Министерство образования и науки РФ

Новокузнецкий институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

Факультет информационных технологий

Кафедра математики и математического моделирования

УТВЕРЖДАЮ

Декан факультета информационных технологий Каледин В.О.

_ "_"20_ г.

Рабочая программа дисциплины Б3.Б.6, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Направление подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки «Прикладная информатика»

Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Новокузнецк Рабочая программа учебной дисциплины составлена на основании требований федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» (квалификация (степень) "бакалавр"), утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации № 538 от 20 мая 2010 г.

Рабочая программа учебной дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики и математического моделирования факультета информационных технологий Протокол №_ от «_» _201 г.

Зав. кафедрой _ Решетникова Е.В.

(подпись) Одобрено методической комиссией факультета информационных технологий Протокол № от «_» _ 201 г.

Председатель методической комиссии _ Ермак Н.Б (подпись) Лист – вкладка рабочей программы учебной дисциплины Численные методы, Б3.Б. название дисциплины, цикл, компонент Список основной учебной литературы *Указания о контроле на Соответствие ГОС Количество момент переутверждения Сведения об учебниках (для федеральных дисцип- экземпляров в программы лин) или соответствия библиотеке на требованиям ООП (для момент переутДата Внесение, региональных и вузов- верждения пропродление или Год ских) - указание на не- граммы исключение / Наименование, гриф Автор издания достаточно отраженные Подпись отв.

в учебнике разделы Дополнения и изменения в рабочей программе учебной дисциплины Сведения о переутверждении РП на очередной учебный год и регистрация изменений № учебный год содержание преподаватель- РП одобрена на засе- РП утверждена п/п изменений* / разработчик рабо- дании кафедры деканом факульбез изменений чей программы (№ протокола; дата, тета 1 2012- Целями освоения дисциплины «Численные методы» являются:

Формирование у будущего математика - системного программиста представлений об использовании современных численных методов и программного обеспечения при решении основных задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений;

формирование представлений об идее каждого метода и алгоритме его реализации;

выработка навыков практического использования современных численных методов при решении прикладных математических задач.

Формирование профессиональных компетенций:

Способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК 15);

Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК 3);

Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования (ПК 9);

Содержание компетенций, закрепленных за дисциплиной в основной образовательной программе (ООП):

ОК –15 – способность рабо- Знать:

ты с информацией из раз- общества, личных источников, включая - понятие информации, информационного ресурса;

тернет, для решения про- - основы работы с Интернет источниками фессиональных и социальпользоваться библиотечным банком России, ных задач. - анализировать информацию необходимую для работы в профессиональной сфере;

ПК – 3 – способность пометоды математического анализа, линейной алгебнимать и применять в ис- ры и аналитической геометрии, дискретной математики, следовательской и приклад- теории вероятностей и математической статистики и других ной деятельности совре- Уметь:

менный математический - применять математические методы для решения аппарат.

ПК – 9 – способность ресовременные проблемы прикладной математики;

шать задачи производст- - современный уровень развития информационных венной и технологической технологий и программного обеспечения.

деятельности на профессоставить математическую модель по поставленсиональном уровне, включая: ной задаче;

разработку алгоритмичесоздать современное программное средство для ских и программных реше- реализации алгоритма.

ний в области системного и Владеть:

прикладного программиро- прикладным программным обеспечением.

вания.

2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Дисциплина «Численные методы» является частью профессионального базового модуля (Б3.Б6) цикла дисциплин подготовки студентов по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика».

Логическая и содержательная связь дисциплин, участвующих в формировании представленных в п.1 компетенций, представлена в таблицах 1 и 2.

Таблица 1. Структурно-логическая схема формирования компетенций Компе- Предшествующие дис- Данная Последующие дисциплины ОК – ПК – ПК – Языки и методы проМетоды конечных элементов Объектноориентированное проектирование и программирование Таблица 2. Входные знания, умения, навыки, необходимые для изучения данной дисциплины.

';

тенция рования основных инпоиска информации по 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Численные методы».

В процессе освоения данной дисциплины студент формирует и демонстрирует следующие общепрофессиональные компетенции:

Код ком- Формируемые ком- Дескрипторные характеристики способность работы с ин- Знать:

ОК - формацией из различных · поисковые информационные системы;

источников, включая се- · электронные ресурсы и библиотеки;

тевые ресурсы сети Инметоды поиска и анализа нужной информации ПК- применять в исследова- основные методы вычисления погрешностей тельской и прикладной функций; методы построения аппроксимациондеятельности современ- ных и интерполяциионных функций; типы решения линейных и нелинейных алгебраических систем; методы численного интегрирования и дифференцирования; основные численные методы решения нелинейных уравнений;

задач обыкновенных дифференциальных уравнений; разностные уравнения 1-го и 2-го порядка; методы численного решения краевых задач в вариационной постановке.

ПК- технологической деятельУметь:

ности на профессиональразрабатывать и отлаживать и модифицироном уровне, включая: развать алгоритмы и программы, реализующие прикладного программинавыками разработки и модификации алгорования 4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетные единицы 288 часа.

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах) 4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом Общая трудоемкость базового моду- 288 часа ля дисциплины 4.1.2.Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах) Раздел 1 Численные методы решения задач математического анализа приближенных вычислений ние алгебраичераторным нами. Сплайнинтерполирование.

ные квадратурные уравнений.

раических уравнений.

алгебраических уравнений.

ношаговых итераработа ционных методов.

Итерационные методы с чебышевским набором параметров.

ла. Обобщенная ных чисел и векторов.

Раздел 3 Численные методы решения дифференциальных уравнений ных уравнений.

Примечание: * УО - устный опрос, УО-1 - собеседование, УО-2 - коллоквиум, УО-3 - зачет, УО-4 - экзамен ПР - письменная работа, ПР-1 - тест, ПР-2 - контрольная работа, ПР-3 эссе, ПР-4 - реферат, ПР-5 - курсовая работа, ПР-6 - научно-учебный отчет по практике, ПР-7 - отчет по НИРС, ТС - контроль с применением технических средств, ТС-1 - компьютерное тестирование, ТС-2 - учебные задачи, ТС-3 - комплексные ситуационные задачи 4.2 Содержание дисциплины Содержание разделов базового обязательного модуля дисциплины 4.2.1 Содержание лекционного курса № Наименова- Содержание раздела дисциплины Результат обучения тем дисциплины Раздел 1 Численные методы решения задач математического анализа Интерполирова- 1. Аппроксимирование опытных данных. Основ- Знать:

ние алгебраиче- ные понятия. Методы. · основные методы вычисскими много- 2. Интерполирование алгебраическими многочле- ления погрешностей ные квадратур- 3. Решение задачи численного интегрирования.

ные формулы. 4. Семейство квадратурных формул НьютонаТекущий контроль – Численное ре- 1. Постановка задачи о нахождении корней нели- Знать:

ных уравнений. 2. Этапы решения задачи. Локализация корней. методы решения нелиЧисленные методы решения, сходимость ите- нейных уравнений, прярационных методов. мые и итерационные методы решения систем Собственные 1. Постановка задачи определения собственных числа. Обоб- значений и собственных векторов.

щенная задача 2. Классификация численных методов решения собственных задачи об определении собственных пар. Текущий контроль – чисел и векто- 3. Этапы алгоритмов численных методов решения УО, Решение систем 1. Классификация методов решения систем Поиск экстре- 1. Постановка задачи определения экстремумов одной и многих 2. Классификация методов по видам линий уровня.

переменных.

3. Определение минимума функции одной действительной переменной.

4. Определение минимума функции многих действительных переменных.

5. Связь задач поиска экстремумов функций с задачами решения СЛАУ и СНУ Определение Раздел 3 Численные методы решения дифференциальных уравнений Методы решения 1. Постановка задачи численного решения диффе- Знать:

Методы решения 1. Постановка задачи численного решения диффеэтапы формирования алкраевых задач ренциальных уравнений при заданных краевых ных уравнений. 2. Методы решения краевых задач. Классификазадач.

Разностные схе- 1. Простейшие разностные уравнения. Основные Вариационные 1. Понятие вариационной постановки при решезадачи. нии краевых задач дифференциальных уравнений.

4.2.2 Содержание практических занятий ние раздела, тем дисциплины Раздел 1 Численные методы решения задач математического анализа Погрешность Статистический и технологический подходы к Уметь:

приближенных учету погрешностей действий. Виды погрешно- · Рассчитывать погрешвычислений стей. Общая формула для оценки главной части ность функции и числа, погрешности. Погрешность представления числа. применять расчитывать Интерполирова- Задача и способы аппроксимации опытных дан- исходным данным; проние алгебраиче- ных. Аппроксимирующая функция. Метод наи- водить численное интегскими много- меньших квадратов и наилучшие равномерные рирование и дифференчленами. приближения. Интерполирование алгебраически- цирование.

Сплайн- ми многочленами. Интерполяционный многочлен · разрабатывать и отлажиинтерполирова- Лагранжа, оценка погрешности. Понятие сплайна, вать и модифицировать ние. оценка дефекта сплайна. Интерполяционный ку- алгоритмы и программы, Оценка произ- Конечные разности. Конечноразностные интер- задачи.

водной. Конеч- поляционные формулы. Интерполяционные фор- Владеть:

ные разности. мулы Ньютона. Аппроксимация производных.

Остаточные члены простейших формул численмодификации алгоритного дифференцирования.

ные формулы. турные формулы прямоугольников, трапеции Симпсона. Принцип Рунге практического оцениТекущий контроль – Численное ре- Численное решении нелинейных уравнений, по- Уметь:

шение нелиней- становка задачи, сходимость итерационных мето- · применять численные ных уравнений. дов. Локализация корней. Метод дихотомии. Ме- методы для решения нетод хорд. Метод Ньютона. Смешанный метод. линейных уравнений;

решения систем тод Гаусса. Метод Жордана – Гаусса. Метод LU- решения систем линейлинейных алгеб- разложения матрицы коэффициентов. Разложение ных и нелинейных алраических урав- симметричных матриц. Метод квадратных кор- гебраических уравнений;

Итерационные Решение СЛАУ методом простых итераций.

методы решения Метод Якоби. Метод Зейделя. Роль ошибок собственных значений и систем линей- округления в итерационных методах. собственных векторов Собственные Обобщённая задача о расчете собственных чисел числа. Обоб- и векторов. Метод развертывания. Степенной задачи.

щенная задача метод. Метод вращения Якоби. Оценка сходимо- Владеть:

уравнений. Оценка сходимости итерационных методов.

Поиск экстре- Определение минимума функции одной действиТекущий контроль – мумов функций тельной переменной. Метод золотого сечения.

одной и многих Метод парабол. Определение минимума функции переменных.

Определение минимума функционала. Градиентный метод. Метод сопряженных градиентов.

Раздел 3 Численные методы решения дифференциальных уравнений Методы решения Методы решения задачи Коши. Постановка зада- Уметь:

задачи Коши. чи. Классификация методов. Метод Пикара. Ме- · применять численные тод Эйлера. Метод Рунге-Кутты. Метод Адамса. методы для решения заМетод Милна. дачи Коши и краевых задач обыкновенных дифМетоды решения Методы решения краевых задач дифференциаль- ференциальных уравнекраевых задач ных уравнений. Постановка задачи. Классифика- ний; строить и решать дифференциаль- ция методов. Метод стрельбы. Метод прогонки. разностные уравнения 1ных уравнений. Условия и оценка сходимости итерационных ме- го и 2-го порядка; притодов. менять численные методы для решения краевых Разностные схе- Решение разностных уравнений первого порядка.

Вариационные Решение задач теплопроводности в вариационной 5. Образовательные технологии Главный акцент при изучении дисциплины «Численные методы» делается на его практическую часть – освоение численных методов и их использование при решении прикладных математических задач. Обучение студентов осуществляется по традиционной технологии (лекции, практики).

Для успешного освоения дисциплины сочетаются традиционные и инновационные образовательные технологии, которые обеспечивают достижение планируемых результатов обучения по ООП. Перечень форм организации обучения и методов представлен в таблице 3.

Таблица 3.

методы Мультимедийные + технологии Деловые игры Case-stady Другое 6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Общий объем самостоятельной работы студентов по дисциплине включает аудиторную и внеаудиторную самостоятельную работу студентов в течение семестра.

Аудиторная самостоятельная работа осуществляется в форме контрольных работ на занятиях по блоку тем, внеаудиторная самостоятельная работа осуществляется в следующих формах:

· Подготовка к практическим занятиям;

· Подготовка к текущим контрольным мероприятиям (контрольные работы, тестовые опросы, диктанты);

· Выполнение домашних индивидуальных заданий;

Процедура организации самостоятельной работы по видам Подготовка к практическим занятиям.

При подготовке к практическим занятиям студент должен изучить теоретический материал по теме занятия, освоить численный метод (знать алгоритм, рекуррентное соотношение, условие остановки численного расчета, условия сходимости метода), ответить на контрольные вопросы. В течении занятия студенту необходимо решить задания, выданные преподавателем, выполнение которых защитывается, как текущая работа студента на «зачтено» и «не зачтено».

Выполнение индивидуальных заданий.

Для закрепления практических навыков решения задач студенты по каждой пройденной теме обязательно выполняют индивидуальное задание по своему варианту, которые должны быть сданы в установленный срок. Варианты заданий по темам студенты получают от преподавателя. Выполненные задания оцениваются на оценку.

Подготовка к контрольным мероприятиям.

Промежуточный контроль знаний осуществляется в форме аудиторных самостоятельных работ, на которые выносятся решение задач по отдельным темам.

Текущий контроль осуществляется в виде тестовых опросов по теории. При подготовке к тестовым опросам студенты должны освоить теоретический материал по блокам тем, выносимых на этот опрос. При подготовке к аудиторной контрольной работе студентам необходимо повторить материал практических занятий по отмеченным преподавателям темам, а также повторить теоретический материал по данным темам.

Текущий контроль теоретических знаний осуществляется путем опроса (диктантов) студентов по теме практического занятия, практических умений путем выполнения домашних индивидуальных заданий.

Промежуточный контроль теоретических знаний осуществляется путем тестового опроса по блокам тем, практических умений путем выполнения аудиторной самостоятельной работы.

При промежуточном и текущем контроле оценивается правильность ответов и решения заданий.

Критерии оценки знаний студентов в целом по дисциплине:

Итоговый контроль осуществляется в 3-м семестре в виде зачета, в 4-м семестре в виде экзамена.

Для успешного использования численных методов в практической деятельности студент должен усвоить дисциплину в объеме тематического плана и получить практические навыки решения поставленных физических задач численными методами с написанием блок-схем и компьютерных программ.

Удовлетворительным является уровень освоения дисциплины, при котором студент усваивает:

- теоретические сведения: аксиоматический подход к построению методов аппроксимации и интерполяции количественных данных; численные методы дифференцирования и интегрирования; методы решения систем линейных алгебраических уравнений; методы решения нелинейных уравнений и систем; численные методы определения минимума функций и функционалов; методы решения краевых задач и задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;

- практические навыки: применение известных численных методов и способность использования типовых вычислительных алгоритмов для решения практических задач.

Хорошим является уровень освоения дисциплины, при котором студент дополнительно усваивает:

- теоретические сведения: численные методы решения поставленных задач с оценкой погрешности найденного решения, с оценкой скорости сходимости итерационных процессов;

- практические навыки: применение алгоритмов, построения блок-схем и написание компьютерных программ для решения поставленных физических задач.

Отличным является уровень освоения дисциплины, при котором студент показывает знакомство с дополнительной литературой, способность студента применять численные методы и их модификации к объекту своей научно-исследовательской работы или будущей дипломной работы.

Раздел 1. Численные методы решения задач математического анализа ТЕМА 1. Погрешность приближенных вычислений.

1. Погрешность приближенных вычислений. Абсолютная и относительная погрешность.

2. Погрешность вычисления функции, при известной погрешности аргументов.

3. Погрешность суммы, разности, произведения, частного.

4. Погрешность представления числа. Значащая, верная и сомнительная цифра.

5. Правило округления чисел.

ТЕМА Интерполирование алгебраическими многочленами. Сплайнинтерполирование.

6. Смысл аппроксимации данных.

7. Суть метода наименьших квадратов, его геометрическая интерпретация.

8. Аппроксимация данных линейной, степенной, показательной и логарифмической 9. Задача и способы аппроксимации функции.

10. Постановка задачи интерполяции. Геометрический смысл интерполирования.

11. Способы решения задачи полиномиальной интерполяции.

12. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

13. Погрешность интерполяции по формуле Лагранжа.

14. Смысл экстраполяции.

15. Определение интерполяционного сплайна.

16. Локальные и глобальные базисные функции.

ТЕМА 3. Конечные разности. Численное дифференцирование 17. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Конечные 18. Простейшие аналоги первой производной для системы равноотстоящих узлов.

19. Вычисление производной в крайних и внутренних точках интервала.

20. Оценка погрешности f ( k ) ( x ) при приближении интерполяционным многочленом 21. Оценка точности численного дифференцирования.

ТЕМА 4. Численное интегрирование 22. Постановка задачи численного интегрирования.

23. Интерполяционные формулы прямоугольников, трапеций.

24. Интерполяционная формула Симпсона и оценку погрешности для нее.

ТЕМА 5. Методы решения нелинейных уравнений 25. Постановка задачи решения нелинейных уравнений. Этапы решение нелинейных уравнений.

26. Метод половинного деления. Его геометрический смысл.

27. Метод хорд. Его геометрический смысл.

28. Метод касательных. Его геометрический смысл.

29. Комбинированный метод. Его геометрический смысл.

30. Метод простой итерации.

31. Определение скорости сходимости итерационного метода.

ТЕМА 6. Прямые методы решения СЛАУ 32. Постановка задачи решения СЛАУ прямыми методами.

33. Метод Гаусса. Этапы метода. Способ контроля ошибок вычисления.

34. Метод Жордана-Гаусса.

35. Метод Холецкого.

ТЕМА 7. Итерационные методы решения СЛАУ 36. Постановка задачи решения СЛАУ итерационными методами.

37. Метода Зейделя.

38. Достаточное условие сходимости метода Зейделя.

39. Метод простой итерации.

40. Смысл сжимающих отображений. Его графическое представление.

41. Достаточное условие сходимости метода простой итерации.

ТЕМА 8. Определение собственных значений и собственных векторов 42. Собственное число и собственный вектор матрицы.

43. Геометрический смысл задачи об определении собственного числа и собственного вектора матрицы.

44. Частичная и полная задачи на определение собственных значений и собственных векторов матрицы.

45. Степенной метод определения собственных значений и собственных векторов матрицы.

46. Метод Якоби для решения полной задачи собственных чисел и собственных векторов матрицы.

ТЕМА 9. Решение систем нелинейных уравнений 47. Постановка задачи решения СНУ.

48. Метод простой итерации.

49. Метод покоординатной итерации.

50. Метод Ньютона.

51. Градиентный метод.

ТЕМА 10. Поиск экстремумов функции одной и многих переменных 52. Постановка задачи определения экстремума функции.

53. Типы рельефов и линий уровня..

54. Определение минимума функции одной действительной переменной. Метод золотого сечения. Метод парабол.

55. Определение минимума функции многих переменных. Метод спуска по координатам. Метод оврагов.

56. Определение минимума функции многих переменных в ограниченной области.

Метод штрафных функций.

Раздел 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений ТЕМА 11. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений.

57. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. По задачи Коши для дифференциальных уравнений.

58. Аналитические методы решения. Метод Пикара.

59. Графический метод решения. Метод Эйлера. Применение формулы Тейлора для оценки погрешности метода Эйлера.

60. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Метод РунгеКутта.

61. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Многошаговый ТЕМА 12. Решение краевых задач 62. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи.

63. Метод стрельбы.

64. Метод прогонки.

ТЕМА 13. Разностные схемы 65. Разностные уравнения 1 и 2 порядка.

66. Построение разностных схем для уравнений в частных производных.

67. Основные приёмы исследования устойчивости.

68. Схемы расщепления.

ТЕМА 13. Вариационные задачи 69. Постановка задачи теплопроводности.

70. Решение задачи теплопроводности.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение 1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов/В. М. Вержбицкий.

– М.: Высш. шк., 2006. – 840 с 2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

3. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике, 1990.

4. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах, 2006.

5. Устинов С.М., Зимницкий В.А. Вычислительная математика / Устинов С.М., Зимницкий В.А. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009. – 336 с.: ил.

6. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 548 с., 7. Операционная система Windows или Linux 8. Системы программирования Delphi, Visual Ci++, Pascal 22. www.nns.ru/ – Национальная электронная библиотека.

25. www.rambler.ru/ – Поисковая система.

26. www.yandex.ru/ – Поисковая система.

27 www.test.specialist.ru/ – Центр компьютерного обучения МГТУ им. Н.Э Баумана.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) Освоение дисциплины производится на базе обычных и мультимедийных учебных аудиторий НФИ КемГУ. Для выполнения практических индивидуальных заданий могут использоваться компьютерные классы 4 корпуса.

Электронные учебные ресурсы не используются.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика» и профилю подготовки «Прикладная информатика».

Автор (ы) Бурнышева Т.В. Рецензент (ы) Стачева Е.М._ Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры Зав. кафедрой Ф. И. О Одобрено методической комиссией факультета Председатель Ф. И. О