WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by

УДК 514(075.3=161.3=161.1)

ББК 22.151я721

Р59

Серия основана в 2010 году

Рогановский, Н. М.

Р59 Геометрия. 7 класс. Многообразие идей и методов : пособие

для учащихся общеобразоват. учреждений с белорус. и рус. яз.

обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н. Рогановская, О. И. Тавгень. — Минск : Аверсэв, 2011. — 239 с. : ил. — (Факультативные занятия).

ISBN 9789855296615.

Пособие содержит теоретический и практический материал, интересные исторические сведения, а также знакомит учеников с различными методами решения геометрических задач.

Предназначено учащимся 7 классов для использования на факультативных занятиях по геометрии и составлено в соответствии с программой факультативного курса.

УДК 514(075.3=161.3=161.1) ББК 22.151я ISBN 9789855296615 © НМУ «Национальный институт образования», © Оформление. ОДО «Аверсэв», © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Геометрия — большой, стройный мир со своим порядком и совершенством. Он зо вет к себе и очаровывает. Каждый, кто прикоснулся к нему, совершенствует не только свой ум, но и душу.

От авторов Дорогие школьники!

Современная школа призвана решать две тесно свя занные друг с другом задачи: с одной стороны, обеспе чить овладение вами твердо установленным и четко очерченным миниальным объемом знаний и умений, не обходимых каждому члену нашего общества, с другой — создать условия для дополнительного изучения школь ного курса математики для тех, кто проявляет повышен ный интерес и склонность к данному предмету.

Бесспорно, что овладение пpактически любой совре менной профессией требует определенных знаний по математике. С математикой тесно связана и «компью терная грамотность», широкое распространение которой стало неотъемлемой чертой нашего времени. Математи ческие знания стали необходимой частью общей культу ры. В школе математика является опорным предметом, обеспечивающим изучение на должном уровне как есте ственных, так и гуманитарных дисциплин. Необходимо отметить, что математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широ кому спектру специальностей.

Наиболее массовой и доступной формой дополни тельного изучения математики являются факультатив ные занятия.

–3– © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Ввиду существенного повышения роли факультати вов они проводятся в V–XI классах.

Изучение «спроса» показало, что наибольшую поль зу факультативные занятия приносят, если они исполь зуются для развития и расширения основного курса, ре шения задач повышенной трудности, для проведения кружковой работы.

На факультативных занятиях вы имеете возмож ность улучшить знания по основному курсу, получаемые на уроках, приобрести умения решать более трудные и разнообразные задачи.

В предлагаемом факультативном курсе содержание тем излагается в доступной форме, путем раскрытия многообразия идей и методов школьной геометрии, реше ния содержательных задач.

На факультативных занятиях вы познакомитесь с ря дом вопросов занимательного характера, с исторически ми сведениями. Вы получите возможность выступить с лекцией, провести под руководством учителя экскур сию на интересующее вас предприятие или в учебное за ведение, подготовить и сделать доклад по выбранной вами тематике.

Надеемся, что такой факультатив окажется интерес ным и полезным и тем учащимся, которые не проявляют особого интереса к занятиям математикой, но хотят улучшить свои знания и расширить кругозор.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by В 1–6 х классах вы знакомились с некоторыми гео метрическими понятиями. С 7 го класса геометрия изу чается как отдельный предмет. Данная книга дополняет учебное пособие по геометрии, по которому вы учитесь.

Основное ее назначение — помочь вам в изучении школьного курса геометрии.

Слово геометрия — греческое. В переводе на рус ский язык оно означает «землемерие». Уже само это на звание подчеркивает тот факт, что геометрия возникла на основе практической деятельности людей далекого прошлого. Действительно, геометрия начала развивать ся еще в глубокой древности. Несколько тысяч лет назад в Древнем Египте были установлены (иногда прибли женно, неточно) различные способы измерения расстоя ний, вычисления площадей участков разнообразной фор мы и размеров, нахождения объемов различных сосудов, вместимости сооружений.

Торговые связи между Егип том и Древней Грецией способ ствовали распространению гео метрических знаний в Греции.

Древнегреческие математики не только позаимствовали эти зна ния, но и много сделали для их расширения, углубления и уточнения. Наиболее круп ные теоремы были открыты и доказаны именно древнегре Евклид (III в. до н. э.) ческими учеными.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Особые заслуги в развитии геометрии принадлежат греческому ученому Евклиду, жившему более 2000 лет назад. Евклид сумел разрозненные геометрические све дения превратить в стройную систему знаний.

Большой вклад в развитие математики внесли уче ные Древнего Вавилона. Особое значение имеет тот факт, что ими была предложена первая позиционная система чисел. Примечательно, что она была не десятич ной, а шестидесятеричной. Наиболее известные ее при менения сохранились до сих пор. Для измерения углов и дуг окружности используется 1 градус = 60 минутам и 1 минута = 60 cекундам.



Переводы «Начал» Евклида на различные языки способствовали распространению геометрических зна ний во всем мире. В Европу геометрия пришла уже в достаточно сложившемся и развитом виде. Следует отметить, что «Начала» Евклида долгое время служи ли единственным учебным руководством (хотя эти кни ги больше похожи на научные работы, чем на школьные учебники). Современные учебники намного доступнее и проще, и в этом смысле «школяры» прошлых эпох наверняка позавидовали бы нашим ученикам.

В настоящее время геометрическая наука значитель но богаче и сложнее по содержанию. Она занимается не только измерением длин, площадей и объемов. Большое развитие в геометрии получили многие математические методы: метод равных треугольников, метод площадей, координатный, векторные методы и др.

Кроме геометрии, которая изучается в средней шко ле, существуют и другие геометрии. Можно сказать, что школьная геометрия — это начало интересного и увлека тельного пути в геометрию.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Тема 1 КАК СТРОИТСЯ ГЕОМЕТРИЯ: ГЛАВНАЯ § 1. Аксиомы, определения и теоремы:

1.1. Игра «домино» и аксиомы Математические предложения бывают трех видов: ак сиомы, определения и теоремы. Аксиомы — это исходные предложения, исходные правила рассуждений. Они ис пользуются не только в математике. Взять, к примеру, всем известную игру «домино». Эта игра ведется по оп ределенным правилам — правилам игры, которые опре деляют все действия игроков. «Играм присущи некото рые черты произведений искусства, — писал Хаксли. — С их простыми и четкими правилами они предстают пе ред нами как островки порядка в хаосе и неразберихе эм пирического опыта. Когда мы играем в них сами или только наблюдаем, как в них играют другие, мы перехо дим из непостижимой вселенной данной реальности в маленький, строго упорядоченный мир, созданный че ловеком, где все ясно, целесообразно и легко доступно пониманию» (Мартин Гарднер : Математические голо воломки и развлечения. — М. : Мир, 1971. — С. 396).

Игра эта достаточно проста, напомним только основные ее правила. В игре используют 28 домино. Каждое доми но состоит из двух квадратиков, на которые нанесено определенное количество очков, применяются при этом все комбинации по 2 из 7 чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. В зависи мости от этого домино называется двумя числами, на пример, ноль и ноль обозначает пустое домино, на квадра © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by тах которого нет очков, ноль и один — домино, на одном из квадратов которого есть одно очко, а другой пуст, че тыре и пять — домино, на одном из квадратов которого стоит 4 очка, а на другом 5, и т. д. Сообразно с этим будем обозначать домино двумя цифрами, показывающими число очков на каждом квадратике и поставленными ря дом. Так, домино ноль и ноль будем обозначать 00, доми но четыре и шесть обозначим 46 и т. д. Расположим все 28 домино в таком порядке:

Предположим, что по завершении игры, когда были выложены все 28 домино, на левом конце оказалось до мино 34 (начинающееся с трех очков): 34 45 53 33 31 16… На правом конце оказалось домино, заканчивающееся также тремя очками. Случайно это или закономерно?

Правила игры позволяют дать однозначный ответ: зако номерно.

Доказательство. Всего домино с тремя очками — 7, а их квадратиков с тремя очками — 8. Внутри ряда может встретиться только четное число домино с квадратиком из трех очков. Поэтому из четности общего числа таких квадратиков и четности числа квадратиков, расположен ных внутри ряда, неизбежно следует, что на правом кон це ряда будет домино, заканчивающееся тремя очками (в противном случае число квадратиков с тремя очками не окажется четным).

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Доказательство закончилось. Как видно, оно облада ет важными достоинствами: опирается на небольшое число исходных правил игры, играющих роль аксиом этой игры, освобождает нас от необходимости непосред ственно выкладывать все домино и смотреть, какое из них окажется на правом конце.

Конечно, можно было бы поэкспериментировать, по пытаться несколько раз выложить весь ряд из 28 домино и экспериментально убедиться в том, что если левый ко нец начинается с трех очков, то и правый конец будет за канчиваться тремя очками. Возможно, такой экспери мент и представляет интерес. Хотя согласитесь: он по требует немало времени. Кроме того, исчерпывающего ответа он не дает. Вдруг на некотором 25 м эксперименте что то окажется не так и кажущаяся закономерность сразу разрушится?.. Рассуждение на основании правил игры обладает совсем другими свойствами. Такое рассужде ние показывает, что подобная закономерность, без вся ких сомнений, имеет место всегда. Правила игры здесь играют роль аксиом, а рассуждение на их основе — роль доказательства.

1.2. Что такое аксиома, определение, теорема, доказательство?

Играть в какую либо игру, не зная ее правил, невозмож но. По аналогичной причине нужны исходные правила и в геометрии. В геометрии различных фигур (точек, прямых, отрезков, лучей, углов, треугольников, четырех угольников, пятиугольников и т. д., окружностей, раз личных комбинаций фигур) гораздо больше, чем домино (одних многоугольников бесконечное множество!). По этому несравненно труднее задать геометрические пра © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by вила игры — исходные свойства геометрических фигур.

Тем не менее не сразу, не за одно тысячелетие, но такие правила — аксиомы — были созданы. Давайте познако мимся с ними и с их ролью при построении геометрии.

Рассмотрим, например, некоторые предложения, с ко торыми вы знакомились в предыдущих классах.

1. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.

2. Через точку, не лежащую на данной прямой, нель зя провести более одной прямой, параллельной данной прямой.

3. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

4. Два угла называются вертикальными, если сто роны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого.

5. Развернутый угол равен 180°.

6. Сумма смежных углов равна 180°.

7. Если сторона и два прилежащих к ней угла одно го треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то такие треугольники равны.

Из семи приведенных предложений аксиомами яв ляются 1, 2 и 5 (конечно, это всего лишь примеры акси ом, а не полный их перечень).

Аксиома — это исходное предложение для построе ния теории. С помощью аксиом описываются первые свойства точек, прямых, полуплоскостей, лучей, меры угла, равных треугольников, параллельных пря мых, площади фигуры.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by С помощью аксиом разъясняются первые понятия:

что такое точка, прямая, расстояние и т. д.

Обратимся к предложениям 3 и 4. В них говорится, что такие то фигуры называются так то. С помощью этих предложений даются названия (имена) геометрическим фигурам. Такие предложения называются определениями.

Определение — это предложение, в котором сообща ются свойства некоторого понятия, позволяющие от личить это понятие от остальных. В определении, как уже сказано, дается название вводимому понятию.

К определениям предъявляется ряд логических тре бований. Вот одно из них: в каких либо двух определе ниях не должно быть «замкнутого круга». Эта ошибка состоит в том, что одно понятие определяется через не которое другое, причем это другое понятие определяется через первое понятие.

Пример ошибки «замкнутого круга».

Первое определение: Второе определение:

перпендикулярными пря прямым углом называется мыми называются две пря угол, который получается мые, которые пересекают при пересечении двух пер ся под прямым углом. пендикулярных прямых.

При наличии «замкнутого круга» одно из двух опре делений обязательно является неправильным. В данном пособии принято первое определение, поэтому второе оп ределение является неправильным.

Между определениями и аксиомами существует боль шое сходство. И те и другие описывают первые свойства изучаемых понятий. Не случайно поэтому систему акси ом называют часто аксиоматическим определением ис ходных (первичных) понятий геометрии. Отличие акси © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by ом от других определений состоит в том, что в аксиомах описываются самые первые свойства (!) самых первых понятий (!!).

Далеко не все свойства понятий формулируются в аксиомах и определениях. Большая часть их сообщает ся в виде теорем. Если аксиомы и определения не дока зываются, то теоремы должны быть доказаны при помо щи логических рассуждений.

Теорема — это предложение, в котором сообщаются свойства понятия, не вошедшие в аксиомы и опреде ления. Эти предложения доказываются.

В каждой теореме выделяются две части: условие тео ремы (то, что дано) и заключение теоремы (то, что нужно доказать).

Пример. Теорема: «Сумма смежных углов равна 180°».

Даны смежные углы Сумма этих углов равна 180° Если условие теоремы обозначить буквой А, а заключе ние — буквой В, то в общем виде теорему можно записать так: если А, то В, или еще короче: А В.

Например, предыдущую теорему можно записать так:

даны смежные углы сумма этих углов равна 180°.

Читается эта запись таким образом: «Если даны смежные углы, то их сумма равна 180°».

Доказательство представляет собой цепочку логи ческих рассуждений. При доказательстве опираются на ранее известные аксиомы, определения и теоремы.

Доказательство обладает точностью (оно не связано с измерениями, физическим опытом), общностью (оно © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by охватывает все случаи, даже если их бесконечное множе ство) и оно, если проводится правильно, всегда приводит к одному и тому же выводу.

Если логические рассуждения по неопытности под меняются утверждениями типа «из рисунка видно, что…»

или в них используются искаженные или несуществую щие в математике понятия, то подобные рассуждения не только не являются доказательством, но и во многих случаях могут привести к неправильному выводу. Пояс ним сказанное следующим примером.

Пример ошибочного рассуждения. На рисунке 1 изо бражены диагонали АХ и АY двух параллелограммов.

Требуется сравнить длины этих диагоналей.

рисунка видно, что АX > АY. Этот вывод можно не только сделать чить при помощи такого рассуж дения: параллелограмм с диаго налью АX длиннее параллелограмма с диагональю АY.

В более длинном параллелограмме диагональ будет больше. Поэтому АX > АY.

Это рассуждение доказательством не является. В нем используются понятия, которые в геометрии отсутству ют. В геометрии нет понятий: «длина параллелограмма», «этот параллелограмм длиннее такого то», «эти парал лелограммы имеют одинаковую длину» и т. п. Как видно, в этом рассуждении нарушено требование: при доказа тельстве опираются на ранее известные аксиомы, опре деления и теоремы. Ошибочно проведенное рассужде ние приводит к неправильному выводу. На самом деле АX = АY. (Убедитесь в этом хотя бы с помощью измере © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by ния.) Более того, доказательство в данном примере (срав нить диагонали АX и АY именно данных параллелограм мов) оказывается вообще невозможным, так как условие сформулированного предложения не является полным (определенным).

Обратная теорема. Если условие и заключение теоремы поменять местами, то получится новое предло жение: В А. Оно может быть справедливым, а может быть ложным. Если предложение В А — справедливое, то оно называется теоремой, обратной теореме А В.

Теоремы А В и В А называются взаимно обратными.

Пример. Для теоремы о смежных углах обратное предложение будет следующим: если сумма двух углов равна 180°, то эти углы являются смежными. Нетрудно видеть, что обратное предложение несправедливо и по этому оно не является теоремой.

Необходимые условия. Достаточные условия. В тео реме А В заключение В называется необходимым для ус ловия А, а условие А — достаточным для заключения В.

Пример. Для теоремы о смежных углах заключение «сумма углов равна 180°» является необходимым для ус ловия «углы смежные», а условие «углы смежные» являет ся достаточным для заключения «сумма углов равна 180°».

Необходимые и достаточные условия. Для теорем А В и B А (кратко это записывается так: А В) условие В называется необходимым и достаточным для условия А, а условие А — необходимым и достаточным для условия В.

Пример. Ввиду того что для теоремы о смежных уг лах обратное предложение не является теоремой, усло вие теоремы не является необходимым и достаточным для заключения теоремы, а заключение теоремы не явля ется необходимым и достаточным для условия теоремы.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 2.1. Прямая, расстояние, между Обратимся теперь к аксиомам геометрии. Их объединя ют в группы, таких групп несколько.

1 я группа (аксиомы прямой) 1.1. Для каждой прямой существует сколько угодно точек, принадлежащих этой прямой, и сколько угодно точек, не принадлежащих ей (рис. 2).

1.2. Через любые две различные точки можно провес ти прямую и только одну (рис. 3).

Следствие. Если прямые а и b имеют более одной об щей точки, то они совпадают.

H T |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| Если две прямые а и b имеют единственную общую точку A, то они называются пересекающимися, а точка А — точкой их пересечения.

© НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by Для измерения расстояний выбирают некоторое рас стояние и принимают его за единицу измерения. При любом измерении (рис. 4) расстояние находится при ближенно. Результаты измерения одного и того же рас стояния могут не совпадать. Понятно, что это расхожде ние вызвано неточностью измерений. На самом же деле расстояние между двумя различными точками (при вы бранной единице измерения) — это некоторое единст венное для этих точек положительное число. В этом и со стоят аксиомы расстояния между двумя точками.

2 я группа (аксиомы расстояния) 2.1. Существует расстояние, равное единице.

2.2. Расстояние между двумя точками всегда нахо дится единственным образом (при выбранной едини це измерения).

2.3. Если точки А и В различны, то расстояние АВ по ложительно. Если две точки совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

2.4. Отношение двух расстояний остается всегда по стоянным, оно не зависит от выбора единицы измерения.

|||| ||||||||| ||||||||| ||||||||| ||||||||| ||||||||| © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Примеры расстояний:

Расстояние от центра Земли до ее поверхности (ра диус Земли) примерно равно 6370 км.

За 1 с свет в вакууме проходит расстояние, примерно равное 299 792 458 м.

«Семь футов под килем» (старинное пожелание мо рякам) — расстояние, примерно равное 2,1336 м.

2.2. Какие понятия можно определить с помощью первых аксиом?

С помощью расстояния между двумя точками можно определить целый ряд понятий, в частности понятия от резка, равных отрезков, длины отрезка и др.

ка Х, которая не совпадает ни с точ знакомимся со следующим опре делением.

Точка Х называется лежащей между точками А и В, если эти три точки лежат на одной прямой и выпол няется равенство: AХ + ХВ = АВ.

Рассмотрим первую аксиому третьей группы. В каче стве аксиомы примем следующее утверждение.

Аксиома о трех точках прямой 3.1. Одна из трех точек, принадлежащих некоторой прямой, обязательно лежит между двумя другими.

Как уже было сказано, с помощью аксиом прямой и расстояния можно определить многие геометрические фигуры (отрезок, окружность, хорда окружности и т. д.) © НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by и отношения между ними (равные отрезки, пересекаю щиеся отрезки, непересекающиеся отрезки и т. д.).

A X B A O B

Отрезком АВ называется множество точек, состоя щее из точек А и В и всех точек X, лежащих между ними (рис. 5, б). Точки А и В называются концами от резка, точка Х — внутренней точкой отрезка.

Если расстояния АВ и CD равны, то отрезки АВ и CD называются равными.

Длиной отрезка АВ называется расстояние АВ.

Серединой отрезка АВ называется точка О, делящая отрезок АВ на два равных отрезка (рис. 6).

Хордой окружности называют отрезок, соединяю щий две точки окружности. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окруж ности.

Два отрезка называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку, которая являет ся внутренней точкой каждого отрезка.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Пусть на плоскости даны четыре точки A, B, C и D, причем никакие три из них не лежат на одной прямой (рис. 8, а, б).

Четырехугольником ABCD называется фигура, со стоящая из четырех отрезков AB, BC, CD и DA, из ко торых никакие два не пересекаются и не лежат на одной прямой. Вершинами четырехугольника назы ваются точки A, B, C и D, сторонами четырехугольни ка — отрезки AB, BC, CD и DA. Периметром четырех угольника называется сумма длин всех его сторон.

2.3. Применение аксиом при решении задач Аксиомы используются не только для построения опре делений понятий, с их помощью можно решать задачи.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. (Решите без выполнения чертежа!) Астро ном, наблюдая в телескоп три космических объекта Х, Y и Z, определил расстояния между ними в астроно мических единицах (1 а. е. » 150 000 000 км). Располо жены ли эти объекты в данный момент наблюдения на одном отрезке, если ХY = 3 а. е., YZ = 4 а. е., ХZ = 5 а. е.?

Требуется: установить, расположены ли точки Х, Y и Z на одном отрезке.

© НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by Решение.

1) Для того чтобы космические объекты Х, Y и Z ока зались расположенными на одном отрезке, необходимо, чтобы сумма двух меньших расстояний была равна боль шему расстоянию;

2) проверим, выполняется ли это требование:

3 а. е. + 4 а. е. 5 (а. е.);

3) значит, эти космические объекты не расположе ны на одном отрезке.

Ответ: космические объекты Х, Y и Z не лежат на одном отрезке.

Задача 2. Пусть даны те же самые космические объек ты, что и в предыдущей задаче. Лежат ли эти космиче ские объекты в момент наблюдения на одной прямой?

Вы, вероятно, уже догадались, какой ответ надо дать:

данные объекты не лежат на одной прямой. Эта догадка правильная. А как провести ее доказательство?

Попытаемся это сделать. Посмотрим, к каким выводам можно прийти, допустив, что данные объекты лежат на од ной прямой. Если по допущению они лежат на одной пря мой, тогда по аксиоме 3.1 один из них лежит между двумя другими. Может ли, например, объект Х лежать между объектами Y и Z? Так как YX + XZ = 3 + 5 4, т. е. YX + XZ YZ, то приходим к выводу: объект X не лежит между Y и Z.

Аналогично убеждаемся в том, что Y не лежит между X и Z и Z не лежит между X и Y. Получили противоречие с аксио мой 3.1. Оказалось, что из трех точек, принадлежащих пря мой, никакая точка не лежит между двумя другими! Проти воречие получено из за того, что сделано неправильное до пущение (данные объекты лежат на одной прямой).

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by Значит, космические объекты не лежат на одной прямой.

(Заметим, что при доказательстве использовался метод, который называется методом от противного.) возможности в построении геометрии.

3.1. Что такое полуплоскость и луч?

Прямая и отрезок называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку, которая является внутренней точкой данного отрезка.

Введем понятия полуплоскости и луча и их аксиомы.

Проведем на плоскости прямую а. Эта прямая делит все точки плоскости, не принадлежащие прямой, на час а) если точки А и В принадлежат раз А личным частям плоскости, то отрезок АВ пересекает прямую а;

б) если точки А и С принадлежат од ной части плоскости, то отрезок АС не пе а ресекает прямую а.

Эти части плоскости называются по луплоскостями.

Эти полуплоскости называются до полнительными. Они дополняют друг друга вместе с пря мой а до плоскости. Прямая а называется границей каж дой из дополнительных полуплоскостей.

Чтобы указать полуплоскость, задают границу полу плоскости и одну из точек полуплоскости, не принадле жащую границе.

© НМУ «Национальный институт образования»

Скачано с сайта www.aversev.by На прямой а возьмем точку О. Эта точка делит все ос тальные точки прямой на части, такие что (рис. 9, б):

б) если точки А и С принадлежат одной части пря мой, то точка О не лежит между точками А и С.

Эти части прямой называются лучами (полупрямы ми). Эти лучи называются дополнительными. Они до полняют друг друга вместе с точкой О до прямой. Точка О называется началом (или вершиной) каждого из допол нительных лучей.

Сформулируем теперь другие аксиомы третьей груп пы — аксиомы полуплоскости, луча и откладывания от резка:

Аксиома полуплоскости 3.2. Прямая а разбивает все точки плоскости, не при надлежащие этой прямой, на две полуплоскости.

Аксиома луча 3.3. Точка О, принадлежащая прямой а, разбивает все остальные точки этой прямой на два луча (две полу прямые).

Аксиома откладывания отрезка 3.4. На луче от его начала (рис. 10) можно отложить от резок любой данной длины и только один.

© НМУ «Национальный институт образования»

© ОДО «Аверсэв»

Скачано с сайта www.aversev.by 3.2. Задача, связанная с теоремой Жордана Задача 1. С помощью аксиомы луча можно доказать, что прямая не может иметь вид, показанный на ри сунке 11 (на этом рисунке она изображена в виде замкнутой линии). Как это сделать?





Похожие работы:

«Департамент образования города Москвы Северо-Западное окружное управление образования города Москвы ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2077 123060, Москва, улица Маршала Конева, дом 10. Тел: (499) 194-10-44. E-mail: sch2077@szouo.ru http://школа2077. рф/ ПУБЛИЧНЫЙ ДОКЛАД ДИРЕКТОРА за 2013/2014 учебный год Публичный доклад утвержден на заседании Управляющего Совета ГБОУ СОШ № 2077 Протокол № от 01 августа 2014 г. Председатель УС...»

«ПРОГРАММА вступительного экзамена по образовательной программе ординатуры по специальности 31.08.57 Онкология (очная форма обучения) Содержание вступительного экзамена по онкологии. Наименование №№ раздела Содержание п/п дисциплины Раздел 1. Общая онкология 1. Современные Государственная политика в области охраны здоровья и проблемы и здравоохранения. Основы управления здравоохранением в перспективы Российской Федерации. Нормативные правовые акты. развития Организационные структуры управления в...»

«ПРОГРАММА вступительных испытаний в магистратуру по направлению 27.04.02 – Управление качеством Магистерская программа - Системы менеджмента качества СОДЕРЖАНИЕ программы вступительных испытаний по направлению 27.04.02 Управление качеством Общие положения, регламентирующие порядок проведения 1. вступительных испытаний в магистратуру по направлению, включая требования к уровню подготовки бакалавров, необходимому для освоения программы магистров Критерии оценки ответов при проведении...»

«Результаты образовательной деятельности школы в 2012- 2013 учебном году Приоритетным направлением работы школы в 2012-2013 учебном году являлось совершенствование системы работы школы, направленное на сохранение и развитие благоприятной образовательной среды, обеспечение успешной социализации обучающихся. Основные задачи школы в истекшем учебном году: 1. Повышение уровня качества образовательных услуг. 2. Повышение уровня эффективности воспитательной работы через систему контроля и внедрение...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЁВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) (СГАУ) ПРОГРАММА КОМПЛЕКСНОГО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 080116.65 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ (ОЧНАЯ, ОЧНО-ЗАОЧНАЯ (ВЕЧЕРНЯЯ) ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ) САМАРА 2014 Программа утверждена на заседании научно-методической комиссии...»

«П р и л о ж е н и е №. к ЛИЦЕНЗИИ на право ведения образовательной деятельности от 18 июля 2011 г. Регистрационны й № _ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ наименование лицензирующего органа федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования _Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения(СПБГУКиТ) полное и (в случае, если имеется) сокращенное наименования лицензиата или наименование филиала лицензиата...»

«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Примерная основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки магистров Москва 2008 СОДЕРЖАНИЕ Введение... 2 Структура и состав примерной основной образовательной программы магистратуры.6 Разработка учебного плана магистратуры..12 Система оценки контроля качества выпускников..18 Примерная программа практик..20 Приложение: Примерные программы дисциплин..28 1 Введение Представленная ниже...»

«WRESTLING FEDERATION OF RUSSIA ФЕДЕРАЦИЯ СПОРТИВНОЙ БОРЬБЫ РОССИИ Russia, 119992, Moskow, Luzhnetskaya nab., 8 President – tel (7 495) 725-4741; fax 255-2101 Executive management: tel/fax 725-4621 E-mail: rus@fila-wrestling.com, brusovg@mail.ru Greco-Roman Style Department – tel/fax 725-4712 Free Style Department – tel. 725-4735; tel/fax 725-4607 Уважаемые участники конференции! Федерацией спортивной борьбы России была разработана и утверждена в Министерстве спорта РФ Программа Развития...»

«РАССМОТРЕНА УТВЕРЖДЕНА Приёмной комиссией Ученым советом ФГБОУ ВПО Астраханский Астраханского государственный университет государственного университета 14 января 2013 года, протокол № 01 28 января 2013 года, протокол № 07 ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО АГРОНОМИИ, для поступающих по направлению подготовки магистров 110400.68 АГРОНОМИЯ Магистерская программа – Агробизнес в 2013 году АСТРАХАНЬ - 2013 1 Структура программы вступительного испытания в магистратуру: 1. Назначение вступительного...»

«Башкиров Андрей Рудольфович Начальник отдела энергосбережения Министерства промышленности и энергетики Удмуртской Республики (по материалам Минпромэнерго УР) (3412) 935489, г.Ижевск, ул. Красная, 144. Эл. адрес: bar@minprom.uzel9.ru Энергосбережение – региональный подход Потребность экономики в энергоресурсах растет. Для обеспечения энерговооруженности экономики существует два варианта решения. Первый - это увеличение объема добычи полезных ископаемых, строительство новых генерирующих...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ УТВЕРЖДАЮ Проректор НИЯУ МИФИ _ _ _ _ 2012 г. Проект образовательной программы дистанционного обучения одаренных детей и подростков, проявивших способности в области физических наук на основе модели взаимодействия учреждений высшего и общего образования Школы партнеры - вуз...»

«УДК: 800:372.8 ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАТИВНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ У СТУДЕНТОВ МЕДИЦИНСКОГО ВУЗА И.Ф. Шамара Кандидат филологических наук, доцент, зав. кафедрой иностранных языков e-mail: inostr_2@mail.ru Курский государственный медицинский университет В статье рассматриваются основные задачи преподавания дисциплины Иностранный язык студентам медицинских вузов в процессе развития основных компетенций. Исследуются возможности применения интерактивных...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.АЙНИ МИРАЛИЕВ КИЁМИДДИН АБДУСАЛИМОВИЧ СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МОЛОДЕЖНЫХ ОБЪЕДИНЕНИЙ В СОВРЕМЕННОМ ТАДЖИКИСТАНЕ Специальность: 23.00.02 - Политические институты, этнополитическая конфликтология, национальные и политические процессы и технологии ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата политических наук Научный руководитель: доктор исторических наук, профессор Набиев...»

«ГБОУ ВПО СамГМУ Минздравсоцразвития России АСПИРАНТСКИЕ ЧТЕНИЯ – 2012 Программа и пригласительный билет Всероссийской конференции с международным участием Молодые учные – медицине 23 октября 2012 Самара - 2012 Уважаемые аспиранты и молодые преподаватели, клинические ординаторы и интерны, студенты, интересующиеся исследовательской работой! Приглашаем вас принять участие в работе Всероссийской конференции с международным участием дипломированных специалистов в области медико-биологических и...»

«СЦЕНИЧЕСКАЯ РЕЧЬ ПРОГРАММА ДЛЯ ТЕАТРАЛЬНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ ДЕТСКИХ ШКОЛ ИСКУССТВ Автор - ЕЛ. Ларионова (1987 г.) (Извлечение) ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цель создания театральных отделений в детских школах искусств общеэстетическое воспитание и специальное образование детей, развитие их творческих способностей средствами театрального искусства. Предмет Сценическая речь входящий в программу театральных отделений детских школ искусств, должен быть органически связан со всей системой эстетического воспитания...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и социальным вопросам _ А.А. Хмыль 15.04.2013 ПРОГРАММА вступительных экзаменов в магистратуру по специальности 1-38 80 04 Технология приборостроения Минск 2013 2 Программа вступительного экзамена составлена в соответствии с квалификационными требованиями, предъявляемыми к уровню подготовки специалистов на второй ступени...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА подготовки руководящих работников предприятий ответственных за обеспечение радиационной безопасности Иркутск 2013 Общее положение 1. 1.1 Организация обучения Для повышения эффективности обучения учебные группы комплектуются преимущественно их одной или родственных категорий...»

«Приложение к образовательной программе основного и среднего общего образования МБОУ Стрелецкая средняя общеобразовательная школа Орловского района Орловской области ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО ЭКОНОМИКЕ (10-11) (профильный уровень) ЭКОНОМИКА: ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Программа для 10-11 классов (профильный уровень) (Авторы программы — С. И. Иванов, М. А. Скляр) Пояснительная записка: Программа Экономика для 10—11 классов школ, лицеев и гимназий с экономическим...»

«ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ ИСКУССТВО 1-4 классы Авторы: Т. Я. Шпикалова, Л. В. Ершова ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа разработана в соответствии с основными положениями Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, Концепцией духовнонравственного развития и воспитания личности гражданина России, авторской программы Т. Я. Шпикаловой, Л. В. Ершовой и планируемых результатов начального общего образования. Общая характеристика учебного предмета...»

«Минобрнауки России Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Вятского государственного гуманитарного университета в г. Кирово-Чепецке Кафедра экономики и управления УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой экономики и управления, канд. пед. наук Г. П. Савиных Подпись 03.02.2011 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины Психофизиология профессиональной деятельности для специальности 080505.65 – Управление персоналом Кирово-Чепецк Учебно-методический комплекс...»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.