WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРОГРАММА

дисциплины

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина «Строительная механика» является одной из основных базовых дисциплин, имеет своей целью:

дать современному специалисту необходимые знания, а также приобрести навыки в области анализа работы и расчета конструкций, выполненных из различных материалов, на прочность, жесткость и устойчивость при различных воздействиях с использованием современного вычислительного аппарата.

Ее обучение основано на знании студентами таких общеобразовательных дисциплин, как "Высшая математика", "Физика", "Теоретическая механика", "Сопротивление материалов".

Овладение ее практическими расчетными приемами связано с изучением прикладных дисциплин, как-то: "Металлические конструкции", "Железобетонные и каменные конструкции", "Конструкции из дерева и пластмасс". Материал всех указанных дисциплин логически взаимосвязан с материалом дисциплины "Строительная механика".

Изложение дисциплины "Строительная механика" ведется при постепенном усложнении изучаемого материала в логической последовательности.

Задачи дисциплины: вооружить будущего специалиста необходимыми знаниями для анализа работы и расчета строительных конструкций.

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ

ДИСЦИПЛИНЫ.

В результате освоения этого курса знать: основные методы и практические приемы расчета реальных конструкций и их элементов из различных материалов по всем предельным расчетным состояниям на различные воздействия.

уметь: грамотно составить расчетную схему сооружения, произвести ее кинематический анализ, выбрать наиболее рациональный метод расчета при различных воздействиях и найти истинное распределение напряжений, обеспечив при этом необходимую прочность и жесткость его элементов с учетом реальных свойств строительных материалов, используя современную вычислительную технику.

демонстрировать способность и готовность: проводить кинематический анализ расчетной схемы сооружения; определять внутренние усилия, напряжения и перемещения в элементах статически определимых и неопределимых систем современными методами при различных воздействиях.

3. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ

Строительная механика, цель и задачи курса связь с Введение.

другими дисциплинами.

.

Расчетные схемы сооружений, их классификация Кинематическ ий анализ сооруже- Статический и кинематический анализ типов связей и опор. Степень свободы плоской стержневой системы, ний.

формулы для ее определения. Образование геометрически неизменяемых систем. Мгновенно изменяемые системы и способы проверки систем на мгновенную изменяемость.

Свойства статически определимых систем, методы их Расчет расчета на неподвижную нагрузку. Конструирование и. статически сис- расчет многопролетных балок и рам. Поэтажная схема.

определимых Расчет трехшарнирных арок и рам. Понятие о рациональтем ной оси арки. Расчет балочных и консольно-балочных ферм с простой решеткой на узловую нагрузку: метод вырезания узлов, метод сечений, графический метод. Внеузловая нагрузка. Понятие линий влияния. Статический способ построения линий влияния. Линии влияния усилий в простой балке, в многопролетных балках и рамах. Кинематический способ построения линий влияния. Загружение линий влияния неподвижной и подвижной нагрузкой.

Линии влияния в трехшарнирных арках, простых фермах.

Понятие о линейно-деформируемой системе. ОбобОсновные теощенный закон Гука. Обобщенные силы и перемещения.

. ремы об упругих Принцип возможных перемещений. Теорема Клапейрона о системах и опредеработе статически приложенной внешней нагрузки. Работа ление перемещений внутренних сил. Потенциальная энергия упругой системы.

в статически опреТеорема Бетти о взаимности работ. Теоремы о взаимности делимых системах перемещений, реакций. Построение линий влияния перемещений. Формула Мора для определения перемещений от нагрузки, теплового воздействия и осадки опор. Правило Верещагина и формула Симпсона для вычисления интегралов.

Свойства статически неопределимых систем. СтеСтатически пень статической неопределимости. Выбор основной сиснеопределимые Метод темы. Канонические уравнения метода сил. Вычисление системы.

коэффициентов канонических уравнений и их проверка.

сил чете методом перемещений. Основная система. Построеперемещений ние единичных и грузовых эпюр в основной системе. Канонические уравнения метода перемещений. Вычисление коэффициентов. Расчет рам и неразрезных балок на силовые, температурные воздействия. Проверка окончательных. метод.

Комбинирован окончательных эпюр. Учет симметрии.

ный способ Комбинация методов сил, перемещений и смешанного при расчете симметричных систем на произвольную нагрузку.

систем методом перемещений в матричной форме. Неизформа метода перевестные и внешние силы, внутренние усилия и деформамещений расчета стержневых систем Матрица внешних сил. Три стороны задачи расчета упруматричный метод перемещений) Метод конечэлементов МКЭ. Расчет стержневых систем МКЭ. Матрица жестконых (МКЭ расчета кон- сти элемента и совокупности элементов. Определение струкций) Особенности расчета континуальных систем МКЭ на примере плоской задачи теории упругости. Формирование Понятие о предельном состоянии. Разрушающие наРасчет стержневых систем с уче- грузки. Гипотезы теории предельного равновесия. Расчет том пластических статически определимых и неопределимых ферм с учетом свойств материалов пластических свойств материала. Учет пластических изгибе. Пластический момент сопротивления и пластический шарнир. Расчет статически определимых и неопределимых балок с учетом пластических свойств материала.



Основные теоремы о разрушающих нагрузках: статическая, кинематическая и о единственности решения. Метод 0. сооружений Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы (статический, энергетический методы). Устойчивость учетом и без учета затухания. Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы. Определение степенью свободы при различных динамических воздействиях. Динамический коэффициент. Вынужденные колебания систем с конечным числом степеней свободы при вибрационной нагрузке. Понятие об обобщенных силах инерции и их использование при динамическом расчете. Энергетический метод определения частот свободных колебаний. Борьба с вибрациями.

4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ.

1. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. - М.: АСВ, 1996.

2. Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. I. Статически определимые системы: Учеб. Пос. – М.: Изд-во АСВ, 2007.

3. Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. II. Статически неопределимые системы: Учеб. Пос. – М.: Изд-во АСВ, 2007.

4. Анохин Н.Н. Динамический расчет стержневых систем с одной степенью свободы: Учеб. Пос. – М.: МГСУ, 2006.

1. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем: Учеб. Пос. – М.: Изд-во АСВ, 2002.

2. Синицын С.Б. Решение практических задач строительной механики на компьютере: Учеб. Пос. – М.: МГСУ, 2004.

1. Основные понятия и кинематический анализ сооружений............ 1.1. Расчетная схема сооружений

1.2. Определение числа степеней свободы плоских стержневых 1.3. Усилия в мгновенно изменяемых системах

1.4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

2. Статически определимые стержневые системы – балки и фермы 2.1. Многопролетные шарнирно- консольные балки

2.2. Плоские фермы

2.3. Способы определения усилий в стержнях фермы

2.4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

3. Трехшарнирные арки

3.1. Определение опорных реакций

3.2. Определение усилий в сечениях арки

3.3. Арка с затяжкой

3.4. Рациональная ось трехшарнирной арки

3.5. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

4. Линии влияния

4.1. Определение усилий по линиям влияния

4.2. О замене заданной на прямолинейном участке линии влияния нагрузки ее равнодействующей

4.3. Определение положения системы связанных грузов, при котором они вызывают наибольшее усилие

4.4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

5. Статически неопределимые системы

5.1. Основные понятия

системах. 5.3. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

6. Общая формула перемещений плоской стержневой системы..... 6.1. Вывод общей формулы перемещений при силовом воздействии 6.2. Упрощения общей формулы

6.3. Правило «перемножения» эпюр Верещагина (1925)

6.4. Перемещения от теплового воздействия

6.5. Перемещения от осадок опор

6.6. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМРОКОНТРОЛЯ

7. Метод сил

7.1. Канонические уравнения метода сил (1864. Maxwell).................. 7.2. Проверка вычисленных по формулам (6.3) перемещений........... 7.3.. Построение окончательной эпюры М

7.4. О вычислении перемещений статически неопределимой системы 7.5. Проверка правильности окончательной эпюры М.

7.6. Расчет балок и рам на нагрев и осадки опор

7.7. Определение перемещений статически неопределимых систем. 7.8. Особенности применения метода сил к расчету статически неопределимых ферм и арок

7.9. Некоторые приемы упрощения расчета рам методом сил............ 7.10. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Основные понятия и кинематический анализ сооружений Строительная механика – наука, которая занимается разработкой принципов и методов расчета сооружений на прочность, устойчивость и жесткость при действии на них статических и динамических нагрузок, а также изменения температуры или неравномерных осадок опор. Цель расчетов на прочность и устойчивость – обеспечить достаточную, но не излишнюю безопасность сооружений, а расчет на жесткость – устранить возможность появления значительных деформаций сооружений.

Строительная механика включает дисциплины: сопротивление материалов, теорию упругости, теорию пластичности, теорию пластин и оболочек, динамику сооружений, строительную механику стержневых систем. Последняя, в отличие от сопротивлений материалов, занимается не теорией расчета стержня (бруса), а теорией расчета системы брусьев или стержней, образующих сооружение.

Расчет реального сооружения с учетом всех особенностей его конструкции является сложной и практически нерешаемой задачей. Поэтому, стремясь дать простые, удобные, но достоверные решения, строительная механика вынуждена упрощать условия задачи, отказываться от учета целого ряда второстепенных факторов и учитывать лишь основные факторы, оперировать с расчетными схемами.

Р а с ч е т н а я с х е м а сооружений – это упрощенное изображение действительного сооружения. Она отражает основные свойства, определяющие поведение сооружения под нагрузками, и не учитывает второстепенные факторы, которыми можно пренебречь.

С г е о м е т р и ч е с к о й т о ч к и з р е н и я различают расчетные схемы сооружений: плоские, воспринимающие нагрузку только в одной плоскости, пространственные, воспринимающие приложенную к ним пространственную систему сил; стержневые, состоящие из стержней, т.е. таких элементов, из которых один размер (длина) значительно превышает два других; пространственные тонкостенные, составленные из плит, пластин, оболочек, т.е. таких элементов, у которых размеры по двум направлениям (длина, ширина) значительно превышают толщину; массивные тела, у которых размеры по всем трем направлениям одного и того же порядка.

шарнирными (фермы), жесткими (рамы) и комбинированными соединениями элементов в узлах.

П о н а п р а в л е н и ю о п о р н ы х р е а к ц и й сооружения могут быть безраспорными, у которых вертикальная нагрузка вызывает только вертикальные опорные реакции, и распорными, у которых вертикальные нагрузки вызывают наклонные опорные реакции, горизонтальные составляющие которых называют распором.

геометрически неизменяемыми, если перемещения узлов возможны только при условии деформаций элементов (стержней). Геометрически изменяемые системы допускают перемещения и изменение своей формы без деформаций элементов, в зависимости от внешнего нагружения. Такие системы являются механизмами и не могут служить в качестве строительных конструкций.

Система называется мгновенно изменяемой, если она допускает бесконечно малые перемещения точек без деформации ее элементов.

Отдельные части (звенья, диски, стержни) считаются абсолютно жесткими.

Диски в плоскости имеют три степени свободы.

статически определимые и статически неопределимые.

Статически определимой называется геометрически неизменяемая система, усилия во всех элементах которой, а также в опорных связях можно определить из уравнений равновесия. Все остальные сооружения будут статически неопределимыми.

1.6. Определение числа степеней свободы плоских стержневых систем Степенью свободы системы тел называется число независимых геометрических параметров, полностью определяющих положение системы.

Введем понятие связи – любое устройство, снижающее число степеней свободы на единицу. В качестве связей применяют шарниры, стержни с шарнирами по концам и опоры.

Число степеней свободы W плоской стержневой системы, состоящей из D дисков, шарнирно связанных между собой Ш шарнирами, и имеющей Со опорных стержней определяется по формуле Чебышева Докажем формулу (1.1). Пока диски не связаны между собой, число степеней свободы равно утроенному числу дисков. Если диск прикрепить к плоскости с помощью цилиндрического шарнира, он может только вращаться вокруг этого шарнира и потеряет две степени свободы. Значит, шарнирное устройство эквивалентно наложению двух связей. Каждый опорный стержень уменьшает число степеней свободы системы на единицу.

При выводе формулы (1.1) предполагалось, что шарнир соединяет два диска, такие шарниры называются простыми. Кратный, сложный шарнир соединяет три и более дисков и эквивалентен n-1 простым шарнирам, где n – число соединяемых дисков.

ПРОСТЫЕ ШАРНИРЫ КРАТНЫЕ ШАРНИРЫ

Для шарнирно-стержневой системы (плоской фермы) можно получить более простую формулу, т.к. кратность шарниров всех узлов фермы переменна.

Если через У обозначить число узлов в ферме, включая опорные, каждый из которых на плоскости имеет две степени свободы, через С – число стержней системы, С0 – число опорных стержней, получим формулу Второй член формулы (1.2) объясняется просто: два несвязанных узла имеют четыре степени свободы, а соединенные стержнем С образуют диск с тремя степенями свободы, значит введение каждого стержня равно потере одной степени свободы.

Классификация системы по степени свободы 1. W > 0 – система геометрически изменяема (механизм) и не может служить в качестве строительной конструкции.

2. W < 0 – система геометрически неизменяема и содержит избыточные или лишние связи, причем число лишних связей где K – число замкнутых бесшарнирных контуров.

3. W = 0 – система геометрически неизменяема и не содержит лишних Условия 2 и 3 являются необходимыми, но недостаточными, т.к. связи могут быть расположены неправильно.

Для того чтобы выяснить, является ли система геометрически неизменяемой, необходимо выполнить анализ геометрической структуры системы, который состоит в рассмотрении расположения связей и закона соединения элементов.

Например, из двух балок и ферм, показанных на Рис.2, первые неизменяемы, а вторые имеют геометрически изменяемую часть.

1.1. Основные принципы образования геометрически неизменяемых плоских систем:

1. Три диска соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной 2. Два диска соединяются шарниром и стержнем, не проходящим через 3. К диску присоединяется новый узел с помощью двух стержней, не 4. Два диска соединяются тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке и не параллельными.

Иллюстрацией служит Рис.3, где слева показаны геометрически неизменяемые системы, соответствующие названным четырем принципам, а справа – оговоренные исключения, приводящие к мгновенно изменяемым системам.

Внимательное рассмотрение всех принципов показывает, что все они основаны на построении шарнирного треугольника – простейшей геометрически неизменяемой фигуры, с действительными или фиктивными шарнирами А, В, С. Если шарнирный треугольник вырождается в прямую или в точку, то система становится мгновенно изменяемой.

Мгновенно изменяемыми системами называют системы, допускающие без деформации их элементов бесконечно малые перемещения.

Рассмотрим простейшую систему из двух дисков (ферма Мизеса) на Рис.4а.

В соответствии с первым принципом это неизменяемая система, если считать два диска-стержня и третий диск-земля соединяются тремя шарнирами А, В и С, не лежащими на одной прямой. Кроме того, в соответствии с третьим принципом можно считать, что к диску-земле присоединяется новый узел с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой.

Доказать неизменяемость системы просто. Мысленно разъединим стержни. Тоска С станет описывать окружность I-I радиусом АС с центром в точке А.

Эта же точка С станет описывать окружность II-II радиусом СВ с центром в точке В. Но в действительности точка С принадлежит обоим дискам, поэтому перемещение точки С одновременно по кривым I-I и II-II невозможно. Следовательно, система АВС неизменяема. Если угол 0, то система вырождается в показанную на Рис.4b, в этом случае в точке С окружности имеют общую касательную, следовательно, возможно бесконечно малое перемещение, точка С перемещается в точку С1. Следовательно, это мгновенно изменяемая система.

1.7. Усилия в мгновенно изменяемых системах Приложим вертикальную силу Р в точке С на Рис.4с. Найдем усилия S, равные в двух стержнях в силу симметрии системы, или вырезая узел С и проектируя все силы на горизонталь. Проектируя все силы, приложенные к узлу С на вертикальную ось, находим Следовательно, усилия в мгновенно изменяемых системах теоретически стремятся к бесконечности, что практически невозможно, т.к. система разрушится при конечных больших усилиях, а их перемещения становятся очень большими по сравнению с геометрически неизменяемыми системами.

Применение мгновенно изменяемых систем в строительстве недопустимо, необходимо также избегать систем, близких к мгновенно изменяемым, т.к. в них появляются очень большие усилия и перемещения при конечных нагрузках.

Примеры:

Система, показанная на Рис.5, мгновенно изменяема, т.к. образована из двух треугольников АВС и DEF, соединенных друг с другом параллельными стержнями 1, 2 и 3.

Система, показанная на Рис.6, мгновенно изменяема, если три мгновенных центра вращения дисков I, II и земли III относительно друг друга 1-2; 1-3 и 2находятся на одной прямой.

Система, показанная на Рис.7, также мгновенно изменяема.

Диск I образован треугольником abc (1-й принцип) и последовательным присоединением к нему узлов d, e, f и g (3-й принцип). Точно так же образован диск II. Далее, как и в предыдущем примере, находятся точки 1-3, 1-2 и 2-3, а они находятся на одной прямой.

Множество примеров с подробным объяснением можно найти в книге Н.Н.Анохина «Строительная механика в примерах и задачах», а также задачи для самостоятельного решения с ответами к ним.

В последнее время, особенно после известных катастроф, возобновился интерес к полузабытому понятию «ж и в у ч е с т и » системы. Под нею понимается конструкционная неизменяемость сооружения. Вообще можно условно численно считать число живучести равным числу лишних связей конструкции.

То есть, если живучесть равна нулю, то в системе отсутствуют лишние связи, и выход из строя любой связи-опоры, стойки или элемента фермы, рамы и т.п.

приведет к обрушению всей конструкции. Чем больше лишних связей, тем больше повышается живучесть конструкции, но при условии правильного распределения связей как внутри конструкции, так и связей с землей.

Основные допущения строительной механики 1. Предположение об идеальной упругости материала элементов расчетных схем, его непрерывности.

2. Принят линейный закон между напряжениями и деформациями (закон Гука).

3. Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил (результат действия системы сил равен сумме результатов действия 1. Что называется степенью свободы плоской стержневой системы?

2. Что такое мгновенно изменяемая система?

3. Приведите формулы для определения числа степеней W различных систем. Какая из этих формул является общей?

4. Объясните, почему в вышеупомянутых формулах перед буквами Д и Ш стоят коэффициенты «+3» и «-2».

5. Назовите три возможных случая в зависимости от числа степени 6. В каких случаях и почему для суждения о неизменяемости и неподвижности сооружения необходимо произвести анализ его геометрической системы?

7. Почему мгновенно изменяемые сооружения не применяют в практике строительства?

2. Статически определимые стержневые системы – балки и фермы В статически определимых системах все внутренние усилия – изгибающие моменты, поперечные силы, осевые усилия, а также реакции в опорных связях могут быть определены из уравнений статики.

В курсе сопротивления материалов был рассмотрен расчет простейших балок и рам, в курсе теоретической механики – расчет ферм. Традиционно изучение строительной механики начинают именно с этих простейших статически определимых систем в качестве повторения и закрепления полученных ранее навыков расчета.

2.1. Многопролетные шарнирно- консольные балки Это совокупность простых балок, имеющих консоли и связанных между собой промежуточными шарнирами. Опорные реакции в них можно определить как непосредственно по расчетной схеме, так и по ее поэтажной схеме, на которой выделяют главные и второстепенные. В первом случае кроме трех уравнений статики составляют выражения моментов от всех сил, расположенных слева или справа от промежуточных шарниров и приравнивают их нулю. Во втором случае расчет начинают с второстепенных балок на нагрузку, которая к ней приложена. Далее нижележащие балки рассчитывают на свою нагрузку и на опорные реакции, приходящие к ним с верхних балок и т.д., последовательно с «верхних» этажей к нижним.

Пример 1. Построить эпюры M и Q для балки на Рис.8а. Здесь размеры заданы в метрах (м), сосредоточенные силы в килоньютонах (кН), распределенные нагрузки в кН/м, сосредоточенные моменты в кН·м. Поэтажная схема показана на Рис.8б. Расчет начинается с второстепенной балки GH.

Находятся из уравнения моментов от+носительно опор реакции RG = RH = 10 кН и строятся эпюры M и Q. Затем рассчитывается второстепенная балка FCG или основная балка HDE. На балку FCG действует равномерно распределенная нагрузка q = 3 кН/м и опорная реакция RG = 10 кН от вышележащей балки GH, направленная вниз (в соответствии с 3-м законом Ньютона).

Найдем реакции RF = 3 кН, RC = 23 кН.

M x = 3x 4 x x / 2 = 3x 2 x 2. На этом участке возможен максимальный молев мент в сечениях, где поперечная сила Q = 0. Напоминаем, что Q = dM / dx, следовательно в точке экстремума функции ее производная равна нулю.

M x = 0,75 = 3 0,75 2 0,75 2 = 1,125 кН. Балка HDE рассчитывается на действие сосредоточенного момента m=12 кН·м и опорной реакции RH, действующей вниз. Составляя уравнения моментов относительно опор D и Е, находим опорные реакции RD = 18 кН и RE = 8 кН. Эпюры M и Q строятся просто.

Аналогично рассчитывается основная балка ABF на действие момента m = 6 кН·м и опорной реакции RF, направленной противоположно реакции вышележащей балки FCG.

На Рис.8ж,з построены общие эпюры M и Q для всей балки.

Напомним правила контроля построенных эпюр:

1. На ненагруженном участке эпюра M линейна, эпюра Q - постоянна.

2. В точке приложения сосредоточенной силы в эпюре M перелом, направленный в сторону действия силы, а на эпюре Q - скачок, равный 3. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре M должен быть скачок на величину этого момента.

4. На участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра M строится по закону квадратной параболы, выпуклостью направленной в сторону действия нагрузки, эпюра Q – линейна. В точках, где 5. Момент в шарнире равен нулю.

6. Все узлы конструкции должны быть в равновесии M узла = 0.

7. Проверку правильности построения эпюр Q и N выполняют путем удовлетворения условий равновесия всей конструкции, отрезанной от опор, под действием внешних сил и опорных реакций, взятых из Геометрически неизменяемая система, составленная из стержней, соединенных шарнирами, называется фермой. Если оси всех стержней, включая и опорные, а также силы, действующие на ферму, лежат в этой плоскости, то такая ферма называется плоской.

В фермах внешняя нагрузка передается только в узлы и вызывает в стержнях только осевые усилия или продольные силы.

Совокупность элементов, окаймляющих ферму сверху и снизу, называются соответственно верхним и нижним поясом. Все остальные элементы, соединяющие пояса, образуют решётку фермы. Вертикальные стержни решётки называются стойками, наклонные – раскосами, а расстояние между соседними узлами одного пояса фермы называют панелью (Рис.9).

Фермы разделяют на отдельные типы:

1) П о н а п р а в л е н и ю о п о р н ы х р е а к ц и й, возникающих от вертикальных нагрузок, фермы делятся на безраспорные, или балочные 2) П о о ч е р т а н и ю в н е ш н е г о к о н т у р а – треугольного очертания, трапециодального очертания, с параллельными поясами.

3 ) П о т и п у р е ш ё т к и – с треугольной решёткой, состоящей только из раскосов, с раскосной решёткой, состоящей попеременно из стоек и раскосов, нисходящих или восходящих к середине фермы, двухрешётные, шпренгельные, состоящие из основной фермы (раскосной или треугольной) и дополнительных ферм – шпренгелей.

4 ) П о н а з н а ч е н и ю – стропильные, крановые, мостовые.

Фермы имеют преимущество перед балками. При работе балки на изгиб, на совместное действие изгиба с продольными силами нормальные напряжения распределяются по сечению балки неравномерно. Значительная часть материала изгибаемой балки используется не полностью. Если стержень работает только на продольные силы, материал используется полнее, масса конструкции при этом может быть значительно уменьшена. В стержнях ферм возникают только продольные усилия.

При одинаковой с балкой массе ферма всегда выдерживает бльшие нагрузки, чем балки сплошного поперечного сечения, выполненного из того же материала. Особенно заметно преимущество фермы перед балкой при больших пролетах и больших нагрузках, балки сплошного сечения при таких условиях практически неприменимы.

В действительности элементы металлических ферм соединяются между собой не шарнирами, а жестко, сварными швами или заклепками. Расчеты показали, что деформации, усилия и напряжения в стержнях расчетной схемы фермы с шарнирами не сильно (в пределах нескольких процентов) отличаются от значения этих величин при жестких узлах.

2.3. Способы определения усилий в стержнях фермы Вначале определяются опорные реакции в ферме, используя уравнения статики, т.к. в статически определимых балочных фермах всегда присутствуют три опорные связи, а в распорных – четыре, опорные реакции находят как в трехшарнирных рамах.

Внутренние усилия в стержнях фермы определяют методом сечений. В зависимости от вида проведенного сечения различают три основных способа аналитического расчета: способ моментной точки, способ проекций и способ вырезания узлов.

Мысленно разрезают ферму на две части так, чтобы в сечение попало не больше трех стержней с неизвестным усилием. Направление усилий задаем от узла (растяжение), другую часть фермы мысленно отбрасывают. В оставшейся части фермы составляют уравнение моментов относительно моментной точки (точка Риттера). Моментной точкой называется точка, в которой пересекаются направления всех стержней, попавших в сечение, кроме искомого.

Для определения усилия S1 фермы, показанной на Рис.10, проведем сечение I-I, отбросим правую часть, как содержащее большее количество сил, а ее действие на оставшуюся левую часть заменяем неизвестными силами S1, S2 и S3, направленными от узлов. Моментная точка O1 находится на пересечении стержней с усилиями S2 и S3. Составим уравнение моментов всех сил левой части относительно точки O1:

Аналогично находятся усилия S 2 с моментной точкой O2 и S 3 с моментной точкой O3 :

2) С п о с о б п р о е к ц и й применяется при расчете ферм с параллельными поясами.

В этом случае моментная точка для раскосов и стоек находится в бесконечности, поэтому можно проектировать все силы отсеченной части на ось, перпендикулярную поясам фермы.

Определим усилие S 4, проведя сечение II-II, и запишем уравнение равновесия правой части:

проекций – производятся такие разрезы, отсекающие от фермы по Начинают вырезать узлы, в которых не более двух неизвестных усилий, которые определяются из двух условий равновесия ( X = 0; Y = 0 ), или на оси, перпендикулярные к стержням с искомыми усилиями. Последовательно вырезая узлы, можно определить усилия во всех стержнях фермы.

Способ вырезания узлов позволяет вывести ч а с т н ы е с л у ч а и р а в н о весия:

1. Ненагруженный двухстержневой узел – усилия в обоих стержнях 2. Если в узле сходятся три стержня, два из которых направлены одинаково и нет нагрузки, то в отдельно направленном стержне усилие равно нулю S 3 = 0 (нулевой стержень), а усилия в двух других стержнях равны S1 = S 2 (Рис.11б).

3. В трехстержневом узле, оси двух стержней лежат на одной прямой, а вдоль одиночного стержня действует сила P, то усилие в одиночном стержне равно силе, а усилия в двух других стержнях равны Найдем усилие для фермы, изображенной на Рис.10. Вырежем узел, принадлежащей опоре А (Рис.12а).

Используя третий частный случай равновесия узлов, находим S 7 = P (Рис.12б), аналогично находятся и усилия над силами P3 и P5. Далее можно найти последовательно все остальные усилия, вырезая узлы, где неизвестных усилий не более двух.

Следует отметить, что для более сложных ферм применяются и другие способы расчета ферм: способ замкнутого сечения, способ совместных сечений, способ замены стержней.

Кроме того, существует графический способ определения усилий в ферме с помощью диаграммы Кремоны-Максвелла, но с развитием численных методов и вычислительных комплексов нет особой нужды в применении таких изощренных методов, надежнее составить адекватную расчетную схему конструкции, применить какой-либо вычислительный комплекс, а лучше несколько, и уметь проверить полученный результат.

1. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

2. Чему равна горизонтальная опорная реакция горизонтальной балки при вертикальной нагрузке?

3. Каков порядок расчета многопролетной шарнирно - консольной балки?

4. Какие сооружения называются распорными? Привести примеры. Что такое трехшарнирная рама (арка)? Как определяются опорные реакции и усилия в затяжках?

5. Как проверить правильность нахождения опорных реакций?

6. Что представляют собой эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил и каждая ордината этих эпюр?

7. По каким законам изменяются изгибающий момент и поперечная сила по длине оси стержня при отсутствии распределенной нагрузки?

8. Чему равна поперечная сила в сечении стержня, в котором изгибающий момент достигает экстремального значения?

9. В какую сторону обращена выпуклость эпюры М при действии распределен ной нагрузки? Привести примеры.

10. Как определить экстремальное значение изгибающего момента?

Что такое ферма? Какие усилия появляются в стержнях ферм и почему?

11. Как определяются реакции в балочной ферме?

12. Что называется моментной точкой? Привести примеры.

13. Какие элементы различают в фермах? Привести примеры.

14. Когда и как применяется способ вырезания узлов? В чем достоинства и недостатки его? Привести примеры.

15. Какие стержни называются нулевыми? Приведите частные случаи равновесия узлов.

16. Когда рационально находить усилия способом проекций? В чем его сущ 3. Трехшарнирные арки Трехшарнирной аркой называется трехшарнирная система из двух криволинейных брусьев (Рис.13). Трехшарнирные арки относятся к распорным системам, в которых вертикальные нагрузки вызывают горизонтальные опорные реакции, называемые распором.

Расстояние между опорами по горизонтали называется пролетом l, высота среднего шарнира над линией опор называется стрелой подъема f.

Если опоры арки находятся на одном уровне, нагрузки только вертикальные, вертикальные реакции V A и VB находятся точно так же, как и в простой балке такого же пролета и с такой же нагрузкой из уравнения равновесия M A = 0, M B = 0, которые дают V A = V A, VB = VBo, (Рис.13 а,б).

Для определения распора H A = H B = H (из уравнения проекций всех сил на горизонталь) составим уравнение моментов относительно среднего шарнира Заметим, что выражения в скобках – это значение изгибающего момента в сечении простой балки, нагруженной заданной нагрузкой (Рис.13б). Обознаo Далее мы покажем, что наличие распора существенно уменьшает изгибающие моменты и поперечные силы в трехшарнирной арке, что позволяет перекрывать арочными конструкциями существенно большие пролеты, чем балкой.

Если опоры арки располагаются на разных уровнях (Рис.14), то опорные реакции находятся из систем 2-х уравнений Проверка найденных реакций выполняется из условий Рассмотри равновесие левой части арки от сечения с координатами x, y.

Выражение в квадратных скобках – это момент в простой балке в сечении x (Рис.13б), следовательно, сила. Окончательно получим формулы для определения внутренних усилий в произвольном Структура формул (3.4) показывает, что наличие распора снижает величину моментов и поперечных сил в трехшарнирной арке по сравнению с балкой.

Поэтому арочные конструкции более экономичны по сравнению с балочными и позволяют перекрывать большие пролеты, чем балкой. Но для восприятия распора требуется устройство более мощных опор, способных воспринимать опрокидывающие силы H. Для исключения этих сил, передающихся на фундамент, в уровне опор или выше помещают растянутый элемент, называемый затяжкой (Рис.16).

Если на арку действует только вертикальная нагрузка, то H = 0, а усилие В сечениях арки, расположенных ниже затяжки, ее влияние отсутствует, поэтому надо в формулах (3.5) положить H З = 0, В точке крепления затяжки, действие которой можно представить как внешнюю силу по отношению к арке, в эпюре моментов должен быть перелом, а в эпюрах Q и N – скачки.

3.4. Рациональная ось трехшарнирной арки Убедимся на конкретном примере, что в соответствии с формулами (3.4) моменты в арке уменьшаются существенно.

Отсюда следует выражение для рациональной оси арки:

т.е. при заданных пролете l и стреле подъема f находим сначала число H (распор), тогда форма оси y (x) будет повторять очертание балочной эпюры.

Надо заметить, что ось арки должна быть повернута вверх, т.к. при вертикальной нагрузке, направленной вниз, эпюра строится со стороны растянутых нижних волокон, а арка выпуклостью направлена вверх.

Пример 1. При заданных пролете l и стреле подъема f найти рациональную ось арки при действии равномерно распределенной нагрузки (Рис.18,а):

В данном примере арка выродилась в трехшарнирную распорную раму, но мы теперь можем утверждать, что во всех сечениях рамы M = 0, следовательно, и Q = 0, стержни рамы испытывают только осевые усилия N.

При расчете арки вручную обычно делят проекцию арки на 10-20 равных отрезков и находят усилия в полученных точках арки в табличной форме по формулам (3.4).

Координаты оси арки y = f (x), угол наклона касательной к оси арки, а также sin и cos можно определить по следующим формулам, если начало координат расположить в опоре А, ось x направить вправо, ось y - вверх, a) Ось – квадратная парабола b) Ось – окружность радиуса R.

Расчет арки начинается с построения эпюр M X и Q X для простой балки под действием заданной нагрузки. Затем составляется таблица, куда в качестве столбцов введем координаты точек x, вычисленные ординаты y, затем tan,, sin, cos, которые вычисляются по формулам (3.7) и (3.8) или на калькуляторе. Вводятся из построенных эпюр значения M X и Q X и, наконец, вычисленные значения M X, Q X и N X. В таблице будут 10-20 строк, соответствующих сечениям арки.

Все вычисления довольно просты, их можно автоматизировать, используя редактор Microsoft Office Excel, там организовать таблицу вычислений усилий, а после получить соответствующие эпюры в виде графиков полученных результатов. При машинном вычислении для получения плавных кривых рекомендуется взять большее количество точек на арке, (от 40 до 100), т.к. в соответствии со структурой формул (3), все эпюры M X, Q X и N X криволинейны, даже если внешняя нагрузка только сосредоточенная. В случае расчета трехшарнирной арки с затяжкой при заданной высоте затяжки t необходимо определить координаты x1 и x2 точки крепления затяжки. Если арка параболическая, то записывается уравнение решение которого дает x1 и x2. Тогда таблица вычислений дополняется двумя строчками с координатами x1 и x2.

1. Как определить опорные реакции арки?

2. Что такое распор Н и как он определяется?

3. Как определить опорные реакции арки при разных уровнях опор?

4. Особенности расчета арки с затяжкой.

5. Что такое рациональная ось арки и как ее получить.

6. Как ведут себя эпюры M,Q и N в точке крепления затяжки?

7. Возможны растягивающие усилия в арке?

4. Линии влияния Задачи, приводящие к понятию линии влияния.

При расчете инженерных сооружений (мостов, кранов, подкрановых балок, эстакад и т.д.) приходится иметь дело с подвижной нагрузкой – поезд, трамвай, автомобили, крановые тележки. Часто при этом возникает задача нахождения такого положения груза, при котором искомая величина достигает наибольшего значения. Эта задача решается с помощью линии влияния.

Определение линии влияния.Смысл ее ординат.

Линией влияния какой-либо величины (опорной реакции, изгибающего момента, поперечной силы и т.д.) называется график, показывающий значение этой величины в зависимости от положения груза постоянного направления и От системы сосредоточенных неподвижных сил По линиям влияния можно также найти и усилие от неподвижной нагрузки.

а от нескольких сосредоточенных моментов 4.2. О замене заданной на прямолинейном участке линии влияния нагрузки ее равнодействующей.

4.3. Определение положения системы связанных грузов, при котором Известно (из математики), что при переходе через максимум производная меняет знак, однако в правой части (4.4) оба члена постоянны, изменение знака может произойти, если один из грузов перейдет с одного участка на другой, пройдя над вершиной. Отсюда делаем вывод: наибольшее усилие может иметь место тогда, когда один из сосредоточенных грузов находится над вершиной линии влияния. Допустим, что мы нашли положение нагрузки, при котором достигается наибольшее усилие (рис.26). Обозначая равнодействующую левых и правых сил через R л и Rпр, мы на основании предыдущих рассуждений (т.к.

производная должна менять знак) получим два неравенства:

Практически, искомое положение нагрузки определяется путем нескольких попыток по неравенствам (4.5), причем следует не упускать исчезновения и появления сходящих или входящих на сооружения нагрузок.

В случае распределенной нагрузки Pкр = qdx 0, поэтому неравенства (4.5) сведутся к одному неравенству Технику построения линий влияния рассмотрим на практических занятиях.

1. Что называется линией влияния (л.в.)?

2. Что представляет собой ордината линии влияния?

3. Какой вид имеют линии влияния опорных реакций в шарнирно опертой 4. Приведите (с ординатами) балочные линии влияния M и Q для какогонибудь сечения между опорами.

5. Назовите правила (последовательность), по которым строят линии влияния усилий в многопролетных шарнирно - консольных балках (способ 6. Что называют грузовым поясом фермы?

7. Какие два положения груза F =1 рассматривают при построении линий влияния способом вырезания узлов?

8. Какие два положения груза F =1 рассматривают при построении линий влияния способом моментной точки или способом вырезания узлов?

9. Отличаются ли линии влияния опорных реакций балочной фермы от линий влияния опорных реакций балки?

10. Если для искомого усилия в стержне фермы имеется моментная точка, то что можно сказать о поведении левой и правой ветвей линии влияния?

11. Как можно строить линии влияния усилий в балочных фермах без записи и решения уравнений?

5. Статически неопределимые системы О п р е д е л е н и е. Статически неопределимой системой называется такая система, не все внутренние усилия ( M, Q, N и т.д.) которой могут быть найдены из условий равновесия.

Связи условно необходимые и безусловно необходимые.

Связь называется безусловно (абсолютно) необходимой, если при ее удалении система превращается в геометрически изменяемую или подвижную (горизонтальные стержни балки, вертикальные стержни арки) – Рис.27.

Общие свойства систем с лишними связями.

1. Система с лишними связями статически неопределима. Усилия в безусловно (абсолютно) необходимых связях всегда статически определимы.

2. Для статически определимой системы существует лишь одно решение, удовлетворяющее всем условиям равновесия, но для статически неопределимых систем таких решений бесконечное множество.

Единственность решения для статически неопределимых систем устанавливается в результате изучения деформаций.

3. В отличие от статически определимых систем, в системе с лишними связями смещение опор, температура, неточности изготовления и сборки вызывают усилия. На рис. 28,а заданная осадка правой опоры не вызывает изгиба в статически определимой балке, нарисованной слева. На статически неопределимой балке, показанной справа, возникает изгиб и соответствующая эпюра M C т.к. свободному перемещению балки препятствует «лишняя» связь в левой опоре. На рис.

28,б заданный нагрев не вызывает изгибающих моментов в статически определимой балке, нарисованной слева, балка изгибается свободно. На статически неопределимой балке, показанной справа, возникает эпюра M T т.к. свободному, «желаемому» перемещению балки препятствует «лишняя» связь в левой опоре.

Существуют системы статически определимые относительно опорных реакций. Осадка опор таких систем не вызывает усилий (Рис.29).

4. Статически неопределимые системы могут иметь начальные усилия (усилия в отсутствии внешней нагрузки).

Искусственное создание начальных усилий позволяет рационально изменить эксплуатационные усилия.

5. Усилия в статически неопределимых системах зависят, вообще говоря, от формы и размеров сечений и модулей упругости.

6. Система с n лишними связями – ж и в у ч и, т.к. при потере n условно необходимых связей они сохраняют геометрическую неизменяемость.

5.2. Основные теоремы об упругих линейно-деформируемых системах.

Определение. Система называется линейно-деформируемой, если ее перемещения и деформации являются однородными линейными функциями внешних сил.

1. Материал следует закону Гука.

2. Перемещения весьма малы.

3. Шарниры и прочие связи – идеальные (без трения).

Два свойства линейно-деформируемых систем.

А) Для них справедлив принцип независимости действия сил: результат действия нескольких сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.

Б) В них не бывает остаточных деформаций.

При статическом действии силы на линейно-деформируемую систему работа этой силы равна половине произведения окончательного значения этой силы на окончательное значение перемещения.

Процесс считается статическим, если силы инерции малы по сравнению с прочими силами; в этом случае в любое мгновение внешние силы почти уравновешиваются силами внутренними.

Доказательство:

Очевидно, линейная связь между силами и перемещениями можно выразить линейным графиком, показанном на рис.32. Работа силы P на перемещении равна площади треугольника OAB, или Для того чтобы упругая линейно-деформируемая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы работа всех внешних и внутренних сил на любом возможном перемещении была равна нулю. Этот принцип является следствием закона сохранения энергии: V + W = 0, здесь W - работа внутренних сил на любом возможном перемещении.

Когда система совершает возможные перемещения, действительные внешние и внутренние силы остаются неизменными. Следовательно, V = P.

Зависимость между работой внешних и внутренних сил.

где V12 – работа внешних сил состояния (2) на перемещениях состояния (1), а W12 - то же внутренних сил.

Из (5.3) следует Т.е. работа внутренних сил на любом возможном перемещении равна работе внешних сил с обратным знаком на том же перемещении.

Теорема Бетти о взаимности работ (1872. Betti) Работа внешних (или внутренних) сил состояния (1) на перемещениях состояния (2) равна работе внешних (или внутренних) сил состояний (2) на перемещениях состояния (1).

Доказательство:

Загружая систему сначала силами (1), а затем силами (2) получим:

Меняя порядок загружения, получим Т.к. окончательное состояние системы в обоих случаях одинаково, то одинакова и потенциальная энергия (энергия внутренних сил), следовательно и работа внешних сил одинакова. Приравнивая (5.4) и (5.5), получим:

что и требовалось доказать.

Теорема о взаимности перемещений (1864. Максвелл) Проекция перемещения точки приложения первой силы на ее направление, вызванного второй единичной силой, равна проекции перемещения точки приложения второй силы на ее направление, вызванного первой единичной силой.

Доказательство:

По теореме Бетти: 1 12 = 1 21, что и требовалось доказать.

Реакция первой связи, вызванная единичным перемещением второй связи, равна реакции во второй связи, вызванная единичным перемещением первой связи.

Доказательство:

По теореме Бетти: r12 1 = r21 1, что и требовалось доказать. Здесь слева – работа силы на линейном перемещении, справа – работа момента на угле поворота.

1. Что понимается под статическим приложением нагрузки?

2. Как определяется действительная работа внешней сосредоточенной силы F и внешнего сосредоточенного момента m?

3. Куда переходит действительная работа внешних сил в процессе деформирования линейно-упругой системы?

4. Как формулируется принцип возможных перемещений Лагранжа?

5. Как выражается действительная работа внешних сил через внутренние усилия?

6. Приведите формулу для возможной работы внутренних сил.

7. Какой упрощенный вид принимает выражение потенциальной энергии для систем, работающих, в основном, на изгиб (балки, рамы)?

8. Как формулируется теорема Бетти о взаимности работ? Приведите доказательство этой теоремы.

9. Как формулируется теорема Максвелла о взаимности единичных перемещений. Приведите ее доказательство.

6. Общая формула перемещений плоской стержневой системы 6.1. Вывод общей формулы перемещений при силовом воздействии В состоянии «Р» рама находится под заданной нагрузкой (Рис.37). Требуется найти проекцию перемещения точки D на направление I I.Приложим в точке D по направлению I I силу PI = 1. Это состояние обозначим индексом «I». Составим работу всех сил состояния «I» на перемещениях состояния «Р».

где Wip - работа внутренних сил.

Из (6.1) получим:

Составим работу внутренних сил состояния «I» на перемещениях состояния «Р». Вырежем из упругой рамы бесконечно малый элемент длиной ds.

а) Работа продольных сил (положительных при растяжении) б) Работа изгибающих моментов (положительных, если растянуто нижнее волокно) в) Работа поперечных сил (положительных, если они вращают элемент по часовой стрелке) Касательные напряжения (формула сопротивления материалов) здесь использован закон Гука при сдвиге = G, где G - модуль сдвига.

Где = 2 2 dF. Для прямоугольного сечения = 1,2, для кругового сеI Fb чения = 32 / 27, для двутаврового сечения = F / Fст.

Просуммировав полученные выше элементарные работы в пределах каждого стержня, а затем по всем стержням, получим работу всех внутренних сил:

EI EF GF

Используя (6.8) и (6.2), получим общую формулу перемещений:

EI EF GF

Для балок, рам и пологих арок влияние нормальных и поперечных сил незначительно, поэтому учитывают только первый член общей формулы (6.9):

Для ферм, очевидно, остаётся только второй член формулы (6.9):

Для комбинированных систем – первый и второй члены:

6.3. Правило «перемножения» эпюр Верещагина (1925) Доказательство.

Вычислим интеграл Мора для эпюр, показанных на рис.41:

Интеграл в правой части выражения (5.13) – статический момент площади эпюры M p относительно оси y, равный произведению площади эпюры M p на координату её центра тяжести xц.т. (рис.34). Тогда можно записать Искомый интеграл равен произведению площади криволинейной (или прямолинейной) эпюры на расположенную под ее центром тяжести ординату другой прямолинейной эпюры.

Пример. Вычислить угол поворота на опоре B балки от равномерно распределенной нагрузки (рис.42).

Прикладываем на опоре B единичный момент m=1, строим эпюры Mp и M1, далее вычисляем перемещение сначала аналитически, затем по правилу Верещагина.

Для нахождения перемещения в случае силового воздействия в соответствии с формулой (6.9) надо перемножить эпюры от силового воздействия на эпюры от обобщенной силы Pi = 1, приложенной в i-й точке по направлению искомого перемещения. В дальнейшем i-е состояние системы назовем единичным, а соответствующие эпюры будем обозначать M i, Qi, N i.

В зависимости от вида искомого перемещения в единичном состоянии принимают:

1) при определении линейного перемещения точки – силу P = 1 по направлению искомого перемещения;

2) при определении угла поворота сечения – сосредоточенный момент m = 1 в этом сечении;

3) при определении взаимного смещения двух точек – две противоположно направленные силы P = 1 по линии, соединяющие эти точки;

4) при определении взаимного угла поворота двух сечений – два противоположно направленных сосредоточенных момента m = 1, приложенных к этим сечениям.

Составим работу внутренних сил состояния i на перемещениях, вызванных нагревом (рис.43). Произвольная температура по высоте сечения h распределяется по линейному закону, поэтому представим произвольный нагрев как сумму симметричного и кососимметричного нагрева (рис.44). Здесь t ср = (t1 + t 2 ) / - средняя температура сечения, t = t1 t 2 - перепад температур в сечении.

Составим выражение работы внутренних сил состояния “i” на перемещениях, вызванных нагревом (рис.45).

Для симметричного нагрева dWia = N itср ds.

Просуммировав полученные выше элементарные работы в пределах каждого стержня, а затем по всем стержням, получим работу всех внутренних сил:

Подставляя полученное выражение в формулу (6.2), получим Если в пределах стержня постоянного сечения температура постоянна по длине, то выражение (6.15) можно представить в виде Произведение M i t положительно, если от нагрева и силы P = 1 элемент искривляется в одну и ту же сторону.

Произведение N i tср положительно, если от обоих воздействий элемент удлиняется или от обоих воздействий элемент укорачивается ( N i и t ср одного знака).

Здесь в правой части (6.16а) нуль, т.к. в статически определимой системе осадки опор не вызывают ни внутренних усилий, ни опорных реакций. Обозначены ci - заданные осадки опор, Ri - реакции по направлению этих осадок.

Итак, окончательно записываем Произведение Ri ci положительно, если осадки и реакции направлены в одну сторону.

В заключение запишем общую формулу перемещений при произвольном воздействии (силовом, температурном и осадке опор):

EI EF GF

1. Можно ли перемножить по правилу Верещагина две полигональные эпюры, не разбивая их на простейшие?

2. Как производится перемножение эпюр по формуле Симпсона? Как определяются знаки при перемножении?

3. Как записывается формула МаксвеллаМора при вычислении перемещений в балках и рамах от силового воздействия?

4. Как записывается формула МаксвеллаМора при вычислении перемещений в фермах от силового воздействия?

5. Как записывается формула МаксвеллаМора при вычислении перемещений в комбинированных системах от силового воздействия?

6. Какова последовательность действий при вычислении линейных и угловых перемещений от силовой нагрузки?

7. Какой вид принимает формула МаксвеллаМора при вычислении перемещений от кинематического воздействия и как определяются знаки?

8. Появляются ли внутренние усилия в статически определимой системе при тепловом воздействии и при осадке опор?

7. Метод сил Вначале рассмотрим расчет рамных и балочных статически неопределимых систем.

Рамой называется стержневая система, у которой все или некоторые узловые соединения являются жесткими. Если углы между стержнями, сходящимися в данном узле, не изменяются после деформации, то такой узел является жестким. На рис.47 показана рама до и после деформации. После поворота стержней на одинаковый угол прямой угол в жестком узле сохраняется.

7.1. Канонические уравнения метода сил (1864. Maxwell) делимой. Вводя основную систему, мы вместо расчета статически статически неопределимой системы на заданную нагрузку P, можем рассчитать основную (статически определимую) систему на заданную нагрузку P и неизвестные силы X1 и X2. Неизвестные Xi - «хранители тайн рамы» - следует разыскивать в первую очередь, т.к. если известны Xi, то нетрудно найти все внутренние усилия рамы.

Рассмотрим деформацию рамы в каждом состоянии на рис.49.

Поскольку полное перемещение точки A заданной системы равно нулю, то и проекции этого перемещения на вертикаль и горизонталь, вызванные заданной нагрузкой и искомыми неизвестными X1 и X2 также равны нулю.

Для рамы с n неизвестными канонические уравнения имеют вид

LLLLLLLLLLLLLLLL

Любое из этих уравнений выражает мысль о том, что суммарное перемещение по направлению любой отброшенной связи, вызванное заданной нагрузкой и искомыми неизвестными, равно нулю.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений вычисляются по формулам:

EI EI EI

Примечание:

1. ii всегда положительны.

2. ik = ki, т.е. матрица канонических уравнений симметрична.

3. Если на участке EJ =, то интеграл по нему равен нулю.

7.2. Проверка вычисленных по формулам (6.3) перемещений.

M p эпюры. Процедуру перемножения эпюр можно выполнить с помощью правила Верещагина, но в процессе вычисления возможны ошибки. Для проверки правильности вычисления коэффициентов канонических уравнений поступим так.

Рис. сумме интегралов

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

Эта проверка называется п о с т р о ч н о й. Произведение i-й единичной эпюры на эпюру M s равно сумме единичных коэффициентов i-й строки. Аналогично можно проверить правильность вычисления свободных членов т.е. произведение суммарной эпюры на грузовую равно сумме грузовых коэффициентов Аналогично можно вывести универсальное контрольное равенство:

Результат перемножения суммарной единичной эпюры саму на себя должен быть равен сумме всех единичных коэффициентов.

После того, как из системы канонических уравнений (7.2) найдены неизвестные X1, X2 … Xn, окончательная эпюра изгибающих моментов строится по формуле:

Порядок построения проследим на нашем примере в предположении, что l = h. После вычисления коэффициентов канонической системы уравнений Если неизвестное получается со знаком « - », то соответствующая единичная эпюра перерисовывается на противоположном первоначальному волокне.

7.4. О вычислении перемещений статически неопределимой системы При выводе формулы перемещений внешняя нагрузка и единичная сила прикладывались к заданной (одной и той же) системе.

Построение эпюры М от единичной силы в статически неопределимой системе – дело весьма трудоемкое. Надо снова рассчитывать статически неопределимую систему методом сил. Этой операции (построение М от единичной силы) можно избежать, если любую статически неопределимую систему рассматривать как статически определимую, нагруженную помимо нагрузки найденными неизвестными. В такой системе как окончательные эпюры, так и поле перемещений точно такие же, как и в заданной статически неопределимой системе. Вот к этой системе и надо прикладывать единичную силу.

Следовательно, единичное воздействие можно (и нужно!) прикладывать к любой основной системе, полученной из заданной системы отбрасыванием лишних связей.

7.5. Проверка правильности окончательной эпюры М.

a) Статическая проверка – равновесие всех узлов рамы.

б) Геометрическая (или кинематическая) проверка – вычисление перемещения, заведомо равного нулю.

Т.к. для нашей рамы точка А неподвижна, то:

В формулах (7.8) находятся вертикальное и горизонтальное перемещения точки А, которые заведомо равны нулю, т.к. здесь присутствует шарнирно – неподвижная опора.

В общем случае: т.к. смещение по направлению любой отброшенной связи заданной системы отсутствует, то интегрирование окончательной эпюры М с каждой из единичной эпюр (или сумой единичных эпюр) должно дать нуль.

Канонические уравнения метода сил при температурных воздействиях и осадке опор отличаются от системы уравнений (6.2) лишь свободными членами:

LLLLLLLLLLLLLLLL

- при действии температуры и

LLLLLLLLLLLLLLLL

- при осадке опор.

Свободные члены в системе (6.9) представляют собой перемещения по направлению отброшенных связей в основной системе от заданного температурного воздействия, которые можно определить по формуле (5.16), если в пределах стержня постоянного сечения температура постоянна по длине:

Здесь M i и Ni соответственно площади эпюр изгибающих моментов и продольных сил в основной системе от действия единичного лишнего неизвестного X i = 1.

В системе уравнений (7.10) свободные члены представляют собой перемещения по направлению отброшенных связей в основной системе от заданных осадок опор, которые можно определить по формуле (5.17):

где ci - заданные осадки опор; Ri - реакции опор по направлению этих осадок от действия лишнего неизвестного X i = 1.

Мы уже отмечали, что в статически определимых системах температурное воздействие и осадка опор не вызывает внутренних усилий, поэтому не будет усилий и в основной статически определимой системе. Следовательно, окончательная эпюра при этих воздействиях получается алгебраическим суммированием исправленных эпюр:

Кинематическая проверка правильности построенных эпюр заключается в нахождении заведомо нулевых перемещений по направлению лишних связей. В общем случае перемещения в статически неопределимых системах определяются по формулам (6.16) и (6.17) с добавлением членов, учитывающих изгиб в статически неопределимых системах от действия нагрева и осадок опор.

Для теплового воздействия Для осадок опор Из полученных выражений следует формальное правило выполнения кинематических проверок:

7.7. Определение перемещений статически неопределимых систем Для определения перемещений статически неопределимых систем от действия нагрева или осадок опор надо в основной статически определимой системе метода сил приложить по направлению искомого перемещения единичную силу и построить эпюры M и N. Тогда в соответствии с формулами (7.14) и (7.15) получаем Для теплового воздействия Для осадок опор Здесь c - заданные осадки опор, R - реакции в единичном состоянии по направлению этих осадок.

Пример 1. Построить эпюру моментов для рамы, показанной на рис.52 от нагрева правой стойки. Находим t = 3t t = 2t, t ср = (3t + t ) / 2 = 2t.

Система имеет одну лишнюю связь, поэтому система канонических уравнений вырождается в одно уравнение:

Эпюра M t должна располагаться со стороны наименее нагретого волокна стержней.

Пример 2. Построить эпюру моментов для балки, показанной на рис.53 от осадки опор (поворот левой опоры на угол ).

Система имеет одну лишнюю связь, поэтому система канонических уравнений вырождается в одно уравнение:

7.8. Особенности применения метода сил к расчету статически неопределимых ферм и арок При расчете любых статически неопределимых систем процедура метода сил остается неизменной – выбор основной системы, составление системы канонических уравнений, решение ее и построение эпюр внутренних усилий. Для различных систем особенность расчета заключается в вычислении перемещений – коэффициентов канонических уравнений метода сил.

а) Фермы – конструкции, в расчетной схеме которых во всех узлах принимаются идеальные шарниры. Поэтому внутренние усилия во всех стержнях – только продольные силы. Единичные и грузовые коэффициенты канонических уравнений метода сил вычисляются по формулам, полученным из (5.11) с учетом того, что при узловой нагрузке на фермы усилия во всех стержнях постоянны.

где N ij - усилие в j - м стержне от единичного неизвестного X i = 1, N pj усилие в j - м стержне от внешней нагрузки, n - количество стержней фермы.

Окончательные усилия вычисляются по формуле, аналогичной (6.7):

При ручном расчете обычно не строят эпюры нормальных сил, а сводят все расчеты в табличную форму.

б) Арки – конструкции, состоящие из криволинейных стержней. Если арка состоит из одного криволинейного стержня, то она может быть двухшарнирная или бесшарнирная, первая из которых один раз, а вторая – трижды статически неопределимая. Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода сил должны вычисляться по общей формуле Мора:

EI EF GF

EI EF GF

В силу кривизны арки все эпюры усилий в ней - и единичные и грузовые криволинейны, поэтому правило перемножения эпюр Верещагина неприменимо. Интегралы в формулах (7.22) и (7.23) вычисляются численно, пролет арки разделяется не небольшие участки и в табличной форме производятся все вычисления. Примеры расчета можно найти в рекомендованных учебных пособиях. Однако в дальнейшем мы покажем, что при достаточно мелком разбиении арок их можно рассчитывать как стержневую систему, состоящую из прямолинейных стержней. При таком подходе можно применить любой расчетный комплекс, реализующий метод конечного элемента.

7.9. Некоторые приемы упрощения расчета рам методом сил Основная цель упрощений – обратить наибольшее число побочных коэффициентов в нуль.

1. Использование симметрии рам.

Если заданная рама симметрична, то основную систему следует выбирать также симметричной. В этом случае единичные эпюры будут симметричными, либо кососимметричными. Результат умножения симметричной эпюры M i на кососимметричную M k равен нулю, т.е. ik = i k ds = 0, поэтому система канонических уравнений метода сил разделяется на две системы. В одной системе только симметричные неизвестные, в другой – только кососимметричные.

2. Группировка неизвестных.

Два неизвестных усилия в симметричных системах, расположенных зеркально к оси симметрии, можно сгруппировать, т.е. представить одно в виде суммы, а другое в виде разности других неизвестных, тогда одна пара неизвестных будет симметричной, а другая – кососимметричной. Тогда очевидно следуют все упрощения предыдущего пункта.

3. Использование симметрии нагрузки.

Легко доказать, что при действии симметричной нагрузки на симметричную систему деформация конструкции будет симметричной, а, следовательно, все кососимметричные неизвестные усилия в лишних связях равны нулю. Наоборот, если на симметричную систему действует кососимметричная нагрузка, то все симметричные неизвестные равны нулю. Это касается не только нагрузки, но и любого другого воздействия: изменения температуры, осадки опор и др.

Существуют и другие способы упрощения расчета – введение жестких консолей, рациональное введение шарниров, рациональное направление неизвестных и другие способы, которые мы рассматривать не будем. Со всеми этими способами можно ознакомиться в рекомендованных нами учебниках и учебных пособиях.

Все эти упрощения имеют цель уменьшить количество неизвестных и упростить ручной расчет, который раньше не имел альтернативы. Однако в настоящее время вычислительные комплексы позволяют рассчитывать конструкции с практически любым количеством неизвестных. Наша задача изучить основные принципы и методы расчета сооружений, которые помогут студенту и в дальнейшем инженеру создать адекватную расчетную схему сооружения, выбрать правильную процедуру расчета и с помощью какого-либо расчетного комплекса выполнить расчет.

Последняя и главная задача инженера – оценить полученные результаты расчета. Во второй части курса мы обратим особое внимание на эти вопросы, т.к. участившиеся в последнее время аварии и катастрофы со строительными объектами говорит о слабой квалификации расчетчиков, использующих ЭВМ.

1. Что называется степенью статической неопределимости системы и как она связана с числом степеней свободы?

2. Чему равна степень статической неопределимости замкнутого бесшарнирного контура?

3. Назовите основные свойства статически неопределимых систем.

4. Какова основная идея метода сил?

5. Назовите основные требования, предъявляемые к основной системе.

6. Что представляют собой абсолютно необходимые и условно необходимые связи? Какие из этих связей следует удалять при образовании основной системы?

7. Какие приемы применяются при удалении лишних связей? Приведите примеры.

8. Что означают величины Xi, ik, ii, ip?

9. Какие перемещения называют главными, побочными и какими свойствами они обладают?

10. Как вычисляют коэффициенты при неизвестных и свободные члены при расчете балок и рам?

11. Как вычисляют коэффициенты при неизвестных и свободные члены при расчете ферм?

12. Что происходит с системой канонических уравнений, если одна часть неизвестных является симметричной, а другая кососимметричной?

13. Как производится статическая проверка окончательных эпюр M, Q, N ?

14. Как записывается система канонических уравнений метода сил при расчете на тепловое воздействие и смещение опор?

15. Как зависят усилия в статически неопределимой системе при расчете на тепловое и кинематическое воздействия от жесткостей элементов?





Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС) Кафедра История и политология УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе _Е. А. Малыгин 2010 г. РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине ГСЭ.В.02 История развития транспорта на 60 учебных часов для студентов очной формы обучения направления подготовки 140200 – Электроэнергетика бакалавр техники и технологии...»

«Руководство кандидата Рекомендованная итоговая версия Модуль 1 Обратите внимание, что это только рекомендованная версия Руководства кандидата, которая не была одобрена Советом директоров как итоговая. Потенциальные кандидаты не должны основываться исключительно на изложенных здесь положениях новой программы gTLD, поскольку программа все еще находится на рассмотрении и не утверждена. Данный документ переведен с английского языка в целях расширения аудитории его читателей. Несмотря на усилия,...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Дик В.В. Мизина С.Н. Печенкин А.Е. Информационный менеджмент Руководство по изучению дисциплины Практикум Учебная программа Москва 2007 1 УДК 004 ББК 32.973.202 Д 45 Дик В.В., Мизина С.Н., Печенкин А.В ИНФОРМАЦИОННЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ: Руководство по изучению дисциплины, практикум, учебная программа / Московский государственный университет экономики,...»

«ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.ВЕРНАДСКОГО Утверждаю Председатель Приемной комиссии (подпись) _ 2014 года ПРОГРАММА вступительного испытания в аспирантуру по специальной дисциплине по направлению подготовки 03.00.00 Физика профиль 01.04.03 радиофизика Утверждено на заседании приёмной комиссии Таврического национального университета имени В.И. Вернадского (протокол № 4 от 22 мая 2014 года) Симферополь, 2014 Программа вступительного экзамена в аспирантуру по направлению 03.00.00...»

«Парадоры Андалусии Дни недели Программа Суббота Прибытие в Малагу. Встреча в аэропорту. Малага Трансфер в парадор Malaga Gibralfaro 4*. Свободное время. * в ресторане отеля рекомендуем: суп из морского чёрта (sopa de rape), на десерт борачуэлос (borrachuelos), десерт из меда и апельсинов, цукатов и изюма пропитанных сладким вином из Малаги. Воскресение Завтрак. Обзорная экскурсия по Малаге. Малага Посещение основных достопримечательностей: исторический центр, кафедральный собор, крепость...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет Новокузнецкий институт (филиал) Факультет информационных технологий Кафедра экологии и естествознания УТВЕРЖДАЮ Декан ФИТ Каледин В.О. 14 марта 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины ОПД.Ф.05 Геохимия окружающей среды Для специальности 020804.65 Геоэкология Специализация 013602 Региональное...»

«2 ОГЛАВЛЕНИЕ Обозначения и сокращения Пояснительная записка (аннотация) Предмет учебной дисциплины Токсикология (электив) 1. 5 Цели учебной дисциплины Токсикология (электив) 2. 5 Требования к уровню освоения содержания дисциплины 3. 5 Токсикология (электив) Место дисциплины Токсикология (электив) в профессиональной 4. 5 подготовке выпускника Объем дисциплины Токсикология (электив) и вид учебной работы 5. Структура и содержание дисциплины 6. Дидактические единицы ГОС ВПО по дисциплине 6.1 Индекс...»

«№11(2) демонстрационный выпуск Информационный бюллетень Гранты Конкурсы Стипендии Программы Erasmus Mundus Программы DAAD Гранты Гранты РГНФ Гранты РФФИ Fellowships at the Davis Center for Russian and Eurasian Studies, Harvard University VIII грантовый конкурс музейных проектов Меняющийся музей в меняющемся мире. 87 Гранты Фонда фундаментальных лингвистических исследований Программа поддержки инновационных проектов - конкурс грантов Фонд микро-грантов для исследования устойчивого городского...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Декан ИСФ _Бабкин В.И.. _2011 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Пропорции в архитектуре Направление подготовки 270800.62 Строительство Профиль подготовки Проектирование зданий Квалификация (степень) выпускника бакалавр Нормативный срок обучения 4 года Форма обучения очная г. Липецк – 2011 г. 1. Цели освоения дисциплины Цель освоения дисциплины Пропорции в...»

«Министерство образования и науки Астраханской области ГАОУ АО ВПО Астраханский инженерно-строительный институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Наименование дисциплины Гидравлика По направлению подготовки Природообустройство и водопользование По профилю подготовки Сооружения объектов природообустройства и водопользования Кафедра Инженерных систем и экологии Квалификация (степень) выпускника бакалавр Астрахань — 2013 Разработчики: Доцент кафедры ИСЭ, к.т.н. Г.Б. Абуова _ (занимаемая должность) (учная степень...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный университет Металлургический институт (наименование института) УТВЕРЖДАЮ Директор института В.Б. Чупров _ 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Инженерная графика (наименование дисциплины (модуля)) Направление подготовки: 151000.62 Технологические машины и оборудование Металлургические машины и оборудование Профиль подготовки: бакалавр Квалификация (степень) выпускника: (бакалавр,...»

«АНО Институт логики, когнитологии и развития личности ALT Linux Седьмая конференция разработчиков свободных программ на Трубеже Переславль, 26–27 июля 2010 года Тезисы докладов Москва, Институт Логики, 2010 В книге собраны тезисы докладов, одобренных Программным комитетом Седьмой конференции разработчиков свободных программ. Круг рассматриваемых тем весьма широк: от новейших системных и прикладных разработок до правовых и экономических проблем, вопросов организации работы в проектах и...»

«Официальное периодическое печатное издание администрации муниципального образования Каневской район Ноябрь, 2012, № 19 (19) www.kanevskadm.ru Постановление от 31.10.2012 г. № 1637 Об утверждении долгосрочной муниципальной целевой 1. программы поддержки и развития кубанского казачества в муниципальном образовании Каневской район на 2013-2015 годы – стр. 2. Постановление от 31.10.2012 г. № 1638 Об утверждении долгосрочной муниципальной целевой 2. программы Комплексные меры противодействия...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра менеджмента и ВЭД предприятия Одобрена: Утверждаю: кафедрой менеджмента и ВЭД предприятия Декан ФЭУ В.П.Часовских протокол № 1 от 2 сентября 2011 г. методической комиссией ФЭУ 2011 г. Протокол № 1 от 22 сентября 2011 г. Программа учебной дисциплины Экологический менеджмент в лесопромышленном...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ утверждаю ректор (декан, директор института). _ Рабочая программа ДИСЦИПЛИНЫ Социальная и культурная антропология направление подготовки Фольклористика и мифология квалификация (степень) выпускника магистр очная форма обучения г. Москва, 2010 г. 1. Цели и задачи освоения дисциплины Целью освоения дисциплины Социальная и...»

«АКАДЕМИЛ НАук СОЮЗА ССР и н сти ту т ЭТНОГРАФИИ имН.Н.МИКЛуХО-МА-КЛАЛ СОВ ЕТСК АИ ЭТНОГРАФИИ 2 МАРТ-АПРЕЛЬ iд62 ИЗ^АТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ Н А у К СССР о с я, в а Редакционная коллегия: Главный редактор член-корр. АН СССР С. П. 'Голсгов, Н. А. Баскаков, член-корр. А Н СССР А. В. Ефимов. М. О. Косвен, П. И. К у ш н е р, М. Г. Левин, Л. Ф. М оногарова (зам. главного редактора). А. И. Першиц (зам. главного редак тора), Л. П. Потапов, И. И. Потехин; Я. Я. Рогинский, академик М. Ф. Рыльский, В. К....»

«Учреждение Российской академии наук Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова РАН РНЦ Курчатовский институт Национальный комитет кристаллографов России VII НАЦИОНАЛЬНАЯ К О Н Ф Е Р Е Н Ц И Я Рентгеновское, Синхротронное излучения, Нейтроны и Электроны для исследования наносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Когнитивные технологии РСНЭ – НБИК 2009 Продолжение Всесоюзных совещаний по применению рентгеновских лучей для исследования материалов 16-21 ноября 2009 года ПРОГРАММА ИК РАН - РНЦ КИ...»

«КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧИЛИЩЕ № 79 П. КОШУРНИКОВО УТВЕРЖДАЮ: Зам. директора по УПР _И.Ф. Копнина _20г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ОП.04. Экономические и правовые основы производственной деятельности. Профессия 260807.01 Повар, кондитер Нормативный срок обучения – 2 года и 5 мес. на базе основного общего образования 1 Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета _ _Е.В. Демчик_ М.П. _ 20_12_ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Либеральные реформы в деятельности американских президентов Т.Рузвельта, В. Вильсона и Ф.Д.Рузвельта (наименование учебной дисциплины) Направление(я) подготовки (специальность) История _ Форма обучения очная (очная, очно-заочная (вечерняя),...»

«Отчет о зарубежной стажировке преподавателя в рамках п. 3.1.2. Программы стратегического развития МГЮА имени О.Е. Кутафина Совершенствование и развитие внутрироссийской и международной мобильности аспирантов и молодых научно-педагогических работников вуза Ф.И.О. командируемого сотрудника: Калиниченко Пауль Алексеевич Основание: приглашение заместителя декана факультета экономики, права и управления Лотарингского университета в г. Мец; Приказ ректора; служебное задание. Даты: 03.12.2012 –...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.