Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО

«ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Институт изобразительных искусств и социально-гуманитарных наук

Кафедра психологии

13 г.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

(рабочая учебная программа дисциплины) Направление подготовки 030300 «Психология»_ Профиль подготовки «Психология труда и организационная психология»

Квалификация (степень) Бакалавр_ Форма обучения Очная _ Составитель программы:

Юркова Марина Григорьевна, доцент кафедры психологии Иркутск, 2013 г.

1.Информация из ФГОС, относящаяся к дисциплине 1.1. Вид деятельности выпускника Дисциплина охватывает круг вопросов относящиеся к научно-исследовательской видам деятельности выпускника, отраженным в профессиональных компетенциях.

1.2. Задачи профессиональной деятельности выпускника В дисциплине рассматриваются указанные в ФГОС задачи профессиональной деятельности выпускника:

участие в проведении психологических исследований на основе профессиональных знаний, изучение научной информации отечественного и зарубежного опыта по тематике исследования;

применение стандартизированных методик;

обработка данных с использованием стандартных пакетов программного обеспечения.

1.3. Перечень компетенций, установленных ФГОС Освоение программы настоящей дисциплины позволит сформировать у обучающегося следующие компетенции:

ОК-5: применение теоретического и экспериментального исследования, основных методов математического анализа и моделирования, стандартных пакетов для обработки данных, полученных при решении различных профессиональных задач;

ПК-2: отбор и применение психодиагностических методик, адекватных целям, ситуации и контингенту респондентов с последующей математико-статистической обработкой данных и их интерпретаций;

ПК-12: проведение стандартного прикладного исследования в определенной области психологии.

1.4. Перечень умений и знаний, установленных ФГОС После освоения программы настоящей дисциплины студент должен:

знать:

основные математические и статистические методы обработки данных, полученных при решении основных профессиональных задач;

уметь:

получать, обрабатывать и интерпретировать данные исследований с помощью математико-статистического аппарата;

выбирать соответствующие магистерские образовательные программы;

владеть:

навыками использования в профессиональной деятельности базовых знаний в области современных информационных технологий, использования ресурсов Интернет.

2. Цели и задачи освоения программы дисциплины Цель: Формирование комплекса знаний и умений, которые позволят студентам участвовать в научно-исследовательской и практической работе психолога, а также формирование представлений студентов о межпредметных связях математических и статистических знаний с другими специальными дисциплинами.

Задачи курса:

обеспечение студентов знаниями и некоторым опытом в применении стандартизированных методик в изучении психологических феноменов;

ориентация студентов в технологиях обработки данных психологического исследования с использованием стандартных пакетов программного обеспечения.

сформировать у студентов способности приобретать новые знания, использовать современные технологии в психологической подготовке для своего профессионального роста.

3. Место дисциплины в структуре ООП Для изучения дисциплины необходимо предварительное освоение содержания дисциплин:

Математика (ОК-3, 5; ПК-12).

Знания и умения, приобретаемые студентами после освоения содержания дисциплины, будут использоваться в учебных курсах:

Математические методы в психологии (ОК-5; ПК-2, 12).

Экспериментальная психология (ОК-5; ПК-2, 12).

Психодиагностика (ОК-5; ПК-2, 12).

А также в курсовом и дипломном проектировании и в дальнейшей профессиональной деятельности.

4. Основная структура дисциплины Общая трудоемкость дисциплины – 108 часов, 3 ЗЕТ лабораторные работы 5. Содержание дисциплины 5.1. Перечень основных разделов и тем дисциплины Раздел 1. Основы теории вероятности (ОК-5, ПК-2,12) Тема 1. Основные понятия теории вероятностей Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей Тема 3. Полная вероятность и формула Байеса Тема 4. Случайные величины и законы распределение Тема 5. Основные законы распределения случайной величины Тема 6. Нормальное распределение Раздел 2. Измерение и количественное описание данных (ОК-5, ПК-2,12) Тема 7. Измерение и шкалы Тема 8. Наглядное представление данных Тема 9. Описательная статистики Тема 10. Корреляция и расчеты корреляций Раздел 3. Методы статистического вывода (ОК-5, ПК-2,12) Тема 11. Статистические гипотезы и статистический вывод 5.2 Краткое описание содержания теоретической части разделов и тем дисциплины Раздел 1. Основы теории вероятности Тема 1. Основные понятия теории вероятностей Предмет теории вероятностей Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности и случайных явлениях.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Примерами могут служить выпадение количества очков при бросании игральных костей, попадание артиллерийского снаряда в намеченную цель, наступление порога ощущения испытуемого в психофизических опытах.

В приведенных примерах исходы «опытов» связаны не только с основными их условиями, но и с второстепенными факторами, не заданными в числе условий опыта (например, скорость ветра при стрельбе, настроение испытуемого при психологическом тестировании). И если основные условия каждого испытания могут быть воспроизведены в каждом последующем опыте абсолютно точно, то со случайными факторами это не получится.

Значит, должна существовать принципиальная разница в методах учета основных факторов, определяющих в главных чертах течение явлении, и вторичных, второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве «возмущений».

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей, предметом которой являются закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. Например, если анализировать статистику рождения детей, то при увеличении числа рассмотренных фактов рождения доля родившихся мальчиков будет постепенно стабилизироваться, приближаясь к числу 0,516. Такое же свойство «устойчивости частот» обнаруживается при исследовании любого другого массового явления, исход которого заранее не определен.

Математические законы теории вероятностей есть отражение реальных законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. Для исследования только таких явлений и применяются методы теории вероятностей: они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Событие. Классификация событий Опытом (испытанием) называется всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А - фиксация испытуемым светового сигнала:

В - попадание в цель при выстреле;

С - выздоровление больного в наркологической клинике;

D - появление туза при вынимании карты из колоды.

Рассматривая эти события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности своего осуществления.

Будем называть событие достоверным, в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости. Событие называется невозможным, если в данном опыте оно произойти не может. Пример выпадение 8 очков при бросании одной игральной кости.

Случайным событием называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти. Например, фиксация или нефиксация испытуемым определенного сигнала, попадание или промах при стрельбе и т.д.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте. Например, выпадение четного числа очков при бросании одной игральной кости и числа очков, делящегося на три (выпадение «шестерки» фиксирует появление того и другого события). Два события называются несовместными в данном опыте, если они одновременно не могут произойти. Примеры:

выпадение герба и цифры при однократном бросании монеты; попадание и промах при одном выстреле.

Отметим, что при изменении условий опыта события могут стать совместными. Так, при бросании двух монет на одной может выпасть герб, на другой цифра. Поэтому рассмотрение событий необходимо начинать с описания опыта.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытаний обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, испытуемый зафиксировал или не зафиксировал сигнал; появление 1, 3, 4, 5, 0 очков при бросании кости; хотя бы одно попадание и хотя бы один промах при двух выстрелах.

Несколько событий в данном опыте начинаются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Примеры равновозможных событий:

появление 2, 4, 6 очков при бросании игральной кости; выпадение герба или цифры при бросании монеты. Очевидно, что сдача и несдача экзамена не являются равновозможными событиями.

Если события, образующие полную группу, являются равновозможными и попарно несовместными, то такие события принято называть случаями (или шансами), а группу таких событий схемой случаев (или «схемой урн»).

Классический метод вычисления вероятности Классическая вероятность Случай называется благоприятным некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев; из них событию А — появлению четного числа очков благоприятны три случая: 2, 4, 6 и неблагоприятны остальные три.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев. Вероятность события А обозначим через Р(А); тогда по определению где m – число благоприятных событию А случаев, n – общее число случаев (исходов).

Формула известна как классическое определение вероятности. Она пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т. е. преимущественно в искусственно организованных опытах, в которых заранее и сознательно обеспечена одинаковая возможность исходов опыта (например, в азартных играх).

Вероятность случайного события – это число из интервала [0;1]. 0Р(А)1.

Причем Р(А)=0 для невозможного события, Р(А)=1 для достоверного слбытия.

Применение комбинаторики Иногда для подсчета числа благоприятных и всех возможных случаев приходится использовать комбинаторику.

Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из п элементов Рn= n! (n! читается nфакториал), где n! =1*2*3*…*n. По определению 0!= Размещениями из n элементов по m называют комбинации, каждая из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов; причем каждая комбинация отличается от других либо составом элементов, либо их порядком.

Формула для числа размещений:

Сочетаниями из n элементов по m называются комбинации, каждая из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, причем каждая комбинация отличается от других хотя бы одним элементом.

Число сочетаний Геометрическая вероятность В случае, когда число исходов опыта бесконечно и все исходы заполняют некоторую ограниченную область, используют геометрический метод вычисления вероятности.

Рассмотрим пример:

Стрелок стреляет по мишени и старается попасть в «яблочко», которое занимает 1/ всей площади. Какова вероятность попадания в «яблочко» при условии попадания в мишень?

В общем случае геометрическая вероятность равна отношению меры (длины, площади, объема) рассматриваемой части области к мере всей области.

Пример. Известно, что троллейбус № 20 ходит с интервалом 15 минут. Какова вероятность того, что, придя на остановку, вы будете ожидать троллейбус не менее 5 и не более 12 минут?

Решение. В данном примере снова имеем дело с геометрической вероятностью, но в качестве всей области рассматривается интервал времени, равный 15 минутам. Событие А заключается в том, что время ожидания будет в границах от 5 до J2 минут. Поэтому область благоприятствующих исходов для А представляет собой интервал времени, равный 7 минутам. Следовательно, Частота события. Статистическое определение вероятности Далеко не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев или к геометрической вероятности. Пусть, например, игральная кость несимметрична, значит, какая-то ее грань будет выпадать чаще остальных, т. е. события, заключающиеся в появлении различных граней, неравновозможны. Но тем не менее и в этом случае для каждой грани существует своя определенная степень объективной возможности ее появления.

Пусть произведена серия из n, опытов, в каждом из которых могло появиться событие А. Относительной частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов:

где m - число появлений события А, n - общее число опытов.

Конечно, частота может изменяться от одной группы опытов к другой. Но наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: в различных сериях многочисленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную и считают вероятностью данного события.

И так, вероятностью события называется число, около которого группируются значения относительной частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Если, например, вы бросаете монету, то чем большее количество бросков будет проделано, тем более относительная частота выпадения герба близка к 0,5. Можно экспериментально убедиться в правомерности сказанного. Для этого бросьте монету сначала 10 раз и сосчитайте, сколько раз выпал герб, затем — 100, 200, 300, 400 раз с подсчетом каждый раз числа выпадения герба.

Приведенное определение вероятности называется статистическим. Как и в случае классического определения, сохраняются свойства вероятности:

1. значение вероятности заключено между нулем и единицей;

2. вероятность невозможного события равна нулю;

3. вероятность достоверного события равна единице.

Каждое массовое явление обладает определенной характеристикой, выражающей степень возможности его осуществления и называемой вероятностью. Подчеркнем, что вероятность - теоретическая характеристика исследуемого факта; она заключена в самой природе явления.

Человечество имеет дело практически с частотой происходящих событий. Но при большом количестве исследуемых фактов относительная частота очень близка к вероятности. Это обстоятельство выражено в теореме Бернулли, утверждающей, что при достаточно большом числе опытов вероятность события, заключающегося в том, что разность между частотой события и его вероятностью становится сколь угодно малой, неограниченно приближается к единице. В этом случае говорят, что имеет место сходимость по вероятности. Данная теорема, связана с законом больших чисел, согласно которому при очень большом числе случайных явлений средний их результат, практически, перестает быть случайным, и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Именно поэтому возможно статистическое определение вероятности. Частота это характеристика, в которой «проявляется», «высвечивается» вероятность.

Деловые люди (например, работники страховых обществ) широко используют этот закон. Вот что писал по этому поводу известный специалист по психологии общения Дейл Карнеги: «Самая знаменитая в мире страховая компания «Ллойд» в Лондоне нажила бесчисленные миллионы на склонности людей беспокоиться о том, что случается очень редко. Лондонская компания «Ллойд» держит пари с людьми, которые к ней обращаются, что несчастья, о которых они беспокоятся, никогда не произойдут. Однако фирма, не называем это «держать пари». Она называет это страхованием. Но на самом деле она действительно держит пари, исходя из закона больших чисел. Эта огромная страховая компания процветает уже двести лет. И если не изменится человеческая натура, компания будет существовать и процветать еще пятьдесят веков, занимаясь страхованием обуви и кораблей от несчастных случаев, которые по закону больших чисел происходят совсем не так часто, как мы воображаем».

Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей Операции над событиями Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий.

Например, если А – попадание в цель при первом выстреле, В – попадание в цель при втором выстреле, то С=А+В – попадание в цель вообще (при 1-м, 2-м или оба раза).

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Например, если событие А — появление «дамы» при вынимании карты из колоды, В — появление карты пиковой масти, то событие С=АВ есть появление пиковой дамы. Произведением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Событие A называется противоположным для А, если оно выполняется тогда и только тогда, когда не выполняется событие А.

Например, А — выпадение «орла», А - выпадение «решки» при одном бросании монеты; А — «сдача экзамена», А — «несдача экзамена».

При вычислении вероятностей часто бывает удобно представлять сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операции сложения и умножения событий, а также противоположное событие. Пусть, например, по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:

A 1 — попадание при первом выстреле;

A 1 — промах при первом выстреле;

А 2 — попадание при втором выстреле;

A 2 — промах при втором выстреле;

A 3 - попадание при третьем выстреле;

A 3 — промах при третьем выстреле.

И если сложное событие В состоит в том, что в результате этих трех выстрелов будет только одно попадание, то это событие выразится в виде:

Свойства операций над событиями 3. А+(В+С)=(А+В)+С, А(ВС)= (АВ) С — ассоциативность 4. А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность 6. А+А=А, АА=А 7. A+V=A, AU=A 8. A+U=U, AV=V где U – достоверное событие, V – невозможное событие Перейдем к вопросу определения вероятности произвольных событий Теорема сложения вероятностей Пусть события А и В несовместны. Тогда теорема сложения формулируется так:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Обозначим: n — общее число возможных исходов; m — число исходов, благоприятных событию А; k — число исходов, благоприятных событию В.

Тогда (в схеме случаев) Р(А) = m/n; Р(В) = k/n.

По условию события А и В несовместны. Значит, случаев, благоприятных А и В вместе, нет. Поэтому событию А + В благоприятны m+k случаев и И, следовательно, Р(А) + Р(В) = Р(А+В).

Теорема легко обобщается на случай нескольких попарно несовместных событий.

Например, P(A+B+C+D) = Р(А) + Р(В) + Р(С) + P(D).

Пример. В группе из 25 учащихся при тестировании было обнаружено, что 8 человек имеют уровень проявления коммуникативных и организаторских склонностей КОС ниже среднего (они не стремятся к общению, плохо ориентируются в незнакомой ситуации, тяжело переживают обиды и т.д.); 7 человек характеризуются средним уровнем КОС (стремление к контактам); остальные относятся к группе с высоким уровнем проявления КОС (стремятся к контактам, занимаются общественной деятельностью и т.д.). Какова вероятность того, что наугад вызванный учащийся будет либо со средним, либо с высоким уровнем проявления КОС?

Решение. Рассмотрим события:

А — вызван учащийся со средним уровнем проявления КОС;

В — вызван учащийся с высоким уровнем проявления КОС;

С — вызван учащийся со средним или с высоким уровнем проявления КОС. По формуле классической вероятности Р(А)=8/25; Р(В) =7/25.

Событие С = А+В и события А и В — несовместны, поэтому Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 7/25 + 8/25=15/25 = 0,6.

Следствие 1.

Если попарно несовместные события А1, A2,…, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Доказательство. Так как события А1, A2,…, Аn образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие: P(А1, A2,…, Аn)= Так как А1, A2,…, Аn — несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей:

P(А1, A2,…, Аn) = P(А1) + Р(A2) +... + Р(Аn) = Следствие 2.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Например, если Р(А)=0,8—вероятность записи нейронной активности клеток «внимания», то Р(А) = 1-0,8=0,2—вероятность записи для клеток другого вида активности.

Если же события А и В совместны, то теорема сложения формулируется следующим образом:

Теорема.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) Доказательство. Пусть n - общее число исходов опыта; m - число случаев, благоприятных событию А; k - число случаев, благоприятных событию В; l - число случаев, благоприятных и событию А, и событию В (т. е. произведению этих событий).

Тогда Р(А) = m/n Р(В) = k/n; Р(АВ)=1/n.

В сумме m+k дважды учтены исходы, благоприятные событию АВ. Поэтому число опытов, благоприятных событию А+В, будет m+k-l.

Таким образом, Р(А+В) = m+k-l/n = m/n +k/n – l/n= Р(А) + Р(В) – Р(АВ) Пример. В группе из 20 человек проводился экспресс-тест «Узнай свой характер».

При определении «ведущей руки» у 8 испытуемых это оказалась левая рука, а при определении «ведущего глаза» у 10 человек ведущим оказался правый глаз. Какова вероятность того, что у произвольно выбранного человека данной группы ведущими будут левая рука или левый глаз?

Решение. Пусть событие А означает, что у выбранного человека ведущая левая рука, а событие В означает, что у него ведущий левый глаз. Тогда Р(A) = 8/20=0,4; Р(В) = (20-10)/20 = 0,5.

События А и В совместны, поэтому Р(А+B) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,4 + 0,5 – Р(АВ) = 0,9 - Р(АВ). Возникает вопрос: как вычислить вероятность Р(АВ)?

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пусть, например, в урне пять шаров — два белых и три черных. Два человека вынимают из урны по одному шару. Рассмотрим события:

А — появление белого шара у первого человека.

В — появление белого шара у второго человека.

Вероятность события А до того, как стало известно что-либо о событии В, равна 2/5.

Если стало известно, что событие В произошло, она равна 1/4. Так как эти вероятности не равны, заключаем, что событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В). Для данного примера Р(А) = 2/5; Р(А/В) =1/4.

Итак, если событие А зависит от события В, то Р(А) Р(А/В). Если же событие А не зависит от события В, то Р(А)=Р(А/В). В этом случае событие В никак не влияет на вероятность события А и условная вероятность равна безусловной.

Пусть события А и В образуют полную группу и событию А благоприятствует m случаев, событию В — k случаев, событию АВ — l случаев, а общее число случаев равно n. Тогда Вычислим Р(В/А), т. е. условную вероятность события В в предположении, что А произошло. Но если мы знаем, что событие А появилось, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только m случаев, которые благоприятны событию А. Из них l случаев благоприятны событию В.

Значит, P(B/A)=l/m. Преобразуем это выражение следующим образом:

Отсюда следует теорема умножения вероятностей т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятности другого при условии, что первое событие произошло.

Если А не зависит от В, то и В не зависит от А, тогда P(AB)=P(A)P(B) Возвращаясь к рассмотренному в предыдущем пункте примеру «Узнай свой характер», можно теперь сказать, что поскольку А и В независимы, то Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,4 * 0,5 = 0,2, а тогда вероятность того, что у данного человека ведущими являются левая рука или левый глаз, равна Р(А+В) = 0,9*0,2 = 0,7.

Полученная теорема может быть обобщена на любое число событий. В частности, для трех событий А, В, С:

Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ).

Пример. В урне находятся 4 белых, 6 красных и 2 синих шара. Каждый опыт состоит в том, что из урны берут наудачу один шар и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании будет взят белый шар (событие А), при втором — красный (событие В), при третьем — синий (событие С).

Решение. Так как Р(А)=4/12=1/3; Р(В/А)=6/11; Р(С/АВ)=2/10=1/5, Р(АВС) = (1/3)*(6/11)*(1/5)=2/55.

Если рассматриваются три события и более, то события называются независимыми в совокупности, если они попарно независимы и каждое из них не зависит от произведения любого набора из остальных событий. Для таких событий вероятность произведения равна произведению вероятностей сомножителей.

Теорема умножения вероятностей в некоторой мере объясняет так называемый закон всеобщей подлости, частным проявлением которого является падение бутерброда маслом вниз. Не вдаваясь в физическую сущность вопроса, рассмотрим этот закон с свершения чего-то, какого-то события. Этому событию предшествует множество условий, как, впрочем, и с любым событием связано множество условий, которые остаются без внимания, если событие не интересует, и начинают играть доминирующую роль в случае заинтересованности в данном событии. Однако даже при достаточно большой вероятности каждого условия, равной 0,9, уже при 4 таких условиях вероятность их совместного выполнения будет не более (0,9)40,66, т. е. в среднем не более, чем в 66% случаев, возможно осуществление необходимых условий для ожидаемого события.

Тема 3. Полная вероятность и формула Байеса Вероятность появления хотя бы одного события Пусть А1, A2,…, Аn - независимые в совокупности события;

А1, A2,…, Аn – противоположные им события (также независимые) Обозначим через В событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А1, A2,…, Аn. Событие, противоположное В, будет состоять в том, что не произошло ни одного события из перечисленной группы, т. е.

Но так как В и В являются противоположными событиями, то Р(В)+Р( В)=1 и Р(В)=1 - Р( А1 A2… Аn) = 1 – Р( А1) Р(A2)…Р( Аn) Обозначим Р(Аi)=pi, P( Ai)=qi, pi+qi=1, i=1,2,…n P(B) = 1 – q1q2…qn Пример. Произведены три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно: р1=0,4; р2=0,5;

р3=0,7. Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть В — событие, состоящее в том, что хотя бы один раз в мишень попали, причем q1=0,6; q2=0,5; q3=0,3.

Тогда Р(В) = 1 – q1q2q3 = 1 - 0,6 0,5 0,3 = 1 - 0,09 = 0,91.

Итак, вероятность хотя бы одного попадания в мишень равна 0,91.

Формула полной вероятности Пусть событие А может произойти только в случае наступления одного из событий Н1, Н2, …Нn, которые образуют полную группу. Н1, Н2, …Нn - гипотезы.

Формулу называют формулой полной вероятности Пример. В деканат поступили работы (результаты тестирования) по трем предметам в соотношении 2:3:5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05; 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной.

Решение. В качестве гипотез будем рассматривать события Hi, заключающиеся в том, что взята наугад работа по i-му предмету (i = 1, 2, 3). Тогда по условию имеем Р(Нi) = 2/10; Р(Н2) = 3/10 и Р(Н3) = 5/10.

Эти вероятности получены из формулы P(Hi) = mi/n, если в качестве n рассматривать сумму всех частей, а в качестве mi — соответствующее количество частей для данного предмета. Событие А состоит в том, что взятая наудачу работа — неудовлетворительная.

По условию имеем Р(А/Н1) = 0,05; Р(А/Н2) = 0,02 и Р(A/H3) = 0,08.

После этого описания исходных данных можно записать Р(А) = 0,2 0,05 + 0,3 0,02 + 0,5 0,08 = 0,056.

В рассмотренном примере условные вероятности были заданы, что бывает не всегда.

Формулы Байеса События Hi, при наступлении которых происходит событие А, назваkb гипотезами.

Каждая из гипотез имеет свою вероятность, вычисленную до опыта (a priori), в котором может произойти событие А или не произойти. А как влияет появление события А на вероятность гипотез? Меняется ли эта вероятность после опыта (a posteriori)?

Из теоремы умножения имеем:

Р(АНi) = P(A)P(Hi/A), Р(АНi) = Р(Hi)Р(А/Hi).

Приравняем правые части полученных равенств:

P(A)P(Hi/A)= Р(Hi)Р(А/Hi). (i=1,…n) где P(Hi) — априорная (до опыта) вероятность i-й гипотезы, Р(Нi/А) – апостериорная (после опыта) вероятность той же гипотезы. Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Последние две формулы называются формулами Байеса. Они позволяют осуществить переоценку (перерасчет) вероятностей гипотез. Это дает возможность корректировать управленческие решения, оценки неизвестных параметров распределения и т. д.

Пример. В группе 25 студентов: 5 «отличников» по математике, 10 «хорошистов», «троечников» и 2 «двоечника». «Отличник» решает любую задачу с вероятностью 1, «хорошист» - с вероятностью 0,9, «троечник» - с вероятностью 0,7, «двоечник» - с вероятностью 0,5. Наугад вызванный студент решил предложенную задачу. Какова вероятность того, что был вызван «хорошист»?

Решение. Событие А — предложенная задача решена. К какой группе относится решивший ее студент — неизвестно. Выдвигаем гипотезы:

Н1 — задачу решил «отличник»;

H2 — задачу решил «хорошист»;

H3 — задачу решил «троечник»;

H4 — задачу решил «двоечник».

Найдем вероятности гипотез по формуле классической вероятности:

P(H1)=5/25=0,2; Р(Н2) =10/25=0,4; Р(Н3)=8/25=0,32; Р(H4)=2/25=0,08.

Обратим внимание на то, что сумма этих вероятностей равна 1.

Условные вероятности заданы:

P(A/H1) = 1; Р(А/Н2) = 0,9; Р(А/H3) =0,7; Р(A/H4) = 0,5.

По формуле полной вероятности найдем вероятность события А:

Р(А) = Р(Н1)Р(A/H1) + Р(Н2)Р(А/Н2) + Р(H3)Р(А/Н3) + Р(H4)Р(A/H4) = 0,21 + 0,40, + 0,320,7 + 0,080,5 = 0,824.

Воспользуемся формулой Байеса:

Таким образом, вероятность того, что был вызван «хорошист», равна 0,44.

Тема 4. Случайные величины и законы распределение Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять определенное (но заранее неизвестное) значение.

Дискретной называют случайную величину, возможные значение которой есть отдельные изолированные числа (их можно пронумеровать). Например, число студентов в аудитории, количество положительных тестов в психодиагностике и т. д.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка, т. е. возможные значения непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, величина светоощущения в психофизике, скорость космического аппарата, ошибка взвешивания на точных весах и т. д.

Случайные величины обозначаются буквами X, Y, Z, а их возможные значения — буквами х, у, z. Запись X = х означает, что случайная величина X приняла значение х, запись Р(Х=х) означает вероятность того, что X приняла значение х.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х Каждое значение дискретной случайной величины появляется с некоторой вероятностью. Эти значения сопоставляются в законе распределения со своими вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. О случайной величине говорят, что она подчинена данному закону распределения. Простейшей формой задания этого закона является таблица, называемая рядом распределения, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности (см. табл.).

Так как в каждом испытании Х принимает одно и только одно возможное значение, события Х=х1, Х=х2,…, Х=хn образуют полную группу, и p1+p2+…+pn= Другая форма закона распределения – функция распределения F(x), 3. Если все возможные значения принадлежат интервалу (a;b), то F(x)=0 при хa, 4. Для F(x) выполняются предельные соотношения:

5. Функция распределения непрерывна слева:

6. Если x2>x1, то F(x2) - F(x1) = P(x1X< x2) Пусть x1=a, x2 =b.

Тогда P(aX< b) = F(b) - F(a) Таким образом, вероятность принятия случайной величиной значения на промежутке [а, b) равна приращению функции распределения на этом промежутке.

Пример.

Случайная величина X (например, балл при тестировании) может принять одно из трех значений: 1, 2, 3, причем Р(Х=1) = 0,2, Р(Х=2) = 0,3.

Найти Р(Х=3), т. е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное 3. Составить ряд распределения вероятностей.

Решение. Так как сумма вероятностей в полной группе равна единице, имеем:

Р(Х=3) = 1 - Р(Х=2) - Р(Х=1) = 1 - 0,2 - 0,3 = 0,5.

Ряд распределения и функция распределения будут иметь вид:

т. е. вероятность принятия случайной величиной значения на промежутке [а, b) равна приращению функции распределения на этом промежутке.

Для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения, с помощью которого мы задавали дискретные случайные величины. Дело в том, что непрерывные случайные величины на любом промежутке имеют бесчисленное множество значений. Составить таблицу, в которую входили бы все возможные значения случайной величины, нельзя. Поэтому непрерывная случайная величина задается по-другому, а именно с помощью функции распределения или плотности распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и для дискретной: