[ ПРОГРАММА
вступительного экзамена
«ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
(для поступающих на сокращенный срок обучения по учебным планам, интегрированным
с образовательными программами среднего специального образования)
Введение в математику
Множества. Действия над множествами. Основные логические функции. Метод
математической индукции. Бином Ньютона.
Множество действительных чисел. Модуль действительного числа.
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Формулы Муавра и Эйлера.
Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.
Линейная алгебра Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.
Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителей квадратных матриц.
Линейные системы второго и третьего порядков. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Обратная матрица и ее построение. Свойства обратных матриц. Вычисление ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.
Матричный способ решения систем линейных уравнений.
Аналитическая геометрия Декартова система координат. Векторы. Понятие базиса. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме.
Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и механический смысл. Векторное произведение в координатной форме.
Смешанное произведение векторов. Условие компланарности трех векторов.
Кривая на плоскости и способы ее задания.
Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат.
Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.
Прямая в пространстве и способы ее задания. Определение угла между прямыми и расстояния от точки до прямой.
Плоскость в пространстве и различные формы ее задания. Определение угла между прямой и плоскостью. Определение расстояния от точки до плоскости.
Общее уравнение поверхности второго порядка. Эллипсоид, гиперболоид, конус, цилиндр. Поверхности вращения.
Математический анализ Предел числовой последовательности. Критерий Коши.
Нахождение предела функции в точке. Нахождение предела функции на бесконечности.
Замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Исследование функции на непрерывность в точке.
Функции непрерывные на отрезке и их свойства. Теоремы Вейерштрасса. Теорема Коши. Обратная функция и ее непрерывность.
Производная функции. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования.
Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределенностей. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора и различные формы ее остаточного члена. Основные разложения по формуле Тейлора и их приложения.
Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции.
Исследование функции и построение ее графика.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
Рациональные функции. Разложение рациональной функции на сумму простых дробей.
Методы вычисления коэффициентов разложения.
Интегрирование рациональных функций, тригонометрических рациональных функций и некоторых иррациональных функций.
Определенный интеграл. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.
Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Числовой ряд и его сумма. Необходимые и достаточные условия сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
Функциональные ряды. Определение суммы ряда и области сходимости функциональных рядов. Равномерная сходимость функциональных рядов.
Степенные ряды. Определение радиуса, интервала и области сходимости степенного ряда.
Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение однородных дифференциальных уравнений. Решение уравнений в полных дифференциалах. Решение линейных дифференциальных уравнений. Уравнение Бернулли.
Общие понятия о дифференциальных уравнениях высших порядков. Решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка. Случаи понижения порядка. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная 1. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск, 2006–2007. – Ч. 1 : Алгебраические уравнения и неравенства. Функции. Логарифмы / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2006.2. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск, 2006–2007. – Ч. 2 : Тригонометрия. Векторы.
Аналитическая геометрия на плоскости. Предел. Производная. Стереометрия / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.
3. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск, 2006–2007. – Ч. 3 : Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия в пространстве. Предел и непрерывность функции.
Дифференциальное исчисление. Функции многих переменных / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.
4. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск, 2006–2007. – Ч. 4 : Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Дифференциальные уравнения / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.
5. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск, 2006–2007. – Ч. 5 : Линейные пространства и линейные операторы. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Ряды / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.
6. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск, 2006–2007. – Ч. 6 : Теория функций комплексной переменной. Теория вероятностей и математическая статистика. Численные методы / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.
7. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Учебник : в 2 ч. / под ред.
Г.Н. Яковлева. – 3-е изд., перераб. – М., 1987–1988.
8. Математика для техникумов. Геометрия. Учебник : / М.И. Каченовский [и др.] ; под общ. ред. Г.Н. Яковлева. – 3-е изд., перераб. – М., 1980.
9. Индивидуальные задания по высшей математике. Линейная и векторная алгебра.
Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Учеб. пособие / А.П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск, 2000.
10. Индивидуальные задания по высшей математике. Комплексные числа.
Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учеб. пособие / А.П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск, 2000.
11. Индивидуальные задания по высшей математике. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Учеб. пособие / А.П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред.
А.П. Рябушко. – Минск, 2004.
12. Руководство к решению задач по высшей математике. Учеб. пособие : в 2 ч. / Е.И. Гурский [и др.] ; под общ. ред. Е.И. Гурского. – Минск, 1989–1990. – Ч. 1.
13. Руководство к решению задач по высшей математике. Учеб. пособие : в 2 ч. / Е.И. Гурский [и др.] ; под общ. ред. Е.И. Гурского. – Минск, 1989–1990. – Ч. 2.
14. Гусак, А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие по решению задач / А.А. Гусак. – 2-е изд., стереотип. – Минск, 2001.
15. Булдык, Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике с примерами решений / Г.М. Булдык. – Минск, 2002.
«