WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

«Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Москва Издательство МЦНМО УДК.. ББК. А Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем — А М.: МЦНМО,.— с. ISBN - В книге рассказывается о ...»

-- [ Страница 1 ] --

Д. В. Аносов

Дифференциальные уравнения:

то решаем, то рисуем

Москва

Издательство МЦНМО

УДК..

ББК.

А

Аносов Д. В.

Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем —

А

М.: МЦНМО,.— с.

ISBN -- - В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних

случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.

Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости. Книга не заменяет вузовские учебники, но так как в ней затрагиваются и не освещаемые в них вопросы, а часть других вопросов освещается иначе, то она может заинтересовать и студентов вузов со значительной математической программой.

ББК.

© Аносов Д. В.,.

ISBN -- - - © МЦНМО,.

Оглавление Предисловие...................................

§. Введение..................................

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений.................................

§. Примеры фазовых портретов.....................

§. Показательная функция........................

§. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами...

§. Автоколебания..............................

§. Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность....

§. Хаос......................................

Предметный указатель............................

Предисловие Мне всегда казалось, что популярная литература по математике страдает одним существенным недостатком. Ориентируясь на читателя, находящегося на уровне хорошего школьника, она его знакомит с разнообразным материалом, вполне доступном на этом уровне, и дат ему возможность попробовать свои силы на задачах, связанных с таким материалом. Всё это бывает увлекательно (для читателя, не страдающего идиосинкразией к самостоятельной умственной работе вообще и к занятиям математикой в частности). Но... Но бльшая о часть этого материала не имеет отношения к тому, чем на самом деле занимаются математики. Сравните это с литературой по физике, рассказывающей как о повседневных проявлениях «физики вокруг нас», так и о самой актуальной научной тематике (атомном ядре, элементарных частицах, полупроводниках, лазерах и прочих чудесах современной электроники, имеющих, в конце концов, квантовую природу), а также с литературой по астрономии (новейшие исследования Солнечной системы, образование и жизнь звёзд и галактик, пульсары и квазары...).

Правда, читатель может хорошо разобраться с какими-нибудь свойствами треугольника, не входящими в школьную программу, или с той физикой в повседневной жизни, которой посвящены, например, книги Я. И. Перельмана, но не верится, чтобы он своими силами запустил космическую ракету с рентгеновским телескопом на борту...

(Или, не дай бог, построил ядерный реактор.) Так что самые захватывающие физические и астрономические знания поневоле носят более опосредованный характер. Но всё же это знания.

Не уверен, что популярная математическая литература может в этом отношении полностью сравняться с литературой по физике или астрономии. Боюсь, что попытка сравняться приведёт к разговорам о том, какая замечательная это наука, к биографиям великих учёных и подчас к формулировкам отдельных результатов вроде Великой теоремы Ферма в тех случаях, когда для понимания формулировок особых знаний не нужно (а вот для понимания доказательств может оказаться недостаточно даже обычного университетского математического образования). Но всё же можно рассказать кое о чём не слишком далёком от текущей исследовательской работы. Эта книжка — одна из попыток такого рода.

Предисловие Она посвящена дифференциальным уравнениям. Математическое описание физических законов (и прежде всего фундаментальных законов, т. е. тех, которые лежат в основе нашего понимания природных процессов) чаще всего даётся именно дифференциальными уравнениями. Естественно, последние важны также для многих вопросов техники, прежде всего тех, где играет большую роль физика. Дифференциальные уравнения встречаются и за пределами физики, и если здесь их роль несколько меньше, то это просто потому, что за пределами физики вообще меньше используется математика. Но это всё разговоры о важности нашего предмета, а не о его содержании. Я попытался дать некоторое представление о части этого содержания.

Данная книжка — не попытка заменить учебники по нашему предмету. В самом скромном учебнике есть многое, о чём я даже не упоминаю. Я и не ставил себе цели научить пользоваться дифференциальными уравнениями хотя бы на самом начальном уровне — это, повторяю, задача учебника. Зато кое-что, о чём я пытаюсь рассказать, отражает (на максимально упрощённом уровне) более сложные и более новые вещи. Порой я именно рассказываю, а не доказываю, что опять-таки связано с характером книжки. Однако кое-что я доказываю — иначе здесь вообще была бы не математика, а одни разговоры о ней. (Так что читать эту книжку надо всё-таки с листом бумаги и ручкой. Мне кажется, что какой-то работы с этими предметами требует даже часть материала, излагаемого без доказательств.) Для понимания книжки достаточны знания, которыми обладают учащиеся физико-математических школ или специализированных классов. Она должна быть доступна и интересующимся математикой более или менее подготовленным учащимся общеобразовательных школ. Самое сложное, что здесь требуется — это понимание смысла понятия производной и начальное умение дифференцировать. (Только в части текста, набранной петитом, порой упоминается кое-что ещё, но ведь на то он и петит...) К сведению читателя, которому эта книжка покажется слишком толстой, чтобы читать её всю подряд: параграфы, являются основой для всего дальнейшего, и без них не обойтись. Далее же имеются две независимые друг от друга части. В параграфах, рассказано, как решаются некоторые дифференциальные уравнения, и сказано об их физических приложениях, — здесь мы «решаем». В параграфах, Основное содержание книжки (не считая пары «разговорных» упоминаний о более новых вещах) заканчивается примерно там, где могли бы начаться мои личные воспоминания. Конечно, для молодого читателя это куда более давнее прошлое, чем для меня, но всё же это не невесть какой...надцатый век.



,, мы «рисуем» — привлекаем геометрические соображения для ответа на некоторые важные вопросы, обычно ничего не решая; здесь тоже говорится о физических приложениях. В § подробнее характеризуется содержание следующих параграфов.

Насчт имеющихся в книге упражнений: некоторые из них как бы ответвляются от основной линии, однако большинство существенно для этой самой линии. Но так как данная книга — не учебник, то решение упражнений не обязательно. Читатель с ленцой или с ограниченным временем может просто ознакомиться с содержащимися в них утверждениями, запомнить таковые (хотя бы на короткое время — пока он будет читать пару следующих страниц) и идти дальше.

Ведь вс равно кое-что я сообщаю без доказательств. (Но я это дее лаю преимущественно тогда, когда доказательства либо слишком громоздки, либо требуют знаний, которых у читателя не предполагается.

Для решения упражнений таких знаний не требуется, и соответствующие рассуждения, как мне кажется, не являются слишком длинными.) Перед тем как я написал эту книжку, я прочёл в и годах на эту тему несколько лекций для старшеклассников и студентов младших курсов в летней школе «Современная математика» в Ратмино (около Дубны). Как это часто бывает в подобных случаях, по сравнению с лекциями текст стал длиннее (и, я надеюсь, аккуратнее), хотя по существу в лекциях в той или иной степени уже затрагивались все рассматриваемые здесь вопросы. Я благодарю руководителей школы за приглашение и за хорошие условия для работы (настоящий текст я начал писать уже там).

Я благодарю также О. Д. Аносову и В. А. Курлина, убедивших меня выбрать именно эту тему для лекций, и А. В. Клименко, А. А. Корнева, А. А. Лосева, В. Н. Сальникова и А. Г. Хованского за полезные замечания по рукописи и (или) обсуждение затронутых в ней тем. В этом отношении особенно большую роль сыграл А. В. Клименко, под влиянием которого я полностью пересмотрел текст конца § (окончательный вариант отличается от его предложений, но без них не было бы этого варианта). Наконец, я благодарю А. В. Клименко, А. А. Корнева и сотрудников МЦНМО за изготовление рисунков.

Уравнение — это равенство, в котором что-то известно, а что-то нет, и требуется это неизвестное определить или, по крайней мере, узнать о нём нечто новое. Например, в школе решают линейные и квадратные уравнения, скажем, x 2 4x 5 = 0. Это уравнение имеет два решения, т. е. неизвестное x может быть одним из двух чисел: x = 5 или x = 1. Как и в этом примере, в школьных уравнениях неизвестное — это какое-то число. Иногда надо найти не одно число, а сразу несколько чисел, скажем, x и y. Это бывает, когда решают систему уравнений, например, Ответ (в данном случае он единственный): x = 2, y = 1.

Но бывает, что неизвестная величина (или неизвестные величины) — это не число (числа), а функция (несколько функций). Вероятно, наиболее важные и наиболее распространённые задачи такого рода — это дифференциальные уравнения. В школьном курсе математики о них нет речи, но простейшие примеры дифференциальных уравнений нелегально фигурируют в школьном курсе физики. Например, изменение со временем высоты x свободно падающего тела определяется таким законом :

ускорение постоянно и равно некоей известной величине g. () Здесь g — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с2 ;

более точное значение для g зависит от места на Земле, где падает тело. Мы рассматриваем тело как материальную точку, размерами которой сравнительно с высотой можно пренебречь (в противном случае разные части тела могли бы находиться на разной высоте). Кроме того, подразумевается, что высота x мала по сравнению с радиусом Земли, вследствие чего можно пренебречь зависимостью ускорения от x, и скорость падения невелика, что позволяет пренебречь сопротивлением воздуха.

Ускорение — это скорость изменения скорости (точнее: мгновенная скорость изменения мгновенной скорости). Мгновенную скорость изменения какой-нибудь величины (в данном случае высоты x), зависящей от времени t (что, как известно, выражают словами «x есть функция от t» и при случае отражают в обозначениях, записывая x = x(t)), часто обозначают, ставя точку над символом, обозначающим эту величину. В нашем случае скорость падения есть x, а ускорение тогда надо обозначить через x. Теперь словесную формулировку ( ) можно заменить символьной (Положительное направление на оси координат x — это направление вверх, ведь x — это высота. Ускорение же имеет противоположное направление — вниз. В то же время под g принято понимать положительную величину. Поэтому в правой части ( ) стоит знак минус.) Нас интересует, как высота x меняется со временем t, т. е. x — это какаято функция от t, которую мы хотим найти.

Обсуждение математического смысла физического (кинематического ) понятия мгновенной скорости приводит к выводу, что скоdx(t) прекрасно пояснено в известной книге Фейнмана, и я не вижу нужды в повторении сказанного там. Таким образом, в левой части ( ) производной. Математическая операция, состоящая в переdt ходе от x(t) к x (t), называется дифференцированием (подробнее:

дифференцированием функции x(t) по t). Коль скоро привлекается дифференцирование, понятно, что уравнение ( ) называют дифференциальным — вот мы и пояснили это название на простейшем примере.

У понятий, связанных с дифференцированием, имеется и другой аспект, при котором на первый план выходит не скорость, а главная линейная часть приращения функции, именуемая (с точностью до оттенков) дифференциалом этой функции. Исторически понятия производной и дифференциала возникли одновременно и, в конечном счёте, как бы эквивалентны. Они отражают одну и ту же идею локально Кинематика — раздел механики, который изучает движения тел только с геометрической стороны и не вникает во взаимодействия тел, силы, определяющие движения;

это, так сказать, «геометрия плюс время».

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. : Современная наука о природе. Законы механики. М.: Мир, (были и переиздания).

Не у каждой функции существует производная, да ещ при всех t, при которых эта функция определена. Когда производная существует, то говорят, что функция является дифференцируемой.

(на малом отрезке времени) «хорошая» (дифференцируемая) функция «ведёт себя почти так же», как и простейшая функция — линейная. Но в то же время мгновенная скорость воспринимается как-то легче, чем главная линейная часть приращения. Даже кажется, будто скорость — что-то само по себе ясное, не о чем и разговаривать. Между тем у древних греков, кои были неглупыми, понятия мгновенной скорости не было! (Имеется подозрение, что Архимед представлял себе мгновенную скорость, но ничего о ней не писал, по-видимому считая подобные вещи только эвристическими и оставляя их «для себя».) Нам легче, чем древним грекам, усвоить, что имеет смысл говорить о мгновенной скорости движения, потому что каждый видел спидометр автомобиля, тогда как на колесницах и конях спидометров не ставили.

Разумеется, о производной можно говорить и тогда, когда независимая переменная не имеет физического смысла времени. Когда этой переменной служит x, производную часто обозначают штрихом:

= f (x). Таким образом, выражения f (t), f (t), f (x) означаdt ют одно и то же — так называемую «вторую производную» (т. е. производную от производной) функции f.

Мы будем использовать следующие свойства производных :

(af ) = af, если a = const, т. е. a — постоянное число;

и, наконец, формула для производной сложной функции: если x = = g(t), то В последней формуле обозначение | x=g(t) после производной f (x) указывает, что надо взять значение этой производной при x = g(t).

(В записи это подразумевается без особого на то указания, поскольку это было сказано с самого начала.) О сложной функции Самыми сложными из них являются ( ) и ( ). Многое можно понять и без этих свойств.

f (g(t)) говорят, что она является композицией или суперпозицией функций f и g, и обозначают её знаком f g; тогда ( ) можно записать ещё так: ( f g) = f g (ради единообразия здесь производная по t тоже обозначена штрихом) или подробнее, указывая, каким должен быть аргумент у f :

С этим, вероятно, и связано название этой формулы — «цепное правило» (дифференцирование «идт по цепочке» — сперва дифференцируе ется f, затем g).

Формула ( ), очевидно, является частным случаем ( ), когда g(t) = at, и этот частный случай намного проще общего: в разностном отношении f (a(t + h)) f (at) умножаем всё на a. А отношение x = at с приращением аргумента k = ah. Совершенно всё равно, говорим ли В общем случае в доказательстве ( ) имеется небольшой «подводный камень», который, впрочем, не вызывает трудностей — надо только его заметить. Мы, конечно, начинаем с равенства и делаем предельный переход при h 0, но где гарантия, что g(t + h) g(t) = 0? Если g(t) = 0, то это действительно гарантировано при достаточно малых (по абсолютной величине) ненулевых h (почему?). Случай же g (t) = приходится рассматривать отдельно (что совсем не трудно; в этом случае и левая, и правая части ( ) равны нулю, — почему?) В учебниках эти формулы сопровождаются стандартным припевом: «если существуют производные, фигурирующие в правой части, то существует и производная, стоящая в левой части».

Общее понятие дифференциального уравнения таково: это уравнение, содержащее искомые (неизвестные) функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Большое значение дифференциальных уравнений объясняется тем, что очень часто (и притом в очень важных случаях) законы природы выражаются в форме дифференциальных уравнений.

Если независимая переменная только одна, как в ( ), то о производной по этой переменной говорят как об обыкновенной производной, а если независимых переменных несколько, то производные по ним называют частными производными. О соответствующих дифференциальных уравнениях говорят: обыкновенное дифференциальное уравнение, уравнение с частными производными. С этими названиями связаны различные шутки и анекдоты. В записях Пушкина анекдотами называются короткие рассказы о различных подлинных (или слывущих подлинными) случаях, в чём-то выразительных, но не обязательно смешных. В наши дни анекдот может быть вымышленным, но должен быть смешным.

Анекдот, который я сейчас расскажу, является анекдотом в обоих смыслах. Лет — назад в Екатеринбурге (тогда — Свердловск) местная газета опубликовала статью о работавшем и по сей день работающем в этом городе математике — академике Н. Н. Красовском.

Помимо общих слов, какой он замечательный (что, кстати, правда, но без дальнейших пояснений звучит голословно), там была и конкретика, о которой Николай Николаевич поведал своим сотрудникам, а они рассказали мне. Вот как они пересказали слова Красовского.

— Приходит корреспондент одной из местных газет ко мне в кабинет. На доске в кабинете написаны уравнения. Корреспондент спрашивает: «Чем Вы занимаетесь?». Я отвечаю — мы занимаемся изучением обыкновенных дифференциальных уравнений. На другой день в газете появилась статья, в которой, в частности, говорилось: «На доске были написаны сложнейшие уравнения, которые академик по своей скромности с легкостью называет обыкновенными».

Если Красовский такой скромный, то нам и сам бог велел. У нас будут только обыкновенные дифференциальные уравнения. Причём, в отличие от Красовского, отнюдь не сложнейшие.

Самый высокий из порядков всех производных, входящих в уравнение, называется порядком этого уравнения. Таким образом, ( ) — это дифференциальное уравнение второго порядка, равно как и фигурирующее ниже уравнение ( ), а x = x — уравнение первого порядка.

Из школьного учебника известно, что изменение высоты при свободном падении, соответствующее закону ( ), т. е. дифференциальноДля частных производных принято слегка модифицированное обозначение — скаf (x, y) жем, частная производная функции f (x, y) по x обозначается через.

му уравнению ( ), задается равенством:

Здесь x0 — высота в начальный момент времени t = 0, а v0 — скорость в тот же момент (начальная скорость), то есть, на чисто математическом языке, x (0). Доказательство, собственно, уже никак не связано с представлением о свободном падении или чем-нибудь ещё «физическим» — речь идёт просто о решениях дифференциального уравнения ( ) (см. ниже). Таким образом, дифференциальное уравнение ( ) имеет не одно решение, а бесконечное семейство таковых, причём каждое решение однозначно определяется своими начальными значениями x0 и v0.

Эти наблюдения относятся к очень простому дифференциальному уравнению, но сделанные выводы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, имеют гораздо более общее значение.

Фактически процесс решения дифференциального уравнения ( ) заключается в самом обычном интегрировании, т. е. нахождении функции с заданной производной (к тому же очень простой). Действительно, ( ) означает, что у скорости v(t) = x (t) производная (t) = g. Отсюда v(t) = v0 gt. После этого надо найти функцию x(t), имеющую производную x (t) = v0 gt. Ответ даётся формулой ( ).

Конечно, дифференциальное уравнение вида когда всё сводится к обычному интегрированию, — это очень специальный частный случай. Но по аналогии с этим примером процесс решения более общих дифференциальных уравнений тоже называют интегрированием, даже когда в этом процессе никак не участвуют те интегралы, о которых говорится в интегральном исчислении. А полученные решения дифференциального уравнения называют его интегралами. Почему-то эта старинная терминология дожила до наших дней. (Она используется даже группой Бурбаки, даром что та известна своей тенденцией к терминологическим изменениям.) Казалось бы, почему бы попросту не называть решения решениями? Видимо, этому препятствует обстоятельство чисто словесной природы: слово «решение» означает и процесс решения, и его результат, тогда как «интегрирование» и «интеграл» — различные слова, означающие различные вещи. Я, как и многие мои современные коллеги, изберу компромиссный вариант и буду часто называть процесс решения интегрированием, а функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению, буду называть его решениями (а не интегралами).

Рис.. Осцилляторы: а) математический маятник; б) грузик на пружинке;

Другое дифференциальное уравнение, которое если и не совсем встречается, то «почти встречается» в курсе физики, описывает гармонические осцилляторы. Гармонический осциллятор — это колебательная физическая система, описываемая дифференциальным уравнением (Здесь — некоторый постоянный коэффициент.) Примерами с известной точностью могут служить: обыкновенный маятник при небольшом отклонении от наинизшего возможного положения равновесия; массивный шарик на невесомой пружинке, подчиняющейся закону Гука (в этих двух случаях на систему, отклонившуюся от равновесного положения с x = 0, действует возвращающая сила, пропорциональная x, но имеющая противоположный знак); электротехнический колебательный контур, состоящий из конденсатора и индуктивности (катушки индуктивности) (рис. ).

Физический смысл x и в этих трёх случаях различен, как различны соответствующие физические процессы и указания, при каких условиях эти процессы описываются уравнением ( ).

Так называемый математический маятник состоит из тяжлой е материальной точки, которая подвешена к некоторой неподвижной точке O с помощью невесомого, нерастяжимого и несгибаемого стержня длины l; стержень колеблется в некоторой вертикальной плоскости, проходящей через O. Величина x характеризует отклонение маятника от направленной вниз вертикали, проходящей через O;

обычно за x принимают угол отклонения, выраженный в радианах.

Отклонения в одну сторону от вертикали считаются положительными, а в другую — отрицательными. Подразумевается, что x мало и что на маятник действует только сила тяжести (нет ни трения в точке подвеса, ни сопротивления воздуха). При этом оказывается, что 2 = g/l. (Повторяю, что сейчас мы рассматриваем только малые колебания маятника, при которых угол на рис. а мал по абсолютВведение ной величине. Вывод уравнения ( ) для математического маятника приводится в §.) В физике маятник — это твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса.

Маятник, состоящий из грузика, подвешенного на верёвке, собственно, не вполне соответствует данному определению; другое дело, если он подвешен с помощью невесомого, нерастяжимого и несгибаемого стержня. Но практически годится и грузик, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, а масса нити очень мала по сравнению с массой груза.

Никаких таких оговорок не надо, если, как было сказано вначале, маятник является твёрдым телом. Можно показать, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с некоторой длиной l, которая зависит от распределения массы в физическом маятнике. В принципе l можно вычислить (точно или приближённо), зная это распределение, но практически при точных измерениях пользуются физическими маятниками специальной конструкции, для которых придуманы остроумные приёмы, как с большой точностью экспериментально определять это l.

Будучи школьником, я узнал, что период колебаний маятника раl вен 2 g ; до сих пор помню, что меня удивило — откуда здесь взялось ? Те, кто учится в физико-математических школах, возможно, уже знают, откуда. В обычной же школе не говорят об уравнении ( ), но всё же сообщают кое-что о его решении, а именно, период решения; поэтому я и сказал, что ( ) «почти встречается» в школе.

На маятник действует сила тяжести, возвращающая отклоннный маятник на вертикаль, проходящую через O, но и после возвращения на неё маятник, обладая некоторой скоростью, по инерции продолжает двигаться и снова отклоняется от вертикали в сторону, противоположную той, откуда он пришёл.

На шарик, висящий на пружинке, действует сила тяжести и упругая сила сжатой или растянутой пружины; эти две силы действуют так же, как если бы силы тяжести не было, но равновесное состояние пружинки (когда она не сжата и не растянута) было бы несколько другим (она была бы в нём несколько удлинённой по сравнению со своей настоящей длиной). Упругая сила пружины вместе с силой тяжести возвращают шарик в положение равновесия, в котором упругая сила в точности уравновешивает силу тяжести (пружинка при этом несколько растянута), но шарик по инерции проскакивает через это положение.

В этих двух примерах мы имеем дело с механическими колебаниями, т. е. с колебаниями, происходящими под действием механических сил. В электрическом контуре разность потенциалов между обкладками заряженного конденсатора вызывает появление тока в катушке;

он не прекращается в тот момент, когда конденсатор полностью разряжен, а благодаря индуктивности катушки продолжает течь дальше, перезаряжая конденсатор. В этом случае за x можно принять заряд на конденсаторе, так что напряжение между обкладками конденсатора ёмкости C равно x/C, а x — это скорость изменения тока x, ей пропорционально падение напряжения L x на индуктивности L. Суммарное падение напряжения вдоль этих двух элементов замкнутой цепи равно нулю, что и приводит к уравнению ( ) с 2 = 1/(LC). В электротехническом примере точность описания физической системы уравнением ( ) может быть намного выше, чем в предыдущих механических примерах.

Оказывается, решение дифференциального уравнения ( ) имеет вид :

где A и — некоторые константы, свои для каждого решения. Они называются, соответственно, амплитудой и фазой. При желании можно выразить их через начальные значения, т. е. через x0 = x(0) и x0 = = x (0). Однако в данном случае чаще бывает удобнее пользоваться амплитудой и фазой.

Обратите внимание, что для обоих дифференциальных уравнений второго порядка, с которыми мы пока встречались, семейство решений — двухпараметрическое, т. е. решение зависит от двух параметров. В ( ) параметрами служат x0 и v0 = x0, а в ( ) — A и, но, как говорилось, можно было бы выразить решение через начальные значения x0 и x0.

Это не случайное совпадение: в теории дифференциальных уравнений доказывается, что для мало-мальски «хороших» уравнений n-го порядка x (n) = f (t, x, x, …, x (n1) ) (позднее я уточню, что здесь значит «хорошее») решение полностью определяется своими начальными значениями, каковыми для уравнения n-го порядка являются знаЭто несколько по-разному доказывается в § и в §, причём в последнем непосредственно доказывается также, что других решений нет, а в § то же объясняется со ссылкой на общие результаты теории дифференциальных уравнений.

С формулами ( ) связан также термин начальное условие. При его использовании имеется некоторый разнобой. Иногда под этим названием понимают всю систему n равенств ( ). Иногда же каждое из них называют начальным условием, и тогда можно сказать, что решение полностью определяется n начальными условиями. (Я в основном придерживаюсь первого варианта, но иногда отхожу от него.) чения в начальный момент времени (этим моментом может служить t = 0, а может и какое-нибудь другое t = t0 ) самого решения и его производных первых n 1 порядков, т. е.

Здесь верхний индекс указывает порядок соответствующей производной. Часто, впрочем, вместо x0 и x0 пишут короче x0, x0.

Если, к примеру, взять уже упоминавшееся дифференциальное уравнение первого порядка то его решение зависит только от одного параметра, за каковой можно взять x0. Это решение имеет вид x(t) = x0 et, где e = 2,718… — основание натуральных логарифмов. Студентам, как, вероятно, и учащимся физико-математических школ, должно быть сразу понятно, что это действительно решение указанного уравнения с начальным значением x0 ; тех, кто ещё не имеет соответствующих знаний, отсылаю к §, (возможно, данное там изложение может быть небезынтересным и для студентов). Но что, может быть, и для студентов не совсем очевидно — это что других решений с данным начальным значением нет.

Утверждение о единственности решения уравнения x = x — это, конечно, частный случай некоей общей теоремы, но оно допускает такое простое отдельное доказательство, что стоит это доказательство привести. Пусть x(t) — решение с начальным значением x0. Рассмотрим вспомогательную величину y(t) = et x(t). Простое упражнение (предоставляемое читателю) — проверить, что = 0. Значит, y — константа. Но когда t = 0, то y = x0 (почему?).

А раз y — константа, то она равна x0 и при всех t. Итак, et x = x0 при всех t.

Но это и означает, что x(t) = x0 et.

Из ( ) видно, что решения ( ) суть периодические функции от t с периодом 2/. Заметим, что все колебания гармонического осциллятора — и большие, и малые — имеют один и тот же период (это свойство называют изохронностью колебаний). Это связано с линейностью уравнения ( ), т. е. с тем, что согласно этому уравнению x можно выразить как линейную функцию от x. Для нелинейных уравВ более общем случае уравнение x (n) = f (t, x, x, …, x (n1) ) называется линейным, если в его правую часть неизвестная x и е производные входят линейно, то есть f является суммой x и е производных, взятых с какими-то не зависящими от них множие телями. Эти множители — их называют коэффициентами данного уравнения — вполне могли бы зависеть от t, но мы будем рассматривать только уравнения с постоянными коэффициентами.

нений (т. е. уравнений, не являющихся линейными) изохронности почти никогда нет, что становится заметным при достаточно больших колебаниях.

Легенда гласит, что Галилей установил независимость периода колебаний маятника от амплитуды, наблюдая колебания люстры в церковном соборе и подсчитывая число ударов своего пульса, приходящихся на определённое число колебаний. Трудно представить себе, чтобы в соборе амплитуда колебаний люстры была заметной по сравнению с длиной её подвески, исключая разве случай землетрясения, не очень подходящий для спокойных наблюдений. Таким образом, Галилей находился в «области применимости линейного приближения» — на самом деле движение маятника описывается нелинейным дифференциальным уравнением, с которым мы познакомимся в §, но когда колебания достаточно малы, это уравнение с довольно большой точностью можно заменить линейным. При больших колебаниях такая замена не годится, надо пользоваться самим нелинейным уравнением, а для него изохронности нет.

Колебания маятника с большим (лучше сказать, с не обязательно малым) размахом рассматривал Х. Гюйгенс ( — ). Как известно, он изобрёл и построил в г. часы с маятником, в которых сразу же была достигнута невиданная ранее точность хода. Идею таких часов высказал ещё Галилей, но он их не построил. У Гюйгенса так называемый часовой ход (устройство, обеспечивающее взаимодействие маятника или балансира с прочим механизмом) был иной, нежели предлагал Галилей, так что Гюйгенс скорее всего не знал о предложении Галилея.

Впоследствии выяснилось, что у маятниковых часов был ещё один изобретатель — астроном, математик, механик и часовой мастер И. Бюрги ( — ). Он даже вроде бы построил такие часы.

Но Бюрги почти ничего не публиковал, и его достижения нередко оставались его личным делом, не влияя на развитие науки и техники.

О его часах стало известно много позднее, когда давным-давно были созданы часы Гюйгенса. Не в пример Бюрги, Гюйгенс написал книгу «Маятниковые часы», где, кстати, говорилось не только о самих часах, но и о вопросах механики, имеющих отношение к маятнику.

Бюрги также изобрёл логарифмы и даже опубликовал таблицу антилогарифмов, но опубликовать удосужился только тогда, когда все уже знали об изобретении логарифмов Дж. Непером ( — ). Боюсь, что если не считать нескольких музейных экспонатов, от Бюрги реально до нас дошла только... запятая. Биографический словарь сообщает, что Бюрги вместе с Кеплером ( — ) (одно время они оба работали в Праге) ввёл запятую для отделения в десятичной дроби её целой части от дробной.

В частности, во втором издании в г. Гюйгенс впервые заговорил о центробежной и центростремительной силе.

Гюйгенса беспокоила обнаруженная им неизохронность колебаний маятника (т. е. зависимость периода колебаний от их размаха) — ему казалось, что она должна вредно отражаться на точности хода часов, ведь (думал Гюйгенс) размах колебаний маятника может быть различным. Он даже придумал некое приспособление (так называемый циклоидальный маятник), обеспечивавшее изохронность. Но часы с этим приспособлением если и были построены, то в единичных экземплярах и надежд не оправдали. А в то же время маятниковые часы работали неплохо.

Много лет спустя, в конце XIX века или даже в XX веке, стало понято, что опасения Гюйгенса были напрасны. Галилей и Гюйгенс говорили о свободных колебаниях маятника, т. е. маятника, на который не действуют никакие внешние силы (кроме, конечно, силы тяжести);

он, так сказать, «предоставлен самому себе». В часах же маятник взаимодействует с часовым ходом, и это принципиально меняет дело: там происходят не свободные колебания, а так называемые автоколебания (§ ), размах и период которых определяются устройством часов и не зависят от первоначального размаха колебаний маятника (если только первоначальный размах был достаточен для того, чтобы часы вообще пошли).

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Начнём с нескольких общих замечаний и названий, которые относятся к более общим дифференциальным уравнениям, нежели те, которыми мы намерены заниматься, но которые нисколько не упростились бы, если бы мы делали эти замечания применительно к нашим уравнениям.

В теории дифференциальных уравнений основную роль играют системы дифференциальных уравнений следующего вида:

сокращённо x = f (t, x). О такой системе говорят, что она имеет нормальную форму или является системой в нормальной форме. Как видно, в ней имеется n неизвестных x1, x2, …, xn, и система указывает явные выражения для первых производных этих неизвестных через независимую переменную t и сами xi. Число n в ( ) — это и число неизвестных, и число уравнений. Его называют порядком системы ( ). (В § мы ввели термин «порядок» для другого объекта — для одного уравнения.) Мы обозначили независимую переменную в ( ) через t и будем называть её временем. В двух примерах из § — ( ) и ( ) — независимая переменная обозначалась так же и действительно имела физический смысл времени. Для системы ( ) можно наглядно представлять себе t как время, зависящие от t величины xi (t) — как переменные величины, изменяющиеся со временем, а их производные xi (t) — как скорости изменения этих величин. Опыт показывает, что такое наглядное представление обычно подталкивает наше воображение в правильном направлении, помогая освоиться со свойствами ( ), и в этом смысле можно сказать, что оно полезно и удобно. Однако надо оговориться, что даже в задачах физического происхождения Предупреждение: словосочетание «нормальная форма» употребляется по самым различным поводам, в том числе и в теории дифференциальных уравнений (что порой приводит к нелепым недоразумениям). Но мы с этим не встретимся.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений независимая переменная иногда не имеет физического смысла времени.

Большинство практически встречающихся дифференциальных уравнений и систем таковых либо имеют нормальную форму, либо эквивалентны некоторым системам в нормальной форме, причём эту эквивалентность установить легко. Встретившиеся нам раньше дифференциальные уравнения второго порядка ( ) и ( ) не являются системами в нормальной форме, как и более общее уравнение x = f (t, x, x ).

Но если принять x за новую неизвестную y и написать, что указывают определение y и наше уравнение насчёт производной каждой из неизвестных, то получится система которая имеет нормальную форму и в то же время эквивалентна уравнению x = f (t, x, x ). Как видно, от уравнения второго порядка мы перешли к системе второго же порядка.

Вообще, уравнение n-го порядка x (n) = f (t, x, x, …, x (n1) ) перефразируется как система в нормальной форме, если ввести неизвестные Последнее уравнение этой системы имеет вид xn = f (t, x1, …, xn ), а предыдущие — вид xi = xi+1. Заметим, что от уравнения n-го порядка мы перешли к системе тоже n-го же порядка — своего рода согласованность терминологии.

В школе встречаются системы линейных алгебраических уравнений, например, Решение данной системы таково: x = 1, y = 2 (проверьте!). Значит, решение — не одно число, а пара чисел: одно число — это x, а другое — это y.

Точно так же решение системы дифференциальных уравнений ( ) — это не одна функция, а набор n функций (x1 (t), …, xn (t)).

Например, возьмём систему которая эквивалентна уравнению свободного падения ( ). Как видно, мы добавили к неизвестной x новую неизвестную y, которая равна x, §. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений т. е. скорости падения. Ранее скорость обозначалась через v, как это принято в физике, но теперь мы переключаемся на чистую математику, в которой «традиционным партнёром» буквы x является y.

Любое решение системы ( ) имеет вид где x0 = x(0), y0 = y(0). (В сущности, мы это уже обсуждали. Раз = g, то выражение для y очевидно. Для x мы попросту повторили формулу ( ), заменив в ней, как только что было сказано, букву v на y.) Иными словами, решение системы ( ) — это набор двух функций от t:

Отметим ещё раз (но не на прежнем языке, когда говорилось о функциях x(t), являющихся решениями ( ), а на языке, связанном с системами в нормальной форме и с несколькими неизвестными), что ( ) имеет бесконечное семейство решений, зависящее от двух параметров.

Аналогично уравнение гармонического осциллятора ( ) эквивалентно системе Зная, что решения ( ) имеют вид ( ), можно заключить, что решения ( ) суть пары функций Решения снова образуют бесконечное семейство, зависящее от двух параметров.

Пока ничего не было сказано о функциях fi — правых частях системы ( ). В данной книжке нет необходимости то и дело отвлекать внимание читателя, педантично уточняя различные детали (включая обсуждение, где задана функция f ). Но не надо и делать вид, будто такие уточнения вообще не нужны. При случае я буду их делать, часто вынося их в подстрочные примечания.

Для перехода к ( ) надо уметь дифференцировать косинус. Ниже в этом параграфе его производная фактически находится заново (в качестве упражнения читателю предоставляется убедиться в этом самому).

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Сейчас нам разумно исходить из того, что f задана на некоторой области G пространства переменных (t, x1, …, xn ). Читатель может представлять себе G как область на плоскости, ограниченную некоторой кривой (это относится к случаю n = 1) или как область в пространстве, ограниченную некоторой поверхностью (это относится к случаю n = 2). Забегая вперёд, отмечу, что далее основным для нас будет тот случай, когда fi не зависят от t, а зависят только от (x1, …, xn ). В этом случае при n = 2 правые части f1 и f2 определены в какой-то области G на плоскости переменных (x1, x2 ), которую при желании можно снова представлять себе как область на плоскости, ограниченную некоторой кривой. В этом случае прежняя G является областью в пространстве переменных (t, x1, x2 ), ограниченной цилиндрической поверхностью, образованной проходящими через прямыми, параллельными оси t. Читатель может даже игнорировать G, как будто f задана на всей плоскости (подчас это и впрямь так).

При обсуждении вопросов общего характера употребляют сокращённую запись, уже использованную в ( ):

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если правые части fi (t, x1, …, xn ) системы ( ) являются «мало-мальски хорошими» — скажем, гладкими, — то для любых начальных данных (t0, x0 ) = (t0, x10, …, xn0 ), лежащих в области G, существует Вообще под областью понимают открытое связное множество. Открытым называется множество, содержащее вместе с каждой своей точкой все достаточно близкие к ней точки, т. е. если какая-то точка принадлежит G, то имеется такое > 0, что весь кружок (в случае плоскости) или шар (в случае пространства) радиуса с центром в этой точке содержится в G. Связность же множества G наглядно означает, что G не распадается на несколько «отдельных кусков», никак не соединяющихся друг с другом (в противном случае получилось бы, что система ( ) — это как бы отдельные системы, заданные в этих «кусках»). Формальное определение связности открытого множества G таково: оно связно, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком содержащейся в G.

Гладкость функции f означает, что во всех точках области G существуют первые производные этой функции и эти производные непрерывны по совокупности своих аргументов (что, кстати, гарантирует непрерывность и самой f ). Подробнее в подобных случаях говорят о гладкости класса C 1 или о C 1 -гладкости. Если помимо первых производных существуют ещё и вторые производные (т. е. производные первых производных), которые тоже непрерывны всюду в G, то говорят о гладкости класса C 2, и т. д.

Во избежание путаницы стоит особо отметить, что раньше xi означало i-е число, входящее в набор чисел (x1, …, xn ), но x0 само является некоторым набором чисел — набором (x10, …, xn0 ).

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений ровно одно решение x(t) = (x1 (t), …, xn (t)) системы ( ), принимающее при t = t0 начальное значение x0 = (x10, …, xn0 ), т. е. для этого решения x(0) = x0 (иными словами, все xi (t0 ) = xi0). О последнем равенстве (в сокращённой или подробной записи) говорят также как о начальном условии для данного решения.) Заметим кстати, что когда описанным выше способом переходят от уравнения x (n) = f (t, x, x, …, x (n1) ) к системе в нормальной форме, то начальные данные для решения x(t) этого уравнения очевидным образом перефразируются как начальные данные для соответствующего решения (x1 (t), …, xn (t)) = (x(t), …, x (n1) (t)) этой системы.

Строго говоря, если имеется решение x(t) с начальным значением x(t0 ) = = x0, определённое на некотором интервале времени, то ведь можно ту же самую функцию от t рассматривать на любом меньшем интервале времени, и если этот меньший интервал содержит t0, то функция x(t), рассматриваемая на этом уменьшенном интервале, конечно, снова будет решением ( ) с тем же начальным значением; какая же тут единственность? Формально ведь это будет другое решение. «Формально правильно, а по существу безобразие», как было сказано по совсем другому поводу. В теории дифференциальных уравнений «безобразие» устраняется путём обсуждения вопроса о возможности продолжения решения, заданного на некотором интервале времени, на бльшие интервалы.

Оказывается, формально различные решения с одним и тем же начальным значением всегда получаются так, как только что было сказано (уменьшением интервалов, где они определены) из некоего решения, определённого на самом большом интервале. (Самом большом по сравнению со всеми остальными решениями с данным начальным значением. Этот самый большой интервал может быть и конечным, и бесконечным в одну или обе стороны.) Последнее решение называют максимальным или непродолжаемым. Именно о нём я и говорю как о решении. Согласно теореме о продолжении решения до границы области (название неточное, хотя и отражающее суть дела) если интервал, где определено (непродолжаемое далее) решение x(t), ограничен (слева или справа), то при приближении t к этому концу или решение принимает значения, сколь угодно большие по абсолютной величине, или соответствующая интегральная кривая подходит сколь угодно близко к границе области G (где определено наше уравнение).

Для дифференциальных уравнений ( ), ( ), ( ) нетрудно найти решения в явном виде. Опираясь на §, мы остановимся в § на интегрировании этих и родственных дифференциальных уравнений.

Для достаточно подготовленных студентов, по-моему, более удобна следующая формулировка: если K — любое компактное подмножество G, то при всех t, достаточно близких к рассматриваемой конечной границе, точка (t, x(t)) оказывается вне K.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Но даже для немногим более сложных уравнений это, вообще говоря, невозможно. В подобных случаях дело не в том, что нам до сих пор не удалось найти формулу для решения, а в том, что таких формул вообще не может быть — решение не может быть выражено никакой комбинацией известных читателю (так называемых элементарных) функций (степенных, показательных, логарифмов и тригонометрических функций), причём даже в сочетании с операцией интегрирования из интегрального исчисления. А так как запросы и самой математики, и её приложений приводят к тому, что всё-таки приходится иметь дело с многочисленными дифференциальными уравнениями, которые невозможно проинтегрировать в явном виде, и невзирая на эту неинтегрируемость надо всё-таки быть в состоянии сказать нечто об их решениях, то в ответ на эти запросы развились три направления.

. В дополнение к известным нам элементарным функциям был введён ряд других функций, известных под общим названием специальные функции. Наиболее употребительные из них изучены столь же подробно, как и привычные элементарные функции. Имеются относящиеся к этим спецфункциям теоремы, формулы, таблицы, им посвящены специальные книги... Используя специальные функции, можно явно выразить решения многих дифференциальных уравнений, для которых с помощью прежних средств это было невозможно. Однако всё равно остаются многочисленные уравнения (в том числе встречающиеся в приложениях), решения которых невозможно выразить в виде явных формул даже с привлечением спецфункций.

. Были разработаны различные и разнообразные по своему характеру методы приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы бывают двух типов.

В некоторых из них строятся приближённые формулы, выражающие решение с некоторой допустимой погрешностью в виде комбинации хорошо известных элементарных функций. Например, если в формуле ( ) мы приближённо заменим cos(t + ) на некоторый многочлен от t + (в § фактически получено приближённое выражение 1 2 2 + 24 4 для cos при малых, которым можно воспользоваться), то получим приближённую формулу для решения.

В данном случае польза от этого сомнительна.

Во-первых, наша приближённая формула годится только при небольших t, потому что приближённое равенство cos 1 1 2 + А также и алгебраических функций, но я не уверен, что читатель с ними настолько знаком, чтобы это замечание сказало ему достаточно много.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений пригодно только при небольших ; в связи с этим стоит ещё отметить что приближённая формула не передаёт важнейшего свойства решения — его периодичности по времени (оно не меняется, когда t увеличивается на 2/), которое в свою очередь отражает колебательный характер соответствующего физического процесса. Во-вторых, мы же имеем точную формулу для решения, и она очень проста, свойства фигурирующего в ней косинуса хорошо известны, а для его вычисления имеются таблицы и программы. (На самом деле cos и sin тоже включаются в «джентльменский набор» элементарных функций, через которые стараются приближённо выразить решения.) Но как бы то ни было, это всё-таки пример приближённой формулы для решения, которая худо ли, хорошо ли, но всё же годится в каком-то интервале изменения t.

В узком смысле под приближёнными методами понимают именно методы, приводящие к приближённым формулам для решений — может быть, не для всех решений, а для тех, которые почему-либо представляют особый интерес; зато обычно речь идёт о формулах, дающих хорошее приближение к истинному решению при всех t или по крайней мере «довольно долго», т. е. в довольно большом интервале изменения t.

Другие методы имеют численный характер (их так и называют численными). Они позволяют составить таблицу, довольно точно указывающую, чему равно решение x(t) в моменты времени t0 < t1 < t2 < … (обычно ti = t0 + ih с некоторым небольшим шагом h, но впрочем шаг может быть и переменным, так что, скажем, t1 = t0 + h1, а t2 = t1 + h2 с h1 = h2 ). Если ti достаточно близки друг к другу, то знание значений x(ti ) даёт хорошее представление о решении. При этих методах x(ti ) вычисляются последовательно, шаг за шагом. Сперва, отправляясь от заданного x(t0 ) и зная функцию f (x, t), вычисляют по определённому «рецепту» приближённое значение x(t1 ). Далее повторяют этот процесс и, зная x(t1 ), вычисляют x(t2), и т. д. В идеале значения x(ti ) должны вычисляться с назначенной заранее точностью. Практически бывает сразу гарантирована требуемая малость погрешности в несколько первых моментов t0, t1, t2, …, но при большом числе шагов ошибка может накапливаться. С накоплением ошибок можно бороться, но это отдельная и непростая тема.

Стандартные пакеты компьютерных программ типа Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad включают методы численного интегрирования. Однако в сложных задачах приходится составлять специальные программы с учётом специфики решаемой задачи.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений. Возникла так называемая качественная теория дифференциальных уравнений, цель которой состоит в том, чтобы, не решая ни точно, ни приближённо дифференциального уравнения и по возможности вообще избегая вычислений, определить ряд качественных свойств решений, причём часто именно эти свойства как раз и представляют особый интерес для самой математики и её приложений. Этому направлению преимущественно посвящена настоящая книжка. Оно весьма геометрично, что нашло отражение в заглавии.

В качественной теории (по крайней мере, в основной её части) рассматриваются системы в нормальной форме, правые части которых не зависят от t (я уже упомянул мельком, что именно с такими системами мы будем иметь дело; исключением будет часть §, вообще отличающегося по своему характеру от остальных параграфов):

сокращённо x = f (x).

Такие системы называют автономными. Они дают математическое описание физических (в широком смысле ) систем, которые или являются изолированными, или находятся под воздействием каких-то внешних факторов, но действие этих факторов зависит только от состояния нашей системы. Второй случай имеет место для физических (уж в узком смысле слова — изучаемых в физике) систем, находяе щихся под воздействием постоянных во времени силовых полей; примером может служить свободное падение или качание маятника — и то, и другое происходит в поле земного тяготения, так что падающее тело или маятник отнюдь не изолированы, однако ускорение x, создаваемое полем земного тяготения, в первом случае вообще постоянно, а во втором не постоянно, но зависит только от x. (А вот если бы действующие на систему силы зависели, скажем, от положения какихСистемы же вида ( ), правые части которых явным образом зависят от t, называют неавтономными. Аналогичную терминологию применяют и для дифференциальных уравнений n-го порядка: уравнение x (n) = f (x, x, …, x (n1) ) — автономное, а x (n) = f (t, x, x, …, x (n1) ) — неавтономное.

Не только «чисто физических», но и химических, биологических, экологических, экономических... Ради точности надо добавить, что мы говорим о системах, состояние которых характеризуется конечным числом величин (в механике это системы с конечным числом степеней свободы). Иначе понадобились бы уравнения с частными производными, а то и что-нибудь посложнее.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений то внешних тел, которые как-то движутся, то в один момент времени положение внешних тел было бы одним, а в другой — другим, и их воздействие на нашу систему при одном и том же её состоянии, вообще говоря, оказывалось бы различным.) Понятно, что с этим связано и прилагательное «автономная» в названии системы ( ).

Переменные (x1, …, xn ) характеризуют состояние рассматриваемой физической системы, так что введённое выше сокращённое обозначение x для набора чисел (x1, …, xn ) можно понимать и как обозначение для состояния — физически это более содержательно, чем просто обозначение n чисел одной буквой. Тогда x обозначает скорость изменения состояния, а сокращённая запись системы ( ) прямо утверждает (не ссылаясь на переменные xi ), что скорость изменения состояния зависит только от него и что эта зависимость даётся функцией f (x). (Функция эта не скалярная, а векторная.) Под влиянием этих (квази)физических соображений при чисто математических рассмотрениях автономной системы ( ) об x = (x1, … …, xn ) тоже часто говорят как о состоянии.

Теперь я буду считать, что порядок автономной системы ( ) n = 2.

В этом случае состояния математически представляются точками x = = (x1, x2 ) области G на плоскости двух переменных. Эту плоскость называют фазовой плоскостью (рассматриваемой физической системы или математической системы ( )), а её точки, особенно лежащие в той области G, где определены правые части нашей системы дифференциальных уравнений, — фазовыми точками. (Прилагательное фазовая связано с тем, что некогда состояния системы назывались её фазами; ср. с фазами Луны).

Вектор f (x), имеющий координаты ( f1 (x1, x2 ), f2 (x1, x2 )), уместно представлять себе начинающимся в точке x, так что в области G из каждой её точки «торчит» вектор f (x). Наглядное (но в то же время совершенно точное) представление об изменении со временем состояния нашей системы таково: состояние описывается движущейся фазовой точкой x(t); движение происходит по правилу: когда x(t) попадает в точку x области G, её мгновенная скорость равна «торчащему»

из этой точки вектору f (x). Вектор f (x) называют вектором фазовой скорости и говорят, что в G задано векторное поле фазовой скорости (рис. ).

Слово «скаляр» — синоним «числа», различие только в контексте, в котором эти слова употребляются. Скаляры как бы противопоставляются векторам и оттого о скалярах говорят, когда «где-то рядом имеются векторы». В школе (более в физике, чем в математике) вектор — это направленный отрезок, он характеризуется своими координатами (их две на плоскости и три в обычном пространстве, где мы живём).

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений Здесь имеется некоторое терминологическое неудобство: говоря о фазовой точке, мы можем иметь в виду как движущуюся точку, изображающую решение x(t), т. е. меняющееся со временем состояние системы, так и «стоящую на месте» точку — пару постоянных чисел x = (x1, x2 ). (Первая точка как бы движется в толпе вторых.) Если есть возможность путаницы, надо говорить «движущаяся фазовая точка» (подразумевая, что она изображает x(t) или — при обычном (хотя и несколько условном) отождествлении точек плоскости с парами чисел — сама есть x(t)) или «неподвижная фазовая точка».

Движущаяся фазовая точка вычерчивает при движении некоторую кривую, которую называют фазовой траекторией. При обычных предположениях о функциях fi (x1, …, xn ) через каждую неподвижную точку фазового пространства проходит фазовая траектория (как говорят, фазовая траектория этой точки) и фазовые траектории двух точек либо совпадают, либо не пересекаются (см. ниже). Впрочем, некоторые «движущиеся» точки (напоминаю — так мы назвали точки, изображающие решения x(t)) могут стоять на месте — соответствующие решения суть константы; обычно это исключения, так называемые положения равновесия или неподвижные точки, но, как мы увидим, они играют важную роль. Такую точку a часто называют также особой точкой, имея в виду не то, будто у правых частей Педантизма ради в связи с термином «положение равновесия» уместно сказать, что в механике слово «положение» часто имеет другой смысл — оно относится только к расположению частей физической системы, тогда как е состояние характеризуется также и скоростями этих частей. Говоря о маятнике, мы мельком упомянули о «положении равновесия» — положении, при котором центр тяжести маятника находится на вертикали, проходящей через точку подвеса. О скорости при этом нет речи. Если она ненулевая, то маятник, конечно, только на момент попадает в положение равновесия и затем проходит дальше. Если же скорость равна нулю, то состояние маятника не меняется — соответствующая фазовая точка является положением равновесия в том смысле, как говорилось выше.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений системы ( ) имеется в этой точке особенность в аналитическом смысле (т. е. особенность в том смысле, как это понимается для функций — скажем, будто там нарушается непрерывность или хотя бы дифференцируемость), а то, что в такой точке вектор f (a), будучи нулевым, не задаёт никакого направления. Пожалуй, ещё чаще точки a, где f (a) = 0, называют неособыми.

Надо объяснить, почему фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают. Сперва отметим такое свойство решений автономной системы:

если x(t) — решение, то x(t + c), где c — константа, — тоже решение. Обозначим x(t + c) = y(t). Надо доказать, что если x(t) удовлетворяет ( ), то и y(t) тоже. А это очевидно :

(Здесь молчаливо подразумевается, что это и позволяет приравнять данную производную f (x(t + c)). Почему ( ) справедливо?).

А теперь допустим, что траектории, зачерчиваемые решениями x(t) и y(t) системы ( ), пересекаются. Это значит, что в какие-то моменты времени t1 и t2 будет x(t1 ) = y(t2 ). Надо доказать, что тогда x(t) и y(t) при изменении t пробегают одну и ту же кривую.

Рассмотрим решения u(t) = x(t + t1 ), v(t) = y(t + t2 ) системы ( ). При t = 0 они принимают одни и те же начальные значения: u(0) = x(t1 ) = = y(t2 ) = v(0). Ввиду единственности решения, удовлетворяющего данному начальному условию, всё время u(t) = v(t), т. е. x(t + t1 ) = y(t + t2 ). Следовательно, x(t + t1 ) и y(t + t2 ) при изменении t пробегают одну и ту же кривую.

Но ведь x(t) пробегает ту же кривую, что и x(t + t1 ) (любое t + t1 есть некое новое t и любое t можно представить в виде t + t1 с некоторым новым t), а y(t) — ту же, что и y(t + t2 ).

В связи с понятием фазовой траектории стоит заметить, что в основном нас будет интересовать поведение решений при t, поэтому на первый план нередко будут выступать не столько сами фазовые траектории — кривые {x(t); < t < }, — сколько их положительные полутраектории — кривые {x(t); t0 t < }. Положительная полутраектория — это часть всей траектории, проходимая движущейся фазовой точкой x(t) после некоторого начального момента t0 (выбор Данное рассуждение очень просто, но стоит проверить, что для неавтономной системы ( ) оно не проходит. Для неё а чтобы y(t) было решением ( ), надо было бы получить в правой части f (t, y(t)). Но когда f действительно зависит от t, то, вообще говоря, f (t + c, y) = f (t, y).

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений которого несуществен). Иными словами, положительная полутраектория состоит из точек, расположенных на траектории, после точки x(t0). Естественно, предшествующая x(t0 ) часть {x(t); < t t0 } той же траектории называется отрицательной полутраекторией. Если траектория является замкнутой кривой C (тогда говорят о замкнутой траектории ), то любая её отрицательная или положительная полутраектория — это всё та же кривая C. Если же траектория незамкнутая, то любая точка траектории разбивает последнюю на положительную и отрицательную полутраектории, общей для которых является эта точка — для отрицательной полутраектории это конец, а для положительной начало.

Наглядное представление о движении фазовой точки в области G на фазовой плоскости, изображающем изменение состояний физической системы и описываемом системой ( ), можно назвать кинематической интерпретацией этой системы. Кинематической, а не геометрической, по двум причинам.

Во-первых, подразумевается, что фазовые точки движутся. Впрочем, мы можем нарисовать фазовые траектории, но не можем нарисовать процесс движения по ним (можем только указать стрелками направление движения); так что на рисунке получается всё-таки статичная картина. Стало быть, на рисунке у нас более геометрия, чем кинематика (а кинематику мы «держим в уме»).

Во-вторых (и это главное), под геометрической интерпретацией системы ( ) (не обязательно автономной) понимают нечто иное.

(А именно, при геометрической интерпретации речь идёт о графиках На траектории ведь выделено определённое направление — направление движения x(t) с возрастанием t.

Стоит пояснить, что на рис. а изображена замкнутая траектория, а на рис. б — нет: траектория не содержит точки P, которая сама является другой траекторией (положением равновесия), и потому не является замкнутой кривой.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений решений x = x(t) в пространстве переменных (t, x); практически рисовать можно только при n = 1, что в общем-то малоинтересно, хотя и небесполезно в учебных целях в самом начале изучения теории дифференциальных уравнений.) В фазовой плоскости возникает своеобразная картина, которую А. А. Андронов образно назвал «фазовым портретом». Это не термин, имеющий точное определение, а образное выражение. Имеется в виду, что на фазовом портрете выделены траектории, играющие особо важную роль, и в дополнение к этим «ярким солистам» — ещё, возможно, несколько траекторий, дающих хорошее представление о поведении всего оставшегося «молчаливого большинства».

Перелистав эту книжку, читатель найдёт в ней несколько простейших фазовых портретов. Они нарисованы на основании теоретических соображений, но их рисуют, так сказать, и эмпирически. Взяв в области G несколько точек x (i), мы можем в каждой из них нарисовать (не мысленно, а карандашом на бумаге) исходящий из неё вектор фазовой скорости f (x (i) ). Если точки x (i) выбраны подходящим образом (о чём придётся подумать) или если просто повезёт, то полученная картина даст хорошее представление обо всём векторном поле фазовой скорости.

Можно также попробовать нарисовать кривые, касающиеся этого векторного поля, т. е. фазовые траектории. Разработаны приёмы довольно точного осуществления такого графического построения, но обычно для начала рисуют просто «по вдохновению» (тем паче, что если это делает человек, уже накопивший какой-то опыт в таком деле, то ведь этот опыт, на основе которого сложилась некоторая интуиция, тоже чего-нибудь да стоит).

А теперь для таких рисунков имеются компьютерные программы.

Однако от человека и его интуиции всё же зависит многое — работа программы зависит от ряда параметров, задаваемых человеком;

кроме того, ввиду отсутствия у машины интуиции, программа с самого начала использует численное интегрирование дифференциального уравнения, к чему работающий без компьютера человек обратился бы позднее; но раз уж компьютер будет использовать какойто метод численного интегрирования и если можно выбирать между различными методами, каким из них пользоваться на данном этаФизик по образованию, занимавшийся теорией колебаний, А. А. Андронов ( — ) оказал значительное влияние на развитие теории дифференциальных уравнений не только (и даже, может быть, не столько) своими конкретными математическими результатами, но и благодаря стимулирующей роли предложенных им новых подходов и постановок задач.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений пе? Слишком примитивный метод, работая быстро, почти столь же быстро и наделает ошибок; со слишком точным методом неизвестно, когда закончишь — ведь на этом этапе просчитывается много решений! Пожалуй, всё закончится, когда компьютер зависнет... Впрочем, насколько я понимаю, такая опасность невелика — стандартные программы графических построений не предусматривают обращения к очень уж точным методам численного интегрирования, а чтобы эти программы переписывали, встраивая в них обращение к подобным методам — такое в принципе возможно, но к этому прибегают редко, разве что в некоторых промышленных пакетах...

Конечно, реально нарисовать можно только несколько конечных дуг нескольких фазовых траекторий, но, если повезёт, они могут создать представление о поведении всех траекторий. (А если не так повезёт, но и не то, чтобы совсем не повезёт — что-то начнёт вырисовываться, но не очень уверенно, — придётся нарисовать ещё несколько дуг.) А когда возникнет более или менее чёткое представление обо всём фазовом портрете, его можно начать проверять, обратив особое внимание на выделившихся «солистов». Может быть, кое-что о них — особенно о положениях равновесия — удастся узнать с помощью разработанных в качественной теории дифференциальных уравнений приёмов локального исследования. Если нет, то надо, по крайней мере, просчитать решения, близкие к заинтересовавшим нас «солистам», более точными численными методами, чтобы проверить, действительно ли «солисты» играют, как нам показалось, «руководящую и направляющую роль». На протяжении XX века накопилось немало исследований такого характера о различных системах, возникающих из приложений.

Физическое осуществление подобной конструкции при n > 3 невозможно — понадобилось бы n-мерное пространство, которого, увы, в нашем распоряжении нет. Да и при n = 3 её практическая осуществимость сомнительна — как прикрепить стрелки, изображающие векторы фазовой скорости, к соответствующим точкам? С помощью каких-то стерженьков-подставок или подвесив их на какие-то проволочки? Можно ещё вообразить изготовление такого рода моделей С появлением компьютеров появились новые возможности. Я пока не слышал об их использовании для создания трёхмерных фазовых портретов (хотя стереоскопические изображения некоторых кривых в трёхмерном пространстве уже видел), но представляется вполне реальной перспектива как создания с их помощью плоских рисунков трёхмерной ситуации, так и стереоскопического воспроизведения таковой.

Стереоскопический эффект возникал бы при рассматривании через специальные очки особого изображения на экране. Иллюзии трёхмерности какой-нибудь кривой или геоКинематическая интерпретация дифференциальных уравнений для учебных целей, но мне не случилось их видеть. А чтобы они изготовлялись в ходе исследовательской работы — это уж совсем нереально. Андронов и его сотрудники, как и другие исследователи, успешно изучили ряд систем с n 3, но пространственных моделей никто при этом не изготовлял.

Остаётся, однако, возможность использования геометрического языка в формулировках и рассуждениях. В наши дни мало-мальски образованный человек не подумает о мистике, услышав о «точке n-мерного евклидова пространства». Такая точка — это вполне реальный объект, а именно — набор n чисел (x1, …, xn ), n-мерное же пространство — это совокупность всевозможных таких наборов. Единственный содержательный вопрос, который здесь может возникнуть, состоит в том, зачем нужна подобная игра слов? Во-первых, она сразу приводит к заметному сокращению формулировок; а во-вторых, со временем становится всё более существенным, что при этом в работу вовлекается наше геометрическое воображение. Оно, конечно, основано на опыте нашей жизни в физическом трёхмерном пространстве, но довольно многое из этого опыта имеет аналоги в свойствах арифметического n-мерного пространства, состоящего из наборов n чисел.

Если читатель — студент, то он, несомненно, уже мог убедиться в полезности геометрической терминологии и соответствующих понятий в других разделах математики, с которыми он уже успел в какой-то степени познакомиться (в анализе и алгебре).

В соответствии с этим мы говорим, что состояние физической системы, описываемой автономной системой ( ), изображается точкой x = (x1, …, xn ) n-мерного пространства, что такая точка называется фазовой точкой, что всевозможные состояния физической системы соответствуют всевозможным точкам области G (где определены правые части ( )) и что последнюю область поэтому называют фазовым пространством. В области G мы рассматриваем векторное метрического тела можно добиться также, обеспечив непрерывное вращение на экране изображения этой кривой или тела, но я не уверен, что такой приём подойдёт для фазового портрета.

Здесь уже проще прибегнуть к общему понятию области, как оно сформулировано в одном из предыдущих подстрочных примечаний, а не говорить, что область чем-то ограничена — объяснять, чем она могла бы быть ограничена и что это значит, было бы сложнее.

Под таковым может пониматься и всё n-мерное пространство переменных (x1, … …, xn ), как оно и было сказано о фазовой плоскости. Это не более чем терминологическая условность, но мне кажется, что при n = 2 под фазовой плоскостью чаще понимают всю плоскость переменных (x1, x2 ), хотя бы область G была только её частью, а при n 3 — область G.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений поле фазовой скорости, сопоставляющее (в сокращённых обозначениях) точке x вектор f (x), и в понятном смысле говорим о его интегральных кривых и фазовых траекториях.

Мы рассматриваем в фазовом пространстве движение, происходящее согласно уравнению ( ). Можно представить себе, что так движется не одна какая-то точка, но все точки фазового пространства. При этом вновь приходится посетовать на то, что в терминологии не отразилось различие между фазовыми точками, которые мы представляем себе стоящими на своих местах, и точками, движущимися по соответствующим траекториям согласно ( ). Казалось бы, первые можно назвать «неподвижными», однако обычно так называют те точки, где вектор фазовой скорости f (x) = 0. Так что «неподвижные фазовые точки — это те движущиеся точки, которые неподвижны».

Получилось как-то коряво...

Как сказать коротко на наглядном языке движущихся точек, что рассматривается решение x(t), удовлетворяющее начальному условию x(0) = x0 — «рассматривается движущаяся точка, которая в начальный момент времени совпадала с точкой x0 »? Подразумевается, что движущаяся точка затем кудато ушла (исключая тот случай, когда f (x0 ) = 0), а x0 так и осталась стоять, где была. А теперь представьте себе, что мы воображаем такое движение для всех фазовых точек одновременно. В литературе это поясняется с помощью наглядного образа — стационарного течения жидкости.

Вообразим, что фазовое пространство заполнено жидкостью, причём частица жидкости, занимающая в данный момент положение x, имеет скорость f (x), так что частица, занимавшая при t = 0 положение x0, перемещается за время t в положение x(t) (где по-прежнему x(t) — решение ( ) с начальным значением... каким?) Здесь найдены слова для моих «движущихся фазовых точек» и «фазовых точек, остающихся на месте» — «частицы жидкости» и «положения в фазовом пространстве», и притом речь идёт о движении, охватывающем всё фазовое пространство. Эта аналогия плоха тем, что у воображаемой фазовой жидкости нет никакого взаимодействия между соседними частицами, которое у настоящих жидкостей определяет все их свойства, включая и то, каким в том или ином случае окажется течение...

До сих пор мы обычно говорили о решении x(t) системы ( ), имеющем начальное значение x(0) = x0. Но оно, конечно, зависит от x0, поэтому можно подробнее писать x(t, x0 ).

Можно доказать, что областью определения x(t, x0 ) является некоторое открытое подмножество U в (n + 1)-мерном пространстве переменных (t, x0 ), а x(t, x0 ) является непрерывной функцией на U (принимающей значения в n-мерном пространстве).

Всё течёт, как говорил ещё Гераклит. Возможно, впрочем, что он имел в виду не течение воображаемой фазовой жидкости, а вполне реальное состояние сантехники.

§. Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений В частности, если решение x(t, x0 ) определено при a t b, то при достаточной близости x0 к x0 решение x(t, x0 ) тоже определено при тех же t и близко к x(t, x0 ). (Степень близости зависит не только от близости x0 к x0, но и от a и b, не говоря уже о том, что она зависит от f.) Всё это в равной степени справедливо и для неавтономной системы ( ).

И если раньше мы говорили о зависимости x(t, x0 ) от t при неизменном x0, то ведь можно встать и на другую точку зрения — обратить внимание на зависимость x(t, x0 ) от x0 при неизменном t.

(В терминах упоминавшейся гидродинамической аналогии — как за время t изменилось положение различных частиц фазовой жидкости?) Возникает однопараметрическое семейство отображений St (t — параметр семейства) области G в себя: St (x0 ) = x(t, x0 ) (вроде бы ничего нового в St (x0 ) по сравнению с x(t, x0 ) не содержится, но несколько изменились акценты. Разумеется, это далеко не произвольное семейство отображений. Оно обладает интересными свойствами, важнейшее из которых — свойство St (S s (x)) = St+s (x). Оно связано с автономностью системы ( ) и выражает уже отмечавшийся факт, что решения x(t) и y(t), удовлетворяющие начальным условиям x(s) = y(0), отличаются только «сдвигом по времени»: y(t) = x(t + s) (где это было сказано? и почему отсюда следует написанное свойство отображений St ?). Кроме того, S0 (x) = x (почему?). Наконец, говорится о свойствах непрерывности и дифференцируемости St (x) как функции от (t, x). Отображение St можно назвать отображением сдвига по времени на t, а вс семейство отображений {St } (или, если угодно, отображение, зависящее от t) — оператором эволюции системы ( ).

Вероятно, читателю термин «отображение» знаком, но на всякий случай сделаю несколько замечаний по его поводу, тем более что он используется также в § и, причём в последнем — довольно активно.

Отображение f : A B (пишут также A B) множества A в множество B, или функция, определённая (заданная) на A и принимающая значения в B, — это соответствие, при котором каждому элементу x множества A сопоставляется некоторый элемент f (x) из B. Последний элемент обозначают через f (x) и называют образом элемента x при отображении f или значением функции f на элементе x; говорят также, что отображение f переводит x в f (x) и пишут x f (x). Элементы области определения называют аргументами функции f. Называя f отображением, тоже (как и о функции) говорят, что оно определено или задано на A. Наряду с предлогом «на» употребляют «в»:

функция задана в A и принимает значение f (x) в x. В данном случае никакой смысловой нагрузки замена одного предлога другим не несёт. А вот в выражеКинематическая интерпретация дифференциальных уравнений нии « f отображает A на B» предлог «на» указывает на то, что каждый элемент y B получается как образ какого-то x A; здесь «на» нельзя заменить предлогом «в».

Отображения и функции — это, собственно, синонимы, но первый термин возник в геометрии, а второй — в математическом анализе. Это до некоторой степени отображается в употреблении данных терминов. Функции чаще всего принимают числовые значения или, во всяком случае, такие значения (скажем, векторные), над которыми можно производить какие-то алгебраические операции. Значения, принимаемые отображениями, чаще, чем значения функций, бывают элементами каких-то множеств, где ни о каких алгебраических операциях говорить не приходится.

И ещё одно обстоятельство, скрытое за невинными словами: говоря об отображении St всей области G в G, я молчаливо подразумеваю, что при любом x0 определено x(t, x0 ). Вообще говоря, может случиться, что решения ( ) (все или некоторые) определены на ограниченных (с той или иной стороны, или с обеих сторон) интервалах времени и что конец такого интервала зависит от x0. Тогда, вообще говоря, при данном t для одних x0 решение x(t, x0 ) существует, а для других — нет.

Это не надуманная абстрактная возможность, а физическая реальность.

Химическая реакция в пробирке может закончиться взрывом, после чего система, состоящая из смеси веществ в пробирке, перестанет существовать — её содержимое разлетится по комнате и его дальнейшая судьба будет частью судьбы всего, что там находится (тогда как до взрыва можно было отдельно говорить об изменениях только того, что в пробирке). Подобные реакции описываются системами нескольких дифференциальных уравнений, содержащих члены второго порядка; «взрыв» (а математически — уход части переменных xi в бесконечность) связан именно с такими членами. Что от них можно этого ожидать, видно на самом простом уравнении с квадратичным членом x = x 2. Одно из его решений x(t) 0, а другие имеют вид x(t) = c t с различными константами c. (См. рис. а.) Обратите внимание, что это — рисунок в плоскости переменных (t, x), а не в фазовом пространстве, которое в данном случае сводится к прямой.) Функция c t определена при всех t = c, но решение, по определению, должно быть дифференцируемой функцией, определённой всюду на соответствующем интервале, поэтому формула x(t) = c t — это не одно решение, а два: одно — это данная функция на интервале (, c), другое — та же функция на (c, ).

Кстати, как получены эти решения? Идея такова: если но 2 = d x, а следовательно d x = dt; дальше, я надеюсь, ясно. Всё это совершенно строго, но... Всё это делается совершенно строгим при наличии надлежащих разъяснений, определений и соглашений. А как быть, если у читателя имеются какие-то сомнения? (На начальном уровне они должны иметься! Крупные учёные, читавшие курс обыкновенных дифференциальных уравнений на механико-математическом факультете МГУ, не будучи увереКинематическая интерпретация дифференциальных уравнений ны, что студенты автоматически всё поймут правильно и не желая тратить драгоценное время на соответствующие разъяснения, излагали это (вернее, имевшее аналогичный, но более общий характер) место иначе и, увы, более громоздко. Что и отражено в их учебниках. «Пусть тот, кто сам без греха, кинет камень», а я не уверен, что если бы сам читал этот курс, то не последовал бы их примеру.) Предлагаю ему смотреть на сказанное как на наводящие соображения, получив же с их помощью предполагаемый ответ, его уже нетрудно проверить.

В том же духе получается, что решения уравнения x = 1 + x 2 суть x(t) = tg(t + c) со всевозможными константами c (рис. б) и что все они определены на интервалах конечной длины (какой?).

Такая особенность (решения определены не для всех t), конечно, является качественным свойством соответствующих уравнений, и качественная теория дифференциальных уравнений должна была бы ею заниматься. Но не занимается. При случае, конечно, стараются выяснить, как на сей счёт обстоят дела с той или иной исследуемой системой, но это как-то не принято включать в качественную теорию. Что и отразилось в моих невинных словах, подразумевающих, будто St всюду определено. Это не общий факт, а предположение, ограничение на рассматриваемые системы. (По большей части достаточно, чтобы решения были определены при всех t 0, но это уж слишком тонкая тонкость.) Надо сказать, что вопрос о том, определено ли решение на бесконечном интервале времени, становится очень важным (и может оказаться очень трудным), когда от обыкновенных дифференциальных уравнений переходят к уравнениям с частными производными. (Там становится важным и замечание о t 0 — это уже не тонкость, а суть дела.) Имеются статьи и книги на сей счёт. Когда решения определены на ограниченном интервале, говорят о «взрыве» (более мягкий вариант — «раздувание» (blow up)), «коллапсе» (этимологически это вроде бы противоположные вещи?), «режиме с обострениями» (леКинематическая интерпретация дифференциальных уравнений тальными?). Но мы решили быть скромными (в смысле свердловской газеты) и говорить об этом не будем.) В некоторых разделах качественной теории отображения St выступают на первый план, но мы до этого не дойдём. Однако мы можем извлечь из них «словесную» пользу. Часто говорят, а нередко и пишут что-нибудь вроде «точка x0 = x(0) за время t1 переходит в x1 = x(t1 ), а та за время t2 — в x2 = x(t1 + t2 ))». Посмотрим на эту фразу непредубеждённым взглядом, забыв о том, что мы знаем, и попробуем понять её буквально. Раз обе точки x1, x2 во что-то переходят, значит, это движущиеся точки? Обе они являются решениями ( )?

А как решение может во что-то переходить? Так что данную фразу надлежит понимать не буквально, а в некоем пиквикском смысле.

Между тем небольшое её изменение, сводящееся к своевременному упоминанию об отображениях St, приводит к корректной формулировке: «Под действием отображения St1 точка x0 = x(0) переходит в x1 = x(t1 ), а та под действием St2 — в x2 = x(t1 + t2 )».

С кинематической интерпретацией связан термин динамическая система. Название сначала относилось к механической системе, математическое описание изменения состояния которой со временем даётся системой вида ( ). Потом так стали говорить и о физических (в широком смысле слова) системах, описываемых аналогичными уравнениями, а затем и вообще о процессе движения в фазовом пространстве G (теперь это стало просто условным названием), описываемом таким же уравнением (заданным в G), безотносительно к тому, связано ли это с какой-нибудь физической системой. Процесс движения — выражение описательного характера, взывающее к наглядности; в точной формулировке (в достаточной для нас степени общности) говорится о семействе отображений {St } с определёнными свойствами. Ещё одно название, происходящее от гидродинамической аналогии (это, по существу, всё, что от неё остаётся) — поток.

В заключение остановимся на содержании дальнейших параграфов. В § приведены простые примеры геометрической трактовки дифференциальных уравнений. Он примыкает к §, иллюстрируя сказанное там о качественной теории. Ей посвящены более сложные §,,, в последнем из которых на предельно упрощенном (до самой грани вульгаризации) примере разъясняется суть тех явлений в поведении динамических систем, по поводу которых говорят о «хаосе». Как уже упоминалось, §, имеет иной характер — он посвящен интегрированию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь постоянно используется показательная функция e x, причем не только для вещественных, но и для комплексных x. ЧиКинематическая интерпретация дифференциальных уравнений татель вполне может быть знаком с ней для вещественных x, но мне казалось не лишним заново дать ее определение и установить основные свойства, приняв иную точку зрения.

Надо сказать, что показательная функция нужна не только для решения дифференциальных уравнений, но и вообще играет в математике столь же важную роль, что и многочлены (а о последних читателю, несомненно, известно из алгебры).

После этих общих разговоров познакомимся с простейшими фазовыми портретами систем физического происхождения.

При n = 1 фазовый портрет выглядит неинтересно. Это прямая, на которой отмечены точки, являющиеся положениями равновесия (в них, напомню, f (x) = 0); они разбивают прямую на некоторые интервалы; на последних поставлены стрелки, указывающие направление движения при увеличении t.

Так что интересными бывают фазовые портреты для систем второго порядка. Системы ( ) и ( ), описывающие свободное падение и гармонический осциллятор, как раз являются автономными системами второго порядка. В древности наивно полагали, будто состояние движущегося тела сводится к его положению, что приводило к парадоксу, известному под названием «стрела». Чем отличается летящая стрела от покоящейся, которая занимала бы то же положение, какое в данный момент занимает летящая стрела? Если они находятся в одном и том же состоянии, а никакие внешние факторы на них не действуют, то почему же одна летит, а другая неподвижна? Автор этого парадокса, Зенон (ок. — до н. э.), приводил его в защиту того мнения, что на самом деле движение — это одна видимость («движенья нет, сказал мудрец брадатый...»). Но со времён Галилея и особенно Ньютона мы понимаем, что состояние движущегося тела характеризуется не только его положением, но и скоростью (физик вместо скорости предпочёл бы говорить об импульсе, но нам это всё равно). Переписывая уравнения ( ) и ( ) в виде систем ( ), ( ), мы как раз и добавили к переменной x новую переменную y, равную скорости изменения x.

Пожалуй, в одномерном случае самое интересное качественное явление — «взрыв», но он-то и не виден непосредственно на фазовой прямой. Если, скажем, f (a) = 0 и справа от a всюду f (x) > 0, то решения с начальными значениями в интервале (a, ) неограниченно возрастают (почему неограниченно?); на их возрастание указывает стрелка, которая на этом интервале направлена направо; однако на рисунке никак не отражается, уходит ли решение в бесконечность за конечное или бесконечное время.

Некоторые представители средневековой схоластики того времени, когда европейцы уже познакомились (хотя, по-видимому, ещё не полностью) с античными и арабскими достижениями, а творческий дух ещё не покинул тогдашних схоластов, уже приближались к тому же пониманию. Но это, по-видимому, не оказало влияния на развитие науки.

Нарисуем фазовый портрет для гармонического осциллятора, т. е. для системы ( ). Сперва мы чуть-чуть упростим эту систему, причём начнём упрощение не с неё самой, а с уравнения ( ). Сделаем «замену времени», приняв вместо t за независимую переменную «новое время» = at, где a — постоянное число, которое мы сейчас подберм. Так как согласно ( ) то уравнение ( ), записанное в терминах нового времени, имеет вид a2 + 2 x = 0. Возьмём a = и обозначим новое время снова чеd рез t; тогда на 2 можно сократить, и получится уравнение x + x = 0.

Соответствующая система в нормальной форме есть (Вопрос к читателю: совпадают ли переменные x и y, фигурирующие в ( ), с прежними x и y из ( )?) Так как x теперь — это первая координата фазовой точки, то во избежание путаницы саму эту фазовую точку я теперь обозначу не через x (как раньше), а через z. Её координаты суть x и y, т. е. z = (x, y). Вектор фазовой скорости в этой точке f (z) = ( y, x). Как получить вектор f (z) из радиус-вектора z (я, как видно, несколько небрежно позволяю себе считать z то точкой на плоскости, то радиус-вектором этой точки )? Оказывается, он получается поворотом радиус-вектора z на 90 по часовой стрелке. Сейчас мы поясним это геометрическое утверждение.

Пусть сперва точка z лежит в первом квадранте, где x, y 0.

Обозначим через z её проекцию на ось x, через w — её образ при отображении f, которое переводит точку (x, y) в ( y, x) (как видно, я вектор фазовой скорости на минуту готов представлять себе как точку, являющуюся концом этого вектора, если отложить его не от z, как говорилось выше, а от O), так что для координат u и v точки w имеем u = y, v = x) и через w — проекцию w на ось y Фазовый портрет для свободного падения, т. е. для системы ( ), менее интересен.

При желании читатель легко нарисует его сам, что, как обычно, может быть рекомендовано в порядке тренировки.

Радиус-вектор точки A — это вектор OA, проведённый из начала координат O в точку A. Он имеет те же координаты, что и A.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Их принято нумеровать, как показано на рис. (где стрелки на координатных осях указывают принятые на них положительные направления).

рисунок получается несколько иным (у нас это будет, когда z лежит в других квадрантах), и приходится начинать с начала.

Читатель может сам провести (всё ради тренировки!) геометрические рассуждения для оставшихся трёх случаев (различающихся тем, в каком квадранте лежит z). Мне же кажется, что в этом месте проще «переключиться» на более алгебраический образ мыслей. Приводимое ниже рассуждение, может быть, выглядит не короче геометрического, но уж точно бльшую часть места в соответствующем тексте занимает алгебраизированное резюме ситуации, а та часть текста, которая может претендовать на нечто новое сравнительно с предыдущим, занимает всего несколько строк.

Если хорошо подготовленный читатель скажет, что такой части нет, я не буду возражать. Я, пожалуй, был бы не прочь подвести и менее подготовленного читателя к такой мысли.

Итак, резюмирую. Наша цель — сравнить отображение f плоскости в себя (переводящее, повторяю, точку (x, y) в ( y, x)) с поворотом R плоскости на 90 по часовой стрелке. (Буква R призвана напоминать о rotation.) Заметим, что итерации f 2 и R2 этих отображений (как только что объяснялось в подстрочном примечании, это отображения, получающиеся при повторении f и R ещё один раз), совпадают с центральной симметрией S с центром симметрии в начале координат. S переводит точку (x, y) в (x, y), т. е. z в z (опять рассматриваем z как вектор! «А ну, порося, превратись в карася!») Для R это геометрически очевидно (два поворота подряд на 90 — это поворот на 180, а он и есть S), для f же видно из той формулы, которая определяет f : f ( f (z)) = f ( f (x, y)) = f ( y, x) = (x, y). Наконец, обозначим первый квадрант через Q. Нам известно, что в точках Q отображения f и R совпадают, а мы хотим доказать, что они совпадают во всех точках плоскости.

Сперва мы докажем, что в точках Q совпадают итерации f i и Ri с i = = 1, 2, 3, 4. (Ещё раз напоминаю, что, например, f 3 (z) = f ( f ( f (z))).) При i = это нам известно, а при i = 2, 4 данные итерации совпадают вообще во всех точках плоскости (ведь f 2 = R2 = S, а тогда и f 4 = S2 = R4 ; последнее отображение является тождественным отображением плоскости, т. е. оно оставляет каждую точку на месте). Остаётся i = 3. Если z лежит в Q, то (мы сперва заменили f 2 на S, затем f (z) на R(z) — ведь z лежит в Q, где f и R совпадают, — и, наконец, S на R2 ).

А теперь заметим, что точка z, лежащая во втором, третьем или четвёртом квадранте, является образом некоторой точки z из Q при отображении f 3, f 2 или f соответственно. Короче, z = f (z ), где i = 3, 2 или 1. По доказанному, z = Ri (z ) с тем же i. А тогда f (z) = f i+1 (z ), причём i + 1 = 4, 3 или 2. По доказанному, f i+1 (z ) = Ri+1 (z ) = R(Ri (z )) = R(z). Приехали!

Что же это за кривая, касательная к которой в каждой её точке перпендикулярна радиус-вектору этой точки? Такая кривая известна из школьного курса геометрии — это окружность с центром в O. Итак, фазовая траектория точки z — это окружность радиуса |z| с центром в O (рис. ).

Итерировать отображение — это значит повторить его несколько раз; n-кратная итерация — это Таким образом, здесь f n обозначает не n-ю степень, а n-кратную итерацию. Обозначения итераций похожи на обозначения степеней, но сейчас опасность путаницы будет исключена по той причине, что f (z) или R(z) — это точка плоскости; как её возводить в квадрат? Но если бы говорилось об отображениях числовой оси в себя, то f 2 (x) могло бы обозначать и f ( f (x)), и квадрат числа f (x); в подобных случаях приходится специально оговаривать, что имеется в виду; впрочем, это обычно понятно из контекста.

Сейчас мы говорили о направлении вектора фазовой скорости f (z); что можно сказать о его длине? Раз он получается из вектора z при каком-то повороте, то длина его та же, т. е. | f (z)| = |z|. А длина окружности радиуса |z|, по которой движется точка z, равна 2|z|.

Значит, z проходит всю эту окружность за время 2.

Мы пришли к такому фазовому портрету. В точке O имеется положение равновесия (там вектор фазовой скорости нулевой и точка стоит на месте). Все остальные фазовые траектории — это окружности с центром в O и всевозможных радиусов. Движение происходит по часовой стрелке, а время, за которое z пробегает свою окружность и возвращается в исходное положение (как говорят, период фазовой траектории или период соответствующего решения), равно 2.

Движущаяся фазовая точка z(t), которая при t = 0 находится в положении z(0) = (A, 0) на положительной полуоси, за время t > вычерчивает дугу длины tA на окружности радиуса A и потому угол равен t по абсолютной величине. Но надо помнить, что направление по часовой стрелке считается отрицательным, поэтому при обычных соглашениях этот угол равен t. Если же время убывает от 0 до некоторого отрицательного t < 0, то точка z движется по окружности в положительном направлении, вычерчивая дугу длины A|t|, так что z(0)Oz(t) = |t| = t, т. е. угол равен t и при положительных, и при отрицательных t. Если бы при этом точка z(t) находилась на окружности единичного радиуса с центром в O, то её координатами были бы (cos t, sin t). А так как z(t) находится на окружности радиуса A с тем же центром, то z(t) = (A cos t, A sin t).

Далее, если начальное положение точки z(t) какое-нибудь другое, то всё равно спустя некоторое время она попадёт в некоторую точСр. с окончанием §.

Рис.. Фазовый портрет гармонического осциллятора ку (A, 0) на положительной полуоси. Обозначим это время через.

Ввиду автономности нашей системы, коль скоро z(t) — решение, то и z1 (t) = z(t ) тоже решение. Но это второе решение удовлетворяет начальному условию z1 (0) = (A, 0) и потому z1 (t) = (A cos t, A sin t).

Отсюда для z(t) получается Кстати, здесь уместно вспомнить об отображении сдвига по времени St : читатель легко сообразит, что оно является поворотом фазовой плоскости вокруг начала координат на угол |t| по часовой стрелке, если t > 0, и против неё, если t < 0. (К сожалению, во всех остальных наших примерах нельзя столь же просто охарактеризовать St.) Наконец, вернёмся к началу наших рассуждений. Мы начали с уравнения ( ), произвели некую замену времени и уже после этого перешли к системе, поэтому при использовании нового времени одна из координат на фазовой плоскости — скорость — отличается множителем (каким?) от прежней скорости. Величина 2 — это период в терминах «нового времени». В терминах же прежнего времени получается T = 2. (Проверьте! Вот откуда взялось когда-то удивлявшее меня 2.) При возвращении к прежним переменным для z(t) получится ответ как и утверждалось в ( ) и ( ), а из окружностей получатся эллипсы (рис. ), имеющие уравнения (проверьте!).



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |


Похожие работы:

«Инвестиционная программа Развитие системы водоснабжения ОАО Северский трубный завод Полевского городского округа на 2014-2018 годы. Плата за подключение ИНВЕСТИЦИОННАЯ ПРОГРАММА Развитие системы водоснабжения ОАО Северский трубный завод Полевского городского округа на 2014-2018 годы. Плата за подключение 2013 г. Инвестиционная программа Развитие системы водоснабжения ОАО Северский трубный завод Полевского городского округа на 2014-2018 годы. Плата за подключение Содержание Стр. Анкета...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Председатель методической комиссии по образовательной программе Декан _Г.И. Ивановфакультета _ экономики, менеджмента и права_ _ _ _2005_/2006_ учеб.год _1__декабря2005_/2006_ учеб.год Образовательная профессиональная программа (ОПП)специальности...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение высших учебных заведений Республики Беларусь по педагогическому образованию УТВЕРЖДАЮ Первый заместитель Министра образования Республики Беларусь А.И.Жук _ _ Регистрационный № ТД-_/тип. ЦИТОЛОГИЯ Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям: 1–02 04 01 Биология; 1–02 04 04 Биология. Дополнительная специальность; 1–02 04 05 География. Дополнительная специальность (1–02 04 05–01 География....»

«ГОСО РК 3.08.342 – 2006 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЩЕОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Образование высшее профессиональное БАКАЛАВРИАТ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 050716 – Приборостроение Дата введения 2006.09.01 1 Область применения Настоящий стандарт разработан на основе ГОСО РК 5.03.001-2004 Образование высшее профессиональное. Бакалавриат. Основные положения и устанавливает требования к содержанию образования и уровню подготовки бакалавров по специальности 050716 – Приборостроение. Положения...»

«Частное учреждение образования МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ Утверждаю Ректор Минского института управления Н.В. Суша 2010г. Регистрационный номер № УДЗащита населения и хозяйственных объектов в чрезвычайных ситуациях. Радиационная безопасность. Факультет учётно - финансовый Кафедра гуманитарных дисциплин Курс 4,7 По учебному плану Семестр 7,11 По учебному плану Лекции 6 Экзамен нет Практические занятия 6 Зачет По учебному плану Лабораторные занятия нет Курсовой проект(работа) нет Всего...»

«АННОТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ Направление 270800.62 Строительство 270800.62.06 Промышленное и гражданское строительство уникальных зданий и сооружений Выпускающий институт: Инженерно-строительный Выпускающая кафедра: Строительство уникальных зданий и сооружений Руководитель ООП: заведующий кафедрой, д.т.н., профессор Ватин Николай Иванович Цель и концепция программы Цель программы – подготовка специалиста-строителя международного уровня по промышленному и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет Кафедра биологии УТВЕРЖДАЮ Декан биологического факультета С.М. Дементьева 19 сентября 2013 г. Рабочая программа дисциплины МЕТОДИКА ПОЛЕВЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ЗООЛОГИИ Для студентов I курса Направление подготовки 250100 – ЛЕСНОЕ ДЕЛО Профиль подготовки – общий Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения Очная Обсуждено...»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ ФАКУЛЬТЕТ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Кафедра социологии и управления персоналом РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ СОЦИАЛЬНЬIЕ ИНСТИТУТЪ! И ПРОЦЕССЬI СОВРЕМЕННОГО~ ОБЩЕСТВА Для специальности Социальная структура, 22.00.04 социальные институты и процессы Санкт-Петербург 2011 Рабочая программа дисциплины Социальные институты и процессы современного общества для аспирантов по специальности 22.00.04 Социальная структура, социальные институты и процессьш...»

«Ф ТПУ 7.1 -21/01 1 Рабочая программа учебной дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Декан ГФ Рубанов В.Г. _ (подпись) 2004 г. ИСТОРИЯ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ СРЕДСТВ МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ Рабочая программа (специальность 350400 Связи с общественностью) Факультет гуманитарный (ГФ) Обеспечивающая кафедра Культурологии и социальной коммуникации (КиСК) Курс 4, Семестр 8,...»

«Содержание основной образовательной программы: Раздел 1. Основные термины и понятия Раздел 2. Пояснительная записка Раздел 3. Планируемые результаты освоения обучающимися основной образовательной программы начального общего образования 3.1 Формирование универсальных учебных действий 3.2 Русский язык 3.3 Литературное чтение 3.4 Иностранный язык 3.5 Математика и информатика 3.6 Окружающий мир 3.7 Музыка 3.8 Изобразительное искусство 3.9 Технология 3.10 Физическая культура Раздел 4. Рабочий...»

«ЗАКЛЮЧЕНИЕ по организации и состоянию учебно-методической и воспитательной работы в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Поморский государственный университет имени М.В.Ломоносова В соответствии с распоряжением Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Министерства образования и науки Российской Федерации от 01.06.2005 г. №874-05 осуществлена аттестационная экспертиза учебнометодической и воспитательной работы государственного...»

«МОДУЛЬ 10. ЯЗЫК НОРМОТВОРЧЕСТВА И ВОПРОСЫ ЮРИДИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ Рабочая программа курса (8 часов) Автор программы: Поляков Андрей Васильевич Целевая группа Курс предназначен для специалистов органов управления образованием субъектов Российской Федерации, специалистов органов управления муниципального образования, иных специалистов системы управления образованием, руководителей и заместителей руководителей образовательных учреждений, преподавателей русского языка и литературы, преподавателей иных...»

«1 СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения 1.1. Введение 1.2. Нормативные документы, являющиеся основой для ООП 1.3. Общая характеристика основной образовательной программы высшего профессионального образования 1.3.1. Цель (миссия) ООП 1.3.2. Трудоёмкость ООП 1.4. Требования к абитуриенту 2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника ООП по направлению подготовки (специальности) 2.1. Область профессиональной деятельности выпускника 2.2. Объекты профессиональной деятельности выпускника 2.3....»

«Руководство кандидатана новые gTLD (30 мая 2011 г. Потенциальным кандидатам следует учитывать, что данная версия Руководства еще находится на рассмотрении и пока не утверждена. Изложенные здесь положения Программы новых gTLD могут быть пересмотрены и изменены. 30 мая 2011 г. 30 мая 2011 г. Уважаемый будущий кандидат! Благодарим Вас за интерес к Программе новых общих доменов верхнего уровня. В результате запуска этой эпохальной программы пользователям Интернета может быть предоставлен более...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКАЯ ПРАВОВАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВА ЮСТИЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (РПА Минюста России) ИРКУТСКИЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) (ИрЮИ (ф) РПА Минюста России) ПРОГРАММА вступительного междисциплинарного экзамена в магистратуру по направлению 030500.68 Юриспруденция программа Иностранное право и сравнительное правоведение Иркутск, 2013 Печатается по решению Ученого совета Иркутского...»

«ФГБОУ ВПО Марийский государственный университет Институт экономики управления и финансов УТВЕРЖДАЮ Декан юридического факультета _ /Лебедев И.А./ (подпись/ Ф.И.О.) _20 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Учебная дисциплина Б.3.8._Безопасность жизнедеятельности Направление подготовки 080200.62 Менеджмент Профиль подготовки Производственный менеджмент Квалификация (степень) выпускника бакалавр Курс _1 семестр форма обучения очная Программа разработана Доцентом кафедры зоологии И.Г. Воробьевой, к.б.н....»

«Утверждены приказом начальника Управления культуры, спорта и молодёжной политики Администрации МО Город Можга И.В. Кузнецовой Реестр платных услуг, подведомственных Управлению культуры, спорта и молодёжной политики Администрации МО Город Можга на 2014 год I. Дома культуры Муниципальное бюджетное учреждение культуры Дом культуры Дубитель города Можги Наименование муниципальной услуги Цена (тариф), Обеспечение развития творческого потенциала единица измерения (1 занятие) (организация работы...»

«Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Детско-юношеский центр муниципального образования город Краснодар КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ WAАCKING И VOGUE. ЗНАКОМСТВО С РАЗНОВИДНОСТЯМИ НАПРАВЛЕНИЙ СТИЛЯ КЛУБ-ДЕНС педагога дополнительного образования Овсинвой Е.Д. Объединение: Модерн Группа: №1 Кол-во детей: 10 Дата: 28 марта 2012 года Время: 10.00-11.45 Место: Актовый зал 2012-2013 учебный год Тема: WAАCKING И VOGUE. ЗНАКОМСТВО С РАЗНОВИДНОСТЯМИ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ И.М. ГУБКИНА АННОТАЦИЯ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Направление подготовки МЕНЕДЖМЕНТ Программа подготовки ЛОГИСТИКА НЕФТЕГАЗОВОГО КОМПЛЕКСА Квалификация выпускника МАГИСТР Нормативный срок обучения 2 ГОДА Форма обучения ОЧНАЯ МОСКВА, 2014 г. Назначение ООП ВПО ООП ВПО представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную...»

«Prof. Eleonora Pivovarova (IFES RAS) Пивоварова Элеонора Петровна (псевдоним Э. Корбаш), китаеведполитэконом, главный научный сотрудник Института Дальнего Востока РАН, доктор экономических наук, профессор, академик РАЕН. Родилась 10 сентября 1937 г. в Саратовской области у великой русской реки Волги в семье служащих. Отец – Пивоваров Петр Терентьевич (1906–81) - родом из семьи старосты самарской церковной общины, мать - Пивоварова Лидия Николаевна (1910–94) - из потомков сербских переселенцев...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.