[ Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Механико-математический факультет
Кафедра математического моделирования в механике
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
В.П. Гарькин «»_ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Вариационное исчисление (цикл « Дисциплины по выбору»;основная образовательная программа специальности 010501.65 Прикладная математика и информатика) Самара Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010501 Прикладная математика и информатика, утвержденного 23.03.2000 г.
Составитель рабочей программы: к.ф.-м.н., доцент А.Ф.Федечев Рецензент: Коваленко А.Г., доцент, к.ф.-м.н.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике ( протокол № от 2011 г.) Заведующий кафедрой _ 2011 г. _ Н.И.Клюев (дата)
СОГЛАСОВАНО
Декан факультета _ 2011 г. _ С.Я.Новиков Начальник методического отдела _ 2011 г. _ Н.В. СолововаОДОБРЕНО
Председатель методической комиссии факультета _ 2011 г. _ Е.Я.Горелова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины – подготовка у будущих специалистов научной базы, на основе которой строится общеобразовательная, общая техникоэкономическая и специальная подготовка специалистов и привитие навыков освоения всего нового, с чем приходится сталкиваться в ходе дальнейшей деятельности.Задачи дисциплины:
овладение основными методами математического моделирования технико-экономических задач;
выработка умения самостоятельного математического анализа технико-экономических задач;
развитие логического и алгоритмического мышления.
1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны:
Иметь представление:
о современных проблемах вариационного исчисления ;
о численных методах реализации задач вариационного исчисления.
Знать:
основные методы математического моделирования;
основные методы вариационного исчисления, а также вопрсы реализации соответствующих алгоритмов с помощью ЭВМ;
математические методы простейших систем в естествознании и технике.
Уметь:
употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;
уметь использовать основные понятия, методы и модели предыдущего раздела;
проводить необходимые расчеты в рамках построения моделей;
исследовать модели с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов.
1.3.Связь с предшествующими дисциплинами Для усвоения данного курса необходимо знание основных разделов курсов: «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Уравнения математической физики», «Высшая алгебра», «Аналитическая геометрия».
1.4.Связь с последующими дисциплинами Вариационные методы будут использоваться в теоретической механике, механике сплошных сред и решении экономических задач.
2. Содержание дисциплины 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах) Очная форма обучения, 5 семестр – экзамен.
2.2. Разделы дисциплины и виды занятий некоторые ее обобщения.
параметрической форме.
подвижными концами.
условный экстремум вариационного исчисления.
2.3. Лекционный курс ВВЕДЕНИЕ. Предмет вариационного исчисления. Современное состояние и проблемы развития вариационного исчисления.. Достижения вариационного исчисления к началу 21 века. Прямые методы вариационного исчисления.
РАЗДЕЛ 1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ.
Общие замечания. Постановка простейшей вариационной задачи и вывод необходимых условий экстремума. Преобразование первой вариации по Лагранжу. Преобразование первой вариации по методу Дюбуа-Реймона.Регулярные экстремали. Экстремали сингулярной вариационной залачи.
Случаи упрощения уравнения Эйлера. Вариационная задача для функционалов, зависящих от нескольких аргументов. Канонические уравнения в вариационном исчислении. Вариационная задача для функционалов, содержащих высшие производные. Вариационные задачи для функционалов, являющихся кратными интегралами. Понятие об обратной задаче вариационного исчисления. Вариационные задачи в параметрической форме. Функционал как функция ориентированной линии. Аналитические свойства функции Ф. Связь простейших вариационных задач в параметрической и непараметрической форме. Необходимые условия слабого экстремума. Уравнения Эйлера в форме Вейерштрасса. Некоторые замечания о многомерных вариационных задачах в параметрической форме.
РАЗДЕЛ 2 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ФОРМЕ.Функционал как функция ориентированной линии. Аналитические свойства функции Ф. Связь простейших вариационных задач в параметрической и непараметрической форме. Необходимые условия слабого экстремума. Уравнения Эйлера в форме Вейерштрасса. Некоторые замечания о многомерных вариационных задачах в параметрической форме.
РАЗДЕЛ 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ
КОНЦАМИ.Постановка задачи с подвижными концами. Вывод условий трансверсальности. Геометрическая интерпретация условий трансверсальности. Кусочно-гладкие экстремали. Условия ВейерштрассаЭрдмана. Вариационные задачи на отражение и преломление экстремалей
РАЗДЕЛ 4. МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.
Классический метод исследования дифференцируемых функций на условный экстремум. Метод возможных направлений. Теорема КунаТаккера. Метод проекции. Метод штрафных и барьерных функций.
РАЗДЕЛ 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ.Принцип Остроградского-Гамильтона и вывод уравнений Лагранжа первого и второго рода. Применение геометрии в механике и принцип стационарного действия в форме Якоби. Метод Ритца. Метод Галеркина в прикладных задачах механики.
РАЗДЕЛ 6. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ.Изопериметрические задачи. Простейшая задача Лагранжа. Обобщение простейшей задачи Лагранжа. Понятие об общей задаче Лагранжа. Задачи Майера и Больца.
2.4. Практические (семинарские) занятия 3.Организация текущего и промежуточного контроля знаний 3.1. Контрольные работы 3.2. Комплекты тестовых заданий Тестирование по курсу не предусматривается.
3.3. Самостоятельная работа 3.3.1. Поддержка самостоятельной работы (сборники тестов, задач, упражнений и др.) Кабанов Н.И. Элементарное введение в вариационное исчисление.Саратов,СГУ, 1987.
3.3.2. Тематика рефератов Написание рефератов по курсу не предусматривается.
3.4. Курсовая работа, её характеристика ; примерная тематика Курсовая работа по курсу не предусматривается.
Итоговый контроль проводится в виде экзамена в 5 семестре.
Экзаменационная оценка ставится на основании письменного и устного ответов по экзаменационному билету.
4. Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ Для решения задач повышенной сложности используются ПЭВМ на базе процессора Intel 586 с подключением к сети Internet.
5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) На практических занятиях часть решаемых задач носит проблемный исследовательский характер и имеет научное значение.
6. Материальное обеспечение дисциплины Оборудование по курсу не предусмотрено.
7. Литература 7.1. Основная 1.Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Л.: ЛГУ, 2004. (гриф.
Минобразования).
2. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2007.
3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:, 2008.
7.2. Дополнительная (не указывать количество экземпляров) 1.. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.:
Наука, 1970. (гриф. Минобразования).
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ
За/учебный год В рабочую программу « Вариационное исчисление » для специальности 010501 вносятся следующие дополнения и изменения:
«