«Лекционные курсы НОЦ Выпуск 3 Издание выходит с 2006 года М. Э. Казарян Введение в теорию гомологий Москва 2006 УДК 511 ББК (В)22.147, (В)22.15 Л43 Редакционный совет: С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. ...»

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 3

Издание выходит с 2006 года

М. Э. Казарян

Введение в теорию гомологий

Москва

2006

УДК 511

ББК (В)22.147, (В)22.15

Л43

Редакционный совет:

С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович, А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь), А. А. Карацуба, В. В. Козлов, С. П. Новиков, В. П. Павлов (заместитель главного редактора), А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка Л43 Лекционные курсы НОЦ / Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2006.

Вып. 3: Введение в теорию гомологий / Казарян М. Э. – 106 с.

ISBN 5-98419-013- Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.

Настоящая брошюра содержит полугодовой курс М. Э. Казаряна “Введение в теорию гомологий” прочитанный в осеннем семестре года.

c Математический институт ISBN 5-98419-013- им. В. А. Стеклова РАН,

ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление Предисловие............................ 1 Примеры теорий гомологий................. 2 Гомотопическая инвариантность гомологий........ 3 Относительные гомологии и изоморфизм вырезания... 4 Длинная точная последовательность пары........ 5 Лемма о пяти гомоморфизмах................ 6 Последовательность и принцип Майера–Вьеториса... 7 Аксиоматический подход к построению теории гомологий 8 Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе.............................. 9 Умножение в когомологиях................. 10 Гомологии многообразий................... 11 Двойственность и когомологии............... 12 Теория Морса......................... 13 Гомологии комплексных многообразий........... 14 Спектральная последовательность............. 15 Спектральная последовательность расслоения...... 16 Пример: теорема Пушкаря о диаметрах подмногообразий евклидова пространства................. 17 Пространство Эйленберга–Маклейна как классифицирующее пространство гомологий.............. 18 Гомологии и гомотопии.................... 19 Грассманианы и исчисление Шуберта........... 4 Предисловие Предисловие Представленный текст является обработанными записками лекций, прочитанных в Научно-образовательном центре МИ РАН в осеннем семестре 2005 года. По теории гомологий имеется огромное количество замечательных учебников, поэтому необходимость появления еще одной книжки требует обоснования. Одно из основных отличий представленного текста является его сравнительно небольшой объем. Это позволяет читателю быстро войти в курс дела и охватить сразу целиком почти весь предмет.

Я постарался включить по возможности все основные методы, используемые при вычислении гомологий, включая теорию Морса, двойственность Пуанкаре и спектральные последовательности. Не останавливаясь на подробностях доказательств, я предпочел больше времени уделить разбору разнообразных примеров и приложений. Поэтому данный курс следует рассматривать как «практическое руководство пользователя», заинтересованного в применении теории гомологий в своей области математики.

Один из очевидных недостатков такого подхода является недостаточная проработка технических деталей. Доказательства многих утверждений приведены схематически или оставлены читателю в виде упражнений, поэтому от читателя требуется вдумчивость и трудолюбие. Как показали проведенные экзамены, недостаточное уделение внимания деталям вызвало у некоторых слушателей обманчивое впечатление простоты предмета, в результате чего не до конца было осознано кардинальное различие между топологическими свойствами открытых и замкнутых многообразий, относительных и абсолютных гомологий, тривиальных и косых расслоений, гомологически простых и не простых расслоений и т.п. В любом случае, вслед за освоениями основ теории, я настоятельно рекомендую проработать подробно имеющиеся более полные учебники по теории гомологий.

Теория гомологий сопоставляет всякому топологическому пространству X последовательность абелевых групп Hk (X), k = 0, 1, 2,..., которые являются гомотопическими инвариантами пространства: если два пространства гомотопически эквивалентны, то и соответствующие группы гомологий изоморфны. Определение групп гомологий не столь простое, как для других инвариантов подобного рода (например, гомотопических групп, бордизмов и т.п.), однако эти трудности сполна компенсируются относительной простотой вычисления гомологий. Наличие большого количества разнообразных методов работы с гомологиями делает их незаменимым орудием в любых топологических исследованиях.

Одна из первых трудностей, с которой сталкивается всякий начинающий математик при изучении гомологий состоит в наличии огромного количества различных неэквивалентных теорий гомологий: существуют симплициальные гомологии, сингулярные, клеточные, гомологии и когомологии Чеха, Александера, де Рама, и другие альтернативные теории. Все эти теории приводят к разным, вообще говоря, инвариантам, однако во всех практических задачах различие между этими теориями не проявляется: в большинстве приложений достаточно считать, что пространство X является клеточным1 (или гомотопически эквивалентно клеточному пространству). А для клеточных пространств все эти теории приводят к одному и тому же.

Пример 1.1. Группа H0 (X) имеет вид Zk, где k – число компонент связности пространства X. В случае гомологий Чеха компоненты связности рассматриваются в топологическом смысле (минимальные непустые подпространства, которые одновременно открыты и замкнуты), а, например, в случае сингулярных гомологий берутся компоненты линейной связности. Для клеточных пространств оба понятия совпадают, однако нетрудно привести пример «паталогического» пространства (типа замыкания графика функции y = sin x ), для которого компоненты связности и линейной связности различаются.

1 Иногда вместо термина «клеточное пространство» используют термин «клеточный комплекс» или «CW-комплекс», однако мы сохраним слово «комплекс» для понятия цепного комплекса.

В основе любого построения теории гомологий лежит понятие цепного комплекса.

Определение 1.2. Цепным комплексом (C•, ) называется последовательность абелевых групп и гомоморфизмов между ними таких, что композиция двух соседних гомоморфизмов является нулевым гомоморфизмом, Элементы группы Ck называются k-мерными цепями, а – граничным гомоморфизмом, или оператором взятия границы. Цепь a называется замкнутой, или циклом, если a = 0, и точной, или границей, если a = b для некоторой (k + 1)-мерной цепи b.

Группой k-мерных гомологий комплекса C называется факторгруппа группы k-циклов по границам, Условие 2 = 0 гарантирует, что всякая точная цепь является замкнутой, т.е. образ гомоморфизма : Ck+1 Ck действительно лежит в ядре гомоморфизма : Ck Ck1. Классы гомологий представляются своими циклами. Два цикла задают один и тот же класс гомологий, если они отличаются на границу. В этом случае говорят, что данные два цикла гомологичны.

С формальной точки зрения, гомоморфизмы : Ck Ck1 не связаны друг с другом для различных k, и их следовало бы обозначать по-разному (например, добавляя соответствующий индекс). Однако для упрощения обозначений мы будем для всех этих гомоморфизмов использовать один и тот же символ.

Как правило, группы Ck свободны, т.е. изоморфны прямой сумме некоторого (возможно, бесконечного) количества экземпляров Z. Однако гомологии уже могут иметь кручение (прямые слагаемые вида Zp = Z/pZ).

Всякая теория гомологий состоит в конструкции, сопоставляющей топологическому пространству цепной комплекс. Группами гомологий пространства называются группы гомологий соответствующего комплекса. Затем доказывается, что, в отличие от групп цепей, группы гомологий не зависят ни от произвола, имеющегося в конструкции, ни от выбора конкретного пространства в классе гомотопически эквивалентных. Приведем краткий обзор некоторых из наиболее популярных конструкций.

Понятие симплициальных гомологий, по существу, комбинаторное. Пусть задано конечное упорядоченное множество V, элементы которого называются вершинами, и зафиксирована некоторая совокупность S его непустых подмножеств, называемых гранями.

При этом требуется выполнение следующего условия: вместе со всяким подмножеством f V, входящим в S, все непустые подмножества в f также входят в S. Пара (V, S) называется симплициальным комплексом.

k-мерным симплексом называется выпуклая оболочка (k + 1) точки общего положения в пространстве достаточно большого числа измерений. Например, 1-мерный симплекс это отрезок, двумерный – треугольник, трехмерный – тетраэдр, и т.д. Всякому симплициальному комплексу (V, S) сопоставляется его геометрическая реализация K(V, S). Это топологическое пространство, образованное склейкой симплексов, множество вершин которых входит в S. Более подробно, поместим точки множества V общим образом в евклидово пространство большой размерности. Каждому подмножеству f V, входящему в S, сопоставим симплекс, являющийся выпуклой оболочкой входящих в f точек. Объединение всех таких симплексов и образует геометрическую реализацию данного симплициального комплекса.

Пример 1.3.

Пусть V состоит из трех точек, обозначаемых 0, 1, и 2, а S состоит из шести подмножеств {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, и {1, 2}.

Геометрической реализацией этого симплициального комплекса является граница треугольника, гомеоморфная окружности S 1.

Пусть задан симплициальный комплекс. Симплициальной kцепью называется произвольная формальная линейная комбинация с целыми коэффициентами его k-мерных граней. Более строго, группой Ck (V, S) симплициальных k-цепей называется свободная абелева группа, образующие которой v0,...,vk находятся во взаимно-однозначном соответствии с (k + 1)-элементными подмножествами {v0,..., vk } V, входящими в S. При обозначении образующих мы всегда предполагаем, что индексы v0,..., vk идут в строго возрастающем порядке (напомним, что множество вершин V упорядочено по определению). Граничный оператор задается на образующих явной формулой Иными словами, границей k-мерного симплекса является сумма взятых с определенными знаками всех его (k 1)-мерных граней.

Гомологии построенного комплекса называются симплициальными гомологиями топологического пространства K(V, S). Тот факт, что симплициальные гомологии не зависят от симплициальной реализации данного топологического пространства (и даже не меняются при замене пространства на гомотопически ему эквивалентное) далеко не тривиален.

Задача 1.4. Докажите равенство 2 = 0.

Задача 1.5. Приведите несколько симплициальных реализаций окружности и вычислите симплициальные гомологии каждой из этих реализаций.

Задача 1.6. Докажите, что симплициальные гомологии не зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора порядка на множестве вершин.

Симплициальные гомологии задают вполне однозначный алгоритм их вычислений, однако для конкретных вычислений пользоваться им не очень удобно: даже для простейших пространств, таких, как тор, или сфера, всякая симплициальная реализация содержит довольно большое количество граней разных размерностей, и для вычисления гомологий приходится вычислять ранги матриц довольно большого размера. С точки зрения конкретных вычислений определяемые ниже клеточные гомологии существенно удобнее.

Напомним, что k-мерной клеткой называется внутренность единичного k-мерного шара B k. Говорят, что на топологическом пространстве X задана структура клеточного пространства, если оно представлено в виде несвязного объединения клеток X = разных размерностей, при этом требуется, чтобы для всякой клетки гомеоморфизм Int Bk продолжался до непрерывного отображения замкнутого шара : Bk X, при котором образ границы шара содержится в объединении клеток меньших размерностей (внутренность шара отображается на свой образ взаимно однозначно, но разным точкам границы вполне разрешается иметь общий образ). Помимо этого, предполагается выполнение еще двух аксиом, C и W, которые я сейчас обсуждать не буду.

Необходимость в этих аксиомах появляется, в основном, когда количество клеток бесконечно. Для технических потребностей в клеточную структуру разбиения часто включают сами характеристические отображения. Для целей же вычисления гомологий достаточно лишь задать ориентацию каждой клетки (как гладкого k-мерного многообразия).

Группой клеточных k-мерных цепей клеточного пространства X называется свободная абелева группа, образующие коk торой находятся во взаимно однозначном соответствии с kмерными клетками этого пространства. Значение граничного гомоморфизма на всякой k-мерной клетке является линейной комбинацией (k 1)-мерных клеток, Коэффициенты [ : ] этой линейной комбинации называютk ся коэффициентами инцидентности. Коэффициент [ : ] равен кратности, с которой клетка входит в границу клетk ки. Определение этого коэффициента следующее. k-мерным остовом клеточного пространства X называется подпространство skk (X) X, образованное объединением всех клеток размерностей не выше k. Остовы образуют возрастающую замкнутую фильтрацию на пространстве X, каждый последовательный фактор skk (X)/ skk1 (X) этой фильтрации изоморфен букету k-мерных сфер, по одной сфере для каждой k-мерной клетки. Коэффициент инцидентности [ : ] определяется как степень следующего отображения (k 1)-мерных сфер где первое отображение – ограничение характеристического отобk ражения для клетки на границу шара, а последнее задается стягиванием всех сфер букета skk1 (X)/ skk2 (X), кроме сферы, соответствующей клетке.

Для конкретных вычислений клеточные гомологии наиболее эффективны, однако использовать их в качестве основы для построения теории гомологий черезвычайно трудно (даже равенство 2 = 0 превращается в нетривиальную теорему). Мы обойдем все эти трудности, получив клеточные гомологии в качестве алгоритма вычисления сингулярных.

Пример 1.7. n-мерная сфера может быть разбита всего на две клетки S n = 0 n размерностей 0 и n. Соответствующий цепной комплекс имеет вид Граничные гомоморфизмы в этом комплексе, очевидно, нулевые, по соображениям размерностей. Следовательно, гомологии сферы Hk (S n ) изоморфны Z при k равном нулю или n и тривиальны при всех остальных k. Аналогичный ответ можно получить и при помощи симплициальных гомологий, но насколько при этом усложняются вычисления!

Пример 1.8. Комплексное проективное пространство CP n является гладким многообразием вещественной размерности 2n.

На нем имеется естественное клеточное разбиение, имеющее по одной клетке каждой четной размерности от 0 до 2n (опишите его!). Поскольку клетки нечетной размерности отсутствуют, все граничные гомоморфизмы опять нулевые по соображениям размерностей. Следовательно, группа Hk (CP n ) изоморфна Z для всякого четного k от 0 до 2n и тривиальна для остальных k.

Вещественное проективное пространство RP n обладает аналогичным клеточным разбиением, но в нем присутствуют клетки всех размерностей от 0 до n, и вычислять граничный гомоморфизм приходится «по-честному». Одно из описаний этого клеточного разбиения состоит в следующем. Проективное пространство получается из n-мерной сферы отождествлением диаметрально противоположных точек. Разобьем сферу экватором на две полусферы. Открытые части полусфер являются клетками, а экватор является сферой на единицу меньшей размерности. Разобьем аналогичным образом экватор на две полусферы и т.д. В результате мы получим клеточное разбиение сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n. Антиподальная инволюция переставляет между собой пары клеток одинаковой размерности.

Отождествляя эти клетки между собой, мы получаем искомое клеточное разбиение проективного пространства. Таким образом, цепной комплекс указанного клеточного разбиения имеет вид (мы не указываем тривиальные группы в размерностях, больших n + 1, поскольку они не дают вклад в гомологии).

Задача 1.9. Определите граничный гомоморфизм в приведенном цепном комплексе и вычислите гомологии пространства RP n для различных n.

Для облегчения решения последней задачи я приведу более конструктивное описание коэффициентов инцидентности. В ситуациях, возникающих из практических задач, замыкания клеток имеют, как правило, полуалгебраические особенности (в объемлющем пространстве большой размерности, в которое вложено наше топологическое пространство). Рассмотрим некоторую (k 1)-мерную клетку, выберем на ней произвольную точку общего положения, и проведем в окрестности этой точки трансверсаль дополнительной размерности к данной клетке. Клетки соседней размерности k высекут на этой трансверсали набор кривых, выходящих из начала координат. Каждой из этих кривых можно приписать знак, положительный или отрицательный, в заk висимости от того, согласована или нет ориентация клетки с соответствующей ветвью примыкающей k-мерной клетки2. Коk эффициент инцидентности [ : ] равен количеству кривых на трансверсали, принадлежащих клетке и посчитанных с учетом знаков.

Задача 1.10. Вычислите клеточные гомологии а) двумерного тора; б) сферы с g ручками; в) проективной плоскости; г) бутылки Клейна.

Задача 1.11. Симплициальное разбиение является частным случаем клеточного. Докажите, что клеточный цепной комплекс для симплициального клеточного разбиения сводится к симплициальному. Тем самым, клеточные гомологии симплициального пространства совпадают с симплициальными (при условии, что корректность определения и гомотопическая инвариантность тех и других гомологий считаются доказанными).

Всякое гладкое компактное n-мерное многообразие M допускает симплициальное разбиение (несмотря на геометрическую очевидность этого утверждения, его строгое доказательство довольно трудоемко). Отсюда следует, что его (клеточные) гомологии тривиальны в размерностях, больших n.

Задача 1.12. Вычислите группу гомологий Hn (M ) старшей размерности n-мерного многообразия M.

Сингулярные гомологии практически никогда не удается вычислить напрямую исходя из приведенного ниже определение. Тем не менее, они являются наиболее удобными для построения теории и доказательства общих теорем. В отличие от симплициальных или клеточных, определение сингулярных гомологий применимо для произвольного топологического пространства. Зафиксируем для 2 Напомню, что граница ориентированного n-мерного многообразия наделяется естественной ориентацией, задаваемой правилом «внешнюю нормаль – в начало»: если базис e1,..., en касательных векторов положительно ориентирует исходное многообразие в точке его края, причем векторы e2,..., en касаются края, а вектор e1 ему трансверсален и направлен наружу многообразия, то положительная ориентация края задается базисом его касательных векторов e2,..., en.

каждого натурального k раз и навсегда стандартный k-мерный симплекс 0,1,...,k. В качестве такого симплекса можно взять, например, симплекс, задаваемый неравенствами xi 0 на гиперплоскости x0 + · · · + xk = 0 в координатном пространстве Rk+1.

Определение 1.13. Сингулярным симплексом на топологическом пространстве X называется произвольное непрерывное отображение : 0,1,...,k X стандартного симплекса в X.

Группой Ck (X) сингулярных k-цепей пространства X называется свободная абелева группа, образующие которой находятся во взаимно-однозначном соответствии со всевозможными сингулярными симплексами на X. Граничный гомоморфизм задается на сингулярном симплексе явной формулой где k,i : 0,1,...,k1 0,1,...,k – зафиксированное раз и навсегда отображение, отождествляющее грань 0,...,i1,i+1,...,k стандартного k-мерного симплекса со стандартным (k 1)-мерным симплексом. Сингулярными гомологиями пространства X называются гомологии комплекса его сингулярных цепей.

На первый взгляд, определение выглядит ужасающим: множество образующих в комплексе не просто бесконечно, а имеет континуальную мощность. Несколько успокаивает то, что в каждой сингулярной цепи участвует лишь конечное число сингулярных симплексов.

Задача 1.14. Рассмотрим в некотором топологическом пространстве X непрерывный путь : [0, 1] X как сингулярный одномерный симплекс. Пусть – тот же путь, но пройденный в обратном направлении. Проверьте, что ( + ) = 0. Докажите, что сингулярная цепь + гомологична нулю: постройте сингулярную 2-цепь, такую, что = +.

Вот почти единственный случай, когда сингулярные гомологии удается вычислить непосредственно из определения.

Задача 1.15. Вычислите сингулярные гомологии точки.

Для сравнения приведем еще один способ построения теории гомологий. Пусть задано топологическое пространство X и его покрытие X = U открытыми подмножествами. С таким покрытием связывается следующий комплекс. Его образующими 0,...,k размерности k служат всевозможные упорядоченные наборы попарно различных индексов (0,..., k ), такие что U1 · · · Uk =, а граничный оператор задается формулой Если существует покрытие, обладающее дополнительным свойством, что все непустые пересечения в нем стягиваемы, то гомологии приведенного комплекса не зависят от выбора такого покрытия и называются гомологиями Чеха пространства X. Если же такого покрытия выбрать не удается, то гомологии Чеха определяются как проективный предел гомологий покрытий, взятый по всем покрытиям и их измельчениям.

Следует отметить, что гомологии Чеха обладают более приятными свойствами, чем сингулярные. Поэтому при изучении «паталогических» пространств предпочтительнее пользоваться гомологиями Чеха.

В качестве альтернативы можно ограничиться кососимметричными цепями: в определении группы k-цепей наложить дополнительное равенство (0,..., k ) = (1)sign s (s(0),..., s(k) ) для всякой перестановки s. Гомологии при этом останутся теми же. Как видно из определения, гомологии покрытия равны симплициальным гомологиям некоторого симплициального комплекса (какого?). Этот симплициальный комплекс называется нервом покрытия.

Задача 1.16. Рассмотрим покрытие проколотой плоскости X = R2 \ {0} тремя полуплоскостями, ограниченными прямыми, проходящими через начало координат. Вычислите гомологии Чеха этого покрытия. Определите нерв. Являются ли нерв и пространство X в данном случае гомеоморфными? Гомотопически эквивалентными?

2 Гомотопическая инвариантность гомологий Соответствие, сопоставляющее топологическому пространству его гомологии функториально. Это означает, что всякому непрерывному отображению f : X Y соответствует гомоморфизм гомологий f : Hk (X) Hk (Y ), называемый гомоморфизмом прямого образа. При этом композиции отображений соответствует композиция гомоморфизмов гомологий и т.п. Алгебраическим выражением гомоморфизма f является понятие гомоморфизма цепных комплексов.

Определение 2.1. Гомоморфизмом цепных комплексов (C•, ) и (C•, ) называется последовательность гомоморфизмов f : Ck Ck, коммутирующих с операцией взятия границы.

Как обычно, для упрощения обозначений мы используем один и тот же символ f для гомоморфизмов Ck Ck с различными номерами k. Гомоморфизм комплексов изображают в виде диаграммы Условие согласованности гомоморфизмов f с граничным оператором равносильно коммутативности диаграммы. В гомологической алгебре имеется соглашение, согласно которому всякая изображенная в тексте диаграмма абелевых групп и гомоморфизмов между ними предполагается коммутативной (если противное не оговорено явно). Из определения мгновенно вытекает, что образ замкнутой цепи замкнут, а образ точной цепи точен. Следовательно, всякий гомоморфизм комплексов индуцирует соответствующий гомоморфизм групп гомологий Построение гомоморфизма прямого образа для различных теорий гомологий топологических пространств очевидно: образ цепи под действием отображения вновь является цепью. В комментариях нуждается только определение гомоморфизма f для клеточных гомологий. Согласно теореме о клеточной аппроксимации всякое непрерывное отображение клеточных пространств можно заменить на гомотопное ему, такое, которое сохраняет фильтрацию по остовам (на практике удобно действовать наоборот: по заданному отображению построить клеточные разбиения участвующих в отображении пространств, согласованные с данным отображением). Если отображение f : X Y сохраняет фильтрации по остовам, то оно индуцирует отображение соответствующих букетов сфер skk (X)/ skk1 (X) skk (Y )/ skk1 (Y ). Под действиk ем гомоморфизма f образующая a клеточного комплекса пространства X переходит линейную комбинацию образующих клеточного комплекса пространства Y, в которой коэффициент c, задается как степень следующего отображения kмерных сфер где первая стрелка задается вложением клетки с номером, а последняя – стягиванием всех сфер букета, кроме сферы, соответствующей клетке с номером. Согласованность построенного гомоморфизма цепных комплексов с действием граничного гомоморфизма не вполне очевидна, хотя и несложно проверяется.

Напомним, что два непрерывных отображения f0 и f1 из пространства X в пространство Y называются гомотопными, если они соединяются непрерывным семейством ft, t [0, 1] в пространстве непрерывных отображений из X в Y. Пространства X и Y называются гомотопически эквивалентными, если существуют отображения f : X Y и g : Y X, такие что обе композиции g f и f g гомотопны тождественному отображению в себя пространств X и Y, соответственно.

Теорема 2.2. У гомотопных отображений f0 и f1 гомоморфизмы прямого образа сингулярных гомологий совпадают, Следствие 2.3. Гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные сингулярные гомологии.

Теорема и ее следствие имеют аналоги и для других теорий гомологий, но формулируются они несколько по-другому. Для клеточных гомологий гомотопическая инвариантность заложена в самом определении гомоморфизма прямого образа. Поэтому аналог приведенных утверждений для клеточных гомологий состоит в корректности определения гомоморфизма f (независимости от выбора клеточной аппроксимации).

Для симплициальных гомологий гомотопическая эквивалентность моделируется набором комбинаторных операций, не меняющих гомотопический тип симплициального комплекса. Имеется прямое доказательство того факта, что симплициальные гомологии не меняются при каждой из этих операций. Однако утверждение о том, что симплициальные гомологии являются не комбинаторным, а гомотопическим инвариантом соответствующего пространства, является гораздо более общим, и доказать этот факт можно только сведением симплициальных гомологий к какойлибо более общей теории гомологий, например, теории сингулярных гомологий.

Алгебраическим выражением равенства двух гомоморфизмов гомологий служит понятие цепной гомотопии. Пусть заданы цепные комплексы (C•, ) и C•, ) и два гомоморфизма f0 и f1 между ними. Эти гомоморфизмы называются цепно гомотопными, если существует последовательность гомоморфизмов H : Ck Ck+1, удовлетворяющих тождеству Действие цепной гомотопии H направлено в сторону повышения градуировки, т.е. в сторону, противоположную действию граничного оператора:

На диаграмме гомоморфизмы H изображены пунктирными линиями, поскольку дополненная ими диаграмма гомоморфизмов не является коммутативной. Для вычисления действия гомоморфизма f1 f0 в гомологиях, в частности, для проверки тривиальности этого действия, достаточно знать его значение на замкнутых цепях. Выделять замкнутые цепи не всегда возможно. Вместо это часто бывает удобнее проверить цепную гомотопность комплексов, проверив выполнение указанное тождества на произвольной цепи. Если же цепь a Ck является, все же, замкнутой, то слагаемое H a обращается в ноль, и мы получаем, что образы f0 (a) и f1 (a) гомологичны (отличаются на границу цепи Ha Ck+1 ). В результате мы получаем следующий простой критерий равенства гомоморфизмов в гомологиях.

Предложение 2.4. Цепно гомотопные гомоморфизмы цепных комплексов индуцируют равные гомоморфизмы в гомологиях.

В качестве иллюстрации понятия цепной гомотопии докажем следующий частный случай следствия 2.3.

Предложение 2.5. Сингулярные гомологии всякого стягиваемого пространства тривиальны, т.е. такие же, как у точки.

Напомним, что пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение этого пространства в себя гомотопно отображению в точку. Гомотопию, осуществляющу стягивание, можно представить в виде отображения F : CX X, где CX = X [0, 1]/X {0} – конус пространства X, причем ограничение отображения F на основание X {1} конуса является тождественным. Для всякой сингулярной цепи : 0,...,k X стягивание задает отображение H : C0,...,k X. Конус над стандартным k-мерным симплексом можно отождествить со стандартным (k + 1)-мерным симплексом (при этом нужно перенумеровать вершины, сопоставив отмеченной вершине конуса номер 0). Таким образом, отображение H можно рассматривать как сингулярную (k + 1)-цепь. В результате мы построили гомоморфизм H, действующий в направлении, противоположном действию граничного гомоморфизма гомоморфизм H удовлетворяет тождеству цепной гомотопии.

Действительно, граница конуса C0,...,k над стандартным kмерным симплексом состоит из его основания 0,...,k и боковых граней, которые являются, в свою очередь, конусами над гранями симплекса 0,...,k, входящими в его границу. В результате мы получаем теоретико-множественное равенство Аккуратный учет знаков в соответствующих сингулярных цепях приводит к необходимому тождеству Это равенство доказывает, что всякая замкнутая цепь a точна:

она является границей цепи Ha, т.е. границе конуса над ней самой. Это доказывает предложение.

Рассмотрим теперь более общий случай теоремы 2.2 и ее следствия. Заданную гомотопию ft : X Y, t [0, 1] можно рассматривать как отображение F : X [0, 1] Y. Пусть задан сингулярный симплекс : 0,...,k X на пространстве X. Взяв композицию отображения с гомотопией, мы получаем отображение цилиндра над стандартным симплексом в Y. Граница этого цилиндра состоит из верхнего и нижнего основания, ограничение на которые совпадает с f1 и f0, соответственно, а также боковой поверхности, которая является цилиндром над границей симплекса. Таким образом, взяв в качестве H() отображение, мы получаем необходимое свойство цепной гомотопии. Проблема заключается только в том, что цилиндр над симплексом не является симплексом, так что не является сингулярной цепью. Эту трудность несложно преодолеть: цилиндр над симплексом допускает стандартное симплициальное разбиение. А именно, обозначим через 0,..., k вершины нижнего основания цилиндра и через 0,..., k соответствующие вершины верхнего основания.

Тогда имеет место разложение Таким образом, мы можем определить цепную гомотопию положив 20 Относительные гомологии и изоморфизм вырезания где i : 0,...,k+1 0,...,k [0, 1] – отображение, задающее отождествление стандартного (k + 1)-мерного симплекса с симплексом 0,...,i1,i,i,(i+1),...,k. Наличие цепной гомотопии доказывает теорему 2.2.

Задача 2.6. Проверьте, что построенный гомоморфизм H действительно является цепной гомотопией, связывающей гомоморфизмы (f0 ) и (f1 ).

3 Относительные гомологии и изоморфизм На первой лекции я утверждал, что группы гомологий сопоставляются топологическим пространствам. В действительности, теория гомологий должна сопоставлять группы гомологий всякой паре (X, A) состоящей из топологического пространства X и его подпространства A. Определение гомологий пары состоит в следующем (оно применимо и к симплициальным, и к клеточным, и к сингулярным гомологиям). Комплекс Ck (A) цепей в A является подкомплексом в комплексе Ck (X). Назовем группой относительных цепей факторгруппу Относительные цепи образуют цепной комплекс, гомологии которого обозначаются через Hk (X, A) и называются гомологиями пары. Для симплициальных, или клеточных гомологий мы предполагаем, что A является симплициальным, или клеточным подпространством, соответственно, в частности, A замкнуто. Однако в общем случае на A не накладывается никаких ограничений. Например, в теории многообразий часто рассматривают пары вида (M, M \ L), где M – многообразие, а L – его замкнутое подмногообразие.

Задача 3.1. Приведенными гомологиями пространства X называются группы где pt X – выделенная точка. Докажите равенства Относительные гомологии и изоморфизм вырезания Абсолютные гомологии являются частным случаем относительных (когда продпространство является пустым). Относительные же гомологии, в общем случае, через абсолютные не выражаются. Тем не менее, в одном важном случае, который чаще всего и встречается на практике, относительные гомологии сводятся все-таки к абсолютным.

Теорема 3.2. Пусть X – клеточное пространство, A X – клеточное подпространство. Тогда для всех k 0 имеет место изоморфизм Заметим, что для клеточных гомологий приведенный изоморфизм очевиден: образующие цепного комплекса для вычисления клеточных гомологий как пары (X, A) так и факторпространства X/A соответствуют клеткам пространства X, лежащим в дополнении к A. Докажем изоморфизм теоремы для сингулярных гомологий. Рассмотрим пространство X A CA, полученное приклеиванием к X конуса над A вдоль основания конуса, а также его подпространство X A (A [0, 1/2]), полученное «отрезанием верхушки конуса».

Тогда имеет место следующая цепочка изоморфизмов 22 Относительные гомологии и изоморфизм вырезания Изоморфизм 1 следует из гомотопической инвариантности гомологий: цилиндр A [0, 1/2] можно стянуть вдоль образующих на его основание A. Изоморфизм 3 также вытекает из гомотопической инвариантности: поскольку конус является стягиваемым подпространством, то его можно стянуть и в результате получится гомотопически эквивалентная пара пространств. (Тот факт, что процесс стягивания конуса CA к его вершине продолжается до отображения всего пространства X A CA на себя, называется свойством Борсука. Оно выполняется для произвольного клеточного подпространства.) Наконец, изоморфизм 2 называется изоморфизмом вырезания.

В более общей формулировке он состоит в следующем. Пусть (X, A) – топологическая пара и B A – подмножество, удовлетворяющее условию B Int A. Тогда имеет место изоморфизм сингулярных гомологий Рассмотрим относительный цикл, представляющий некоторый класс гомологий a Hk (X, A). Класс гомологий не изменится, если отбросить из этого цикла все сингулярные симплексы, целиком лежащие в A. Если оставшиеся в результате этого симплексы не пересекают B, то они задают класс относительных гомологий в Hk (X \ B, A \ B). Таким образом, препятствием к доказываемому изоморфизму могут служить только сингулярные симплексы, имеющие общие точки как с B так и с X \ A. От таких симплексов можно избавиться путем измельчения задающих данный класс гомологий симплексов.

Стандартный способ измельчения симплекса изображен на рисунке.

Вершинами нового разбиения служат центры всевозможных граней (всех размерностей) исходного симплекса. Симплексы нового разбиения соответствуют возрастающим последовательностям граней исходного симплекса. Построенное разбиение называется барицентрическим. Процедуру барицентрического разбиения можно итерировать. Повторив ее достаточно большое количество раз, мы получим гомологичный исходному цикл, в котором всякий сингулярный симплекс, имеющий общие точки с X \ A, не пересекается с B, и, следовательно, может рассматриваться как сингулярный симплекс в X \ B. Это завершает доказательство изоморфизма вырезания, а вместе с ним, и теоремы.

4 Длинная точная последовательность пары Со всякой парой топологических пространств (X, A) связаны три серии групп гомологий Hk (X), Hk (A) и Hk (X, A). Связь между ними описывается следующей теоремой.

Теорема 4.1. Имеет место длинная точная последовательность Гомоморфизмы Hk (A) Hk (X) и Hk (X) Hk (X, A) индуцируются соответствующими вложениями, а связывающий граничный гомоморфизм : Hk (X, A) Hk1 (A) определяется следующим образом. Рассмотрим относительный цикл a, представляющий данный класс относительных гомологий. Граница a не обязана равняться нулю, но должна содержаться в A. Элемент a, рассматриваемый как цикл в A, и представляет определяемый класс гомологий.

Напомним, что последовательность гомоморфизмов называется точной, если образ всякого предыдущего члена последовательности совпадает с ядром последующего. Например, точная последовательность есть просто обозначение того, что гомоморфизм B A является изоморфизмом.

Короткой точной последовательностью называется последовательность вида Точность этой последовательности есть выражение того факта, что гомоморфизм i инъективен (т.е. C является подгруппой в B), гомоморфизм p сюръективен (т.е. A является факторгруппой группы B), и, более того, A является факторгруппой в точности по подгруппе C B. В этом случае говорят, что B является расширением группы C при помощи группы A.

Утверждение теоремы является, по-существу, алгебраическим, и доказывать его мы будем алгебраическими методами.

Пусть задан цепной комплекс C• и его подкомплекс C•. Обозначим через C• соответствующий факторкомплекс. Гомологии комплексов C•, C• и C• обозначены в теореме через Hk (X), Hk (A) и Hk (X, A), соответственно. Эти комплексы укладываются в следующую большую диаграмму отображений, в которой каждый столбец точен:

Приведем алгебраическую переформулировку определения связывающего граничного гомоморфизма : Hk+1 (X, A) Hk (A). Рассмотрим цикл a Ck+1, представляющий данный класс относительных гомологий. Из сюръективности p вытекает существование у a прообраза b Ck+1. Положим c = b. Тогда p(c) = p(b) = p(b) = a = 0. Поэтому c лежит в образе гомоморфизма i, и у него существует прообраз d Ck. Элемент d замкнут.

Действительно, id = c = 2 b = 0, а поскольку i инъективно, из равенства id = 0 вытекает равенство d = 0. Следовательно, цепь d является циклом. Представляемый ею класс гомологий и берется в качестве образа класса цикла a при гомоморфизме.

Еще нужно проверить независимость приведенного определения от произвола в конструкции. Все это нетрудно проверяется при помощи аналогичныых рассуждений, имеющих название «метод диаграммного поиска». Рассуждения удобно сопровождать выписыванием диаграммы следующего вида Доказательство точности последовательности теоремы в каждом ее члене проводится тем же методом и оставляется слушателям в качестве (обязательного и очень полезного) упражнения.

Задача 4.2. Докажите теорему.

В длинной точной последовательности пары вместо обычных гомологий пространств X и A можно использовать приведенные.

Соответствующая последовательность также будет точна. Некоторым обобщением точной последовательности пары является точная последовательность тройки пространств B A X.

В этой последовательности участвуют относительные гомологические группы Hk (X, A), Hk (X, B) и Hk (A, B).

Задача 4.3. Выпишите и обоснуйте длинную точную последовательность приведенных гомологий пары и длинную точную последовательность тройки.

Рассмотрим для примера длинную точную последовательность приведенных гомологий пары (B n, S n1 ), состоящей из nмерного шара и его границы. В этой последовательности участвуют гомологии стягиваемого пространства B n, которые тривиальны. Кроме того, факторпространство B n /S n1 гомеоморфно nмерной сфере, поэтому данная точная последовательность позволяет вычислить (сингулярные) гомологии сферы индукцией по размерности. Единственный нетривиальный кусок этой последовательности имеет вид Поэтому мы по индукции заключаем Hn (S n ) Hn1 (S n1 ) Z, а все остальные (приведенные) гомологии сферы тривиальны.

Обобщая этот пример, рассмотрим длинную точную последовательность пары (CX, X), где CX – конус над некоторым клеточным пространством X, которое вложено в свой конус в виде основания. Факторпространство называется надстройкой пространства X. Поскольку конус стягиваем и имеет тривиальные гомологии, длинная точная последовательность пары (CX, X) сводится к точным фрагментам вида откуда мы получаем изоморфизм надстройки Имеется вариант определения надстройки, который отличается от приведенного выше дополнительным стягиванием одной выделенной образующей конуса. Этот вариант надстройки гомотопически эквивалентен приведенному выше, но имеет более удобную клеточную структуру: его клетки (за исключением одной выделенной нульмерной) находятся во взаимно однозначном соответствии с клетками исходного пространства X со сдвигом размерности на 1. Более того, весь цепной комплекс для вычисления клеточных гомологий надстройки получается из клеточного комплекса исходного пространства простым сдвигом градуировки на один. Так что с точки зрения клеточных гомологий изоморфизм надстройки очевиден: он сопоставляет всякому циклу в X надстройку этого цикла в X.

Мы выразили изоморфизм надстройки через связывающий граничный оператор длинной точной последовательности пары. Оказывается, и обратно, связывающий граничный оператор длинной точной последовательности произвольной клеточной пары (X, A) можно выразить через изоморфизм надстройки (и обычные гомоморфизмы прямого образа). Действительно, рассмотрим пространство Y = X A CA, получаемое приклеиванием к X конуса над A вдоль его основания. Поскольку конус стягиваем, пространство Y гомотопически эквивалентно пространству Y /CA = X/A. С другой стороны, стягивание подпространства X Y индуцирует гомоморфизм Композиция построенного гомоморфизма Hk (X/A) Hk (A) с изоморфизмом надстройки Hk (A) Hk1 (A) совпадает с гомоморфизмом Hk (X/A) Hk1 (A) из длинной точной последовательности пары (X, A).

Более того, рассмотрим длинную точную последовательность пары (Y, X) и сравним ее с длинной точной последовательностью пары (X, A):

Мы видим, что длинная последовательность пары (Y, X) – эта та же последовательность пары (X, A), в которой роль групп гомологий пространства, подпространства и факторпространства циклически переставляются. Приведенную конструкцию можно итерировать. Таким образом, в длинной точной последовательности пары участвует три серии групп гомологий, но выбор того, какие из этих гомологий относятся к пространству, подпространству и факторпространству, довольно условный.

Отметим в заключение, что для произвольного непрерывного отображения f : X Y гомоморфизм прямого образа f : Hk (X) Hk (Y ) может быть включен в длинную точную последовательность. Действительно, при помощи гомотопической эквивалентности всякое отображение может быть превращено во вложение. Например, пространство Y можно заменить на гомотопически ему эквивалентное пространство Y, получаемое приклеиванием к Y цилиндра над X вдоль его нижнего основания посредством отображения f, а отображение f заменить на вложение X Y в качестве верхнего основания. Таким образом, третьим недостающим членом рассматриваемой длинной точной последовательности выступают гомологии пространства Y /X = Y f CX.

Рассмотрим клеточную пару (X, A). Пусть гомологии двух из трех пространств X, A, X/A известны. В какой мере длинная точная последовательность определяет гомологии третьего пространства? Пусть, для определенности, мы пытаемся вычислить относительные гомологии Hn (X, A) исходя из известных гомологий пространств X и A. Прежде всего, помимо самих этих гомологий, необходимо знать еще связывающий их гомоморфизм i : Hn (X) Hn (Y ), индуцированный вложением i : X Y. Тогда длинная точная последовательность задает в Hn (X, A) подгруппу Kn и факторгруппу Qn по этой подгруппе, т.е. имеет место короткая точная последовательность Действительно, в качестве Kn выступает образ гомоморфизма Hn (X) Hn (X, A), изоморфный коядру (фактору по образу) известного гомоморфизма Hn (A) Hn (X), a в качестве Qn выступает образ гомоморфизма Hn (X, A) Hn1 (A), равный ядру известного гомоморфизма Hn1 (A) Hn1 (X).

Иногда средний член короткой точной последовательности восстанавливается по ее крайним членам однозначно с точностью до изоморфизма. Например, если участвующие в этой последовательности группы Kn, Qn и Hn (X, A) являются векторными пространствами над некоторым полем (конечным или бесконечным), то размерность Hn (X, A) равна сумме размерностей Kn и Qn.

Аналогично, ранг свободной части группы Hn (X, A) равен сумме рангов свободных частей групп Kn и Qn. Однако в общем случае при восстановлении группы Hn (X, A) остается еще некоторый произвол в определении кручения.

Задача 5.1. Какими могут быть абелевы группы G и H, участвующие в коротких точных последовательностях Оказывается, что произвола в определении группы Hn (X, A) можно избежать, если для нее имеется «естественный кандидат».

Предложение 5.2. Пусть заданы пары (X, A) и (Y, B) и непрерывное отображение f между ними, т.е. отображение Последовательность и принцип Майера–Вьеториса f : X Y, такое, что f (A) B. Предположим, что f индуцирует изоморфизмы Hk (X) Hk (Y ) и Hk (A) Hk (B) для двух соседних значений k = n, n 1. Тогда f индуцирует также изоморфизм Hn (X, A) Hn (Y, B).

Алгебраической переформулировкой этого предложения служит следующее утверждение, называемое леммой о пяти гомоморфизмах, или 5-леммой.

Лемма 5.3. Пусть задан гомоморфизм двух пятичленных точных последовательностей абелевых групп:

Предположим, что гомоморфизмы 1, 2, 4, и 5 являются изоморфизмами. Тогда и гомоморфизм 3 также является изоморфизмом.

Доказательство этой леммы является отличным упражнением на применение метода диаграммного поиска.

Задача 5.4. В лемме имеется два утверждения (инъективность и сюръективность гомоморфизма 3 ) и 8 предпосылок (инъективность и сюръективность остальных четырех гомоморфизмов). В действительности, из этих восьми предпосылок три используются для доказательства инъективности, три используются для доказательства сюръективности, а две не используются вообще. Восстановите точные условия для инъективности и, соответственно, сюръективности гомоморфизма 3.

6 Последовательность и принцип Последовательность Майера–Вьеториса используется в случае, когда пространство X представлено в виде объединения двух своих подпространств, X = A B. В ней участвуют гомологии пространств X, A, B и A B.

30 Последовательность и принцип Майера–Вьеториса Теорема 6.1. Имеет место длинная точная последовательность Гомоморфизмы Hk (A B) Hk (A) Hk (B) и Hk (A) Hk (B) Hk (X) индуцируются вложениями подпространств A B A, A B B, A X и B X. Нужно только в одном из четырех соответствующих гомоморфизмов поставить знак «минус» для обеспечения точности в члене Hk (A) Hk (B).

Для определения гомоморфизма Hk+1 (X) Hk (A B) представим цикл u, задающий данный класс гомологий [u] Hk+1 (X), в виде суммы двух цепей u = v1 + v2 таким образом, что v1 имеет носитель в A, а v2 имеет носитель в B. Тогда образ класса [u] в группе Hk (AB) задается циклом v1 = v2. Более формально, этот гомоморфизм определяется как композиция гомоморфизмов в которой крайние гомоморфизмы взяты длинных точных последовательностей пар (X, B) и (A, A B), а средний – изоморфизм вырезания.

Доказательство точности последовательности Майера–Вьеториса несложно провести, проверяя непосредственно ее точность в каждом члене. Однако имеется более концептуальный подход, который позволяет свести ее к случаю точной последовательности пары. Предположим, что X, A и B являются клеточными пространствами (или гомотопически им эквивалентны). Рассмотрим пространство Y, получаемое из цилиндра (A B) [0, 1] приклеиванием пространства A к нижнему основанию цилиндра и пространства B к верхнему основанию, см. рис.

Последовательность и принцип Майера–Вьеториса Стягивание образующих цилиндра задает гомотопическую эквивалентность пространств X и Y. После такого преобразования A и B превращаются в непересекающиеся подпространства. Длинная точная последовательность пары (Y, A B) и есть искомая последовательность Майера–Вьеториса. Помимо групп Hk (Y ) = Hk (X), Hk (A B) = Hk (X) Hk (Y ) в этой последовательности участвуют гомологии факторпространства Y /(A B), которое получается из надстройки над A B отождествлением двух выделенных точек. Такое пространство гомотопически эквивалентно букету надстройки над A B и окружности, или надстройке над несвязным объединением A B и точки. Поэтому имеет место изоморфизм надстройки который и завершает доказательство теоремы.

Обычно последовательность Майера–Вьеториса используется не для вычислений гомологий конкретных пространств, а для доказательства общих утверждений: из выполнения определенных свойств для подпространств A, B и A B по индукции с использованием этой последовательности выводится выполнение соответствующего свойства для A B. Эти рассуждения носят название принципа Майера–Вьеториса. Продемонстрируем применение этого принципа на примере доказательства следующей теоремы.

Теорема 6.2. Симплициальные гомологии симплициальных множеств изоморфны сингулярным.

Доказательство. Всякий симплекс симплициального разбиения можно рассматривать как сингулярный. Следовательно, мы имеем гомоморфизм цепных комплексов, вычисляющих симплициальные и сингулярные гомологии, соответственно, и требуется установить, что этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм гомологий. Из последовательности Майера–Вьеториса и леммы о пяти гомоморфизмах вытекает, что если указанное свойство выполняется для симплициальных подпространств A, B и A B, то оно выполняется и для подпространства A B симплициального пространства X. Индукцией по числу симплексов мы получаем доказательство выполнения указанного свойства для всего X.

32 Аксиоматический подход к построению теории гомологий Начальным шагом индукции служит вычисление гомологий одного симплекса, которые изоморфны гомологиям точки в обеих теориях.

7 Аксиоматический подход к построению Перечислим основные свойства, которым удовлетворяют сингулярные гомологии. Для определенности, мы будем рассматривать только клеточные пространства и подпространства. Всякой клеточной паре (X, A) мы сопоставили последовательность абелевых групп Hk (X, A) (k 0). В частности, мы полагаем Hk (X) = Hk (X, ). Кроме того, мы построили гомоморфизмы : Hk (X, A) Hk1 (A) и для всякого отображения пар f : (X, A) (Y, B) гомоморфизмы f : Hk (X, A) Hk (Y, B). При этом выполняются следующие свойства (аксиомы).

2. Гомотопическая инвариантность. f g f = g 3. Длинная точная последовательность пары.

4. Свойство факторизации. Hk (X, A) Hk (X/A, pt) = H(X/A).

5. Гомологии точки. H0 (pt) = Z, Hk (pt) = 0 (k > 0).

Имеется подход к теории гомологий, в котором перечисленные свойства принимаются в качестве аксиом. Оказывается, перечисленные аксиомы полностью определяют гомологии, по крайней мере, клеточных пространств. Заметим, что непротиворичивость приведенной системы аксиом вытекает из существования конкретной модели – сингулярных гомологий.

Теорема 7.1. Любая теория гомологий, удовлетворяющая перечисленным аксиомам, совпадает для клеточных пространств с теорией сингулярных гомологий.

Доказательство состоит в предъявлении явного алгоритма, приводящего к вычислению гомологий клеточного пространства и использующего только перечисленные аксиомы. Как мы увидим, этот алгоритм сведется к вычислению клеточных гомологий.

Тем самым, мы докажем теорему, а заодно, корректность определения клеточных гомологий и их изоморфизм с сингулярными.

Аксиоматический подход к построению теории гомологий На первом шаге мы вычислим с использованием изоморфизма надстройки или напрямую по индукции при помощи длинной точной последовательности пары (B n, S n1 ) гомологии сферы, а также букета сфер:

Далее, для всякого клеточного пространства X мы положим где skk = skk (X) – его k-мерный остов. По построению, эта группа изоморфна Zm, где m – количество k-мерных клеток, т.е. изоморфна группе клеточных k-цепей. Определим гомоморфизм как связывающий граничный гомоморфизм из длинной точной последовательности тройки (skk+1, skk, skk1 ) (или, что эквивалентно, пары (skk+1 / skk1, skk / skk1 )). Можно проверить, что приведенное гомологическое определение гомоморфизма совпадает с геометрически определенным граничным оператором из цепного комплекса клеточных гомологий. В результате мы построили последовательность гомоморфизмов Нам осталось показать, что гомоморфизм удовлетворяет равенству = 0 и что гомологии построенного комплекса совпадают с гомологиями пространства X.

Изучим для начала, как изменяются гомологии пространства при добавлении к нему клеток. Пусть Y получается из X приклеиванием некоторого количества k-мерных клеток. Тогда Y /X гомеоморфно букету k-мерных сфер и единственный нетривиальный фрагмент длинной точной последовательности пары (Y, X) выглядит следующим образом.

Из этой последовательности мы заключаем, что при приклеивании k-мерных клеток k-мерные гомологии могут только увеличиться (за счет классов приклеиваемых клеток), (k 1)-мерные 34 Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе гомологии могут только уменьшиться (за счет новых соотношений, задаваемых границами приклеиваемых клеток), а в остальных размерностях гомологии не меняются.

В частности, n-мерные гомологии пространства не меняются при приклеивании к нему клеток размерности > n + 1. По тем же соображениям, эти гомологии не меняются при стягивании клеток размерности < n 1. Иными словами, группа Hn (X) определяется взаимным расположением клеток размерностей n 1, n и n + 1:

Дальнейшие рассуждения состоят в применении всевозможных длинных точных последовательностей различных пар и троек остовов разных размерностей. Для тройки (skn, skn1, skn2 ) фрагмент этой последовательности имеет вид Hn1 (skn1/skn2 ) o Hn (skn/skn1 ) o Hn (skn/skn2 ) o Следовательно, группу Zn = Hn (skn / skn2 ) можно отождествить с подгруппой замкнутых цепей в построенном комплексе.

Граничный оператор : Cn+1 Cn раскладывается в композицию где гомоморфизм взят из точной последовательности тройки (skn+1, skn, skn2 ). Следовательно, образ (Cn+1 ) лежит в Zn. Это доказывает равенство 2 = 0. Наконец, из точной последовательности тройки (skn+1, skn, skn2 ) Hn (skn+1/ skn ) o Hn (skn+1/ skn2 ) o Hn (skn/ skn2 ) o мы заключаем требуемое равенство Hn (X) Zn /(Cn+1 ).

Приведенные рассуждения выглядят несколько запутанными.

В действительности, в них имеется удивительная стройность и естественность, но это нам будет понятно позже, после введения понятия спектральной последовательности.

Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе коэффициентами в абелевой группе Теория когомологий получается из теории гомологий «обращением всех стрелок». Пусть задан цепной комплекс (C•, ).

Группой k-мерных коцепей называется пространство линейных функций на пространстве цепей, Эти группы образуют коцепной комплекс в котором гомоморфизм, называемый кограничным, направлен в сторону увеличения градуировки и определяется как гомоморфизм, сопряженный граничному гомоморфизму. Более подробно, он задается равенством Если группы цепей имеют вид Ck = Zdk для некоторых (конечных) dk, то и группы коцепей Ck имеют такой же вид. При этом матрица оператора получается из матрицы оператора простым транспонированием.

Группы замкнутых, точных коцепей и когомологии коцепного комплекса определяются аналогично тому, как это делается в случае цепных комплексов. В случае, когда (C•, ) – цепной комплекс, вычисляющий гомологии (симплициальные, сингулярные, или клеточные) топологического пространства X, когомологии соответствующего коцепного комплекса обозначаются через H n (X) и называются когомологиями пространства X. Все свойства, которые мы сформулировали для гомологий (функториальность, гомотопическая инвариантность, длинная точная последовательность пары, и т.п.) выполняются и для когомологий. Нужно только во всех формулировках изменить направления всех стрелок на противоположное. В частности, для непрерывного отображения топологических пространств f : X Y соответствующий гомоморфизм в когомологиях действует в обратном направлении, 36 Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе и называется гомоморфизмом обратного образа.

Еще одной модификацией теории гомологий служат гомологии и когомологии с коэффициентами в группе. Если группы цепей и коцепей пространства X определяются как формальные линейные комбинации образующих с целыми коэффициентами, то соответствующие группы цепей и коцепей с коэффициентами в абелевой группе G определяются как формальные линейные комбинации тех же образующих с коэффициентами в группе G, а (ко)граничный оператор задается теми же матрицами, целочисленные компоненты которых интерпретируются как элементы группы G. Более формально, мы полагаем (Ко)гомологии получающихся комплексов обозначаются через Hn (X; G) и H n (X; G), соответственно. Заметим, что группы (ко)гомологий с коэффициентами в G являются G-модулями.

Гомологии и когомологии тесно связаны между собой. Непосредственно из определения вытекает существование билинейного спаривания Задача 8.1. Предположим, что группы гомологий Hn (X) конечно порождены. Докажите, что если G – поле, то векторные пространства Hn (X; G) и H n (X; G) конечномерны и взаимно двойственны. В частности, они имеют одинаковую размерность (над G).

Задача 8.2. Предположим, что группы гомологий Hn (X) конечно порождены. Докажите, что ранг свободной части групп Hn (X) и H n (X) одинаков и равен размерности векторных пространств Hn (X; G) и H n (X; G), где G – произвольное поле характеристики ноль, например, Q, R или C.

Размерность над полем G называется k-м числом Бетти. Числа Бетти зависят от выбора поля G. Обычно в качестве G берут G = Q (рациональные числа Бетти) или G = Z2 (mod2 числа Бетти).

Утверждение последней задачи имеет уточнение: спаривание между целочисленными (с коэффициентами в Z) гомологиями и Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе когомологиями обращается в ноль на кручении, а на свободной части оно невырожденно (определитель соответствующей билинейной формы равен 1).

Таким образом, свободные части групп гомологий и когомологий легко выражаются друг через друга. С кручением дело обстоит несколько сложнее, но имеется следующее общее утверждение.

Теорема 8.3. Предположим, что группы гомологий Hn (X) конечно порождены. Тогда эти группы полностью определяют гомологии и когомологии с коэффициентами в произвольной абелевой группе G, с точностью до изоморфизма.

Формулировка теоремы наводит на следующий вопрос: зачем вообще нужны гомологии и когомологии с коэффициентами в группе, если они выражаются через целочисленные? Дело в том, что обычно бывает удобнее исследовать свободную часть и кручение отдельно. Например, для некоторых однородных пространств (грассманианов, флаговых пространств и т.п.) удается независимо доказать, что группы (ко)гомологий имеют только 2-кручение.

Для полного определения (ко)гомологий таких пространств достаточно вычислить их (ко)гомологии с коэффициентами в Q и Z2, что существенно проще: и та и другая группа является полем.

В общем случае верно следующее обращение формулы универсальных коэффициентов: группы Hn (X) однозначно с точностью до изоморфизма определяются группами Hn (X, Q) и Hn (X, Zpk ) для всевозможных простых p и натуральных k.

Доказательство теоремы состоит в выводе явной формулы (так называемой формулы универсальных коэффициентов) для групп Hn (X; G) и H n (X; G) через известные группы Hn (X).

Точная ее формулировка требует привлечения техники теории расширений и гомологической алгебры. Я ее приводить не буду, ограничившись лишь описанием алгоритма для определения (ко)гомологий с коэффициентами в G и рядом следствий из него.

Из формулировки теоремы вытекает, что для вычисления групп Hn (X; G) и H n (X; G) достаточно предъявить произвольный комплекс, группы (целочисленных) гомологий которого изоморфны Hn (X). Тогда в силу универсальности (ко)гомологии полученного комплекса с коэффициентами в G будут изоморфными соответствующим (ко)гомологиям пространства X.

38 Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе Чтобы смоделировать прямое слагаемое вида Z в группе Hn (X), достаточно рассмотреть комплекс (Ко)гомологии этого комплекса с коэффициентами в G изоморфны группе G в градуировке n. Таким образом, свободная часть группы Hn (X) дает прямое слагаемое в группах Hn (X; G) и H n (X; G), являющееся свободным G-модулем того же ранга.

Чтобы смоделировать слагаемое Zp Hn (X), где p – простое или степень простого числа, достаточно рассмотреть комплекс в котором средний гомоморфизм задается умножением на p. Если, например, G = Zq, где q взаимно просто с p, то (ко)гомологии этого комплекса с коэффициентами в G тривиальны. Посмотрим, как устроены его (ко)гомологии с коэффициентами в G = Zp.

PPP PPP

Из таблицы видно, что каждое слагаемое вида Zp группы Hn (X) «раздваивается» в Zp -(ко)гомологиях, а в целочисленных когомологиях оно дает такой же вклад Zp, но в соседней градуировке.

Следствие 8.4. Группы кручения n-мерных гомологий и (n + 1)-мерных (целочисленных) когомологий изоморфны, Надо отметить, что никакими функториальными свойствами этот изоморфизм не обладает.

Вот еще один вывод из проведенных вычислений. Рассмотрим гомоморфизм j : Hn (X) G Hn (X; G), действующий на коэффициенты цепей естественным гомоморфизмом Z G. Этот гомоморфизм инъективен, а его образ в случае G = Zp характеризуется как ядро гомоморфизма Бокштейна, действие которого изображено в таблице.

Определение гомоморфизма Бокштейна состоит в следующем.

Рассмотрим k-цикл a, задающий класс Zp -гомологий пространства X. Коэффициенты этой цикла – вычеты по модулю p. Выберем у каждого вычета целочисленный представитель и обозначим полученную целочисленную цепь через a. Цепь не обязана обa ращаться в ноль, но у нее все коэффициенты должны делиться на p. Цикл p и задает образ класса [a] при гомоморфизме Бокa штейна. Условно гомоморфизм Бокштейна можно задать формулой Аналогично, группа H n (X; G), как правило, «больше», чем группа Hom(Hn (X), G) линейных G-значных функций на гомологиях, и отличие этих двух групп описывается в терминах когомологического гомоморфизма Бокштейна.

На первый взгляд, различие между гомологиями и когомологиями формальное, в направлении стрелок. Однако имеется причина, по которой когомологии все же обладают преимуществом.

Эта причина заключается в том, что на них имеется кольцевая структура. Предположим, что группа G коэффициентов является кольцом. Умножение в когомологиях H (X; G) определяется следующим образом. Пусть X – клеточное пространство. Тогда клеточное разбиение X = этого пространства задает естественное клеточное разбиение X X = его декартова квадрата. Зададим гомоморфизм на клеточных коцепях явной формулой Умножение H (X; G) H (X; G) H (X; G) задается композицией -умножения, определенного выше, и гомоморфизма H (X X; G) H (X; G), заданного вложением диагонали X X X. Произведение классов a и b традиционно обозначается как a b, однако сейчас все чаще символ произведения опускается и пишут просто a b.

Несмотря на простоту определения, пользоваться им не так-то легко. Вложение диагонали не является клеточным отображением, и для вычисления индуцируемого отображения в когомологиях приходится либо искать клеточную аппроксимацию диагонльного вложения, либо измельчать клеточное разбиение с тем, чтобы диагональ стала клеточным подпространством. В любом случае, знание одного только цепного клеточного комплекса недостаточно для вычисления умножения. Например, у комплексного проективного пространства CP n в стандартном клеточном разбиении присутствуют только клетки четных размерностей и все дифференциалы нулевые, однако умножение, как мы скоро увидим, далеко не тривиальное.

Каноническое клеточное подразбиение произведения X X, включающее диагональ, имеется в случае, когда клеточное пространство X является симплициальным. Поэтому для симплициальных гомологий, в отличие от клеточных, умножение можно задать явной формулой прямо на коцепях. Опуская вычисления, я сформулирую окончательный ответ: если является k-коцепью, а – m-коцепью, то (k + m)-коцепь задается формулой Приведенную формулу можно применить и для сингулярных когомологий, если симплексы в ней заменить соответствующим образом на сингулярные симплексы.

Корректность и эквивалентность всех трех определений умножения (для клеточных, симплициальных и сингулярных гомологий) проверяется напрямую и я опускаю доказательство. Столь же легко проверяются и следующие свойства умножения.

Теорема 9.1. Умножение в когомологиях градуированно, функториально по отношению к взятию обратного образа, билинейно, ассоциативно и градуированно коммутативно в следующем смысле:

В отличие от гомоморфизма обратного образа, граничный оператор : H k (A; G) H k+1 (X, A; G) из длинной точной последовательности пары никакими особыми мультипликативными свойствами не обладает. Более того, имеет место следующее утверждение.

Задача 9.2. Если пространство X является чьей-либо надстройкой, то умножение в H (X; G) тривиальное. (Указание: покажите, что диагональное вложение X X X гомотопно отображению в току).

Хотя формально это и не используется в определении умножения, полезно представлять себе все же, насколько близки (ко)гомологии декартова произведения пространств к тензорному произведению (ко)гомологий сомножителей. И в гомологиях, и в когомологиях имеются естественные гомоморфизмы (направленные, заметьте, в одну сторону) (Тензорные произведения в левой части рассматриваются в смысле градуированных G-модулей.) Задача 9.3. Докажите, что если группа G является полем, то указанные гомоморфизмы являются изоморфизмами.

Изоморфизм задачи является частным случаем формулы Кюннета, описывающей (ко)гомологии произведений пространств. Он имеет место также и для целочисленных (ко)гомологий в случае, если кручение отсутствует или если изоморфизм рассматривается с точностью до кручения. Кручение в (ко)гомологиях декартова произведения также определяется кручением в сомножителях, однако это выражение более сложное и мы его не приводим. (Для каждого конкретного случая кручение можно определить тем же методом, которым мы подменяли формулу универсальных коэффициентов).

Отметим, что в случае когомологий гомоморфизм формулы Кюннета является мультипликативным и описывает кольцевую структуру на произведении сомножителей.

Пример 9.4. Рассмотрим следующие два пространства: X = S m S n и Y, заданное как букет трех сфер размерностей m, n и m + n. Оба пространства разбиваются на 4 клетки одинаковых размерностей. Следовательно, аддитивная структура когомологий у них одинакова: в них имеется три аддитивные образующие a, b и c размерностей m, n и m + n, соответственно. Однако умножение в когомологиях отличается. Для произведения X мы имеем a b = c, а для букета Y умножение тривиальное (почему?).

Большое количество содержательных примеров мы рассмотрим при изучении когомологий многообразий, а пока я ограничусь рассмотрением еще только одного.

Пример 9.5 инвариант Хопфа. Рассмотрим клеточное пространство X, состоящее из трех клеток размерностей 0, 2 и 4. Двумерная клетка приклеивается к нульмерной однозначно, в результате получается двумерная сфера. Поэтому гомотопический тип этого пространства задается гомотопическим классом отображения : S 3 S 2 приклеивания границы четырехмерной клетки к двумерному остову.

Классы таких отображений нумеруются элементами группы 3 (S 2 ) = Z. Соответствующий целочисленный инвариант, различающий гомотопические классы отображений S 3 S 2, называется инвариантом Хопфа. Определяется он следующим образом.

Без ограничения общности, можно считать, что отображение гладко (согласно теореме Вейерштрасса, всякое непрерывное отображение многообразий можно аппроксимировать гомотопным ему гладким отображением). Тогда для общих значений a и b слои 1 (a) и 1 (b) являются гладкими ориентированными кривыми. Их индекс зацепления и берется в качестве инварианта Хопфа.

Напомним, что индексом зацепления двух замкнутых ориентированных кривых в S 3 называется индекс пересечения одной из этих кривых с произвольной замкнутой поверхностью, имеющей вторую кривую в качестве границы.

Я хочу привести интерпретацию инварианта Хопфа при помощи умножения в гомологиях. Обозначим через a и b образующие групп H 2 (X) и H 4 (X), соответственно, отвечающие единственным клеткам в этих размерностях. Тогда класс a2 является элементом группы H 4 (X), а следовательно, он пропорционален классу b, Я утверждаю, что коэффициент пропорциональности k равен инварианту Хопфа.

Доказательство этого утверждения не вполне прямое. Показывается, что оба определения инварианта Хопфа аддитивны в смысле групповой операции на 3 (S 2 ), и принимают равные значения 1 для случая X = CP 2. Интересно было бы получить прямое вычисление умножения в X в терминах геометрии характеристического отображения.

В заключение этого пункта я хочу привести одно обобщение, или, скорее, уточнение понятия умножения в когомологиях. Кольцевая структура имеется в относительных когомологиях H (X, A). Определение этого умножения повторяет дословно соответствующее определение для абсолютных когомологий. Более того, для всяких двух подпространств A и B пространства X имеет место билинейное спаривание Его существование вытекает из того, что -произведение коцепей, обращающихся в ноль на A и B, соответственно, обращается в ноль на A X X B X X. Прообразом же этого подпространства при диагональном вложении X X X является объединение подпространств A и B. Важно отметить, что это спаривание не сводится к умножению в когомологиях одного пространства или пары пространств.

Пример 9.6. Для произвольного клеточного пространства X рассмотрим гомотопически ему эквивалентное пространство Y = X [0, 1] и его подпространство A = X {0}{}[0, 1]X {1}.

Тогда мы имеем умножение Факторпространство Y /A – это надстройка пространства X. Поэтому приведенное умножение можно записать также в виде При изоморфизме надстройки H k (X) H (X) построенное умножение соответствует обычному умножению в H (X). Мы видим, что хотя умножение в когомологиях надстройки тривиально, след от умножения в когомологиях исходного пространства X сохраняется в приведенной структуре H (X)-модуля в H (X).

В случае, когда топологическое пространство X является гладким многообразием, для изучения его гомологий имеется ряд дополнительных методов, неприменимых в общей ситуации. Все эти методы объединяются общим названием «двойственность Пуанкаре».

Вот простейшая формулировка этой двойственности. Пусть X – компактное ориентированное гладкое n-мерное многообразие без края. Тогда его дополнительные числа Бетти равны между собой для произвольного поля коэффициентов. Более точная формулировка, справедливая с учетом кручения, состоит в следующем.

Теорема 10.1. Пусть X – компактное ориентированное гладкое n-мерное многообразие без края. Тогда при всех k имеет место изоморфизм Если многообразие не обязательно ориентированное, то аналогичный изоморфизм имеет место в гомологиях с коэффициентами в Z2.

Прежде, чем приводить доказательство, я сформулирую ряд геометрически очевидных общих утверждений о многообразиях, строгое доказательство которых требует, однако, довольно большой технической работы, которую я пропускаю.

Теорема 10.2. 1. На всяком C 1 -гладком многообразии можно ввести структуру C -гладкого многообразия однозначно с точностью до (бесконечно гладкого) диффеоморфизма.

2. На всяком гладком многообразии существует клеточное, и даже симплициальное разбиение, все клетки которого являются гладкими подмногообразиями (симплициальное разбиение на многообразии называется его триангуляцией).

3. Пусть на гладком многообразии X имеется полуалгебраическое подмножество A, т.е. подмножество, которое в окрестности каждой точки задается в подходящих координатах системой алгебраических уравнений и неравенств. Тогда на X имеется гладкое клеточное разбиение, в котором A является объединением некоторого числа клеток.

4. Всякое непрерывное отображение f : X Y гладких многообразий аппроксимируется сколь угодно C 0 -близким ему гомотопным гладким отображением. Более того, аппроксимацию отображения f всегда можно выбрать трансверсальной по отношению к заданному подмногообразию в Y или к его заданному гладкому клеточному разбиению.

Ввиду этих свойств мы будем предполагать всякое рассматриваемое многообразие бесконечно гладким, а всякое отображение (например, задающее сингулярный симплекс) бесконечно дифференцируемым.

При строгом обосновании этих утверждений проявляются некоторые тонкости. Например, для справедливости последнего утверждения необходимо предполагать некоторое условие регулярности примыкания клеток, чтобы исключить конфигурации вроде «бесконечной спирали». Это условие формализуются в понятии «стратификации Уитни», точное определение которого я опущу. Разбиения, о которых говорится в утверждениях 2 и 3, всегда можно выбрать удовлетворяющими этому условию.

Условие трансверсальности отображения f : X Y по отношению к гладкому подмногообразию M Y состоит в том, что для каждой пары точек x X и y M Y, таких что y = f (x) образ f Tx X касательного пространства к X с касательным пространством Ty M подмногообразия M вместе порождают касательное пространство Ty Y ко всему многообразию Y, По теореме о неявной функции, при выполнении условия трансверсальности прообраз L = f 1 (M ) является гладким подмногообразием в X, причем Вернемся теперь к доказательству теоремы 10.1. Выберем на X триангуляцию, и сопоставим каждой вершине ее звезду, составленную из примыкающих симплексов первого барицентрического разбиения, см. рисунок.

В результате мы получаем новое клеточное разбиение на X, которое уже не является симплициальным. Построенные два клеточных разбиения двойственны: имеется взаимно однозначное соответствие между k-мерными симплексами первого и xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (n k)-мерными клетками второго. Следовательно, группа клеточных k-цепей первого изоморфна группе клеточных (n k)коцепей второго. Сравнивая коэффициенты инцидентности, можно убедиться, что весь цепной комплекс первого клеточного разбиения изоморфен коцепному комплексу второго, с заменой градуировки k на n k. А поскольку группы гомологий и когомологий не зависят от выбора клеточного разбиения, мы получаем изоморфизм теоремы.

Еще один способ построения двойственных клеточных разбиений основан на теории Морса, с которой мы познакомимся позднее.

Следствие 10.3. Старшая группа гомологий Hn (X) компактного ориентированного n-мерного многообразия изоморфна Z, а образующей в этой группе служит фундаментальный класс [X] многообразия, задаваемый суммой всех n-мерных клеток, взятых с коэффициентами ±1 в зависимости от того, согласована или нет ориентация клетки с ориентацией многообразия.

При двойственности Пуанкаре фундаментальный класс многообразия соответствует классу 1 H 0 (X), задаваемому коцепью, тождественно равной 1 на всякой 0-мерной клетке.

Для произвольного компактного многообразия, не обязательно ориентированного, фундаментальный класс определен в старшей группе Z2 -гомологий.

Следствие 10.4. Пусть X Y – компактное ориентированное n-мерное подмногообразие многообразия Y. Тогда оно заГомологии многообразий дает фундаментальный класс Этот класс является прямым образом фундаментального класса [X] Hn (X) при вложении X Y. Если разница двух подмногообразий является (с учетом ориентаций) границей некоторого многообразия на единицу большей размерности, то фундаментальные классы этих подмногообразий равны Формалицация этого свойства приводит к теории кобордизмов. Класс n-мерного бордизма на топологическом пространстве Y задается непрерывным отображением f : X Y, где X – гладкое многообразие. Два таких отображения f1 : X1 Y и f2 : X2 Y считаются бордантными, если несвязное объединение этих многообразий является границей некоторого многообразия W на единицу большей размерности, X1 X2 = W, такого, что отображения f1 и f2 продолжаются с края на все многообразие W. Классы эквивалентности образуют группу бордизмов n (Y ), в которой групповая операция – несвязное суммирование.

Аналогичным образом определяется группа ориентированных бордизмов. Нужно только в приведенном выше определении потребовать ориентированность многообразий X, W и выполнение равенства W = X2 X1 с учетом ориентаций.

Неверно, что всякий класс гомологий представляется гладким многообразием. Кроме того, даже в простейшем случае Y = pt вычисление групп бордизмов является непростой задачей с нетривиальным ответом. Например, RP 2 не является границей никакого трехмерного многообразия, CP 2 не является границей никакого ориентированного пятимерного многообразия. Теория гомологий является упрощением теории бордизмов, в которой у многообразий допускаются особенности. При допускании особенностей всякое многообразие положительной размерности уже является границей (например, своего конуса). Понятия симплициальных, клеточных и сингулярных цепей являются различными формализациями понятия «многообразия с особенностями». Однако с неформальной точки зрения вполне достаточно представлять себе цепи как подмногообразия с особенностями, и тот способ, которым оно разрезано на симплексы, значения не имеет.

С этой точки зрения гомотопическая инвариантность гомологий очевидна: разница двух гомотопных циклов является границей соединяющего их цилиндра. Обратно же, из гомологичности, гомотопность не следует. Например, кривая на кренделе, разрезающая его на два тора с отверстиями, нестягиваема, но гомологична нулю.

Приведем еще одно следствие приведенной точки зрения.

Теорема 10.5. Пусть Y – компактное неособое комплексное алгебраическое многообразие. Тогда всякое его алгебраическое подмногообразие (возможно, особое) обладает фундаментальным целочисленным гомологическим классом.

Если Y – компактное неособое вещественное алгебраическое многообразие, то всякое его алгебраическое подмногообразие (возможно, особое) обладает фундаментальным Z2 -гомологическим классом.

Ориентируемость гладких комплексных многообразий – фундаментальный факт комплексной геометрии. Если (z1,..., zn ) – локальная система комплексных координат, то (x1, y1,..., xn, yn ) – локальная система вещественных координат, задающая положительную ориентацию, где zk = xk + i yk. При наличии особенностей первое утверждение следует из того, что особенности сами образуют алгебраическое подмногообразие. Следовательно, они образуют подмножество комплексной коразмерности как минимум один, а значит, вещественной коразмерности как минимум два. Таким образом, особенности вещественной коразмерности один, дающие вклад в границу, отсутствуют.

В вещественной ситуации аналогичное рассуждение не проходит: компоненты коразмерности один у множества особенностей вполне могут присутствовать. Однако теорема утверждает, что ко всякой такой компоненте сходится четное число ветвей неособой части подмногообразия. Это утверждение является обобщением того хорошо известного факта, что при зависимости от параметров вещественного многочлена от одной переменной его корни рождаются и умирают парами.

У двойственности Пуанкаре имеются варианты формулировки, относящиеся к случаю, когда гладкое ориентированное многообразие M размерности n не является компактным. Обозначим через M = M {pt} пространство одноточечной компактификации многообразия M. Тогда имеют место изоморфизмы где в правой части равенств стоят приведенные гомологии по модулю добавленной точки. Замечу, что пространство M не является многообразием, так что приведенные два равенства не вытекают одно из другого.

В случае, когда M является компактным многообразием с краем, оно является гомотопически эквивалентным своей открытой части M \ M. Приведенные выше изоморфизмы в этом случае принимают форму Еще один из вариантов двойственности, называемый двойственностью Александера, связывает (ко)гомологии замкнутого клеточного подпространства X сферы S n и его дополнения S n \ X:

Эти изоморфизмы задаются композицией изоморфизма двойственности Пуанкаре H k (S n \ X) Hnk (S n, X) и изоморфизn ма : Hnk (S, X) Hnk1 (X) из длинной точной последовательности пары (S n, X) (имеющего место вследствие тривиальности гомологий сферы Hk (S n ) при 0 < k < n).

Рассмотрим, например, дополнение S 3 \ K к узлу K S на трехмерной сфере. Для неэквивалентных узлов пространства S 3 \ K могут оказаться негомеоморфными и даже гомотопически неэквивалентными (в частности, они могут иметь неизоморфные фундаментальные группы). Однако гомологии у всех таких пространств изоморфны между собой и изоморфны гомологиям окружности:

Задача 10.6. Вычислите гомологии и опишите геометрически их образующие для следующих пространств: а) двумерный тор T2 ; б) факторпространство T2 /S 1, получающееся из тора стягиванием оного из его меридианов; в) факторпространство M/M, где M – полноторий, заданный как произведение окружности и двумерного диска.

Задача 10.7. Вычислите гомологии трехмерного многообразия M, образованного единичными касательными векторами к ориентируемой компактной поверхности S рода g.

Решение. Обозначим через p : M S проекцию, сопоставляющую касательному вектору его точку прикрепления. Это отображение является локально тривиальным расслоением со слоем S 1.

Разобьем поверхность S на маленький диск D и замыкание его дополнения C, так что D C = D = C = S 1. Заметим, что диск D стягиваем и имеет тривиальные гомологии. Гомологии его дополнения C по двойственности Пуанкаре изоморфны когомологиям пары (C, C), т.е. приведенным гомологиям самой поверхности S C/C:

В качестве образующих группы H1 (C) можно взять 2g кривых на поверхности, задающих базис в группе H1 (S) (сдвинув при необходимости эти кривые, можно добиться того, чтобы они не проходили через диск D).

Разбиение S = DC задает аналогичное разбиение M = XY, где X = p1 (D), Y = p1 (C). Пространства X и Y являются трехмерными многообразиями, имеющими общий край X = Y, диффеоморфный двумерному тору.

Для вычисления гомологий M я воспользуюсь длинной точной последовательностью пары (M, Y ). Помимо искомых гомологий многообразия M она содержит гомологии пространства Y, и гомологии фактора M/Y = X/X.

Пространство X является полноторием, X = D S 1. По двойственности Пуанкаре гомологии фактора X/X изоморфны когомологиям самого пространства X S 1 (с обращением градуировок). В качестве образующих групп H2 (X, X) = H 1 (S 1 ) = Z и H3 (X, X) = H 0 (S 1 ) = Z можно взять диск D {pt}, и сам полноторий D S 1, соответственно, рассматриваемые как относительные циклы.

Для вычисления гомологий пространства Y я замечу, что расслоение p : Y C является, в действительности, тривиальным, Y = C S 1. Для задания тривиализации этого расслоения достаточно построить векторное поле v на S, не имеющее особых точек вне диска D. Тогда направление этого поля задаст «начало отсчета» на каждом слое расслоения p над C. Для построения такого поля достаточно взять произвольное поле общего положения, покрыть все его особые точки областью, гомеоморфной диску, и обозначить этот диск через D.

Поскольку гомологии сомножителей C и S 1 произведения Y C S 1 не имеют кручения, мы получаем изоморфизм Вычисленные гомологии пространств X/X и Y собраны в следующей таблице:

Образующими группы H1 (Y ) служит произвольный слой p1 (pt) S 1 и 2g кривых, задающих базис группы H1 (C) = Z2g и поднятых в Y при помощи поля v.

Чтобы воспользоваться длинной точной последовательностью, нужно еще знать действие связывающего гомоморфизма.

Гомоморфизм : H3 (X, X) H2 (Y ) тривиален (в этом можно убедиться без вычислений, поскольку образующая группы H3 (X, X) является образом фундаментального класса [M ] H3 (M ), о существовании которого мы знаем до всяких вычислений).

Вычислим гомоморфизм : H2 (X, X) H1 (Y ). Образующей группы H2 (X, X) служит диск D {pt} X D S 1.

Образ класса этого диска при гомоморфизме представлен его границей в Y. Нам нужно выразить класс цикла через образующие группы H1 (Y ).

При изоморфизме Y = C S 1 кривая лежит в торе C S 1, обходит один раз вдоль образующей C {pt} тора и некоторое число e раз вдоль образующей {pt} S 1. Число e вовсе не обязано равняться нулю. Дело в том, что ограничение расслоения p на окружность D = C тривиально, но тривиализация этого ограничения, полученная из ограничений тривиализаций расслоения p над D и над C, отличаются, и число e как раз измеряет отличие этих тривиализаций. А именно, число e равно числу вращения поля v при обходе вдоль границы диска D, т.е. суммарному индексу вращения всех его особых точек. Для поверхности рода g суммарный индекс вращения равен e = 2 2g, т.е. эйлеровой характеристике этой поверхности. Отсюда следует, что кривая гомологична 2 2g раз пройденному слою расслоения p.

Таким образом, гомоморфизм : H2 (X, X) H1 (Y ) является вложением в качестве подгруппы индекса |2 2g| в один из прямых слагаемых Z группы H1 (Y ) = Z2g+1.

Теперь все необходимые данные для подстановки в длинную точную последовательность пары (M, Y ) у нас имеются, и мы получаем из этой последовательности:

а группа H1 (M ) определяется из короткой точной последовательности Такая последовательность всегда расщепляется и мы получаем, окончательно, H1 (M ) = Z2g Z|22g|.

Задача 10.8. Повторите вычисление приведенного решения предыдущей задачи, используя точную последовательность пары (M, X).

11 Двойственность и когомологии Пусть заданы многообразие и его гладкое подмногообразие X Y. Если они оба ориентированы и компактны, то из фундаментального класса многообразия X мы по двойственности получаем класс когомологий на Y дополнительной размерности. Оказывается, для определения класса когомологий, двойственного подмногообразию, условие компактности обоих многообразий X и Y можно ослабить до условия замкнутости подмногообразия X Y, а условие ориентированности многообразий – до условия коориентированности подмногообразия X Y, т.е. ориентированности нормального расслоения. Двойственный к X класс когомологий можно задать явной симплициальной коцепью.

Рассмотрим на Y произвольную триангуляцию. Пошевелив, при необходимости, многообразие X, мы можем предполагать, что оно трансверсально по отношению к каждой грани триангуляции. В качестве шевеления мы можем рассмотреть подмногообразие вида g(X), где g – близкий к тождественному диффеоморфизм. Обозначим через m = dim Y dim X коразмерность подмногообразия Y. Рассмотрим m-коцепь X, значение которой на m-мерной грани равно индексу пересечения этой грани с многообразием X. Индекс пересечения вычисляется как общее количество точек пересечения грани с многообразием X, посчитанных с учетом знаков. Знак равен ± в зависимости от того, согласована или противоположна собственная ориентация грани с ориентацией, задаваемой на ней как на трансверсали к коориентированному многообразию X.

Предложение 11.1. Предположим, что подмногообразие X Y замкнуто и коориентировано. Тогда коцепь X замкнута. Задаваемый ею класс когомологий не зависит ни от выбора шевеления g(X) подмногообразия X, ни от выбора триангуляции на Y.

Доказательство предложения прямое, но требует некоторой работы. Для двух триангуляций на многообразии найдется третья, которая является подразбиением как первой, так и второй.

Цепной комплекс, получаемый при подразбиении триангуляции, цепно гомотопен исходному. Нужно проверить, что цепная гомотопия согласована с конструкцией коцепи X. Я опускаю детали этих рассуждений.

Задача 11.2. Пусть X Y – замкнутое коориентированное многообразие с краем, трансверсальное заданной триангуляции на Y. Докажите, что край X наследует естественную коориентацию, при этом Одно из преимуществ когомологической версии фундаментального класса состоит в ее функториальности по отношению к операции взятия обратного образа. Пусть f : Z Y – произвольное гладкое отображение. Пошевелив, при необходимости это отображение, его можно сделать транстверсальным по отношению к заданному замкнутому коориентированному подмногообразию X Y.

Следствие 11.3. При выполнении условия трансверсальности подпространство f 1 (X) является гладким, замкнутым, коориентированным подмногообразием той же коразмерности и двойственный ему класс когомологий равен Формула следствия выполняется на уровне коцепей и вытекает из определения гомоморфизма f для симплициальных когомологий.

При помощи двойственности Пуанкаре легко описывается умножение: произведению классов когомологий отвечает пересечение двойственных им циклов.

Теорема 11.4. Пусть A и B – два трансверсально пересекающихся замкнутых коориентированных подмногообразия многообразия X. Тогда их пересечение наделено естественной коориентацией и его фундаментальный когомологический класс равен произведению фундаментальных когомологических классов многообразий A и B, Если многообразия пересекаются нетрансверсально, то их можно привести в общее положение малым шевелением одного из них. Класс пересечения не зависит от выбора шевеления.

Гомологии многообразий и операцию пересечения циклов ввел Пуанкаре. Лишь позже Колмогоров и Александер осознали, что двойственная операция умножения в когомологиях имеет более инвариантный смысл и может быть определена для произвольного топологического пространства.

Доказательство. Выберем на X триангуляцию, трансверсальную обоим подмногообразиям. Непосредственно из определения -умножения вытекает, что -произведение коцепей, двойственных многообразиям A и B, является коцепью, двойственной подмногообразию A B X X. Прообразом этого подмногообразия при диагональном вложении X X X служит в точности пересечение A B, что и доказывает теорему.

Пример 11.5. Мы знаем аддитивную структуру гомологий проективного пространства CP n : единственными нетривиальными группами когомологий являются группы H 2k (CP n ) Z, n. Образующей группы H 2k (CP n ) служит класс, двойk ственный (n k)-мерному проективному подпространству. Пересечением проективных подпространств коразмерностей k и является проективное подпространство коразмерности k +. Следовательно, кольцо когомологий H (CP n ) изоморфно кольцу срезанных многочленов. Оно порождено классом гиперплоскости u H 2 (CP n ), а единственным соотношением является un+1 = 0:

Аналогичное описание имеет кольцо когомологий вещественного проективного пространства, если в качестве коэффициентов выступает группа Z2 :

где H 1 (RP 1 ; Z2 ) – класс гиперплоскости.

Задача 11.6. Вычислите класс [H] H 2 (CP n ) когомологий неособой комплексной проективной гиперповерхности H CP n, заданной в однородных координатах однородным многочленом степени d.

Пусть задано многообразие и гладкая вещественнозначная функция на нем. Критической точкой функции называется точка, в которой дифференциал функции обращается в ноль. Значение функции в критической точке называется критическим значением. В критической точке корректно определен второй дифференциал функции – квадратичная форма на касательном пространстве, заданная членами второго порядка тейлоровского разложения функции в этой точке.

Критическая точка называется невырожденной, если второй дифференциал является невырожденной квадратичной формой.

Линейной заменой координат всякая квадратичная форма приводится к сумме квадратов с определенными знаками. Следовательно, в окрестности невырожденной критической точки можно подобрать такую систему координат x1,..., xn, в которой функция представляется в виде где последнее многоточие обозначает члены более высокого порядка (в действительности, в окрестности невырожденной критической точки заменой координат функцию можно привести к своей квадратичной части, но я этого не использую). Число k отрицательных квадратов в нормальной форме, т.е. отрицательный индекс инерции второго дифференциала, называется индексом Морса критической точки.

Определение 12.1. Бесконечно гладкая вещественнозначная функция на компактном многообразии называется функцией Морса, если все ее критические точки невырожденны.

Иногда в определении функции Морса дополнительно требуют, чтобы все критические значения были различными, однако мне это не потребуется.

Функции Морса образуют открытое всюду плотное подпространство в пространстве всех функций, т.е. являются функциями общего положения. Из компактности многообразия вытекает, что количество критических точек функции Морса конечно.