедливо Pol R = = S k. Заметим, что из предиката R подходящей проекцией переменных можно получить любой предикат R i, откуда RS [R ].

Получаем, что для любого предиката p [ RS ] справедливо p [R ], откуда из леммы 1 следует S k Pol p.

Лемма 4. Пусть замкнутый класс A содержит класс S k. Тогда для любого предиката p Inv A справедливо p [ RS ].

Доказательство. Снова рассмотрим предикат R из доказательства леммы 3.

Справедливо S k = Pol R A, откуда Inv A Inv Pol R (см. [4]). Обозначим через d ( x1, x2 ) предикат, являющийся двухместной диагональю (d ( a, b) = TRUE тогда и только тогда, когда a = b ). Отметим, что d [ R] ( d ( x1, x2 ) = Re ( x1, x2 ), где e – тождественная на Ek подстановка). С учетом сказанного из [4] следует Inv Pol R = [R ], откуда Inv A [R]. По построению предиката R справедливо R [ RS ].

Получаем, что для любого p Inv A справедливо p [ RS ].

f FAB, A k 1, содержит класс однородных функций.

Доказательство. Пусть класс квазисамодвойственных функций S f удовлетворяет условию леммы. Если S f является классом самодвойственных функций, утверждение леммы следует из определения класса однородных функций. Поэтому далее будем считать, что A < k 1.

Обозначим множество C = Ek \ A. Тогда | C | > 1. Пусть g – некоторая подстановка подстановку на множестве Ek, такую, что 1 (a ) = a, если a A, и 1 ( a) = g (a), если a C. Пусть – некоторая подстановка на множестве Ek, являющаяся доопределением отображения f.

Для завершения доказательства остается воспользоваться леммой 1.

Пусть предикат p реализуется над RS формулой F. Везде далее будем считать, что ориентированный граф G(F) по следующему правилу: между множеством вершин G(F) и множеством переменных F (учитываем и свободные, и связанные) существует взаимно однозначное соответствие. Вершину, соответствующую переменной x, пометим символом «x», если переменная x свободная, и « x », если связанная. Данную вершину для краткости изложения будем обозначать v x. В графе G(F) есть ориентированное ребро (v x, v y ) с пометкой « i », тогда и только тогда, когда в формуле F содержится запись Отметим, что по графу формулы G(F) формула F с вынесенными вперед кванторами существования восстанавливается однозначно.

Путем из вершины v1 в вершину v2 в ориентированном графе G будем называть любую последовательность ребер вида вершины и ребра в которой могут повторяться. Ориентация ребер указанной последовательности может быть любой. Замкнутым путем называется путь, в котором первая и последняя вершины совпадают.

Для произвольного пути S в графе определим величину L(S), являющуюся подстановкой на Ek и характеризующую указанный путь. Для пути, состоящего из одного ребра (v1, v2 ) с пометкой i, положим Для пути S = {( w1, w2 ), ( w2, w3 ),, ( wm 1, wm )} положим Непосредственно из определений графа формулы и величины L следует утверждение.

Лемма 6. Пусть предикат p реализуется над RS формулой F с графом G(F). Тогда для любого набора a, такого, что p (a ) = TRUE, и для двух произвольных вершин графа v y1, v y2, соединенных путем S, и таких, что переменные y1, y 2 приняли на наборе a значения b и c соответственно, справедливо c = (L(S))(b).

множество элементов a Ek, таких, что справедливо a = ( L( S ))(a ) для любого замкнутого пути S, проходящего через вершину v y.

Лемма 7. Пусть предикат p реализуется над RS формулой F с множеством свободных переменных {x1,, xn } и со связным графом G(F). Пусть между любыми двумя вершинами v xi, v x j в GF существует путь S ij, такой, что L( S ij ) = ij, i, j {1,, n }. Тогда справедливо:

Доказательство. Пусть набор некоторого i справедливо ai Txi. Это означает, что существует замкнутый путь S, проходящий через вершину v xi, такой, что L(S ) = и (ai ) ai. Получаем противоречие с леммой 6. Справедливость соотношения a j = ij (ai ) вытекает непосредственно из леммы 6.

Пусть теперь набор a таков, что перечисленные в лемме два условия выполнены.

Покажем, что p (a ) = TRUE.

Рассмотрим произвольную вершину v y графа G(F). Поскольку указанный граф связный, то существует путь S1 от вершины v xi до v y. Пусть L( S1 ) = 1. Присвоим переменной y значение b = 1 (ai ). Пусть S 2 – некоторый путь из v xi в v y, отличный от S1, и L( S 2 ) = 2.

Покажем, что b = 2 ( ai ), то есть найденное значение b не зависит от выбора пути.

Соединением путей S1 и S 2 можно получить замкнутый путь S 3, проходящий через 1 ( a) = 2 (a). В силу доказанного и второго условия леммы все переменные x j, j {1,, n } при данном присвоении примут значения a j.

Покажем, что на присвоенных значениях каждый сомножитель формулы F будет истинен, то есть p (a ) = TRUE. Предположим, что при проведенном выше присвоении переменные yl, y j приняли соответственно значения bl и b j. Это означает, что из вершины v xi существуют пути S, S до вершин v yl, v y j соответственно, при этом формулы F соответствует ребру (v yl, v y j ) графа G(F), L({(v yl, v y j )}) =. Соединением указанного ребра с путями S, S получим замкнутый путь S, проходящий через вершину или (bl ) = b j. Получаем, что R (bl, b j ) = TRUE.

Теорема. Надструктура класса однородных функций состоит только из классов квазисамодвойственных функций S f, где f FAB, A k 1, и их пересечений.

Доказательство. То, что указанные в формулировке теоремы классы входят в надструктуру класса однородных функций S, было доказано в лемме 5. Покажем далее, что никакие другие классы не содержатся в указанной надструктуре.

Рассмотрим некоторый класс A, содержащий S. Возьмем произвольный предикат p из множества Inv A. По лемме 4 выполняется p [ RS ]. Обозначим через F формулу, реализующую p над множеством RS, G ( F ) – ее граф. Рассмотрим вначале случай, когда G(F) связен.

Пусть x1,, xn – все свободные переменные формулы F. Поскольку граф G(F) связен, то существуют пути S 2,, S n от вершины v x2 до вершин v xn, соответственно.

Обозначим = L( S j ), A = Tx1. Отметим, что множество A не может быть мощности k – (поскольку никакая подстановка не может иметь в точности k – 1 неподвижный элемент).

Если местность n предиката p равна единице, то по лемме 7 получаем p (a ) = TRUE тогда и только тогда, когда a A. В этом случае Pol ( p ) либо совпадает с Pk (если A Ek ), либо является предполным центральным классом. При этом Pol ( p ) = Pol R f, где f – тождественное отображение множества A в себя, является классом квазисамодвойственных функций.

Пусть теперь n = 2. По лемме 7 получаем p( a, b) = TRUE тогда и только тогда, когда a A и b = 2 (a ). Получаем, что p = R f, где f – взаимно однозначное отображение, определенное на множестве A и совпадающее на нем с подстановкой 2, то есть Pol ( p ) – класс квазисамодвойственных функций.

Остается случай n > 2. Обозначим предикаты где i { 2,, n }. Получаем, что pi [ p ], откуда pi [ RS ]. Предикаты pi попадают в уже рассмотренный случай (граф формулы, реализующей pi, можно получить из графа GF перепомечиванием вершин, поэтому указанный граф будет связным), то есть классы Pol pi являются классами квазисамодвойственных функций. Рассмотрим предикат Пусть набор a таков, что p (a ) = TRUE. Получаем, что все pi (a1, ai ) = TRUE, откуда Отсюда имеем, что a1 A, ai = i (a1 ) для всех i { 2,, n }. По лемме 7 получаем, что p (a ) = TRUE. Окончательно имеем p = p.

Итак, мы получили представление отождествления переменных. Из последнего соотношения следует, что получается из t отождествлением переменных).

С другой стороны, из pi [ p ] следует, что t [ p ]. По лемме 1 получаем, что Pol p = Pol t. По лемме 2 класс Pol t, а значит, и Pol p, является пересечением классов Pol pi, то есть классов квазисамодвойственных функций.

Пусть теперь GF – несвязный граф. Каждая компонента связности GF очевидным образом задает свой предикат, для которого справедливы приведенные выше рассуждения. Предикат p является конъюнкцией (без отождествления переменных) указанных предикатов. Опять получаем [6], что Pol p – некоторое пересечение классов самодвойственных и квазисамодвойственных функций.

2.2. Надструктура класса монотонных функций, сохраняющих частично упорядоченное множество специального вида многозначной логики, сохраняющих частично упорядоченное множество с тремя максимальными элементами и одним минимальным элементом.

некоторое отношение частичного порядка r. Возьмем два произвольных набора a = (a1,, a n ) и b = (b1,, bn ) из n. Будем говорить, что a не превосходит b относительно частичного порядка r и записывать a r b, если для любого 1 i n справедливо неравенство ai r bi.

Функция f ( x1,, x n ) называется монотонной относительно частичного порядка Множество всех функций из k, монотонных относительно r, называется классом монотонных функций r.

Будем задавать частичный порядок r частично упорядоченным множеством (ЧУМ) Обозначим через Pol ( p ) множество функций, сохраняющих предикат p. Класс R ( x, y ) = TRUE x y [5]. Везде далее, когда будем писать, что монотонный класс задается предикатом R, подразумевается именно предикат R ( x, y ).

Одним из семейств предполных классов функций k-значной логики при k (везде далее рассматриваются только такие k) является некоторое подмножество всех классов монотонных функций [7]. Класс является предполным тогда и только тогда, когда ЧУМ H обладает в точности одним максимальным и одним минимальным элементом [8].

Одним из участников Государственного контракта ранее было доказано [9]–[10], что в случае, когда класс монотонных функций не является предполным, его надструктура (то есть множество содержащих его классов) может быть бесконечной. В рамках четвертого этапа Государственного контракта устанавливается критерий наличия бесконечной надструктуры для случая, когда ЧУМ H имеет в точности три максимальных элемента и один минимальный.

Обозначим через 1 и множества, изображенные на рисунке 1.

надструктуры.

Определим L как множество, состоящее из всех ЧУМ H, которые содержат подмножество 1, изображенное слева на рисунке 1. Причем в H не появляются пути из в 3 по вершинам, являющимся максимумами 1 и 2. Уточним это понятие: не существует последовательности элементов v1,, v m в L такой, что v1 = 0, v m = 3, vi сравнимо с vi + 1 ( i {1,, m 1} ) (то есть либо vi vi+ 1, либо vi + 1 vi ), все vi – максимумы 1 и 2.

Теорема 1. [10] В решетке замкнутых классов над классом монотонных функций, сохраняющих любое ЧУМ из определенного выше множества L, находится бесконечная цепочка вложенных друг в друга различных замкнутых классов.

С другой стороны, одним из участников Государственного контракта ранее были установлены достаточные условия наличия конечной надструктуры у класса.

Через Li, j будем обозначать множество ЧУМ, имеющих i максимальных элементов и j минимальных.

Рассмотрим произвольное ЧУМ H из элементов множества k, принадлежащее множеству Ls,1. Пусть h1,, hs – все максимальные элементы множества H. Пусть Wi – состоящее из элементов d таких, что d h j для любого j Wi и d / ht, если t Wi.

Для любых двух элементов b1, b2 выполнено b1 b2 тогда и только тогда, когда b1 b2 в H.

Множество Ls,1 назовем простым, если выполнены следующие условия:

2. Каждое множество имеет единственный максимальный элемент M Wi.

3. Если Wi W j, то M Wi M W j для любых подмножеств Wi, W j множества W.

Теорема 2. [10] Любой класс монотонных функций, сохраняющих простое ЧУМ, имеет конечную надструктуру.

удовлетворяющих достаточным условиям конечности или бесконечности, остается открытым. В рамках четвертого этапа Государственного контракта было показано, что ни одно, ни другое условие не являются необходимыми, а также описано новое семейство классов монотонных функций, обладающих бесконечной надструктурой.

составленных из элементов таких, что ЧУМ H содержит подмножество 2, изображенное справа на рисунке 1, причем во множестве H не появляется элемента a такого, что a меньше трех элементов 0, 1, 2 и больше элементов 6, 7; элементы 0, 1, являются максимальными в H, а элементы 3, 4, 5 – наибольшие из попарных минимумов максимальных элементов множества H.

тогда, когда для множества H справедливы условия теоремы 1 или Qk.

2.3. Публикации результатов НИР По результатам проведенных исследований опубликована статья в высокорейтинговом российском журнале и сделана публикация в трудах научной конференции:

• В. Б. Ларионов, В. С. Федорова «Замкнутые классы, содержащие класс однородных функций» // Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика • В.Б. Ларионов, В.С. Федорова «Критерий бесконечности надструктуры некоторых классов монотонных функций многозначной логики» // Матерiали мiжвузiвського науково-практичного семiнару «Комбiнаторнi конфiгурацi та х застосування», (Кiровоград, 14-15 жовтня 2011 року). Кiровоград, 2011, с.

Копии статей включены в Приложение А к настоящему отчету, заключения экспертной комиссии по их открытому опубликованию – в Приложение Б.

3. Заключение В рамках четвертого этапа работ по Государственному контракту проведены следующие исследования в соответствии с планом:

1. Описана структура и основные свойства надрешетки класса однородных функций многозначной логики.

2. Доказан критерий наличия бесконечной надструктуры для классов монотонных функций, сохраняющих частично упорядоченное множество с тремя максимальными элементами и одним минимальным элементом.

3. По результатам исследований опубликована статья в высокорейтинговом российском журнале и сделана публикация в трудах научной конференции.

4. Подготовлен научно-технический отчет по итогам четвертого этапа.

План проведения исследований четвертого этапа выполнен полностью. Копии статей приводятся в Приложении А. Все полученные научные результаты являются новыми; перед их публикацией получено заключение экспертной комиссии по открытому опубликованию (Приложение Б). Материалы, описывающие проведение исследований, включают все необходимые сведения для обеспечения возможности воспроизведения результатов.

4. Список использованных источников 1. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127, № 1. С. 44–46.

2. Ларионов В. Б., Федорова В. С. Надструктура классов самодвойственных kзначных функций // Известия Иркутского государственного университета.

Серия Математика. 2011. Т. 4, № 3. С. 83-98.

3. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды матем. института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1958. Т. 51. С. 5-142.

4. Бондарчук В. Г., Калужнин В. А., Котов В. Н., Ромов Б. А. Теория Галуа для алгебр Поста // Кибернетика. 1969. № 3. С. 1- 10. № 5. С. 1- 9.

5. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций. – М.: Физматлит, 2000. – 6. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Набебин А. А. Предполные классы в многозначных логиках. – М.: Изд. дом МЭИ, 1997. – 144 с.

7. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusiers variables sur un ensemble fini // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1965. Volume 260. P. 3817–3819.

8. Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов функций в многозначных логиках // Проблемы кибернетики, вып. 3. М.: Наука, 1960. С. 49–61.

9. Ларионов В. Б. О положении некоторых классов монотонных k-значных функций в решетке замкнутых классов // Дискретная математика. 2009. Т. 21, № 5. С. 111–116.

10. Ларионов В. Б. Замкнутые классы k-значной логики, содержащие классы монотонных или самодвойственных функций // Диссертация на соискание степени к. ф.-м. н., 2009.





Похожие работы:

«Министерство образования и наук и Российской Федерации ВЕСТНИК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО РЕГИОНАЛЬНОГО УЧЕБНОМЕТОДИЧЕСКОГО ЦЕНТРА №20/2013 Владивосток 2013 УДК 378.12 ISSN 2078-3906 Серия основана в 1994 году Редакционная коллегия: С.В. Иванец, А.А. Фаткулин, Ю.М. Сердюков, П.Ф. Бровко, Г.Н. Ким, Ю.Г. Плесовских, Е.В. Крукович, Т.В. Селиванова Вестник Дальневосточного регионального учебно-методического центра. – Владивосток: ДВФУ, 2013. – 217 с. Предлагаемый Вестник ДВ РУМЦ продолжает серию сборников...»

«КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧИЛИЩЕ № 79 П. КОШУРНИКОВО УТВЕРЖДАЮ: Зам. директора по УПР _И.Ф. Копнина _20г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ОП.04. Экономические и правовые основы производственной деятельности. Профессия 260807.01 Повар, кондитер Нормативный срок обучения – 2 года и 5 мес. на базе основного общего образования 1 Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального...»

«НОУ ИПС-Университет г. Переславля им. А. К. Айламазяна Институт Программных Систем РАН Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова Удмуртский государственный университет Институт Логики ALT Linux Третья конференция Свободное программное обеспечение в высшей школе Переславль, 2–3 февраля 2008 года Тезисы докладов Москва, ALT Linux, 2008 В книге собраны тезисы докладов, одобренных Программным комитетом третьей конференции...»

«Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение г. Бузулука Средняя общеобразовательная школа № 12 Согласовано Утверждаю Зам. директора по УВР Директор МОАУ СОШ № 12 _ Павлова Н.Ф. Немцова И.Н. _ 2013 г. _ 2013 г. Рабочая программа по географии 9 класс (70часов по 2 часа в неделю) к учебнику А.И.Алексеев, В.В.Николина, С. И. Болысов, Е.К.Липкина и др.; под редакцией А.И.Алексеева. География России. Составитель: Попова Т.Е., учитель географии первой квалификационной категории 2013г...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 47 городского округа Тольятти Принято на заседании Утверждено Приказом Cогласовано зам.директора по УВР педагогического совета Директора МБУ СОШ №47 Протокол №1 от 30.08.2013г. № 235-ОД от 02.09.2013 МБУ СОШ №47 г.о.Тольятти 29.08.2013 Рабочая программа по английскому языку 2АБВ классов 2013-2014 учебный год Составил: Кривоногова Ю.А., учитель иностранного языка...»

«Приложение 7А: Рабочая программа дисциплины по выбору Сравнительная история мировых цивилизаций ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПЯТИГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Утверждаю _ Проректор по научной работе и развитию интеллектуального потенциала университета профессор З.А. Заврумов __2012 г. Аспирантура по специальности 07.00.15 История международных отношений отрасль науки: 07.00.00 Исторические науки и...»

«В.С.ПЛОТНИКОВ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов оптических специальностей вузов М О С К В А Н Е Д Р А 1987 Плотников B.C. Геодезические приборы: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1987. - 396 с и л. Даны основы теории, расчета и проектирования геодезических приборов. По­ казана общая методология системного подхода при проектировании приборов, даны конкретные примеры расчета, обоснования и оптимизации...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина Институт социальных и образовательных технологий Отделение психологии УТВЕРЖДАЮ Директор института социальных и образовательных технологий Т.И. Гущина 16 января 2013 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ для лиц, имеющих высшее профессиональное образование, по направлению...»

«Пояснительная записка Соответствие Государственному образовательному стандарту. Ссылка на нормативные документы Рабочая программа разработана в соответствия с законом Российской Федерации Об образовании, Типовой программой основного общего (среднего, полного) образования на основе Федерального компонента Государственного образовательного стандарта, Уставом образовательного учреждения, примерных программ по иностранным языкам (стандарты второго поколения) – РАО, 2010 г.; классификации рабочего...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор МАОУ Лицей № 15 _ Т.Н. Гонтарева _ 2013г. Сведения о программно-методическом обеспечении учебного плана на 2013- 2014 учебный год I ступень обучения Учебные предметы УМК Классы * неделю часов в Кол-во Название, автор, Используемые элементы УМК Автор Год издания 1а, 1б Уроки обучения Букварь, Бунеев Р.Н., Обучение грамоте Школа грамоте, Бунеев Р.Н., Бунеева Е.В., 2100 Бунеева Е.В., Пронина Пронина О.В. О.В. Прописи Мои волшебные Пронина О.В. пальчики Тетрадь для печатания...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южный федеральный университет Институт управления в экономических, экологических и социальных системах УТВЕРЖДАЮ Директор Института управления в экономических, экологических и социальных системах _/ Петров В.В. / _ _ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ по направлению подготовки 20.04.01 Техносферная безопасность Ростов-на-Дону Пояснительная записка...»

«ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛУНСКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИКУМ Программа учебной практики П.М.01.Документирование хозяйственных операций и ведение бухгалтерского учета имущества организации г.Тулун 2013 г. -содержание стр. 1. Паспорт программы учебной практики4 2. Результаты освоения программы учебной практики_8 3. Тематический план учебной практики_10 4. Условия реализации программы учебной практики11 5. Контроль и оценка...»

«Порядок и правила приема в аспирантуру Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института Африки РАН (ИАФР РАН) 1.Общие положения 1.1. Настоящие правила приема в аспирантуру Института Африки РАН (далее Аспирантура) разработаны на основании Федерального закона Об образовании от 29 декабря 2012 г. № 273, часть 8, ст.55, Приказа Минобрнауки № 1259 от 19.11.2013 г. Об утверждении Порядка организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программа высшего...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н.Прянишникова Факультет ветеринарной медицины и зоотехнии УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _ / / _ _ 20 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ В АСПИРАНТУРУ Высшее образование – подготовка кадров Уровень образования высшей квалификации...»

«Направление подготовки бакалавров 230700.62 Прикладная информатика Профиль: Прикладная информатика в дизайне Программа дисциплины Экономическая теория Аннотация Автор программы: Казанская И.В., к.э.н., доцент кафедры экономика 1. Цель освоения дисциплины Дать бакалаврам по направлению Прикладная информатика необходимый объем знаний об основных экономических теориях, концепциях, принципах функционирования и управления экономикой предприятия в условиях рынка и, соответственно, дать практические...»

«ПРОГРАММА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МОДУЛЯ Приготовление блюд из рыбы Организация-разработчик: Государственное образовательное учреждение начального профессионального образования Ярославской области профессиональное училище № 6 Разработчики: Толокнова Т.Ю. – мастер производственного обучения ГОУ НПО ЯО ПУ № 6; Колтыго Л.В. – мастер производственного обучения ГОУ НПО ЯО ПУ № 6; Устинова Т.С. – мастер производственного обучения ГОУ НПО ЯО ПУ № 6; СОДЕРЖАНИЕ 1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МОДУЛЯ...»

«ДЕПАРТАМЕНТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ № 9 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МОДУЛЯ Сборка, монтаж, регулировка и ремонт узлов и механизмов оборудования, агрегатов, машин, станков и другого электрооборудования промышленных организаций по профессии 140446.03 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования Брянск 2011 г. Рабочая программа профессионального...»

«ПРИНЯТО: УТВЕРЖДАЮ: Решением Ученого совета Ректор Петрозаводской Петрозаводской государственной консерватории государственной консерватории (академии) имени А.К. Глазунова (академии) имени А.К. Глазунова Протокол от 16 июня 2014 г. № 10 В.А. Соловьев 25 июня 2014 г. ПОЛОЖЕНИЕ О САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ (ВНЕАУДИТОРНОЙ) РАБОТЕ ОБУЧАЮЩИХСЯ В ПЕТРОЗАВОДСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ КОНСЕРВАТОРИИ (АКАДЕМИИ) ИМЕНИ А.К. ГЛАЗУНОВА Петрозаводск, ПОЛОЖЕНИЕ о самостоятельной (внеаудиторной) работе обучающихся в...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ НАУК Государственное научное учреждение ВСЕРОССИЙСКИЙ НИИ ОРГАНИЗАЦИИ ППРОИЗВОДСТВА, ТРУДА И УПРАВЛЕНИЯ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ (ГНУ ВНИОПТУСХ) ПЛАН НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ на 2010 год Москва – 2010 2 Российская академия сельскохозяйственных наук Государственное научное учреждение ВСЕРОССИЙСКИЙ НИИ ЭКОНОМИКИ, ТРУДА И УПРАВЛЕНИЯ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ (ГНУ ВНИЭТУСХ) СОГЛАСОВАНО: СОГЛАСОВАНО: УТВЕРЖДАЮ: Академик-секретарь Начальник Управления...»

«МКУ Управление образованием Междуреченского городского округа МБОУ ДОД Центр детского творчества г. Междуреченск ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ РОДНИК творчества (Радость Общения, Доверие, Надежда И Комфорт) Муниципального бюджетного образовательного учреждения дополнительного образования детей Центр детского творчества на 2012-2015 ГОДЫ Программа развития Родник творчества на 2012 – 2015 гг. Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Центр детского творчества,...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.